Bai tap Mu Loga co loi giai hay suu tam dc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (462.31 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax =m, trong đó a>0, a≠1 và m là sốđã cho.

● Nếu m≤0, thì phương trình ax =m vơ nghiệm.

● Nếu m>0, thì phương trình ax =m có nghiệm duy nhất x=log m.a

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) x 1 x x 1

5 + +6.5 −3.5 − =52

2) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x +5x 1+ +5x 2+

3) x x 1

3 .2 + =72

4) 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5=42x2+ +3x 7+1

5) 5.32x 1− −7.3x 1− + 1 6.3− x+9x 1+

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) log x x3

(

+ =2

)

2) log2

(

x2− −3

)

log2

(

6x 10−

)

+ =1 0

3) log x 15

(

)

+log 2x 5

(

− =

)

4)

(

x 1

)

log 2 + − =5 x

Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1) x 1 x 2

3+ −2.3 − =25 2) log2 x 1 log2

(

x 1 x

)(

)

2
x+− +4 − + =

3) 3.2x 1+ +2.5x 2− =5x+2x 2− 4) log 16 logx2 − x7=2
5)

x 3x 1

4 7 16

7 4 49

−

   

− =

   

    6)

( )

(

)

8 8

4
2 log 2x log x 2x 1

+ − + =

7) log x 1 log x log x2 2

4 + −6 =2.3 + 8) x 1 1 x 2 1 x 2 x 1

2.5 .4 .5 4

5 4

+ − + − + = +

9) log 3

(

x−2 log x

)

5 =2 log3

(

x−2

)

10) x 5 x 7

3 2 − −5 2 − =32

11)

(

x x 2

)

x 1

(

x 1 x 1

)

3 10 −6 + +4.10 + =5 10 − −6 −

CHUYÊN ĐỀ 1.

PHƯƠNG TRÌNH

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Sử dụng công thức:

● aα =aβ ⇔ =α β.

● log ba log ca b 0

(

)

b c



= ⇔



hc > 0

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2x 1 x 1 x

5 + +7 + −175 −35=0 3) 2 x 1 x 3 2 2 x 3 4 x 1

x .2 + +2 − + =x .2 − + +2 −

2) 3.4x 1.9x 2 6.4x 1 1.9x 1

3 2

+ + +

+ = − 4) x2 x 1 x2 ( )x 12

4 + +2− =2 + +1

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) x x x

16 64

log 2.log 2=log 2

2) 2

5x 5

log log x 1

x+ =

3) log x2 +log x3 +log x4 =log x20

4)

(

)

( )

(

)

2 2

x 3

log 3x 1 2 log x 1

log + 2

− + = + +

5)
5)
5)

(

)

9 3 3

1 x 1

log x 5x 6 log log x 3

2 2

−

− + = + −

6) log2

(

x2+3x+ +2

)

log2

(

x2+7x 12+

)

= +3 log 32

Bài 3. Giải phương trình sau: 1log 2

(

x 3

)

1log4

(

x 1

)

8 log2

( )

2 + +4 − =

Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1)

2 3x

x 1 x x 3

9 27 . 81

−

 

 

  6)

(

)

(

)

5 5

log 6 4x− −x =2 log x+4

2) 3.13x+13x 1+ −2x 2+ =5.2x 1+ 7) 2 log x 1

(

)

1log x5 log x
2

− = −

3) log4

(

log x2

)

+log2

(

log x4

)

=2 8) 2 log x92 =log x.log3 3

(

2x 1 1+ −

)

4) 5

(

)

5

x 1
log x 2x 3 log

x 3

−

+ − =

+ 9)

(

)

(

)

2
2

4 4 4

log x − −1 log x 1− =log x−2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

DẠNG 3. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2+x−4.2x2−x −22x + =4 0

HD: 2x2+x−4.2x2−x−22x+ = ⇔4 0 2

(

x2−x−1 . 2

)

(

2x − =4

)

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi đểđặt được ẩn phụ do đó ta phải phân 
tích thành

(

2x2−x−1 . 2

)

(

2x −4

)

. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) x x x

8.3 + 3.2 =24 6+

2) 2x2+x−4.2x2−x−22x+ =4 0

3) 12.3x+3.15x−5x 1+ =20

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 log x

(

9

)

2 =log x.log3 3

(

2x 1 1+ −

)

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến ñổi phương trình thành tích

(

)

3 3 3

log x 2 log 2x 1 1 .log x 0

 − + −  =

  . ðây là phương trình tích đã biết cách giải.

Tổng qt: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi ñể ñặt ẩn phụ
ñược thì ta biến ñổi thành tích.

Bài 2. Giải phương trình: log x2 +2.log x7 = +2 log x.log x2 7 .

DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đó đặt ẩn số

phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc 
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các 
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

● Phương trình αkakx αk 1a(k 1) x αk 2a( k 2) x ... α1ax α0 0

− −

+ + + + + = , khi đó ta ñặt t=ax, t>0.

● Phương trình x x

1a 2b 3 0

α +α +α = , với a.b=1. Khi đó đặt t a , tx 0 bx 1
t

= > ⇒ = , ta ñược
phương trình: α1t2+α3t+α2 =0.

● Phương trình α1a2x+α2(ab)x +α3b2x =0. Chia hai vế cho
2x

a hoặc b ta 2x ñược

2x x

1 2 3

a a

b b

α    +α    +α =

    , ñặt

t , t 0

b
 

=  >

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 4x+ x2−2−5.2x 1− + x2−2 − =6 0

2) 43 2cos x+ −7.41 cos x+ − =2 0

3)

(

26 15 3+

) (

x+2 7+4 3

) (

x−2 2− 3

)

x =1

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1)

(

2− 3

) (

x+ +2 3

)

x =14 3) 3x x

3x x 1

8 1

2 6 2 1

2 2 −

   

− − − =

   

   

2) 5.23 x 1− −3.25 3x− + =7 0 4) 27x+12x =2.8x

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

● Nếu ñặt t=log x, xa

(

)

thì

k k

a x

log x t ; log a , 0 x 1.

t

= = < ≠ .

● Nếu đặt t=alog xb thì t=xlog ab . Vì alog cb =clog ab .
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) log2

(

4x 1+ +4 .log

)

2

(

4x + =1

)

3 4) log 3 log xx 3 log x3 log3 x 1
2

+ = + +

2) log4

(

log x2

)

+log2

(

log x4

)

=2 5) log2

(

x 1+ =

)

logx 1+ 16

3)

(

)

x 25

log 125x .log x=1 6)

(

3

)

9x

2 log x log 3 1

1 log x

− − =

−
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) log 6.5

(

x+25.20x

)

= +x log 25 3) 2 8

4 16

log 4x
log x

log 2x =log 8x

2) 2 2

2 x

log x.log (4x ) 12= 4) 2

(

)

log x=log x +2

B - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2.

PHƯƠNG TRÌNH MUÕ

Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một 
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn cịn chứa ẩn x. Khi đó thường ta được 
một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương.

Ví dụ : Giải phương trình: 9x +2 x

(

−2 3

)

x +2x 5− =0.

HD:ðặt t= 3 *x

( )

, khi đó ta có: t2+2 x

(

−2 t

)

+2x 5− =0 ⇒ t= −1, t= −5 2x.
Thay vào (*) ta tìm được x.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 1. Giải phương trình: 9x2+

(

x2−3 3

)

x2 −2x2+ =2 0

Bài 2. Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ − =16 0

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Ví dụ 2: Giải phương trình: log32

(

x 1+ + −

) (

x 5 log

)

(

x 1+ −

)

2x+ =6 0
HD:ðặt t=log3

(

x 1+

)

, ta có:

(

)

t + −x 5 t−2x+ =6 0 ⇒ t=2, t= −3 x. Suy ra
x= 8, x=2.

Bài 1. Giải phương trình: lg2

(

x2+ +1

) (

x2−5 lg x

) (

2+ −1

)

5x2 =0

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) lg x2 −lgxlog2

( )

4x +2log x2 =0
2) lg x4 +lg x3 −2lg x 9lgx 92 − − =0

C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệđơn giản.
Bài 1. Giải phương trình: 4x2+1+21 x− 2 =2(x 1)+ 2 +1

Bài 2. Giải phương trình: x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 3x 7

4 − + +4 + + =4 + + +1

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến đổi phương 
trình thành phương trình tích.

Bài 1. Giải phương trình: log x x 12

(

−

)

2+log xlog2 2

(

x2− − =x

)

2 0

Bài 2. Giải phương trình: log x22 −log x2 +log x3 −log xlog x2 3 =0
Bài 3. Giải phương trình:

(

)

(

)

log x log x

2+ 2 +x 2− 2 = +1 x

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ : Giải phương trình:

x 1 x x 1 1 x

8 2 18

2 − +1+2 +2=2 − +2− +2

HD: Viết phương trình dưới dạng x 18 1 x1 x 1 181 x

2 − +1+2− +2=2 − +2− +2, ñặt

x 1 1 x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét: .u v= +u v. Từđó ta có hệ:

8 1 18
.

u v u v
u v u v



+ =





 = +



Bài 1. Giải phương trình: 22x − 2x+ =6 6

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1. Giải phương trình:

(

)

(

)

2 2

log x− x − +1 3log x+ x − =1 2

Bài 2. Giải phương trình: 32 lgx− = −1 lgx 1−

Bài 3. Giải phương trình: 3 log+ 2

(

x2−4x+ +5

)

2 5 log− 2

(

x2−4x+5

)

=6
E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và
một ẩn x. Ta thực hiện các bước:

+ ðặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Biến đổi phương trình về dạng: f(x; φ(x)) = 0.
+ ðặt y = φ(x) ñưa về hệ: ( )

( ; ) 0

y x
f x y




 .

Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, đó là phương trình
dạng ax b . ( )

s

s + =c log dx e+ +αx+β. Với d =ac+α;e=bc+β.

