Tong hop cac CT Toan 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (260.74 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B

 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x 
 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm
 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

Ax > B
 A > 0 :

A
B
x
 A < 0 :

A
B
x

 A = 0 vaø B  0 : vô nghiệm
 A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ

1/. Dạng :















/
/
/

x

b

y

c

a

c

by

ax

2/. Cách giaûi :

baab

ba

D

//





bccb

bc

D

x

//





caac

ca

D

y

//

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 D  0 : hệ có nghiệm duy nhất













D

y

D

x

 D = 0 vaø Dx  0

Hệ vô nghiệm
D = 0 vaø Dy  0

 D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/

Sơ đồ: a c b

a’ c’ b'

D
Dy

NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN

ax2 + bx + c = 0 ( a 
 0)

  = b2 – 4ac

 > 0

a
b
x





 ,

a
b
x






 = 0 Nghiệm kép

a
b
x

x

2
1  
 < 0 Vô nghiệm

 / = b/ 2 – ac

/ > 0

a
b

x1  /  / ,

a
b
x

/
/
2






/ = 0 Nghiệm kép

a
b
x
x

/
2
1  
/ < 0 Vô nghiệm

Chú ý: a + b + c = 0 : nghieäm x1 = 1, x2 = ac
a – b + c = 0 : nghieäm x1 = –1, x2 =  ac

NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC

f(x) = ax + b ( a  0)
x –


a
b

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax2 + bx + c ( a

 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOAØI CÙNG)

Nếu Thì













0 a









0
0

a

f(x) > 0, x
f(x) < 0, x













0 a













0 a

f(x) > 0, x 
a
b


f(x) < 0, x 

a
b



 > 0 x –  x1 x2 +
f(x) cuøng 0 true 0 cuøng

daáu a

NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI 
VỚI CÁC SỐ

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a

 0) và ,  là hai số thực
1/. Muốn có x1 <  < x2 ta phải có af(x) < 0

2/. Muốn có x2 > x1 >  ta phải có



















0

2

0 )

(

0 

S

af

3/. Muốn có x1 < x2 <  ta phải có



















0

2

0 )

(

0 

S

af

4/. Muốn có x1<  <  < x2 ta phải có









0 )

(

0 )

(

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5/. Muốn có x1<  < x2 < ta phải có











0 )

(

0 )

(





af

6/. Muốn có 







2
1

x
x




ta phải có f()f()0

7/. Muốn có  < x1 < x2 <ta phải có



























2

0 )

(

0 )

(

0 S

af

 Chú ý:

1/. Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0
2/. Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có















0 S

P

3/. Muốn có x1 < x2 <  ta phải có

















0 S

P

NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

1/.















K

K

B

A

B

A

2

0

2/.















)0

(0

2 hayB

A

B

A

B

A

K

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1/.





















K
K

B

A

B

A

B

A

0

0

2/.































K

BA

B

A

B

BA

2

0

3/. 2 1 2 1




 K

K A B A B

NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1/.































0 B

A

B

BA

B

A

2/.















B

A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chú ý:

































0 )(

x

xg

xf

x

xg

xf

xg

xf

NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1/.

















0 B

A

B

A

2/.

































0 B

A

B

A

B

A

3/. 2 2

B
A
B

A   

NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Định nghĩa :

Daïng : A > B, A  B
A < B, A  B
2/. Tính chất :

a) ab ba

ca

cb

ba













</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>















0 ,

c

bc

ac

c

bc

ac

b

a

c

b

d

c

b

a

















ac

bd

dc

ba













0


















0
;

1
1

0
;

1
1

ab
khi
b
a

ab
khi
b
a
b
a

3/. BĐT Cô Si :

Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,..., an

n

n a a a a

n

a
a

...
...

3
2
1
3

2
1







hay

n
n
n

n

a
a

a
a
a
a
a

a 







    

 ...

... 1 2 3

3
2
1

Dấu đẳng thức xảy ra  a1 = a2 = a3 = ... = an
4/. BĐT Bunhia Côp ski :

Cho a1, a2, a3,..., an, b1, b2, b3,..., bn là những số tực khi đó:

)
....
)(

....
(

)
...

