Tài liệu giao án ôn thi toán 9

Đề c ơng dạy ôn (15 buổi)- môn toán 9
Ngày dạy: thứ 2/10 / 5/2010
Buổi 1:rút gọn biểu thức Có chứa căn thức bậc hai
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605 +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+
;
3)
15 216 33 12 6 +
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
+

+
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
;

6)
16 1 4
2 3 6
3 27 75

;
7)
4 3
2 27 6 75
3 5
+
;
8)
( )
3 5. 3 5
10 2
+
+
9)
8 3 2 25 12 4 192 +
;
10)
( )
2 3 5 2 +
;
11)
3 5 3 5 + +
;
12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +

;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ +
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+
+
+ +
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+

;
17)
14 8 3 24 12 3
;
18)

4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+
;
19)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+
20)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
+ + +
.
Bài 2: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 3: Cho biểu thức

x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn biểu thức C;
1
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 2

x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
;
b)
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

;
c)
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
+ +
;
d)
x 1 2 x 2
H =

x 2 1


.................................................................................................................................
Ngày dạy: thứ 3/11 / 5/2010
Buổi 2: rút gọn biểu thức Có chứa căn thức bậc hai
( Bài tập tổng hợp)
Bài 6: Cho biểu thức
1 1 a 1
M = :
a a a 1 a 2 a 1
+

+
ữ
+

a) Rút gọn biểu thức M;
b) So sánh M với 1.
Bài 7: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2

+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 8: Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá
trị nguyên.
2
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.
Bài 10: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

.
Buổi 3: Ôn tập phần hệ thức lợng trong tam giác vuông và góc với
đờng tròn.
3

Bài 1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn
bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
1. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
2. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC =
24 Cm.
Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng
tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh
B
Do đó BI BK hayIBK = 90
0
.
Tơng tự ta cũng có ICK = 90
0
nh vậy B và C cùng nằm
trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một
đờng tròn.
Ta có C
1
= C
2
(1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
C
2
+ I
1
= 90
0
(2) ( vì IHC = 90

0
).

I
1
= ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => C
1
+ ICO = 90
0
hay AC OC. Vậy AC là
tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12
cm.
AH
2
= AC
2
HC
2
=> AH =
22
1220

= 16 ( cm)
CH
2
= AH.OH => OH =
16
12

22
=
AH
CH
= 9 (cm)
OC =
225129
2222
=+=+
HCOH
= 15 (cm)
Bài 2 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp
tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác
A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp
tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là
giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đ-
ờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳngd
4
Lêi gi¶i:
(HS tù lµm).

V× K lµ trung ®iĨm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hƯ ®êng kÝnh Vµ d©y cung)
=> ∠OKM = 90
0
. Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 90
0
; ∠OBM = 90
K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 90
0
nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM.
VËy n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn
3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tun c¾t nhau); OA = OB = R
=> OM lµ trung trùc cđa AB => OM ⊥ AB t¹i I .
Theo tÝnh chÊt tiÕp tun ta cã ∠OAM = 90
0
nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI
lµ ®êng cao.
¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA
2
hay OI.OM = R
2
; vµ OI.
IM = IA
2
.
4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tun) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.
5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M
th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).
6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d

th× H còng di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã q tÝch cđa
®iĨm H khi M di chun trªn ®êng th¼ng d lµ nưa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R
Bi 4: ¤n H×nh tỉng hỵp
Bài 1:
Cho (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm
5
H
I
E
D
B
C
A
O
x
a) Chứng minh: Tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp.
b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác
điểm B)
đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: AB
2
= AE. AD
c) Chứng minh: Tia đối của tia EC là tia phân giác của
·
BEA
d) Tính diện tích tam giác BDC theo R.
HƯỚNG DẪN
·
·
·

·
0
0
0 0 0
OBA 90 (OB AB) ( 2 ttuyến cắt nhau)
a)
OCA =90 (OC AC) ( 2 ttuyến cắt nhau)
OBA OCA 90 90 180

= ⊥


⊥


⇒ + = + =
⇒ OBAC là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180
0
)
b) Xét ∆AEB và ∆ABD, ta có:

·
·
»
µ

=





ABE ADB ( góc tạo bởi tiếp tuyến va ødây cung va øgóc nội tiếp cùng chắn BE)
A la øgóc chung
Vậy: ∆AEB ~ ∆ABD(g-g)
2
AE AB
AB AE.AD
AB AD
⇒ = ⇒ =
C) Gọi Ex là tia đối của tia EC
·
·
·
·
¼

⇒ =


=


Co ù AC // BD(gt)
EAC EDB (slt)

