bai tap day them

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (224.05 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CƠNG THỨC

Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu
a) xác định đường cao

b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy
Để xác định đường cao ta lưu ý



Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.



Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường trịn
ngoại tiếp mặt đáy.



Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường trịn nội tiếp mặt đáy.



Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến
của mặt phẳng đó và đáy.



Hình chóp có hai mặt bên cùng vng góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến
của hai mp đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý



Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.



Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.

CÁC CƠNG THỨC

Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khơi chóp: V = Bh

3
1

( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)

Chú ý:

- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích
tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B C
A

C
A

F
B

B
A

C
M

B H C

Định lí pithago BC2=AB2+AC2
Định lí về đường cao trong tam

giác vng

- AH 2 2 2

1
1

AC
AB

AH  

- AH.BC = AB.AC

Tỷ số đồng dạng của hai tam giác

CE
BC
FC
AC
EF
AB




Trọng tâm G của tam giác chia
đường trung tuyến theo tỷ lệ

AM
GA

3
2


Đường cao trong tam giác đều cạnh a
là đường trung tuyến, trung trực,…
Và

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Sau đây là các bài tập

Bài1

Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với

đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Bài giải

gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy

Khi đó

C
S

D
E

AE=

3
2

AD=

3
3
a

Ta có SAD=600 nên SE=AE.tan600=a

SABC=
4

3
2

a Do đó V

SABC=

3
1

SE.SABC=
12

3
3

a

Bài 2

Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên
SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp đó

Bài giải

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C
S

D
k

Ta có p=

CA
BC
AB 

=9a

Nên SABC= p(p a)(p b)(p c)=6a2. 6

mặt khác SABC=pr  r= p

S

= 6

a

trong SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a. 2

Do đó VSABC=

3
1

SD.SABC=8a3. 3

Bài 3

cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là

Tam giác cân AB=AC=a vàBAC=1200 . Tính thể tích khối chóp đó.

Bài giải

A C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Có SO chính là đường cao
SABC=1/2.AB.AC.sin1200=

4
3
2

a và BC=2BD=2.ABsin600=a. 3

OA=R=

s
c
b
a

4
.
.

=a  SO=OA.tan600=a. 3

Do vậy VSABC=

3
1

SO.SABC=1/4a3.

Bài 4

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và
mpSAB vng góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính
thể tích khối chóp SBMDN.

Bài giải

A D

C
S

H
M

Hạ SH AB tại H thì SH chính là đường cao

SADM=1/2AD.AM=a2
S

CDN=1/2.CD.CN=.a2

Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.

mặt khác 12 12 12

SB
SA

SH    SH= 2 2

2
2.

SB
SA

 = 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

do đó VSBMDN=

3
1

.SH.SBMDN=
3

3
3

a

bài 5

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vng tại A,D; AB=AD=2a,CD=a.
Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp

SBI,SCI cùng vng góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải

A B

D C

I H

Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SImpABCD

IC= ID2 DC2

 =a 2

IB= IA2 AB2

 =a 5 và BC= CJ2JB2 =a 5

SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2

SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2.a2

 SIBC=SABCD-SIAB-SDIC=

2
3a2

mặt khác SIBC=

2
1

.IH.BC nên IH = a
BC

SIBC 3 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó VABCD=

3
1

SI.SABCD=

15
3 a3

Bài 6

Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600,CSB=900, CSA=1200

CMR tam giác ABC vng rồi tính thể tích chóp.
Bài giải

Gọi E,D lần lượt là AC,BC

A C

B
S

E
D

 SAB đều AB=a,

 SBC Vuông BC=a. 2

 SAC có AE=SA.sin600=
2

3
a

 AC=a 3và SE=SAcos600=

2
1

a.
 ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ABC vng tại B

Có SABC=

2
1

.BA.BC=

2
2
2

a

 SBE có BE=

2
1

AC=

2
3
a

SB2=BE2+SE2=a2 nên BE  SE

AC  SE

Do đó SE chính là đường cao
VSABC=

3
1

SE.SABC= 3
12

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 7

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vng tại A,AC=a,

ACB=600

Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài giải
Ta có hv

A B

A1 B1

Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a 3

ABAC và ABA1A

Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.

Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= AC12  AC2 =2a 2

Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a 2 .

2
1

.a.a 3=a3. 6

Bài 8

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba

điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A1 B1

A B

H
I

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=

4
3
2

a

mặt khác A1A= A1B=A1C  A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=
3

3
a và

A1AG=600

A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=
4

3
.
3

a

Bài9

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vng cân với cạnh

huyền AB= 2.Cho biết mpABB1vng góc với đáy,A1A= 3,Góc A1AB nhọn, góc

giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ.