( 2 12 22 2 12 22 2

2
2
1

1b a b anbn a a an b b bn

a          

Dấu đẳng thức xảy ra  ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,..., n

5/. BĐT BecnuLi :

Cho : a > –1, n  N Ta có : (1 + a)n 1 + na
Đẳng thức xảy ra 








1
0

n
a

6/. BĐT tam giác :

B
A
B

A  

Đẳng thức xảy ra  AB  0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/. 2 2 1


Cos x
x

Sin

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3/. CotxCosxSinx
4/. Tanx.Cotx1

5/.

x
Cos
x

Tan2 12

1 

6/.

x
Sin
x

Cot2 12

1 

Điều kiện tồn tại :

 Tanx là x / 2 + k , k  Z
 Cotx laø x  k , k  Z
 Sinx laø – 1  Sinx  1

 Cosx là – 1  Cosx  1
Chú ý :

 a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab

 a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

B. CƠNG THỨC CỘNG ( 8 cơng thức )
7/. Cos(ab)CosaCosb SinaSinb
8/. Cos(a b)CosaCosbSinaSinb
9/. Sin(ab)SinaCosbCosaSinb
10/.Sin(a b)SinaCosb CosaSinb
11/.

TanaTanb
Tanb
Tana

b
a
Tan







1
)
(

12/.Tan a b TanaTanaTanbTanb







1
)
(

13/.

Cotb
Cota

CotaCotb
b

a
Cot





 ) 1

(

14/.Cot a b CotaCotbCota Cotb





 ) 1

(

C. CÔNG THỨC NHÂN

I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/. Sin2a2SinaCosa

16/. Cos2a2Cos2a 11 2Sin2aCos2a Sin2a
17/.

a

Tan
Tana
a

Tan 2

1
2
2




II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/. Cos3a 4Cos3a 3Cosa




19/. Sin3a 3Sina 4Sin3a



20/.

a
Tan

Tana
a

Tan 2

3
1
3
3





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

21/. Sin2a 1 Cos2 2a

  1 Cos2a 2Sin2a
22/.

2
2
1

2a Cos a

Cos    1Cos2a 2Cos2a

23/. Sin3a 3Sina4Sin3a



24/.

4
3
3

3a Cosa Cos a

Cos  

IV. GĨC CHIA ĐƠI : ( 3 cơng thức)
25/. 1 2

t
t
Sinx




26/. 22

1
1

t

t
Cosx




 , với

x
Tan
t 

27/. 2

1
2

t
t
Tanx




D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 cơng thức)
28/. CosaCosb2Cosa2bCosa2 b
29/.

2
2

2Sina bSina b

Cosb

Cosa   

30/. SinaSinb2Sina2bCosa2 b
31/.

2
2

2Cosa bSina b

Sinb

Sina   

32/.

CosaCosb
b
a
Sin
Tanb

Tana  (  )

33/.

CosaCosb
b
a
Sin
Tanb

Tana  (  )

34/. CotaCotbSinSinaSinb(ab)
35/. Cota CotbSinaSinbSin(a b)

E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 cơng thức)

36/.







( )



2
1

b
a
Cos
b
a
Cos

CosaCosb   

37/.



( ) ( )



2
1

b
a
Cos
b

a
Cos

SinaSinb   

38/.



( ) ( )



2
1

b
a
Sin
b
a
Sin

SinaCosb   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin

Sin bù Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos
Phụ chéo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin
Khác  Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot 
Sai kém / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. CƠ BẢN :

Sinu = Sinv 
















2
2

k

v
u

k
v
u

k  Z

Cosu = Cosv  uvk2

Tanu = Tanv  uvk

Cotu = Cotv  uvk

Sinu = 0  u k

Sinu = 1  u/2k2

Sinu = –1  u /2k2

Cosu = 0 u/2k

Cosu = 1  uk2

Cosu = – 1  u  k2

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2

 0 )
Phương pháp :

Cách 1: Chia hai vế cho 2 2

b

a 

Đặt :  Sin

b
a

b
Cos

b
a

a





 2 2 2

2 ;

Ta coù ( ) a2 b2
c
x

Sin




 (*)

(*) Có nghiệm khi 1

2 

b

a
c

2
2

2 b c

a  



(*) Vô nghiệm khi a2 b2 c2




Caùch 2:

 Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không?
 Xét x  (2k + 1) Đặt : t Tan2x

Thế 2 22

1
1
;

1
2

t
t
Cosx
t

t
Sinx









Vào phương trình  t ?
 x ?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a 0



bSinx c
x

aSin ( đặt tSinx , t 1)



bCosx c
x

aCos (đặt tCosx , t 1)



bTanx c
x

aTan ( đặt t Tanx x k

, )



bCotx c
x

aCot ( đặt tCotx ,xk)

2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Daïng: 2 2 0




bSinxCosx cCos x
x

aSin (1)

3
2

2
3






bSin xCosx cSinxCos x dCos x
x

aSin (2)

Phương pháp :

Cách 1:

 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?

 Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình
đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.

Cách 2:

Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và SinxCosx Sin22x thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

Phương pháp: Đặt : ), 2

4
(

2  




Sinx Cosx Sin x t

t 

1
(*) atbt2 c

t

 ( nếu có)
x



Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :

Đặt : ), 2

4
(

2  




Sinx Cosx Sin x t

t 

0
2

1
(*)

2





 at b t c  t ? ( nếu có)  x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :

1/. Tổng bình phương :

 A2 + B2 + ...+ Z2 = 0  A = B = ...= Z = 0
 A  0, B  0,..., Z  0

Ta có : A + B + .... + Z = 0  A = B = ...= Z = 0
2/. Đối lập :

Giả sử giải phương trình A = B (*)
Nếu ta chứng minh











K

B

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>











K

B

K

A

(*)

3/.



















k

l

B

A

k

B

l

A











k

B

l

A

4/. A 1, B 1













1 B

A

AB

hay















1 B

A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG
Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Cosin  a2 b2c2  2bcCosA

bc
a
c
b
CosA
2
2
2
2




Hàm số Sin

 R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2




R
a
SinA
RSinA
a
2
,
2 

Hàm số Tan 

b
a
b
a

B
A
Tan
B
A
Tan





2
2

Các chiếu  abCosCcCosB
Trung tuyến 

4
)
(

2 2 2 2

2 b c a

ma





Phân giác  2 . 2

a
A
bc Cos
l
b c


Diện tích
Diện tích

 S aha bhb chc

2
1
2
1
2
1




 S bcSinA acSinB abSinC

2
1
2

1
2
1



 S pr

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B C

 S  p(p a)(p b)(p c)

Chú ý:

2
)
(
2
)
(
2
)

(p a TanA p b TanB p cTanC

p

S

r      


SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2
2
2

4   



 a, b, c : cạnh tam giác
 A, B, C: góc tam giaùc

 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a
 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

 R, r : Bán kính đường trịn ngoại, nội tiếp tam giác.


c
b
a

p   Nữa chu vi tam giác.

Hệ thức lượng tam giác vuông: 

AC
AB
BC
AH
CH
BH
AH
.
.
.
2



 AB2 BH.BC


 AC2 CH.CB
 BC2 AB2AC2

NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TĨAN CẦN NHỚ
Cho tam giác ABC :

1/. SinASinBSinC 4CosA2CosB2CosC2
2/.

2
2
2
4

1 SinASinBSinC

CosC
CosB

CosA   

3/. TanATanBTanC TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2
2
2
2
C

Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A

Cot   

5/. 1

2
.
2
2
.
2
2
.

2   

A
Tan
C
Tan

C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan

6/. Sin2A Sin2B Sin2C 2 2CosA.CosB.CosC







7/. Cos2A Cos2B Cos2C 1 2CosA.CosB.CosC







8/. Sin(AB)SinC
CosC
B

A

Cos(  ) ;

2
2
C
Cos
B
A

Sin  

2
2
C
Sin
B
A

Cos   ;

2
2
C
Cot
B
A

Tan  

9/.

8
3
3
.

.SinBSinC 

SinA
2
2
2
1
1
1
AC
AB

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

10/. CosA.CosB.CosC 81
11/.

8
3
3
2
.
2
.

2 

C
Cos
B
Cos
A
Cos
12/.

8
1
2
.
2
.

2 

C
Sin
B
Sin
A
Sin

13/. 2 2 2 43




Cos B Cos C
A

Cos
14/.

9
4

2
2




Sin B Sin C
A

Sin

15/. 2 2 2 9




Tan B Tan C
A

Tan

16/. 1

2
2

2
4

3 2 2 2






Sin A Sin B Sin C
17/. 2 2 2 2 2 2 2 94






Cos A Cos B Cos C

18/. 1

2
2




Tan B Tan C
A

Tan

19/. 9

2
2

2 ACot BCot C 
Cot

20/.

