Chuyen de hinh hoc phang phuong trinh duong thang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.76 MB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I –TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:

a. Tọa độ điểm trong mặt phẳng: Cho 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 𝑣à 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶 .
 𝐴𝐵 = (𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)

 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴 2+ 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 2

 Trung điểm 𝐼 𝑥𝐼; 𝑦𝐼 của đoạn 𝐴𝐵, có tọa độ là 𝐼:

𝑥𝐼 =𝑥𝐴+𝑥𝐵
2
𝑥𝐼 =

𝑦𝐴+𝑦𝐵
2
 Trọng tâm 𝐺 𝑥𝐺; 𝑦𝐺 của tam giác 𝐴𝐵𝐶, có tọa độ là 𝐺: 𝑥𝐼 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶
3
𝑦𝐼 =

𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶
3
b. Tọa độ của vectơ trong mặt phẳng: Cho 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑘. 𝑎 = 𝑘𝑎1; 𝑘𝑎2
 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎1 = 𝑏1

𝑎2 = 𝑏2
 𝑎 = 𝑎12+ 𝑎

2
2

 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎1± 𝑏1; 𝑎2± 𝑏2
 𝑎 . 𝑏 = 𝑎1. 𝑏1+ 𝑎2. 𝑏2

 cos 𝑎 , 𝑏 = 𝑎 .𝑏
𝑎 . 𝑏 =

𝑎1.𝑏1+𝑎2.𝑏2
𝑎12+𝑎22. 𝑏12+𝑏22
c. Các công thức khác:

 𝑎 //𝑏 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑅: 𝑎 = 𝑘𝑏 ↔ 𝑎1. 𝑏2 − 𝑎2. 𝑏1 = 0
 𝑎 ⊥ 𝑏 ↔ 𝑎 . 𝑏 = 𝑎1. 𝑏1 + 𝑎2. 𝑏2 = 0

 Điểm 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 ↔ 𝐴𝑀 = 𝑘𝑀𝐵 ↔ 𝑥𝑀 =

𝑥𝐴+𝑘𝑥𝐵
1+𝑘
𝑦𝑀 = 𝑦𝐴+𝑘𝑦𝐵

1+𝑘

2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG:

a. Vectơ chỉ phương: Vectơ 𝑎 ≠ 0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi và chỉ khi giá của vectơ

𝑎 song song hoặc trùng ∆ .

b. Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTCP 𝒂 = 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 có phương trình tham số dạng:
𝒙 = 𝒙𝒐+ 𝒕𝒂𝟏

𝒚 = 𝒚𝒐+ 𝒕𝒂𝟐 ; 𝒕 ∈ 𝑹
𝑎

𝑎
𝑎

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c. Vectơ pháp tuyến: Vectơ 𝑛 ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi và chỉ khi giá của vectơ 𝑛
vng góc ∆ .

d. Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTPT 𝒏 = 𝑨; 𝑩 có phương trình tổng qt dạng:
𝑨 𝒙 − 𝒙𝒐 + 𝑩 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝟎, 𝑨𝟐+ 𝑩𝟐 ≠ 𝟎

e. Các trường hợp đặc biê ̣t:

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (1)
 Nếu 𝐴 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 𝑦 = −𝐶

𝐵 𝐵 ≠ 0 , khi đó ∆ //𝑂𝑥 và cắt 𝑂𝑦
tại điểm 0; −𝐶

𝐵 (hình 1)

 Nếu 𝐵 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐶 = 0 → 𝑥 = −𝐶

𝐴 𝐴 ≠ 0 , khi đó ∆ //𝑂𝑦 và cắt 𝑂𝑥
tại điểm −𝐶

𝐴; 0 (hình 2)

 Nếu 𝐶 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, khi đó ∆ đi qua gốc tọa đô ̣ 𝑂(0; 0) (hình 3)
 Nếu 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, ta có thể đưa (1) về da ̣ng: 𝑥𝑎+𝑦

𝑏 = 1 2
Với 𝑎 = −𝐶

𝐴, 𝑏 = −
𝐶

𝐵. Phương trình (2) được go ̣i là phương trình đường thăng theo đoa ̣n chắn , đường
thẳng này cắt 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 lần lượt ta ̣i 𝑀 𝑎; 0 và 𝑁 0; 𝑏 (hình 4)

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

𝑛

∆ −𝐶

𝐵
𝑦

𝑥 O

∆

−𝐶

𝐴
𝑦

𝑥

O
∆

𝑦

𝑥 O

∆

−𝐶

𝐵
𝑦

𝑥

−𝐶

𝐴 𝑀
𝑁

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

f. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến:

Nếu vectơ 𝑛 = 𝐴; 𝐵 là VTPT của ∆ thì VTCP của ∆ là 𝑢 = 𝐵; −𝐴 hoặc 𝑢 = −𝐵; 𝐴
g. Hệ số góc của đường thẳng, phương trình đường thẳng chứa hệ số góc:

 Hệ số góc của đường thẳng: nếu ∆ có VTCP 𝑢 = 𝑢1; 𝑢2 thì hệ số góc 𝑘 là: 𝒌 = 𝒖𝟐
𝒖𝟏
 ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có hệ số góc 𝐾 có phương trình dạng: 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝑲 𝒙 − 𝒙𝒐

3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

a. Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tổng quát: 
∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
 𝐴1

𝐴2 ≠
𝐵1

𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2

 𝐴1

𝐴2 =

𝐵1
𝐵2 ≠

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2
 𝐴1

𝐴2 =
𝐵1
𝐵2=

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2

b. Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tham số: 
∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎1

1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :

𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1

𝑦 = 𝑦2 + 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
Ta xét hai vectơ chỉ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑎1
𝑎2 ≠

𝑏1

𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2

 𝑎1

𝑎2 =
𝑏1
𝑏2 ≠

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2
 𝑎1

𝑎2 =
𝑏1
𝑏2 =

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 trùng ∆2

c. Hai đường thẳng được cho ở hai dạng phương trình khác nhau: 
∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 1 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (2)

Ta thay 𝑥, 𝑦 trong 1 vào 2 , để được một phương trình bậc nhất đối với 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = 0.
 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 có 1 nghiệm → ∆1 cắt ∆2 và từ 𝑡𝑜 ta tìm giao điểm.

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô nghiệm → ∆1 song song ∆2
 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2

4. KHOẢNG CÁCH: từ 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức:
𝑑 𝑀𝑜; ∆ = 𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶

𝐴2+ 𝐵2

5. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛 = 𝐴1 1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là 
VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n .n1 2

n n1 2 =

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

6. CHÙM ĐƯỜNG THẢNG:

Chùm đường thẳng tạo bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0, ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 có phương trình dạng:
m 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + n 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0

 Nếu ∆1 ∩ ∆2 = I → mọi đường thẳng qua 𝐼 đều thuộc chùm.
 Nếu ∆1 // ∆2 → mọi chùm đường thẳng // ∆1 // ∆2 đều thuộc chùm.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

1. Vấn đề 1: chuyển đổi qua lại giữa các da ̣ng phương trình .
a. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát.

∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1 (∗)

𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎2 (∗∗) ; 𝑡 ∈ 𝑅 1 → ∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (2)
 Từ ∗ , ta có: 𝑡 =𝑥−𝑥𝑜

𝑎1 . Thay vào (∗∗), suy ra: 𝑦 = 𝑦𝑜 +
𝑎2

𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜
 Hòa đồng mẫu số, chuyển vế, rút gọn ta được 2 .

b. Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số. 
∆1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 1 → ∆1 :

𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2)

 Từ 1 , chọn 𝑥 = 𝑡 ∗ . Thay 𝑥 = 𝑡 vào 1 , ta được: 𝐴𝑡 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝐶
𝐵−

𝐴

𝐵𝑡 (∗∗)
 Kết hợp (∗) và (∗∗) ta được phương trình 2 .

c. Ví dụ:

1. Chuyển phương trình 𝑥 = 2 − 4𝑡 (∗)

𝑦 = 3 − 𝑡 ∗∗ ; 𝑡 ∈ 𝑅 thành phương trình tổng quát.

Giải:

Từ phương trình (∗∗) ta có: 𝑡 = 3 − 𝑦, thay vào phương trình (∗), ta được:
𝑥 = 2 − 4 3 − 𝑦 ↔ 𝑥 = −10 + 4𝑦 ↔ 𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0.

Là phương trình tổng quát cần tìm.

2. Chuyển phương trình 4𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0 (∗) thành phương trình tham sớ.
Giải:

Từ phương trình (∗), ta đặt 𝑥 = 𝑡 (1). Thay vào phương trình (∗), ta được:
4𝑡 − 3𝑦 + 7 = 0 ↔ 3𝑦 = 4𝑡 + 7 ↔ 𝑦 = 7

3+
4
3𝑡 (2)
Kết hợp (1) và (2), ta có: 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 7

3+
4
3𝑡

; 𝑡 ∈ 𝑅 Là phương trình tham số cần tìm.
d. Bài tập:

1. Chuyển các phương trình tham số sau về dạng phương trình tổng quát.
a. 𝑥 = 3 − 2𝑡

𝑦 = 5 + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅. b.

𝑥 = 2 − 𝑡

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c. 𝑥 = 2 − 5𝑡

𝑦 = 1 − 7𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 d.

𝑥 = 4 − 3𝑡

𝑦 = 3 + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
2. Chuyển các phương trình tổng quát sau về dạng phương trình tham số:

a. 3𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 b. 4𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
c. 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 d. 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0

2. Vấn đề 2: Viết PTĐT đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 , có VTCP 𝑢 = (u1; u2) hoặc VTPT 𝑛 = (A; B) hoặc hê ̣ số góc 𝐾.
a. Phương phá p giải:

 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTCP 𝑢 = (u1; u2), ta dùng: 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑢1

𝑜+ 𝑡𝑢2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTPT 𝑛 = (A; B), ta dùng:𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0
 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có hệ số góc K, ta dùng: 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝐾 𝑥 − 𝑥𝑜

b. Ví dụ:

1. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) đi qua điểm 𝑀 2; 1 , có vectơ chỉ phương 𝑢 = (3; −2).
Giải: đườ ng thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 2; 1 , có VTCP 𝑢 = 3; −2 , có dạng: 𝑥 = 2 + 3𝑡

𝑦 = 1 − 2t ; 𝑡 ∈ 𝑅
2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 𝑀 −2; −1 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (5; 2).

Giải: đườ ng thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 −2; −1 , có VTPT 𝑛 = 5; 2 , có dạng:

5 𝑥 + 2 + 2 𝑦 + 1 = 0 ↔ 5x + 2y + 12 = 0

3. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 𝑀 2; 5 , có hệ số góc K = 2.
Giải: đườ ng thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 2; 5 , có hệ số góc K = 2, có dạng:

𝑦 − 5 = 2 𝑥 − 2 ↔ 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
c. Bài tập:

1. Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiện sau:
a. Đi qua điểm 𝐴 −1; 2 , có vectơ chỉ phương 𝑢 = (−3; −2).
b. Đi qua điểm 𝐵 −1; −3 , có vectơ chỉ phương 𝑎 = (−2;2

3).
c. Đi qua điểm 𝐶 1

3; −
2

5 , có vectơ chỉ phương 𝑏 = (−
3
4; −

2
7).
2. Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a. Đi qua điểm 𝑀 −1; 2 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−3
4; 2).

b. Đi qua điểm 𝑁 2; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (2; −2

5).
c. Đi qua điểm 𝑃 2

7; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−2; −
4
3)
3. Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a. Đi qua điểm 𝐾 −1; 1 , có hệ số góc 𝑘 = −1
2.
b. Đi qua điểm 𝑀 −3; 2 , có hệ sớ góc 𝑘 =7

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3. Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 .
a. Phương pháp giải:

 Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = (a; b)

 ∆ đi qua 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝑏 có dạng: 𝑥 = 𝑥𝐴+ 𝑡a

𝑦 = 𝑦𝐴+ 𝑡b ; 𝑡 ∈ 𝑅

b. Chú ý: Trong thực tế, chúng ta thường gặp dạng toán này ở bài tốn viết phương trình đường trung 
tuyến, đường trung bình của tam giác.

 Đường trung tuyến là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện, nên để viết 
được phương trình đường thẳng của dạng này. Ta phải đi tìm trung điểm 𝑀 của cạnh 𝐵𝐶 trước, sau 
đó áp dụng phương pháp trên.

 Đường trung bình của tam giác là đường thẳng đi qua hai trung điểm của hai cạnh, và song song với
cạnh còn lại . Nên trước hết , ta sẽ tìm hai trung điểm , sau đó áp d ụng phương pháp trên (hoặc tìm 
một trung điểm và một vectơ mà nó song song, rời áp dụng phương pháp giải ở vấn đề 2).

c. Ví dụ:

1. viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 𝑀 2; 5 𝑣𝑎 𝑁 1; 4 .
Giải:

– Ta có 𝑀𝑁 = (−1; −1)

– Đường thẳng 𝑀𝑁 đi qua điểm 𝑁 1; 4 và có VTCP 𝑀𝑁 = −1; −1 , nên có da ̣ng: 𝑥 = 1 − 𝑡𝑦 = 4 − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
2. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i 𝐴 1; −2 , 𝐵 5; −6 , 𝐶 3; 2

a. Viết phương trình đường trung tuyến 𝐴𝑀 của tam giác 𝐴𝐵𝐶.
b. Viết phương trình đường trung bình 𝑁𝐾 của tam giác 𝐴𝐵𝐶.
Giải:

a. – Trung điểm 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 của cạnh 𝐵𝐶, là nghiệm của hệ : 𝑥𝑀 =
𝑥𝐵+𝑥𝐶

2 = 4
𝑦𝑀 =𝑦𝐵+𝑦𝐶

2 = −2

→ 𝑀 4; −2
– Vectơ 𝐴𝑀 = 3; 0

– Trung tuyến 𝐴𝑀, đi qua điểm 𝐴 1; −2 có VTCP 𝐴𝑀 = 3; 0 có dạng: 𝑥 = 1 + 3𝑡𝑦 = −2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

b. – Trung điểm 𝑁 𝑥𝑁; 𝑦𝑁 của cạnh 𝐴𝐵 là nghiệm của hệ :
𝑥𝑁 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵

2 = 3
𝑦𝑁 =𝑦𝐴+𝑦𝐵

2 = −4

→ 𝑁 3; −4

– Trung điểm 𝐾 𝑥𝐾; 𝑦𝐾 của cạnh 𝐴𝐶 là nghiệm của hệ :

𝑥𝐾 =𝑥𝐴+𝑥𝐶
2 = 2
𝑦𝐾 =

𝑦𝐴+𝑦𝐶
2 = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

– Đường trung bình 𝑁𝐾, đi qua điểm 𝐾 2; 0 có VTCP 𝑁𝐾 = −1; 4 có dạng: 𝑥 = 2 − 𝑡

𝑦 = 0 + 4t ; 𝑡 ∈ 𝑅
d. Bài tập:

1. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 5), 𝐶(2; 4)
a. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

b. Viết phương trình 3 đường trung tuyến của tam giác 𝐴𝐵𝐶.
c. Viết phương trình 3 đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

2. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(2; 1) và hai đường cao 𝐵𝐵’ ∶ 3𝑥 + 𝑦 – 2 = 0 và
𝐶𝐶’: 4𝑥 + 𝑦 + 2 = 0. Hãy viết phương tình đường cao 𝐴𝐴’

4. Vấn đề 4: Viết phương trình (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và vng góc (hoặc song song) với (𝑑) cho trước.
a. Phương trình (d) cho ở dạng tổng quát: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

 (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và vng góc (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTCP, hay 𝑛𝑑 = 𝑢𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆

có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎

𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑏 ; 𝑡 ∈ 𝑅

 (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và song song (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, hay 𝑑 𝑛 = 𝑛𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆
có dạng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0

b. Phương trình (d) cho ở dạng tham số: 𝑦 = 𝑦𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1

1 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

 Đường thẳng (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và vng góc (d), nên nhận 𝑢 = 𝑎𝑑 1; 𝑎2 làm VTPT, hay
𝑢𝑑

= 𝑛 = 𝑎∆ 1; 𝑎2 , có dạng: 𝑎1 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝑎2 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0

 (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và song song (𝑑), nên nhận = 𝑎𝑢𝑑 1; 𝑎2 làm VTCP, hay 𝑢 = 𝑢𝑑 =∆
𝑎1; 𝑎2 , có dạng: 𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
c. Ví dụ:

1. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua 𝑀 2; 1 và song song đườ ng thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0
Giải:

- VTPT của (𝑑) là: 𝑛 = 3; −2 . 𝑑

- Do ∆ song song vớ i (𝑑), nên nhận VTPT của (𝑑) làm VTPT cho mình → 𝑛 = 𝑛∆ = (3; −2). 𝑑
- ∆ đi qua điểm 𝑀 2; 1 và có VTPT 𝑛 = (3; −2) có dạng: ∆

3 𝑥 − 2 − 2 𝑦 − 1 = 0 ↔ 3𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0

∆

𝑑
𝑛𝑑

d
∆

𝑛𝑑

∆

𝑑
𝑢𝑑

d
∆

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2. Viết phương trình (∆) đi qua 𝑀 3; −2 và vuông góc (d): 𝑥 = −2 + 𝑡

𝑦 = −1 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅
Giải:

– VTCP của (𝑑) là: 𝑢 = 1; −3 𝑑

– Do ∆ vuông góc với (𝑑), nên nhận VTCP của (𝑑) làm VTPT cho mình → 𝑛 = 𝑢∆ = (1; −3). 𝑑
– ∆ đi qua điểm 𝑀 3; −2 và có VTPT 𝑛 = (1; −3) có dạng: ∆

1 𝑥 − 3 − 3 𝑦 + 2 = 0 ↔ 𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0
d. Bài tập:

1. Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :
a. Đi qua 𝐴 2; −5 và vuông góc đường thẳng (d): 𝑥 = −2 + 4𝑡

𝑦 = −3 − 3𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅
b. Đi qua 𝐵 0; −2 và song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 = −2 + 2𝑡

𝑦 = 1 − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
2. Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :

a. Đi qua 𝑀 3; −1 và vuông góc đường thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
b. Đi qua 𝑁 0; −5 và song song đườ ng thẳng (d): 𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0

3. Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện s au:

a. Đi qua 𝐴 3; −2 và vuông góc với tru ̣c Ox.

b. Đi qua 𝑀 −2; −1 và song song đườ ng thẳng AB, với 𝐴 1, ; 3 , 𝐵 2; 5 .

4. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của hai đường thẳng ∆1 : 3𝑥 − 𝑦 = 0,
∆2 : 𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 và vng góc với đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

5. Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến quan hệ song song và vng góc.
1. Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

a. Nhắc lại: đường cao 𝐴𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là đường thẳng đi qua đỉnh 𝐴 và vng góc với cạnh 𝐵𝐶, 
cắt 𝐵𝐶 tại 𝐻.

b. Phương pháp:

 Tính 𝐵𝐶 = 𝑥𝐶− 𝑥𝐵; 𝑦𝐶− 𝑦𝐵 = 𝑎; 𝑏

 Đường cao 𝐴𝐻 đi qua điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 và nhận vectơ 𝐵𝐶 = 𝑎; 𝑏 làm VTPT, có dạng:
𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 = 0.

c. Ví dụ: trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; 4 , 𝐵 2; −3 , 𝐶 1; −2 . Hãy lập phương trình đường cao 𝐴𝐻.
Giải:

– Ta có: 𝐵𝐶 = (−1; 1)

– Đường cao 𝐴𝐻 đi qua điểm 𝐴 1; 4 và nhận vectơ 𝐵𝐶 = −1; 1 làm VTPT, có dạng:
−1 𝑥 − 1 + 1 𝑦 − 4 = 0 ↔ 𝑦 − 𝑥 − 3 = 0.

C
H

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

d. Bài tập:

1. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; 2 , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 . Hãy lập phương trình 3 đườ ng cao 𝐴𝐻,
𝐵𝐾, 𝐶𝑃.

2. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, Cho 𝐴 1; 2 và phương trình hai đường cao xuất phát từ đỉnh 𝐵 và 𝐶 là:
𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 va 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0. Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻.

3. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho cạnh 𝐴𝐵: 5𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 và 𝐵 lần lượt có
phương trình là : 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 va 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = 0. Hãy lập phương trình đường cao cịn
lại của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

2. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, với 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 𝑣à 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 .

a. Nhắc lại: đường trung trực của một đoạn thẳng, là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đó và 
vng góc với cạnh đó.

b. Phương pháp:

 Tìm điểm 𝑀 là trung điểm của đoạn 𝐴𝐵
 Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

 Lập phương trình đường trung trực (𝑑) đi qua điểm 𝑀, và vng góc với đoạn thẳng 𝐴𝐵, nên nhận
vectơ 𝐴𝐵 làm VTPT.

c. Ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của đoa ̣n 𝑀𝑁, vớ i 𝑀 1; 2 , 𝑁 3,6 .
Giải:

- Toạ độ trung điểm I của đoạn MN là: 𝑥𝐼 =
𝑥𝑀+𝑥𝑁

2 = 1
𝑦𝐼 =𝑦𝑀+𝑦𝑁

2 = 2

→ 𝐼 1; 2
- Ta có: 𝐴𝐵 = (2; 4).

- phương trình đường trung trực (d) đi qua điểm 𝐼 1; 2 , và vuông góc với đoạn thẳng 𝑀𝑁, nên nhận
vectơ 𝐴𝐵 = (2; 4) làm VTPT, có dạng:2 𝑥 − 1 + 4 𝑦 − 2 = 0 ↔ 2𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0

d. Bài tập:

1. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; 2 , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 . Lập phương trình 3 đườ ng trung trực của 
tam giác 𝐴𝐵𝐶.

2. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i trung tuyến 𝐴𝑀: 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 và cạnh 𝐵𝐶:
𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0. Lập phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐵𝐶.

3. Viết phương trình ba đường trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶, khi biết trung điểm củ a ba ca ̣nh là :
𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; 9 , 𝑃 9; 1 .

3. Tìm hình chiếu của điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 lên đường thẳng ∆ . 
a. Phương pháp:

 Lập phương trình đường thẳng (𝑑) đi qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 và vng góc với đường thẳng ∆ .

