Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

CHU TRỌNG TRUNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng d n khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà N ng - N m 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Chu Trọng Trung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
chọ đề

ụ đ

ệ

ụ

ươ

ứ đề

ứ

Đố ượ

ạ

ĩ
ộ

ứ

ọ
ủ

ự

ậ

ễ

ủ đề

ă

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GI
Ộ

Ố

Ấ
ẵ

ẻ ủ

ầ

ố

Ế ĐỔ

Ố ĐỒ

ƯỢ

ố

Ị Ủ

Ộ

Ủ

ủ
Ứ

Ề

Ơ Ả

CƠ BẢN

ƯỢ

Ể
Ấ

ộ ố đồ

ấ

ộ ố đồ

ấ

Ứ

Ứ
ĐẠ

ứ

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PH

ƯỢ
Ố

Ở

ƯỢ

đế
T ONG BẤT ĐẲNG

LƯỢNG GI

THỨC
Ộ

Ố Ấ ĐẲ

ứ đạ ố

ộ ố ấ

ứ ượ
Ấ

ĐẲ

Ứ

ƯỢ

Ằ

ƯƠ

Ậ
Ậ

ƯƠ

Ố

ộ ố ấ
Ứ
Ứ

Ứ ĐẠ

Ạ

Ấ ĐẲ
ƯỢ

Ứ

Ử

ĐƯỢ

CH

NG 3. PH

NG PH

TO

C C

IS

3.1. MỘT SỐ
NH T C A

ẠN

L

NG GI

T ONG

B I
42

TOÁN T

Á TRỊ LỚN NH T,

Á TRỊ NH

Ể THỨC ĐẠ SỐ ...............................................................42

3.2. MỘT SỐ Ứ

VÀO

Ả CÁC

TOÁN L N QUAN .....55

K T LU N .....................................................................................................64
T I LI U THAM KH O .............................................................................65
Q

T ĐỊNH GIAO ĐỀ T I LUẬN V N

ản sao)


1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình phổ thơng các bài tốn về bất đẳng thức và cực
trị đại số ln là các dạng bài tốn khó, hay và đa dạng. Để giải được các

dạng tốn này địi hỏi người học phải tư duy, tìm tịi và có sự sáng tạo rất
cao, đặc biệt là cần phải có kiến thức tổng hợp.
Trong các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi quốc gia, đề
thi Olympic tốn khu vực và quốc tế thường có những bài toán bất đẳng
thức, bài toán cực trị đại số mà lời giải có thể tìm được bằng phương pháp
lượng giác.
Đề tài “Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cực
trị đại số” nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp
mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng
dạy cho học sinh trong nhà trường phổ thông. Đề tài này liên quan đến
các chuyên đề như là bất đẳng thức, bài toán cực trị đại số, và một số bài
tốn liên quan như phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là
hồn tồn phù hợp với thực tế mà bản thân đang công tác.
Với những lí do trên, tơi đã lựa chọn đề tài “Phương pháp lượng giác
trong bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số” cho luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
Mục đích của luận văn là nhằm hệ thống các dạng toán về bất đẳng
thức và bài toán cực trị đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác để
giải quyết.
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là xác định được các dạng toán
về bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số có thể sử dụng phương pháp
lượng giác để giải quyết.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,
các tài liệu tiếng anh, các trang Wed, từ đó trao đổi với thầy hướng dẫn
các kết quả đang nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

Các dạng toán bất đẳng thức và dạng bài toán cực trị đại số có thể
sử dụng phương pháp lượng giác để giải quyết.
Dựa trên lớp các bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển
sinh đại học, kỳ thi Olympic 30 - 4, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, các đề
thi Olympic khu vực và quốc tế, từ đó đưa về các dạng tốn cụ thể.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài “Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cực
trị đai số” nhằm đáp ứng nguyện vọng của bản thân về một phương pháp
phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất
lượng giảng dạy cho học sinh trong nhà trường phổ thơng.
Nội dung của luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinh
phổ thông cũng như những ai quan tâm đến phương pháp lượng giác để
giải các bài toán về bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số.
6. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1 trình bày hệ thống các hệ thức lượng giác, các bất đẳng
thức, và một số tính chất liên quan...
Chương 2 trình bày các dạng tốn về bất đẳng thức có thể sử dụng
phương pháp lượng giác để giải quyết.
Chương 3 trình bày các dạng tốn cực trị có thể sử dụng phương
pháp lượng giác để giải quyết và một số bài tốn liên quan về phương
trình, hệ phương trình ...
Luận văn được hồn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với
sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.


3

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC
1.1.1. Tính chẵn, lẻ của hàm số
Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R
Định nghĩa 1.1.([1]-[3]).
a) Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R được gọi là hàm số chẵn
trên K, K ⊂ D(f ) nếu: ∀x ∈ K ⇒ −x ∈ K và f (−x) = f (x), ∀x ∈ K.
b) Hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R được gọi là hàm số lẻ
trên K, K ⊂ D(f ) nếu: ∀x ∈ K ⇒ −x ∈ K và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ K.
Nhận xét 1.1.
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn, các hàm số y = sin x, y =
tan x, y = cot x là hàm số lẻ trên tập xác định của chúng.

1.1.2. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa 1.2.([1]-[3]).
a) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ T (T
∀x ∈ K ⇒ x ± T ∈ K
> 0) trên K nếu K ⊂ D(f ) và f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ K
b) Cho f (x) là một hàm số tuần hồn trên K, khi đó T (T > 0) được
gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng
tuần hồn với bất kỳ chu kỳ nào bé hơn T.
Nhận xét 1.2.
Hàm số y = cos x, y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π . Hàm số
y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π

4

1.2. CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
i) Cơng thức cộng

cos(x − y) = cos x. cos y + sin x. sin y

(1.1)

cos(x + y) = cos x. cos y − sin x. sin y

(1.2)

sin(x − y) = sin x. cos y − sin y. cos x

(1.3)

sin(x + y) = sin x. cos y + sin y. cos x

(1.4)

tan x + tan y
1 − tan x tan y

(1.5)

x, y, x + y =

π
+ kπ; k ∈ Z

2

tan(x − y) =

tan x − tan y
1 + tan x tan y

(1.6)

x, y, x − y =

π
+ kπ; k ∈ Z .
2

tan(x + y) =

ii) Công thức nhân đôi

sin 2x = 2 sin x cos x

(1.7)

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2cos2 x − 1 = 1 − 2sin2 x

(1.8)

tan 2x =
iii) Công thức nhân ba

2 tan x
1 − tan2 x

sin 3x = 3 sin x − 4sin3 x
cos 3x = 4cos3 x − 3 cos x

(1.9)

(1.10)
(1.11)


5

iv) Cơng thức biến đổi tích thành tổng

1
[cos(x + y) + cos(x − y)]
2
1
sin x. sin y = − [cos(x + y) − cos(x − y)]
2
1
sin x. cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)]
2
cos x. cos y =

(1.12)
(1.13)
(1.14)

v) Cơng thức biến đổi tổng thành tích

x+y
x−y
cos
2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
x−y
x+y
cos
sin x + sin y = 2 sin
2
2
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
cos x + cos y = 2 cos

(1.15)
(1.16)

(1.17)
(1.18)

1.3. MIỀN GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
π π
thì |sin t| ≤ 1 và cos t ≥ 0.
- Nếu tập giá trị của t là − ;
2 2
- Nếu tập giá trị của t là [0; π] thì |cos t| ≤ 1 và sin t ≥ 0.
- Nếu tập giá trị của t là [0; 2π] thì tập giá trị của a cos t + b sin t là
√
√
− a2 + b2 ; a2 + b2 .
c2 .

- Điều kiện để phương trình a cos x+b sin x = c có nghiệm là a2 +b2 ≥

1.4. MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC ĐẠI SỐ SINH BỞI HÀM
LƯỢNG GIÁC
Phần này sẽ đưa ra một số đồng nhất thức sinh bởi các hàm số lượng
giác, nhờ các đồng nhất thức giữa đại số và lượng giác này mà ta có thể
nhận biết được các bài tốn có liên quan đến lượng giác, đồng thời áp dụng
phương pháp lượng giác để giải các bài toán hiệu quả.


6

1.4.1. Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin, hàm
cosin
Ví dụ 1.1. Với điều kiện của biến x là:

|x| ≤ k, k > 0.
Ta đặt ẩn phụ là:

π π
x = k sin t, t ∈ − ;
.
2 2
Khi đó cơ sở lượng giác là |x| = |k sin t| ≤ k
Hoặc đặt ẩn phụ là:

x = k cos t, t ∈ [0; π] .
Khi đó cơ sở lượng giức là |x| =√|k cos t| ≤ k
Ví dụ 1.2. Biểu thức đại số là 1 − x2
Ta đặt ẩn phụ là:

π π
x = sin t, t ∈ − ;
.
2 2
Khi đó cơng thức lượng giác
Hoặc đặt ẩn phụ là:

1 − sin2 t = |cos t| = cos t

x = cos t, t ∈ [0; π] .
√
Khi đó cơng thức lượng giác 1 − cos2 t = |sin t| = sin t
Ví dụ 1.3.
i) Biểu thức đại số là 4x3 − 3x. Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π]

Khi đó cơng thức lượng giác 4cos3 t − 3 cos t = cos 3t
ii) Biểu thức đại số là 3x − 4x3 . Ta đặt ẩn phụ là: x = sin t, t ∈
π π
− ;
2 2
Khi đó cơng thức lượng giác 3 sin t − 4sin3 t = sin 3t
iii) Biểu thức đại số là 2x2 − 1. Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π]
Khi đó cơng thức lượng giác 2cos2 t − 1 = cos 2t


7

1.4.2. Một số đồng nhất khác
Ví dụ 1.4.
Với điều kiện của biến x là |x| ≥ k . Ta đặt ẩn phụ là:

x=

3π
π
k
∪ π;
, t ∈ 0;
cos t
2
2

.

Khi đó cơ sở lượng giác là:

|x| =

|k|
≥ k.
|cos t|

Ví dụ 1.5. Với điều kiện biến x và y thỏa mãn :

a2 x2 + b2 y 2 = c2
a, b, c > 0
Ta đặt ẩn phụ là:

c
 x = sin t
a
, t ∈ [0; 2π]
 y = c cos t
b

Khi đó cơ sở lượng giác là:

a2 x 2 + b 2 y 2
=c2 sin2 t + c2 cos2 t
=c2 sin2 t + cos2 t = c2 .
Nhận xét 1.3.
Trường hợp điều kiện của biến x, y không cho trước mà ẩn trong biểu
thức ta cần lưu ý mối liên hệ giữa biểu thức đại số và biểu thức lượng giác
và công thức lượng giác tương ứng.
Ví dụ 1.6.

1−x
Biểu thức đại số là:
.Ta đặt ẩn phụ x = cos t, t ∈ (0; π)
1+x
Khi đó cơng thức lượng giác

1 − cos t
=
1 + cos t

t
2 = | tan t | = tan t .
t
2
2
cos2
2
sin2


8

Ví dụ 1.7.
Biểu thức đại số là:
Ta đặt ẩn phụ là:

x=

√

x2 − k 2

π
3π
k
, t ∈ 0;
∪ π;
cos t
2
2

.

Khi đó công thức lượng giác

x2 − k 2 =

√
k2
2 = |k| tan2 t = |k| |tan t| = |k| tan t.
−
k
cos2 t

Hoặc đặt ẩn phụ là:

x=

k
3π

π
.
∪ π;
, t ∈ 0;
sin t
2
2

Khi đó cơng thức lượng giác

x2 − k 2 =

√
k2
2 = |k| cot2 t = |k| |cot t| = |k| cot t.
−
k
sin2 t

Ví dụ 1.8. Biểu thức đại số là: x2 + k 2 . Ta đặt ẩn phụ là:
π π
.
x = k tan t, t ∈ − ;
2 2
Khi đó công thức lượng giác:

k2
.
x + k = k tan t + k =
cos2 t

2

Ví dụ 1.9.

2

2

2

2

2x
. Ta đặt ẩn phụ là:
1 + x2
π π
x = tan t, t ∈ − ;
.
2 2

i) Biểu thức đại số là:

Khi đó cơng thức lượng giác:

2 tan t
= tan 2t.
1 + tan2 t
x+y
ii) Biểu thức đại số là:
. Ta đặt ẩn phụ là:

1 − xy
π π
x = tan u
;
.
,
u,
v
∈
−
y = tan v
2 2


9

Khi đó cơng thức lượng giác

tan u + tan v
= tan(u + v).
1 − tan u. tan v

Ví dụ 1.10.
i) Biểu thức đại số là: x + y + z = xyz . Ta đặt ẩn phụ là:

x = tan α; y = tan β; z = tan γ.
Với

π π
.

α, β, γ ∈ − ;
2 2
Khi đó cơng thức lượng giác là:
tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ
tan α + tan β
= − tan γ
⇔
1 − tan α. tan β
⇔ tan (α + β) = tan (−γ)
⇔α + β + γ = kπ
* Nếu cho x, y, z > 0 thì α + β + γ = π
ii) Biểu thức đại số là: xy + yz + zx = 1. Ta đặt ẩn phụ là

x = tan α; y = tan β; z = tan γ.
Với

π π
α, β, γ ∈ − ;
.
2 2
Khi đó cơng thức lượng giác là:
tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1
tan α + tan β
1
⇔
=
1 − tan α. tan β
tan γ
π
−γ

⇔ tan (α + β) = tan
2
⇔2α + 2β + 2γ = π + k2π
* Nếu cho x, y, z > 0 thì 2α + 2β + 2γ = π


10

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT
ĐẲNG THỨC
2.1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC
2.1.1. Một số bất đẳng thức đại số
Định lý 2.1. ([3]-[6], Bất đẳng thức AM - GM ).
Giả sử x1 ; x2 ; x3 ; . . . xn là các số không âm. Khi đó

√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 x2 · · · xn
n

(2.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Định lý 2.2. ([3]-[6], Bất đẳng thức Jensen).
Giả sử hàm số f (x) liên tục trên I(a, b), trong đó I(a, b) được ngầm
hiểu là một trong các tập [a,b], [a,b), (a,b], (a,b). Khi đó điều kiện cần và
đủ để f (x) lồi trên I(a, b) là:

f

x1 + x2
2

≤

f (x1 ) + f (x2 )
, ∀x1 , x2 ∈ I(a, b).
2

(2.2)

Định lý 2.3. ([3]-[6], Bất đẳng thức Chebyshev).
Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số đơn điệu tăng và xk là một dãy
đơn điệu tăng: x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn
Khi đó mọi bộ trọng pj :pj ≥ 0, j = 1, 2, 3, . . . , n; p1 + p2 + · · · pn = 1,
ta đều có
n

n

pk f (xk )
k=1

n

pk g(xk )
k=1

≤

pk f (xk )g(xk )

(2.3)

k=1

Định lý 2.4. ([3]-[6], Bất đẳng thức Karamatta).
Cho hai dãy số xk , yk ∈ I(a; b), k = 1, 2, 3, · · · , n , thỏa mãn điều
kiệnx1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ; y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn
x1 ≥ y1


 x1 + x2 ≥ y1 + y2
.....................
Và


 x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn


11

Khi đó ứng với mọi hàm lồi khả vi f (x), ( f ′′ (x) > 0) trên I(a, b), ta
đều có

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn )

(2.4)

Định lý 2.5. ([3]-[6], Bất đẳng thức Cauchy).
Cho hai dãy số a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn tùy ý. Ta có

(a1 b1 + a2 b2 + . . . an bn )2 ≤ a21 + a22 + . . . + a2n

b21 + b22 + . . . + b2n
(2.5)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a2
an
a1
=
= ... = .
b1
b2
bn
Và qui ước nếu bi = 0 thì ai = 0 với i = 1, n

2.1.2. Một số bất đẳng thức lượng giác
Dạng 2.1. Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm sin x
i) Trong mọi tam giác ABC ta đều có
√
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
2

(2.6)

ii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin

A
B
C
3
+ sin + sin ≤
2
2
2
2

(2.7)

iii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

√
3 3
sin A sin B sin C ≤
8

(2.8)

iv) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin

B
C
1
A
sin sin ≤
2
2
2
8

(2.9)

v) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤

9
4

(2.10)


12

Dạng 2.2. Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm cos x
i) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

cos A + cos B + cos C ≤

3

2

(2.11)

ii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

√
A
B
C
3 3
cos + cos + cos ≤
2
2
2
2

(2.12)

iii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

cos A cos B cos C ≤

1
8

(2.13)

iv) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

√
B
C
3 3
A
cos cos cos ≤
2
2
2
8
Dạng 2.3. Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm tan x
i) Trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có
√
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3

(2.14)

(2.15)

ii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

tan

A
B
C √
+ tan + tan ≥ 3
2
2
2

(2.16)

iii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

tan

B
C
1
A
tan tan ≤ √
2
2
2
3 3

iv) Trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có
√
tan A tan B tan C ≥ 3 3
Dạng 2.4. Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm cot x
i) Trong mọi tam giác ABC ta ln có
√
cot A + cot B + cot C ≥ 3

(2.17)

(2.18)

(2.19)

13

ii) Trong mọi tam giác ABC ta ln có

cot

√
A
B
C
+ cot + cot ≥ 3 3
2
2
2

(2.20)

iii) Trong mọi tam giác ABC ta ln có

cot

√
A
B
C
cot cot ≥ 3 3
2
2

2

(2.21)

iv) Trong mọi tam giác nhọn ABC ta ln có

1
cot A cot B cot C ≤ √
3 3

(2.22)

2.2. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TAM THỨC BẬC HAI
Định lý 2.6.
Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0).
i) Nếu ∆ < 0 thì af(x) > 0, ∀x ∈ R.
ii) Nếu ∆ = 0 thì af(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và
b
chỉ khi x = −
2a
iii) Nếu ∆ > 0 thì af (x) = a2 (x − x1 ) (x − x2 ) . Với
√
b
∆
(2.23)
x1,2 = − ∓
2a 2|a|
Trong trường hợp af (x) < 0 khi x ∈ (x1 ; x2 ) và af (x) > 0 khi
x < x1 hoặc x > x2

Ta nhắc lại kết quả sau.
Định lý 2.7.
Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho af (α) < 0 là ∆ > 0 và
x1 < α < x2 . Trong đó x1 và x2 là các nghiệm của f (x) xác định theo
(2.23).
Hệ quả 2.1.
Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0). Có ∆ = b2 − 4ac,
khi đó có các kết quả:
a>0
i) f (x) > 0 với mọi giá trị x khi và chỉ khi ∆ < 0 .


14

a>0
∆≤0 .
a<0
iii) f (x) < 0 với mọi giá trị x khi và chỉ khi ∆ < 0 .
a>0
iv) f(x) ≤ 0 với mọi giá trị x khi và chỉ khi ∆ ≤ 0 .
Ví dụ 2.1. Với mọi số thực x, y . Chứng minh rằng:
ii) f(x) ≥ 0 với mọi giá trị x khi và chỉ khi

x2 + 5y 2 − 4xy + 2x − 6y + 3 > 0.

Lời giải. Đặt f (x) = x2 − 2(2y − 1)x + 5y 2 − 6y + 3

∆ = (2y − 1)2 − (5y 2 − 6y + 3) = −y 2 + 2y − 2 < 0, ∀y.
Do đó f (x) = x2 − 2(2y − 1)x + 5y 2 − 6y + 3 > 0, ∀x, y ∈ R.
Ví dụ 2.2. Với mọi số thực x, y . Chứng minh rằng:

x2 y 4 + 2(x2 + 2)y 2 + 4xy + x2 ≥ 4xy 2 .

Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với

(y 2 + 1)2 x2 + 4y(1 − y 2 )x + 4y 2 ≥ 0.
Đặt f (x) = (y 2 + 1)2 x2 + 4y(1 − y 2 )x + 4y 2

∆ = 4y 2 (1 − y 2 )2 − 4y 2 (y 2 + 1)2 = −16y 2 ≤ 0, ∀y.
Vậy x2 y 4 + 2(x2 + 2)y 2 + 4xy + x2 ≥ 4xy 2 , ∀x, y ∈ R.
Ví dụ 2.3. Trong mọi tam giác ABC, chứng minh rằng:

3
cos A + cos B + cos C ≤ .
2
Lời giải. Đặt F = cos A + cos B + cos C
Khi đó ta có

F = 1 − 2sin2

Suy ra

⇔ 2sin2

A
A
B−C
+ 2 sin cos
2
2

2

A
B−C
A
+ 2 sin cos
+ F − 1 = 0.
2
2
2

∆′ = cos2

B−C
− 2F + 2 ≥ 0
2


15

B−C
3
2
⇔F ≤1+
≤ .
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cos2

B=C
A 1
sin =
2
2
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được các bất đẳng thức sau
Ví dụ 2.4. A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:

A
A
A 3
+ sin + sin ≤ .
2
2
2
2
3
b)sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ .
2
Lời giải. Tương tự ví dụ trên.
Nhận xét 2.1.
Phương pháp tam thức bậc hai có thể giải quyết các bài toán bất
đẳng thức ở dạng phức tạp hơn.
a) sin

Ví dụ 2.5. A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:

cos2
cos A + cos B + cos C ≤ 1 +

B−C
C −A
A−B
+ cos2
+ cos2
2
2
2 .
6

Lời giải. Cộng 3 bất đẳng thức sau, ta được điều phải chứng minh:

B−C
2 .
cos A + cos B + cos C ≤ 1 +
2
C −A
cos2
2 .
cos A + cos B + cos C ≤ 1 +
2
A−B
cos2
2 .
cos A + cos B + cos C ≤ 1 +
2
Ví dụ 2.6. Với mọi số thực x, y, z và mọi tam giác ABC . Chứng
minh rằng
cos2

x2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy cos C + 2yz cos A + 2zx cos B.


16

Từ đó suy ra:

3
i) cos A + cos B + cos C ≤
2
1
1
1
5
ii) cos A + cos B + cos C ≤
3
4
5
12
Lời giải. Xét tam thức bậc hai:
f (x) = x2 − (y cos C + z cos B) 2x + y 2 + z 2 − 2yz cos A.
Ta có hệ số a = 1 và

∆ = (y cos C + z cos B)2 − y 2 − z 2 + 2yz cos A
= −y 2 sin2 C − z 2 sin2 C + 2yz (cos A + cos B cos C)
= −y 2 sin2 C − z 2 sin2 C + 2yz sin B sin C
= −(y sin C + z cos B)2 ≤ 0
Từ đó ta suy ra f (x) ≥ 0 với mọi số thực x, y, z và mọi tam giác
ABC .
i) Cho x = y = z = 1 ta có :

3
cos A + cos B + cos C ≤ .
2
ii) Cho x = √

6
8
10
,y = √
,z = √
ta có
6.8.10
6.8.10
6.8.10

1
1
1
5
cos A + cos B + cos C ≤ .
3
4
5
12
Ví dụ 2.7. Cho a3 > 36 và abc = 1. Chứng minh rằng:

a2
+ b2 + c2 > ab + bc + ca
3

1
Lời giải. Từ abc = 1 ⇒ bc = . vì a3 > 36 nên a > 0. Ta có
a
a2
(2.24) ⇔
+ (b + c)2 − 2bc > bc + a(b + c)
3
⇔ (b + c)2 − a(b + c) − 3bc +

a2
> 0.
3

(2.24)


17

a2
Xét tam thức bậc hai f (x) = x − ax − 3bc + . Ta có
3
a=1>0
36 − a3
4a2
2
+ 12bc
<0
∆=a −
3
3a

2

a2
Suy ra f (x) > 0, ∀x. Vậy f (b + c) = (b + c) − a(b + c) − 3bc + > 0
3
Ví dụ 2.8. Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình:
2

x2 + y 2 + z 2 = 8
xy + yz + zx = 4

(2.25)

8
8
Chứng minh rằng: − ≤ x, y, z ≤
3
3
Lời giải. Từ hệ phương trình(2.25) , ta có
x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16
⇔ (x + y + z)2 = 16 ⇔ x + y + z = ±4.

i) Nếu x + y + z = 4 Gọi x + y = S và xy = P , theo hệ phương trình
đầu bài ,ta có

S =4−z
P = 4 − z(x + y) = 4 − z(4 − z) = z 2 − 4z + 4
Khi đó ta có x, y là nghiệm của phương trình:

X 2 − SX + P = 0

(2.26)

Để phương trình (2.26) có nghiệm thì:

∆ = S 2 − 4P ≥ 0
⇔ ∆ = (4 − z)2 − 4(z 2 − 4z + 4) ≥ 0
⇔0≤z≤

8
3

(2.27)

ii) Nếu x + y + z = −4 Gọi x + y = S và xy = P , theo hệ phương
trình đầu bài ,ta có

S = −4 − z
P = 4 − z(x + y) = 4 + z(4 + z) = z 2 + 4z + 4


18

Khi đó ta có x, y là nghiệm của phương trình:

X 2 − SX + P = 0

(2.28)

Để phương trình (2.28) có nghiệm thì:

∆ = S 2 − 4P ≥ 0
8
⇔− ≤z≤0
(2.29)
3
8
8
Từ (2.27) và (2.29), ta kết luận: − ≤ z ≤ .
3
3
Vì vai trị của x, y, z trong hệ phương trình trên là như nhau nên ta
có kết luận
8
8
− ≤ x, y, z ≤ .
3
3
2.3. NHẬN DẠNG CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC SỬ
DỤNG ĐƯỢC PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Dạng toán 2.1.
Sử dụng các đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức biến đổi lượng
giác, miền giá trị của hàm số lượng giác và các đồng nhất thức đại số sinh
bởi các hàm lượng giác.
Bài toán 2.1. Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng
√
√
− 2 ≤ a(c + d) + b(c − d) ≤ 2.
Lời giải. Ta đặt

a = sin u
b = cos u và

c = sin v
d = cos v

Khi đó ta có

⇒ a(c + d) + b(c − d) = (sin u cos v + cos u sin v) − (cos u cos v − sin usinv)
= sin(u + v) − cos(u + v)
√
π
= 2 sin[(u + v) − ].
4
Vậy

√
√
− 2 ≤ a(c + d) + b(c − d) ≤ 2.


19

Bài toán 2.2. Cho hao số a, b thỏa mãn a2 + b2 = 1. Chứng minh
rằng

1
a + 2
a

2

2

Lời giải. Đặt
đẳng thức (2.30) ta có:

1
+ b + 2
b

2

2

≥

25
.
2

(2.30)

a = cos α
b = sin α , 0 ≤ α ≤ 2π. Thế vào vế trái của bất
1
a + 2
a
2

2

1
+ b + 2
b

2

2

2
1
+ sin α +
α
sin2
1
1
+
= cos4 α + sin4 α +
+4
4
cos α sin4 α
1
= cos4 α + sin4 α 1 +
+4
cos4 α sin4 α
16
1
25

1
1+
.
+
4
≥
1
−
(1
+
16)
+
4
=
= 1 − sin2 2α
2
sin4 2α
2
2

1
= cos α +
cos2 α
2

2

2

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài toán 2.3. Cho a, b thỏa mãn a2 + b2 − 2a − 4b + 4 = 0. Chứng
minh rằng
√
√
√
√
P = a2 − b2 + 2 3ab − 2(1 + 2 3)a + (4 − 2 3)b + 4 3 − 3 ≤ 2.
Lời giải. Từ điều kiện của bài toán, ta có:

a2 + b2 − 2a − 4b + 4 ⇔ (a − 1)2 + (b − 2)2 = 1

Khi đó ta đặt:

a − 1 = sin α
b − 2 − cos α ⇒

a = 1 + sin α
b = 2 + cos α


20

Vậy

√
P = sin2 α − cos2 α + 2 3 sin α cos α
√
√
1
3

sin 2α − cos 2α
= 3 sin 2α − cos 2α = 2
2
2
π
= 2 sin(2α − ) ≤ 2.
6
Bài toán 2.4. Chứng minh rằng

1+

1 − a2

(1 + a)3 −

√
(1 − a)3 ≤ 2 2 +

2 − 2a2 .

(2.31)

Lời giải. Từ điều kiện |a| ≤ 1, ta đặt a = cos α, α ∈ [0;π]
Khi đó
√
√
√
α √
α
1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − a2 = sin α.

2
2
Và bất đẳng thức (2.31) trở thành

1 + 2 sin

√
√
α √
α
α
α
α
α
cos .2 2 cos3 − sin3
≤ 2 2 + 2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2

α
α
α
α
+ sin cos + sin2
2
2

2
2
α
α
≤ 1 + sin cos
2
2
α
α
α
α
α
α
cos − sin
= cos2 − sin2 = cos α ≤ 1.
⇔ sin + cos
2
2
2
2
2
2
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài toán 2.5. Cho hai số a, b, chứng minh rằng

⇔ sin

α
α
+ cos

2
2

cos

α
α
− sin
2
2

a 1 − b2 + b 1 − a2 +

√

cos2

3 ab −

(1 − a2 )(1 − b2 )

Lời giải. Từ điều kiện |a| ≤ 1, |b| ≤ 1, ta đặt

π π
a = sin α
;
α,
β
∈
−

;
b = sin β
2 2

≤ 2.


21

Khi đó

a 1 − b 2 + b 1 − a2 +

√

3 ab − (1 − a2 )(1 − b2 )
√
= sin α cos β + cos α sin β − 3 cos(α + β)
√
= sin(α + β) − 3 cos(α + β)
√
1
3
cos(α + β)
=2 sin(α + β) −
2
2
π
=2 sin (α + β) −
≤ 2.

3

rằng

Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài toán 2.6. Cho hai số a, b thỏa mãn |a| ≥ 1; |b| ≥ 1. Chứng minh

√

a2 − 1 +
ab

√

b2 − 1

≤ 1.

Lời giải. Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên ta đặt:
1
1
π
3π
a=
;b =
, với α, β ∈ 0;
∪ π,
.
cos α
cos β

2
2
Khi đó ta có
√
√
a2 − 1 + b 2 − 1
≤1
ab

= |(tan α + tan β) cos α cos β|
= |sin α cos β + sin β cos α| = |sin(α + β)| ≤ 1
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài toán 2.7. Cho số a thỏa mãn |a| > 1. Chứng minh rằng.
√
a
≥ 2 2.
a+ √
a2 − 1

Lời giải. Do |a| > 1 nên ta đặt:

a=

π
1
.
, α ∈ 0;
cos α
2