2
3
3
2
2

2ASin BSin C 

Sin

21/. Cos2ACos2BCos2C  23
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghóa 1:Hàm số yf(x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/. f (x) xác định tại điểm x = a

2/. limx a f(x)f(a)



Định nghóa 2: f(x)liên tục tại điểm x = a lim f(x) lim f(x) f(a)

a
x
a

x  





 



Định lý : Nếu f(x)liên tục trên [a, b] và f(a).f(b)0thì tồn tại ít nhất moät

điểm c (a, b) sao cho f(c)0
NHỚ 17 : HAØM SỐ MŨ

1/. Định nghĩa : Cho a > 0, a  1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công
thức : y = ax ( x

 R)
2/. Tính chất :

a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = ax > 0 moïi x

 R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

2
1

1 a x x

ax x





d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

2
1
2

1 a x x

ax x





</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

3/. Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

NHỚ 18 : HAØM SỐ LOGARIT

1/. Định nghóa :

a) Cho a0,a1, N 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N
Ký hiệu : logaN = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho
bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a  1)

2/. Tính chất và định lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn

TC1 : logaN = M aM = N

TC2 : loga aM = M , alogaM M

TC3 : loga1 = 0, loga a = 1

TC4 : loga (MN) = loga M + loga N

TC5 : M N

N

M

a
a

a log log

log  

TC6 : Đổi cơ số

a
b

a
N
N

b
a
c

c
a

log
1
log

;

log
log

log  

3/. Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/. Phương trình Logarit :

)
(
)
(
)
(
log
)
(

loga f x  a g x  f x g x
( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a  1 )
5/. Bất phương trình Logarit :

(*)

)
(
log
)
(

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

















)(

0)

(

(*)

1 xg

xf

a















)(

0)

(

(*)

0

1 xg

xf

xg

a

NHỚ 19 : ĐẠO HAØM
I/. Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x0 ( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm

tại x0 nếu giới hạn   0



x
khi
x
y
tồn tại.
x
x

f
x
x
f
x
y
x
f
x
x 











)
(
)
(
lim
lim
)

( 0 0

0
0

0
'

 Đạo hàm bên trái :

x
y
x
f
x 






0
0

'( ) lim

( tồn tại )
 Đạo hàm bên phải :

x
y

x
f
x 






0
0

'( ) lim

( tồn tại )
 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

y = f(x) có đạo hàm tại x0 (a, b)  f ‘(x0+) = f ’(x0–)

II/. Qui tắc tính đạo hàm :

1/. (a b ... c)' a' b' ... c'









2/. (ab)' a'.b a.b'




(abc)' a'.b.c a.b'.c a.b.c'






3/. 2

'
'
'
b
ab
b
a
b
a 







 ( b

 0)
(cu)' c.u' (c R)



2
'
'
1
u
u
u 






III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

TT Hàm số Đạo hàm

1 y = c y’ = 0

2 y = x y’ = 1

3 yyux


1
' . 
 
 x
y
'
1
' .u .u

y 

 

x

y 1 ' 12

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

x

y

u
y

x
y

2
1



u
u
y

'
'



5 yySinuSinx yy' uCosx'.Cosu
'




6 yyCosuCosx yy'' uSinx'.Sinu




7 yTanx

Tanu

y

x
Cos
y' 12



u
Cos

u

y 2

'
'



8 yCotx

Cotu

y

x

Sin
y' 12




u
Sin

u

y 2

'
'




9 yarcSinx

2
'

1
1

x
y




10 yarcCosx

2
'

1
1

x
y





11 yarcTanx ' 2

1
1

x
y




12 yarcCotx

2
'

1
1

x
y





13 yy aaux



Lna
a
y x



Lna
a
u
y' '. u.



14 yy eeuu



x
e
y' 

u
e
u
y' '



Lnx

y 

Lnu

y

x
y' 1

u
u
y' '



x
Ln
y 

u
Ln
y 

x
y' 1


u
u
y

'
' 

17 yloga x

xLna

y'  1

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)

NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :







  

b

a

b

a F b F a

x
F
dx
x

f( ) ( ) ( ) ( )

với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :



 



b

a

b

a
b

a vdu

v
u

udv [ . ]

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :















 t t dt

f
dx
x
f

b

a

)
(
.
)
(
)

( '

với x = (t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ’(t) liên tục trên [a, b] ,  t 


a =(), b = (), f[(t)] là hàm số liên tục trên [, ]
4/. Tính chất :







b

a

b

dx
x
f
dx

x

f( ) ( )



( ) 0

a

dx
x
f











b

c
c

a
b

a

dx
x
f
dx
x
f
dx
x

f( ) ( ) ( )



 







b

a

b

a
b

a

dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x

f( ) ( )] ( ) ( )

