Chuyen de So chinh phuong.doc

Chứng minh một số không phải là số chính phơng
Phơng pháp 1.
Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số chính phơng bằng bình phơng của một số nên suy ra.Số chính phơng phải có
chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải đợc các bài
toán dạng sau đây:
Bài toán 1.
Chứng minh số: n = 2004
2
+ 2003
2
+ 2002
2
- 2001
2
. Không là số chính phơng.
LG.
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004
2
,2003
2
,2002
2
,2001
2
lần lợt là 6,9,4,1. Do
đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phơng.
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhng
vẫn không phải là số chính phơng, khi đó ta phải lu ý thêm: Nếu một số chính phơng
chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p
2

Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phơng.
LG.
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhng không
chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải
là số chính phơng.
Chú ý:
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhng không chia hết cho 4 (vì hai
chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phơng.
Bài toán 3.
Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải
là số chính phơng.
LG.
Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia
hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 9. Do đó số này không phải là số chính phơng.
Phơng pháp 2.
Dùng tính chất của số d.
Bài toán 4.
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phơng
LG.
- ở đây ta không gặp trờng hợp nh bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác.
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d 2 nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của
bài toán mà ta dễ dàng chứng minh đợc).
- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d 2. Nên số đó không
phải là số chính phơng.
Bài toán 5. ( Tơng tự bài toán 4)
Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số
chính phơng.

Bài toán 6.
Chứng minh số: 2004
4
+ 2004
3
+ 2004
2
+ 23 không phải là số chính phơng.
Phơng pháp 3.
Tình huống chứng minh n không là số chính phơng nhng n chia cho 3 vẫn d 0 hoặc 1.
VD: Bài toán 7.
Chứng minh số: n = 4
4
+ 44
4
+ 444
4
+ 4444
4
+ 15 không là số chính phơng.
Nhận xét:
- Nếu chia n cho 3 số d sẽ là 1. Vậy không giải đợc theo cách của bài toán
3,4,5,6.
- Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải đợc
theo cách của bài toán 1,2.
Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm):
Một số chính phơng khi chia cho 4 thì số d chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta sẽ giải đ-
ợc bài toán này.
Phơng pháp 4.
Phơng pháp kẹp giữa hai số chính phơng liên tiếp: n

2
và (n+1)
2
.
Ta thấy: Nếu n và k

N và thỏa mãn điều kiện: n
2
< k < (n+1)
2
thì lúc đó k không
phải là số chính phơng.
Bài toán 8.
Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phơng.
Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 d 1 và chia cho 4 cũng d 1, nên
không thể áp dụng bằng cách trên.
LG.
Ta thấy: 2003
2
= 401209; 2004
2
= 4016016. Nên 2003
2
< 4014025 < 2004
2
. Chứng tỏ
số 4014025 không phải là số chính phơng.
Bài toán 9.
Chứng minh:

A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phơng với mọi n

N, n

0
Nhận xét: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phơng ( bài
toán lớp 8) nhng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau.
LG.
Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1
= (n
2
+3n +1)
2

Mặt khác (n
2
+ 3n)
2

< (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) = A
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ
(n
2
+ 3n)
2
< A < A+1= (n
2
+3n +1)
2
. Suy ra A không phải là số chính phơng.
Một số bài toán khác.
Bài 10.
Chứng tỏ số: 23
5
+23
12
+23
2003
không là số chính phơng.
Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4
Bài 11.
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh đợc ghi một trong các số từ 1
đến 1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể ghép tất

cả các mảnh bìa đó liền nhau để đợc một số chính phơng.
Bài 12.
Chứng minh rằng tổng bình phơng của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số
chính phơng.
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4
Một số bài toán liên quan về số chính phơng
Bài 1. Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính phơng.
LG.
Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1).
Lúc này ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn và n lẻ.
Trờng hợp 1: n chẵn
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+... Có n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá trị
là 2n
Vậy S = 2n.
2
n
= n
2
.
Trờng hợp 2: n lẻ
Để tính S ta cũng ghép nh trờng hợp trên nhng ta đợc
2
1

n
số hạng, mỗi số
hạng có giá trị là 2n. Nên tổng S =
2
1n

.2n + n =
2
2n2n2n
2
+
= n
2
Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n
2
nên S là một số chính phơng.
Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát:
Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phơng của số các số ấy
Bài 2.
Chứng minh một số là số chính phơng khi và chỉ khi số ớc của nó là một số lẻ.
Bài 3.
Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm nh sau:
Số đó là số chính phơng, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì đợc một
số cũng là số chính phơng. Tìm số xe của bạn Hùng.