Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

Bài giảng He thong phuong phap giai PT vo ti

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.78 KB, 5 trang )

Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.
. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
. Phơng pháp bất đẳng thức.
. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Phơng trình dạng
)()( xgxf
=
Cách giải:



=

=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt
ẩn phụ.
Ví dụ : giải các phơng trình sau:
a)
332
=


xx
c)
31
=+
xx
b)
452
=
xx
d)
xxxx 27126
22
=+
Giải:
a)
6
0128
3
)3(32
03
332
22
=



=+






=

=
x
xx
x
xx
x
xx

d) Đặt t=
6
7
22
2
27126

=+
t
xxxx
PT đã cho tơng đơng với PT
7;1076
2
===
tttt
từ đó suy ra x (loại t=-1)
2. Phơng trình dạng
)()()( xhxgxf

=+
hoặc
)()()()( xuxhxgxf
+=+
Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT đã cho về PT đã biết cách giải.
Chú ý: khi bình phơng dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp khác, chỉ bình ph-
ơng khi biết hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phơng trình hệ quả, có thể phân
tích thành tích nếu đợc.
Ví dụ: giải các PT
a)
322315
=
xxx
b)
3343
=+
xx
c)
52101
+++=+++
xxxx
d)
11212123492
22
+=++
xxxxx
Giải: c) gợi ý: ĐK
1

x

bình phơng hai lần khử căn, nghiệm là x=-1
d)đặt
012,049
2
==+
bxaxx
phơng trình là
baba 53
+=+
bình phơng
hai vế rút gọn đợc b=0 hoặc b=a .Nghiệm là
5;
2
1
3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Ví dụ: giảI phơng trình
333
3221
=+
xxx
Giải: Phơng trình tơng đơng với
[ ]
2
3

3
33
3
;2;10)32)(2)(1(
3221)2)(1(32
====
=++
xxxxxx
xxxxxx
II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tuỳ từng phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đa về phơng trình
đã biết cách giải, sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ1: giải biện luận phơng trình:
axxx
=++++
4
1
2
1
Giải: đặt t=
4
1
2
4
1
0
=+
txx
phơng trình đã cho thành
4

1
2
1
2
2
1
0)(
==+
aatat
(loại
2
1
=
at
) khi đó
aaax
==
4
1
2
2
1
)(
Ghi chú: khi đã giải đợc PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9,...đợc kết quả khá gọn
gàng.
Ví dụ2: giải PT
7234742
2342
++=++
xxxxxx

Giải: biến đổi PT thành
35)742(16)742(7424
2222
+++++=++
xxxxxx
đặt
5;742
2
++=
txxt
đơc pt
0)12()6(035416
22224
=+=+
ttttt
Ví dụ3: giải phơng trình :
3)6)(3(63
=++++
xxxx
Giải: đặt
=
t
233,63
++
tkiBunhiacopsxx

2
9
2
2

)6)(3()6)(3(29

=+++=
t
xxxxt
PT đã cho thành
3
2
9
2
=+

t
t
, học sinh tự giải tiếp.
Ví dụ4: giải phơng trình:
xxx
xx
=+
22
77
2

Giải:
7,7:
34

xxDK
chuyển vế :
22

77
2
xx
xxx
=
bình phơng rút gọn hai lần đ-
ợc (x-2)(4x
2
+7x+14) = 0 . Đáp số x=2.
Ví dụ5:
8)1(2)3)(1(
1
3
=++

+
x
x
xxx
Điều kiện:
1;3
>
xx
Đặt y=
,1
3
)1(

+


x
x
x
phơng trình trở thành
y
2
+2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4
với y=2, ta có
,1
3
)1(

+

x
x
x
=2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x
2
+2x-7=0 chọn x=
81
+
với y=- 4, ta có
,1
3
)1(

+

x

x
x
=- 4 bình phơng hai vế (đk
3

x
) đợc x
2
+2x-19=0
chọn x=
521

.
III/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ1: Giải phơng trình
11610145
=+++++
xxxx
(1)
Giải: (1)






=+++
<=+++
<=+++


=+++=+++
)8(13121
)83(11321
)31(11312
131211)31()21(
22
xxx
xxx
xxx
xxxx
Nghiệm là:
83

x
.
Ví dụ2: giải phơng trình
2
3
1212
+
=++
x
xxxx
(1)
Gợi ý: (1)






