Bài giảng HE THONG KIEN THUC PHUONG TRINH BAC 2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
-Nếu
c
0
a

−
≥
thì
c
x
a
−
= ±
.
-Nếu
c
0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM
TỔNG QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2
nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x

2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm
phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có
nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <

: phương trình vô
nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm
x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =



-Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P
≥
thì u, v là
hai nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
-Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
=-1; x
2
=

c
a
−
.
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
-(1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
P 0
∆ ≥


>

-(1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥


>



>

-(1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
(1) vô nghiệm khi
∆
< 0
(1) có hai nghiệm đối nhau khi



<
=
0
0
P
S
Với P = x
1

.x
2
=
c
a
và S = x
1
+ x
2
=
a
b
−
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa
mãn điều kiện nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t; ...
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet
và phương pháp giải hệ phương trình.
LƯU Ý : 1/ A
2

+ B
2
= (A + B)
2
– 2AB
2/ A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB(A + B)
3/ A
3
- B
3
= (A – B)
3
+ 3AB(A – B)
4/
AB
BA
BA
+
=+
11
5/ (A – B )
2
= (A + B)
2

– 4AB
HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
1.Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)
-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.
-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm
thuộc đồ thị.
+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại
điểm b.
-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc
α
, mà
tg aα =
.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
; y
A
) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
+
b.
2.Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
Xét hai đường thẳng: (d
1
): y = a
1
x + b

1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2

với a
1
≠ 0; a
2
≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a
1
= a
2
và b
1
≠ b
2
.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a
1
= a
2
và b
1
= b
2

.
-Hai đường thẳng cắt nhau khi a
1
≠ a
2
.
+Nếu b
1
= b
2
thì chúng cắt nhau tại b
1
trên trục tung.
+Nếu a
1
.a
2
= -1 thì chúng vuông góc với nhau.
3.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax
2
(a ≠ 0)
-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0,đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
; y
A

) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
2
.
4.Vị trí của đường thẳng và parabol
*Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax
2
:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am
2
).
*Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax
2
:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x =
m
a
±
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
-Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) và parabol y = ax
2
:
+) Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình
hoành độ ax
2
= mx + n. (1)
* Đường thẳng và parabol cắt nhau khi

∆
> 0
* Đường thẳng và parabol tiếp xúc nhau khi
∆
= 0
* Đường thẳng và parabol không giao nhau khi
∆
< 0
5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1)
Đặt t = x
2
điều kiện t
≥
0 ta có phương trình
at
2
+ bt + c = 0 (2)
• Nếu pt (2) vô nghiệm thì pt (1) vô nghiệm
• Nếu pt (2) có hai nghiệm âm thì pt (1) vô nghiệm
• Nếu pt (2) có 1 nghiệm dương thì pt (1) có hai nghiệm đôi
nhau
• Nếu pt (2) có 2 nghiệm dương thì pt (1) có bốn nghiệm
( hay hai cặp nghiệm đối nhau)
6. PHƯƠNG TRÌNH CHƯA ẨN Ở MẪU:
B1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

B2: Phân tích mẫu thức về dạng tích, qui đồng mẫu thức hai vế
rồi khử mẫu
B3: giải pt vừa nhận được
B4: trong các giá trị vừa tìm được của ẩn, loại các giá trị
không thỏa mãn điều kiện, các giá trị thỏa mãn là nghiệm của
pt đã cho.
7. PT ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH :



=
=
⇔=
0B
0A
0 A.B

.

C.MT S BI TP C BN
1.Cho (P): y = ax
2
a) Xỏc nh a th hm s i qua A(1; 1). Hm s
ny ng bin, nghch bin khi no.
b) Gi (d) l ng thng i qua A v ct trc Ox ti
im M cú honh m ( m 1). Vit phng trỡnh (d) v tỡm
m (d) v (P) ch cú mt im chung.
2.Trong mt phng ta Oxy cho im A (-2; 2) v ng
thng (d
1