Bài giải

Tam giác ABC có cạnh huyền AB= 2 và cân nên CA=CB=1;

SABC=1/2.CA.CA=1/2.

. MpABB1vng góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.

A1G chính là đường cao

Từ G hạ GH  AC tại H

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Đặt AH=x(x>0)

Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x 2
HGA

1 có A1G=HG.tan600=x. 3

A1AG có A1A2=AG2+A1G2  3=2x2+3x2 hay x=
5
15

A1 B1

B
G

Do đó A1G=
5

5
3

vậy VLT=A1G.SABC=
10

5
3

Bài 10

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7. Các mặt bên

ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối

hộp đó biết cạnh bên bằng 1.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

D1 C1

C
F
B1

N
H
M

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD

Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N

Theo gt  A1MH=600 và A1NH=450

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 0

60
sin

x

3
2x

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vng)

Nên HN=AM mà AM= 2

1
2
1 AM

AA  =

3
4
3 x2



Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450

Suy ra x =

3
4
3 x2

 hay x=

7
3

vậy VHH=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP

Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài tốn áp dụng tính
thể tích theo cơng thức hoặc dùng bài tốn tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1

khác với S thì

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V

V

ABC
C
B

A1 1 11 1 1 1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)

S
A
B
C
E H
A1

B1
C1

Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC

 AH / / A1E nên SAH và SA1E đồng dạng

1
1 SA
SA
E
A
AH


Khi đó VSABC=3

AH.SSBC=3

AH.SB.SC.sinBSC.

VSA1B1C1 = 3

A1E.SSB1C1 = 3

A1E.SB1.SC1.sinBSC.

Do vậy
1
1
1
1
1
1
.
.
sin
.
.
.
.
3
1
sin
.
.
.
.
3
1
1

1
1 SC
SC
SB
SB
E
A
AH
BSC
SC
SB
E
A
BSC
SC
SB
AH
V
V
C
B
SA
SABC


Nên
SC
SC
SB
SB

SA
SA
V
V
ABC
C
B

A1 1 11 1 1 1



Bài 1

Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và BSA=600, ASC=1200, 

CSB=900. Hãy tính thể tích chóp

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nhận xét các mặt ở đây khơng có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng
ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I

Vây ta có lời giải sau

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,

Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,

Ta có

12
2
.
3

1
1

a

VSABC  (theo bài 6)

Mà . . . 1 1.

1
1

C

SAB

SABC V

SC
SC
SB

SB
SA
SA

V  =

2
2
.
3

a

Bài 2

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và

A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

A1 C1

C
H

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. 3

Mà VLT=A1H.SABC=

4
3
4

3
.
.
3
.

3
2 a

a

a 

nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
khối chóp CA1B1C1 có VCA1B1C1= 3

VLT

khối chóp B1ABC có VB1ABC=3
1

VLT

Khối chóp A1B1CA do đó VA1B1AC=
3
1

VLT =

a

Bài 3

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là

trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

DDF

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)

Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng
khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET
3
1
1
1
1
1


IA
IB
AA
HB
Và

3
1
1
1
1 1


JA
JD
AA
KD

1 2.2.2.3 72 1
1
.
3
1
.
.
.
3
1
1
1
1 KFJD
HIEB V
abc
c
b
a

I
B
E
B
HB

V    

8
3
.
2
3
.
2
3
.
2
1
.
3
1
.
.
2
1
.
.
3

1
1
abc
c
b
a
JA
AI
AA

VAAJJI   

V1= VAAJJI -2.VHIEB1 = 72

25
72
.
2
8

3abc abc abc




V2= Vhh-V1=

72
47abc

do vậy 4725

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

III) BÀI TỐN ƠN TẬP

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách
giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa
chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể

tích chóp C.A1B1FE.

Giải

a) Cách 1 tính trực tiếp

gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd=

12
3
.
2

3
.
.
3
1
.

.
3

1 2 3

1 1

a
a
a
S

H

A BCB  

A C

C1
K

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Nên
12
3
.
4
3
.
.
.
3
1
.
3

1 2 3

1
1
a
a

a
V

VBCAB  LT  

b) cách 1 Tính trực tiếp

gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC



d và F=BC



d
MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE

Ta có 12

13
.
12
6
3
,
2
3 2
2
2

2 KG a a a

KQ

QG

a
GK
a

CK       

6
3
.
2
3
.
.
.
3
1
.
.
2
1
.
3
2
3

2 a a2

a

QK
CK
S

SCQG  CQK   

Mặt khác
54
3
.
5
12
13
.
).
2
3
.(
2
1
.
13
13
2
.
3
1
).
,
(

.
3
1
13
13
2
12
13
.
6
3
2
.
2
)
,
(
)
,
(
.
.
2
1
3
.
2
1
1
1

1
a
a
a
a
a
S
QG
C
d
V
a
a
a
QG
S
QG
C
d
QG
C
d
QG
S
B
FEA
B
FEA
C
CQG

CQG











</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

A C

C1
K

C2

54
3
.
2

.
2

3
.
2
1
.
3
1
.
3
2
.
3
2
.
2
.