A B

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Tìm giao điểm 𝐻 của đường thẳng (𝑑) và đường thẳng ∆ .

 Giao điểm 𝐻 chính là hình chiếu của điểm 𝑀 lên đường thẳng ∆ .

b. Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm 𝐴 4; 1 lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
Giải:

– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆

– (𝑑) đi qua 𝐴 4; 1 và vng góc ∆ , nhận VTPT 𝑛 = (1; −2) làm VTCP , hay ∆ 𝑛 = u∆ =d
(1; −2) nên có dạng: 𝑦 = 1 − 2𝑡𝑥 = 4 + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 hay: 2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0

– Giao điểm 𝐻 của (𝑑) và ∆ là nghiệm của hệ :
𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 →

𝑥 = 14
5
𝑦 = 17

→ 𝐻 14
5 ;

17
5

– Hình chiếu của điểm 𝐴 4; 1 lên đườ ng thẳng ∆ là 𝐻 14
5 ;

17
5
c. Bài tập:

1. Tìm hình chiếu của điểm 𝑀 2; 1 lên đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0
2. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho điểm 𝐴 2; 3 và cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0. Hãy tìm chân đường cao

𝐴𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

3. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 2; 5 , 𝐵 −1,3 , 𝐶(3, −4). Hãy tìm chân đường cao 𝐵𝐾 của tam
giác 𝐴𝐵𝐶.

4. Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ . 
a. Phương pháp:

 Lập phương trình (𝑑) đi qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 và vng góc với ∆ .
 Tìm giao điểm 𝐼 của đường thẳng (𝑑) và ∆ .

 Để 𝑀’ đối xứng với 𝑀 qua ∆ thì 𝐼 là trung điểm của đoạn 𝑀𝑀’.
 Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ điểm 𝑀’

b. Ví dụ: Tìm điểm B đối xứng với 𝐴 4; 1 qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
Giải:

– Ta có: 𝑛 = (1; −2) ∆

– Giao điểm I của (d) và ∆ là nghiệm của hệ : 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 →

𝑥 = 14
5
𝑦 = 17

→ 𝐻 14
5 ;

17
5 .

– Hình chiếu của điểm 𝐴 4; 1 lên đườ ng thẳng ∆ là 𝐼 14;17

H ∆

𝑑

I ∆

𝑑

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

– Để 𝐵 đối xứ ng với 𝐴 4; 1 qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, thì 𝐼 là trung điểm của đoạn

𝐴𝐵. Ta có: 𝑥𝐼 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵

2
𝑦𝐼 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵

→ 𝑥𝐵 = 2𝑥𝐼− 𝑥𝐴 =
8
5
𝑦𝐵 = 2𝑦𝐼− 𝑦𝐴 = 29

→ 𝐵 8
5;

29
5

– Vâ ̣y toa ̣ đô ̣ điểm đối xứng với 𝐴 4; 1 qua đườ ng thẳng ∆ là: 𝐵 8
5;

29
5
c. Bài tập:

1. Tìm điểm 𝐴’ đới xứ ng với điểm 𝐴 3; −2 qua đườ ng thẳng ∆ có phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0
2. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i phương trình ba ca ̣nh là : 𝐴𝐵: 𝑥 − 2𝑦 + 3 =
0, 𝐴𝐶: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0, 𝐵𝐶: 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0.Tìm các điểm đối xứng vớ i ba đỉnh của tam giác , qua
các cạnh đối của nó.

3. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vớ i 𝐴 3; −2 và phương trình hai đường phân giác trong
của góc 𝐵, 𝐶 lần lượt là 𝑑1 : 𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 và 𝑑2 : 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0. Hãy lập p hương trình ba 
cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

5. Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứng với đường thẳng (d) qua điểm M 𝑥; 𝑦 . 
a. Phương pháp:

 Chọn một điểm bất kỳ 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ (𝑑)
 Tìm 𝑀’ đối xứng với với điểm 𝑀𝑜 qua 𝑀.

(𝑀 là trung điểm của đoạn 𝑀𝑜𝑀’)

 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứ ng với đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 chính là
đường thẳng đi qua điểm 𝑀’ và song song (𝑑).

b. Ví dụ: Lập phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 qua điểm 𝐴 1; 2 .
Giải:

- Chọn điểm 𝐵 −1; 0 ∈ (𝑑)

- gọi 𝐵′ 𝑥; 𝑦 là điểm đối xứng với điểm 𝐵 −1; 0 qua điểm 𝐴 1; 2 . Nên 𝐴 1; 2 là trung điểm của
đoa ̣n 𝐵𝐵’. Ta có: 𝑥𝐴=

𝑥𝐵 ′+𝑥𝐵
2
𝑦𝐴 =𝑦𝐵 ′+𝑦𝐵

→ 𝑥𝐵′ = 2𝑥𝐴− 𝑥𝐵 = 3

𝑦𝐵′ = 2𝑦𝐴− 𝑦𝐵 = 4 → 𝐵

′ 3; 4

- ∆ đối xứ ng với 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 qua điểm 𝐴 1; 2 chính là đường thẳng đi qua điểm 𝐵 3; 4
và song song với (𝑑), sẽ nhận VTPT 𝑛 = 1; −3 của (𝑑) làm VTPT cho ∆ . Nên co𝑑 ́ da ̣ng:

1 𝑥 − 3 − 3 𝑦 − 4 = 0 ↔ 𝑥 − 3𝑦 + 9 = 0
c. Bài tập:

1. Lâ ̣p phương trình ∆ , đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 qua điểm 𝐴 3; −2 .

2. Cho hình chữ nhâ ̣t 𝐴𝐵𝐶𝐷, vớ i phương trình hai ca ̣nh là : 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 và 3𝑥 + 𝑦 + 7 = 0. Lập
phương trình hai ca ̣nh còn la ̣i của hình chữ nhâ ̣t , biết tâm của hình chữ nhật là 𝑂 3; −2 .

M’
Mo

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

6. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
a. Phương pháp:

 Tâm 𝐼 của đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh
trong tam giác.

 Bán kính 𝑅 của đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 là 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶.
b. Ví dụ:

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −2; 4 , 𝐵 5; 5 , 𝐶(6; −2)
a. Viết phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶, 𝐴𝐵.

b. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶.
Giải:

a. * phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶:
– Trung điểm 𝑀 của đoạn AC: 𝑥𝑀=

𝑥𝐴+𝑥𝐶
2 = 2
𝑦𝑀 =𝑦𝐴+𝑦𝐶

2 = 1

→ 𝑀(2; 1)
– vectơ 𝐴𝐶 = 8; −6

– Đường trung trực của 𝐴𝐶, đi qua 𝑀 2; 1 và nhận vec tơ 𝐴𝐶 = 8; −6 làm VTPT , có dạng :
8 𝑥 − 2 − 6 𝑦 − 1 = 0 ↔ 8𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0

* phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐵:
– Trung điểm 𝑁 của đoạn 𝐴𝐵: 𝑥𝑁 =

𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 =

3
2
𝑦𝑁 = 𝑦𝐴+𝑦𝐵

2 =

9
2

→ 𝑁(3
2;

9
2)

– vectơ 𝐴𝐵 = 7; 1

– Đường trung trực của cạnh 𝐴𝐵, đi qua điểm 𝑁 3
2;