Cách giải:

- ðiều kiện có nghĩa của phương trình: 0 1

s
dx e

< ≠




+ ≠



- ðặt ay+ =b log dxs( +e) khi đó phương trình đã cho trở thành:

( ) ( ) (1)

( ) (2)

ax b ax b ax b

ay b ay b

s

s c ay b x s acy x bc s acy d ac x e

ay b log dx e s dx e s dx e

α β α β

+ + +

+ +

 = + + +  = + + +  = + − +

⇔ ⇔

  

+ = +  = +  = +



- Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: sax b+ +acx=say b+ +acy (3).
- Xét hàm số ( ) at b

f x =s + +act là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y,
khi đó (2) ⇔sax b+ =dx e+ (4) dùng phương pháp hàm sốđể xác định nghiệm phương trình (4).

Ví dụ: Giải phương trình: 7x 1− =6log7

(

6x 5− +

)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(

)

(

)

x 1 x 1

x 1 y 1

y 1
7

7 6 y 1 1 7 6y 5

7 6x 7 6y

y 1 log 6x 5 7 6x 5

− −

−

 = − +  = −

 

⇔ ⇒ + = +

 

− = −  = −

 



.
Xét hàm số

( )

t 1

f t =7− +6t suy ra x=y, Khi đó 7x 1− −6x+ =5 0.

Xét hàm số g x

( )

=7x 1− −6x 5+ . Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x=1, x=2.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) log x22 + log x 12 + =1 3)

2 2 2

3log x 1+ =4log x 13log x+ −5

2) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 4) 3log x 12 + = −4log x 13log x 522 + 2 −
Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 3) 6x =3log6

(

5x 1− +

)

2x 1+

2) 3 3

2 3

log x+ =2 3 3log x−2 4) 3 3

x + =1 3 2x 1−

Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1) 9x−10.3x + =9 0 16)

(

) (

)

cosx cosx

7 4 3 7 4 3

+ + − =

2) 4x2 −6.2x2 + =8 0 17)

(

) (

)

x x

2+ 3 + 2− 3 =2

3) x2 x2 x2

15.25 −34.15 +15.9 =0 18)

(

) (

)

x x

4− 15 + 4+ 15 =8

4)

(

2+ 3

) (

x+ −2 3

)

x =4 19)

(

7 3 5+

) (

x+ −7 3 5

)

x =14.2x

5) x 1 x 2

5 − +5.0, 2 − =26 20) logx 3x .log x 13 + =0

6) x x x

25 −12.2 −6, 25.0,16 =0 21) 2 8

4 16

log 4x
log x

log 2x =log 8x

7)

1 3

x x

64 −2+ +12=0 22) 1 2 log+ x 2+ 5=log5

(

x+2

)

8) 4x −4 x 1+ =3.2x+ x 23)

(

)

(

)

log log x +log log x − =2 0

9) 9x−8.3x+ =7 0 24)

(

) (

x 1

)

log 3 −1 .log 3 + − =3 6

10) 1.42x 1 21 13.4x 1
2

− + = −

25) log2

(

9 2− x

)

= −3 x
11)

1 1 1

x x x

6.9 −13.6 +6.4 =0 26) log x3 log 3x 5
2

+ =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

14) 2sin x2 +5.2cos x2 =7 29) 7log225( )5x−1−xlog 75 =0
15) cos2x cos x2

4 +4 =3 30) log x log 5

25 = +5 4.x

F - Một số bài tốn (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ
phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.

●Dạng 1. Khác cơ số

Ví dụ: Giải phương trình: log x7 =log ( x3 +2).

ðặt t=log x 7 ⇒ x=7t.

Phương trình trở thành

(

)

t t

t t t

7 1

t log 7 2 3 7 2 1 2.

3 3

   

= + ⇔ = + ⇔ =  +  

 

●Dạng 2. Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4

(

)

(

)

2 2

6 5

log x −2x− =2 2 log x −2x 3− .

ðặt t=x2−2x 3− , ta có log6

( )

t 1+ =log t5 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:

(

log x6

)

2 6

log x+3 =log x.

ðặt t=log x6 , phương trình tương đương

t t t t 3

6 3 2 3 1

2
 

+ = ⇔ +  =

  .

●Dạng 3. logb(x c)

a + =x. (ðiều kiện: b= +a c)

Ví dụ 1. Giải phương trình: 4log7(x 3+ ) =x.

ðặt

(

)

t=log x+3 ⇒ 7 = +x 3
Phương trình trở thành:

t t

t t 4 1

4 7 3 3. 1

7 7

   

= − ⇔   +   =

    .

Ví dụ 2. Giải phương trình: 2log3(x 5+) = +x 4.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA

Sử dụng cơng thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

● Dạng 1: f ( x )

0 a 1, b 0

a b

f (x) log b.

< ≠ >



= ⇔ 



● Dạng 2: af ( x ) =bg( x ) ⇔ log aa f ( x ) =log ba g( x ) ⇔ f (x)=g(x).log b.a

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) xlog x 24 − =23 log x 1( 4 −) 2) xlg x lg x2 3 3 2

1 1

1 x 1 1 x 1

+ + =

−

+ − + +

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1)

4x 1 3x 2

2 1

5 7

+ +

   

   

    2)

lg x 2

x =1000x

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

● Dạng 1: log f (x)a b 0 a 1b
f (x) a

< ≠



= ⇔ 

 .

● Dạng 2: log f (x)a log g(x) a 0 a 1
f (x) g(x) 0

< ≠



= ⇔ 

= >



Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) logx

(

x2+4x− =4

)

3 3) logx

(

x+ =6

)

3
2) log4

{

2log 1 log 1 3log x3 2

(

2

)

}

 

 + +  =

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 3
2x 3
log

2 1

−

 

 

 =

3) 2 3

2 2

log (x 1)− =2log (x + +x 1)

2) 2

(

)

1

(

)

log x − =1 log x 1− 4) x+lg(1 2 )+ x =xlg5 lg6+

Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1) x 1 2x 1

4.9 − =3 2 + 2) 3x 2x

2 =3

3) 2x2−2x.3x =1, 5 4) 5 .3x x2 =1

5)

2x 1
x x 1

5 .2 50

−

+ = 6)

x
x x 2

3 .8 + =6

7)

3x
x x 2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH 
BIẾN CỦA HAØM SỐ

● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất 
(thường là sử dụng cơng cụđạo hàm)

● Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao

cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = g(x))

Tính chất 3 : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số y=f x

( )

lồi hoặc lõm trên khoảng

( )

a; b thì
phương trình f x

( )

=0 có khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng

( )

a; b .

Ví dụ 1: Giải phương trình: x+2.3log x2 =3

HD: x+2.3log x2 = ⇔3 2.3lo g x2 = −3 x, vế trái là hàm ñồng biến, vế phải là hàm

nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x

6 +2 =5 +3 .

HD: Phương trình tương đương 6x −5x = −3x 2x, giả sử phương trình có nghiệm α.
Khi đó: 6α −5α =3α −2α. Xét hàm số f t

( ) ( )

= +t 1α −tα, với t>0. Ta nhận thấy

( ) ( )

f 5 =f 2 nên theo ñịnh lý lagrange tồn tại c∈

( )

2;5 sao cho:

( )

(

)

1 1

f ' c = ⇔0 α c 1+ α− −cα− = ⇔0 α =0, α =1, thử lại ta thấy x=0, x=1 là
nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình: −2x2−x+2x 1− =

(

x 1−

)

HD: Viết lại phương trình dưới dạng 2x 1− + − =x 1 2x2−x+x2−x, xét hàm số

( )

f t = +2 t là hàm ñồng biến trên R (???). Vậy phương trình được viết dưới dạng:

(

)

(

)

f x 1− =f x −x ⇔ − = x 1 x − ⇔ =x x 1.

Ví dụ 4: Giải phương trình: x x

3 +2 =3x+2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Xét hàm số f x

( )

= + −3x 2x 3x−2 ⇒ f '' x

( )

=3 ln 3 2 ln 2x 2 + x 2 >0 ⇒ ðồ thị của
hàm số này lõm, suy ra phương trình khơng có q hai nghiệm. (ðịnh lí Rơn)

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình

2
y

y
2007

y 1
x
2007

x 1

e



= −



−




 = −

 −



có đúng hai nghiệm thỏa mãn

x>0, y>0.

HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x=y khi đó xét hàm số

( )

x
2

f x 2007

x 1

e

= + −

− .

● Nếu x< −1 thì f x

( )

<e−1−2007<0 suy ra hệ phương trình vơ nghiệm.

● Nếu x >1 dùng định lý Rơn và chỉ ra với x0=2 thì f 2

( )

<0 để suy ra điều phải
chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a≥ >b 0. Chứng minh rằng:

b a

a b

1 1

2 2

   

+ ≤ +

   

   

HD: Bất ñẳng thức

a b

1 1

ln 2 ln 2

1 1 2 2

b ln 2 a ln 2

2 2 a b

 +   + 

   

       

⇔  + ≤  + ⇔ ≤

    .

Xét hàm số

( )

x
x

1
ln 2

2
f x

 + 

 

 

= với x>0,

Suy ra f’ x

( )

<0 với mọi x>0 nên hàm số nghịch biến vậy với a≥ >b 0 ta có

( )

f(a)≤f b .

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 3x+4x =5x 7) 4x − =3x 1

2) log 12

(

+ x

)

=log x3 8)

(

log x6

)

2 6

log x+3 =log x

3) xlog 92 =x .32 log x2 −xlog 32 9) 3.25x 2− +

(

3x 10 5−

)

x 2− + − =3 x 0
4) x .32 x+3 12 7xx

(

−

)

= − +x3 8x2−19x 12+

5) 4 x

(

−2

)

log2

(

x 3− +

)

log3

(

x−2

)

=15 x 1

(

)

6) 5x 4x 3x 2x 1x 1x 1x 2x3 5x2 7x 17

2 3 6

+ + + = + + − + − +

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1)

x 2

2 = +1 3 4) 25x−2 3 x 5

(

−

)

x+2x− =7 0

2) 2 3 x− = − +x2 8x 14− 5) 8 x.2− x+23 x− − =x 0

3) log x2 = −3 x 6)

(

)

2 2

l og x+ −x 1 log x= −6 2x

Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1) 4x +9x =25x

2)

(

x+2 log

)

(

x 1+ +

) (

4 x 1 log+

)

(

x 1+ − =

)

16 0
3) 9x+2 x

(

−2 .3

)

x+2x− =5 0

4) x+log x

(

2− − = +x 6

)

4 log x

(

)

5)

(

x+3 log

)

32

(

x+ +2

) (

4 x+2 log

)

3

(

x+ =2

)

DẠNG 7. MỘT VÀI BÀI KHƠNG MẪU MỰC 
Bài 1. Giải phương trình: 4x−2.2x +2 2

(

x −1 sin 2

) (

x+ − + =y 1

)

2 0

HD: phương trình x x

(

) (

)

4 −2.2 +2 2 −1 sin 2 + − + =y 1 2 0

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x x 2 x 2 x

x x 2 x

x x

2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0

2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0

2 1 sin 2 y 1 0
cos 2 y 1 0

⇔ − + − + − + + − + + − =

 

⇔ − + + −  + + − =

 − + + − =



⇔

+ − =



Bài 2. Giải phương trình: sinx 1+sinx

( )

4 −2 cos xy +2 =0.