[









b

a

b

a

R
K
dx
x
f
K
dx
x

Kf( ) ( ) ,

f) Neáu m f(x)  M thì

)
(
)

(
)

(b a f x dx M b a

m

b

a










5/. Bảng tích phân :

TT Cơng thức

1 ( 1)















dx x c

x

2 ax b c

a
dx
b

ax 










1
)
(
.
1
)

(



</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>



 




  ( 1)

)
1
(

1
1

1 

 

 dx x c

x



 








 ( 1)( )  ( 1)

1
)

(ax b  a  ax b  1 c 

dx



Lnx c
x

dx



  

b aLnax b c
ax

dx 1



KdxKxc ,KR



exdxex c



  e  c
a

dx

eax b 1 ax b



 c

Lna
a
dx
a

x
x



Sinxdx Cosxc



  Cos axb c
a

dx
b
ax

Sin( ) 1 ( )



CosxdxSinxc



  Sin axb c
a

dx
b
ax

Cos( ) 1 ( )



Tanxc

x
Cos

dx



Cotxc

x
Sin

dx



 

 arcTanx c

x
dx



 

 a c

x
arcTan
a

a
x

dx 1

2
2









 x a c

a

x
Ln
a
a
x

dx

2
1

2
2









 a x c

x
a
Ln
a
x
a

dx

2
1

2
2



  



)
0
(

2 a c a

x
arcSin
x

a
dx

22 Lnx x h c

h
x

dx









2 2



     ( 0)

2
2

2
2
2
2

2 c a

a
x
arcSin
a

x
a

x
dx
x
a



x2 hdxx x2hhLnx x2h c

2
2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2/. Tổ hợp : CK K!(nn! K)!
n



 CnK CnnK



 0 1


 n

n

n C

C

 CnK CnK CnK
1
1
1

 Cn0Cn1 ...Cnn 2n

3/. Chỉnh hợp : (0 )

)!
(

n
K
K

n
n
AK

n  



NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :

 Cho z = a + bi

z’ = a’ + b’i

z  z’ = ( a  a’) + ( b  b’)i

z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i

 z = r.(Cos + i.Sin)

z’ = r’(Cos + i.Sin) z, z’  0

z.z’ = r.r’[Cos( + ) + i.Sin( + )]

)]
(

)
(
[
'

' r Cos  iSin 

r
z

z
2/. MoaVrô :

)

(

)]
(

[r Cos iSin n rn Cosn iSinn
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos + i.Sin) :

)
2
.

2
(

n
K
Sin
i
n

K
Cos
r

Z n

K







 






với K = 0, 1, 2,..., n – 1

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A. VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ :

      
2
1

)
,

(x y OM xe ye

M

 Cho A( xA, yA )

B( xB, yB )

1). AB (xB  xA , yB  yA)

2). ( , )2

A
B
A

B x y y

x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3). Tọa độ trung điểm I của AB :



















2

B
A

y

x

4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1 :



















k

y

k

y

k

x

k

x

B
A

1 .

 Phép toán : Cho a (a1,a2)



)
,
(b1 b2

b 


1).















2

1 b

a

ba

2). ab (a1b1,a2 b2)




3). m.a (ma1,ma2)


4). aba1b1a2b2




5). 2

2
2

1 a

a

a  



6).   1 1 2 2 0




b
a
b
a
b
a

7). 2

2
2
1
2
2
2
1

2
2
1
1

.
,

b
b
a
a

b
a
b
a
b

a
Cos












 

B. ĐƯỜNG THẲNG

1/. Phương trình tham số :















t

a

y

ta

x

2
0

1
0

Vectơ chỉ phương a (a1,a2)


2/. Phương trình tổng quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2

 0)

 Pháp vectơ n(A,B)


</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 Vectơ chỉ phương a (B,A)


( hay a (B, A)



)

 Hệ số góc  (B0)

B
A

K 0 x
3/. Phương trình pháp dạng :

2
2
2

2 






 A B

C
y

B
A

B
x

B
A

A

4/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K :

)

( 0

0 K x x

y

y  

5/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) :

(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)

hay

A
B

A
A

B
A

y
y

y
y
x
x

x
x







6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)




b
y
a
x

7/. Phương trình chính tắc : x ax0 yby0













  

)
,
(
),
,

(x0 y0 a a b

M

* Quy ước : 0

0 0

0
0








x
x
b

y
y
x
x

0 0

0
0








y
y
y
y
a

x

8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :




b
y
a
x

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 :