.
2
2

3
2

1
1

a
a
a
V

CB
CF
CK
CG
V

VCFEAB  CGQB  CKQBB  

Bài 2 cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3,SA=2a và SA
ABCD, Một mp đi qua A và vng góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy

tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
Bài giải

Cách 1 tính trực tiếp
Ta có

AC AD CD 3a a 4a AC 2a

2
2
2
2
2
2










Nên



SAC



cân tại A mà AI SC nên I là trung điểm SC

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

SAB
BC
ABCD
SA
SA
BC
AB
BC




 , ( )

Mà AH SC cho nên ABC

5
2
.
1
1
1
2
2
2
2
2
a

AB
SA
BA
SA
AH
AS
AB

AH      

Trong tam giác vng HAI có

5
6
5
4
2
2
2
2

2 AH a a a

AI

HI     

Tương tự ta có

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Cách 2 tính gián tiếp

Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH SB, AKSD

35
3
.
4
3
.
.
2
.
3
1
..
5
4
.
2
1
.

.
2
1
.

. 3

2
2
2

2 a

a
a
a

a
V

SB
SA
V

SC
SB

SI
SH

VSAHI  SABC  SABC  

Tương tự

35
3
.
4a3

VSAIK 

Do đó VSAHIK=
35

3
.
8a3

Bài 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x,
đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi

giải

nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y
đặt (x,y)=



và d(x,y)=d

E
F

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VLT= d.SCDE=d.

2
1

CD .CE.sin



2
1

d.b.a.sin



mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm
Tứ diện BCDE có VBCDE=

3
1

.d(B,CDE).SCDE=

3
1

.VLT

Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
Do vậy VABCD=

3
1

.VLT=

6
1

.d.a.b.sin



= hằng số

Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”

A G

E
C

C E

A B

D
F

Bài 4 Bài tốn thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong
mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt
cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

C
K

Gọi O Là tâm hcn ABCD
Ta có SG=

3
2

.SO và K=A G



SC và K là trung điểm SC

c
b
a
SB
SM
V

SB
SM
V

SC
SK
SA
SA

SB
SM
V

V

SABCD
SBAC

SMAK
SBAC

SMAK . . .

12
1
.

.
4
1
.

.
2
1
.

.    



Tương tự abc

SC
SN
VSNAK . . . .

12
1


Do đó abc

SC
SN
SB

SM

VSAMKN .( ). . .
12



Trong mpSBD B

D
O

G
H

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

)
(
3
1
.
.
.
.
2
.
.
.
2
.
2
2
2
.
SC
SN
SB
SM

SC
SB
SN
SM
SC
SO
SN
SG
SB
SO
SM
SG
S
S
S
S
S
S
S
SC
SN
SB
SM
S
S
SOD
SGN
SBO
SGM
SBO

SGN
SMG
SBD
SMN











Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên 1
2

2    SB 

SM
SB
SM
SB
Đặt t=
SN
SM

( 1

2
1



t ) thì

1
3
)
(
3
1
.





t
t
SC
SN
SC
SN
t
SC
SN

t

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=

1
3 



t
t
t
SC
SN
SB
SM

với 1
2

1

t

Ta có 2

2
2 (3 1)

9
)
1
3
(
1
1
)
(







t
t
t
t
t
f

Nên , 0
3
2
0

)

(    

t t t

f (loại)

f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
do vậy VSAMKN =

abc

là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
VSAMKN =

abc

là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB

IV) BÀI TẬP

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và vng
góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vng góc với BD,cắt BD
tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại C,AC=a,AB=2a,SA vng góc
với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết
a) Mp(SBA) vng góc với mp(SCA)

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vng góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC

bằng 600. Tam giác ABC vng tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu vng góc của

điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC

theo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của

tam giác ABC đến mpA1BC bằng

a

.hãy tính thể tích khối trụ đó

Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc

giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua

A1A bằng 600. hãy tính thể tích khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vng tại

A,AB=a,BC=2a. Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vng góc với đáy và hợp

với mặt bên một góc



. hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy
góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC.mpBMN chia khối

S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn

AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,

Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại Avà D. Tam giác SAD
là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy
tính thể tích khối chóp.