HD: phương trình sinx 1+sinx

( )

4 −2 cos xy +2 =0

( )

2 y

( )

sinx 2

2 cos xy 2 cos xy  0

 

⇔ −  + − =

Ta có sinx

( )

2 cos xy 0

 −  ≥

  và

( )

( )

y 2

2 1

2 cos xy 0
cos xy 1

 ≥

  

⇒ − ≥

  

≤



Do đó 2sinx−cos xy

( )

2+2y −cos2

( )

xy ≥0
Vậy phương trình

( )

sinx sinx

y 2 y 2

2 cos xy 0 2 cos xy 1

2 cos xy 0 2 cos xy 0 2

 − =  =

 

⇔  ⇔ 

− = − =

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

( )

2
2

y 0

2 1

2 y 0.

cos x.0 1
cos xy 1

 =  =

 

⇔  ⇔  ⇔ =

= 

 



Thay vào (1) ta ñược x=kπ.

Bài 3. Giải phương trình:

(

)

2x 1 3 2x

2
3

2 2

log 4x 4x 4

+ + − =

− + .
HD: Ta có 2

(

)

4x −4x+ =4 2x 1− + ≥3 3 nên

(

)

log 4x −4x+ ≥4 1
Suy ra

(

)

log 4x −4x+4 ≤ (1)

Mặt khác 22x 1+ +23 2x− ≥2 22x 1+.23 2x− =2 22x 1 3 2x+ + − =8 (2) 
Bài 4. Giải phương trình: log3

(

x2+ + −x 1

)

log x3 =2x−x2.

HD: ðiều kiện x>0. Phương trình log3

(

x2+ + −x 1

)

log x3 =2x−x2

(

)

2
3

log x 1 1 x 1

 

⇔  + + = − − +

 

Ta có

● x 1 2 x 1 1 3 log3 x 1 1 1

x x x

 

+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒  + + ≥

 

● − −

(

1 x

)

2+ ≤1 1
Vậy phương trình

(

)

log x 1 1

x x 1

1 x 1 1

  

+ + =

 



 

⇔  ⇔ =

− − + =


Nhận xét: Bài tốn tương đương là giải phương trình 2
2

1
3 x x
x x

x

−

+ + = .

Bài 5. Giải phương trình: log2

(

x 2 4

)

log3 1 8
x 1

 

− + =  + 

−

 .

HD: ðiều kiện x>2.

● x− + ≥2 4 4 ⇒ log2

(

x− + ≥2 4

)

● Với x>2 ta có x 1 1 1 1 1 8 9

x 1 x 1

− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤

− −

log 8 2

x 1

 

⇒  + ≤

−

 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

HD: ðiều kiện − 2≤ ≤x 2.

Phương trình ⇔ 4 x.2

(

− x

)

(

x 1 2 2 x− + − 2

)

=0 *

( )

Ta có

x 2 2

x≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 < 2.2 =4. Do đó

( )

* ⇔ − + x 1 2 2 x− 2 =0.

Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 2

2 2

5x+ 6x − −x x log x=(x −x) log x+ +5 5 6+ −x x .

HD: ðiều kiện x 02 0 x 3

6 x x 0



⇔ < ≤



+ − ≥

 .

Phương trình

(

)

(

)

( )

x log x 5 6 x x 1 x 0 *

⇔ − + − + − =

Do x≤3 ⇒ x log x2 ≤3log 32 <log 322 =5 ⇒ x log x 5

(

2 − <

)

0
Khi đó

( )

* ⇔

(

6+ −x x2 + −1 x

)

=0.

Bài 8. Giải phương trình: 3sin x2 +3cos x2 =2x+2−x+2.

HD: Phương trình 2 2

x -x

2 2

sin x 1 sin x 2 2

3 3− 2 2 2

⇔ + = + +

(

)(

)

2 2

x -x
2sin x

2 2

sin x

sin x sin x x -x 2

2 2

sin x

3 3

4 2 2 2

3 1 3 3

2 2

⇔ − = + −

− −  

⇔ = − 

 

Ta có 2 sin x2

0≤sin x≤1 ⇒ 1 3≤ ≤3. Do đó VT≤ ≤0 VP.

Bài 9. Giải phương trình: 2 log cot x3 =log cos x2 .

HD: ðặt 2 log cot x3 =log cos x2 =t, ta có

2 t

t 2 t

2 t 2 t 2

cos x 4

cos x 2 cos x 4

cot x 3 cot x 3 sin x

3
cos x 0, cot x 0 cos x 0, cot x 0

cos x 0, cot x 0

 =

 =  = 

  

= ⇔ = ⇔ =

  

 > >  > > 

   > >

2 t

t
t
t

cos x 4

cos x 4 1

cos x
4

4 1 t 1 2

cos x 0, cot x 0
cos x 0, cot x 0

cos x 0, cot x 0

 =

 



 

⇔  + = ⇔  = − ⇔ 

  > >  > >



> >




x k2π

⇔ = + .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 10. Giải phương trình: 3x2−2x3 =log2

(

x2+ −1

)

log x.2
HD: ðiều kiện x>0.

ðặt f x

( )

=3x2−2x , g x3

( )

=log2

(

x2+ −1

)

log x2

● Ta có f x

( )

=3x2−2x 3 ⇒ f ' x

( )

=6x 6x ; f ' x− 2

( )

= ⇔ =0 x 0, x=1. Lập bảng
biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên

(

1,+∞

)

. Suy ra trên

(

0,+∞

)

, maxf x

( ) ( )

=f 1 =1 hay f x

( )

≤ ∀ >1, x 0.

● Ta có

( )

(

)

2
2

2 2 2 2

x 1 1

g x log x 1 log x log log x

x x

 +   

= + − =  =  + 

 

  . Với x>0, ta có

(

)

2 2

1 1

x 2 cơsi log x log 2 1.

x x

 

+ ≥ =>  + ≥ =

  Suy ra g x

( )

≥ ∀ >1, x 0.
Vậy phương trình

(

)

2 3

2 2

3x 2x 1

log x 1 log x 1

 − =



⇔ 

+ − =



Bài 11. Giải phương trình: 2x 1− −2x2−x =

(

x 1 .−

)

HD: phương trình ⇔ 2x 1− + − =

(

x 1

)

2x2−x+

(

x2−x

)

ðặt u= −x 1; v=x2−x.Khi đó phương trình có dạng 2u+ =u 2v +v.
Xét hàm số f t

( )

= +2t t, hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ.

Vậy phương trình

( ) ( )

f u f v u v x 1 x x x 1

⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = .

Bài 12. Giải phương trình: 2009x +2011x =2.2010x.

HD: Gọi x là m0 ột nghiệm của phương trình đã cho. Ta được

( )

0 0 0 0 0 0 0

x x x x x x x

2009 +2011 =2.2010 ⇔ 2009 −2010 =2010 −2011 *
Xét hàm số F t

( )

=tx0 − +

(

t 1

)

x0. Khi đó (*)⇔ F 2009

(

) (

=F 2010

)

.

Vì F(t) liên tục trên

[

2009, 2010 và có

]

đạo hàm trong khoảng

(

2009, 2010 , do

)

đó
theo định lí Lagrange tồn tại c∈

(

2009, 2010

)

sao cho

( )

(

) (

)

x0 1

(

)

x0 1 0

x 0

F 2010 F 2009

F' c x . c c 1 0

x 1

2010 2009

−

− =

−   

= ⇔  − + = ⇔  =

− 

Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy đúng. Vậy nghiệm của phương trình là x0 =0, x0=1.

Nhận xét: Bài toán tương tự

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2) 4log x3 +2log x3 =2x. ðặt u
3

u=log x ⇒ x=3 . Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u.

Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng định lí Lagrange: Nếu hàm số y= f x

( )

liên tục trên đoạn

[ ]

a b và có ; ñạo hàm trên khoảng

( )

a b thì t; ồn tại một ñiểm c∈

( )

a b; sao cho

( )

( ) ( )

' f b f a

f c

b a
−
=

− .

Bài 13. Giải phương trình:

2
3 2

x x 1

log x 3x 2

2x 2x 3

+ + = − +

− + .

HD:ðặt u=x2+ +x 1; v=2x2−2x+3 u

(

>0, v>0

)

. Suy ra 2

v u− =x − +3x 2.
Phương trình đã cho trở thành log3u v u log u3 log v3 v u

v= − ⇔ − = −

3 3

log u u log v v

⇔ + = + .

Xét hàm số f t

( )

=log t3 +t. Ta có f (t)' 1 1 0, t 0
t.ln 3

= + > ∀ > nên hàm sốđồng biến
khi t>0. Do đó phương trình ⇔ f u

( ) ( )

=f v suy ra u=v hay v u− =0 tức là

x − + = ⇔ =3x 2 0 x 1, x=2. Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=2.

Lưu ý: Với phương trình dạng loga ,

(

0, 0, 1

)

u

v u u v a

v = − > > > ta thường biến ñổi

logau−logav= − ⇔v u logau+ =u logav+v. Vì hàm số f t

( )

=logat+t đồng biến khi t>0. 
Suy ra u=v.

Bài 14. Giải phương trình: cos x sinx

2 +2 =3.

HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: tα + −

( )

1 t α ≤1 với t>0, α∈

[ ]

0,1
Từ phương trình suy ra: s inx, cos x∈

[ ]

0,1 . Suy ra x k2π; π k2π

 

∈ + 

 

Theo Becnuli: 2cos x+ −

(

1 2 cos x

)

≤1

(

)

sinx

2 + −1 2 sinx≤1
Suy ra 2cos x +2sinx ≤

(

s inx+cos x

)

Suy ra 2cos x +2sinx ≤min

(

s inx+cos x

)

+2=min s inx

(

+cos x

)

+2
Mà: min s inx

(

+cos x

)

=1 với x k2π; π k2π

 

∈ + 

 .

Do đó cos x sinx

2 +2 ≤3. Dấu ''='' xảy ra khi và chi khi sinx 1
cosx 0




 hoặc

sinx 0
cosx 1




</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

x k2π
π

x k2π




⇔ 

= +



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta có thể dùng các phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình và sử dụng 
các cơng thức sau

HÀM SỐ MŨ 
● 0< <a 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x
f x g x

a a f x g x
a a f x g x

> ⇔ <

≥ ⇔ ≤ (nghịch biến)
● a>1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x
f x g x

a a f x g x
a a f x g x

> ⇔ >

≥ ⇔ ≥ (đồng biến)
HÀM SỐ LOGARIT

● log f x có ngha

( )

ĩa

( )

0 a 1
f x 0

< ≠



⇔ 



● log f xa

( )

=b ⇔ f x

( )

=ab

● a

( )

( ) ( )

f x g x
log f x log g x

0 a 1

 =



= ⇔ 

< ≠



● 0< <a 1

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

a a

log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x

> ⇔ < <

≥ ⇔ < ≤ (nghịch biến)
● a>1

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

a a

log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x

> ⇔ < >

≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến)

Tổng quát ta có:

( )

(

) ( ) ( )

a a

a 0

log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >



> ⇔  > >



 

− − >

  



( )

(

) ( ) ( )

a a

a 0

log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >



≥ ⇔  > >



 

− − ≥

  



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2

x x 1
x 2x 1

− −
− ≥ 

 
 

Lời giải:

- ðiều kiện: x≤0 hc x≥2.

- Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với

2 x x 1

x 2x 2

3 − ≥3− − ⇔ x −2x ≥ − −x x 1 (1)

+ Nếu x≤0 thì x 1− = −1 x, khi đó bpt

( )

1 ⇔ x −2x ≥2x 1− (đúng vì x ≤ 0)

+ Nếu x≥2 thì x 1− = −x 1, khi đó bpt

( )

1 ⇔ x2−2x ≥1

2 x 1 2

x 2x 1 0

x 1 2

 ≤ −

⇔ − − ≥

- Kết hợp với điều kiện ta ®−ỵc x≥ +1 2.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: logx

(

5x2−8x+ >3

)

2
Lời giải:

- Bất phơng trình trên tơng đơng với

2 2 2

2 2

0 x 1

0 x 1 0 x 1 1 3

x 1

5x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x

2
3

5x 8x 3 0 3

x x 1

5
5

x 1

x 1
x 1

5x 8x 3 x

1 3

4x 8x 3 0

x x

2 2

   

    < <

 < <  < <  

 

   < <

 − + <  − + <  <

 − + >  

⇔  ⇔  < ∨ > ⇔  < ∨ > ⇔

 >  

  >  >



 − + >  

  − + > 

< ∨ >

  






3
5
3
x

2




 >


Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng logf x( )g x

( )

>a, ta xÐt hai tr−êng hỵp cđa c¬ sè

( )

0< f x <1 và1< f x

( )

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 3(log x3 )2 +xlog x3 ≤6
Lời giải:

- ðiều kiện: x>0

- Ta sử dụng phép biến đổi ( )

( )

2 3

3 3 3

log x

log x log x log x

3 = 3 =x . Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng

víi xlog x3 +xlog x3 ≤ ⇔6 xlog x3 3.

- Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đợc:

(

log x3

)

3 3 3 3

log x ≤log 3 ⇔ log x.log x≤1
log x

(

3

)

2 1 1 log x3 1 1 x 3.

⇔ ≤ ⇔ − ≤

- Vậy phơng trình có nghiệm 1 x 3

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 1 2
3

1 2x

log log 0

1 x
+
 
>
 + 
 

Lời giải:

- BÊt phơng trình trên tơng đơng với

1 2x 1 2x x

log 0 1 0

x 1 x 0

1 x 1 x 1 x

x 0

1 2x 1 2x 1 x 1

log 1 2 0

1 x 1 x 1 x



+ +

 

>  > >

   < − ∨ >

 +  +  +

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >

   

+ + −  > −

 <  <  <

 +  +  +

  

- VËy x>0 lµ nghiƯm cđa bất phơng trình.

BAỉI TAP

Gii cỏc bt phng trình sau:

1)

2
0,7 6

x x

log log 0

x 4
 + 
<
 
+
 

2) log3x x− 2

(

3 x−

)

3) 2

(

)

(

)

(

)

(

)

1 5 5 1 25

5 25

log x 5− +3log x 5− +6 log x 5− −4 log x 50 2− + ≤0

2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:

x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+
− ≤
−
Lời giải:

- ðiều kiện x≠0.

- Chia cả tử và mẫu cho x

2 , ta ñược:

x x 2

x
x x

2. 4

2.3 2 2

1 1

3 2 3

1
2
+
 
−
 
− ≤ ⇔   ≤
− 

- Đặt

(

)

t , 0 t 1
2

 

=  < ≠

  . Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với

2t 4
1 0
t 1−− − ≤

3
2

t 3 3

0 1 t 3 1 3 0 x log 3

t 1 2

−  

⇔ − ≤ ⇔ < ≤ ⇔ <  ≤ ⇔ < ≤

 

- VËy bất phơng trình có nghiệm 3

0< x log 3.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình:

( )

4 2 2

2 1 2 2 1

2 2

x 32

log x log 9 log 4 log x

8 x

   

−  +  <

 

Lời giải:

- ðiều kiện x>0.

- BÊt phơng trình trên tơng đơng với

( )

[

]

[

]

( )

1 1

4 2 2

2 2 2 2 2

4 3 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2

2 2 2 2

x 32

log x log 9 log 4 log x

8 x

log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
log x 3log x 3 9 5 2 log x 4 log x

− −

   

⇔ −  +  <

 
 

   

⇔ − −  +  − <

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

- Đặt t=log2

( )

x , bất phơng trình trên tơng đơng với

4 2 2

2
2

t 13t 36 0 4 t 9

1 1

3 log x 2

3 t 2 x

8 4

2 log x 3

2 t 3

4 x 8

− + < ⇔ < <

  

− < < −

− < < − < <

  

⇔  ⇔  ⇔ 

< <

< < < <

  



- Vậy bất phơng trình có nghiệm 1 1,

( )

4,8

8 4

 

∪

 

  .

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2

5 − − 4.5 <5+

Li gii:

- Đặt x 5 3 2

X=5 − 0, Y> =5 x− >0

.Khi đó bất ph−ơng trình có dạng

4X 5Y

Y − < (1)

- Do Y>0 nªn

( )

2 2 2 2

(

)(

)

x 5 1 3 x 2

1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0

X 5Y 0 X 5Y 5 5
x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2

− + −

⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <

⇔ − < ⇔ < ⇔ <
⇔ − < + <

- Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hệ sau

( )

x 2 0

I 2 x 6

x 6 0

− ≥



⇔ ≤ <



− <



( ) ( ) ( )

2 2

x 6 0 x 6 x 6

II 6 x 18

x 21x 54 0 3 x 18

9 x 2 x 6

− ≥

  ≥  ≥



⇔ ⇔ ⇔ ≤ <

  

− + < < <

− > − 

 



- Vậy bất phơng trình có nghiệm là: 2 <x 18.

BÀI TẬP

Giải các bất phương trình sau:

1)

(

) (

)

x x

5 1 5 1 2

+ + − =

2) 22 1 2

(

4 2

)

log x+log x − >3 5 log x −3

3) 32x −8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0.

3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5

(

3+ x

)

>log x4

Lời giải:

- iu kin x>0.

- Đặt t=log x 4 x=4t, bất phơng trình trở thành

(

)

t
5

log 3 2+ >t

t t

3 2

3 2 5 1

5 5

 

⇔ + > ⇔ +  >

 

- Hµm sè

( )

t
t

3 2

5 5

f = + 

nghịch biến trên và f

( )

1 =1.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

- Vậy bất phơng trình cã nghiƯm lµ: 0< <x 4.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình:

2
3 2

x x 1

log x 3x 2

2x 2x 3

+ + > − +

− +

Lời gii:

- Đặt u=x2+ +x 1; v=2x2−2x+3 u

(

>0, v>0

)

. Suy ra v− =u x2−3x+2.

- Bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với

( )

3 3 3 3 3

log v u log u log v v u log u u log v v 1

v = − ⇔ − = − ⇔ + > +

- XÐt hµm sè

( )

3 '

( )

t log t t, ta co: t 1 0, t 0
t ln 3

f = + f = + > ∀ > nªn hàm số đång biÕn khi

t>0. Tõ (1) ta cã f u

( ) ( )

>f v ⇔ > u v

2 2

x x 1 2x 2x 3
x 3x 2 0

1 x 2.

⇔ + + > − +

⇔ − + <

⇔ < <

- VËy bÊt ph−¬ng trình có nghiệm là: 1< <x 2.

Lu ý:

1. Với bất phơng trình dạng logau<logbv, ta thờng giải nh sau:

Đặt t=logau (hoặc t=logbv) đa về bất phơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của

hàm số.

2. Với bất phơng trình dạng logau v u logau u logav v

v < − ⇔ + < + . Ta xÐt hµm sè

( )

loga

f t = t+t đồng biến khi t>0, suy ra f u

( )

< f v

( )

⇔ <u v.

BÀI TẬP

Giải các bất phương trình sau:

1) log6

(

3 x+x x

)

≥log x64
2) 2.2 3.3x+ x >6x −1.