): y = -2(x+1)
a) Gii thớch vỡ sao A nm trờn (d
1
).
b) Tỡm a trong hm s y = ax
2
cú th l (P) qua A.
c) Vit phng trỡnh ng thng (d
2
) qua A v vuụng gúc vi (d
1
).
d) Gi A, B l giao im ca (P) v (d
2
); C l giao im ca (d
1
)
vi trc tung. Tỡm ta ca B v C. Tớnh din tớch ca tam
giỏc ABC.
3.Cho (P): y = x
2
v (d): y = 2x + m. Tỡm m (P) v (d):
a) Ct nhau ti hai im phõn bit.
b) Tip xỳc nhau.
c) Khụng giao nhau.
4.Trong h trc ta Oxy gi (P) l th ca hm s y = x
2
.
a) V (P).
b) Gi A, B l hai im thuc (P) cú honh ln lt l

1 v 2. Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi AB
v tip xỳc vi (P).
III.PHNG TRèNH BC HAI MT N
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh
2 2 2 2
a) 3x 12x 0 b) 5x 10x 0 c) 3x 12 0 d) 3x 1 0
+ = = = =
2 2 2
e) x 5x 4 0 f ) 3x 7x 3 0 g) 5x 31x 26 0+ + = + = + + =
2 2 2
h) x 15x 16 0 i) 19x 23x 4 0 k) 2x 5 3x 11 0 = + = + + =
( ) ( )
2 2 2
2
1 1 27
n) 3x x 14 2 p) x x 1 x x 12 12 q) x x
x x 4
+ = + + + + = + + + =
2 2 2 3 2
y 3 1 9x 12 1 1
l) m)
y 9 6y 2y y 3y x 64 x 4x 16 x 4
+
+ = =
+ + +
n)
2
2
2x x x 8

x 1
x 3x 4
+
=
+

o)(2x
2
+ x 4)
2
(2x 1)
2
= 0
p) 3(x
2
+ x) 2(x
2
+ x) 1 = 0
q) (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
4x 4 = 0
Bi 2. Cho phng trỡnh x
2
+ 5x + 4 = 0. Khụng gii phng
trỡnh hóy tớnh:
( ) ( )

2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
x x 1 1
a) x x x x b) c) x 2x 2x x d) x x
x x x x

+ + + + + +
ữ ữ

Bi 3. Gi s x
1
, x
2
l hai nghim ca phng trỡnh
2x
2
7x 3 = 0. Hóy lp phng trỡnh cú nghim l:
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 x x
a) 3x ; 3x b) ; c) x x ; x x d) ; e) ; f ) x 2x ; 2x x
x x x x x x
+ +
Bi 4. Cho phng trỡnh x
2

+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Gii v bin lun s nghim ca phng trỡnh.
b) Phng trỡnh cú mt nghim x = 3. Tỡm m v nghim cũn
li.
c) Tỡm m
1 2
2 1
x x
2
x x
+ =
.
d) Tỡm m
( ) ( )
1 2 1 2
2x x x 2x 0+ +
.
e) Tỡm biu thc liờn h gia x
1
v x
2
m khụng ph
thuc vo m.
f) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim i nhau.
g) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng du. Cú
nhn xột gỡ v hai nghim ú.
Bi 5 Cho phng trỡnh : x
2
2(m 1 )x +m
2

+2 = 0
a. Vi giỏ tr no ca m thỡ pt cú 2 nghim phõn bit ?
b. Tớnh E = x
1
2
+ x
2
2
theo m
c. Tỡm m pt cú 2 nghim thoó món : x
1
x
2
= 4
Bi 6 Cho phơng trình x
2
-2( m+2 )x + 2m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = - 1
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
,x
2
không phụ

thuộc m
Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
nhỏ nhất
ÔN TÂP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ LỚP 9
A/ PHẦN TRẮCNGHIỆM KHÁCH QUAN
1/ Điểm thuộc đồ thị hàm số y= -
2
2
x
là:
A.(-2:2) B.(2:2) C.(3:-3) D.(-6:-18)
2/ Một nghiệm của PTBH -3x
2
+ 2x+5=0 là:
A.1 B.-
3
5
C.
3
5
D.
5
3
3/Tổng hai nghiệm của PTBH -3x
2

- 4x +9 =0 là:
A.-3 B.3 C,-
3
4
D.
3
4
4/ Hai số có tổng là 15 và tích là -107 là nghiệm PTBH :
A.x
2
+ 15x – 107=0 B.x
2
- 15x – 107=0
C.x
2
+ 15x +107=0 D.x
2
- 15x + 107=0
5/ Biệt thức
∆
của PTBH : 5x
2
+13x - 7 = 0 là :
A.29 B.309 C.204 D.134
6/ PTBH : -3+2x+5x
2
= 0 có tích hai nghiệm là :
A.
3
2