2
2

0
0

B
A

C
By
Ax






10/. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0

d2: A2x + B2y + C2 = 0

2
1
2
1

B
B
A
A
D

2

1

2

1 B

C

D

x

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2

1

2

1 C

A

D

y





* d1 caét d2  D0













0 //

2

x

D

d

hay











0

y

D

*d1 d2  DDx Dy 0
Chú ý : A2, B2, C2 0

d1 caét d2

2
1
2
1

B
B
A
A




2
1
2
1
2
1
2
1//

C
C
B
B
A
A
d

d   

2
1
2
1
2
1
2

1 C

C
B
B
A
A
d

d    

11/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 :

Xác định bởi công thức : 2
2
2
2
2
1

2
1

2
1
2
1

B
A
B
A

B
B
A
A
Cos









12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :

2
2
2

2
2
2
2

1
2
1

1
1
1

B
A

C
y
B
x
A
B

A

C

y
B
x
A











* Chú ý :

Dấu của  

2
1n

n Phương trình đường phân

giác góc nhọn tạo bởi d1, d2 Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

– t1 = t2 t1 = – t2

+ t1 = – t2 t1 = t2

C. ĐƯỜNG TRỊN :

1/. Định nghóa : M  (c)  OM = R

2/. Phương trình đường trịn tâm I( a, b) bán kính R :
Dạng 1 : (x a)2 (y b)2 R2

   

Daïng 2 : x2 y2 2ax 2by c 0

    

Với R2 a2 b2 c 0

   

3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

D. ELIP
PT chính tắc
Lý thuyết

2 2

( )

x y
a b
a b

 



2 2

( )

x y
a b
a b

 



Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b

Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a

Liên hệ a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2
Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Đỉnh A1,2( ± a, 0)B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0)B1,2(0, ± b)

Taâm sai e c

a

 e c

b


Đường chuẩn x a

e

 y b

e

Bán kính qua tieâu MF2 = a – exMF1 = a + ex MF1 = b + eyMF2 = b – ey
Pt tieáp tuyến tại

M(x0 , y0) 02 02 1

x x y y

a  b 

0 0

2 2 1

x x y y
a  b 

Pt hình chữ nhật cơ
sở

x a
y b







x a
y b






Điều kiện tiếp xúc

với Ax + By + C = 0 A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2
E. HYPEBOL

PT chính tắc
Lý thuyết

2 2

2 2 1

x y
a  b 

2 2

2 2 1

y x
b  a 

Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b

Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a

Liên hệ a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2
Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)

Đỉnh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)

Taâm sai e c

a

 e c

b


Đường chuẩn x a

e

 y b

e


Tiệm cận y bx

a

 y b x

a

Bán kính qua tiêu M  nhánh phải

MF1 = ex + a
MF2 = ex – a

M  nhánh phải

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

M  nhaùnh traùi

MF1 = – (ex + a)
MF2 = – (ex – a)

M  nhaùnh traùi

MF1 = – (ey + b)
MF2 = – (ey – b)
Pt tiếp tuyến tại

M(x0 , y0) 02 02 1

x x y y
a  b 

0 0

2 2 1

y y x x
b  a 

Điều kiện tiếp xúc

với Ax + By + C = 0 A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2
F. PARAPOL

Pt chính tắc

Lý thuyết y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py

Tiêu điểm ,0

p
F 

  2,0

p
F 

  0,2

p
F 

  0, 2

p
F  

 

Đường chuẩn

p
x

p
x

p
y

p
y
Điều kiện tiếp xúc

với Ax + By + C = 0 B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :







1 2 3

, ,

M x y z  OM  x e y e z e


1 2 3 1 1 2 2 3 3

( , , )

a a a a a a e a e a e

    

    

 Cho A x y z( ,A A, ),A B x y z( ,B B, )B

1). ( , , )

B A B A B A

AB x x y y z z

 

   

2). ( )2 ( )2 ( )2

B A B A B A

AB x  x  y  y  z  z

3). Tọa độ trung điểm I của AB :

2
2
2

A B

x x
x

y y
y

z z
z























4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

1
1
1

A B

x kx
x

k
y ky
y

k
z kz
z

k





 

















 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

1 2 3

( , , )

b b b b





1).

