Một số ứng dụng của phép chiếu để giải bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

TRẦN ĐOÀN THẢO NGUYÊN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

TRẦN ĐOÀN THẢO NGUYÊN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Phạm Quý Mười

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tồn bộ nội dung trình bày trong luận văn này là cơng trình nghiên
cứu tổng quan của tơi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Phạm
Quý Mười. Những khái niệm và kết quả trong luận văn được tổng hợp từ
các tài liệu khoa học đáng tin cậy, và được chỉ rõ nguồn gốc trích dẫn.
Đóng góp của tơi là tổng hợp tài liệu, trình bày thêm các ví dụ minh hoạ.
Tơi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình.
Tác giả

Trần Đồn Thảo Ngun




LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Phạm Quý Mười đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy
cơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp
Tốn giải tích K34-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập tại lớp.

Tác giả

Trần Đoàn Thảo Nguyên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. KHÔNG GIAN Rn và CHUẨN
1.2. TẬP LỒI, HÀM LỒI

..................................... 4

............................................. 5

1.2.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. PHÉP CHIẾU LÊN TẬP LỒI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN TỐI ƯU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. BÀI TOÁN TỐI ƯU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.1. Mơ tả bài tốn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Sự tồn tại nghiệm và điều kiện của nghiệm . . . . . . . . . . 17
2.2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU

2.3. MỘT SỐ VÍ DỤ

. . . . . . . . . 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN . . . . . . . . . . . . 29
3.1. BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Mơ tả bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2. Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3. Sự tồn tại nghiệm và điều kiện của nghiệm . . . . . . . . . . 30


MỤC LỤC
3.2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
PHÂN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. MỘT SỐ VÍ DỤ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6


DANH MỤC

1. Danh mục
Rn
∀x
x
x, y
V I(F, C)
CP (F, C)

các ký hiệu:
Khơng gian Euclide n-chiều
Với mọi x
Chuẩn của vectơ x
Tích vơ hướng của hai vectơ x, y
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán bù phi tuyến.

2. Danh mục các bảng:
Số hiệu bảng
2.1
2.2
3.1
3.2
3.3

Tên bảng

Nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = (1, 1)
Nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = (0, 1)
Nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = 0, 4, 0)
Nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = (0, 0)
Nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = (0, 0)

Trang
26
28
38
39
40


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi là bộ mơn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi
và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ mơn này có vai trị quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong
tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng. Một trong
những vấn đề quan trọng của giải tích lồi đó là phép chiếu. Đây là một
công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng
như Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý về tồn tại nghiệm của Bất
đẳng thức biến phân. Hơn nữa phép chiếu còn được dùng để xây dựng các
phương pháp giải nhiều lớp bài toán quan trọng như bài toán quy hoạch
lồi, bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân. Những năm gần
đây, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất

mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong
các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là
việc xây dựng các phương pháp giải. Có rất nhiều phương pháp giải, trong
đó có phương pháp dựa vào cách tiếp cận điểm bất động. Ý tưởng chính
của phương pháp này là chuyển việc giải bất đẳng thức biến phân về bài
tốn tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Một trong những cách
tiếp cận điểm bất động là dựa trên phương pháp chiếu .
Với các lí do trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Quý Mười, tôi chọn
nghiên cứu đề tài: "Một số ứng dụng của phép chiếu để giải bài toán tối
ưu và bất đẳng thức biến phân."
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, cố gắng
lĩnh hội được các kiến thức về phép chiếu,bài toán tối ưu, bài toán bất
đẳng thức biến phân và những ứng dụng của phép chiếu để giải hai dạng


2

bài tốn đó. Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham
khảo bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là:
- Phép chiếu để giải bài toán tối ưu.
- Phép chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các định lí, bổ đề,
thuật tốn liên quan, từ đó đưa ra ứng dụng các phương pháp chiếu để
giải các bài toán tối ưu,bất đẳng thức biến phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên phương pháp giải tích.

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày
trong ba chương:
Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi
như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, tính đơn điệu. Trình bày phép chiếu
lên tập lồi, ánh xạ giả co chặt.
Chương 2 trình bày về mơ tả bài toán tối ưu, sự tồn tại nghiệm và điều
kiện của nghiệm. Cũng trong chương này, tơi trình bày ứng dụng của phép
chiếu giải bài toán tối ưu lồi bằng các định lí, bổ đề, thuật tốn liên quan.
Chương 3 trình bày về mơ tả bài tốn bất đẳng thức biến phân, sự tồn
tại nghiệm và điều kiện của nghiệm. Quan trọng hơn nữa, tơi trình bày
phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Phương pháp chiếu là một trong những các phương pháp khá đơn giản


3

trong Lý thuyết tối ưu nói chung và trong việc giải một lớp các bài toán
tối ưu lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân nói riêng. Khi sử dụng phương
pháp chiếu, người ta thường quan tâm tới hai đặc điểm nổi bật của nó,
đó là việc tính tốn hữu hiệu hình chiếu của một điểm trên một tập ràng
buộc lồi đóng C và phương pháp chiếu áp dụng một lớp các bài tốn mà
khơng địi hỏi tính tốn đạo hàm của hàm giá như các phương pháp khác.
Chính vì thế, luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham
khảo những kiến thức liên quan đến ứng dụng của phép chiếu để giải bài
toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, luận văn nhắc lại một số khái niệm và tính chất
cơ bản trong không gian Rn và các khái niệm về tập lồi, hàm lồi, phép
chiếu,.... Đây là các kiến thức cơ bản, cần thiết và được sử dụng trong các
chương sau. Các khái niệm, tính chất được trình bày ở đây được tác giả
tham khảo trong tài liệu [1],[4] .

1.1. KHÔNG GIAN Rn và CHUẨN
Trong khơng gian Rn , tích vơ hướng của hai vectơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈
Rn và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn là một số thực, ký hiệu x, y được xác định
bởi:

x, y := x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Khi đó, với mọi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ R, ta có các tính chất sau:
1. x, y = y, x ,
2. x + y, z = x, z + y, z ,
3. λx, y = λ x, y ,
4. x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với mỗi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , chuẩn Euclide của x, hay gọi tắt là
chuẩn, ký hiệu x , là một số thực không âm xác định bởi:

x :=

x, x =

x21 + x22 + ...x2n .

Với mọi x, y ∈ Rn , λ ∈ R, dễ dàng chứng minh được các tính chất của
chuẩn như sau:


5

1. x ≥ 0 và x = 0 khi và chỉ khi x = 0,
2. λx = |λ| x ,
3. x + y ≤ x + y .
Khi đó, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

| x, y | ≤ x

y ,

∀x, y ∈ Rn .

Dãy điểm (xk ) ⊂ Rn , được gọi là hội tụ đến x ∈ Rn , viết tắt xk −→ x,
khi k −→ ∞ nếu

lim

k−→∞

xk − x = 0.

k

Dãy (x ) được gọi là bị chặn, nếu tồn tại M > 0 sao cho xk ≤ M với
mọi k ≥ 0. Dưới đây là một vài tính chất về sự hội tụ trong không gian

Rn .
Mệnh đề 1.1.1. Cho (xk ) là một dãy trong khơng gian Rn . Khi đó:
(i) Nếu xk −→ x, thì xk −→ x ,
(ii) Nếu (xk ) bị chặn trong Rn , thì tồn tại một dãy con hội tụ xki −→ x,
(iii) Nếu tồn tại lim xk , thì giới hạn này là duy nhất.
k−→∞

1.2. TẬP LỒI, HÀM LỒI

1.2.1. Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi, nếu C chứa
mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là, C lồi nếu ∀x, y ∈ C
và ∀λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y ∈ C .
Dễ nhận thấy Rn , ∅, các nửa khơng gian, hình cầu là các tập lồi. Một
tập hợp là giao của một số hữa hạn các khơng gian đóng được gọi là tập
lồi đa diện hay khúc lồi. Tập lồi đa diện M có dạng:

M = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} ,


6

trong đó A là một ma trận cấp m × n và b ∈ Rm . Tập con C trong khơng
gian Rn được gọi là nón (cone) nếu:

λx ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ > 0.
Một tập con C trong Rn được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập
lồi, tức là:

λx + µy ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0.

Các tập:
Rn+ := x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xk ≥ 0 ∀k = 1, 2, ..., n ,
Rn++ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xk > 0 ∀k = 1, 2, ..., n ,
là các nón lồi trong Rn . Giả sử C là một tập con của Rn . Giao của tất cả
các tập lồi chứa C được gọi là bao lồi của tập C và đươc ký hiệu là coC .

1.2.2. Hàm lồi
Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của Rn và hàm f : C → R ∪

{+∞}. Khi đó, các tập hợp:
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} ,
epif := {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α} ,
lần lượt được gọi là miền xác định và tập trên đồ thị của f . Hàm f được
gọi là chính thường (proper) trên C , nếu:

domf = ∅.
Định nghĩa 1.2.2. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và
hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, f được gọi là hàm lồi trên C nếu tập
trên đồ thị của nó là một tập lồi trong Rn × R và f được gọi là hàm lõm
trên C nếu −f là một hàm lồi.
Bổ đề 1.2.3. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và hàm f :

C → R ∪ {+∞} là lồi trên C . Khi đó, miền xác định domf của f là một
tập lồi.


7

Chứng minh. Theo định nghĩa, domf là hình chiếu trên Rn của epif được
xác định bởi:

domf = {x ∈ C : f (x) < +∞} = x ∈ C : ∃α thỏa mãn (x, α) ∈ epif .
Như vậy, domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó,

domf là lồi.
Mệnh đề 1.2.4. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và hàm
f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, f là một hàm lồi trên C khi và chỉ khi:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C; ∀λ ∈ [0, 1] . (1.1)
Chứng minh. (⇒) Giả sử f là hàm lồi. Bất đẳng thức (1.1) luôn đúng
trong các trường hợp λ = 0 hoặc λ = 1. Xét với λ ∈ (0, 1). Khi đó, nếu
f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞ thì λf (x) + (1 − λ)f (y) = +∞ và Bất đẳng
thức (1.1) đúng. Ta xét trường hợp f (x) < +∞ và f (y) < +∞. Theo
Bổ đề 1.2.3, domf là lồi. Từ x, y ∈ domf , suy ra [x, y] ⊆ domf và do đó
f (λx + (1 − λ)y) < +∞. Giả thiết cho epif là một tập lồi, nên với mọi

(x, α) ∈ epif, ∀(y, β) ∈ epif, λ ∈ (0, 1), ta có:
λ(x, α) + (1 − λ)(y, β) = (λx + (1 − λ)y, λα + (1 − λ)β) ∈ epif,
hay:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β.
Bằng cách lấy α = f (x), β = f (y), ta nhận được:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
(⇐) Giả sử rằng Bất đẳng thức (1.1) đúng, (x, α) ∈ epif, (y, β) ∈ epif .
Ta cần chỉ ra:
λ(x, α) + (1 − λ)(y, β) ∈ epif, ∀x, y ∈ C; λ ∈ [0, 1] .
Từ giả thiết (x, α) ∈ epif, (y, β) ∈ epif , ta có: f (x) ≤ α, f (y) ≤ β .
Kết hợp điều này với (1.1), ta nhận được:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
≤ λα + (1 − λ)β.


8

Suy ra:

(λx + (1 − λ)y, λα + (1 − λ)β) ∈ epif,
hay:

λ(x, α) + (1 − λ)(y, β) ∈ epif.

Mệnh đề 1.2.5. Cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R. Nếu f : D
tăng trên các miền D1 := {x ∈ D : x < a}
→ R là lồi, thì g(x) = f (x)−g(x)
x−a
và D2 := {x ∈ D : x > a}, ở đây a ∈ R.
Chứng minh. Với mọi x1 = x2 ∈ D2 hay a < x1 < x2 , tồn tại:
x1 − x2
λ=
∈ (0, 1),
a − x2
và do đó: x1 = λa + (1 − λ)x2 . Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có:

f (λa + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (x2 ),
hay:

f (x1 ) ≤

x1 − x2
x1 − x2
f (a) + 1 −
a − x2
a − x2

f (x2 ),

và do đó:

f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a)
≤
= g(x2 ).
x1 − a
x2 − a
Như vậy, hàm g(x) tăng trên miền D1 . Tương tự, ta cũng có g(x) tăng
trên miền D2 .
g(x1 ) =

Mệnh đề 1.2.6. Cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R và f :
D → R là khả vi. Khi đó, f lồi khi và chỉ khi đạo hàm f (x) tăng trên
miền D.
Chứng minh. (⇒) Giả sử f (x) là hàm lồi trên D. Với mọi a, b ∈ D, a < b,
theo Mệnh đề 1.2.5, hàm số:
f (x) − f (a)
g(x) :=
,
x−a
tăng trên miền D1 = {x ∈ D : x > a} và hàm số:
f (x) − f (b)

h(x) :=
,
x−b


9

tăng trên miền D2 = {x ∈ D : x < b}. Khi đó:
f (x) − f (b)
f (x) − f (a) f (b) − f (a)
≤
≤ lim−
= f (b).
f (a) = lim+
x→b
x→a
x−a
b−a
x−b
Như vậy, f (a) ≤ f (b) hay f (x) tăng trên miền D.

(⇐) Giả sử f (x) tăng trên miền D. Với mọi a, b ∈ D, a < b, λ ∈ [0, 1]
và x = λa + (1 − λ)b. Theo định lý Lagrange, ta có:
f (x) − f (a) = (x − a)f (c) = (1 − λ)(b − a)f (c), c ∈ [a, x],
f (b) − f (x) = (b − x)f (d) = (1 − λ)(b − a)f (d), d ∈ [x, b].
Vì f (x) tăng trên miền D, nên f (c) ≤ f (d) và do đó:

λ(f (x) − f (a)) ≤ (1 − λ)(f (b) − f (x)).
Khi đó:

f (x) ≤ (1 − λ)f (b) + λf (a).
Vậy, hàm f (x) lồi trên miền D.
Mệnh đề 1.2.7. Cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R và f :
D → R là khả vi cấp 2. Khi đó, f lồi khi và chỉ khi đạo hàm f (x) ≥ 0
với mọi x ∈ D.
Tổng quát về tính lồi của hàm f (x) của Mệnh đề 1.5 trong không gian
Rn như sau:
Định lí 1.2.8. Một hàm thực f (x) khả vi hai lần trên một tập lồi mở
khác rỗng C trong không gian Rn lồi khi và chỉ khi với mỗi x ∈ C , ma
trận Hessian của nó:

∂ 2f
Qx = (qij (x)), qij (x) =
(x1 , x2 , ..., xn ),
∂xi ∂xj
nửa xác định dương, tức là
u, Qx u ≥ 0, ∀u ∈ Rn .
Định nghĩa 1.2.9. Vectơ ω ∈ Rn được gọi là dưới đạo hàm của f tại


10

x0 ∈ Rn nếu
< ω, x − x0 >≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn .
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi
phân của f tại x0 và kí hiệu là ∂ f (x0 ). Tức là:

∂f (x0 ) := ω ∈ Rn : ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn .
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ f (x0 )= 0. Hàm lồi f
được gọi là khả dưới vi phân trên miền C , nếu f khả dưới vi phân tại mọi

điểm x ∈ C .
Định nghĩa 1.2.10. Cho C ⊆ Rn và x∗ ∈ C . Nón pháp tuyến ngồi tại
điểm x∗ của tập C là tập hợp:

NC (x∗ ) = {ω ∈ Rn : ω, y − x∗ ≤ 0,

∀y ∈ C} .

Vectơ ω ∈ NC (x∗ ) được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ của C .
Định nghĩa 1.2.11. Cho hàm f : Rn → [−∞, +∞], các tập

{x : f (x) ≤ α} , {x : f (x) ≥ α} ,
trong đó α ∈ [−∞, +∞] lần lượt được gọi là tập mức dưới và tập mức
trên của f .
Mệnh đề 1.2.12. Tập mức dưới của một hàm lồi và tập mức trên của
một hàm lõm là các tập lồi.
Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm lồi, với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ (0, 1),
ta có:

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) ≤ max {f (x), f (y)} .
Từ đó, ta có ngay điều cần chứng minh.
Định lí 1.2.13. (Moreau-Rockafellar) Cho các hàm lồi chính thường f1 ,

f2 , ..., fm trên Rn . Khi đó, với mọi x ∈ Rn ,
∂(f1 + f2 + ... + fm )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fm (x), ∀x ∈ Rn .
(1.2)
Hơn nữa, nếu các hàm f1 + f2 + ... + fm (có thể trừ một hàm) liên tục tại


11

một điểm x
¯ ∈ ∩m
i=1 domfi , thì:

∂(f1 + f2 + ... + fm )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fm (x), ∀x ∈ Rn .
Chứng minh. Với m = 2, ta cần chứng minh rằng:

∂(f1 + f2 )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x).
Lấy x∗1 ∈ ∂f1 (x) và x∗2 ∈ ∂f2 (x). Theo định nghĩa, ta có:

fi (y) − fi (x) ≥ x∗i , y − x , ∀y ∈ Rn , i = 1, 2.
Cộng các bất đẳng thức trên, ta nhận được:

(f1 + f2 )(y) − (f1 + f2 )(x) ≥ x∗1 + x∗2 , y − x , ∀y ∈ Rn .
Điều này kéo theo x∗1 + x∗2 ∈ ∂(f1 + f2 )(x). Như vậy:

∂(f1 + f2 )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x).
Từ tính chất rằng tổng các hàm lồi là một hàm lồi, bằng qui nạp, ta dễ
dàng chứng minh được bao hàm thức (1.2) đúng.
Tương tự, chứng minh bao hàm thức (1.2) xảy ra dấu bằng chỉ cần đúng
với m = 2. Giả sử f1 liên tục tại x
¯ ∈ domf2 . Với mọi
cận mở Ux chứa x
¯ sao cho:

> 0, tồn tại lân

|f1 (x) − f1 (¯
x)| < , ∀x ∈ Ux .

Khi đó, tập hợp:

{(x, α) ∈ Rn × R : f1 (x) < α − , x ∈ Ux } ,
là một tập con mở của int(epif1 ). Như vậy, int(epif1 ) là khác rỗng và do
đó:

C1 := int(epif1 ) − (x, f1 (x)) = 0.

(1.3)

Đặt:

C2 = {(z, α) ∈ Rn × R : α < x∗ , z − f2 (x + z) + f2 (x), x ∈ Ux } .
Lấy hai phần tử bất kỳ của C2 : (zi , αi ) ∈ C2 , (i = 1, 2) và λ ∈ [0, 1], ta
có:

αi < x∗ , zi − f2 (x + zi ) + f2 (x), ∀i = 1, 2.

(1.4)

Mặt khác f2 là hàm lồi trên Rn , nên ta có:

f2 (λ(x + z1 ) + (1 − λ)(x + z2 )) ≤ λf2 (x + z1 ) + (1 − λ)f2 (x + z2 ).
(1.5)


12

Kết hợp (1.4) và (1.5), ta nhận được:

λα1 + (1 − λ)α2 < x∗ , λz1 + (1 − λ)z2 − f2 (λ(x + z1 ) + (1 − λ)(x + z2 ))
+f2 (x).
Suy ra λ(z1 , α1 ) + (1 − λ)(z2 , α2 ) ∈ C2 . Vậy, C2 lồi. Ta sẽ chứng minh rằng

C1 ∩ C2 = ∅. Giả sử ngược lại rằng tồn tại (z0 , x0 ) ∈ C1 ∩ C2 . Ta có:
f1 (x + z0 ) − f1 (x) < x∗ , z0 − f2 (x + z0 ) + f2 (x),
và do đó:

f1 (x + z0 ) + f2 (x + z0 ) − [f1 (x) + f2 (x)] < x∗ , z0 .
Điều này mâu thuẫn với x∗ ∈ ∂(f1 + f2 )(x). Vậy, C1 và C2 là hai tập lồi
thỏa mãn intC1 = ∅, C1 ∩ C2 = ∅. Theo định lý (tách thứ nhất)[1], tồn tại
x∗ 1 ∈ Rn và β ∈ R sao cho:
sup { x∗1 , z + βα : (z, α) ∈ C1 } ≤ inf { x∗1 , z + βα : (z, α) ∈ C2 } .
(1.6)
Nếu β > 0, thì bất đẳng thức trên mâu thuẫn, do vậy β ≤ 0. Nếu β = 0,
thì:
sup { x∗1 , z : z ∈ domf1 − x} ≤ inf { x∗1 , z : z ∈ domf2 − x} .

(1.7)

Mặt khác, x∗1 = 0, suy ra (x∗1 , β) = 0 và do đó:

x∗1 , x¯ − x < sup { x∗1 , z : z ∈ Ux − x} ≤ sup { x∗1 , z : z ∈ domf1 − x} .
Mà:
inf { x∗1 , z : z ∈ domf2 − x} ≤ x∗1 , x
¯ − x < sup { x∗1 , z : z ∈ domf1 − x} .
Điều này mâu thuẫn với (1.7). Như vậy, β = ∅ và do đó β < 0. Khơng mất
tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng β = −1. Với mọi z ∈ Rn , ta ln
có (z, f1 (x + z) − f1 (x)) ∈ C1 và (z, x∗ , z − f2 (x + z) + f2 (x)) ∈ Cl(C2 ).
Theo bất đẳng thức (1.6), ta có:

sup { x∗1 , z − f1 (x + z) + f1 (x) : z ∈ Rn }

≤ inf { x∗1 , z + f2 (x + z) − f2 (x) : z ∈ Rn }.
Nếu z = 0, thì hai vế bằng nhau và bằng 0. Đặt x∗2 = x∗ − x∗1 , ta có:
f1 (x + z) − f1 (x) ≥ x∗1 , z , ∀z ∈ Rn ,
và:

f2 (x + z) − f2 (x) ≥ x∗2 , z , ∀z ∈ Rn .


13

Như vậy, x∗i ∈ ∂fi (x) với mọi i = 1, 2 và x∗ = x∗1 + x∗2 ∈ ∂f1 (x) + ∂f2 (x)
và do đó ∂(f1 + f2 )(x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x).
1.3. PHÉP CHIẾU LÊN TẬP LỒI
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một khơng gian Rn . Phép
chiếu metric hay cịn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm x ∈ Rn trên
C dưới chuẩn Euclid . , kí hiệu P rC (x), được xác định bởi:

P rC (x) = argmin { x − y : y ∈ C} .

(1.8)

Chú ý rằng P rC : Rn → C là ánh xạ đơn trị, vì theo định nghĩa, hình
chiếu vng góc P rC (x) của x trên C là nghiệm của bài tốn quy hoạch
tồn phương lồi mạnh:
1
x−y 2 :y ∈C .
min
2

Nếu tồn tại P rC , thì x − P rC (x) được gọi là khoảng cách từ điểm x đến

C và được ký hiệu bởi dC (x).
Tính chất 1.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn . Khi
đó, hàm số dC : Rn → R là lồi.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Đặt z = λx + (1 − λ)y . Chú
ý rằng, nếu C = ∅ thì dC (x) là hữu hạn vì 0 ≤ dC (x) ≤ x − y với mọi
y ∈ C . Do vậy, tồn tại xn , y n ∈ C , với mọi n ≥ 1 sao cho:

dC (x) = lim x − xn ,
n→∞

dC (y) = lim y − xn .
n→∞

Do C lồi, nên z n = λxn + (1 − λ)y n ∈ C . Theo định nghĩa của dC , ta có:

dC (z) = z − P rC (z)
≤ z − zn
= λ(x − xn ) + (1 − λ)(y − y n )
≤ λ x − xn + (1 − λ) y − y n ,


14

và do đó:

dC (λx + (1 − λ)y) = dC (z)
≤ λ lim x − xn + (1 − λ) lim (y − y n )
n→∞

n→∞

= λdC (x) + (1 − λ)dC (y).
Theo định nghĩa, dC là hàm lồi trên Rn .
Tính chất 1.2. Cho C là một tập con, lồi, đóng và khác rỗng của Rn .
Với mọi x
¯ ∈ C và x ∈ Rn , các tính chất sau là tương đương:
(i) x
¯ = P rC (x),
(ii) x − x
¯ ∈ NC (¯
x),

¯
(iii) y − x

2

≤ y−x

2

− x − x¯

2

, ∀y ∈ C

Chứng minh. (ii) ⇔ (iii) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngồi

x − x¯ ∈ NC (¯
x) khi và chỉ khi, với mỗi y ∈ C , ta có:
0 ≥ x − x¯, y − x¯
= x − x¯, y − x + x − x¯
= x − x¯

2

+ x − x¯, y − x¯ .

Khi đó:

y−x

2

+ 2 x − x¯, y − x + x − x¯

2

≤ y−x

2

− x − x¯

.

≤ y − x 2 − x − x¯ 2

và như vậy (ii) tương đương với (iii).
(i) ⇒ (ii). Giả sử x¯ = P rC (x). Do C lồi, nên với mọi y ∈ C tồn tại
λ ∈ (0, 1) sao cho xλ = λy + (1 − λ)¯
x ∈ C . Theo định nghĩa của phép
chiếu x
¯ = P rC (x), ta có:
Điều này kéo theo: y − x
¯

x − x¯

2

2

2

≤ x − xλ

2

= λy + (1 − λ)¯
x−x
= λ(y − x¯) + x¯ − x
= λ2 y − x¯

2

2

2

+ 2λ y − x¯, x¯ − x + x¯ − x

2

.


15

Do vậy:

λ y − x¯

2

+ 2 y − x¯, x¯ − x ≥ 0, ∀λ ∈ (0, 1).

Cho λ −→ 0+ , ta có: y − x
¯, x − x¯ ≤ 0 với mọi y ∈ C . Điều này có nghĩa
rằng x − x
¯ ∈ NC (¯
x).

(ii ⇒ i). Theo chứng minh trên (ii ⇔ iii) và (iii), ta có:
x − x¯

2

≤ x − x¯

2

+ y − x¯

2

≤ y−x

2

, ∀y ∈ C.

Như vậy x
¯ = P rC (x).
Tính chất 1.3. Cho C là một tập con, lồi, đóng và khác rỗng của Rn .
Khi đó, phép chiếu có các tính chất sau:
(i) P rC (x) − P rC (y)

2

≤ P rC (x) − P rC (y), x − y , ∀x, y ∈ Rn ,

(ii) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ Rn ,
(iii) P rC (x) − P rC (y)

2

2

≤ x−y

− P rC (x) − x + y − P rC (y)

2

,

∀x, y ∈ Rn ,
(iv) P rC (x) − y 2 ≤ x − y
∀x ∈ Rn , y ∈ C .

2

− P rC (x) − x

2

,

Chứng minh. (i) Từ Tính chất 1.2 (ii): x − P rC (x) ∈ NC (P rC (x)), suy
ra:

x − P rC (x), z − P rC (x) ≤ 0, ∀z ∈ C.
Thay z trong bất đẳng thức này bởi P rC (y), ta nhận được:

x − P rC (x), P rC (y) − P rC (x) ≤ 0.
Bằng cách làm tương tự, ta cũng có:

y − P rC (y), P rC (x) − P rC (y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận được bất đẳng thức (i).

(ii) Trường hợp này được suy ra trực tiếp từ (i) bằng việc áp dụng bất
đẳng thức Cauchy - Schwarz:
x, y ≤ x

y , ∀x, y ∈ Rn ,


16

cho hai vế của bất đẳng thức này.

(iii) Từ quan hệ:
P rC (x) − x + y − P rC (y)

2

2

= P rC (x) − P rC (y)

+ x−y

2

− 2 x − y, P rC (x) − P rC (y) ,
suy ra rằng (iii) tương đương với (ii).

(iv) Từ:
P rC (x) − y

2

= P rC (x) − x + y − P rC (y)
= P rC (x) − x

2

+ x−y

2

2

− 2 x − P rC (x), x − y ,

ta có (iv) có dạng:

x − P rC (x), x − y ≤ x − P rC (x)
Điều này có nghĩa rằng:

x − P rC (x), P rC (x) − y ≤ 0.
Bất đẳng thức tương đương với Tính chất 1.2 (ii).
Tính chất hồn tồn được chứng minh.

2

.