Ma ø: ECB EDB (cùng chắn BE)
·
·
·
⇒ = =

EAC ECB ( cùng EDB )
6
·
·
»
·
·
·
·
·
·
∆ ∆
∆ ∆
=
=
⇒ = ⇒ =
Xét AEC va ø CEB ; ta có :
EBC ECA (cùng chắn CE)
EAC ECB (cmt)
Vậy : AEC va ø CEB (g-g) BEC AEC BEx AEx (kề bu øvới hai góc bằng nhau)
Vậy : tia đối của tia
·
EC la øtia phân giác của BEA.
d) ∆ ABC vuông tại B cho OA
2
= OB
2
+ AB
2
( Pitago) và chứng minh được OA ⊥BC

tại H
⇒ AB
2
= (3R)
2
- (R)
2
⇒ AB = R
8
∆ ABO vuông có ba cạnh là R, R
8
,3R
Các tam giác vuông OHC và ICB cùng đồng dạng với tam giác vuông ABO cho:
R R 8 2R 8
OH ; HC = ; BC =
3 3 3
=
1 2R 8 2R 8 8
IB ; IC =
3 3 3 3
= × ×

2
1 2R 8 2R 8 8 64R . 2
Diện tích tam giác BDC = IB.IC =
3 3 3 3 81
× × × =
Bài 2:
Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O). Tử S vẽ
hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O)(A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a

đi qua S cắt đường tròn(O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N
(đường thẳng a không đi qua tâm O)
a) Chứng minh rằng: SO vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường
thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. chứng minh: IHSE là một tứ giác nội
tiếp.
c) Chứng minh: OI.OE = R
2
d) Cho biết SO = 2R và MN = R
3
. Tính diện tích tam giác ESM theo R
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh: SO⊥ AB
Ta có: SA = SB (2 tt cắt nhau)
Suy ra ∆SAB cân tại S. ta có SO là tia phân
giác của
·
ASB
nên cũng là đường cao của tam
giác SAB.
7
j
H
N
M
E
I
S
B
A

O
Nên SO⊥ AB
Cách khác: SA = SB
OA= OB
Nên SO là trung trực của AB. Suy ra: SO⊥ AB
b) Chưng minh: IHSE là một tứ giác nội tiếp
Ta có:
·
0
SHE 90 (SO AB)
= ⊥

·
0
SIE 90 (OI MN)
= ⊥
Nên :
·
·
0
SIE SHE 90
= =
(cùng nhìn SE dưới góc 90
0
)
Vậy tứ giác IHSE nội tiếp được đường tròn.
c) Chứng minh: OI.OE = R
2
Xét ∆OIH và ∆OSE, ta có:
·

IOH
là góc chung
· ·
OIH OSE
=
( tứ giác IHSE n/tiếp)
Vậy: ∆OIH ~ ∆OSE(g-g)
OI OH
OI OE = OH OS
OS OE
= ⇒ × ×
Mà OH.OS = OA
2
= R
2
(hệ thức lượng trong ∆AOS)
Vậy: OI.OE = R
2
.
d) Tính diện tích tam giác ESM theo R.
Ta có : OI = R/2 ( vì MN là cạnh của tam giác đều nội tiếp(O,R))
Mà: OI.OE = R
2
. Nên OE = 2R
Ta có: IE = OE – OI = 2R – R/2= 3R/2
Tam giác vuông OIS cho:
2 2
2 2 2 2
2
R 15R R 15

SI SO OI 4R SI
4 4 2
R 15 R 3 R
Ta co ù: SM = SI - IM = = ( 15 - 3)
2 2 2
1 3R
Diện tích tam giác EMS : SM. IE = ( 15 - 3)
2 8
= − = − = ⇒ =
−
8
Ngày dạy :
Buổi 5: ÔN Hệ phơng trình
Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
a.
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y

+ =


+ =


Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2

1
x
y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:

2
1
x
y
=


=


- Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =

+ = + = + = =

Vaọy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=

- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:

1.2.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+

+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+


2
2

1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =



+ = =



+ = =

= =

+ =
+ +



+


Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
Đặt
1
1
a
x
=

+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   

1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y

y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 
=
=



(TM§K)
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y

= −



=


Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

1.2.
2 2 5
)

2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1.
3 3

)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c

x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2
x y
b
x y


+ =


− =


Bài 4:
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bài 5:
a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ =


− = −


có nghiệm là (1;
-2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1
3
1
1 1
m n
m n
m n
m n


+ =


+ +


+ = −

+ +

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =


;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =


+ − =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =


;
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =




− =

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =




Bµi 8: Cho hƯ ph¬ng tr×nh



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y)=(
)3;2
Bµi 9: Gi¶I c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau
a)







=
−
−
+
=

−
−
+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
−=−
22
843
yx
yx
c)





=−+−
=−−−
1222

32423
yx
yx
(®k x;y
≥
2 )