3) 16x− <3x 4x+9 .x

4. PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐỒ THỊ

Ví dụ . Giải bất phương trình: x
5 x
log

5 x 0

2 3x 1

+
− <

− +

Lời giải:

- BÊt ph−¬ng trình trên tơng đơng với hai hệ

( )

5 x

log 0

I 5 x

2 3x 1 0





−



 − + <


vµ

( )

5 x

log 0

II 5 x
2 3x 1 0





−



 − + >


- Gi¶i hƯ (I)

+ log5 x 0 5 x 1 2x 0 0 x 5

5 x 5 x 5 x

+ > ⇔ + > ⇔ > ⇔ < <

− − −

+ 2x <3x 1− , ta vẽ đồ thị của hai hàm số y=2x và y=3x 1− trên cùng một hệ trục toạ độ.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

- Gi¶i hƯ (II)
+

5 x 5

5 x 5 x

log 0 0 1 2x 5 x 0

x 0 x 5

5 x 5 x 0

5 x

− < <



− < <



+ + 

< ⇔ < < ⇔  ⇔  ⇔ − < <

< ∨ >

− −  − <  .

+ x

2 >3x 1− ⇔ < x 1 hoặc x>3.
- Do đó hệ (II) có nghiệm − < <5 x 0.

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm ( 5, 0)− ∪(1, 3).

BÀI TẬP

Giải bất phương trình sau:

1 x
x

2 2x 1

0
2 1

− −

+ ≤

− .

5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2

(

)

log x 2 4 log 8

x 1

 

− + ≤  + 

−

 

Lời giải:

- §iỊu kiƯn x≥2.

- Ta cã nhËn xÐt sau:

+ x− + ≥ ⇔2 4 4 log2

(

x− + ≥ ⇔2 4

)

2 VT≥2.

+ x 2 x 1 1 x 1 1 1 1

x 1

≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤

−

1 1

8 9 log 8 2 VP 2

1 1

x x

 

⇔ + ≤ ⇔  + ≤ ⇔ ≤

− 

- Vậy bất phơng trình có nghiệm khi vµ chØ khi VT 2 x 2 0 x 2

VP 2 x 2

 =  − =

 

⇔ ⇔ =

 

=  =

 

 .

- Vậy bất phơng trình có nghiƯm duy nhÊt x = 2.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: logxlog9

(

3x−9

)

<1
Lời giải:

- §Ĩ log9

(

3x−9

)

cã nghÜa, ta cÇn cã

x x 2

3 > 9 ⇔ 3 >3 ⇔ > x 2.

- Với điều kiện trên bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với

(

)

(

)

9 x x

x 2

3x 9 1
log 3x 9 0

3 9 9

log 3x 9 x
>

<

- Đặt 3x =t, t

(

)

, ta cã hÖ 2 x 3

t 10

t 0 3 10 x log 10
t t 9 0



⇔ > ⇔ > ⇔ >



− + >

 .

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 5x+ 6x2− −x3 x log x4 2 >

(

x2−x log x

)

2 + +5 5 6+ −x x2

Lời giải:

- ðiều kiện: x 02 0 x 3

6 x x 0



⇔ < ≤



+ − ≥



- Bất ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với

(

)

(

)

( )

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

( )

2 2

0 x 3 0 x 3 5

* x 3

2x 3x 5 0 2

6 x x 1 x 0

< ≤

  < ≤



⇔  ⇔  ⇔ < ≤

− − >

+ − + − < 



- VËy nghiƯm 5 x 3.

2< ≤

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 4x 8 2 x+ − 2 > +4

(

x2−x .2

)

x +x.2x 1+ 2 x− 2

Lời giải:

- ðiều kiện: − 2≤ ≤x 2 (1)

- Bất phơng trình tơng đơng với

(

4 x.2 x

)

(

x 1 2 2 x− + − 2

)

>0 (2)

- Tõ (1) ta cã

x 2 2

x≤ 2⇒x.2 ≤ 2.2 < 2.2 =4.. Do đó (2) t−ơng đ−ơng với

2 x 2

2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0

 − ≤ ≤



⇔ − > −



− + − >

 (3)

- (3) tơng đơng với hai hệ sau

+

( )

2 x 0

I : 1 x 2

1 x 0
 − ≥

⇔ < ≤



− <



+

( )

(

2

)

(

)

2 2

x 1

1 x 0 x 1

II : 7 1 x 1

5x 2x 7 0

4 2 x 1 x 1 x

≤



− ≥

  ≤

 

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

  

− − <

− > −  − < <

 

 

- VËy tập nghiệm của bất phơng trình là x 1; 2 .

Ví dụ 5. Giải bất phương trình:

(

)

(

)

2 2

1 1

log x 1+ >log 3 2x−

Lời giải:

- ðiều kiện:

1 x 0 3

0 x 1 1 1 x

2
3

0 3 2x 1 1 x

x 0;1

 − < ≠ 

< + ≠ − < <

  

⇔ ⇔

  

< − ≠ ≠ <

   ≠



● log2

(

x + 1

)

> ⇔ + > ⇔ >0 x 1 1 x 0.

● log2

(

3 2x−

)

> ⇔ −0 3 2x> ⇔ <1 x 1.

- Ta cã b¶ng xÐt dÊu

- Từ đó ta có các tr−ờng hợp sau

+ TH1: Víi − < <1 x 0 th× VT<0, VP>0 suy ra bất phơng trình vô nghiệm

+ TH2: Với 0< <x 1 thì VT>0, VP>0. Khi đó bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với

(

)

(

)

2 2

log x 1+ <log 3 2x − ⇔ − 3 2x> + ⇔x 1 0< <x 1.
log2(3-2x)

-1 0 1

- + +

+ + -

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

+ TH3: Víi 1 x 3
2

< < thì VT>0, VP<0, bất phơng trình có nghiệm víi mäi 1 x 3
2

< < .

- VËy tËp nghiệm của bất phơng trình là 0 x 3 \ 1

{ }

 

< <

 

  .

Lưu ý: Với bất phơng trình dạng 1 1

logau logbv

> , ta th−êng gi¶i nh− sau:

+ Lập bảng xét dấu của logau và logbv trong tập xác định của bất ph−ơng trình.

+ Trong tập xác định đó nếu logau và logbv cùng dấu thì bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng

víi logau<logbv.

Ví dụ 6. Trong c¸c nghiƯm

(

x; y

)

cđa bÊt ph−¬ng tr×nh logx2+2 y2

(

2x+y

)

≥1, chØ ra c¸c

nghiƯm cã tỉng

(

2x + y

)

lín nhÊt.

Li gii:

- Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hÖ sau

( )

2 2

0 x 2y 1

I : 2x y x 2y
2x y 0
 < + <


+ ≤ +



 + >


vµ

( )

2 2

x 2y 1

II :

2x y x 2y

 + >


+ ≥ +



- Râ rµng nÕu

(

x; y

)

là nghiệm của bất phơng trình thì tỉng

(

2x + y

)

lín nhÊt chØ x¶y ra khi

nã lµ nghiƯm cđa hƯ

( )

(

)

2 2

2
2

x 2y 1

II 1 9

x 1 2y

8
2 2

 + >



⇔   

− + − ≤

  

 



- Ta cã 2x y 2 x 1

(

)

1 2y 1 9

2 2 2

 

+ = − +  − +

  .

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số x 1; 2y 1

2 2

 

− −

 

  vµ

1
2;

 



, ta đợc

(

)

1 1 2

(

)

2 1 2 1 9 9 81

2 x 1 2y x 1 2y 4 .

2 8 2 16

2 2 2 2 2

 

      

− + − ≤ − + −  + ≤ =

      

 

     

   

(

)

9 1 1 9 9

2 x 1 2y 0 2x y

4 2 2 2 4 2

 

⇔ − ≤ − +  − ≤ ⇔ < + ≤

 

- Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi

9
2x y

x 2

9 1

2x y 2y 1

x 1

2 2 2 y

2
1

2


+ =



 

 

+ = ⇔  − ⇔ 

− =

 = 




- Víi x 2, y 1

= = thoă mÃn bất phơng trình 2 2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

- VËy trong c¸c nghiệm của bất phơng trình thì nghiệm 2; 1
2

 

 

  lµ nghiƯm cã tỉng

(

2x + y

)

lín nhÊt b»ng 9.

BÀI TẬP

Giải bất phương trình sau:

1) logx

(

log3

(

9x −72

)

≤1

2)

(

)

(

)

3
a

log 35 x
3
log 5 x

−
>

− với 0< ≠a 1. 
3)

(

)

1
1

1 1

log x 1
log 2x −3x 1+ > +

4) Trong c¸c nghiƯm

(

x; y

)

của bất phơng trình logx2+y2

(

x+y

)

1. Tìm nghiệm có tỉng

(

x + 2y

)

lín nhÊt.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Giải các bất phương trình sau:

1)

(

) (

)

x 1 x 3

x 3 x 1

10 3 10 3

+ −

− < + (Học viện GTVT năm 1998)

2)

(

)

1
1

3
3

1 1

log x 1
log 2x −3x 1+ > +

(ðH Quốc gia TPHCM 1999)

3) 1+ log4

(

2x2+3x+2

)

>log2

(

2x2+3x+2

)

(ðH Thuỷ lợi 1999) 
4) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 3 (ðH NT 1998) 
5) log3 2x 3 1

1 x

−

 

 − 

  (ðH SP Vinh 1998)

6) logx x 1 2
4

 

− ≥

 

  (ðH Huế 1998)

7) 3

x 2
log x

5 1

−

< (ðH ngân hàng TPHCM 1998)

8) 2

(

)

3 1 1

3 3

log x 5x 6 log x 2 log x 3
2

− + + − > − (ðH Bách khoa Hà Nội)

9)

(

)

(

)

2
2

log x 9x 8
2
log 3 x

− +

− (ðH Tổng hợp TPHCM 1964)

10) log x x 1 2

 

− ≥

 

  (ðH Huế 1998)

11)

(

x x

)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

12)

(

)

(

)

log a 35 x
3
log a 5 x

−
>

− (ðH Y DƯỢC TPHCM)

13) 1 x x 1 x

8 2+ + −4 +2+ >5

14) 15.2x 1+ + ≥1 2x − +1 2x 1+ 
15)

2 1

x x

1 1

3. 12

3 3

   

+ >

   

   

16) x x x

2.14 +3.49 −4 ≥0

17)

(

) (

)

x 1
x 1

x 1

5 2 5 2

−
−

+ ≥ −

18) 2 5

(

x+24

)

− 5x− ≥7 5x+7

19)

(

) (

)

x 3 x 1

x 1 x 3

10 3 10 3

− +

+ < −

20)

