So chinh phuong

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

một số phơng pháp giải bài toán

về sè chÝnh ph¬ng

<b>A. Đặt vấn đề </b>
1/ Giới thiệu

Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải tốn là
hình thức chủ yếu. Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vơ cùng
quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến thực hành.Thực hành giải tốn
khơng chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn
kỹ năng,vận dụng vào thực tế qua đó hình thành và phát triển cho học sinh t
duy lơ gíc và phơng pháp luận khoa học .

Để có thể phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học tốn và
giải tốn thì bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, ngời giáo viên
cần phải hình thành và cung cấp cho học sinh tri thức phơng pháp để giúp
học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi nội dung hay nói một
cách đúng hơn là tạo dựng cho học sinh phơng pháp học và khả năng phát
triển một bài toán từ bài tốn thơng thờng nhằm mở rộng khả năng t duy, từ
đó tạo cho các em năng lực nghiên cứu và hứng thú tìm tịi trong việc học tốn .

Qua q trình giảng dạy tơi thấy hầu hết học sinh cịn hạn chế trong
việc khai thác, phát triển khả năng t duy, khi đứng trớc một bài toán học sinh
thờng lúng túng trong việc tìm lời giải, cha có kinh nghiệm đúc kết các
ph-ơng pháp và thờng bị bó hẹp mang tính chất khn mẫu, năng lực phát triển
mở rộng khai thác kiến thức thờng rất hạn chế do đó khi gặp các bài tốn địi
hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì cha có khả năng đáp ứng đợc nhất là
đối với các bài tốn có liên quan đến số chính phơng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

cách đơn lẻ. Điều này khiến tơi ln để tâm trong q trình giảng dạy của
mình và muốn trao đổi cùng đồng nghiệp .

2. Thùc tÕ
+ <i>Víi häc sinh </i>

Trong chơng trình Tốn lớp 6, các em đã đợc học về các bài toán liên
quan tới phép chia hết của số tự nhiên và đặc biệt là đợc giới thiệu về số
chính phơng, đó là số bằng bình phơng của một số tự nhiên. (VD: 0 ; 1 ; 4;
9 ; 16 ; 25 ; 100 ; 144 ; ...). Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải
quyết bài tốn chứng minh về số chính phơng. Đây cũng là một cách củng cố
các kiến thức mà các em đã đợc học. Những bài tốn này sẽ làm tăng thêm
lịng say mờ mụn toỏn cho cỏc em.

+ <i>Với giáo viên</i>

Là một giáo viên dạy Tốn, tơi nhận thấy những bài tốn liên quan đến
số chính phơng rất hay và quan trọng đối với các em học sinh trung học cơ
sở. Đặc biệt là các em học sinh lớp 6 mới làm quen với loại toán chứng minh
cho nên phơng pháp để giải cịn nhiều hạn chế. Tơi muốn cùng các em học
sinh của mình “tháo gỡ” vấn đề này.

3. Phm vi ti

Trong phạm vi bài viết này, tôi muốn hớng dẫn các em học sinh giỏi
toán lớp 6 một số phơng pháp và bài tập về Số chính phơng.

<b>B. Nội dung </b>
I. Chuẩn bị

Trong quá trình giảng dạy cũng nh bồi dỡng học sinh giỏi, tôi luôn
bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và lu ý học sinh:

- Nm vng nh ngha s chớnh phng.

- Nắm vững kiến thức về phép chia hÕt vµ chia cã d trong N.
- Cã kÜ năng tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa, biểu thức số.
- Có kĩ năng tách ( thêm, bớt ) số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Chứng minh một số không phải là số chính phơng</b></i>

<i><b>.</b></i>
<b>1. Xét chữ số tận cïng</b>

Theo định nghĩa, số chính phơng bằng bình phơng của một số tự nhiên
nên số chính phơng phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4;
5; 6; 9. Ta cú bi toỏn sau:

Bài toán 1: Chứng minh rằng số:

A = 1234567891011121314151617181920212223.
Không phải là số chính phơng.

<i>Giải:</i>

Ta thấy số chính phơng có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ;
1; 4; 5; 6; 9. Mà số A có chữ số tận cùng là 3 nên A không phải là số chính
phơng.

Bài to¸n 2: Chøng minh r»ng sè:

B = 20072_{+ 2008}4_{+ 2009}6_{- 2009}

Không phải là số chính phơng.