=++
212
212
1111
khixx
xkhi
xx

nghiệm là x=1 và x=5
VI/ Phơng pháp bất đẳng thức:
1. Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia:
Ví dụ: giải các phơng trình
a)
23151
=
xxx
(1) b)
211
=+
xx
(2)
Giải: a) đk:
1

x
, khi đó x<5x do đó
151
<
xx
suy ra vế trái của (1) âm còn vế

phải không âm . Phơng trình vô nghiệm,
b) ĐK:
1

x
khi đó (2)
121
++=
xx
vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phơng trình vô
nghiệm.
2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ1: giải phơng trình
564630527122
222
+=+++
xxxxxx
(1)
Giải: vế trái
4191)3(59)3(2
22
=++++
xx
vế phải
44)3(56
22
+=+
xxx
vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3
Ví dụ2: giải phơng trình

11642
2
+=+
xxxx
(2)
Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho 4 số
xx

42,1,1
ta có

2)42)(11(4.12.1
22
=+++
xxxx
;
22)3(116
22
+=+
xxx
do (2)
321162
2
==+==
xxxVPVT
1. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt:
Ví dụ1: giải phơng trình
2
952
22

2
)2)(74(
+
=++
xx
xxxx
Giải: áp dụng BĐT côsi
2
ba
ab
+

với
0,0

ba
có : ta c ú
22222222222222
)()())(( bcadbdacdbcbdacadcba
++=+++=++
2
952
2
)274(
22
2
22
)2)(74(
+
+++

=++
xx
xxxx
xxxx
dấu bằng xảy ra khi x
2
- 4x+7=x
2
x+2 , nghiệm là x=5/3
Ví dụ2: giải phơng trình
2
45
45
=+


x
x
x
x
(1)
Giải: đk x > 4/5 , ta có BĐT
2
+
a
b
b
a
với a>0, b>0 xảy ra đẳng thức khi a = b
với x>4/5 (1)

4;104545
2
===+=
xxxxxx
(thoả mãn đk )
V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều
kiện để phơng trình có nghiệm.
1. Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp
đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần
tử x
0
, từ đó kết luận x
0
là nghiệm.
+ Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh
)()( xgxf

hoặc
)()( xgxf

hoặc
Axf

)(

Axg

)(


hoặc ngợc lại.
+Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả:
+Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì
cắt tại một điểm duy nhất . Từ đó phơng trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất
hoặc vô nghiệm.
+ Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y)

x=y
2. Các ví dụ:
Ví dụ1: giảI phơng trình :
231231
+=++++
xxx
Giải: Điều kiện
2
1
012
03
01







+
+
x
x

x
x
đặt :
1231)(
++++=
xxxxf

2
1
122
1
32
1
12
1
/
0)(
>>++=
++
xxf
xxx
)(xf

tăng trên
[
)
+
;
2
1

lại có
23)1(
+=
f
nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng
23
+=
y
tại một điểm
duy nhất x=1. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: giải phơng trình :
82315
22
++=+
xxx
Giải:
232381582315
815
7
2222
22
==++++=+
+++
xxxxxxx
xx
Ta thấy hàm
815
7
22
)(

+++
=
xx
xf
luôn giảm trên R, hàm
23)(
=
xxg
luôn tăng trên R,
do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3: giải hệ phơng trình





=++
=++
752
725
yx
yx
Giải: điều kiện:





2

2
y
x
từ hệ

2525
+=+
yyxx

)()( yfxf
=
Xét hàm số
25)(
+=
tttf
với
2

t

0)(
2.52
52
22
1
52
1
/
<==
+

+
+
tt
tt
tt
tf
với
2

t
f(t) là hàm giảm trên
[
)
+
;2
do đó
yxyfxf
==
)()(
khi đó hệ PT
1111725
===++
yxxx
, nghiệm của hệ là (11;11).
Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực

4
2
12113
=++

xxmx
Giải: đk
1

x
phơng trình đã cho
m
x
x
x
x
=+
+

+

4
1
1
1
1
23
(1) đặt
4
1
1
+

=
x

x
t
, khi đó (1) trở
thành -3t
2
+2t=m vì t=
4
1
2
4
1
1
1
++

=
xx
x

101
<
tx
hàm số
10,23)(
2
<+=
ttttf

có bảng biến thiên:
t o

3
1
1
f
/
(t) + 0 -

3
1
0 -1
f(t)
Phơng trình đã cho có nghiệm t
[
)
3
1
11;0
<
m
Một số bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:
1)
452
=
xx
6)
432
=+
xx
2)
66496

22
+=+
xxxx
7)
11)1()1(
3 2
3
2
3
2
=+++
xxx
3)
12611246
=+++++
xxxx
8)
61224
3
=++
xx
4)
661697
2
+=+
xxxx
9)
0321
333
=+++++

xxx
5) 2
222
723)134)(23( xxxxxx
++=+++
10)
x
xx
xx
=
+

6
33
33
57
57

×