(

2+ 3

) (

x+ +7 4 3

)(

2− 3

) (

x >4. 2+ 3

)

21)

(

) (

)

2x 1 2x 1

2. 3+ 11 − + 2 3− 11 − ≤4 3

22) 3 5x+ −2x2 +3x > 3x.5 . 3 5x−x + −2x2 +9 .5x2 −x

23) −3x2−5x+ +2 2x > 3 .2x.x −3x2−5x+ +2 4x .32 x

24) 2 3
3

log log x− <3 1

25) logx

(

log9

(

3x−9

)

≤1

26)

(

)

(

x 2

)

5 5 5

log 4 +144 −4 log 2 1 log< + 2 − +1

27)

(

)

2 3 2

log 3 + +2 2.log + 2 3− >0 
28) log 64 log 162x + x2 ≥3

29) 2

(

)

2
2

2
x 3

1 1 1

log x 6 2 log

2 + − < +12 64

30)

(

)

(

)

3
3

1 1

log x 1
log 2x 3x 1

− + 
31) log(− −3x 5)4 log− (− −6x 2)16≥0

32)

(

)

lg x 3x 2
2
lg x lg 2

− +

>
+

33)

(

)

(

)

2 3

log x 1 log x 1
0
x 3x 4

+ − +

− −

34)

(

2 x2 7x 12

)

2 1

(

14x 2x2 24 . log

)

x 2

x x

   

+ − +  −  ≤ − − +  

   

35)

(

)

(

)

2
2

log x 9x 8
2
log 3 x

− +

<
−

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

37) 2x2+1+cos x.log2

(

x+ ≥6

)

2 cos x+2 .logx2 2

(

x+6

)

38)

1 1

x x

6 6

log 3.4 2.9 log 5

− −

 

+ + =

 

 

39) 22 1 2

(

4 2

)

log x+log x − >3 5 log x −3 
40)

2 2

1 1

4 x

log 3 log 1

x 2

− −

41) log2

(

x2+ −3 x2− +1

)

2 log x2 ≤0

42) 25

(

)

5 1

(

)

2 log x 1 log .log x 1

2x 1 1

 

− ≥  −

− −

 

43)

(

)

(

)

4 2

log 2x +3x+ + >2 1 log 2x +3x+2

44)

( )

2
log2x 1
3 1

2 3
x

log log 2 3
2

1
3

−

   

  + +

   

 

 

≥

 
 

45)

(

)

(

)

2 3

log x −5x+ + +5 1 log x −5x+ ≤7 2

46) x2

4x 2 1
log

x 2 2

 − 

≥

 

 − 

 

47)

(

)

(

x 2

)

5 5 5

log 4 +144 −4 log 2 1 log< + 2 − +1

48)

(

)

x 3

log 5x −18x 16+ >2

49) log4

(

2x2+3x+2

)

+ >1 log2

(

2x2+3x+2

)

50) 8 2+ 1+ −3 x−4 3 x− +21+ −3 x >5.

51) 2 2

2 2

x x 1 x x 1

x 1 2x 1

log log

2x 1 x 1

− − + −

 +   + 

   

+  + 

 

52) log 12

(

+ x

)

>log x3

53) 3 x+ 2

(

2x 1− +22 x−

)

>3x2+22 x− +2x 1−

54) x 1

(

)

1 x 2

(

)

2 + + 5x +11 2− −x <24 x 1− − x −9 2−

55) 2x x x 4 x 4

3 −8.3 + + −9.9 + ≥0

56) log2

(

log x3

)

≤log5

(

log x7

)

57) log9

(

3x2+4x+ + >2

)

1 log 3x3

(

2+4x+2

)

58)

1 2 1

2 2 2

log x log x
log x

3 x+ 2 >6x .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

1. PHƯƠNG PHP BIN I TNG NG

- Đặt điều kiƯn cho c¸c biĨu thøc trong hƯ cã nghÜa

- Sử dụng các phép thế để nhận đ−ợc từ hệ một ph−ơng trình theo ẩn x hoặc y (đơi khi l theo

cả hai ẩn x và y)

Vớ d 1. Giải hệ phương trình: 14

(

)

4
2 2

1
log y x log 1

x y 25



− − =




 + =



Lời giải:

- ðiều kiện: y 0
y x






- Với điều kiện trên hệ tơng đơng với log4

(

y2 x

)

2 log y4 1

x y 25

− − + =



+ =



(

)

(

)

4 4

2 2 2 2

4x x 3

y
3

log y log y x .4 y y x .4 x 3

x y 25 x y 25 4x 4x

x 25 y

3 3



 =  =



 

 = −  = − = −

  

⇔  ⇔  ⇔  ⇔ 

+ = + =  

   

 + = =

 

   

 

+ Víi x=3 suy ra y=4 (tmđk)

+ Víi x= −3 suy ra y= −4 (kh«ng tmđk)

- VËy hƯ cã nghiƯm

(

x; y

) ( )

= 3; 4 .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:

x y
x y

2 .3 12
3 .2 18

=

Li gii:

- Lôgarit cơ số 2 cả hai vế của hai phơng tr×nh trong hƯ ta được 2 2

2 2

x y.log 3 2 log 3
x.log 3 y 1 2.log 3

+ = +

đây là hệ phơng trình bậc nhất hai Èn

- Ta cã 2 2

2
2

1 log 3

D 1 log 3 0

log 3 1

= = − ≠

2 2 2

x 2

2 log 3 log 3

D 2 2 log 3

1 2 log 3 1

= = −

2 2

y 2

2 2

1 2 log 3

D 1 log 3

log 3 1 2 log 3

= = −

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

- Suy ra hÖ cã nghiÖm

x 2

D
D

y 1



= =




 = =



Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

(

)

3 2

2 2 2

2 log y log x 1
log y log x 1 .log 3

= +



 = −



Lời giải:

- ðiều kiện: x>0, y>0.

- Hệ phơng trình trên tơng đơng với

3 2

2
2

2 log y log x 1
log y

log x 1
log 3

= +




 = −




3 2 2

3 2 3

2 log y log x 1 log x 3 x 9

log y log x 1 log y 2 y 8

= +  = =

 

⇔  ⇔  ⇔ 

= − =  =

 

- Vậy hệ phơng trình có nghiệm

(

x; y

) ( )

= 9; 8 .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:

2 4 4

3 9 9

4 16 16

log x log y log z 2

log y log x log z 2
log z log x log y 2

+ + =




+ + =



 + + =



Lời giải:

- ðiều kiện: x>0, y>0, z>0.

- Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương

( )

2 2 4

4 4 4

2 2 2 4

9 9 9 9

2 2 2 4

16 16 16

log x yz 2 x yz 2

log x log y log z 2

log y log x log z 2 log xy z 2 xy z 3

log z log x log y 2 log xyz 2 xyz 4

 =  =

 + + =

 

  

+ + = ⇔ = ⇔ =

  

  

+ + = = =

  

- Từ đó suy ra

( )

4 4 4 4 4

xyz =2 .3 .4 =24 vì xyz>0 nên xyz=24. Từ đó suy ra

2 27 32

x ; y ; z .

3 8 3

= = =

Ví dụ 5. Tìm k để hệ bất phương trình có nghiệm:

(

)

3
2

2 2

x 1 3x k 0 (1)

1 1

log x log x 1 1 (2)

2 3

 − − − <




+ − ≤




Lời giải:

- Từ bất phơng trình (2) trong hệ suy ra

(

x 1−

)

3 > ⇔ >0 x 1.

( )

2 ⇔ log x2 +log2

(

x 1− ≤ ⇔

)

1 log2x x( − ≤ ⇔1) 1 x x 1

(

− ≤ ⇔ < ≤

)

2 1 x 2

- Víi 1< ≤x 2 th×

( )

1 ⇔ x 1

(

−

)

3−3x<k.
- XÐt hµm sè f

( ) (

x = x 1−

)

3−3x víi 1< ≤x 2.

( )

' x 3x 6x, ' x 0 x 0 x 2

f = − f = ⇔ = =

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Từ bảng biến thiên ta suy ra k≥ −5.

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

1)

( )

2 3

9 3

x 1 2 y 1

3log 9x log y 3

 − + − =




− =

 2)

(

)

(

)

x y
y x

2 3

4 32

log x y 1 log x y

+

 =

 − = − +

3)

( )

2 3

9 3

x 1 2 y 1

3log 9x log y 3

 − + − =




− =

 4)

( )

(

)

(

)

x 2 y
x y

2 2

1
3

log x y log x y 4

−
−
  
=
  

 

 − + − =


5)

(

)

3 4 x
x 1 1 3

x
y log x 1

 −
+ − =


 + =

 6) 
3x 2
x x 1

2 5y 4y

4 2
y
2 2
+
 = −

 +
=

+

 
7) 
8 8

log y log x

4 4

x y 4

log x log y 1

 + =



− =

 8)

y x x 1
x 2y 10

 − = +


+ =
 
9) 
4 2

x 4 y 3 0

log x log y 0

 − + =




− =

 10)

(

2 2

)

4 2

log x y 5

2 log x log y 4

 + =


+ =
 
11)
x y

2 .4 64

x y 3

 =




+ =

 12)

(

)

x y

3 .2 1152

log x y 2

−
 =


+ =

13)

x y 12
x y 12

x y
y x
+
+
 =


=


2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

- Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ cã nghÜa

- Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải.

- Ta thường ñặt các biến:

(x )
( y)
u a
v b
f
g
 =


=

 . ðể ñưa hệ với các biến x, y thành hệ với các biến u, v
thường gặp (ðối xứng loại 1, loại 2, đẳng cấp..)

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

(

)

(

)

2 2

5 3

9x 4y 5

log 3x 2y log 3x 2y 1

 − =




+ − − =



Lời giải:

-3
x

-∞ 0 1 2 +∞

y’ + 0 - - 0 +
y

-5
-∞

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

- ðiều kiện: 3x 2y
3x 2y
>

>

- Hệ trên tơng đơng với

(

)(

)

( )

(

)

(

)

( )

5 3

3x 2y 3x 2y 5 1
log 3x 2y log 3. 3x 2y 2

 + − =


 
+ =

.
- Đặt t=log5

(

3x+2y

)

=log33. 3x

(

)

, suy ra

t
t 1

3x 2y 5
3x 2y 3−

 + =



− =



- Thay vào phơng trình (1) trong hệ ta đợc 5 .3t t 1− = ⇔5 15

( )

t =15 ⇔ = t 1.