2 và nhận vectơ 𝐴𝐵 = 7; 1 làm VTPT , có
dạng: 7 𝑥 −3

2 + 1 𝑦 −
9

2 = 0 ↔ 7𝑥 + 𝑦 − 15 = 0

b. * Tâm 𝐼(𝑥𝐼; 𝑦𝐼)đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, là giao điểm của hai đường trung trực 𝐴𝐶 và
𝐴𝐵. Nên là nghiê ̣m của hê ̣: 8𝑥𝐼− 6𝑦𝐼+ 10 = 0

7𝑥𝐼+ 𝑦𝐼− 15 = 0 → 𝐼 2; 1

* Bán kính 𝑅 của đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶: 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 Mà 𝐼𝐴 = −4; 3
→ 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐴 = −4 2+ 32 = 5

c. Bài tập:

1. Cho ba đườ ng thẳng ∆1 : 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0, ∆2 : 4𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0, ∆3 : 𝑦 = 0. Hãy tìm tâm và
bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo b ởi ba đường thẳng trên.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

6. Vấn đề 6: Vị trí tương đối của hai đường thẳng .
a. phương pháp giải:

1. Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tổng quát: 
∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
Ta xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 𝐴∆1 1; 𝐵2 ; 𝑛 = 𝐴∆2 1; 𝐵2
 𝐴1

𝐴2 ≠
𝐵1

𝐵2 ↔ ∆1 cắt ∆2
 𝐴1

𝐴2 =
𝐵1
𝐵2 ≠

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 song song ∆2

 𝐴1

𝐴2 =
𝐵1
𝐵2 =

𝐶1

𝐶2 ↔ ∆1 trùng ∆2

2. Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tham số: 
∆1 :

𝑥 = 𝑥1+ 𝑡𝑎1

𝑦 = 𝑦1+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 ∆2 :

𝑥 = 𝑥2+ 𝑡𝑏1

𝑦 = 𝑦2+ 𝑡𝑏2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
Ta xét hai vectơ chỉ phương: 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑏 = 𝑏1; 𝑏2

 𝑎1
𝑎2≠

𝑏1

𝑏2 ↔ ∆1 cắt ∆2

 𝑎1

𝑎2=
𝑏1
𝑏2 ≠

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 song song ∆2

 𝑎1

𝑎2=
𝑏1
𝑏2 =

𝑥1−𝑥2

𝑦1−𝑦2 ↔ ∆1 cắt ∆2

3. Hai đường thẳng được cho ở hai dạng phương trình khác nhau: 
∆1 : 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑡𝑎1

𝑜+ 𝑡𝑎2 ; 𝑡 ∈ 𝑅 1 ∆2 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (2)

Ta thay 𝑥, 𝑦 trong 1 vào 2 , để được một phương trình bậc nhất đối với 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = 0.
 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 có 1 nghiệm → ∆1 cắt ∆2 và từ 𝑡𝑜 ta giao điểm.

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô nghiệm → ∆1 song song ∆2
 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2
b. Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a. ∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, ∆2 : 5𝑥 − 𝑦 + 7 = 0
b. ∆1 : 𝑥 = 1 − 2𝑡

𝑦 = 3 + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2 + 3𝑡

𝑦 = 1 − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
c. ∆1 : 5𝑥 + 3𝑦 + 3 = 0 1 , ∆2 : 𝑥 = 3 + 3𝑡

𝑦 = 2 − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅 (2)
Giải:

a. Xét hai vectơ pháp tuyến: 𝑛 = 3; −2 ; 𝑛∆1 = 5; −1 . Ta co∆2 ́:

3
5≠

−2

−1 → ∆1 că t ∆2
b. Xét hai vectơ chỉ phương: 𝑎 = −2; 1 ; 𝑏 = 3; −5 . Ta có: −23 ≠ 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

5 3 + 3𝑡 + 3 2 − 𝑡 + 3 = 0 ↔ 12𝑡 + 24 = 0 ↔ 𝑡 = −2
Vâ ̣y ∆1 că t ∆2 , tọa độ giao điểm là 𝑀:

𝑥 = 3 + 3(−2) = −3

𝑦 = 2 − −2 = 4 ⇒ 𝑀(−3; 4).
c. Bài tập:

1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a. ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, ∆2 : 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
b. ∆1 : 2𝑥 + 5𝑦 + 4 = 0, ∆2 : 4𝑥 + 10𝑦 − 3 = 0
c. ∆1 : 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0, ∆2 : −4𝑥 + 12𝑦 − 8 = 0
2. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a. ∆1 : 𝑥 = 1 + 3𝑡

𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 :

𝑥 = 5𝑡

𝑦 = 1 + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅

b. ∆1 : 𝑥 = −1 + 𝑡

𝑦 = 5 − 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2𝑡

𝑦 = 1 + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
c. ∆1 :

𝑥 = −1 + 5𝑡

𝑦 = 2 + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 :

𝑥 = −2 + 15𝑡

𝑦 = 13 + 3𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a. ∆1 : 𝑥 = 1 + 3𝑡

𝑦 = −3 = 2𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅 , ∆2 : 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
b. ∆1 : 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0, ∆2 : 𝑥 = −2𝑡

𝑦 = 1 + 6𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
c. ∆1 : 𝑥 = −1 + 5𝑡

𝑦 = 2 + 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅, ∆2 : 3𝑥 + 𝑦 + 5 = 0
4. Chứng minh rằng , ba đường thẳng sau đồng quy:

∆1 : 3𝑥 − 2𝑦 − 14 = 0; ∆2 : 5𝑥 − 4𝑦 − 26 = 0; ∆3 : 𝑥 − 7𝑦 − 30 = 0

5. Tùy theo giá trị m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng :

∆1 : 𝑚𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
∆2 : 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚 + 1 = 0

7. Vấn đề 7: Khoảng cách và góc.
a. Phương pháp giải:

 Khoảng cách: từ điểm 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức:
𝑑 𝑀𝑜; ∆ =

𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶
𝐴2+ 𝐵2

 Góc giữa hai đường thẳng : Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với
𝑛1

= 𝐴1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì:
cos ∆1; ∆2 = n . n1 2

n n1 2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b. Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳn g, thì ta phải xét vị trí tương đối của
hai đường thẳng đó trước , nếu cắt nhau hoă ̣c trùng nhau thì khoảng cách bằng 0, nếu song song thì ta
chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoả ng cách đến đường thẳng kia.

c. Ví dụ:

1. Tính khoảng cách từ 𝐴 −1; 2 , đến đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0
Giải: 𝑑 A; d = 2. −1 +6.2−3

22+62 =
7
40 =

7
2 10

2. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng : 𝑑1 : 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0, 𝑑2 : 4𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0
Giải: ta có: 𝑛 = 3; 4 , 𝑛1 = 4; −3 ⇒ cos 𝑑2 1; 𝑑2 = n .n1 2

n n1 2 =

3.4+4.(−3)
32+42. 42+32 = 0
d. Bài tập:

1. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau :
a. 𝐴 3; 5 và 𝑑 : 4𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0

b. 𝐴 2; 3 và (d) đi qua hai điểm : 𝑀 1; −3 , 𝑁(2; −5)
2. Cho hai đường thẳng: ∆1 : 5𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, ∆2 :

𝑥 = 6𝑡
𝑦 =7

6+ 10𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅
a. Chứng minh rằng ∆1 // ∆2

b. Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2 .

3. Tìm góc giữa các cặp đường thẳng.

a. ∆1 : 𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0
b. ∆1 : 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0, ∆2 : 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0

4. Đi ̣nh 𝑚 để góc góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆2 là 30𝑜 biết: 
∆1 : 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 va ∆2 : 𝑥 = 3 + 3𝑡

𝑦 = 2 − 𝑚𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅
5. Cho hai đường thẳng ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0, ∆2 : 3𝑥 − 𝑦 = 0

a. Chứng tỏ ∆1 , ∆2 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của ∆1 , ∆2
b. Tính góc giữa ∆1 , ∆2 .

8. Vấn đề 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ , đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có khoảng cách đến điểm
𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 bằng một đoạn cho trước 𝑚.

a. Phương pháp:

 Gọi ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0 (1)
hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 = 0

 Sử dụng điều kiện: 𝑑 𝑀; ∆ = 𝑚 ↔𝐴𝑥𝑀+𝐵𝑦𝑀− 𝐴𝑥𝑜+𝐵𝑦𝑜

𝐴2+𝐵2 = 𝑚
 Giải điều kiện trên, ta tìm được 𝐴 và 𝐵.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b. Ví dụ: Viết phương trình (∆) đi qua điểm 𝐴(−1; 2), và có khoảng cách đến điểm 𝐵(3; 5) bằng 3.
Giải:

- Gọi ∆ đi qua điểm 𝐴(−1; 2) và có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 𝑦 − 2 = 0 (1)
hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐴 − 2𝐵 = 0

- Sử dụng điều kiện:

𝑑 𝐵; ∆ = 3 ↔3𝐴 + 5𝐵+ 𝐴 −2𝐵

𝐴2+𝐵2 = 3 ↔

4𝐴 + 3𝐵

𝐴2+𝐵2 = 3 ↔ 4𝐴 + 3𝐵

2 = 9 𝐴2+ 𝐵2 
↔ 16𝐴2 + 9𝐵2+ 24𝐴𝐵 = 9𝐴2+ 9𝐵2 ↔ 7𝐴2+ 24𝐴𝐵 = 0 (2)

- giải phương trình (2) theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 0, 𝐴 = −24
7 𝐵
+ vớ i 𝐴 = 0, Thay vào (1) ⇒ 𝑦 − 2 = 0.

+ vớ i 𝐴 = 24 → 𝐵 = −7, Thay vào (1) ⇒ 24𝑥 − 7𝑦 + 38 = 0
c. Bài tập:

1. Viết phương trình (∆) đi qua điểm 𝑀(1; −2), và có khoảng cách đến điểm 𝑁(2; 3) bằng 3.
2. Viết phương trình (∆) vuông góc với 𝑑 : 2𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 và cách 𝑀 5; 4 một khoảng là 10.
3. Lập phương trình (∆2), biết ∆2 // ∆1 : 7𝑥 − 𝑦 + 9 = 0 và cách 𝑀 1; 3 một khoảng là

1
2 2.

9. Vấn đề 9: Viết phương trình ∆ , đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và tạo với (d): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 một góc 𝛼.
a. Phương pháp:

 Gọi ∆ đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0 (1) hay:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥𝑜+ 𝐵𝑦𝑜 = 0

 Áp dụng công thức: cos ∆1; ∆2 = A.a+B.b

A2+B2. a2+b2 (∗)
 Từ đẳng thức (∗) ta tìm được 𝐴 và 𝐵.

 Thay 𝐴, 𝐵 vào phương trình (1), ta được đường thẳng ∆ cần tìm.

b. Ví dụ: Cho ∆ : 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0. Viết phương trình 𝑑 đi qua 𝑀 2; 1 và tạo với ∆ một góc 450
Giải:

- Gọi 𝑑 đi qua 𝑀 2; 1𝑜 và có VTPT 𝑛 = 𝐴; 𝐵 có dạng: 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑦 − 1 = 0 (1)
hay: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 2𝐴 + 𝐵 = 0

- Do 𝑑 và ∆ , hợp với nhau mô ̣t góc 450

, nên ta có: 
cos d; ∆ = cos 450 = 2A + 3B

A2+ B2. 4 + 9=
2

2 ↔ 4𝐴 + 6𝐵 = 26 𝐴2 + 𝐵2
↔ 16𝐴2 + 36𝐵2+ 48𝐴𝐵 = 26 𝐴2+ 𝐵2 ↔ 10𝐴2− 10𝐵2− 48𝐴𝐵 = 0

- Giải phương trình trên theo 𝐴, ta được: 𝐴 = 5𝐵, 𝐴 = −1
5𝐵

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

c. Bài tập:

1. Cho đườ ng thẳng ∆ có phương trình : 5𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0. Viết phương trình đường t hẳng đi qua 
điểm 𝑀 3; 3 và tạo với ∆ một góc 450

2. Cho 𝐴 2; 7 , 𝐵 −1; 7 , 𝐶(8; −2). Viết phương trình (𝑑) đi qua 𝐴 2; 7 và hợp với 𝐵𝐶 một góc 450
.
3. Đáy của mô ̣t tam giác cân nằm trên ∆ : 𝑥 + 2𝑦 = 0, mợt ca ̣nh bên có phương trìn h 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

và cạnh bên còn lại đi qua điểm 𝑀 4; 2 . Viết phương trình của ca ̣nh bên đi qua 𝑀 4; 2 .

10.Vấn đề 10: đườ ng phân giác của mô ̣t tam giác, của hai đường thẳng thẳng bất kỳ. 
a. Các công thức liên quan:

 Khoảng cách đại số: từ 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑡 𝑀𝑜; ∆ =

𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ ∆.

 Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ > 0: MM cu ng chiê u n o
 Nếu 𝑡 𝑀𝑜; ∆ < 0: MM ngược chiê u no
 Phân giác tạo bởi hai đường thẳng.

Cho hai đườ ng thẳng: ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0.
Phương trình hai đường phân giác là : 𝐴1𝑥+𝐵1y+𝐶1

A12+B
1
2 = ε

𝐴2𝑥+𝐵2y+𝐶1
A22+B

2 vơ 𝑖 𝜀 = ±1
 𝑛 . 𝑛1 < 0 → 2

phân gia c go c nhọn ư ng vơ i 𝜀 = 1
phân gia c go c tu ư ng vơ i 𝜀 = −1
 𝑛 . 𝑛1 > 0 → 2 phân gia c go c nhọn ư ng vơ i 𝜀 = −1

phân gia c go c tu ư ng vơ i 𝜀 = 1
 Phân giác trong, phân giá c ngoài của một tam giác.

Giả sử phương trình hai đường phân giác của góc 𝐴 là:
∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1

A12 + B12 = +

𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1
A22+ B22

∆2 ∶𝐴1𝑥 + 𝐵1y + 𝐶1
A12 + B12 = −

𝐴2𝑥 + 𝐵2y + 𝐶1
A22+ B22
 Nê u 𝑡 B; ∆1 . 𝑡 C; ∆1 < 0 → ∆1 la phân gia c trong cu a go c A

∆2 la phân gia c ngoài cu a go c A
 Nê u 𝑡 B; ∆1 . 𝑡 C; ∆1 > 0 →

∆1 la phân gia c ngoài cu a go c A
∆2 la phân gia c trong cu a go c A

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 Gọi phương trình đường phân giác của góc 𝐶 là (𝑑). do (𝑑) đi qua 𝐶 𝑥𝐶; 𝑦𝐶 và có VTPT 𝑛 =
𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 − 𝑥𝐶 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐶 = 0 (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑥𝐶+ 𝑏𝑥𝐶 = 0

 Gọi 𝐶1 là góc hợp bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và 𝑑 . Ta có:
cos ∆1, 𝑑 = cos 𝐶1 = 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏

𝐴21+𝐵

12 𝑎2+𝑏2

(1)

 Gọi 𝐶2 là góc hợp bởi ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 và 𝑑 . Ta có:
cos ∆2, 𝑑 = cos 𝐶2 = 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏

𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2 (2)
 Do 𝐶1 = 𝐶2, nên từ (1) và (2) ta có:

𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏

𝐴12+𝐵12 𝑎2+𝑏2

= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏
𝐴22+𝐵22 𝑎2+𝑏2

↔ 𝐴1.𝑎 +𝐵1.𝑏
𝐴21+𝐵12

= 𝐴2.𝑎 +𝐵2.𝑏
𝐴22+𝐵22

(3)
 Giải phương trình (3), ta tìm được các giá tri ̣ của 𝑎, 𝑏.

 Thay ca c gia trị đo va o * , ta được các đường phân giác cần tìm . Và để tìm đường ph ân giác 
trong hay ngoài (tù hay nhọn), ta áp du ̣ng các công thức ở phần trên.

c. Ví dụ:

1. Cho tam gia c ABC co 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0, 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0, 𝐵𝐶 : 𝑦 = 0. Hãy lập
phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴.

Giải:

 Tọa độ của ba đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶 là nghiệm của các hệ ph ương trình sau:
3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

4𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 → 𝐴 −2; 3 ;

3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

𝑦 = 0 → 𝐶 2; 0 ;

3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0

𝑦 = 0 → 𝐵
1
3; 0
 Gọi (𝑑) là phương trình đường phân giác của góc 𝐴. do (𝑑) đi qua 𝐴 −2; 3 và có VTPT 𝑛 = 𝑎; 𝑏

nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + 2 + 𝑏 𝑦 − 3 = 0 (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 − 3𝑏 = 0
 Gọi 𝐴 là góc hợp bởi 𝐴𝐶 : 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0 và 𝑑 . Ta co1 ́:

cos 𝐴𝐶, 𝑑 = cos 𝐴1 = 3.𝑎+4.𝑏
32+42 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎+4𝑏

5. 𝑎2+𝑏2 (1)

 Gọi 𝐴 là góc hợp bởi 𝐴𝐵 : 4𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 và 𝑑 . Ta co2 ́:
cos 𝐴𝐵, 𝑑 = cos 𝐴2 = 4.𝑎+3.𝑏

32+42 𝑎2+𝑏2 =

4𝑎+3𝑏

5. 𝑎2+𝑏2 (2)
 Do 𝐴 = 𝐴1 , nên từ (1) và (2) ta co2 ́:

3𝑎+4𝑏
5. 𝑎2+𝑏2 =

4𝑎+3𝑏

5. 𝑎2+𝑏2 ↔ 3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 (3)
 Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:

 3𝑎 + 4𝑏 = 4𝑎 + 3𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏, thay vào (*) ta được:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = 0 ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 = 0 ↔ 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
 Xét 𝑑 : 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0, ta có: 𝑡(𝐵; 𝑑) =

1
3−1
12+12 = −

3 và 𝑡(𝐶; 𝑑) =
2−1
12+12 =

2
2

Do 𝑡(𝐵; 𝑑). 𝑡(𝐶; 𝑑) < 0, nên phương trình đường phân giác trong của góc 𝐴 là: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
2. Lập phương trình hai đường phân giác của góc ta ̣o bởi hai đường thẳng sau :

∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0, ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = 0

Giải:

 Tọa độ giao điểm 𝑀 của hai đường thẳng, là nghiệm của hệ sau: 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0

3𝑥 − 2𝑦 = 0 → 𝑀 −2; −3
 Gọi (d) là phương trình đường phân giác của góc 𝑀. do (d) đi qua 𝑀 −2; −3 và có VTPT 𝑛 =

𝑎; 𝑏 nên có da ̣ng: 𝑎 𝑥 + 2 + 𝑏 𝑦 + 3 = 0 (∗) ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑎 + 3𝑏 = 0
 Gọi 𝑀1 là góc hợp bởi ∆1 : 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0 và 𝑑 . Ta có:

cos ∆1, 𝑑 = cos 𝑀1 = 2.𝑎−3.𝑏
22+32 𝑎2+𝑏2 =

2𝑎−3𝑏

13. 𝑎2+𝑏2 (1)
 Gọi 𝑀2 là góc hợp bởi ∆2 : 3𝑥 − 2𝑦 = 0 và 𝑑 . Ta có:
cos ∆2, 𝑑 = cos 𝑀2 = 3.𝑎−2.𝑏

32+22 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎 −2𝑏

13 . 𝑎2+𝑏2 (2)
 Do 𝑀 = 𝑀1 2, nên từ (1) và (2) ta có:

2𝑎 −3𝑏
13. 𝑎2+𝑏2 =

3𝑎 −2𝑏

13. 𝑎2+𝑏2 ↔ 2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 (3)
 Từ (3), ta xét hai trường hợp sau:

 2𝑎 − 3𝑏 = 3𝑎 − 2𝑏 ↔ 𝑏 = −𝑎, thay vào (*) ta được:

𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 2𝑎 − 3𝑎 = 0 ↔ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑎 = 0 ↔ 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
 2𝑎 − 3𝑏 = −(3𝑎 − 2𝑏) ↔ 𝑏 = 𝑎, thay vào (*) ta được:

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 2𝑎 + 3𝑎 = 0 ↔ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 5𝑎 = 0 ↔ 𝑥 + 𝑦 + 5 = 0

Do 𝑛 . 𝑛∆1 = 2.3 + 3.2 = 12 > 0, nên đươ∆2 ̀ ng phân giác góc tù của 𝑀 là: 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 và phân
giác góc nhọn là: 𝑥 + 𝑦 + 5 = 0

d. Bài tập:

1. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0; ∆2 : 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0. Hãy lập phương trình
hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên.

2. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴 1; 3 , 𝐵 −2; 4 , 𝐶 3; −1 . Hãy viết phương trình
hai đường phân giác của góc 𝐵.

3. Viết phương trình đường phân giác trong góc 𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶, khi biết trung điểm củ a ba ca ̣nh 
là: 𝑀 −1; −1 , 𝑁 1; 9 , 𝑃 9; 1 .

III – BÀI TẬP TO ̉NG HỢP:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶

b. Viết phương trình 3 đườ ng trung tuyến, đi ̣nh tro ̣ng tâm 𝐺 của tam giác 𝐴𝐵𝐶

c. Viết phương trình 3 đườ ng trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶

d. Viết phương trình 3 đườ ng cao, đi ̣nh trực tâm 𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶
e. Viết phương trình 3 đườ ng trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶

f. Tìm tâm 𝐼 và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác 𝐴𝐵𝐶

2. Tam giác 𝐴𝐵𝐶, có phương trình cạnh 𝐴𝐵 : 5𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0, đườ ng cao qua đỉnh 𝐴 và 𝐵 lần lượt là :
4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 và 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = 0. Hãy lập phương trình hai cạnh 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 và đườ ng cao thứ 3.
3. Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu cho 𝐴 1; 3 và hai đường trung tuyến có phương trình

là: 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, 𝑦 − 1 = 0.

4. Tìm phương trình đường thẳng ∆ đối xứ ng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 qua đườ ng thẳng
𝑑′ : 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.

5. Lâ ̣p phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, nếu 𝐵 2; −1 , đườ ng cao và phân giác trong qua hai đỉnh 
𝐴, 𝐶 lần lượt là: 3𝑥 − 4𝑦 + 27 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0.

6. Cho điểm 𝐴 4; 2 , 𝐵 −1; 4 . Tìm tập hợp điểm 𝑀 sao cho 𝑆∆𝑀𝐴𝐵 = 2.

7. Cho 𝐴 0; −2 , 𝐵 −1; 14 , 𝐶 −1; 0 . Tìm phương trình đường thẳng (𝑑) đi qua 𝐴 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑀 sao cho:
𝑆∆𝐴𝑀𝐶 = 2𝑆∆𝐴𝑀𝐵.

8. Viết phương trình đường thẳng cách 𝐴 0; −3 một khoảng bằng 1 và 𝐵 3; −4 một khoảng bằng 2.
9. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác với mô ̣t ca ̣nh có trung điểm là 𝑀 −1; 1 , cịn hai cạnh kia có phương

trình là: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 va 2𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác .

10. Cho hai đườ n thẳng 𝑑1 : 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0. Gọi (𝑑) là đườ ng thẳng qua 𝑃 3; 0 , cắt

𝑑1 , 𝑑2 lần lượt ở 𝐴, 𝐵. Viết phương trình (𝑑), biết 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

11. Lâ ̣p phương trình (𝑑) qua 𝑃 2; −1 sao cho (𝑑) cùng với hai đường thẳng 𝑑1 : 2 − 𝑦 + 5 = 0,
𝑑2 : 3𝑥 + 6𝑦 − 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao của hai đường thẳng 𝑑1 , 𝑑2 .

12. Tìm trên trục hồnh điểm 𝑃 sao cho tổng các khoảng cách từ 𝑃 tớ i các điểm 𝐴 1; 2 , 𝐵 3; 4 là nhỏ nhất.
13. Viết phương trình các ca ̣nh của hình v uông và đường chéo thứ hai , biết hình vuông có đỉnh 𝐴 −4; 5 và

mô ̣t đường chéo nằm trên đường thẳng: 7𝑥 − 𝑦 + 8 = 0.

14. Viết phương trình đường thẳng cách điểm 𝑃 1; 1 một khoảng bẳng 2 và cách điểm 𝑄 2; 3 một khoảng
bẳng 4.

15. Cho đường thẳng (∆) có phương trình: 4𝑥 + 2𝑦 − 13 = 0 và điểm 𝑃 1; 2
a. Tìm tọa độ điểm 𝑃’ đối xứ ng với điểm 𝑃 qua (∆).

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a. Tìm tọa độ hình chiếu của 𝐴 trên (∆).
b. Tìm tọa độ điểm 𝐴’ đối xứng với 𝐴 qua (∆).

17. Lâ ̣p phương trình đường thẳng đi qua 𝐴 2; 1 và tạo với đường thẳng 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 một góc 450
.
18. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −4; 5 , 𝐵 1

4; 0 , 𝐶 2; 0 .
a. Viết phương trình đường phân giác trong góc 𝐴.
b. Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶.

19. Cho đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0, và hai điểm 𝐴 0; 1 , 𝐵 −2; 0
a. Tìm 𝑀 ∈ ∆ để 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 nhỏ nhất.

b. Tìm 𝑁 ∈ ∆ để 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 nhỏ nhất.

20. a. Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; 1 và tạo với hai nửa trục tọa độ dương một tam giác sao cho diện tích
nhỏ nhất.

b. Viết phương trình ∆ qua 𝑀 2; 1 và tạo với hai nửa trục to ̣a ta ̣i 𝐴 và 𝐵 sao cho: 1
𝑂𝐴2+

𝑂𝐵2 nhỏ nhất.
21. Chứng minh rằng (𝑑) luôn tiếp xú c với mô ̣t đường tròn cố đi ̣nh, Xác định tâm và bán kính đường trịn đó .

a. 𝑑 : 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 sin 𝛼 − (2 cos 𝛼 + 1) = 0.
b. 𝑑 : 1 − 𝑚2 𝑥 + 2𝑚𝑦 − 4𝑚 + 2 = 0.

22. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 , 𝑑2 có phương trình:
𝑑1 : 𝑘𝑥 − 𝑦 + 𝑘 = 0; 𝑑2 : 1 − 𝑘2 𝑥 + 2𝑘𝑦 − 1 + 𝑘2 = 0

a. Chứ ng minh rằng khi 𝑘 thay đổi, đườ ng thẳng 𝑑1 luôn luôn đi qua một điểm cố đi ̣nh .
b. Vớ i mỗi giá tri ̣ 𝑘, hãy xác định giao điểm của 𝑑1 𝑣𝑎 𝑑2

c. Tìm quỷ tích của giao điểm đó khi 𝑘 thay đởi.

23. Cho 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 và hai điểm 𝑀 3; 3 , 𝑁 −5; 19 . Hạ 𝑀𝐾 ⊥ (𝑑) và gọi 𝑃 là điểm đối xứng của
𝑀 qua (𝑑).

a. Tính tọa độ của 𝐾 và 𝑃.

b. Tìm điểm 𝐴 trên (𝑑) sao cho: 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó .

24. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có đỉnh 𝐴 −1; −3

a. Cho hai đườ ng cao: 𝐵𝐻 : 5𝑥 + 3𝑦 − 25 = 0, 𝐶𝐾 : 3𝑥 + 8𝑦 − 12 = 0, Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶.
b. Cho đườ ng trung trực của 𝐴𝐵 là: 3𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, và trọng tâm 𝐺 4; −2 . Xác định tọa độ đỉnh 𝐵, 𝐶.
25. Trong mă ̣t phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có đỉnh 𝐴 −1; 3 , đườ ng cao 𝐵𝐻 nằm trên đườ ng thẳng 𝑦 = 𝑥,

phân giác trong góc 𝐶 nằm trên đườ ng thẳng 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0. Viết phương trình ca ̣nh 𝐵𝐶.

26. Viết phương trình các ca ̣nh của tam giác 𝐴𝐵𝐶, biết 𝐴 2; −7 , phương trình đường cao và trung tuyến vẽ từ 
hai đỉnh khác nhau là : 3𝑥 + 𝑦 + 11 = 0, 𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

28. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, vớ i các đỉnh 𝐴 −6; −3 , 𝐵 −4; 3 , 𝐶 9; 2 .

a. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) là đường phân giác trong của góc 𝐴.
b. Tìm điểm 𝑃 ∈ 𝑑 sao cho tứ giác 𝐴𝐵𝑃𝐶 là hình thang .

29. Cho hai đường thẳng 𝑑1 : 𝑎 − 𝑏 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑑2 : 𝑎2− 𝑏2 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑏, biết rằng: 𝑏2 = 4𝑎2 + 1
a. Xác định giao điểm 𝐸 của 𝑑1 , 𝑑2 .

b. Tìm tập hợp điểm 𝐸 khi 𝑎, 𝑏 thay đổi.

30. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 3𝑥 + 𝑦 + 5 = 0, 𝐴𝐶 : 𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0. Viết phương trình 
cạnh 𝐵𝐶, biết 𝐵𝐶 đi qua điểm 𝑀 2; 2 .

31. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân ta ̣i 𝐴, hai cạnh 𝐴𝐵 : 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0, 𝐵𝐶 : 2𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0. Viết phương trình 
cạnh 𝐴𝐶, biết 𝐴𝐶 đi qua điểm 𝑀 2; 2 .

32. Cho hai đườ ng thẳng 𝑑1 : 𝑚𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, 𝑑2 : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0, định 𝑚 để 𝑑1 , 𝑑2
a. cắt nhau. b. song song. c. trùng nhau

33. Viết phương trình đường thẳng :

</div>

Chuyen de hinh hoc phang phuong trinh duong thang

<b>PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về