Giải:

Ta dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20072_{; 2008}4_{; 2009}6_{lần lợt}

l 9 ; 6 ; 1 . Do đó số B có chữ số tận cùng là 7 (khác 0; 1; 4; 5; 6; 9) nên số
B khơng phải là số chính phơng.

<b>2. Sư dông phÐp chia hÕt.</b>

Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các chữ số
0; 1; 4; 5; 6; 9 nhng vẫn không phải là số chính phơng. Khi đó chúng ta phải
lu ý:

<i><b> </b>NÕu sè chÝnh ph¬ng chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2</i>_.

Ta có bài toán 3:
Bài toán 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta thấy ngay số 12345678910 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0)
nhng khơng chia hết cho 25 (vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 khơng chia
hết cho 25). Do đó số 12345678910 khơng phải là số chính phơng.

Chó ý:

Có thể lí luận số 12345678910 chia hết cho 2 ( vì chữ số tận cùng là 0)
nhng không chia hết cho 4 ( vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 khơng chia
hết cho 4). Do đó số 12345678910 khơng phải là số chính phơng.

Nh vậy, ta có thể khẳng định: "Một số chính phơng có tận cùng là 5
thì chữ số hàng chục là 2"

Bài toán 4:

Chng minh rng s cú tng cỏc ch số là 2010 thì số đó khơng phải là
số chính phơng.

Gi¶i:

Ta thấy tổng các chữ số của số 2010 là 3 nên số 2010 chia hết cho 3 mà
không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2010 cũng chia hết cho 3
mà không chia hết cho 9, do đó số này khơng phải là số chính phơng.

Ngoài ra, nếu ta để ý một chút thì khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số
chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa
thừa số ngun tố với số mũ lẻ. Chính vì thế, nếu khai thác nhận xét trên, ta
có phát biểu tổng quát sau:

<i>NÕu sè chÝnh ph¬ng chia hết cho pn_{(với p là số nguyên tố, n lẻ) thì phải}</i>

<i>chia hết cho pn+1</i>_.

Nh ú ta sẽ giải quyết đợc bài tốn khó sau:
Bài toán 5: Chứng minh rằng số:

M = 332007_{+ 55}2008_{+ 77}2009

Kh«ng phải là số chính phơng.

Phõn tớch: Nu xột ch s tận cùng thì M có tận cùng là 9 nên hớng làm này
không thực hiện đợc. Nhng ta để ý một chút thì ta sẽ chứng minh đợc M chia

hết cho 112007_{và M không chia hết cho 11}2008_{. Từ đó ta kết luận đợc M khơng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

HS tự trình bày lời giải.
<i><b> </b></i>Nhận xÐt:

Ta đặt vấn đề nếu ở bài toán 4 tổng các chữ số không chia hết cho 3
(chẳng hạn là 2011) thì ta làm nh thế nào ? Khi đó chúng ta phải nghĩ tới
điều gì ? Vì bài tốn cho tổng các chữ số nên chắc chắn chúng ta phải nghĩ
tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Vậy ta nghĩ tới việc xét số d khi chia số đó
cho 3. Theo các em số chính phơng chia cho 3 có thể d bao nhiêu ? Chúng ta
có thêm phơng pháp nữa để giải loại tốn này.

<b> 3. XÐt sè d cđa sè chÝnh ph¬ng khi chia cho một số</b>
Bài toán 6:

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2011 không phải là số chính
phơng.

Giải:

Vỡ s chớnh phng khi chia cho 3 chỉ có số d là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng
chứng minh đợc). Do tổng các chữ số của số đó là 2011 chia cho 3 d 2 nên
số có tổng các chữ số là 2011 chia cho 3 cũng d 2. Chứng tỏ số đã cho không
phải l s chớnh phng.

Tơng tự chúng ta có các bài tập sau:
Bài toán 7

Chng minh tng cỏc số tự nhiên liên tiếp từ 2 đến 2007 không phải là
số chính phơng.

<i>Híng dÉn:</i>

TÝnh tổng bằng 2015227 chia cho 3 d 2.
Bài toán 8: Chøng minh sè:

D = 20102007_{+ 2010}2008_{+ 2010}2009 _{+ 5 không phải là số chính}

ph-ơng.

<i>Hớng dÉn</i>:

20102007_{; 2010}2008_{; 2010}2009 _{đều chia hết cho 3 và 5 chia cho 3 d 2}

=> D chia cho 3 d 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có bài toán sau:

Bài toán 9: Chứng minh sè:

M = 4444_{+ 444}444_{+ 4444}4444_{+ 2011}

* Nhận xét: ở bài này ta không thể làm tơng tự các bài trên đợc. Vậy
ta có thể xét số d của M khi chia cho 4 , số d đó là 3 . Một số chính phơng
khi chia cho 4 sẽ có số d nh thế nào? Chúng ta có thể chứng minh đợc ngay
là d 0 hoặc d 1. Nh vậy việc giải bài tốn này khơng có gì khó.

Gi¶i:

M = 4444_{+ 444}444_{+ 4444}4444_{+ 2011}

= 4444_{+ 444}444_{+ 4444}4444_{+ 2008 +3}

Ta thấy 4444_{; 444}444_{; 4444}4444 và 2008 đều chia hết cho 4

Nên M chia cho 4 d 3 mà số chính phơng khi chia cho 4 chỉ có số d là 0 hoặc
1. Vậy M không phải là số chính phơng.

<b> </b> <b> 4. Sử dụng phơng pháp kẹp: </b>

Để chứng minh một số khơng là số chính phơng, ta cịn có thể chứng
minh cho số đó nằm giữa hai số chính phơng liên tiếp. Tức là:

<i>Với n và x là hai số tự nhiên mà n2_{< x < (n+1)}2_{thì x không thể là số}</i>

<i>chính phơng.</i>

Bi toỏn 10: Chng minh rng số 4025025 khơng là số chính phơng.
*Nhận xét: Số 4025025 có 2 chữ số tận cùng là 25, chia hết cho 3,
cho 9 và chia cho 4 d 1 nên ta không thể làm tơng tự các bài trên đợc. Vậy
phải tìm hớng làm khác.

<i><b>* </b></i>Gi¶i

Ta cã: 20062_{=4024036; 2007}2_{= 4028049}

=> 20062_{<4025025 < 2007}2

Nh vËy gi÷a 2 số 20062 _{và 2007}2_{không còn số chính phơng nào.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp (khác 0)không là số chính
phơng.

Giải:

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n ; n+1 ( n  N* ₎

Ta cã : n2_{< n(n+1) < (n+1)}2

=> n(n+1) không là số chính phơng.
<b>Chứng minh một số là số chính phơng</b>
<i><b>1. Xét chữ số tận cùng</b></i>

Bài toán 1: Chứng minh rằng một số chính phơng có chữ số tận cùng
là 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Giải:

Gọi A là số chính phơng có tận cùng là 5
=> A cã d¹ng a5 2

Ta cã A = a5 2_{= ( 10a + 5 )}2_{= 100a}2_{+ 100a +25}

Vì chữ số hàng chục của 100a2_{và 100a là 0 nên chữ số hàng chục của}

A là 2.

Bài toán 2: Chứng minh rằng một số chính phơng có chữ số tận cùng
là 6 thì chữ số hàng chục là một số lẻ.

Giải:

Đặt M = a2_{. Vì M có chữ số tận cùng là 6 nên a có chữ số tận cùng là 4}

hoặc 6.

- Nu a có chữ số tận cùng là 4 , khi đó a có dạng b4
Ta có: b4 2_{= ( 10b + 4 )}2_{= 100b}2_{+ 80b + 16}

Vì chữ số hàng chục của 100b2_{và 80b là số chẵn nên chữ số hàng}

chục của M là số lẻ.

- Nu a cú ch s tận cùng là 6 , khi đó a có dạng b6
Ta có: b6 2_{= ( 10b + 6 )}2_{= 100b}2_{+ 120b + 36}

Vì chữ sè hµng chơc cđa 100b2_{vµ 120b lµ sè chẵn nên chữ số hàng}

chục của M là số lẻ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài toán 3: Chứng minh r»ng sè :

<b> </b>

lµ sè chính phơng.
Giải:

Ta có

Vậy A là số chính phơng.

Bài toán 4: Chứng minh r»ng: u = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số
chính phơng với mọi số tự nhiên n.

Giải:

Ta có: u = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
= (n2_{+ 3n) (n}2_{+ 3n + 2) + 1}

= (n2_{+ 3n)}2_{+ 2(n}2_{+ 3n) + 1}

= (n2_{+ 3n + 1)}2

V× n  N nên n2_{+ 3n + 1 là số tự nhiên}

=> u là số chính phơng.

Trc khi kt thỳc bivit tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:
<b>Bài 1: </b>

Chøng minh rằng các số sau không phải là số chính ph¬ng.
A = 12345678910111213141516171819202122

B = 246810121416182022242628
<b>Bµi 2: </b>

Chøng minh r»ng víi mäi k  N* _{th× sè:}

C = 1 + 92k_{+ 77}2k_{+ 1977}2k_{không phải là số chính phơng.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 3: </b>

Chøng minh rằng tổng bình phơng của 2 số lẻ bất kì không phải là
số chính phơng.

<b>Bài 4: </b>

Chøng minh r»ng D = n(n+1)(n+2)(n+3) không phải là sè
chÝnh ph¬ng víi mäi n  N* _.

<b>Bµi 5: </b>

Chøng minh r»ng sè E = 235_{+ 23}12_{+ 23}2003_{không phải là số}

chính phơng.

<b>Bài 6: Chứng minh rằng : Tổng các bình phơng của 4 số tự nhiên liên</b>
tiếp không thể là số chính phơng.

<b>Bài 7: </b>

Chøng minh r»ng sè 333333_{+ 555}555_{+ 777}777_{không phải là số chính}

phơng.
<b>Bài 8:</b>

Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n _{+ 4 không phải là}

số chính phơng.
<b>Bài 9: </b>

Chứng minh r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n >3 thì n! + 2009 không phải
là số chính phơng.

<b>Bài 10: </b>

Cho 2 sè A gåm 2m ch÷ sè 1, sè B gåm m ch÷ sè 4.
Chøng minh r»ng A + B + 1 lµ số chính phơng.

<b>Bài 11: </b>

Biết a + 1 và 2a + 1 (a  N) đồng thời là 2 số chính phơng.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.

<b>Bµi 12: </b>

Có hay khơng số tự nhiên n để 2002 + n2_{là số chính phơng?}

III. Kết quả đạt đợc

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

duy tốn học, hình thành các phơng pháp giải tốn cơ bản. Từ đó tạo sự hứng
thú cho học sinh khi học tập bộ môn, nâng cao khả năng tự học, tự nghiên
cứu toán học, nâng cao năng lực giải quyết tình huống do thực tế tạo ra.

Trong quá trình thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi thờng xuyên
kiểm tra mức độ tiếp thu ca hc sinh trong tng giai on:

- Đợt 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản về số chính ph¬ng .

- Đợt 2: Kiểm tra kỹ năng giải bài tốn về số chính phơng ở mức độ đơn

giản

- Đợt 3: Kiểm tra khả năng giải bài toán về số chính phơng ở mức độ nâng
cao.

- Trong mỗi đợt có 2 bài khảo sát trớc và sau khi thực hiện đề tài.
Kết quả thu đợc nh sau: Đối tợng: 40 HS lớp chất lợng cao Toán 6

Sè TT Sè HS tham
dù kiÓm tra

Số HS đạt từ điểm 5 trở lên Số % tăng so với
tr-ớc khi thực hiện

đề ti

Trớc Sau

Đợt 1 40 20/40 = 50% 40/40 = 100% 50%

Đợt 2 40 18/40 =45 % 36/40 = 90% 45%

Đợt 3 40 8/40 =20% 28/40 = 70% 50%

<b> Những bài häc rót ra: </b>

Dạy tốn là dạy học sinh giải toán, giúp nâng cao khả năng t duy của
học sinh . Vậy để học sinh biết cách giải toán, nâng cao đợc khả năng t duy
đòi hỏi ngời giáo viên phải biết lựa chọn phơng pháp dạy học phù hợp, thiết
kế bài dạy theo một trình tự t duy hợp lý, tổ chức học sinh học tập tích cực,

chủ động . Biết tổng hợp, khai thác, phát triển từ những vấn đề cơ bản.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>C . KÕt luËn</b>

Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp
tôi thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách
linh hoạt và sáng tạo. Trớc những bài toán chứng minh về số chính phơng,
các em khơng tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử
dụng thành thạo các phơng pháp đã học để làm.

Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tôi với các đồng nghiệp một số
bài tốn về số chính phơng. Rất mong sự góp ý, giúp đỡ từ các đồng nghiệp
để tơi hồn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong ging dy.

<i>Tôi xin chân thành cảm ơn! </i>

Tân Lễ, ngày 29 tháng 5 năm 2009
<b> Nhận xét cđa ban gi¸m hiƯu Ngêi viÕt : </b>

Vị Träng Qun

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12></div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

bá phÇn díi

<i>Bài 1:</i> Tìm x để biểu thức 2 ₂4

2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i> _{nhận giá trị nguyên.}

bi này học sinh đọc lớt qua thấy thật là dễ ?

Rất nhiều học sinh đã giải: <i>y</i>1 <i>_x</i>2 _2<i>_x</i>_₂và yêu cầu (x2 + x + 2) là ớc của 2
Mà quên mất rằng x  R thì biểu thức x2_{+ x + 2 khơng phi lỳc no cng}

có giá trị nguyên.

õy x2_{+ x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có th}

nhận những giá trị nguyên nào nhé!
<i><b>Giải :</b></i> 2 ₂4 1 2 2 ₂

2










x
x
x
x
x
x

y _{nhËn giá trị nguyên khi}

2
2
2

<i>x</i>
<i>x</i>

nhận giá trị nguyên . Mà x2_{+ x + 2}≥

4
7

=> 0 2 2 ₂ ₇8






</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

VËy giá trị nguyên của 2 2 ₂

<i>x</i>

<i>x</i> lµ 1

2 2 ₂1


<i>x</i>

<i>x</i> => x2 + x + 2 = 2

=> x1 = 0 ; x2 = - 1

Khi đó y1 = y2 = 1 + 1 = 2

Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2

<i>Bµi 2:</i> Cho biĨu thøc C = _xx ₁ _x3 ₁. _xx_₁1










Rót gän biĨu thøc

Tìm x để C nhận giá trị nguyên.

Ta dễ dàng thu đợc kết quả rút gọn C = x_x_₁3 ( x₀₎

Khi đó C = 1 - _x4_₁ nhận giá trị nguyên khi _x4_₁ nhận giá trị nguyên. Mà x

_{0 nªn}

0 < _x4_₁ 4_{. vËy các giá trị nguyên có thể có của}
1
x

4

lµ 1, 2, 3, 4.

*)_x4_₁ =1  x =3 khi đó C=0
*)_x4_₁ =2  x = 1 khi đó C = -1

*)_x4_₁ =3  x =1₃ khi đó C = -2
*)_x4_₁ = 4 x = 0 khi đó C = -3
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x

lµ 3, 1, ₃1 , 0.

Ngoµi việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị
của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.

<i> </i>

<i> Bài 3:</i> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
y _x42x₁




<i><b> Giải:</b></i> Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để

y0 =_x ₁
x
4

2

  phơng trình y0x2 - 4x +y0 = 0 có nghiệm

*)XÐt y0=0 phơng trình có nghiệm x = 0.

*)Xét y0 0 phơng trình cã nghiÖm  ' =4 -y02  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

 ymin = -2, ymax=2.

Trớc khi kết thúc bàiviết tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:

<i>Bài 1:</i> Tìm x  Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.
 ₃2




x
x
A

2 5₂ 4

2




x
x
x
C

2 4₁

3





x
x
x
E

22 ₃1



x
x
B

2 _₃1

x
x
D

₂ 2 5₃ 4₅
2





x
x
x
x

F

<i>Bài 2:</i> Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:
a)  _₃1

x
x
y

b) y _xx2 _xx ₁1
2






b) 1₂ 2 ₃
x

x
y

d)y ₂3x_x2 _xx 1₁
2

<i>Bài 3</i>: Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc

a) 2
2
1
1
2
x
x
y



b) _x2

1
x
y 

c)y x x_x
2
1
1
2





d)y x _x22x₁ 2
2






III. KÕt lu©n :

Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp tôi
thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách linh
hoạt và sáng tạo .Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu thức , các em
không tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng thành
thạo các phơng pháp đã học để làm .

Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tơi với các đồng nghiệp về bài tốn
giá trị ngun của biểu thức . Rất mong sự góp ý , giúp đỡ từ các đồng nghiệp
để tơi hồn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Th¸ng 4/2006

NhËn xÐt cđa ban gi¸m hiÖu Ngêi viÕt :

</div>

<!--links-->