- Do đó ta có hệ 3x 2y 5 x 1

3x 2y 1 y 1

+ = =

 

⇔

 

− = =

  (tmủk)

Lu ý: Với hệ phơng trình dạng

( )

[

]

[

]

2 2

a a

x x k

log (x) (x) log (x) (x)

f g

f g f g

 − =




+ =

, thông thờng ta giải

theo hớng: Đặt t=logaf

( ) ( )

x +g x =logaf

( ) ( )

x −g x , suy ra f

( ) ( )

x +g x =at vµ

( ) ( )

x x a .

f g = Thay vào phơng trình đầu trong hệ ta tìm đợc t.
Vớ d 2. Giải hệ phương trình:

( )

log x log y
log 7 log 5

5 7
7x 5y
 =


=


Lời giải:

- ðiều kiện: x>0, y>0

- Lấy logarit theo cơ số 10 cả hai vế ta ®−ỵc

(

l og 7 log x log 7log x.log 5

)

log y.log 7

(

log 5 log y log 5

)




+ = +



- Đặt u=logx, v=logy. Khi đó hệ có dạng u.log 5 v.log 72 0 2

u.log 7 v.log 5 log 5 log 7

− =




− = −


- Ta có D log 5 log 7 log 7 log 52 2

log 7 log 5

−

= = −

−

(

2 2

)

u 2 2

0 log 7

D log 5 log 7 .log 7

log 5 log 7 log 5

−

= = −

− −

(

2 2

)

v 2 2

log 5 0

D log 5 log 7 .log 5

log 7 log 5 log 7

= = −

−

- DƠ thÊy D≠0 nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

u log 7

D
D

v log 5

D

= = −


 = = −


, suy ra

1
x
7
1
y
5

=


 =

.

- VËy hƯ cã mét nghiƯm

1
x

7
1
y
5

=


 =


Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

( )

3 log 2

log xy
2 2

4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)

 = +




+ − − =



Lời giải:

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

- NhËn xÐt alog cb =clog ab , ph−¬ng trình (1) tơng đơng với

( )

3 3
log xy log xy
2

2 = +2 2
- Đặt t=2log xy3 t

(

>0

)

ta cã t2 2 t t2 t 2 0 t 1 loai

( )

t 2
 = −

= + ⇔ − − = ⇔ 



- Víi t=2 th× log xy3 =1hay xy=3.

- Biến đổi phương trỡnh(2) thành

(

)

(

)

(

)

(

)

2 x y 6

x y 3 x y 18 0

x y 3

 + =

+ − + − = ⇔ 

+ = −



- Nh− vËy, ta cã hai hÖ x y 6

x.y 3

+ =




 vµ

x y 3

x.y 3
+ = −


=



- VËy hÖ cã hai nghiÖm

(

3− 6; 3+ 6

)

vµ

(

3+ 6; 3− 6

)

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

1) 2 2 4

2 4

5log x 3log y 8
10 log x log y 9

− =




− = −

 2)

( )

27 27 27

3
3

log xy 3log x.log y
3log x

x
log

y 4 log y

 =


=



3) 2 2 2

3 3 3

x log 3 log y y log x
x log 12 log x y log y

+ = +




+ = +

 4)

8 8

log y log x

4 4

x y 4

log x log y 1

 + =

− =

5) 
x y

2 2 8

x y 4

 + =

+ =
 6) 
2 3

2 3

log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1

 + − =


− − = −
 
7)

y 1 x

x y

3 2 5

4 6.3 2 0

 − =




− + =

 8)

x y

log y log x 2
x 3x y 20 log x

+ =


− − = +
 
9) 
2 2
2
2x 2 2x y y
2 y 2 2x y

4 2 4 1

2 3.2 16

− +
+ +
 − + =



− =
 10)

2cot x siny
sin y 2cot x

9 3

9 81 2

+
 =


− =


11) logy xy log yx

2x 2y 3

 =




+ =

 12) 2

x 2 lg y 3
x 3lg y 1

 + =




− =



3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

x y
3

2 2

x y (1)
x

log log 4y 10 (2)
2
e e
 − = −


+ =




Lời giải:

- ðiều kin: x, y>0

- Phơng trình

( )

x y

( )

1 ⇔ e − = −x e y 3

- XÐt hµm sè

( )

t e t

f = − liên tục với mọi t>0. Mặt khác f ' t

( )

= − >et 1 0 víi mäi t>0,

do đó hàm số f

( )

t đồng bin khi t>0.

- Phơng trình (3) viết dới d¹ng f

( )

x = f

( )

y ⇔ = x y.

- Thế x=y vào phơng trình (2) đợc log2 x log 24x3 10

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

(

)

2 2 2

log x 1 2 2 3log x 10 log x 1

⇔ − + + = ⇔ =

- VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

(

x; y

) (

= 2; 2 .

)

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: ln 1 x

(

2

)

ln 1 y

(

2

)

x y (1)
2x 5xy y 0 (2)

 + − + = −



− + =



Lời giải:

- ðiều kiện: x> −1, y> −1

- Phương trình (1) của hệ đợc viết lại dới dạng: ln 1 x

(

+ − =

)

x ln 1 y

(

+ −

)

y 3

( )

- XÐt hµm sè f

( )

t = ln 1 t

( )

+ −t, víi t∈ − +∞( 1; ). Ta cã ' t

( )

1 1 t

1 t 1 t

f = − = −

+ + . Ta thÊy

( )

' t 0 t 0.

f = ⇔ = Hàm số f

( )

t đồng biến trong

(

−1; 0

)

và nghịch biến trong

(

0;+∞

)

.
- Ta có

( )

3 ⇔ f

( )

x = f

( )

y . Lúc đó x=y hoc xy<0.

+ Nếu xy<0. thì vế trái của (2) luôn dơng. Phơng trình không thoả mÃn.

+ Nếu x=y, thay vào phng trỡnh (2), ta đợc nghiệm của hệ là x= =y 0.

Lu ý: Khi gặp hệ phơng trình d¹ng

( )

x y

x,y 0

f f

g

 =

. Ta có thể tìm lời giải theo một trong hai

h−íng sau

Hướng 1: Phương trình

( )

1 ⇔ f

( ) ( )

x − f y =0 và tìm cách đa về phng trỡnh tích.

Hng 2: Xét hàm số y= f

( )

t . ta th−ờng gặp tr−ờng hợp hàm số liên tục trong tập xác định

cña nã.

+ Nếu hàm số y= f

( )

t đơn điệu, thì từ (1), suy ra x=y.

+ Nếu hàm số y= f

( )

t có một cực trị tại t=a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi

qua a. Tõ (1) suy ra x=y hc x, y n»m vỊ hai phÝa cđa a.

Ví dụ 3. Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hƯ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiƯm duy nhÊt

(

)

(

)

x y

ln 1 x ln 1 y (1)
y x a (2)

e e

 − = + − +



− =



Lời giải:

- ðiều kiện: x> −1, y> −1

- Rót y từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta đợc phơng trình

( )

x a x

(

)

(

)

x ln 1 x ln 1 a x 0

f =e + − +e + − + + =

( )

(

)

(

)

' x . 1 0

1 x 1 a x

f =e e − + >

+ + + , khi a>0 vµ x> −1.

- Vậy f

( )

x là hàm số liên tục, đồng biến trong

(

− + ∞1;

)

. Mặt khác

( )

xlim→−1f x = −∞;

( )

xlim→+∞ f x = +∞ nªn phơng trình f

( )

x =0 có mét nghiÖm trong

(

− + ∞1;

)

. VËy hƯ

ph−ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a>0.

Lưu ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến đã kết luận ph−ơng trình f

( )

x =0

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:

( )

2 3

log x 3 log 3y
log y 3 log 3x

 + =




+ =



Lời giải:

- iu kin: x; y>0

- Hệ trên tơng đơng víi

( )

( ) ( )

( )

2 2 3 3

2 3

log x 3 log y 3 log 3y log 3x 1
log x 3 log 3y 2

+ + =

+ =

- Phơng trình (1) tơng đơng với log2 x+ +3 log 3x3

( )

=log2 y 3+ +log 3y 33

( ) ( )

- XÐt hµm sè f

( )

t =log2 t+ +3 log 3t3

( )

liªn tơc với mọi t>0.

Mặt khác ' t

( ) ( )

1 1 0, t 0

2 t 3 t.ln 3

f = + > ∀ >

+ do đó f

( )

t đồng biến với mọi t>0.

Ph−ơng trình (3) viết d−ới dạng f

( )

x = f

( )

y ⇔ = x y. Khi đó hệ t−ơng đ−ơng với

( )

2 3

x y

log x 3 log 3x 4

+ =

- Giải (4): Đặt u=log2 x+ =3 log 3x3

( )

Suy ra

u u 1

u 1 u u

x 3 4 x 3

x 3 2

x 3 3 9 3.4

3x 3

−
−

 + =  + =  =

 

⇔ ⇔



= + =

Phơng trình

u u

u u 3 1

3 9 3.4 9. 3

4 4

   

+ = ⇔   +   =

    .

NhËn thÊy hµm sè

( )

u u

3 1

u 9.

4 4

f =   +   

    lµ hàm liên tục, nghịch biến víi mäi u∈ℝ vµ

( )

1 3.

f = Víi u>1 th× f

( )

u <3. Víi u<1 thì f

( )

u >3.

- Vậy phơng trình cã nghiƯm duy nhÊt u=1, suy ra x=1vµ y=1

- VËy hÖ cã mét nghiÖm

(

x; y

) ( )

= 1; 1 .

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:

(

)

(

)

(

)

3
2

x 2x 6.log 6 y x
y 2y 6.log 6 z y
z 2z 6.log 6 x z

 − + − =




− + − =




− + − =



Lời giải:

- ðiều kiện: x, y, z<6

- Hệ phơng trình trên tơng đơng với

(

)

(

)

(

)

3 2

log 6 y (1)

x 2x 6
y

log 6 z (2)

y 2y 6
z

log 6 x (3)

z 2z 6


− =



 − +



− =



− +




 − =

 − +

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

- NhËn xÐt

( )

x
x

x 2x 6

f =

− + là hàm đồng biến (vì

( )

(

)

6 x

' x 0

x 2x 6 x 2x 6

f = − >

− + − +

với x<6) còn g

( )

x =log3

(

6 x

)

là hàm nghịch biến với x<6.

