Toan quy luat day du

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Môc lôc

A. Đặt vấn đề ……… …….
B. Nội dung và phơng pháp ………...…………..
I. Tình hình chung………...…...
II. Những vấn đề đợc giải quyết………...….
III. Phơng pháp tiến hành………...………...
1. Kiến thức cơ bản………...………..
2. Kiến thức bổ sung………...…...
3. Một số dạng bài tập và phơng pháp chung………

3.1. Dạng 1: Quy luật với số nguyên...
1.1 Phơng pháp ... ...
1.2 Mét sè vÝ dô………...
1.3 Bài tập tơng tự ………...
1.4 Tiểu kết...
3.2. Dạng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác 1...
3.2.1.Dạng 2.1: Tách phân số …... ...…...

2.1.1 Phơng pháp……… ……… …….... ... ...
2.1.2 Một số ví dụ………...
2.1.3 Bài tập tơng tự ………...
2.1.4 Tiểu kết………...
3.2.2.Dạng 2.2: Phân số có dạng cấu trúc số……… ………... ...
2.2.1 Phơng pháp……… ……... ...
2.2..2 Một số ví dụ………...
2.2.3 Bài tập tơng tự ………...
2.2.4 Tiểu kết………...
3.2.3.Dạng 2.3: Một số trờng hợp khác……… ………….. ..
2.3.1 Phơng pháp……… ………... ....
2.3.2 Một số ví dụ………...

2.3.3 Bài tập tơng tự ………....
2.3.4 Tiểu kết………...
3.3. Dạng 3: Quy luật với lũy thừa………...
3.1 Phơng pháp……… ……... ...
3.2 Một số ví dụ………...
3.3 Bài tập tơng tự ………...
3.4 Tiểu kết………...
IV. Kết quả……...………...…...
V. Vấn đề còn hạn chế………...………...….
VI. Điều kiện áp dụng………...………...
VII. Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu...………...
C. Kết Luận...………...………...…...
Tài liệu tham khảo...………...………...…...

Trang
2
3
3
3
3
3
4
5
5
5
5
10
11
11
11

11
12
20
21
21
21
22
23
23
24
24
24
27
27
27
27
28
36
37
37
38
38
38
39
40

<b>A</b>. <b>Đặt vấn đề</b>

Nhà toán học Đức - Gauss đợc mệnh danh là vua của các nhà tốn học đã
tính đợc tổng 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 rất chính xác và cách giải cịn rất độc
đáo từ khi ơng cịn rất nhỏ. Ngày nay, học sinh tiểu học cũng đợc làm các bài tốn nh
vậy. Có thể nói đây là bài tốn cơ bản nhất, đơn giản nhất trong các bài toán có quy
luật.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

qua các bài tốn quy luật, có tâm lí sợ làm bài tập liên quan đến quy luật… Điều này
cũng dễ hiểu và thông cảm cho học sinh vì trong tay các em cha có nhiều cơng cụ hỗ
trợ ngồi một vài cơng thức cơ bản trong sách giáo khoa, mà loại tốn này lại địi hỏi
các em phải có phơng pháp học nghiêm túc, chăm chỉ, phải nắm vững kiến thức và biết
cách vận dụng linh hoạt những kiến thức đó, phải biết phân tích và tổng hợp để tìm ra
mối liên hệ giữa kiến thức trớc và kiến thức sau, bài tập trớc và bài tập sau ... Và một
điều đặc biệt là phải khơng ngừng t duy, suy luận logic để tìm ra lời giải cho bài tốn.
Và cũng phải cơng nhận rằng tốn có quy luật là một trong những mảng kiến thức
rộng, hay và khó trong chơng trình tốn THCS. Tuy nhiên, các loại sách tham khảo lại
ít đề cập đến nó, nếu có thì cũng chỉ là mỗi quyển xuất hiện một vài câu nhỏ, không đa
ra đợc nhiều quy luật khác nhau, cũng nh cha đề cập đến các dạng bài có thể gặp…
Đây là vấn đề gây rất nhiều khó khăn cho những ngời muốn tìm hiểu và chinh phục
những bài tốn có quy luật, vì khơng có kiến thức về quy luật, khơng có bài tập để
luyện, để khắc sâu… Chính vì vậy mà loại tốn này cha chiếm đợc cảm tình của ngời
học.

Vì rất nhiều lí do trên mà tơi đã quyết định đi sâu nghiên cứu về tốn có quy luật.
Trong các dạng tốn về quy luật thì dạng bài tập thực hiện phép tính là dạng bài tập cơ
bản nhất, có thể nói nó là nền tảng cho các dạng bài tập khác. Vì vậy, với chun đề
này tơi xin đợc trình bày một số nội dung về dạng bài “Thực hiện phép tính với tốn có
quy luật”. Hy vọng rằng thơng qua chun đề này, tơi có thể giúp toán quy luật chinh
phục sự hăng say học tập của học sinh, đồng thời cung cấp những kiến thức cơ bản cần
thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phơng pháp tính tốn với các quy luật cho từng
đối tợng học sinh. Bên cạnh đó, giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy, phơng pháp

suy luận logic… tạo sự say mê cho các bạn u tốn nói chung và các bạn u tốn
quy luật nói riêng.

<b> B</b>. <b>néi dung và phơng pháp</b>

<b>I. Tình hình chung.</b>

<b> </b>Thụng qua giảng dạy, tôi thấy hầu hết học sinh cứ thấy bài tốn có chứa quy luật là
sợ. Đặc biệt là những bài kồng kềnh, phức tạp, hoặc dạng tổng qt bỏ qua ln. Nh
đã nói ở trên “Thực hiện phép tính với tốn có quy luật” là dạng bài tập cơ bản nhất,
nhng cũng rất đa dạng và phong phú. Học sinh đợc tiếp cận sớm nhng hiệu quả học tập
của các em lại cha cao vì trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ nhẹ nhàng, vừa phải,
nhng khi thầy-cô thay đổi một chút là các em gặp phải khó khăn chồng chất: Làm
bằng cách nào ? Làm nh thế nào ? Chứ cha cần trả lời câu hỏi: Làm thế nào nhanh
hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn, độc đáo hơn ?

Bên cạnh đó là loại toán này trong các sách tham khảo đợc trình bày tản mạn, rải rác,
khơng cơ đọng lí thuyết, phơng pháp, bài tập khơng hệ thống ... Chính vì vậy mà tôi
chọn chuyên đề này để nghiên cứu và dạy cho học sinh nhằm bổ sung cho các em
phần kiến thức cần có trong chơng trình tốn THCS, cùng với mong muốn giúp các em
học tốt hơn phần toán có quy luật, giúp các em khơng cịn thấy sợ khi gặp một bài tốn
quy luật hay và khó.

<b>II. Những vấn đề đợc giải quyết.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b> D¹ng 1:</b><i>Quy luật với số nguyên.</i>

<b>Dạng 2: </b><i>Quy luật với phân số có mẫu số khác 1. </i>
<b>Dạng 3: </b><i>Quy luật với lũy thừa.</i>

<b>III. Phơng pháp tiến hành.</b>

1. Kiến thức cơ bản:

<i>1.1. Phép cộng:</i>

* Với mọi số nguyên a, b:

+) Khi a, b cïng d¬ng: <i>a b</i> <i>a</i>  <i>b</i>
+) Khi a, b cïng ©m: <i>a b</i> 



<i>a</i>  <i>b</i>



+) Khi a, b đối nhau: a + b = 0

+) Khi a ≥ 0, b ≤ 0 vµ <i>a</i> <i>b</i> _:<i>a b</i> <i>a</i>  <i>b</i>
+) Khi b ≥ 0, a ≤ 0 vµ <i>a</i> <i>b</i> _:<i>a b</i> <i>b</i>  <i>a</i> 
+) Khi a > 0, b < 0 vµ <i>a</i>  <i>b</i>: <i>a b</i> 



<i>b</i>  <i>a</i>



+) Khi a < 0, b > 0 vµ <i>a</i>  <i>b</i> : <i>a b</i> 



<i>a</i>  <i>b</i>



* Víi mäi sè h÷u tØ x, y:
+) Khi <i>x</i> <i>a</i>

<i>m</i>

 , <i>y</i> <i>b</i>
<i>m</i>

 (m ≠ 0): <i>x y</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>
<i>m m</i> <i>m</i>


   

+) Khi <i>x</i> <i>a</i>
<i>b</i>

 , <i>y</i> <i>c</i>
<i>d</i>

 (b ≠ d; b,d ≠ 0): <i>x y</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>ad bc</i>
<i>b d</i> <i>bd</i>


   
* Lu ý: –(–x) = x

x – y = x + (–y)
* TÝnh chÊt cña phÐp céng:
+) <i>x y Q</i>,  : x + y = y + x

+) <i>x y z Q</i>, ,  : (x + y)+ z = x + (y + z)
+)  <i>x Q</i>: x + 0 = 0 + x = x

+) <i>x y z Q</i>, ,  : x.( y + z) = xy + yz

<i>1.2. Phép nhân:</i>

* Với mọi số nguyên a, b:

+) Khi a, b cïng dÊu: <i>a b</i> <i>a b</i>

+) Khi a, b kh¸c dÊu: <i>a b</i>  <i>a b</i>
* Víi mäi sè h÷u tØ x, y:

Khi <i>x</i> <i>a</i>
<i>b</i>

 , <i>y</i> <i>c</i>
<i>d</i>

 (b,d ≠ 0): <i>x y</i> <i>a c</i> <i>ac</i>
<i>b d</i> <i>bd</i>
   

<i>1.3. Lòy thõa:</i>

<i>x y Q</i>,  vµ <i>m n N</i>,  ta cã:
+) xm_.xn_{= x}m+n

+) xm _:xn_{= x}m – n_{Víi x}≠_{0 vµ m}≥ _n
+) (xn₎m_{= x}n.m

+) (x.y)n_{= x}n_.yn

+) (x:y)n_{= x}n_{: y}n_{Víi y}≠₀
+) x0_{= 1 Víi x}≠₀

+) (–x)2n_{= x}2n_Víi<i>_{n N}</i>_
+) –x2n+1 _{= (–x)}2n+1_Víi<i>_{n N}</i>_

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2. KiÕn thøc bỉ sung:

<i>2.1. Quy t¾c dÊu ngc: </i>

+) (a – b + c) = +(a – b + c) = a – b + c
+) – (a – b + c) = – a + b – c

<i>2.2. TÝnh chÊt cơ bản của phân số:</i>

Với mọi số nguyên a, b, m khác 0 ta có:
+) .

.
<i>a</i> <i>a m</i>
<i>b</i> <i>b m</i>
+) :

:
<i>a</i> <i>a n</i>

<i>b</i> <i>b n</i> Víi n  ¦C(a,b)
<i>2.3. CÊu tróc sè:</i>

<i>a b c d n N</i>, , , ,  _{; a, n}≠_{0 ta cã:}

+) ...

<i>n bo ab</i>

<i>ababab abab</i>


      ₌

1

.10101...101

<i>n chu so</i>

<i>ab</i>_{    }
ThËt vËy: ...

<i>n bo ab</i>

<i>ababab abab</i>


      ₌

2 0 4 0 6 0

00...00 00...00 00...00 ... 00

<i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i>

<i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>

  

    

        

=

2 0 4 0 6 0

.1 00...00 .1 00...00 .1 00...00 ... .100

<i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i>

<i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>

  

    

        

=

2 0 4 0 6 0

.(1 00...00 1 00...00 1 00...00 ... 100 1)

<i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i> <i>n</i> <i>chu so</i>

<i>ab</i>

  

    

        

=

1

.10101...101

<i>n chu so</i>

<i>ab</i>_{    }
Biến đổi tơng tự ta đợc:

+) ...

<i>n bo abc</i>

<i>abcabcabc abcabc</i>


         ₌

1

.1001001...1001

<i>n chu so</i>

<i>abc</i> _{      }

+) ...

<i>n bo abcd</i>

<i>abcdabcdabcd abcdabcd</i>


           ₌

1

.100010001...10001

<i>n chu so</i>

<i>abcd</i> _{       }
3. Một số dạng bài tập và phơng pháp chung.

<i><b>3.1. Dạng 1: Quy luật với số nguyên</b></i>

<b>1.1. Phơng pháp: </b>

+) Nu quy luõt cú khong cỏch cố định thì ta làm nh sau:
- Tìm ra quy lut.

- Tính số các số hạng của tổng theo c«ng thøc:

(Sè lín nhất Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1

- Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
+) Nếu quy luật có khoảng cách khơng cố định thì ta làm nh sau:
- Tìm ra quy luật.

- Vận dụng linh hoạt các tính chất của các phép tốn để biến đổi đầu bài, tìm ra cách
tính hợp lí nht.

+) Chú ý: Không tính toán bằng cách tính thông thêng.

<b> 1.2. Mét sè vÝ dô:</b>

<b>VÝ dô 1. </b>TÝnh c¸c tỉng sau:

a) A1 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2010 + 2011 + 2012
b) A2 = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + 8 +3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A1 = ( 1 + 2012 ) . 1012 : 2 = 2013 . 2012 : 2 = 2 025 078.
VËy: A1 = 2 025 078.

* Tìm ra quy luật ở câu b cũng không mấy khó khăn nên các em học sinh cũng có thĨ
tÝnh A2 rÊt nhanh:

b) Tỉng A2 cã: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 sè h¹ng.
A2 = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010.

Vậy: A2 = 1 010.

* Thoạt nhìn câu c có vẻ thấy quy luật đây rồi, nhng lại thắc mắc: các số hạng của dÃy

tăng dần rồi lại giảm dần, đoạn giữa không theo một quy luât Trớc sự lúng túng của
các em, giáo viên có thể gợi ý nhỏ: Không theo một quy luật thì có thể là hai quy luật
chăng?

Chc chn sau khi nghe giáo viên hỏi các em sẽ biết tách A3 thành hai tổng:
A3 = (1 +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 + … + 11 + 6 +1)
+) Tổng 1 +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011 có: (2011 – 1) : 3 + 1 = 671 số hạng.
Do đó: 1 +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011 = (1+2011).671:2 = 675 026.

+) Tổng 2011 + 2006 +2001 + … + 11 + 6 +1 có: (2011 – 1) : 5 + 1 = 403 số hạng.
Do đó: 2011 + 2006 +2001 + … + 11 + 6 +1 = (2011+1).403:2 = 405 418.

Khi đó: A3= (1 +4 +7 +10 +…+ 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 +…+ 11 + 6 +1)
= 675 026 + 405 418

= 1 080 444.
VËy: A3 = 1 080 444.

<b>Ví dụ 2.</b> Tính bằng phơng pháp hợp lí:

a) B1 = 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + … + 2010 – 2011 + 2012

b) B2 = 1 – 3 – 5 + 7 + 9 – 11 – 13 + 15 + … + 393 – 395 – 397 + 399
c) B3 = – 1 + 7 – 13 + 19 – 25 + 31 – … víi B3 cã 40 sè h¹ng.

d) B4 = 1–5+9 –13+17–21+25+ … víi B4 cã n sè h¹ng (n là một số tự nhiên khác
0)

* Lm xong vớ dụ 1 thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra quy luật ở ví dụ 2: quy luật về
dấu “+” và dấu “ –”, có thể nhóm hợp lí nhng lại bế tắc vì khơng tìm đợc khoảng

cách, khơng tính đợc số các số hạng ở câu a và câu b. Lúc này giáo viên có thể gợi mở:
Đừng để ý đến dấu phép toán mà hãy quan tâm đến phần số thơi, ta sẽ tính đợc số số
hạng một cách dễ dàng:

a) Từ 1 đến 2012 có: (2012 – 1):1 +1 = 2012 số

B1 = (1 + 2012) + (2 – 3) + (4 – 5) + (6 – 7) + … + (2010 – 2011)
B1 = (1 + 2012) +

 

(2012 2):2 1005 1

( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1)

<i>so</i>

  

       
          
B1 = 2013 + (– 1).1005

B1 = 2013 + (– 1005)
B1 = 1008.

VËy: B1 = 1008.

b) Các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 399 có: (399 – 1):2 +1 = 200 số

B2 = (1 – 3 – 5 + 7) + (9 – 11 – 13 + 15) + … + (393 – 395 – 397 + 399)
B2 =

200:4 50 0

0 0 ... 0

<i>so</i>



  
    
B2 = 0.

VËy: B2 = 0.

c) B3 = – 1 + 7 – 13 + 19 – 25 + 31 – … víi B3 cã 40 sè h¹ng.

Đến câu c thì các em sẽ thấy khó khi gặp dấu “ … ” ở cuối dãy. Liệu có phải đi
tìm và viết ra các số hạng ở cuối dãy rồi mới thực hiện tính tốn đợc khơng ? Không
cần, giáo viên hãy hớng dẫn các em lu ý đến tổng B3 có 40 số hạng:

B3 = (– 1 + 7) + (– 13 + 19) + (– 25 + 31) + …

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

B3 =

40:2 20 6

6 6 6 ...

<i>so</i>



  
    
B3 = 6.20
B3 = 120
VËy: B3 = 120.

d) B4= 1–5+9–13+17–21+25 + … với B4 có n số hạng (n là một số tự nhiên khác 0)
Nhìn câu d có vẻ giống câu c nhng lại làm cho học sinh thực sự bối rối, không biết
phải làm nh thế nào vì dấu “ … ” ở cuối dãy và số số hạng là một số tổng quát: n. Lúc
này chỉ cần giáo viên “xúc tác” thì vấn đề sẽ trở nên đơn giản biết bao: “Nếu giống
câu c thì cứ làm nh câu c, nhng trớc tiên em hãy tính số cặp khi ta thực hiện nhóm hợp
lí”. Khi đó, học sinh sẽ nghĩ ngay ra số n phải có 2 khả năng: Chẵn hoặc lẻ. Với n
chẵn thì nhóm dễ rồi, nhng n lẻ thì khi nhóm sẽ bị “thừa” một số hạng. Vậy, số hạng
“thừa” này nằm ở õu?

+) Nếu n là số tự nhiên chẵn (khác 0):

Khi đó: B4 = (1 – 5) + (9 – 13) + (17 – 21) + …
B4 =

 4

2

( 4) ( 4) ( 4) ...

<i>n</i>
<i>so</i> 

     
        

B4 = (– 4).

2
<i>n</i>
B4 = – 2n

+) NÕu n là số lẻ thì n 1 là số chẵn

Khi đó: B4 = 1 +(– 5 + 9) + (– 13 + 17) +(– 21 + 25) + …
B4 = 1 + 1 ₄

2

4 4 4 ...

<i>n</i> <i>_so</i>

  
    

B4 = 1 + 4. 1

2

<i>n</i>
B4 = 1 + 2.(n – 1)
B4 = 2n – 1.

VËy: B4 = 2n khi n là số chẵn (khác 0)
B4 = 2n 1 khi n là số lẻ.

<b>VÝ dơ 3. </b>TÝnh c¸c tæng sau:

a) S1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) (Víi <i>n </i><i> N*).</i>
b) S’1= 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99

c) S2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 196.198 + 198.200
d) S3 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99

e) S’ = n(n+2) + (n+2)(n+4) + (n+4)(n+6) + ... + (n+2k)(n+2k+2)
(Víi n  N, n > 1, k  N)

f) S4 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + … + 98.100 + 99.101
g) 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + 99.102

h) S5 = 1.999 + 2.998 + 3.997 + … + 998.2 + 999.1

i) S6 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) Víi n  N*

Gặp bài tập kiểu này thì hầu hết học sinh đều sử dụng máy tính để tính tích trớc rồi
tính tổng các kết quả lại, cịn một số ít học sinh “vắt óc” suy nghĩ cách tính khác nh ng
cũng phải “đầu hàng”. Hãy phân tích một chút đã:

a) S1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n+1)

Trong tổng này, các số hạng là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Ta xét số hạng đầu tiên
của tổng là: 1.2, ta thấy:

2 lµ sè tù nhiªn liỊn sau cđa 1
số tự nhiên liền sau của 2 là 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

nên ta nghĩ ngay đến tích 1.2.3.

Do đó, giáo viên có thể gợi ý học sinh nhân cả 2 vế với 3 xem sao?
3.S1 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n+1).3

Theo dßng suy nghĩ này, có 1.2.3 thì sẽ có 2.3.4, có 3.4.5, …

3.S1 =1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + … + n.(n+1).[(n+2) – (n – 1)]
3.S1 =1.2.3+2.3.4–1.2.3+3.4.5–2.3.4+ … +n.(n+1).(n+2) – (n – 1).n.(n+1)
3.S1 = n.(n+1).(n+2)

S1 =

( 1)( 2)

3
<i>n n</i> <i>n</i>

VËy: S1 = ( 1)( 2)

3
<i>n n</i> <i>n</i>
b) S’

1 = 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99

Có cơng thức tổng qt ở trên nhng làm thế nào để áp dụng đợc công thức đó lại là cả
một vấn đề với học sinh.

Muốn sử dụng cơng thức trên thì phải có “đoạn đầu” 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10, ta
có thể biến đổi nh sau:

S’

1 = (1.2 + 2.3 + … + 9.10 + 10.11 + 11.12 + … + 98.99 ) – (1.2 + 2.3 + … + 9.10)
S’

1 =

98.99.100

3 –

9.10.11
3

S’

1 = 98.33.100 – 3.10.11
S’

1 = 323 070
VËy: S’

1 = 323 070

Hc cã thĨ tÝnh nh tÝnh S1:
3.S’

1 = 10.11.3 + 11.12.3 + 12.13.3 + … + 98.99.3
3.S’

1 = 10.11.(12–9) + 11.12.(13–10) + 12.13.(14–11) + … + 98.99.(100–97)
3.S’

1 = 10.11.12–9.10.11+11.12.13–10.11.12+12.13.14–11.12.13+ … + 98.99.100–
97.98.99

3.S’

1 = 98.99.100 – 9.10.11
3.S’

1 = 969 210
S’

1 = 969 210 : 3
S’

1 = 323 070
VËy: S’

1 = 323 070

c) S2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200

Với tổng S2 thì mỗi số hạng lại là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp, và sau khi biết
cách tính tổng S1 chắc chắn các em sẽ thử tính S2 theo cách đã tính S1.

6.S2 = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6

6.S2 = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)

6.S2 = 2.4.6+4.6.8–2.4.6+6.8.10–4.6.8+…+196.198.200–194.196.198+ 198.200.202–

196.198.200
6.S2 = 198.200.202
S2 = 198.200.202 : 6
S2 = 1 333 200
VËy: S2 = 1 333 200.

d) S3 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99

Nhng đến câu này thì cách suy luận ở 2 câu trên khơng cịn tác dụng nữa, vì khi ta
nhân cả 2 vế với 5 lại làm cho việc tính tổng trở nên phức tạp hơn, khó hơn.

Một câu hỏi đặt ra là: Khi ta nói đến số chẵn thì ngay lập tức trong đầu ta nghĩ ngay
đến số lẻ, và ngợc lại. Phải chăng chúng có sự tơng đồng trong tong trờng hợp ?

Để tính S2 ta đã nhân cả 2 vế với 6, khi tính S3 sao ta khơng nhân cả 2 vế với 6 thử
xem ?

6.S3 =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 95.97.6 + 97.99.6

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

95.97.99

6.S3 = 3 + 97.99.101
S3 = (3 + 97.99.101) : 6
S3 = 161 651

VËy: S3 = 161 651.

e) S’ = n(n+2) + (n+2)(n+4) + (n+4)(n+6) + ... + (n+2k)(n+2k+2)
(Víi n  N, n > 1, k  N)

Mỗi số hạng của S’ là tích của 2 số chẵn liên tiếp hoặc tích của 2 số lẻ liên tiếp, điều
đó khơng ảnh hởng gì đến cách tính tổng. Nhng các em sẽ lúng túng vì số tổng quát n.
Giáo viên nhắc nhở các em nắm vững quy luật và làm nh cách làm ở câu c, câu d:
6.S’ = n(n+2).6 + (n+2)(n+4).6 + (n+4)(n+6).6 + ... + (n+2k)(n+2k+2).6

6.S’ = n(n+2)[(n+4)–(n–2)]+(n+2)(n+4)[(n+6)–n]+ ... + (n+2k)(n+2k+2)[(n+2k+4)–(n+2k–
2)]

6.S’ = n(n+2)(n+4)–(n–2)n(n+2)+(n+2)(n+4)(n+6)–n(n+2)(n+4)+ ...

… + (n+2k)(n+2k+2)(n+2k+4)–(n+2k–2)(n+2k)
(n+2k+2)

6.S’=



<i>n</i>2<i>k n</i>

 

2<i>k</i>2

 

<i>n</i>2<i>k</i>4

 

 <i>n</i> 2

 

<i>n n</i>2



S’=



2

 

2 2

 

2 4

 

2

 

2



6

<i>n</i> <i>k n</i> <i>k</i> <i>n</i> <i>k</i>  <i>n</i> <i>n n</i>

VËy: S’=



2

 

2 2

 

2 4

 

2

 

2



6

<i>n</i> <i>k n</i> <i>k</i> <i>n</i> <i>k</i>  <i>n</i> <i>n n</i>
f) S4 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + … + 98.100 + 99.101

Câu này trở nên đơn giản với học sinh khi đã biết cách tính S2 và S3 nhng có thể tính
bằng cách khác đợc khơng ? Có thể đa về các tổng khác mà ta cũng biết cách tính rồi
chẳng hạn:

S4 = 1.(2+1) + 2.(3+1) + 3.(4+1) + 4.(5+1) + … + 98.(99+1) + 99.(100+1)
S4 = 1.2+1.1+2.3+2.1+3.4+3.1+4.5+4.1+ … +98.99+98.1+99.100+99.1
S4 = (1.2+2.3+3.4+4.5+ … + 98.99 + 99.100) + (1+2+3+4+ … +98+99)
Đến bớc này thì học sinh quen quá rồi còn gì!

Cỏch lm ny dn ng cho hc sinh đi tìm đáp án của tổng:
g) 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + 99.102

= 1.(2+2) + 2.(3+2) + 3.(4+2) + 4.(5+2) + … + 99.(100+2)
= 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + 4.5 + 4.2+ … + 99.100 + 99.2
= (1.2+2.3+3.4+4.5+ … + 98.99 + 99.100) + 2.(1+2+3+4+ … +98+99)

Thật là hay! Học sinh có cảm giác nh mình vừa khám phá ra một vùng đất mới rất
giàu tài nguyên vậy.

h) S5 = 1.999 + 2.998 + 3.997 + … + 998.2 + 999.1

Học sinh bảo nhau là “tắt điện” khi gặp câu này, vì làm bằng các cách đã biết mà vẫn
cha tìm đợc đáp số. Giáo viên chỉ cần hớng dẫn:

S5 = 1.999 + 2.(999 – 1) + 3.(999 – 2) + … + 998.(999 – 997) + 999.(999 – 998)
S5 = 1.999+2.999–1.2+3.999–2.3+ … +998.999–997.998+ 999.999–998.999
S5 = (1.999+2.999+3.999+ … +998.999+999.999) – (1.2+2.3+ …

+997.998+998.999)

S5 = 999.(1+2+3+ … +998+999) – (1.2+2.3+ … +997.998+998.999)
Bây giờ các em có thể thi nhau đọc ra kết quả cuối cùng cho bài toán.
i) S6 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) Với n  N*

S6 có vẻ giống S1, thực chất là mở rộng hơn một chút nhng cách làm thì suy luận t¬ng
tù :

4.S6 = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +… +n(n+1)(n+2).4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

4.S6 = n(n+1)(n+2)(n+3)
S6



 

 



1 2 3

4

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<b>1.3. Bài tập tơng tự:</b>

Sau khi tiếp cận với các ví dụ, học sinh “ham” chinh phục đáp án cho các bài tập
hơn, giáo viên có thể thay đổi nội dung bài tập để các em thấy mới hơn, hoặc yêu cầu
học sinh ra bài tập tơng tự cho các bạn cùng làm.

<i><b>Bµi 1. </b>TÝnh tỉng các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 100.</i>

<i><b>Bài 2. </b>Tính tổng các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.</i>

<i><b>Bài 3. </b>Tính tổng các số tự nhiên chia hết cho 5 có 2 chữ số.</i>

<i><b>Bài 4. </b>Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên.</i>

<i><b>Bài 5. </b>Tính bằng cách hợp lí:</i>

<i>a) 1 2 + 3 4 + 5 6 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… + 97 98 + 99–</i>
<i>b) 2 5 + 8 11 + 14 17 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… + 98 101–</i>

<i>c) 1 2 3 + 4 + 5 6 7 + 8 + – –</i> <i>– –</i> <i>… + 2009 2010 2011 + 2012–</i> <i>–</i>
<i>d) 10 15 20 + 25 +30 35 40 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… + 1990 1995 2000 + 2005–</i> <i>–</i>

<i><b>Bµi 6. </b>TÝnh:</i>

<i>a) I = 1 3 + 5 7 + 9 11 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… Víi I cã 100 sè h¹ng.</i>

<i>b) G = 12 18 + 24 30 + 36 42 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… Víi G cã 2011 sè h¹ng.</i>
<i>c) K = 2 + 3 4 + 5 6 + –</i> <i>–</i> <i>–</i> <i>… Víi K cã m số hạng ( m </i><i> N*_).</i>

<i><b>Bài 7.</b> Tính các tổng sau:</i>

<i>a) H1 = 11.12 + 12.3 + 13.14 + … + 97.98 + 98.99</i>
<i>b) H2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 196.198 + 198.200</i>

<i>c) H3 = 111.113 + 113.115 + 115.117 + … + 995.997 + 997.999</i>
<i>d) H4 = 5.1 + 6.2 + 7.3 + 8.4 + … + 99.95+ 100.96 </i>

<i>e) H5 = 999.10 + 998.11 + 997.12 + … + 11.998 + 10.999</i>

<i><b>Bài 8. </b>Tính hợp lí các tổng sau:</i>

<i>a) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + 2010.2011.2012</i>
<i>b) 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + … + 97.98.99.100</i>

<i>c) 10.11.12+11.12.13+12.13.14+ … + 47.48.49</i>

<i>d) 50.51.52.53+51.52.53.54+52.53.54.55+ … + 96.97.98.99</i>

<i> </i>Vẫn là thực hiện phép tính nhng giáo viên có thể thay đổi yêu cầu một chút để học
sinh thấy hứng thú hơn, phát triển tính t duy, suy luận logic cho cỏc em:

<i><b>Bài 9. </b>Tìm x:</i>

<i>a) x +(x+1)+(x+2)+(x+3)+ +(x+2010) = 2 029 099 </i>
<i>b) x +(x+2)+(x+4)+(x+6)+ … +(x+4006) = 8 030 028 </i>
<i>c) (x+2)+(x+7)+(x+12)+ … +(x+42)+ (x+47) = 655 </i>
<i>d) 2 + 4 + 6 + 8 + … +2x = 210.</i>

<i><b>Bµi 10.</b> Chøng minh r»ng:</i>

<i>a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n 1).n –</i>



1

 

1



3
<i>n</i> <i>n n</i>

 <i> Víi n lµ sè tù nhiên lớn hơn 1. </i>

<i>b) 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n 2).2n –</i>



2 2 2 2





2



6

<i>n</i> <i>n n</i>

 <i>Víi n lµ số tự nhiên lớn hơn 1. </i>

<i>c) 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n 1).(2n + 1) –</i> 3



2 1 2

 

1 2

 

3



6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

   

 <i> Víi n </i><i> N*</i>

<i>d) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) </i>



1

 

2

 

3



4

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 <i> Víi n </i><i> N*</i>

<i>e) 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + … + n(n+1)(n+2)(n+3) </i>



1

 

2

 

3

 

4



5

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


<i><b> </b>Víi n </i><i> N*</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b> 1.4. Tiểu kết:</b>
Quy luật với số nguyên có vẻ đơn giản nếu chỉ biết cách tính tổng nh sách giáo
khoa, trên thực tế nếu khơng biết cách biến đổi khéo léo thì khó có thể tìm ra đáp số
cho bài tốn. Dạng bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững từng quy luật, cách
biến đổi, đặc biệt kỹ năng tính tốn cẩn thận, chính xác vì rất dễ nhầm. Dạng này có
rất nhiều ứng dụng cho một số dạng tốn quy luật khác.

<i><b>3.2. D¹ng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác 1. </b></i>
<i><b>3.2.1. Dạng 2.1: Tách phân số.</b></i>

<b>2.1.1. Phơng pháp:</b>

+) Với phân số có dạng tổng quát





<i>k</i>

<i>n n k</i> ta thêng viÕt díi d¹ng

1 1

<i>n n k</i> 

( <i>Víi n </i><i> N*_{vµ k}</i>_<i>_N*</i>_).

Chøng minh:
Ta cã: 1 1

<i>n n k</i>  =





<i>n k n</i>
<i>n n k</i>

 

=





<i>k</i>
<i>n n k</i>
VËy:





<i>k</i>

<i>n n k</i> =

1 1

<i>n n k</i> 
+) Với phân số có dạng tổng quát

<i>m</i>

<i>n n k</i> ta thêng viÕt díi d¹ng

1 1

<i>m</i>

<i>k</i> <i>n n k</i>

 

_  _


 

Hc 1 <i>m</i> <i>m</i>
<i>k</i> <i>n</i> <i>n k</i>

 

_  _


 

( <i>Víi n </i><i> N*_{vµ k}</i>_<i>_N*</i>_).

Chøng minh:

Ta cã: <i>m</i> 1 1
<i>k</i> <i>n n k</i>

 

_  _


  =





.

<i>m n k n</i>
<i>k n n k</i>

 

=





.
<i>m</i> <i>k</i>

<i>k n n k</i>
=





<i>m</i>
<i>n n k</i>
VËy:





<i>m</i>
<i>n n k</i> =

1 1

<i>m</i>

<i>k</i> <i>n n k</i>

 

_  _


 

+) Víi phân số có dạng tổng quát

2
<i>k</i>

<i>n n k</i> ta thêng viÕt díi d¹ng

<i>k</i> <i>k</i>
<i>n n k</i> 

( <i>Víi n </i><i> N*_{vµ k}</i>_<i>_N*</i> _).

Chøng minh:

Ta cã: <i>k</i> <i>k</i>

<i>n n k</i>  =





( )

<i>k n k</i> <i>nk</i>
<i>n n k</i>

 

=





</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

VËy:





<i>k</i>

<i>n n k</i> =

1 1

<i>n n k</i> 

<b> 2.1.2. Mét sè vÝ dô:</b>
<b>VÝ dô 1.</b> TÝnh nhanh:

a) M1 = 2 2 2 ... 2

1.3 3.5 5.7   2009.2011

b) M2 =

1 1 1 1

...

10.12 12.14 14.16   98.100

c) M3 = 5 5 5 ... 5

1002.1005 1005.1008 1008.1011   2010.2013

d) M4 =

36 36 36 36

...

1.7 7.13 13.19   94.100

e) M5 = 3 5 7 ... 19

1.4 4.9 9.16   81.100

Khi đã trang bị kĩ cho học sinh về tri thức phơng pháp thì mấy câu này khơng làm
khó đợc các em trong q trình đi tìm lời giải cho bài tốn.

a) M1 =

2 2 2 2

...

1.3 3.5 5.7   2009.2011

Quan sát thấy tử số chính là phần hơn-kém giữa 2 thừa số ở mẫu số. Đúng dạng công
thức ở phơng pháp đã học.

M1 = 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1 3 3 5 5 7      2009 2011

M1 =

1 1

1 2011

M1 = 2010

2011

VËy: M1 =

2010
2011

b) M2 = 1 1 1 ... 1

10.12 12.14 14.16   98.100

Ta thấy phần hơn-kém giữa 2 thừa số ở mỗi mẫu số là 2 mà tử số lại là 1. Do đó, hãy
làm xuất hiện 2 ở tử số.

M2 = 1

2

2 2 2 2

...

10.12 12.14 14.16 98.100

 

_     _

 

M2 = 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1

...

10 12 12 14 14 16 98 100

 

_         _

 

M2 = 1

2

1 1

10 100

 

_  _

 

M2 =

1
2

9
100



M2= 9

200

VËy: M2=

9
200

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

c) M3 = 5 5 5 ... 5

1002.1005 1005.1008 1008.1011   2010.2013

Ta thấy phần hơn-kém giữa 2 thừa số ở mỗi mẫu số là 3 mà tử số lại là 5 nên ta biến
đổi nh sau:

M3 =5

3

3 3 3 3

...

1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013

 

_     _

 

M3 =5

3

1 1 1 1 1 1 1 1

...

1002 1005 1005 1008 1008 1011 2010 2013

 

_         _

 

M3 =5

3

1 1

1002 2013

 

_  _

 

M3 =

5
3

1011
1002.2013



M3 = 1685

32017026

VËy: M3 =

1685
32017026

d) M4 = 36 36 36 ... 36

1.7 7.13 13.19   94.100

Để ý đề bài một chút ta phát hiện ra tử số là bình phơng của phần hơn-kém giữa 2
thừa số ở mẫu số.

M4 =

2 2 2 2

6 6 6 6

...

1.7 7.13 13.19   94.100

M4 =

6 6 6 6 6 6 6 6

...

1 7 7 13 13 19      94 100

M4 = 6 6

1 100

M4 =

594
100

M4 = 297

50

VËy: M4 =

297
50

e) M5 = 3 5 7 ... 19

1.4 4.9 9.16   81.100

Nhìn tổng thể đầu bài thì chỉ phát hiện ra quy luật về số: Tử số là các số tự nhiên lẻ
liên tiếp, mẫu số là tích của 2 số chính phơng. Nhng khơng gợi ra đợc cách làm bài.
Phải để ý và phân tích từng số hạng của tổng thì mới thấy lối đi dẫn đến lời giải:

3 5 7 ... 19
1.4 4.9 9.16   81.100

1 1 1 1 1 1 1

1 ...

4 4 9 9 16 81 100

        

1 1
100

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

99

100



VËy: M5

99
100



Bây giờ mới thấy nó thật đơn giản.

Më réng h¬n víi mÉu sè lµ tÝch cđa 3, cđa 4 sè tù nhiên liên tiếp xem có làm khó
đ-ợc các em không?

<b>Ví dụ 2. </b> Tính các tổng sau:
a) C1 =

2 2 2 2

...

10.11.12 11.12.13 13.14.15   997.998.999

b) C2 = 4 4 4 ... 4

1.2.3 2.3.4 3.4.5   98.99.100

c) C3 =

18 18 18 18

...

10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15   96.97.98.99

d) C4 = 5 5 5 ... 5

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6   96.97.98.99

Các em sẽ làm ngay ví dụ 2 nh cách làm ở ví dụ 1, nhng gặp phải trở ngại là không
biết viết mỗi phân số trong tổng dới dạng nào để có thể tính nhanh và gọn nh ví dụ 1.
Lúc này, giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài toán nhỏ:

TÝnh: 1 1

( 1) ( 1)( 2)

<i>n n</i>  <i>n</i> <i>n</i> vµ

1 1

( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

<i>n n</i> <i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
Ta đợc: 1 1

( 1) ( 1)( 2)

<i>n n</i>  <i>n</i> <i>n</i> =

2

( 1)( 2)

<i>n n</i> <i>n</i>

1 1

( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

<i>n n</i> <i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> =

3

( 1)( 2)( 3)

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

Sau đó các em có thể tự mình vận dụng kết quả để làm bài một cách hăng say.

a) C1 = 2 2 2 ... 2

10.11.12 11.12.13 13.14.15   997.998.999

Ta cần 2 ở tử số, đã có sẵn 2 ở đó rồi.
C1 =

1 1 1 1 1 1 1 1

...

10.11 11.12 11.12 12.13 13.14 14.15      97.98 98.99

C1 = 1 1

10.11 98.99

C1 =

218
24255

VËy: C1 = 218

24255

b) C2 =

4 4 4 4

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5   98.99.100

Ta cần 2 ở tử số, hãy biến đổi để làm xuất hiện điều đó!
C2 = 2.

2 2 2 2

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

 

   

 

 

C2 = 2.

1 1 1 1 1 1 1 1

...

1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 5.6 98.99 99.100

 

       

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

C2 = 2.

1 1

1.2 99.100

 



 

 

C2 = 2 4949

99.100



C2 =

4949
4950

VËy: C2 = 4949

4950

c) C3 =

18 18 18 18

...

10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15   96.97.98.99

Ta cÇn cã 3 ở trên tử, làm xuất hiện 3 rồi chỉ việc tách theo quy luật là xong ngay.
C3 = 6.

3 3 3 3

...

10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99

 

   

 

 

C3 =6.

1 1 1 1 1 1 1 1

...

10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15 96.97.98 97.98.99

 

       

 

 

C3 = 6.

1 1

10.11.12 97.98.99

 



 

 

C3 = 6 97.49.3 20

97.98.99.20




C3 =

14239
3136980

VËy: C3 = 14239

3136980

d) C4 =

5 5 5 5

...

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6   96.97.98.99

Hãy làm xuất hiện 3 ở trên tử số đã, sau đó thực hiện theo các bớc nh câu c.

C4 =

5 3 3 3 3

...

3 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99

 

_     _

 

C4 =

5
3

1 1 1 1 1 1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 96.97.98 97.98.99

 

       

 

 

C4 =

5 1 1

3 1.2.3 97.98.99

 

_  _

 

C4 = 5

3

97.49.33 1
97.98.99




C4 =

5
3

78424
470547



C4 = 392120

1411641

VËy: C3 =

392120
1411641

Thay đổi một chút xem có lạ khơng?

<b> VÝ dô 3.</b> TÝnh nhanh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

b) 1 1 1 1 ... 1
90 110 132 156     870

c) 1 1 1 ... 2

45 55 66   2015.2016

d) 1 1 1 ... 1

10 40 88   (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5) Víi <i>n </i><i> N</i>

Trơng thấy “mới và lạ” nhng các em vẫn tính bằng cách … quy đồng mẫu số, việc

làm này dẫn các em vào “ngõ cụt”. Trong những lúc khó khăn nh thế này học sinh rất
cần đến sự gợi mở của giáo viên để giải quyết vấn đề.

Với phơng pháp “quy lạ về quen”, giáo viên chỉ cần hỏi học sinh: có thể biến đổi đầu
bài về những bài ta đã biết cách làm khơng? có thể viết mỗi mẫu số thành tích của 2; 3
hoặc 4 số theo một quy luật không?...

a)Tổng các nghịch đảo của: 2; 6; 12; 20; … ; 90.

Bài này cịn làm khó học sinh khi “dịch” chữ ra biểu thức số. Muốn có tổng các
nghịch đảo thì phải tìm các nghịch đảo trớc đã:

Các số 2; 6; 12; 20; … ; 90 có các nghịch đảo lần lợt là 1 1 1 1; ; ; ;...; 1 1;

2 6 12 20 72 90

Tổng các nghịch đảo của: 2; 6; 12; 20; … ; 90 là 1 1 1 1 ... 1 1
2 6 12 20    72 90

1 1 1 1 ... 1 1
2 6 12 20    72 90

= 1 1 1 1 ... 1 1

1.2 2.3 3.4 4.5    8.9 9.10

= 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5         8 9 9 10 

= 1 1
10



= 9

10

b) 1 1 1 1 ... 1

15 110 132 156     870

Học sinh viết đợc về quy luật nhng lại bị “vớng” dấu trừ, làm thế nào để đổi dấu trừ
thành dấu cộng?

1 1 1 1 ... 1

15 110 132 156     870

= 1 1 1 1 ... 1

15 10.11 11.12 12.13 29.30

 

 _     _

 

= 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

15 10 11 11 12 12 13 29 30

 

 _         _

 

= 1 1 1

15 10 30

 

 _  _

 

= 1 1

15 15

= 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

c) 1 1 1 ... 2
45 55 66   2015.2016

Trong tổng này, ta phải dựa vào số hạng cuối cùng để viết các số hạng khác về đúng

quy luật:

1 1 1 ... 2

45 55 66   2015.2016

= 2 2 2 ... 2

2.45 2.55 2.66   2015.2016

= 2 2 2 ... 2

9.10 10.11 11.12   2015.2016

= 2 2 2 2 2 2 ... 2 2

9 10 10 11 11 12      2015 2016

= 2 2

9 2016

= 223

1008

d) 1 1 1 ... 1

10 40 88   (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5) Víi <i>n </i><i> N</i>

Sau khi tính đợc tổng ở câu c, nhìn số hạng 1

(3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5) của tổng thì việc đa các số

hng cũn li v một quy luật và thực hiện tính tổng khơng là vấn đề nhng học sinh lại
băn khoăn về sự có mặt của n. Giáo viên hãy nhắc các em cứ làm nh làm việc với các
số.

1 1 1 ... 1

10 40 88   (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)

= 1 1 1 ... 1

2.5 5.8 8.11   (3<i>n</i>2)(3<i>n</i>5)

= 1

3

3 3 3 3

...

2.5 5.8 8.11 (3<i>n</i> 2)(3<i>n</i> 5)

 

_     _

 

 

= 1

3

1 1 1 1 1 1 1 1

...

2 5 5 8 8 11 3<i>n</i> 2 3<i>n</i> 5

 

_         _

 

 

= 1

3

1 1

2 3<i>n</i> 5

 



 



 

= 1

3

3( 1)

2(3 5)

<i>n</i>
<i>n</i>




= 1

2(3 5)

<i>n</i>
<i>n</i>




<b> VÝ dơ 4.</b> TÝnh hỵp lÝ:

a) 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 4.6    97.99 98.100

b) 1 99 99 ... 99

100 100.101 101.102   999.1000

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

a) 1 1 1 1 ... 1 1
1.3 2.4 3.5 4.6    97.99 98.100

Học sinh thờng khơng thích làm việc với dấu “–” vì các em hay bị “vấp” ở đây. Do
đó ta nên biến đổi dấu trớc rồi tính tốn sau:

1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 4.6    97.99 98.100

= 1 1 ... 1

1.3 3.5 97.99

 

  

 

 

1 1 1

...

2.4 4.6 98.100

 

 _    _

 

= 1 2 2 ... 2

2 1.3 3.5 97.99

 

_    _

 

1 2 2 2

...

2 2.4 4.6 98.100

 

 _    _

 

= 1 1 1 1 1 ... 1 1

2 3 3 5 97 99

 

 _      _

 

1 1 1 1 1 1 1

...

2 2 4 4 6 98 100

 

 _       _

 

= 1 1 1

2 99

 

 _ _

 

1 1 1

2 2 100

 

 _  _

 

= 1 98

2 99

1 49
2 100

 

= 1 98 49

2 99 100

 



 

 

=1 9800 4851

2 9900




= 4949

19800

VËy: 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 4.6    97.99 98.100 =
4949
19800

b) 1 99 99 ... 99

100 100.101 101.102   999.1000

Quan sát ban đầu ta thấy số hạng đầu tiên không nằm trong quy luật của các số hạng
cịn lại, có thể nhóm các số hạng theo quy luật vào một nhóm rồi tính. Nh ng hãy để ý
kĩ hơn một chút thì ta sẽ đa đợc số hạng đầu tiên về cùng quy luật với các số hạng còn
lại:

<i> </i> 1 99 99 ... 99
100 100.101 101.102   999.1000

= 99 99 99 ... 99

99.100 100.101 101.102   999.1000

= 99. 1 1 1 ... 1

99.100 100.101 101.102 999.1000

 

   

 

 

= 99. 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

99 100 100 101 101 102 999 1000

 

       

 

 

= 99. 1 1
99 1000

 



 

 

= 99 1000 99
99.1000




</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

= 901

1000

VËy: 1 99 99 ... 99

100 100.101 101.102   999.1000=
901
1000
<b> </b>

<b>2.1.3. Bµi tËp t¬ng tù:</b>

<b> </b> Khi nắm đợc phơng pháp và làm xong các ví dụ trên thì lúc này các em đã hình
thành cho mình một phản xạ, cũng nh kỹ năng tách những phân số thuộc một quy luật
nào đó. Bây giờ thì các em có thể độc lập làm các bài tốn tơng tự:

<i><b>Bµi 1. </b>TÝnh:</i>

<i>a) </i> 1 1 1 ... 1

1.2 2.3 3.4   <i>n n</i>.( 1)<i> Víi n</i><i> N</i>

<i>*_{; b)}</i> 3 3 3 _... 3
11.12 12.13 13.14   98.99
<i>c) </i> 1 1 1 ... 1

2.4 4.6 6.8   2010.2012<i> ; d) </i>

8 8 8 8

...

11.13 13.15 15.17   2011.2013

<i>e) </i> 9 9 9 ... 9

11.16 16.21 21.26   2011.2016<i> ; f) </i>

7 7 7 7

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5   48.49.50
<i>g) </i>25 25 25 ... 25

1.6 6.11 11.16   2011.2016<i> ; h) </i>

4 4 4 4 4 4 4 4

. . . ... .

3 7 7 11 11 15   2011 2015<i> </i>

<i>i) </i> ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1).( 2)

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>n n</i> <i>n</i>

   

  <i> Víi n</i><i> N</i>

<i>*</i>

<i><b>Bài 2. </b>Tính tổng các nghịch đảo của:</i>

<i>a) 20; 30; 42; 56; …; 2450</i>

<i>b) 110; 132; 156; 182; … ; 9702</i>
<i>c) 3; 15; 35; 63; … ; 2303</i>

<i>d) 10; 40; 88; 154; 238; 340</i>

<i><b>Bµi 3. </b>TÝnh nhanh:</i>

<i>a) </i> 1 1 1 1 ... 1

90 72 56 42     2 <i>; b) </i>

9 9 9 9

...
4 28 70   1480

<i>c) </i> 1 1 1 1 ... 1

80.73 73.66 66.59 59.52    10.3

1 1 1 1

2.9 9.16 16.23 23.30

   

<i>d) </i> 10 10 10 10 ... 10 10
11.13 12.14 13.15 14.16    97.99 98.100
<i>e) </i> 1 101 101 ... 101

100 100.99 99.98   2.1

Cũng vẫn là thực hiện phép tính, nhng thầy-cơ u cầu khác đi một chút để cỏc em
hng thỳ hn khi lm bi:

<i><b>Bài 4. </b>Tìm số tự nhiên x khác 0 biết:</i>

<i>a) </i> 1 1 1 ... 1 44

1.2 2.3 3.4   <i>x x</i>.( 1) 45<i> ; b) </i>

1 1 1 2 1999

1 ... 1

3 6 10 <i>x x</i>.( 1) 2001

     



<i>c) </i> 1 1 1 ... 1 19

15 21 28 4950 100

<i>x</i>

     <i>; d) </i> 1 1 1 ... 1 101

5.8 8.11 11.14   <i>x x</i>.( 3) 1540

<i>e) </i> 1 1 1 1 1

.( 4) ( 4).( 8) ( 8).( 12) 4.( 12) 4

<i>x x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

<i>f) </i> 5 5 5 5 1

.( 2) ( 2).( 4) ( 4).( 6) 2.( 6) 40

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i>g) </i>36 36 36 ... 36 313

1.7 7.13 13.19   <i>x x</i>.( 6) 53 <i> ; h) </i>

2 2 2 2

7 7 7 7 14063

...

8 120 330  <i>x x</i>.( 7)2010

<i>i) </i> 1 1 1 ... 1 23

1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 <i>x</i> 45

 

    

 

  <i> ; k) </i>

10 10 10 10 5

...

56 140 260 2400 <i>x</i> 14

 

    

 

 

<i><b>Bµi 5.</b> Chøng minh r»ng:</i>

<i>a) </i> 1 1 1 ... 1 1

1.2 2.3 3.4   2011.2012 <i> </i>
<i>b) </i> 1 1 ... 1 1

1.3 3.5  49.51 2

<i>c) </i> 1 1 1 ... 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6   47.48.49.50 18
<i>d) </i>1 1 1 1 ... 1 1 57

2 6 24 60 7980 9240 462

 

_      _

 

<i>e) </i> 5 5 5 ... 5 80
1.4 4.7 7.10   46.4949

<i>f) </i> ...

1.3 3.5 5.7 (2 1).(2 1) 2 1

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>kn</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

    

 Với n và k là các số tự nhiên khác 0.

<b> 2.1.4. Tiểu kết:</b>

Với dạng này, các em phải chú ý đến quy luật ở mẫu số rồi biến đổi tử số một cách
linh hoạt theo quy luật đó. Học sinh gọi tên dạng này là “toán rút ruột”, sau khi tách
mỗi phân số theo quy luật thì các em hãy lu ý đến dấu “–” và dấu “+” để triệt tiờu
nhng s i nhau.

<i><b>3.2.2. Dạng 2.2: Phân số có dạng cấu trúc số.</b></i>

<b> 2.2.1. Phơng pháp:</b>

+) Với phân số có dạng tổng quát ...

...
<i>aaa aa</i>

<i>bbb bb</i> (cã n ch÷ sè a, n ch÷ sè b) ta ®a vỊ
<i>a</i>
<i>b</i>
(n là số tự nhiên khác 0)

Chứng minh:

Ta cã: ...

<i>n chu so a</i>

<i>aaa aa</i>
   _{= a.}

1

111...11

<i>n chu so</i>

  

...

<i>n chu so b</i>

<i>bbb bb</i>_{  } _{= b.}

1

111...11

<i>n chu so</i>

  

Khi đó: ...

...

<i>aaa aa</i>
<i>bbb bb</i> =

<i>a</i>
<i>b</i>
VËy: ...

...
<i>aaa aa</i>
<i>bbb bb</i> =

<i>a</i>
<i>b</i>

+) Với phân số có dạng tỉng qu¸t ...

...
<i>abab ab</i>

<i>cdcd cd</i> (cã n bé<i>ab</i>, n bé<i>cd</i>) ta ®a vỊ
<i>ab</i>
<i>cd</i>
(n lµ sè tù nhiên khác 0)

Chứng minh:

Ta cã: ...

<i>n bo ab</i>

<i>abab ab</i>

    ₌<i>_ab</i>_.

1

10101...01

<i>n chu so</i>

    

...

<i>n bo cd</i>

<i>cdcd cd</i>_{   } ₌
<i>cd</i>.

1

10101...01

<i>n chu so</i>

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Khi đó: ...

...

<i>abab ab</i>
<i>cdcd cd</i> =

<i>ab</i>
<i>cd</i>
VËy: ...

...
<i>abab ab</i>
<i>cdcd cd</i> =

<i>ab</i>
<i>cd</i>
+) Víi sè cã dạng tổng quát

1

... .1001001...1001

<i>n chu so</i>
<i>n bo abc</i>

<i>abcabc abc abc</i>

           

(n lµ sè tự nhiên khác 0)

<b> </b>

<b>2.2.2. Một số ví dụ:</b>
<b> VÝ dô 1.</b> TÝnh nhanh:

13131313 55555
21212121 66666

Nhìn thấy số to đùng thế này, nhiều học sinh phát hoảng. Nhng có phơng pháp trong
tay thì tìm ra đáp số khơng mấy khó khăn đối với các em.

13131313 55555
21212121 66666 =

13.1010101 5.1111
21.1010101 6.1111
= 13 5

21 6
= 61

42

<b>VÝ dô 2.</b> TÝnh nhanh:
222222 33333333

151515 20202020

Nhiều học sinh tách 222222 = 2.111111 và 333333 = 3.111111 nên không thể rút gọn
đợc các phân số, do đó ngồi “cắn bút” và rất cần thầy-cô “mở đờng” cho. Rất đơn
giản: Hãy viết các mẫu về quy luật trớc, rồi viết các tử theo quy luật đó là xong.

222222 33333333
151515 20202020 =

22.10101 33.10101
15.10101 20.10101
= 22 33

15 20

= 11

60



<b>VÝ dô 3.</b> TÝnh nhanh:

234234234234 543543543
123123123123 246246246

Làm xong 2 ví dụ trên thì các em rất tự tin khi làm bài tập tơng tự, nhng chỉ có 1
hoặc 2 chữ số lặp lại thôi. Câu này có tới 3 chữ số lặp lại khiến các em bó tay. Lúc
này thầy-cô hÃy nhắc các em dựa vào lí thuyết cấu trúc số mà tách tử và mẫu của mỗi
phân số theo quy luật rồi rút gän.

234234234234 543543543
123123123123 246246246 =

234.1001001001 543.1001001
123.1001001001 246.1001001

= 234 543

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

= 75

246


= 25

82

<b> 2.2.3. Bài tập tơng tù:</b>

<b> </b>Giáo viên yêu cầu mỗi em học sinh lấy 1 ví dụ tơng tự và làm vào vở hoặc trao đổi
cho bạn bên cạnh và làm bài.

<i><b> Bµi 1. </b>TÝnh nhanh<b>:</b></i>

<i>a) </i>12121212 2 404

17171717 17 1717  <i> ;</i> <i>b) </i>

555555 44444444
151515 20202020
<i>c) </i>456456456456 26262626

132132132132 22222222 <i>; d) </i>

88888888 216216216216
12121212 666666666666

<i>e) </i>201120112011.20132013 – 201320132013.20112011

Vẫn cách làm đó nhng thay đổi yờu cu u bi mt chỳt:

<i><b>Bài 2. </b>So sánh:</i>

<i>a) </i>201120112011

201220122012 Víi
11

12 <i>; b) </i>

333333
123123

 vµ –1

<b> </b>

<b>2.2.4. TiÓu kÕt:</b>

Muốn làm tốt dạng bài tập này thì học sinh phải có kiến thức về cấu trúc số cũng nh
kỹ năng viết số dới dạng tích theo quy luật phù hợp để rút gọn đợc.

<i><b>3.2.3 Dạng 2.3: Một số trờng hợp khác.</b></i>

<b>2.3.1. Phơng pháp:</b>

Vi phõn s cú dạng tử và mẫu là những biểu thức có chứa quy luật thì hãy phân

tích, tổng hợp và vận dụng linh hoạt những kiến thức, phơng pháp đã biết để lập luận
đa ra đáp án một cách hợp lí nhất.

<b> 2.3.2. Mét sè vÝ dô:</b>
<b>VÝ dô 1.</b> TÝnh:

a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 9 10

         
        
         
         

b) 190072572 2011.20122012 20112011.2012

1 2 3 4 ... 2011




    

c) 50 3333 333333 33333333 3333333333 33333333 333333 3333

1212 202020 30303030 4242424242 56565656 727272 9090

 

_       _

 

Trải qua các dạng về quy luật ở trên thì khả năng suy luận cũng nh kĩ năng trình
bày bài làm của học sinh về loại tốn này đã trở thành “lối mịn”.

a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 9 10

         
        
         
         

Gặp câu này các em tính tự nhiên theo đúng thứ tự thực hiện phép tính

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 9 10

         
        
         
         

1 2 3 8 9

2 3 4 9 10

    

1

10



</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

b) 190072572 2011.20122012 20112011.2012

1 2 3 4 ... 2011




    

Nhìn ra quy luật, học sinh làm ngay: tính tử số, tính mẫu số theo từng quy luật đã
biết. Đến đây, thầy-cơ hãy nhắc nhở các em: khi tính ra tử số bằng 0 thì khơng cần
phải tính mẫu số nữa.

190072572 2011.20122012 20112011.2012
1 2 3 4 ... 2011




    

= 190072572 2011.2012.10001 2011.10001.2012
1 2 3 4 ... 2011




    

= 190072572 0

1 2 3 4 ... 2011



    

= 190072572.0
= 0

c) 50. 3333 333333 33333333 3333333333 33333333 333333 3333
1212 202020 30303030 4242424242 56565656 727272 9090

 

     

 

 

= 50. 33.101 33.10101 33.1010101 33.101010101 33.1010101 33.10101 33.101

12.101 20.10101 30.1010101 42.101010101 56.1010101 72.10101 90.101

 

     

 

 

= 50. 33 33 33 33 33 33 33
12 20 30 42 56 72 90

 

     

 

 

= 50.33. 1 1 1 1 1 1 1

3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

 

     

 

 

= 50.33. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

 

            

 

 

= 50.33. 1 1
3 10
 


 
 

50 33 7

30

  

= 385

<b>VÝ dơ 2.</b> TÝnh hỵp lÝ:

a) 1.2011 2.2010 3.2009 ... 2011.1

1.2 2.3 3.4 ... 2011.2012

   

   
b)

1 1 1 1

...

2 3 4 100

99 98 97 1

...

1 2 3 99

   

   

c)

1 1 1 1

1 ...

3 5 97 99

1 1 1 1 1

...

1.99 3.97 5.95 97.3 99.1

    

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

sao? Thầy-cô hãy động viên các em cứ bình tĩnh, quan sát thật kĩ đặc điểm của từng
biểu thức rồi liên hệ với những kiến thức về quy luật đã biết để làm bài.

a) 1.2011 2.2010 3.2009 ... 2011.1

1.2 2.3 3.4 ... 2011.2012

   

   

Phát hiện ra tử số thuộc một quy luật, mẫu số thuộc một quy luật khác nên các em
tính tử, tính mẫu riêng cho đỡ nhầm lẫn nhng nhớ ghi kết quả dới dạng tích để dễ rút

gọn.

Ta cã:

+) _{1.2011 2.2010 3.2009 ... 2011.1}_ _ _ _

= 1.2011+2.(2011–1)+3.(2011–2)+… +2011.(2011–2010)
= 1.2011+2.2011–1.2+3.2011–2.3+… +2011.2011–2010.2011

= (1.2011+2.2011+3.2011+… +2011.2011) – ( 1.2+2.3+…+2010.2011)
= 2011.(1+2+3+…+2011) – ( 1.2+2.3+…+2010.2011)

= 2011 2012.2011
2

 – 2010.2011.2012

3

= 2011.1006.2011 – 670.2011.2.1006
= 2011.1006.(2011 – 670.2)

= 2011.1006.671

+) 1.2 2.3 3.4 ... 2011.2012   

= 2011.2012.2013
3

= 2011.2012.671

Do đó: 1.2011 2.2010 3.2009 ... 2011.1
1.2 2.3 3.4 ... 2011.2012

   

    =

2011.1006.671
2011.2012.671
= 1

2
b)

1 1 1 1

...

2 3 4 100

99 98 97 1

...

1 2 3 99

   
   

Học sinh không thể biến đổi tử số nhng mẫu số thì có thể:
Ta có: 99 98 97 ... 1

1  2  3  99 = 99 +

98 97 1

...
2  3  99

= (98 1) (97 1) ... ( 1 1) 1

2   3    99 

= 100 1 1 ... 1 1

2 3 99 100

 

_     _

 

Do đó:

1 1 1 1

...

2 3 4 100

99 98 97 1

...

1 2 3 99

   

   

=

1 1 1 1

...

2 3 4 100

1 1 1 1

100 ...

2 3 4 100

   

 

_     _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

= 1

100

c)

1 1 1 1

1 ...

3 5 97 99

1 1 1 1 1

...

1.99 3.97 5.95 97.3 99.1

    

    

Tinh ý mét chót th× ta thÊy trong tỉng 1 1 1 ... 1 1

1.99 3.97 5.95   97.3 99.1 mỗi số hạng

xut hin 2 ln nờn cú thể biến đổi:

1 1 1 ... 1 1

1.99 3.97 5.95   97.3 99.1 = 2

1 1 1 1

...

1.99 3.97 5.95 49.51

 

_     _

 

Từ đó gợi ra cách biến đổi:
1 1 1 ... 1 1

3 5 97 99

     = (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ... (1 1)

99 3 97 5 95 49 51

       

= 100 100 100 ... 100
1.99 3.97 5.95   49.51

= 100 1 1 1 ... 1

1.99 3.97 5.95 49.51

 

_     _

 

Khi đó:

1 1 1 1

1 ...

3 5 97 99

1 1 1 1 1

...

1.99 3.97 5.95 97.3 99.1

    

    

=

1 1 1 1

2 ...

1.99 3.97 5.95 49.51

1 1 1 1

100 ...

1.99 3.97 5.95 49.51

 

_     _

 

 

_     _

 

= 2

100

= 1

50
<b> 2.3.3. Bài tập tơng tự:</b>

<b> </b><i><b>TÝnh nhanh:</b></i>

<i>1)</i> 636363.37 373737.63
11 12 13 ... 2015



    <i>; 2) </i>

555555.406 406406.55
2 4 6 ... 2012



   

<i> 3)</i>

2011 2011 2011 2011

...

2 3 4 100

2011 2010 2009 1

...

1 2 3 2011

   

   

<i>; 4) </i>1313 131313 131313 1313
1515 353535 636363 9999  
<i>5) </i>231 3939 393939 35 :1 414141 41414141

3 3030 424242 7 565656 72727272

   

_  _ _  _

   

<i>6) </i> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 11 12 99 100

         

        

         

         

<i>7) </i> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 49 50

         
        
         
         

<b> 2.3.4. TiÓu kÕt:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

hoạt biến đổi các quy luật để làm xuất hiện các thừa số chung ở tử số và mẫu số để có
thể rút gọn một cách nhanh chóng.

<i><b>3.3. D¹ng 3: Quy luật với lũy thừa.</b></i>

<b>3.1. Phơng pháp:</b>

+) Nm vng và biết sử dụng linh hoạt các công thức về lũy thừa để biến đổi biểu thức
+) Học sinh cần nắm vững các cơng thức tính và cách tính tổng các dãy số có quy luật
ở những dạng trớc, ở các ví dụ đã làm. Biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong từng
tr-ờng hợp để biến đổi điều cha biết về bài toán quen thuộc.

<b> </b>

<b>3.2. Mét sè vÝ dô:</b>
<b>VÝ dô 1.</b> TÝnh:

a) D = 1 + a + a2_{+ a}3₊…_{+ a}n_{(Víi a là số hữu tỉ khác 0 và khác 1, n }<i>_N</i>₎
b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– 7 – 1

c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599
d) D3 = 1 1₂ 1₃ ... ₂₀₁₀1 ₂₀₁₁1

3 3 3  3 3

e) D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
f) D5= 1 2 22426... 2 100

g) (100 – 12_{) (100 – 2}2_{) (100 – 3}2_{) (100 – 4}2₎…_{(100 – 1201}2_{) (100 – 2012}2₎
Các bài tập đơn giản mà có liên quan đến lũy thừa đã là khó đối với học sinh, bài
này mà khơng có sự hớng dẫn của giáo viên thì chắc chắn các em không thể làm đợc.
a) D = 1 + a + a2_{+ a}3₊…_{+ a}n

Đây là bài tập tổng quát, sau khi làm xong bài này - các em có thể sử dụng kết quả
nh một cơng thức để làm các bài tốn có liên quan. Do đó, thầy-cơ hãy khắc sâu cách
làm cũng nh kết quả cho học sinh.

Ta cã: D = 2 3

1 ... <i>n</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i>

     = 1

<i>a</i>.(a + a

2_{+ a}3₊…_{+ a}n+1₎
= 1

<i>a</i>.(D – 1 + a
n+1₎
Suy ra: a.D = D – 1 + an+1

a.D – D = an+1_{– 1}
D.(a – 1) = an+1_{– 1}
D =

1 ₁

1

<i>n</i>

<i>a</i>
<i>a</i>






VËy:

1

2 3 1

1 ...

1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>a</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>



     



b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– 7 – 1

Quan sát thấy câu này cha thể vận dụng ngay cơng thức tính tổng ở câu a, mà phải
qua một số bớc biến đổi thì mới áp dụng đợc.Với “vốn” kiến thức và kỹ năng có đợc
khi làm các dạng bài tập trớc, học sinh sẽ nghĩ: Để sử dụng công thức tổng quát thì ta
phải biến đổi dấu “ – ” thành dấu “ + ”:

D1 = 7100 – (799 + 798+ 797 + 796+ … + 72+ 7 + 1)
D1 = 7100 –

100

7 1

7 1




D1 =

100 100

6.7 7 1

6

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

D1 =

100

5.7 1

6



VËy: D1 =

100

5.7 1

6



c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599

Nhìn thấy quy luật ở D2 và có thể tính đợc nhng khi phát hiện ra: So với cơng thức
tổng qt thì D2 “thiếu” 1 + 5+ 52 + … + 59 nên các em khơng biết làm thế nào. Khi
đó, giáo viên gợi ý: ta có thể “vay” rồi “trả” phần “thiếu” đó.

D2 = (1 + 5+ 52 + … + 59 + 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599) – (1 + 5+ 52 + … + 59)

100
2

5 1

5 1

<i>D</i>  



10

5 1

5 1






100 10

2

5 5

4

<i>D</i>  

VËy:

100 10

2

5 5

4

<i>D</i>  

Có thể tính D2 bằng cách khác khơng ? Có thể dựa vào cách tính cơng thức tổng qt
để tính D2 khơng ?

D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598+ 599
D2 =

1
5.(5

11 _{+ 5}12 _{+ 5}13 ₊…_{+ 5}99_{+ 5}100₎
D2 = 1

5.(D2 – 5

10_{+ 5}100₎
5.D2 = D2 – 510 + 5100

5.D2 – D2 = 5100– 510
4. D2 = 5100– 510

100 10

2

5 5

4

<i>D</i>  

d) D3 = ₂ ₃ ₂₀₁₀ ₂₀₁₁

1 1 1 1 1

...

3 3 3  3 3

Học sinh có thể đa các số hạng về cùng cơ số, rồi áp dụng công thức tổng quát.
Giáo viên hãy yêu cầu các em làm theo cách khác xem sao? Lúc này học sinh sẽ nghĩ
ngay đến cách thứ hai ở câu b. Có thể trình bày khác một chút:

3.D3 = ₂ ₃ ₂₀₁₀ ₂₀₁₁

3 3 3 3 3

...

3 3 3  3 3
3.D3 = ₂ ₂₀₀₉ ₂₀₁₀

1 1 1 1

1 ...

3 3 3 3

    

D3 = ₂ ₃ ₂₀₁₀ ₂₀₁₁

1 1 1 1 1

...

3 3 3  3 3

3.D3 – D3 = ₂₀₁₁
1
1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

2.D3 =

2011
2011

3 1

3



D3 =

2011
2011

3 1

2.3



e) D4 =1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
Häc sinh sÏ ®a ngay dÊu “ – ” vÒ dÊu “ + ”:

D4 =1 + (–2) + 22 + (–23) + … + 22010 +(–22011)+ 22012

Nhng gặp phải khó khăn vì các em thấy cơ số lúc thì là 2, lúc lại là -2. Thầy-cô hãy
“ra mặt” giúp đỡ các em: hãy lu ý đến tính chất –a2n+1 _{= (–a)}2n+1_{với n}__{N. Bây giờ}
thì học sinh có thể viết về cùng một cơ số để áp dụng công thức tổng quát:

D4 = 1 + (–2) + (–2)2 + (–2)3 + … + (–2)2010 +(–2)2011+ (–2)2012

2013
4

( 2) 1

( 2) 1

<i>D</i>   

 

2013
4

2 1

3

<i>D</i>  



2013
4

2 1

3

<i>D</i>  

Vậy:

2013
4

2 1

3

<i>D</i>

Hoặc làm tơng tự câu c:

D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012

2. D4 = 2 – 22 + 23 – 24 + … + 22011 – 22012 +22013
D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012

2. D4 + D4 = 22013 + 1
3.D4 = 22013 + 1

2013
4

2 1

3

<i>D</i>  

f) D5= 1 2 22426... 2 100

Nếu áp dụng cách làm nh các câu trên thì sẽ khơng tìm đợc đáp số cho bài tốn này.
Vì ở các câu trên ta chỉ cần để ý đến cơ số, câu này thì phải quan tâm đến cả số mũ
nữa: cơ số là 2, khoảng cách ở số mũ là 2. Giáo viên có thể hớng dẫn:

D5 = 1 2 2 2426... 2 100
22_.D

5 = 22 



1 222426... 2 100



22_.D

5 = 22242628... 2 102
<i> </i>D5 = 1 2 22426... 2 100
4.D5 – D5 = 2102 – 1

3.D5 = 2102 – 1

102
5

2 1

3

<i>D</i>  

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

VËy:

102

5

2 1

3

<i>D</i>  

g) (100 – 12_{).(100 – 2}2_{).(100 – 3}2_{).(100 – 4}2₎…_{(100 – 1201}2_{).(100 – 2012}2₎
Với câu này học sinh nhìn thấy ngay quy luật nhng chỉ có thể làm theo thứ tự thực
hiện phép tính thơi, cũng chẳng giải quyết đợc vấn đề vì số rất to. Giáo viên hãy nhắc
các em để ý đến thừa số đặc biệt 100 – 102_{thì các em sẽ “ ồ ” vì bất ngờ quá:}

(100 – 12_{).(100 – 2}2_{).(100 – 3}2_{).(100 – 4}2₎…_{(100 – 1201}2_{).(100 – 2012}2₎
= (100 – 12_{).(100 – 2}2_{).(100 – 3}2_{) ... (100 – 10}2₎…_{(100 – 1201}2_{).(100 –}
20122₎

= (100 – 12_{).(100 – 2}2_{).(100 – 3}2_{) ... (100 – 9}2_{).0.(100 – 11}2₎…_{(100 – 1201}2_{).(100 –}
20122₎

= 0

<b>VÝ dô 2.</b> TÝnh:

a) 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ n}2_{víi n}_ _N*
b) 22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ (2n)}2_{víi n}__N*
c) 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊…_{+ (2n+1)}2_{víi n  N}
d) 102_{+ 11}2_{+ 12}2_{+ 13}2₊…_{+ 49}2 _{+ 50}2
e) ₁2 ₂2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 _{... 2011}2

      

Nhìn thấy cơ số thay đổi, mà khơng thể đa về cùng một cơ số đợc, các em không biết
bắt đầu từ đâu, làm nh thế nào? Có thể biến đổi quy luật này về những quy luật ta đã
biết cách tính khơng?

a) 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ n}2

Ta thÊy cơ số là các số tự nhiên liên tiếp nên cã thĨ t¸ch nh sau:
= 1+ 2(1+1)+ 3(2+1)+ 4(3+1)+ … + n[(n–1)+1]

= 1+ 1.2+ 2 + 2.3+ 3 + 3.4 + 4+ … + (n–1)n + n

= (1 + 2 +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n]

( 1)

2

<i>n n</i>

 ( 1) ( 1)

3

<i>n</i> <i>n n</i>



3 ( 1) 2( 1) ( 1)

6

<i>n n</i>  <i>n</i> <i>n n</i>



( 1)[3 2( 1)]

6

<i>n n</i>  <i>n</i>



( 1)(2 1)
6

<i>n n</i> <i>n</i>



VËy: 12 22 32 42 ... 2 ( 1)(2 1)
6

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>n</i>  

     

b) 22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ (2n)}2

Câu này không thể tách giống câu a đợc vì cơ số là các số chẵn liên tiếp. Ta thấy các
số chẵn liên tiếp thì hơn - kém nhau 2 đơn vị, điều này có gợi cho chúng ta điều gì
khơng ? Học sinh chỉ có thể làm đợc dới sự dẫn dắt của giáo viên:

22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ (2n)}2

= 1 2.2.2 4.4.2 6.6.2 8.8.2 2n . 2n .2

_

_{ }

_

2       

= 1 2.4 4.8 6.12 8.16 2n . 4n

_

_{ }

_

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

= 1



2. 1 3

_

_

4. 3 5

_

_

6. 5 7

_

_

8. 7 9

_

_

_

2n . 2n –1

_{ }

_{ }

2n 1

_



2              

= 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9

_

2n –1 . 2n

_{ }

_{ }

2n 2n 1

_{ }

_

2             

= 1 2 (2 1)(2 2)

2 3

<i>n n</i> <i>n</i>



= 2 (2 1)(2 2)
6

<i>n n</i> <i>n</i>

Có học sinh phát hiện ra cơ số ở câu b gấp 2 lần cơ số ở câu a, có thể biến đổi câu b
về câu a khơng ? Ta có một cách làm khác:

22_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ (2n)}2_{= (2.1)}2_{+ (2.2)}2_{+ (2.3)}2_{+ (2.4)}2₊…_{+ (2.n)}2
= 22_.12_{+ 2}2_.22_{+ 2}2_.32_{+ 2}2_.42₊…_{+ 2}2_.n2
= 22_.(12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ n}2₎

= 4 ( 1)(2 1)
6

<i>n n</i> <i>n</i>



= 2 (2 1)(2 2)
6

<i>n n</i> <i>n</i>

c) 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊…_{+ (2n+1)}2

C©u này có cơ số là các số lẻ liên tiếp, có thể làm tơng tự nh cơ số chẵn liên tiếp ở
câu b không ?

12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊…_{+ (2n+1)}2
= 1

2 .[ 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + … + (2n+1).(2n+1).2 ]
= 1

2 .[ 1.2+ 3.6 + 5.10 + 7.14 + … + (2n+1).(4n+2) ]
= 1

2 .{ 1.2 + 3.(2+4) + 5.(4+6) + 7.(6+8) + … + (2n+1).[(2n)+(2n+2)] }
= 1

2 .[ 1.2 + 2.3 + 3.4+ 4.5 + 5.6+ 6.7 +7.8 + … + (2n)(2n+1)+ (2n+1)(2n+2)]
= 1 (2. 1)(2 2)(2 3)

2 3

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

= (2 1)(2 2)(2 3)
6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

Khi có cơng thức tính ở câu a và câu b rồi thì ta cũng có thể sử dụng chúng để tính
câu c, ta sẽ biến đổi:

12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊…_{+ (2n+1)}2

= [12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ (2n+1)}2_{] - [ 2}2_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ (2n)}2_]

(2 1)(2 2)(4 3)

6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 2 (2 1)(2 2)

6

<i>n n</i> <i>n</i>



= (2 1)(2 2)[4 3 2 ]
6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>  <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

= (2 1)(2 2)(2 3)
6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

d) 102_{+ 11}2_{+ 12}2_{+ 13}2₊…_{+ 49}2 _{+ 50}2

Quy luËt nµy, với cơ số là các số tự nhiên liên tiếp thì các em có thể áp dụng cách làm
cũng nh kết quả của câu a.

102_{+ 11}2_{+ 12}2_{+ 13}2₊…_{+ 49}2 _{+ 50}2

= 10.(1+9) + 11.(1+10) + 12.(1+11) + 13.(1+12) + … + 49.(1+48)+ 50.(1+49)
= 10 +9.10 + 11 + 10.11 + 12 + 11.12 + 13 + 12.13 + ... + 49 + 48.49 + 50 + 49.50
= (10+11+12+13+ ...+ 49+50) + (9.10+10.11+11.12+12.13+ ... + 48.49+ 49.50)
= (10+11+12+ ...+ 49+50) + [(1.2+2.3+ ... +8.9+9.10+ ... + 48.49+ 49.50)–(1.2+2.3+ ...+ 8.9)]
=



10 50 [ 50 10

 



1]

2

   49.50.51 8.9.10

3




= 60.41

2

3.(49.50.17 8.3.10)
3




= 30.41 + (49.50.17 – 8.3.10)
= 1 230 + 41 650 – 240
= 42 640

Hc:102_{+ 11}2_{+ 12}2_{+ 13}2₊…_{+ 49}2 _{+ 50}2

= (12₊₂2₊₃2_{+ ... + 9}2₊₁₀2_{+ 11}2₊…_{+ 49}2₊₅₀2_{) – (1}2₊₂2₊₃2_{+ ... + 9}2₎
50.51.101

6

 9.10.19

6



= 25.17.101 – 3.5.19
= 42 640

e) ₁2 ₂2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 _{... 2011}2

      

Với quy luật dấu đan xen nh thế này, học sinh thờng biến đổi dấu “ – ” thành dấu
“+”, bằng cách nhóm hợp lí:

₁2 ₂2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 _{... 2011}2

      

= (12_{+ 3}2_{+ 5}2₊…_{+ 2011}2_{) – (2}2_{+ 4}2_{+ 6}2₊…_{+ 2010}2₎
Sau đó áp dụng kết quả của câu b và câu c ở ví dụ 1, ta có:
(12_{+ 3}2_{+ 5}2₊…_{+ 2011}2_{) – (2}2_{+ 4}2_{+ 6}2₊…_{+ 2010}2₎

= 2011.2012.2013

6

2010.2011.2012
6



= 2011.2012.(2013 2010)
6



= 2011.2012.3
6
= 2011.1006
= 2 023 066

VËy: ₁2 ₂2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 _{... 2011}2

       = 2 023 066

Hoặc đa về dạng câu a ở ví dô 1:
₁2 ₂2 ₃2 ₄2 ₅2 ₆2 _{... 2011}2

      

= (12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ 2011}2_{) – 2.(2}2_{+ 4}2_{+ 6}2₊…_{+ 2010}2₎
= (12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ 2011}2_{) – 2.2}2₍₁2_{+ 2}2_{+ 3}2₊…_{+ 1005}2₎

2011.2012.4023
6

 8 1005.1006.2011

6

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

= 2011.1006.1341 – 4.335.1006.2011
= 2011.1006.(1341 – 4.335)

= 2011.1006.1
= 2 023 066

<b>VÝ dô 3.</b> TÝnh:

a) 1.22_{+ 2.3}2_{+ 3.4}2_{+ 4.5}2₊…_{+ 98.99}2
b) 1 2₂ 3₃ 4₄ ... 99₉₉

3 3 3  3  3

c) 1 1₂ . 1 1₂ . 1 1₂ ... 1 1₂ . 1 1 ₂

2 3 4 99 100

         

    

         

         

Đã làm nhiều bài tập quy luật rồi, kiến thức và kỹ năng cũng tích lũy đợc tơng đối,
nhng gặp bài này lại khác hơn một chút, các em học sinh lúc nào cũng thấy mình ở
trong t thế “với” lấy kiến thức và rất cần đến sự giúp đỡ của thầy-cô.

a) 1.22_{+ 2.3}2_{+ 3.4}2_{+ 4.5}2₊…_{+ 98.99}2

Gặp cơ số thay đổi ở những câu trên đã khó, câu này cịn phức tạp hơn nhiều. Mặc dù
đang bị cuốn hút khi tính tốn với quy luật, nhng hầu hết các em đều lùi bớc, bỏ cuộc
khi gặp câu này vì khơng định hớng đợc cách làm. Lúc này, vai trò của giáo viên rất
quan trọng, gợi mở giúp các em t duy cao hơn nữa:

1.22_{+ 2.3}2_{+ 3.4}2_{+ 4.5}2₊…_{+ 98.99}2

= 1.2.2+ 2.3.3+ 3.4.4+ 4.5.5+ … + 98.99.99

= 1.2.(3–1)+ 2.3.(4–1)+ 3.4.(5–1)+ 4.5.(6–1)+ … + 98.99.(100–1)
= 1.2.3 –1.2 + 2.3.4–2.3+ 3.4.5–3.4+ 4.5.6–4.5+ … + 98.99.100–98.99

= (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6+ … +98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5+ … +98.99)
= 98.99.100.101

4

98.99.100
3



= 98.99.25.101 – 98.33.100
= 98.33.25.(3.101 – 4)
= 98.33.25.299

= 24 174 150

b) 1 2₂ 3₃ 4₄ ... 99₉₉
3 3 3  3  3

Nếu các tử số của câu này là 1 thì đơn giản rồi, nhng các tử số lại là các số tự nhiên
liên tiếp tăng dần nên các em không biết phải làm nh thế nào. Thầy-cô hãy động viên
các em không cần quan tâm đến các tử số, cứ thử làm theo cách mà em biết, nh câu d
và câu e ở ví dụ 1:

W= 1 2₂ 3₃ 4₄ ... 99₉₉
3 3 3  3  3
3.W= 3 1 2₂ 3₃ 4₄ ... 99₉₉

3 3 3 3 3

 

_      _

 

3.W= 1 2 3₂ 4₃ ... 99₉₈

3 3 3 3

    

W= 1 2₂ 3₃ 4₄ ... 99₉₉
3 3 3  3  3
3.W + W=1 1 1₂ 1₃ ... 1₉₈ 99₉₉

3 3 3 3 3

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

4.W= 1 1 1₂ 1₃ ... 1₉₈ 33₉₈

3 3 3 3 3

 

     

 

 

Đến đây thì học sinh thấy quen thuộc rồi, và có thể tính trong ngoặc riêng:
1 1 1₂ 1₃ ... 1₉₈

3 3 3 3

<i>Q</i>     

3. 3 1 1 1₂ 1₃ ... 1₉₈

3 3 3 3

<i>Q</i>  _     _

 

3. 3 1 1 1₂ ... 1₉₇

3 3 3

<i>Q</i>     

3. 2 1 1₂ ... 1₉₇

3 3 3

<i>Q</i>    

1 1 1₂ 1₃ ... 1₉₈

3 3 3 3

<i>Q</i>     

3.Q + Q = 3 1₉₈
3



4.Q = 3 1₉₈
3



Q = 3 1₉₈
4 4.3

Häc sinh thờng mất điểm ở đoạn này vì kết luận luôn giá trị cần tìm thay cho việc
phải tính tiếp:

Khi đó:

4.W= 3 1₉₈ 33₉₈
4 4.3 3
4.W=

99
98

3 1 4.33

4.3

 

4.W=

99

98

3 133

4.3



W=

99
98

3 133

16.3



c) 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1 ₂

2 3 4 99 100

         

        

         

         

Nh×n thÊy quy lt nhng chØ cã thĨ tÝnh ë trong ngc:

1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1 ₂

2 3 4 99 100

         

        

         

         

=

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 3 1 4 1 99 1 100 1

2 3 4 99 100

              

   

         

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

= 3 8 15₂ ₂ ₂ 9800 9999₂ ₂
2 3 4   99 100

Đến đây mà thực hiện nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu thì sẽ khơng tìm đợc đáp số
cho bài tốn. Ta phải tìm cách rút gọn các thừa số chung của tử và mẫu. Nhng làm thế
nào để xuất hiện các thừa số chung đó thì lại là cả một vấn đề.

Quan sát các mẫu số thấy ngay quy luật, nhng tử số theo quy luật nào? Có thể biến
đổi tử số thành tích theo cùng một quy luật không ?

3 8 15₂ ₂ ₂ 9800 9999₂ ₂
2 3 4   99 100

= 1.3 2.4 3.5₂ ₂ ₂ 98.100 99.101₂ ₂

2 3 4  99 100

= 1.2.3 ... 98.99 3.4.5 ...100.101.
2.3.4 ... 99.100 2.3.4 ... 99.100
= 1 101

100 2
= 101

200

VËy: 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1 ₂

2 3 4 99 100

         

        

         

         =

101
200

<b>3.3. Bµi tËp tơng tự:</b>

<i><b>Bài 1. </b>Tính:</i>

<i>a) </i>_{1 2 2}2 ₂3 ₂4 _{... 2}2012

      <i> ; b) </i>211212 213214 ... 2 99

<i>c) </i>₃2011 ₃2010 ₃2009 ₃2008 _{... 3}2 ₃

      <i> ; d) </i>599 598597  596... 5 3 525

<i>e) </i> 1₁₁ 1₁₂ 1₁₃ 1₁₄ ... 1₄₉ 1₅₀

2  2 2  2  2  2 <i> ; g) 5</i>

<i>11 _{+ 5}13 _{+ 5}15₊…_{+ 5}97 _{+ 5}99</i>
<i>h) 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ 4}2₊…_{+ 100}2_{; i) 2}2_{+ 4}2_{+ 6}2_{+ 8}2₊…_{+ 50}2</i>

<i>k) 12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊…_{+ 2011}2_{; l) 11}2_{+ 12}2_{+ 13}2_{+ 14}2₊…_{+ 101}2</i>

<i>m) 222_{+ 24}2_{+ 26}2_{+ 28}2₊…_{+ 88}2_{; n)}</i>₁₀₀2 ₉₉2 ₉₈2 ₉₇2 _{... 12}2 ₁₁2 ₁₀2

      

<i>«)</i> <i>11.122_{+ 12.13}2_{+ 13.14}2_{+ 14.15}2₊…_{+ 998.999}2</i>
<i>p) </i> 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1

2 3 4 50

       

      

       

       

<i>q) </i> 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂

10 11 12 98 99

         

        

         

         

Vẫn là thực hiện phép tính nhng giáo viên có thể thay thay đổi yêu cầu của bài toán
để học sinh đợc rèn luyện và phát triển khả năng t duy, lập lun, trỡnh by bi toỏn.

<i><b>Bài 2. </b>So sánh: </i>1 1 1₂ ... ₂₀₀₉1 ₂₀₁₀1

3 3 3 3

     <i> víi </i>1
2

<i><b>Bµi 3. </b>Chøng minh r»ng:</i>

<i> a) </i>1 1₂ 1₃ ... ₂₀₁₀1 ₂₀₁₁1 1

2 2 2 2 2 

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<i> b) </i>1 1₂ 1₃ 1₄ ... ₂₀₁₁1 ₂₀₁₂1 1
2 2 2  2  2  2 3

<b>3.4. TiÓu kÕt:</b>

Học đến dạng bài tập này học sinh cần tập trung cao độ, rất căng thẳng vì độ khó và
độ phức tạp tăng lên rất nhiều so với những dạng bài tập trớc. Đặc biệt là phải huy
động nhiều kiến thức có liên quan, vận dụng chúng một cách linh hoạt, học sinh phải
t duy không ngừng để chiếm lĩnh tri thức.

<b>IV. KÕt qu¶</b>

Qua việc tham khảo, chọn lọc, phân loại và sắp xếp hệ thống nh đã trình bày ở trên,

khi giảng dạy tơi thấy khả năng tổng hợp kiến thức, phát hiện quy luật cũng nh phán
đốn tìm tịi lời giải của học sinh tốt hơn hẳn trớc khi học. Các em chuyển từ tâm lí sợ
sang hào hứng, hăng say học tập, có ý thức hơn khi nghiên cứu bài và t duy logic để
tìm lời giải cho các bài tốn.

Cụ thể với học sinh lớp 7A năm học 2011-2012 (40 học sinh) của trờng THCS Phùng
Hng, tôi đã kiểm tra và thu đợc kết quả sau:

XÕp lo¹i Tríc khi dạy thực nghiệm_{Số lợng} _{Phần trăm} Sau khi dạy thực nghiệm_{Số lợng} _{Phần trăm}

Giỏi 0 0 % 6 15 %

Khá 2 5 % 13 32,5 %

Trung b×nh 5 12,5 % 16 40 %

Díi T.b 33 82,5 % 5 12,5 %

<b>V. Vấn đề còn hạn chế</b>

* Víi häc sinh:

+) Là học sinh của trờng thờng nên t duy của học sinh cha nhanh, khả năng suy luận,
phát hiện vấn đề cha thật tốt, vận dụng kiến thức cha thật linh hoạt.

+) Có thể áp dụng chuyên đề này cho học sinh trung bình, chủ yếu là học sinh khá và

học sinh giỏi.

* Với giáo viên:

+) Thời gian nghiên cứu còn hạn chế.

+) Khả năng tổng hợp, phân loại cã thĨ cha thËt phï hỵp, cha khoa häc.
* Tài liệu tham khảo:

Kin thc rng v khú mà nguồn tài liệu tham khảo trên thị trờng lại quá hiếm nên có
thể bài tập cha đợc phong phú v a dng.

<b>VI. Điều kiện áp dụng</b>

<b> </b>+) Có thể sử dụng một phần hoặc tồn bộ chun đề này tùy theo mức độ nhận thức
của đối tợng học sinh.

+) Với học sinh khá, giỏi thì việc trang bị tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp và
kỹ năng một cách thờng xuyên và liên tục là điều rất cần thiết.

<b>VII. Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu</b>

<b> </b>Đây là một trong những mảng kiến thức khó đối với khơng chỉ học sinh lớp 6, lớp 7
mà cịn khó cả với những học sinh ở lớp cao hơn. Nhng khi dạy thực nghiệm chuyên
đề này tôi thấy các em học tập say mê hơn. Loại toán này giúp các em phát triển t duy
logic cũng nh khả năng phân tích, tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo,
linh hoạt khi làm toán.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>C. KÕt LuËn</b>

Để học tốt bộ môn toán nói chung, toán quy luật nói riêng thì điều quan trọng nhất
là luôn biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lí thuyết, qua việc tìm lời giải và giải bài
tập, qua sự nghiên cứu và tìm tòi lời giải.

Đứng trớc một bài tốn khó, cha tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang
mang… và rất có thể bỏ qua bài tốn đó, nhng nếu có đợc sự giúp đỡ, gợi mở thì các
em sẽ khơng cịn sợ nữa, mà thay vào đó là sự thích thú khi làm những bài tốn nh vậy.
Do đó, ngồi sự dẫn dắt, gợi mở kịp thời của giáo viên cho từng dạng bài, từng bài
khi các em gặp vấn đề thì bản thân mỗi học sinh phải cố gắng tích lũy kiến thức có
liên quan, kiến thức nâng cao và phải biết vận dụng một cách linh hoạt các phơng pháp
phù hợp với từng loại, từng dạng, từng bài tập… , phải biết phân tích, tổng hợp, suy
luận logic từ những gì đã biết đến những yếu tố cha biết, liên hệ giữa cái trớc và cái
sau để biết đợc sự liên quan, móc xích gữa chúng…

Với chun đề “Thực hiện phép tính với tốn có quy luật” chứa đựng rất nhiều
những bài tốn hay, lí thú cùng với những cách biến đổi ngắn gọn mang đến nhiều
điều bất ngờ cho ngời học, ngời đọc. Để chiếm lĩnh đợc nó khơng phải là việc đơn
giản, dễ làm. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó trong từng dạng tốn, tơi muốn cung
cấp một số phơng pháp và kỹ năng làm bài tập liên quan tới quy luật, giúp các em u
thích mơn tốn đào sâu kiến thức về mảng toán quy luật dới dạng các bài tập. Tùy theo
khả năng và mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phơng
pháp, bài tập sao cho phù hợp với từng đối tợng. Tôi hy vọng rằng đây là cuốn tài liệu
bổ ích đối với học sinh, phụ huynh học sinh, đồng nghiệp và với những độc giả u
thích mơn tốn nối chung, tốn quy luật nói riêng!

Tuy đã rất cố gắng trong việc nghiên cứu, phân chia, sắp xếp nhng do thời gian và
kinh nghiệm hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót. Tơi rất mong nhận đợc sự tham
gia, đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp, bạn đọc để chuyên đề này hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

<b>Phïng Hng</b>, ngµy 20 tháng 12 năm 2011

<b> </b>Ngời thùc hiÖn:

Hoàng Dơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>Tài liệu tham khảo</b>

Nâng cao và phát triển toán 6 (tập 1)

Tuyển chọn bài thi học sinh giái to¸n THCS (tËp 1)
Båi dìng toán 7 (tập 1)

Báo toán học và tuổi trẻ

Tuyển chọn 400 bài tập toán 7

Phơng pháp giải toán 200 bài toán chọn lọc lớp 6
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán 6

</div>

<!--links-->