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

   

   

 



2). a b  (a1b a1, 2b a2, 3b3)

3). m a (ma ma ma1, 2, 3)
4).  a b a b 1 1a b2 2a b3 3

5). 2 2 2

1 2 3

a a a a



  

6). ab  a b1 1a b2 2a b3 3 0

7). 2 1 12 22 2 2 3 32 2

1 2 3 1 2 3

a b a b a b
Cos a b

a a a b b b

   

 



 

     

8). Tích vơ hướng của hai Vectơ

3 3

2 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, a a ,a a a a,

a b

b b b b b b

   

 

 

   

   

Điều kiện đồng phẳng :

, ,

a b c

  

Đồng phẳng   a b c, 0

 

* Diện tích tam giác ABC : 1 ,
2

S    AB AC

 

B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
1/. Phương trình tham số :

0 1 1 1 2

0 2 1 2 2 1 2

0 3 1 3 2

, ( , )

x x a t b t

y y a t b t t t R
z z a t b t

  




   



   



Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP) a( , , ),a a a1 2 3 b ( , , )b b b1 2 3

2/. Phương trình tổng quát :

Ax + By + Cz + D = 0

( , , )

n A B C



 Vectơ pháp tuyến ( VPT)

Đặc biệt :

 By + Cz + D = 0 song song truïc ox

 Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy
 Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

 z = 0 mặt phẳng oxy

3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,có VPT n ( , , )A B C



 laø:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:

x y z
a b c 

5/. Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi cơng thức :

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 . 2 2 2

A A B B C C
Cos

A B C A B C

   

   

b/. Vuông góc :    A A1 2B B1 2C C1 2 0

c/. Vị trí tương đối :

 α caét β  A B C1: 1: 1A B C2: 2: 2

 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

     

 1 1 1 1

2 2 2 2

// A B C D

A B C D

     

Với A2, B2, C2, D2≠ 0

d/. Phương trình của chùm mặt phẳng có dạng

1 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( ) 0

m A x B y C z D   n A x B y C z D   

Với m2 + n2≠ 0 và α cắt β

C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
1/. Phương trình tham số :

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t t R
z z a t

 




  



  


Với a( , , )a a a1 2 3 Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :

1 1 1 1

2 2 2 2

0
:

A x B y C z D
d

A x B y C z D

   




   



Với A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2

2 2 2

1 1 1 0

A B C 

2 2 2

2 2 2 0

A B C 

d có Vectơ chỉ phương là a n n1, 2

  

 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

A A A

B A B A B A

x x y y z z

x x y y z z

  

 

  

D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 
1/. Hai đường thẳng :

d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ chỉ phương a ( , , )a a a1 2 3





d qua N x y z( , , )0' 0' 0' có Vectơ chỉ phương b ( , , )b b b1 2 3




* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng   a b MN, .  0

 

* d cheùo d’   a b MN, .  0

 

* Góc giữa d và d’ là : 2 1 12 22 2 2 3 32 2

1 2 3. 1 2 3

a b a b a b
Cos

a a a b b b

   

   

2/. Đường thẳng và mặt phẳng :

 d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ chỉ phương a ( , , )a a a1 2 3





 mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyeán

( , , )

n A B C




* d // ()

0 0 0

. 0

a n

Ax By Cz D

 



 

 

   



* d caét ( )  a n. 0

 

* d

0 0 0

. 0

a n

Ax By Cz D

 



 

 

   




* d  a a a1: 2: 3 A B C: :

* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi cơng thức

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3.

a A a B a C
Sin

a a a A B C

  

   

E. KHOẢNG CÁCH :

1/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

  

 

2/. Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một đường thẳng d qua
M(x0, y0, z0) và có VCP là a ( , , )a a a1 2 3



</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

d a
b




d
a





MN a
a

  



 

 

 

3/. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :

,
,

a b MN
a b

   

 

 

 

 

 

 

 

F. MẶT CẦU :

Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R

 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
 x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ 0

NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC
GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.

TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC

// //
//

d
d
a b

d a
a

d b
b

 

 




 






   

 



  


 



2 a// nếu và chỉ nếu trên  có a’ , a’//a
3

//
//

d

a a d

a

 




 




 




4

d
a




// //

d

a a d

a

 




 










5 a



 Neáu

 chứa a và b cắt nhau, trong đó a//, b//
 thì  //

//
//

P a

P b a b



 

 




  





b
a

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

C'
B'

C
B

R
Q

a Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn tr6n hai cát

tuyến bất kỳ a, b những đoạn thẳng tỉ lệ.

