De thi 2co dap an hoc sinh gioi cap huyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi chọn đội tuyển học sinh gii lp 9</b>

năm học 2008 - 2009

<b>Môn: Toán</b>

<b>( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )</b>

<b>Bài 1 ( 2 ®iĨm ): </b>Cho ®a thøc: f(x) = x4_{+ 6x}3_{+ 11x}2_{+ 6x}

1/ Ph©n tích f(x) thành nhân tử.

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là
số chính phơng.

<b>Bài 2 ( 1,5 điểm ):</b> Cho phơng trình ẩn x:

2
1

2
3

7
4
2

<i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

; víi x 1

;

x 2.

Tìm a và b để phơng trình có nghiệm là bất kỳ số thc no khỏc 1 v 2.

<b>Bài 3 ( 2 điểm ):</b> Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc <b>B = x + y + z</b>; biết
rằng x; y; z là các số thực thoả mÃn điều kiện y2_{+ yz + z}2_{= 1 -}

2
3<i>_x</i>2

.

<b>Bài 4 ( 3,5 điểm ):</b> Cho hình vng ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh
BC. Tia Ax vng góc với AM cắt đờng thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn
thẳng MK. Tia AI cắt đờng thẳng CD tại E. Đờng thẳng qua M song song với AB cắt

AI tại N.

1/ Tø gi¸c MNKE là hình gì ? Chứng minh.
2/ Chứng minh: AK2_{= KC . KE.}

3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME
ln có chu vi không đổi.

4/ Tia AM cắt đờng thẳng CD ở G. Chứng minh rằng 1 ₂ 1₂
<i>AG</i>

<i>AM</i>  không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M.

<b>Bài 5 ( 1 điểm ):</b> Cho a; b; c là các số thực thoả mÃn điều kiện: abc = 2008. Chứng
minh rằng:

1
1
2008

2008
2008

2008

<i>ca</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>ab</i>

<i>a</i>

- Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:

- Họ tên, chữ ký của ngời coi thi: ………

<b>Chú ý: Ngời coi thi khơng đợc giải thích gì thêm.</b>

<b>đáp án, biểu điểm mơn tốn</b>

<b>kỳ thi chọn đội tuyn hc sinh gii lp 9</b>

năm học 2008 - 2009

<b> ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )</b>

<b>Bài 1:</b> <b>2 điểm; Mỗi câu 1 điểm.</b>

<i><b>Cõu 1</b></i>: Lần lợt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )

<b>Câu 2:</b> Từ kết quả cđa c©u 1 ta cã:

+ A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x2_{+ 3x )( x}2_{+ 3x + 2 ) + 1}

<b>( 0,25 điểm )</b>
+ Đặt x2_{+ 3x = t; ta cã A = t( t + 2 ) = t}2_{+ 2t + 1 = ( t + 1 )}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+ Do x



Z nên t = x2_{+ 3x x}

_

_{Z; do đó ( t + 1 )}2

_

_{Z và ( t + 1 )}2_{là số chính}

ph-ơng.

<b>( 0,25 điểm )</b>
+ KL:

<b>( 0,25 điểm )</b>

<b>Bài 2:</b> <b>1,5 ®iĨm.</b>

+ Víi x 1

;

x 2 ta cã:

)
2
)(
1

(
)
2
(
)
(
)
2
)(
1
(
2
2

1  














 <i>x</i> <i>x</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>bx</i>
<i>a</i>
<i>ax</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

<b>( 0,25 điểm )</b>
+ Do đó

2
1
2
3
7
4
2








<i>x</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

víi mäi x 1

;

x 2


)
2
)(
1
(
)
2
(
)
(
)
2
)(
1
(

7
4









<i>x</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

víi mäi x 1

;

x 2

 4x – 7 = ( a + b )x – ( 2a + b ) víi mäi x 1

;

x 2

















7

2

4

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<b>( 0,75 điểm )</b>
+ Từ đó tính đợc a = 3; b = 1.

<b>( 0,25 ®iĨm )</b>
+ KL:

<b>( 0,25 điểm )</b>

<b>Bài 3: 2 điểm</b>

+ Ta có y2_{+ yz + z}2_{= 1 -}

2
3<i>_x</i>2

 2y2_{+ 2yz + 2z}2_{= 2 – 3x}2

 3x2_{+ 2y}2_{+ 2yz + 2z}2_{= 2 ( 1 )}

 x2_{+ y}2_{+ z}2_{+ 2xy + 2xz + 2yz + x}2_{– 2xy + y}2_{+ x}2_{– 2xz + z}2_{= 2}

 ( x + y + z )2_{+ ( x – y )}2_{+ ( x – z )}2_{= 2}

<b>( 1,0 ®iĨm )</b>
+ Do ( x – y )2

 0; ( x – z )2  0 nªn tõ ( * ) suy ra ( x + y + z )2  2

Hay - 2<i>x</i><i>y</i><i>z</i> 2

<b>( 0,5 ®iĨm )</b>
+ DÊu “ = ” xảy ra khi x y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z

Thay vào ( 1 ) đợc 9x2_{= 2; x =}

3

2 _{; x = -}
3

2

<b>( 0,25 ®iĨm )</b>
+ KL: Víi x = y = z = -

3

2 _{th× min B = -}

2

Víi x = y = z =

3

2 _{thì max B =}
2

<b>( 0,25 điểm )</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

N

E
I

G
K

B
A

D C

M

<i><b>Câu 1: 0, 75 điểm.</b></i>

+ T MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE

<b> ( 0,25 điểm )</b>
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE  KM ( 0,25 điểm )

+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau nên
MNKE là hình thoi. ( 0,25 im )

<i><b>Câu 2: 0, 75 điểm.</b></i>

+ Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 0_.<b>_{( 0,25}</b>

<b>®iĨm )</b>

+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM. ( 0,5 im )

<i><b>Câu 3: 1, 0 điểm.</b></i>

+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nªn EK = MB +
ED. ( 0,25 ®iĨm )

+ Tam giác AMK vng cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do
đó ME = EK. ( 0,25 điểm )
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 điểm )
+ KL: ( 0,25 điểm )
<i>Câu 4: 1, 0 điểm.</i>

+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó

2
2

1
1

<i>AG</i>

<i>AM</i>  = 2 2

1
1

<i>AG</i>

<i>AK</i>  . ( 0,25 điểm )
+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK2

. AG2_{= KG}2_{. AD}2_{. ( 0,25 ®iĨm )}

+ Mặt khác lại có KG2_{= AK}2_{+ AG}2_{và AD = a nªn ta cã}

AK2_{. AG}2_{= a}2_{( AK}2_{+ AG}2_{), hay}

2
2
2

2

2 ₁

.<i>AG</i> <i>a</i>

<i>AK</i>

<i>AG</i>
<i>AK</i>



 _{, suy ra}

2
2

1
1

<i>AG</i>

<i>AK</i>  = 2
1

<i>a</i>

<b> ( 0,25 ®iĨm )</b>
+ KL: ( 0,25 điểm )

<b>Bài 5: 1 ®iĨm.</b>

+ Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A.
+ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0.

<b>( 0,25 ®iĨm )</b>

<b>+ ë </b>ph©n thøc thø nhÊt ta thay 2008 bëi tÝch abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân
cả tử và mẫu cđa ph©n thøc thø ba víi b ta cã:

A = 1

2008
2008
2008

2008
2008

2008


















 <i>bc</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>

<!--links-->