3 5
1
x y
x y

+ =


− + = −


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= − +


= −



;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



− =


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ − =


− =

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

− =



+ = −



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

− = −


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y

x y x y
+ − = + −


− + = − +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
− − + + − =


− + − − − =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + − =


− + + − =

;

1 1 4

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =


+ −

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

− +



− = −

− +

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y


− =

− + + −



+ =

− + + −

...........................................................................................................................
Ngµy d¹y:
Bi 6: ¤n h×nh tỉng hỵp( TiÕp)
Bài 1:
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) và có 3 đường cao AD , BE ,
CF cắt nhau tại H .
a) CMR: các tứ giác BFEC, AFHE là các tứ giác nội tiếp được .
b) CMR: Tia DA là tia phân giác của góc EDF.
c) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại điểm K (khác điểm A).
CMR: Tứ giác BHCK là một hình bình hành.
d)Gọi G là trọng tâm của

ABC. CMR :
AHG AOG
S = 2 S
∆ ∆
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh: tứ giác BFEC, AFHE là các tứ giác nội

tiếp được.
Trong tứ giác BFEC, ta có:
·
·
· ·
0
0
0
0
BFC 90
BEC = 90
BFC BEC = 90
2 đỉnh E, F liên tiếp nhìn 1 cạnh BC dưới góc 90
=
⇒ =
Vậy: tứ giác BFEC nội tiếp.
Trong tứ giác AFHE, ta có:
·
·
· ·
0
0
0 0 0
AFH 90
AEH = 90
AFH AEH = 90 + 90 180
=
⇒ + =
Vậy: AFHE nội tiếp được ( tổng 2 góc đối diện bằng 180
0

)
b) CMR: Tia DA là tia phân giác của góc EDF.
Trong BFHD, ta có:

·
·
·
·
0
0
0 0 0
BDH 90
BFH = 90
BDH BFH = 90 + 90 180
=
⇒ + =

Vậy: BFHDnội tiếp được ( tổng 2 góc đối diện bằng 180
0
)
¶
µ
»
1 1
D B (2 góc n/tiếp cùng chắn FH của (BFHD) (1)⇒ =
Trong ABDE, ta có:

·
·
·

·
0
0
0
0
ADB 90
AEB = 90
ADB AEB = 90
2 đỉnh liên tiếp D, E cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc 90
=
⇒ =
⇒

Vậy: ABDE nội tiếp được
¶
µ
»
1 2
D B (2 góc n/tiếp cùng chắn AE của (ABDE) (2)⇒ =
¶
¶
µ
1 2 1
Tư ø (1), (2) D D (cùng B )
⇒ = =
Vậy: Tia DA là tia phân giác của
·
EDF.
c) CMR: Tứ giác BHCK là một hình bình hành
1 1

2
F
G
M
C
K
H
D
E
O
B
A
·
0
Ta có : ACK 90 (góc n/tiếp chắn 1/2 (O))
CK CA tại C
mà: BH CA tại E (vì H la øtrực tâm ABC)
BH//CK (cùng CA)
t/tự : BK//CH (cùng AB)
Vậy : BHCK la ø hình bình hành (tư ù gi
∆
=
⇒ ⊥


⊥

⇒ ⊥



⊥

ác co ù2 cặp cạnh song song)
d) CMR :
∆ ∆
AHG AOG
S = 2 S
Ta có: BHCK là hình bình hành (cmt)
hai đường chéo HK, BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
OM là trung bình của
∆
AHK.
Trong
∆
AHK, ta có: AM và OH là trung tuyến gặp nhau tại trọng tâm G’.
⇒

'
AM
AG
3
=
Mà: G là trọng tâm cùa
∆
ABC.
⇒

AM
AG
3

=
Do đó: G’
≡
G
⇒
G
∈
OH
Vậy: H, G, O thẳng hàng
⇒
G là trọng tâm
∆
AHK
⇒
HG = 2 OG (t/c trọng tâm)
Mà:
∆
∆







AHG
AOG
1
S = AN . HG
2

1
S = AN . OG
2
⇒

AHG AOG
S = 2 S
∆ ∆
Bài 2:
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R) và có 2 đường cao BE và
CF cắt nhau tại H .
a) CMR: tứ giác BFEC là các tứ giác nội tiếp được .
b) Hai đường thẳng BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q .
CMR :
·
·
BPQ BCQ
=
, suy ra : EF // PQ
c) CMR: OA
⊥
EF
d) Cho BC = R
3
. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

AEF theo R
HƯỚNG DẪN

a) CMR: tứ giác BFEC là các tứ giác nội tiếp được .
Trong tứ giác BFEC, ta có:

·
·
· ·
0
0
0
0
BFC 90
BEC = 90
BFC BEC = 90
2 đỉnh liên tiếp F, E cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc 90
=
⇒ =
⇒
Vậy: tứ giác BFEC nội tiếp được.
b) CMR :
·
·
BPQ BCQ
=
, suy ra : EF // PQ
µ
¶
»
µ
¶
µ

µ
¶
1 2
1 2
1 1 2
Ta có : P C (2 góc n/ tiếp cùng chắn QB )
ma ø: E C (vì BFEC n/ tiếp )
P = E (cùng C )
=
=
⇒ =
Mà: 2 góc này ở vò trí đồng vò
⇒
EF// QP.
c) CMR: OA
⊥
EF
µ
µ
·
1 1
Ta có : C B (cùng phụ với BAC)=
Mà:
µ
1
C
là góc n/tiếp chắn
»
AQ
µ

1
B
là góc n/tiếp chắn
»
AP
⇒

»
AQ
=
»
AP
⇒
AQ = AP (= R)
⇒
OA là trung trực của QP.
⇒
OA
⊥
PQ
Mà : EF // PQ(cmt)
OA
⊥
EF
d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

AEF theo R
Gọi I là trung điểm của AH.
Trong tứ giác AFHE, ta có:
·

·
· ·
0
0
0 0 0
AEH 90
AFH = 90
AEH AFH = 90 + 90 180
=
⇒ + =
Vậy: tứ giác AFHE nội tiếp được.(tổng hai góc bằng 180
0
)
⇒
IA = IP = IE = IH = AH/2
Vậy: I là tâm (AEF), bán kính là AH/2
Kẻ đường kính AK; gọi H là giao điểm BE, CF.
Gọi N là trung điểm BC.
⇒
ON
⊥
BC(đính lý đ/ kính và dây cung)
Ta có:
·
0
1
ACK 90 (góc n/ tiếp chắn (O))
2
=
AC CK.

Mà: AC BH (vì H là trực tâm r ABC)
⇒



1
1
1
2
1
I
H
N
K
F
Q
P
E
O
C
B
A
1
1
1
2
1
I
H
N

K
F
Q
P
E
O
C
B
A
⇒
BH // CK (cùng
⊥
AC)
Tương tự: CH // BK (cùng
⊥
AB)
Vậy : BHCK là hbh( tứ giác có 2 cặp cạnh //)
⇒
N là trung điểm chung của BC và HK( t/chất đg chéo hbh)
Trong

AHK, ta có:
ON là đg trung bình
⇒
ON = AH/2
⇒
AH = 2ON
Mà: BC = R
3
(gt)

⇔
BC là cạnh

đều nội tiếp(O)
⇔
ON= R/2
Vậy: AH = 2ON=R
⇒
bán kính (AEF) là R/2.
......................................................................................................................
Ngµy d¹y:
Bi 7: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh vµ
ph¬ng tr×nh
I, Mơc tiªu:
* KiÕn thøc: HS gi¶i ®ỵc c¸c bµi to¸n thùc tÕ b»ng c¸ch lËp HPT.
* KÜ n¨ng:
- HS ®ỵc cđng cè kÜ n¨ng ph©n tÝch t×m lêi gi¶i, tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n
b»ng c¸ch lËp HPT.
* Th¸i ®é: RÌn tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c, l« gÝc chỈt chÏ, râ rµng.
II, LÝ thut cÇn nhí:
* Bíc 1: + LËp HPT
- Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn.
- BiĨu diƠn mèi quan hƯ cßn l¹i qua Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt.
- LËp HPT.
* Bíc 2: Gi¶i HPT.
* Bíc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ĩ tr¶ lêi.
III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
1. Bµi tËp 1: ( To¸n chun ®éng)
Mét xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng thªm 14 km/h th×
®Õn B sím 2 giê, nÕu gi¶m vËn tèc ®i 4 km/h th× ®Õn B mn 1 giê. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh

vµ thêi gian dù ®Þnh.
 GV gäi h/s ®äc ®Ị bµi vµ ghi tãm t¾t néi dung bµi tËp.
*GV híng dÉn cho h/s lËp b¶ng vµ ®iỊn vµo b¶ng sè liƯu khi tr¶ lêi c©u hái sau:
VËn tèc ( km/h) Thêi gian (h) Qu·ng ®êng AB
Dù ®Þnh
x (h) y (h) x.y (km)
LÇn 1
x +14 (h) y - 2 (h) (x +14).(y 2) (km)–
Lần 2
x - 4 (h) y + 1 (h) (x - 4).(y + 1) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của bài cần lập đợc
là:
(x +14).(y - 2) = x.y
(x - 4).(y + 1) = x.y



Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 4, y > 2). Thì quãng đờng AB là x.y (km)
- Nếu tăng vận tốc đi 14 km/h thì vận tốc là: x + 14 (km/h) thì đến sớm 2 giờ thời gian
thực đi là: y 2 (h) nên ta có phơng trình:
(x +14).(y - 2) = x.y
(1)
- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x 4 (km/h) thì đến muộn 1 giờ thời gian
thực đi là: y + 1 (h) nên ta có phơng trình:
(x - 4).(y + 1) = x.y

(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:
(x +14).(y - 2) = x.y
(x - 4).(y + 1) = x.y





xy - 2x + 14y - 28 = x.y
xy + x - 4y - 4 = x.y





- 2x + 14y = 28
x - 4y = 4






- 2x + 14y = 28
2x - 8y = 8

+

6y = 36
x - 4y = 4






y = 6
x - 4.6 = 4






y = 6
x - 24 = 4






y = 6
x = 28

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 28 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 6 (h)
2. Bài tập 2:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 15 km/h thì
đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ.
Tính quãng đờng AB.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:
Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB
Dự định
x (h) y (h) x.y (km)
Lần 1
x +15 (h) y - 1 (h) (x +15).(y 1) (km)
Lần 2
x - 15 (h) y + 2 (h) (x - 15).(y +2) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của bài cần lập đợc
là:
(x +15).(y - 1) = x.y
(x - 15).(y + 2) = x.y



Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đờng AB là x.y (km)

- Nếu tăng vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x + 15 (km/h) thì đến sớm 1 giờ thời gian
thực đi là: y 1(h) nên ta có phơng trình:
(x +15).(y - 1) = x.y
(1)
- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x 15 (km/h) thì đến muộn 2 giờ thời
gian thực đi là: y + 2 (h) nên ta có phơng trình:
(x - 15).(y + 2) = x.y
(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:
(x +15).(y - 1) = x.y
(x - 15).(y + 2) = x.y





xy - x + 15y - 15 = x.y
xy + 2x - 15y - 30 = x.y





- x + 15y = 15
2x - 15y = 30

+

x = 45
- x + 15y = 15






x = 45
- 45 + 15y = 15






x = 45
15y = 60






x = 45
y = 4

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đờng AB dài là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)
3. Bài tập 3: ( Toán cấu tạo số)
Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
4
7
số ban đầu.
(
Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2005 2006
)
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 ta có phơng trình nào? (
x - y = 2
)
- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
4
7
số ban đầu ta có ph-
ơng trình nào ?
( )
4
10y + x = 10
7
x y

+
ữ

- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:
( )
x - y = 2
4
10y + x = 10
7
x y



+



Giải:
- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y
( Điều kiện: 0< x; y

9); x; y

N)
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có phơng trình:
x - y = 2
- Ta có số đã cho là:

10xy x y= +
,
số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là:
10yx y x= +
(1)
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
4
7
số ban đầu ta có phơng
trình:
( )
4
10y + x = 10
7
x y+
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
( )
x - y = 2
4
10y + x = 10
7
x y



+

( ) ( )
x - y = 2
7. 10y + x = 4. 10x y


+




x - y = 2
70 7 = 40x + 4yy x


+




x - y = 2
33 66 = 0x y







x - y = 2

2 = 0x y








y = 2
= 2x y







y = 2
2 = 2x







y = 2
= 4x

( thoả mãn )
Vậy chữ số hàng chục là 4; chữ số hàng đơn vị là 2, Số đã cho là: 42
4. Bài tập 4:
Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là
4 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
17
5
số ban đầu.
(
Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2005 2006
)
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 ta có phơng trình nào? (
y - x = 4
)
- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
4
7
số ban đầu ta có ph-
ơng trình nào ?
( )
17
10y + x = 10
5
x y

+
ữ

- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:
( )
y - x = 4
17
10y + x = 10
5
x y



+



Giải:
- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y
( Điều kiện: 0 < x , y

9); x , y

N)
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có phơng trình:
x - y = 2
- Ta có số đã cho là:

10xy x y= +
,
số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là:
10yx y x= +
(1)
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng
4
7
số ban đầu ta có phơng
trình:
( )
17
10y + x = 10
5
x y+
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
( )
y - x = 4
17
10y + x = 10
5
x y



+

( ) ( )
y - x = 4
5. 10y + x = 17. 10x y


+





y - x = 4
50 5 = 170 17y x x y


+ +




y - x = 4
165 33 0x y


=




- x + y = 4

15 3 0x y


=




- 15x +15 y = 60
15 3 0x y

+

=




12 y = 60
4x y


+ =




y = 5
5 = 4x

+




y = 5
= 1x



( thoả mãn )
Vậy chữ số hàng chục là 1; chữ số hàng đơn vị là 5, Số đã cho là: 15
5. Bài tập 5: ( Toán chuyển động)
Một Ô tô du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút một Ô tô tải đì từ B về A. Sau khi xe tải đi đợc
28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc của xe tải là 20
km/h và quãng đờng AB dài 88 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:
Xe du lịch Xe tải
Vận tốc ( km/h)
x (km/h) y (km/h)
Thời gian (h)
17 + 28 = 45phút =
3
4
(h) 28 phút =
7
15
(h)