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD
Tam giác SBD vng nằm trong mp vng góc với đáy và có các cạnh góc vng là
SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC
vuông góc mpBCD. Tính VABCD.

Bài 14

Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM,

BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với

đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a 7,AC=2a. tính V
LT.

Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn

A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm

hai phần. tính thể tích từng phần.

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho
BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi

a) mp



qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC
b) mp qua MP và song song với AI

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= 3, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa

BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min.

baì 19 Trong mp(P) cho hình vng ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vng

góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn

điểm N thuộc tia Cy sao cho mpBDM vng góc với mpBDN

a) Tính AM.CN theo a.

b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min.

Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vng góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vng
góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN.

a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó

b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMRVV MHNH

HOBN
HOAM

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

nhận xét: Từ

bài 1(sgk cơ bản\25) tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
1. bài 2(sgk cơ bản\25) tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

2. bài 3(sgk cơ bản\25) Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1.Tính tỉ số thể tích của khối hộp

đó và thể tích của khối tư diện ACB1D1.

3. bài 4(sgk cơ bản\25) Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần

lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S. Chứng minh rằng

SC
SC
SB

SB
SA
SA
V

V

ABC
C
B

A1 1 11 1 1 1



4. bài 5(sgk cơ bản\26) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳ
ngqua C và vng góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C
vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF
5. bài 6(sgk cơ bản\26)Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. lấy đoạn thẳng AB có độ

dài x trượt trên a, đoạn thẳng CD co độ dài y trượt trên b. CMR VABCD không đổi

6. bài 5(sgk cơ bản\26) Cho hình chóp O,ABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi một vng
góc với nhau và OA= a,OB=b ,OC=c, Hãy tính đường cao OH của hình chóp,

7. bài 6(sgk cơ bản\26)Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh AB =a, Các cạnh bên
hợp với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mp qua BC và vng góc

với SA.

a) Tính tỉ số tỉ hai khối chóp SDBC và SABC
b) Tính thể tích của khối chóp SDBC.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

9. bài 8(sgk cơ bản\26 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hcn,SA vng góc với
đáy và AB=a,AD=b.SA=c. Lấy các điểm B1,C1 theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB1

vng góc với SB,AD1 vng góc SD. Mp(AB1C1) cắt SC tại C1. Hãy tính thể tích

khối chóp SAB1C1D1.

10. bài 9(sgk cơ bản\26) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đáy là hình vng cạnh a,
cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm SC. Mp đi qua AM và song

song với DB, cắt SB tại E,SD tại K. tính thể tích khối chóp SAEMK.

11. bài 10(sgk cơ bản\27)Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA1B1C1 CÓ tất cả các cạnh đều

bằng a.

a) tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.

b) mp qua A1B1 và trọng tâm tam giác ABC,cắt AcvàBC tại K,H. Tính thể tích

khối chóp CA1B1HK.

12. bài 11(sgk cơ bản\28) Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Gọi K,H theo thứ tự là trung

điểm của cạnh BB1 và DD1 mpCKH chia khối hộp làm hai khối đa diện. tính tỉ số thể

tích của hai khối đa diện đó.

13. bài 12(sgk cơ bản\28) Cho hlp ABCD A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm của

A1B1và N là trung điểm của BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mp DMN chia khối hlp đã cho thành hai khối đa diện. tính tỉ số thể tích hai
khối đa diện.

15) Ví dụ (sbt cơ bản \14) cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB=a, BC=b,

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

16)Ví dụ (sbt cơ bản\17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, Mp (P) qua A và vuông
góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại E,F,G.Biết AB=a, 3SE=2SB.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAEFG,SABCD.
b)Tính thể tích của khối chóp SAEFG.

17) (bài 1.14\sbt cơ bản\18) Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

18)(bài 1.15\sbt cơ bản\18) Cho khối chóp SABC có dáy là tam giác cân với AB =AC
=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp đó.

19)(bài 1.16\sbt cơ bản\18) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác vuông tại
B. Cạnh SA vuông với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vng góc với SB,AE vng
góc với SC. Biết AB=a, BC =b,SA=c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp SADE.
b) Tính khoảng cách từ E đến mpSAB.

20) (bài 1.17\sbt cơ bản\18) CMR tổng khoảng cách từ một điểm trong bất kì của một
tứ diện đều đến các mặt của nó khơng đổi.

21) (bài 1.18\sbt cơ bản\18) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,

AA1=a, Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=3MD.

a) Tính thể tích khối chóp MAB1C.

b) tính khoảng cách từ M đến mpAB1C.

</div>