' '
' '

AB A B
BC B C

R
Q
P

b
d
a

// //
//

P Q d
R P a

a b d
R Q b

d R

  



  




  




9 Nếu a thì ab,  b 

10 a nếu và chỉ nếu a vuông góc với hai
đường thẳng b, c cắt nhau trong 

b
a



 Nếu a//b và a thì b
 Nếu a thì b thì a//b





 // và a thì a
 Nếu a và a thì //

13 b

 a

b
a




Nếu a chéo b

* Có mộ tvà chỉ một đường vng góc
chung

* Có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường
thẳng này và song song với đường kia
* Có hai mặt phẳng song song và mỗi mặt
chứa một đường

H
O

B
A



ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
* Đoạn vng góc chung OH là đoạn ngắn nhất
* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài

bằng nhau và ngược lại.

OA = OA’ HA = HA’

*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn
xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược
lại.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

a
d








b' a



ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VNG GĨC

a và đường xiên b có hình chiếu vng
góc trên  là b’ , ta có : a b' a b

  



a
a



 





 






 Nếu   và  d thì với mọi

a mà ad thì a



d

P d P

P

 




 




  


 


17 S : Diện tích của một hình phẳng H

S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của H
là H’

: Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳng

chứa H’

S' S Cos.





C'
B'
A'

C
B

A HÌNH LĂNG TRỤ

1/. Định nghĩa : Hình lăng trụ là một hình đa
diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song
gọi là hai đáy và các cạnh không thuộc hai
đáy đều song song nhau

2/. Các loại :

* Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các
cạnh bên vng góc với đáy

* Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có
mỗi đáy là đa giác đều.

Ngồi ra cịn có lăng trụ xiên
3/. Sxq, STP, V :

* Sxq bằng tổng diện tích các mặt bên

* Sxq bằng chu vi thiết diện thẳng nhân với
độ dài cạnh bên.

* Sxq lăng trụ đứng hay đều bằng chu vi đáy
nhân độ dài cạnh bên

* STP = Sxq + 2Sđáy
* V = B.h

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

D
S

C
B

HÌNH CHÓP

1/. Định nghĩa : Hình chóp là một hình đa diện
có một mặt là một đa giác, các mặt cịn lại
đều là những tam giác có chung một đỉnh
* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa
giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau
* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm
giữa đáy và một thiết diện song song với đáy
2/. Sxq, STP, V :

 Sxq của hình chóp và hình chóp cụt là

tổng diện tích tất cả các mặt bên của
mỗi hình đó

 Hình chóp :

S

= S

+ S

đáy
 Hình chóp cụt :

S

= S

+ S

đáy lớn

+ S

đáy nhỏ

 Hình chóp đều :

xq

S  chu vi đáy x trung đoạn

 Hình chóp cụt đều :

xq

S  ( CV đáy lớn + CV đáy bé) x trung

đọan

 Thể tích hình chóp :

1
.
3

V  B h

B : diện tích đáy
h : chiều cao

 Thể tích hình chóp cụt :



' '



.
3

V  h B B  B B

B, B’ : diện tích hai đáy
h : chiều cao

20 HÌNH TRỤ TRÒN XOAY

1/. Định nghóa :

* Hình chữ nhật OO’A’A khi quay quanh cạnh
OO’ tạo nên một hình gọi là hình trụ trịn xoay(
hay hình trụ)

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

hình trịn bằng nhau gọi là hai đáy.
_ Cạnh AA’ vạch thành một mặt trịn xoay

gọi là mặt xung quanh của hình trụ
_ OO’ gọi là trục hay đường cao của hình

trụ.
2/. Sxq, STP, V :

 Sxq 2Rh

 STP 2R h R(  )

 V R h2

R : bán kính
h : đường cao

21 HÌNH NÓN TRÒN XOAY – HÌNH NÓNCỤT

HÌNH NÓN TRÒN XOAY
1/. Định nghóa:

22
23
24
25

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>

Tong hop cac CT Toan 12















<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>b</sub></i>

<i><sub>y</sub></i>

<i><sub>c</sub></i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>by</i>

<i>ax</i>

<i>baab</i>

<i>ba</i>

<i>ba</i>

<i>D</i>

//

//





<i>bccb</i>

<i>bc</i>

<i>bc</i>

<i>D</i>

<i><sub>x</sub></i>

//

//





<i>caac</i>

<i>ca</i>

<i>ca</i>

<i>D</i>

<i><sub>y</sub></i>

//

















<i>D</i>

<i>D</i>

<i>y</i>

D

D

x













0

0

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>