Quãng đờng
3
4
.x (km)
7
15
.y (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của bài cần lập đợc
là:
x - y = 20
3 7
. .y = 88
4 15
x



+


Giải :
- Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x >y > 0). -
Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có phơng trình:
x - y = 20
(1)
- Quãng đờng xe du lịch đi đợc trong 45 phút là:
3

.
4
x
(km)
- Quãng đờng xe tải đi đợc trong 28 phút là:
7
.
15
y
(km)
Theo bài ra quãng đờng AB dài 88km nên ta có phơng trình:
3 7
. .y = 88
4 15
x +
(2)
Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:
x - y = 20
3 7
. .y = 88
4 15
x



+

x - y = 20
45 28y = 5280x


+

. . .


x = 80
y = 60



(thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
6. Bài tập 6:
Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63km hết tất
cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngợc dòng 84km thì hết 7 h. Tính vận tốc thực của
ca nô và vận tốc của dòng nớc.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? (Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nớc)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn ?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nớc là: y (km/h)
- Tính vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng khi biết vận tốc của dòng nớc, vận tốc thực
của ca nô nh thế nào?
( V
xuôi
= V

Thực
+ V
nớc
= x + y; V
Ngợc
= V
Thực
- V
nớc
= x - y)
- Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngợc dòng 63 km ta có phơng trình nào ?
(
108 63
+ = 7
x + y x - y
)
- Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngợc dòng 84 km ta có phơng
trình nào ? (
81 84
+ = 7
x + y x - y
)
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:
108 63
+ = 7
x + y x - y
81 84
+ = 7

x + y x - y








Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nớc là: y (km/h)
( Điều kiện: x > y > 0)
- Thì vận tốc xuôi dòng là: x + y (km/h), vận tốc ngợc dòng là: x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ nên ta có phơng
trình:
108 63
+ = 7
x + y x - y
(1)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có phơng
trình:
81 84
+ = 7
x + y x - y
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
108 63
+ = 7
x + y x - y
81 84

+ = 7
x + y x - y







đặt: a =
1
x + y
; b =
1
x - y
Ta có hệ phơng trình:
108a +63 b = 7
81 84 7a b


+ =




1
a =
27
1
b =

21










1 1
=
x + y 27
1 1
=
x - y 21










x + y = 27
x - y = 21

x = 24
y = 3



( thoả mãn )
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nớc là: 3 (km/h)
Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình
Bài tập 1:
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngợc dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian
mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yêu lặng. Tính vận tốc của
xuồng khi đi trong hồ biết rằng vận tốc của nớc chảy trên sông là 3 km/h.
H ớng dẫn cách giải:
- Đối với bài toán này các em cần vận dụng công thức chuyển động với dòng nớc
(v
xuôi
= v
Thực
+ v
nớc
; v
Ngợc
= v
Thực
- v

nớc
)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) điều kiện x > 3
- Biểu diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngợc dòng khi biết vận tốc của dòng nớc là 3 km và
vận tốc thực của ca nô là x (km/h)?
- Hoàn thành bảng số liệu sau
Xuôi dòng Ngợc dòng Trong hồ
Vận tốc (km/h)

3x
+
(km/h)
3x

(km/h) x
Thời gian đi (h)
30
3x +
(h)
28
3x
(h)
59,5
x
(h)
- L u ý : Cần xác định dúng quãng đờng xuôi dòng, ngợc dòng và cách tính thời
gian và mối quan hệ giữa thời gian đi trong hồ với thời gian xuôi, ngợc dòng để từ đó thiết
lập phơng trình.
Giải:

Gọi vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là x (km/h) (Điều kiện x > 3)
thì vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h), vận tốc ngợc dòng là x - 3 (km/h).
Thời gian xuồng khi đi trong hồ 59,5 km là
59,5
x
(giờ)
Thời gian xuồng máy xuôi dòng 30 km là
30
3x +
(giờ)
Thời gian xuồng máy ngợc dòng 28 km là
28
3x
(giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
30
3x +
+
28
3x
=
59,5
x


( ) ( ) ( ) ( )
30. 3 28. 3 59,5. 3 3x x x x x x + + = +


( )

2 2 2
30 90 28 84 59,5 9x x x x x + + =


2 2
58 6 59,5 535,5x x x =



2
1,5 6 535,5 0x x+ =


2
4 357 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
21x =
;
2
17x =
. Nhận thấy x = 17 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vậy vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là 17 (km /h).
Bài tập 2 :
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ A
đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12
phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
H ớng dẫn cách giải:
Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và yêu cầu các
em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:

Ô tô thứ nhất Ô tô thứ hai
Vận tốc (km/h)

6x +
(km/h)
x
(km/h)
Thời gian ( h)
108
6x +
(h)
108
x
(h)
- Đổi 12 phút = ? (giờ)
1
5
- Bài toán yêu cầu tính đại lợng nào ? ( Vận tốc của mỗi xe)
- Nếu gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x thì vận tốc của Ô tô thứ nhất đợc tính nh thế
nào ? (
6x
+
)
- Biểu diễn thời gian di hết quãng đờng AB của Ô tô thứ nhất và Ô tô thứ hai qua ẩn số
x.
108
6x +
(h) và
108
x

(h)
- Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến B trớc Ô tô thứ hai 12 phút nên ta có phơng trình nào ?
108
x
-
108
6x
+
=
1
5
+) Với gợi ý trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm sau 7 phút tôi kiểm tra kết quả của các
nhóm và đối chiếu kết quả trên máy chiếu.
+) Căn cứ vào những gợi ý trên các em đã trình bày lời giải bài toán nh sau:
Giải: Đổi: 12 phút =
1
5
(h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô thứ nhất là
6x
+
(km/h)
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là
108
6x +
(giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là
108
x
(giờ)

Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phơng trình:

108
x
-
108
6x +
=
1
5


( ) ( )
108.5. 6 108.5. . 6x x x x+ = +

2
540 3240 540 6x x x x+ = +

2
6 3240 0x x+ =
Ta có:
( )
2
' 3 1. 3240 =
= 9 + 3240 = 3249 > 0

' 3249 57 = =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
1

3 57
54;
1
x
+
= =

2
3 57
60
1
x

= =
;
Nhận thấy
1
54x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
60x =
< 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của Ô tô thứ hai là 54 (km/h)
Vận tốc của Ô tô thứ nhất là 54 + 6 = 60 (km/h)
Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán nh sau:
Bài tập 3 :
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành một lúc
từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên
đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính thời gian đi hết quãng đờng AB của mỗi xe.
Giải: Đổi: 12 phút =

1
5
(h)
Gọi thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là x (giờ) (điều kiện x > 0)
Thì thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là
1 5 1
5 5
x
x
+
+ =
(giờ)
Vận tốc Ô tô thứ nhất là
108
x
(km/h), Vận tốc Ô tô thứ hai là
540
5 1x +
(km/h)
Theo bài ra mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km ta có phơng trình:

108
x
-
540
5 1x +
= 6

( ) ( )
108. 5 1 540. 6 . 5 1x x x x+ = +

2
540 108 540 30 6x x x x+ = +


2
30 6 108 0x x+ =


2
5 18 0x x+ =
Ta có:
( )
2
' 1 5. 18 1 80 81 0 = = + = >


81 9 = =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
1 9 8
5 5
x
+
= =
;
2
1 9 10

2
5 5
x

= = =

Nhận thấy
1
8
5
x =
> 0 (thoả mãn điều kiện),
2
2x =
< 0 (loại)
Trả lời: Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là:
8
5
(h) = 1giờ 36 phút.
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB là
8
5
+
1
5
=
9
5
(h) =1 giờ 48 phút.
Bài tập 4 :

Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi
Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn
vận tốc của máy bay cánh quạt là 300 km/h. Nó đến Đà
Nẵng trớc khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.
H ớng dẫn cách giải:
- Nhìn chung các em đều nhận dạng đợc bài toán và trình bày lời giải sau khi thảo luận trong
nhóm
Bảng số liệu:
Máy bay cánh quạt Máy bay phản lực
Vận tốc (km/h)
x (km/h)
300x
+
(km/h)
Thời gian ( h)

600
x
(h)
600
300x +
(h)
- Sau khi kiểm tra kết quả của một số nhóm và đối chiếu với kết quả của GV trên máy chiếu
nhìn chung các em đều làm đợc bài tập này
Giải: Đổi: 10 phút =
1
6
(h)
Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)

Thời gian của máy bay cánh quạt đi là
600
x
(giờ)
Thời gian máy bay phản lực đã đi là
600
300x +
(giờ)
Theo bài ra máy bay phản lực đến sớm hơn máy bay cánh quạt 10 phút nên ta có phơng trình:
600
x
-
600
300x +
=
1
6


( ) ( )
600.6. 300 600.6 . 300x x x x+ = +



2
300 540000 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc:
1
2
150 750 900

