De cuong mon toan HKIILop 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (145.92 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011-2012
MƠN: TỐN 11

A-Đại số:

1.Giới hạn của dãy số.

 Dạng 1 .Tính giới hạn của dãy số:

* Phương pháp: Đưa bài toán về dạng để áp dụng được định lí 1 hoặc định lí 2 về giới hạn
của dãy số .

- Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là số 
mũ cao nhất của n .

- Nếu biểu thức không có dạng trên thì tùy từng trường hợp có thể dùng phép biến đổi
sau:

+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vơ cực.

+ Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức khi biểu thức chứa
biến n dưới dấu căn.

 Dạng 2 . Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
*Phương pháp:

+ Chứng minh dãy số đã cho là một CSN lùi vơ hạn (Nếu bài tốn chưa cho dãy số đó
là CSN lùi vơ hạn)

+ Áp dụng cơng thức tính tổng :
 Bài tập :

Bài 1.Tính các giới hạn sau:
a) lim36 21



n
n
b)
1
2
5
3
lim 2
2



n
n
n

c)
2
4
1
9
lim
2




n
n

n d) lim( 3 2 2 1)



 n n

n
e) lim( 2 1 )

n
n

n    f) lim( 2 )

n
n
n  

Bài 2. Tính các tổng sau:

a) ...
10
)
1
(

...
10
1
10
1

1  2    1 


 n

n

A

b) ...
2
)
1
(
...
8
1
4
1
2
1
1 1
1








 

n
n
B

c) ...
2
)
1
(
...
2
1
2
1
1
2
2 










n
n
C

2.Giới hạn của hàm số:

 Dạng 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lý hay quy tắc về giới hạn vơ 
cực.

 Dạng 2. Tính các giới hạn dạng vô định:
+) Dạng 00 (lim (( ))

x
g

x
f
x

x  khi

0
)
(
lim
)

(

lim  


x f x x x g x

x   ) :

*Phương pháp: Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.

lim (( ))

)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
Q
x

P
x
Q
x
x
x
P
x
x
x
g
x
f
x
x
x
x
x

x   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với biểu 
thức liên hợp trước khi phân tích chúng rồi giản ước.

+) Dạng 


( lim (( ))
x
g

x
f
x

x  khi







 ( ) lim ( )

lim f x g x

x
x
x

x   ):

* Phương pháp : Chia cả tử số và mẫu số cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x.
- Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì đưa xk ra ngồi dấu căn (với k
là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) trước khi chia tử số và mẫu số cho lũy thừa của
x.

+) Dạng







(xlimx



f(x) g(x)



khi






 ( ) lim ( )

lim f x g x

x
x
x

x   hoặc xlimx f(x)limxxg(x)

*Phương pháp : Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới
dấu căn) hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức (nếu chứa nhiều phân thức).

 Bài tập :

Bài 3. Tính các giới hạn sau :
a) lim3 12

4 


 x

x

x ; b) lim 9
2

4 

 x

x ;c) lim( 1)

2
4







 x x x

x ;

d) lim(2 33 2  5)



 x x

x ; e) 3

1
2
lim

2 





 x

x

x ;f) 4

2
3
lim 2

2 




 x

x

x
x

x
x
x

x 3

1
1
lim

2
0





 ; h) 1

1
2
lim3

1 




 x

x
x

x
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a)

x
x
x

x 2 3

1
4

lim 2







 ; b)

)
1
(

lim x x2 x

x  

3.Hàm số liên tục:

 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y f(x)tại điểm x:

* Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
 + Tính limxx f(x)và f(x)

+ So sánh xlimx f(x) với f(x)để kết luận.

Trường hợp bên trái, bên phải xhàm số được xác định bởi hai biểu thức khác nhau, để

tìm limxx f(x)ta cần tìm xlimx f(x)

 và

)
(

lim f x

x

x 

 và lưu ý rằng :

L
x
f
x

f
L

x
f

x
x
x

x
x

x ( )   lim  ( )lim  ( )

lim






 Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số y f(x) trên một tập con của tập R
 * Phương pháp :

+ Áp dụng định lí về tính liên tục của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng giác.
+ Nếu hàm số được cho bởi nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính liên tục tại
một điểm.

 Dạng 3 : Chứng minh PT f(x)0 có nghiệm trên tập DR

* Phương pháp : Để chứng minh PT f(x)0 có nghiệm trên tập DR, ta cần tìm hai số a

và b thuộc D sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn



a;b



và f(a).f(b) 0.
 Bài tập :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



















2

5

2

8 )(

x

khi

x

khi

x

g

Bài 6. Tìm m để hàm số yf(x) liên tục trên R, biết rằng :























3

1

3

4 )

(

x

khi

mx

x

khi

x

f

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình :
a) 2 3 6 1 0



 x

x có ít nhất hai nghiệm
b) sinxx 1 có ít nhất một nghiệm
4.Đạo hàm:

 Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số y f(x) tại điểm x

- Nếu yêu cầu tính đạo hàm bằng định nghĩa, cần thực hiện theo 3 bước:

+b1: giả sử x là số gia của biến số x tại điểm x, tính yf(x x) f(x)

+b2: lập tỉ số

x
x
f
x
x
f
x
y








 (  ) ( )

+b3: tính giới hạn L

x
x
f
x
x
f

x  








)
(
)
(

lim




 f '(x)L

- Nếu bài tốn khơng nói gì thêm ,sử dụng các cơng thức và các quy tắc tính đạo hàm của
một tổng, hiệu, tích, thương để tính f'(x )

sau đó tính giá trị của hàm số y f '(x )

 tại



x
x  .

 Dạng 2 : Tính đạo hàm của hàm hợp y f



g(x)



trên tập xác định của nó
* Phương pháp :

+ Đặt ug(x)

+ Áp dụng các công thức tính đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của một tổng, hiệu,
tích, thương. Lưu ý :

 Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) của hàm số y f(x)
+) Loại 1. Tiếp tuyến tại điểm M(x;y)(C) có dạng :

)
(
)
)(

(




 x x f x
x

f

y  

+) Loại 2. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước:
 * Phương pháp :

+ Tiếp tuyến d // d’  kd kd'

'
'

' .

x
u

x y u

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có : f (x)kd  x  y

+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :




 x x y

x

f

y '( )(  )

+) Loại 3. Tiếp tuyến d vng góc với đường thẳng d’ cho trước :
* Phương pháp :

+ Tiếp tuyến

1
'

d
d

k
k

d

d   

+ Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có : f (x)kd  x  y

+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :




 x x y

x
f

y '( )(  )

+) Loại 4. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị hàm số y f(x) biết tiếp tuyến đi
qua điểm A(x1;y1):

* Phương pháp :

+ Bước 1: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d)

Phương trình đường thẳng của (d) đi qua điểm A(x1;y1) có hệ số góc k
là: yk(x x1)y1 (*)

+ Bước 2: Để (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ phương trình:

)(

)

(

)(

'

1 I

x

f

k

y

x

k

xf















có nghiệm .

+ Bước 3: Nghiệm của hệ phườn trình là hồnh độ tiếp điểm x từ đó suy ra y;

suy ra '( )


x
f

k  Phương trình tiếp tuyến.

* Lưu ý: Hệ (I) có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng có bấy nhiêu tiếp tuyến .
Bài tập:

Bài 8. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) 3 2 1




x x

y tại x 2
b) ysin2x tại

6



x
c) y 3 4x tại x 1

1
1





x
x

y tại x 0

Bài 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 1

5
4
3
2
2

2
3
4





x x x

y

b) y (x7 5x2)2012




x
x

x
x
y

3
7
6
3

2
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

d) 2 3 



1













 x x

x
y

e) y xx



1
cos

f) y tan2 x cotx2




Bài 10. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :
a) y sin6x cos6x 3sin2x.cos2 x






b) y 2 x 2 x 2 x 2 x 2sin2x
3

2
cos
3

cos
3

cos 










































    

Bài 11. Cho hàm số ( ) 3 3 2 2




x x

x
f

a) Giải bất phương trình : '( ) 3



x
f

b) Giải phương trình :

f

"

(sin

x

)





3

c) Giải phương trình :

'

xf

)(



18

"

xf

)(



3

Bài 12. Cho hàm số 3 3 2 2




x x

y có đồ thị (C) .

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng : 3xy 20120

d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường
thẳng : 2x 90y20120

Bài 13. Cho hàm số 22 54




x
x

y có đồ thị (H).

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 8
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm
M(-2; 2).

B-Hình học: Quan hệ vng góc trong khơng gian:
 Dạng 1 .Chứng minh một đẳng thức vectơ :
 *Phương pháp : Sử dụng :

+ Quy tắc 3 điểm :

+ Quy tắc hình bình hành:
+ Quy tắc hình hộp:

+ Quy tắc trung điểm:
+ Trọng tâm của tam giác:
+ Trọng tâm của tứ diện:

+ Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số:
 Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là 
trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong khơng gian. Chứng minh rằng:

a) IAIBICID0

b) ( )
4

PD
PC
PB
PA

PI    

 Dạng 2 .Xác định góc giữa hai đường thẳng :

*Phương pháp 1 :

(

,

)

(

,

)

0(

90 )

//

,

//

2 1 2

1
2

1  



















d

b

a

b

d

a

d

O

d

*Phương pháp 2:







































180

90

180 ),

(

90

0 ),

(

),

(



nêu

ba

nêu

ba

bđt

vtcp

v

ađt

vtcp

u

vu

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Biết

AB = CD = 2a; MN = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 4 . Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC BAD 60. Chứng minh rằng:

a) ABCD;

b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB v MNà CD
 Dạng 3 .Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng và tìm góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng cắt nhau:
*Phương pháp : +)

( )

( ), ( )

d a d b

a b I d

a b



 

  



   



  

+) ( , ( )) ( , )d d d'

  với d’ là hình chiếu của d trên mp( )

Bài5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB = SC = SD. Gọi
O là giao điểm của AC và BD.Chứng minh rằng:

a) SO(ABCD)

b) AC (SBD) và BD(SAC).

Bài6:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình
chiếu vng góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) .

a) Chứng minh rằng: BC(OAH), CA(OBH), AB(OCH).
b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

c) Chứng minh rằng: 1 2 12 12 1 2

OH OA OB OC .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, SA vng góc với mặt

phẳng đáy (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên SB,
SC, SD.

a) Chứng minh rằng BC (SAB CD), (SAD)

b) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.

c) Chứng minh rằng AH, AK cùng vng góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng
AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng.

d) Tính diện tích của tứ giác AHIK, biết SA = AB = a
 Dạng 4 . Chứng minh hai mặt phẳng vng góc :

*Phương pháp : +) Góc giữa hai mặt phẳng: ( ) (( ), ( )) ( , )
( )

a

a b
b



 



 

 



  (1)

+) Từ (1): Nếu ( , ) 90a b   thì ( ) ( )  

+) ( ) ( ) ( )
( )

d
d



 



 

 



 

Bài8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O 
là tâm của hình vng ABCD.

a) Tính độ dài đoạn thẳng SO.

b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC)
vng góc với nhau .

c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) .

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có BAD 60,

cạnh 6

2
a

SC và SC vng góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (SAC).

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA tại K. Hãy tính đọ dài đoạn IK.
c) Chứng minhBKD 90 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng

(SAD)

Bài10: Cho tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đơi một vng góc với nhau. Lấy các điểm A, 
B, C trên Sx, Sy, Sz. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng SH (ABC)
b) Chứng minh rằng ( )2 .

SBC ABC HBC

S S S , từ đó suy ra :
( )2 ( )2 ( )2 ( )2

ABC SAB SBC SCA

S S  S  S

 Dạng 5 . Tính khoảng cách :

*Phương pháp : +) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

(H là hc vng góc của điểm Mtrên đt )
+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

(H là hc vng góc của điểm Mtrên mp())

( , )

d M  M H

( ,( ))

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

. - Tìm đoạn vng góc chung của hai đt chéo nhau: 3 cách tìm.
- Tính độ dài của đường vng góc chung : 2 cách tính.

Bài11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60 và

SA = SB = SD = 3

a .

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

c) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD)
d) Chứng minh SC vng góc với BC.

</div>

De cuong mon toan HKIILop 11



































2

5

2

2

8

)(

<i>x</i>

<i>khi</i>

<i>x</i>

<i>khi</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>g</i>





























3

1

3

3

3

4

)

(

<i>x</i>

<i>khi</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>khi</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f</i>





)(

)(

)

(

)(

'

1

1

<i>I</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>k</i>

<i>y</i>

<i>x</i>