B.-
3
2
C.
5
3
D.-
5
3
7/ Biệt thức
∆
’ của PTBH : -3+2x+5x
2
=0 là :
A.15 B.16 C.19 D.4
8/PTBH :x
2
+3x - 5=0.Biểu thức x
1
2
+x
2
2
có giá trị bằng :
A.16 B. -1 C.19 D.4
9/ Điểm thuộc đồ thị hàm số y=
2
2
x
có tung độ bằng 2 thì có

hòanh độ là :
A.- 2 B.2 C.2 hoặc -2 D.4 hoặc – 4
10/ Biệt thức
∆
của PTBH : 2x
2
- (k-1)x+ k = 0 là:
A. k
2
+6k-23 B.k
2
+6k-25 C.(k-5)
2
D..(k+5)
2
11/ Một nghiệm của PTBH: 2x
2
- (k-1)x+ k = 0 là:
A.
2
1
−
k
B.
2
1 k
−
C.
2
3

−
k
D.
2
3 k
−
12/ Một nghiệm của PTBH: 3x
2
+ 5x-8= 0 là:
A.1 B.-1 C.
3
2
D.-
3
2
13/ Phương trình có x
2
-
5
x +
10

-2 = 0 có 1 nghiệm là
2
thì
nghiệm còn lại là:
A.1 B.-1 C.
5
+
2

D.
5
-
2
14/ Phương trình có x
2

+3x – 5 = 0.Biểu thức(x
1
-x
2
)
2
có giá trị
là: A,29 B,19 C.4 D.16
15/ Cho hàm số y= -
2
2
x
. Kết luận nào sau đây là đúng :
A.Hàm số luôn luôn đồng biến
B,Hàm số luôn luôn nghịch biến
C. Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x >0
D. Hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x <0
16/ PTBH ẩn x : x
2
-(2m - 1)x + 2m = 0 có hệ số b bằng :
A,2(m - 1) B.1 – 2m C.2 - 4m D.2m – 1
17/ Điểm P(- 1: - 3) thuộc đồ thị hàm số y = mx
2

thì m có giá trị
là : A. – 3 B.-2 C.2 D.3
18/ Phương trình: x
2
- (a+1)x + a = 0 có 2 nghiệm là:
A.x
1
=1;x
2
= a B.x
1
= - 1;x
2
= - a
C.x
1
=1;x
2
= - a C,x
1
= - 1;x
2
= a
19/ nghiệm của PT 3x
2
+ 2x + 1 = 0 là hòanh độ giao điểm của
các hàm số:
A.y = 3x
2
và y = 2x + 1 B.y = 3x

2
và y = - 2x + 1
C.y = 3x
2
và y = - 2x - 1 D.y = - 3x
2
và y = 2x - 1
20/ Nếu PT : ax
2
+bx+c=0(a
≠
0) có một nghiệm là 1 thì tổng nào
sau đây là đúng : A.a+b+c = 0 B.a-b+c = 0
C,a – b - c = 0 D.a+b - c = 0
21/ Chọn câu trả lời đúng
Trong các hàm số sau chỉ ra các hàm số đồng biến khi x < 0
1) y = 2x
2
2) y = - 2x
2
3) y =
2
4
1
x
−
A. 1); 2) B. 1); 3) C. 1); 2); 3) D.2); 3)
22/ Chọn câu trả lời đúng. Tìm a, biếtđồ thị hàm số y = ax
2
đi

qua điểm M(2; - 1) A. a = - 4 B. a =
4
1
.
4
1
−

D.
2
1
−
23/ Chọn câu trả lời đúng : Xác định các giá trị m để phương
trình x
2
– 7x + m = 0 có nghiệm:
A. m <
4
49
B. m >
4
49
C. m ≤
4
49
D. m ≥
4
49
24/ Chọn câu trả lời đúng. Cho phương trình 5x
2

– 9x + m
2
= 0
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 1
A. m = 4 B. M = - 4 C. m = ±
14
D. m = ± 2