150 750 600
x
x
= =


= + =


Nhận thấy x = 600 > 0 thoả mãn điều kiện
Trả lời: Vận tốc của máy bay cánh quạt là 600 (km/h) và vận tốc của máy bay phản lực là
900 (km/h)
Bài tập 5 : (SBT 46)
Quãng đờng từ Thanh Hoá - Hà Nội dài 150 km. Một Ô tô từ Hà nội vào Thanh Hoá rồi nghỉ
lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc về,
biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn lúc về là 10 km/h.
H ớng dẫn cách giải:
+) GV phát phiếu học tập và yêu cầu học sinh chọn ẩn và điền vào bảng số liệu
ở trong bảng (5 phút) Hãy thiết lập phơng trình ?
GV Chiếu kết quả để học sinh đối chiếu với bài làm của nhóm.
Lúc Đi Lúc Về
Vận tốc (km/h)

10x
+
(km/h)
x
(km/h)
Thời gian ( h)
150

10x +
(h)
150
x
(h)
Ta có phơng trình sau:
150
10x +
+
13
4
+
150
x
= 10
Từ đó giáo viên hớng dẫn và trình bày lời giải cho học sinh.
Giải: Đổi: 3 giờ 15 phút =
13
4
(h)
Gọi vận tốc của Ô tô lúc về là x (km/h) (điều kiện x > 0)
thì vận tốc của Ô tô lúc đi là x + 10 (km/h)
Thời gian Ô tô đi từ Hà Nội vào Thanh Hoá là
150
10x
+
(giờ)
Thời gian Ô tô đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội là
150
x

(giờ)
Theo bài ra Ô tô từ Hà nội vào Thanh Hoá rồi nghỉ lại thanh Hoá 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà
Nội hết tất cả 10 giờ nên ta có phơng trình:
150
10x
+
+
13
4
+
150
x
= 10


( ) ( ) ( )
150.4. 13. . 10 150. 10 10. . 10x x x x x x+ + =


2 2
600 13 130 600 1500 10 100x x x x x x+ + =


2
27 270 1200 6000x x x+ = +


2
9 310 2000 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc

1
2
155 205 360
40
9 9
155 205 50
9 9
x
x
+

= = =





= =



Nhận thấy x = 40 > (thoả mãn đ/k) nên vận tốc Ô tô lúc về là 40 (km/h).
Bài tập 6 :
Một ôtô đi trên quãng đờng dài 520 km. Sau khi đi đợc 240 km thì ôtô tăng vận tốc thêm 10
km/h và đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc của ôtô lúc ban đầu, biết thời gian đi hết
quãng đờng là 8 giờ.
H ớng dẫn cách giải:
- GV yêu cầu học sinh xác định đoạn đờng đi
+) Độ dài đoạn đờng ôtô đi lúc đầu là ? 240 km
+) Độ dài đoạn đờng còn lại là ? 520 - 240 = 280 (km)

- Dựa vào bài toán trên nhìn chung các em đều nhận thấy nội dung bài toán có sự giống nhau
xong còn một số em cha xác định đúng độ dài đoạn đờng đi lúc đầu, đoạn đờng đi lúc sau
nên thiết lập phơng trình còn sai.
Đoạn đầu Đoạn sau
Quãng đờng ( km)
240 km 280 km
Vận tốc (km/h)
x
km/h)
x + 10
(km/h)
Thời gian (h)
240
x
(h)
280
10x
+
h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
240 280
8
10x x
+ =
+

Vậy trong trờng hợp này chỉ có một vật tham gia chuyển động nhng đoạn đờng đi đợc chia
thành 2 đoạn nên ta cần xác định rõ đoạn đờng đi lúc đầu, đoạn đờng sau để điền đúng số
liệu vào bảng, từ đó có lời giải đúng khi đó ta có lời giải nh sau:
Giải:

Gọi vận tốc của ôtô đi lúc đầu là x (km/h) (điều kịên x > 0)
Thì vận tốc của ôtô trên đoạn đờng còn lại là: x + 10 (km/h)
Thời gian ôtô đi đoạn đờng đầu là
240
x
(giờ)
Thời gian ôtô đi trên đoạn đờng còn lại là
280
10x +
(giờ)
Theo bài ra thời gian đi hết quãng đờng là 8 giờ nên ta có phơng trình:

240 280
8
10x x
+ =
+


( ) ( )
240. 10 280. 8. . 10x x x x+ + = +


2
240 2400 280. 8 8x x x x+ + = +


2
8 512 2400 0x x =

2
55 300 0x x =
Giải phơng trình ta đợc:
1
60x =
;
2
5x =

Nhận thấy
1
60x =
> 0 thoả mãn đ/k bài toán;
2
5x =
< 0 không thoả mãn đ/k.
Trả lời: Vậy vận tốc của ôtô đi lúc đầu là: 60 (km/h).
Ph ơng pháp chung: