Đề thi (có đáp án) học sinh giỏi huyện

Đề thi học sinh giỏi lớp 8
năm học 2008-2009
môn toán : Thời gian 150phút ( Không kể thời gian giao đề bài )

Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n
3
-n
2
+n-1 là số nguyên tố.
b, B =
2
2623
2
234
+
+++
n
nnnn
Có giá trị là một số nguyên.
c, D= n
5
-n+2 là số chính phơng. (n

2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
a,
1
111
=
++

+
++
+
++
cac
c
bbc
b
aab
a
biết abc=1
b, Với a+b+c=0 thì a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2
c,
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b

b
a
++++
2
2
2
2
2
2
Câu 3: (5điểm) Giải các phơng trình sau:
a,
6
82
54
84
132
86
214
=

+

+

xxx
b, 2x(8x-1)
2
(4x-1)=9
c, x
2

-y
2
+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0
kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b. Chứng minh:
EFCDAB
211
=+
c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện
tích tam giác DEF.
------------------Hết----------------
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 08-09

Câu Nội dung bài giải Điểm
Câu 1
(5điểm)
a, (1điểm) A=n
3
-n
2
+n-1=(n
2
+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1

n=2 khi đó A=5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b, (2điểm) B=n
2
+3n-
2n
2
2
+
B có giá trị nguyên

2

n
2
+2
n
2
+2 là ớc tự nhiên của 2
n
2
+2=1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n
2

+2=2

n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên.
c, (2điểm) D=n
5
-n+2=n(n
4
-1)+2=n(n+1)(n-1)(n
2
+1)+2
=n(n-1)(n+1)
( )
[ ]
54
2
+
n
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2

5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
Và 5 n(n-1)(n+1

5 Vậy D chia 5 d 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng
Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm)
=

++
+
++
+
++
111 cac
c
bbc
b
aab
a
1
2
++
+
++
+
++
cac
c
acabcabc
abc
cacabc
ac
=
1
1
1
111
=

++
++
=
++
+
++
+
++
acabc
acabc
cac
c
acc
abc
cac
ac
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
b, (2điểm) a+b+c=0

a
2

+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=0

a
2
+b
2
+c
2
= -2(ab+ac+bc)

a
4
+b
4
+c
4
+2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2

c
2
)=4( a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0

a
4
+b
4
+c
4
=2(a
2
b
2
+a
2
c
2

+b
2
c
2
) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)
2
=2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0


2(ab+ac+bc)
2
=2(a
2
b
2
+a
2

c
2
+b
2
c
2
) (2)
Từ (1)và(2)

a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+ac+bc)
2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x
2
+y
2


2xy Dấu bằng khi x=y

c
a
c
b
b

a
c
b
b
a
.2..2
2
2
2
2
=+
;
b
c
a
c
b
a
a
c
b
a
.2..2
2
2
2
2
=+
;
a

b
c
b
a
c
c
b
a
c
.2..2
2
2
2
2
=+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

)
a
b
b
c
c
a
(2)
a
c
c
b
b

a
(2
2
2
2
2
2
2
++++


a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
++++

Câu 3
(5điểm)
a, (2điểm)
6
82
54
84
132
86
214
=

+

+

xxx



0)3
82
54
()2
84
132
()1
86
214
(

=

+

+

xxx



0
82
300
84
300
86
300
=

+

+

xxx

(x-300)
0
82
1
84

1
86
1
=






++


x-300=0

x=300 Vậy S =
{ }
300
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b, (2điểm) 2x(8x-1)
2
(4x-1)=9

(64x
2
-16x+1)(8x
2
-2x)=9

(64x
2
-16x+1)(64x
2
-16x) = 72
Đặt: 64x
2
-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72

k
2
=72,25

k= 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x
2
-16x-8=0

(2x-1)(4x+1)=0;

x=
4
1

;
2
1

=
x
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x
2
-16x+9=0

(8x-1)
2
+8=0 vô nghiệm.
Vậy S =







4
1
,
2
1
c, (1điểm) x
2
-y
2

+2x-4y-10 = 0

(x
2
+2x+1)-(y
2
+4y+4)-7=0


(x+1)
2
-(y+2)
2
=7

(x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0

x+y+3=7 và x-y-1=1

x=3 ; y=1
Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)
Câu 4
(5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD

S DAB=S CBA
(cùng đáy và cùng đờng cao)

S DAB SAOB = S CBA- SAOB

Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC

AC
AO
DC
EO
=
Mặt khác AB//DC

DCAB
AB
DC
EO
AC
AO
BCAB
AB
OCAO
AO
BCAB
AB
OC
AO
DC
AB
+
==
+

+
=
+
=

EFABDCEFDCAB
DCAB
DCAB
AB
DC
EF 2112
.2
=+=
+

+
=
c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N

DF) +Kẻ đờng
thẳng KN là đờng thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì
SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) và(2)

SDEKN=SKFN.
0,5
0,5
0,5
1,0

0,5
1,0
1,0
A
B
C
D
O
E
F
K
I
M
N