- Nếu

(

x, y, z

)

là một nghiệm của hệ phơng trình ta chứng minh x= =y z. Không mất tổng

quát giả sử x=max x, y, z

(

)

thì có hai trờng hợp:

+ x y z (1) suy ra f

( )

x ≥ f

( )

y ≥ f

( )

z nªn log3

(

6− ≥y

)

log3

(

6 z

)

log3

(

6 x .

)

Mặt khác g

( )

x là hàm giảm nên x z y. (2). Từ (1) vµ (2) ta cã x= =y z.

+ x≥ ≥z y. Tơng tự ta lại có x= =y z.

- Ph−ơng trình f

( ) ( )

x =g x có nghiệm duy nhất x=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

(

x, y, z

) (

= 3, 3, 3 .

)

Lưu ý: Nếu hệ ph−ơng trình ba ẩn x, y, z khơng thay đổi khi hốn vị vũng quanh i vi x, y, z

thì không mất tính tổng quát có thể giả thiết x=max

(

x y z, ,

)

Ví dụ 5. Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình ẩn

( )

x, y sau

( )

3 3

3 2

x y 29 1

log x.log y 1 2

 + =






Lời giải:

- DÔ thÊy, nÕu

( )

x, y là nghiệm của hệ trên thì x>1, y 1 * .>

( )

- Đặt log x3 =t, t>0 do * .

(

( )

)

Khi đó, x=3t và từ ph−ơng trình (2) cú
1
t

y=2 . Vì thế, từ

phơng trình (1) ta có phơng trình ẩn t sau:

1
t t

9 + =8 29 (3).

- DƠ thÊy sè nghiƯm cđa hƯ b»ng sè nghiƯm d−¬ng của phơng trình (3).

- Xét hàm sè

( )

1
t t

t 9 8 29

f = + − trªn

(

0;+∞

)

. Ta cã

( )

1
t
t

8 .ln 8
' t 9 .ln 9

f = − . Trên

(

0;+

)

hm s
1
t

y=8 .ln 8 và y 12
t

= là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dơng. Vì thế, trên

khong ú,

1
t

8 .ln 8
y

= là hàm đồng biến trên

(

0;+∞

)

. Suy ra f ' t

( )

là hàm đồng biến trên

(

0;+∞

)

. H¬n n÷a, do ' 1 . ' 1

( )

18 ln 9 ln 2

(

256

)

(

ln 27 ln16

)

f   f = <

nên tồn tại t0∈

( )

0;1

sao cho f ' t

( )

0 =0. Do đó, ta có bảng biến thiên sau của hàm f

( )

t trên khoảng

(

0;+∞

)

- Từ đó, với l−u ý rằng f

( )

1 = − ≤12 0, suy ra phương trỡnh (3) có đúng 2 nghiệm d−ơng. Vì

vËy, hƯ cã tÊt c¶ 2 nghiƯm.

f(1)

t 0 t0 1 +∞

f’(t) - 0 +

f(t)

+∞

f(t0)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

BAØI TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

1)

(

)

2 x y 1 2x y 2 x y 1
2 2

1 4 .5 1 2

x y 2

− − + − +
 + = +


+ =
 2)

(

)

(

)

2 3
2 3

log sin x 3 log 3cos y
log cos y 3 log 3sin x

 + =




+ =



3)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 3

2 2

2 3

log 1 3 1 x log 1 y 2

log 1 3 1 y log 1 x 2

 + − = − +


 + − = − +

4)
x
y

2 2x 3 y
2 2y 3 x

 + = +


+ = +

5)
x y
2 2

3 3 y x

x xy y 12

 − = −





+ + =



4. PHƯƠNG PHÁP KHÁC

Ngồi cách giải nói trên, cũng giống nh− ph−ơng trình, bất ph−ơng trình mũ và lơgarit ta có thể
đánh giá hai vế, sử dụng các bất đẳng thức, dùng đồ thị để giải bất ph−ơng trình, ph−ơng pháp sử
dụng điều kiện cần và đủ..

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

(

)(

)

( )

2 2

x y log y log x 1 xy 1
xy 3y 2 0 2

 − = − +




− + =



Lời giải:

- ðiều kiện: x>0, y>0

- Xét phơng trình thứ nhất trong hệ

+ Nu x>y thì log y2 <log x2 suy ra VP<0, VT>0. Do đó hệ vơ nghiệm.

+ Nếu x<y thì log y2 >log x2 suy ra VP>0, VT<0.Do đó hệ vơ nghiệm.

+ VËy x=y là nghiệm của phơng trình (1)

- Khi đó hệ t−ơng đ−ơng với

x y
x y

x y x y 1

x 1

xy 3y 2 0 x 3x 2 0 x y 2

x 2
=

=
=  = =

  
⇔ ⇔  = ⇔
 − + =    = =
− + =
   = 



- VËy hÖ cã hai nghiÖm:

( ) ( )

1;1 , 2; 2 .

Ví dụ 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm

(

)

( )

2 2

x y

log x y 1 1
x 2y m 2

+
 + ≥


+ =


Lời giải:

- Tr−ớc hết ta biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các điểm M(x, y) tho món (1). Ta thy (1)

tơng đơng với hai hÖ sau:

( )

2 2
2 2

2 2

x y 1

I : 1 1 1

x y x y x y

2 2 2

 + >

 + > 


⇔
    
+ ≥ + − + − ≤

 
    
   


( )

2 2 2 2

2 2 2

x y 0 x y 0

II : 0 x y 1 0 x y 1

x y x y 1 1 1

x y

2 2 2




+ > + >

 

 

< + < ⇔ < + <

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

- Từ đó suy ra chúng đ−ợc biểu diễn bằng

miền gch trong hỡnh bờn (trong úly

biên của đờng tròn tâm O1 bán kính

2
2

vàkhông lấy biên của đờng tròn tâm O

bán kính 1). Điểm A là giao điểm của

đờng thẳng x+ =y 0 với đờng tròn

2 2

x +y =1 và chú ý rằng A là giao điểm

phớa di nờn suy ra toạ độ của nó là

2 2

x , y .

2 2

= = Đờng thẳng x+2y=m

đi qua ®iĨm A khi m 2

= − . Áp dụng điều kiện để đ−ờng thẳng tiếp xúc với đ−ờng tròn ta

ph¶i cã

5 3

2 2

 

= − + 

  . Do tiÕp tuyÕn phÝa trªn, nªn ta lÊy

3 10
m

= . Từ đó suy ra

đờng thẳng x+2y=m cắt miền gạch ta phải cã 2 m 3 10

2 2

− < ≤ .

Ví dụ 3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

(

) ( )

( )

x y

2 2

2 2 y x m 1 1
x y m 2

 − = − +




+ =



Lời giải:

● ðiều kiện cần

- NÕu hÖ cã nghiƯm

(

x ; y0 0

)

th×

(

−x ; y0 0

)

cũng là nghiệm. Cho nên hệ có nghiệm duy nhÊt

th× x0 = − x0 hay x0 =0.

- Khi đó hệ t−ơng đ−ơng với

( )

1 2 y 3
y m 4
 − =






- Từ ph−ơng trình (4) suy ra y≥0. Do đó 1 2− y ≥0 ⇒ 2y ≤ =1 2 0 ⇒ y0.

- Với y=0 thì m=0. Đó chính là điều kiện cần.

iu kin ủ

- Giả sử m=0, khi dó hệ có dạng:

( )

x y

2
2

2 x 2 y 5

2 2 y x

x y 0 6

x y 0

 − = −  + = +

 

⇔

 

+ =

+ = 

 



- Gi¶i (5) xÐt hµm sè

( )

t 2 t

f = + đồng biến và liên tục trên ℝ. Do đó ph−ơng trình (5) viết

lµ f

( )

x = f

( )

y ⇔ x =y.

- Khi đó hệ có dạng 2x y x y 0

x y 0

 =

⇔ = =



+ =

 lµ nghiƯm duy nhÊt cđa hƯ.

- VËy víi m=0 th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.

x+2y=

−

x+y=0
x+2y=

2
10
3+

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

1)

(

)(

)

x y

2 2

log y log x xy 1

x y 1

e e

 − = − +


+ =
 2)

(

2 2

)(

)

3 3

x y log y log x xy 2

x y 16

 − = − +


+ =

3) 
x y

2 2 1

x y 2

 + ≤



+ ≥ −

 4)

(

)

x 8x 12 log 7 2 y 1
2

4 7

y 3 3 y 2 y 1 1

− + − −
 =


− − − + ≥


BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

1)

(

)

(

)

x
y

log 6x 4y 2
log 6y 4x 2

 + =




+ =

 2)

(

)

(

)

4 y x

4 x y

x y .3 1

8 x y 6 0

−
−
 + =


+ − =

3)

(

2 3

)

x log y 3

2y y 12 .3 81y

+ =




− + =

 4)

(

)

(

)

3 2
x
3 2

log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

 + − − =


+ − − =

5)

(

)

y
log 5
2 y
y.x x

log y.log y 3x 2

x

 =




− =

 6)

(

)

( )
2
2
2
1
8 y

x 1 2

x y

2 4 3 2 y x

3 7

2 x y

2 2
+
+
+

− = −


 + + =

7) 
( )

(

)

2
3

x 2x 3 log 5 y 4
2

3 5

4 y y 2 y 4 8

− − − − +

 =




− − + + ≤

 8) 9

( )

2 3 3

x 1 2 y 1

3.log 9x log y 3

 − + − =


− =


9) 
y
2
x y
2log x

log xy log x

y 4y 3

 =


= +
 10)

(

)

(

)

2 x
4 y

log 2 y 0

log 2x 2 0

−
−

 − >




− >

 .

--- HẾT ---

GIA S

Ư

ðỨ

C KHÁNH

0975.120.189 -- 0563.602.929

</div>

Bai tap Mu Loga co loi giai hay suu tam dc

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>CHUYÊN ĐỀ 1. </b>

<b> PHƯƠNG TRÌNH </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (