Phương pháp giải phương trình lượng giác bằng bất đẳng thức

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN
Cho
A
BCΔ
có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của



A
,B,C, R
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp
A
BCΔ
, S là diện tích
A
BC
Δ
thì

===
=+− =+−
=+− =+−
=+− =+−
222 22
222 22
222 22
abc
2R

sin A sin B sin C
abc2bccosAbc4S.cotg
bac2accosBac4S.cotgB
cab2abcosCab4S.cotg
A
C






Bài 184 Cho
A
BCΔ
. Chứng minh:

22
A
2B a b bc=⇔=+


Ta có:
2 2 22 22 2
a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sinB.sinC=+⇔ = +

()()
()()
()()
() ()

()
()
⇔−=
⇔− −− =
⇔−=
⇔− + − =
⇔+ −=
⇔
−= += >
⇔−=∨−=π−
⇔
=
22
sin A sin B sin B sin C
11
1 cos 2A 1 cos 2B sin Bsin C
22
cos 2B cos 2A 2sin B sin C
2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A
2B

Cách khác:
−=
⇔− +=
+− + −
⇔=

22
sin A sin B sin B sin C
(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C
AB AB AB AB
2 cos sin .2 sin co s sin B sin C
22 2 2

()()
() ()
()
()
⇔+ −=
⇔−= +=>
⇔−=∨−=π−
⇔=
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A
2B


Bài 185: Cho
A
BCΔ
. Chứng minh:
(
)
22
2

sin A B
ab
sin C c
−
−
=


Ta có
−−
=
22 22 22
222
ab 4RsinA4RsinB
c4RsinC


()()
()()
()() ()
()
()
−−−
−
==
−+ −
−
==
+− −
==

+= >
22
22
22
2
11
1 cos 2A 1 cos 2B
sin A sin B
22
sin C sin C
2sin A B sin B A
cos 2B cos 2A
2sin C 2sin C
sin A B . sin A B sin A B
sin C
sin C
do sin A B sin C 0

Bài 186: Cho
A
BCΔ
biết rằng
A
B1
tg tg
223
⋅
=⋅

Chứng minh

ab

2c+=

Ta có :
⋅=⇔ =
A
B1 A B A B
tg tg 3sin sin cos cos
223 22 22


A
B
do cos 0,cos 0
22
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠


()
A
BABA
2sin sin cos cos sin sin
22 22 22
AB AB AB
cos cos cos
22 2

AB AB
cos 2cos *
22
⇔=−
+− +
⎡⎤
⇔− − =
⎢⎥
⎣⎦
−+
⇔=
B

Mặt khác:
()
ab2RsinAsinB+= +

()
()
()
+−
=
++
=
=+
=
=
A
BAB
4R sin cos

22
AB AB
8R sin cos do *
22
4R sin A B
4R sin C 2c

Cách khác:
()
+=
⇔+=
ab2c
2R sin A sin B 4R sin C

+−
⇔=
−++
⎛⎞
⇔== =
⎜⎟
⎝⎠
A
BAB CC
2sin cos 4sin cos
22 22
A
BC AB AB
cos 2 sin 2 cos do sin cos
22 2 2
C

2

⇔+= −
⇔=
A
BAB AB A
cos cos sin sin 2 cos cos 2sin sin
22 22 22 2
AB AB
3sin sin cos cos
22 22
B
2

⇔⋅=
A
B1
tg tg
223

Bài 187: Cho
A
BCΔ
, chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì
cotgA,cotgB, cotgC
222
a,b,c
cũng là cấp số cộng.

Ta có:

()
⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *
Cách 1:
(
)
()
()() ()
()()()
[]
()()()
2
2
22
22
22 2 2
222
sin A C
2cosB
Ta có: * sin B 2sin A sinCcosB
sin A sin C sin B
sinB cosA C cosA C cosA C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
1
sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+

⇔=⇔=
⇔=− +−−−+
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⇔= +−− +
⇔=− +
⎡
⎤
⇔=− −− +−

⎣
⎦
⇔=+
⇔
22 2
222
222
222
2b a c
4R 4R 4R
2b a c
a , b ,c là câùp số cộng
=+
⇔=+
⇔•
Cách 2:
()
=+−
⎛⎞
⇔=+−

⎜⎟
⎝⎠
⇔=+−
+−
=
+− +−
==
+− +− +−
⇔+=⋅
⇔
=+
222
222
222
22 2
22 2 2 22
22 2 2 22 22 2
222
Ta có: a b c 2ab cos A
1
abc4bcsinA.cotgA
2
abc4ScotgA
bca
Do đó cotgA
4S
acb abc
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
bca abc acb

Do đó: * 2
4S 4S 4S
2b a c



Bài 188: Cho
A
BCΔ
có
22
sin B sin C 2sin A+=
2
Chứng minh

0
BAC 60 .≤

()
22 2
22 2
22 2
22 2
Ta có: sin B sin C 2sin A
bc2a
4R 4R 4R
bc 2a*
+=
⇔+=
⇔+=

A

Do đònh lý hàm cosin nên ta có
222
abc2bccos=+−

(
)
()
()

+−−
+−
⇔= =
+
=≥=
≤
22 22
22 2
22
0
2b c b c
bca
cos A ( do * )
2bc 4bc
bc 2bc1
do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .

Cách khác:
đònh lý hàm cosin cho
=+− ⇒+=+
222 222
a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó
(*) a bc cos A a
abc
cos A ( do Cauchy)
b
cbc
⇔+ =
+
⇔== ≥
22
222
22
1
242


Bài 189: Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :

(
)
222

Ra b c
cotgA+cotgB+cotgC
abc
++
=

+−
=
+− +−
==
+
+++
++= =
++
=
22 2
22 2 2 22
222 22
222
bca
Ta có: cotgA
4S
acb abc
Tương tự: cotgB ,cotgC
4S 4S
abc abc
Do đó cot gA cot gB cot gC
abc
4S
4

4R
abc
R
abc
2

Bài 190:
Cho
A
BCΔ
có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2.
Giả sử A < B < C.
Chứng minh:
=
+
111
abc


Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A
24
Mà A B C nên A ,B ,C
77 7
π
ππ
++=π = = =

Cách 1:
+= +
⎛⎞

⎜⎟
=+
⎜⎟
ππ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ππ
+
=
ππ
ππ
π
π
⎛⎞
=⋅ =
⎜⎟
ππ
⎝⎠
π
=⋅ =
ππ
=
11 1 1
Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
11 1
24
2R
sin sin

77
42
sin sin
1
77
24
2R
sin sin
77
3
2sin .cos
143
77
do sin sin
23
2R 7 7
sin .sin
77
cos
11
7
R2RsinA
2sin .cos
77
1
a

Cách 2:

=+⇔ = +

+
⇔= + =
⇔= = =
ππ
===•
111 1 1 1
a b c sin A sin B sin C
11 1sin4Asin2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A
34
do : sin 3A sin sin sin 4A
77

Bài 191: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu
sin A sin B sin C
12
3
==


Do đònh lý hàm sin:
abc
2R
sin A sin B sin C
===

nên :
()
sin A sin B sin C
*
12
3
==


abc
2R 4R
2R 3
bc
ba3
a
2
3
c2a
⇔= =
⎧
=
⎪
⇔= =⇔
⎨
=
⎪
⎩

()

()
2
22
222
0
0
Ta có: c 4a a 3 a
cba
Vạây ABC vuông tạiC
Thay sin C 1 vào * ta được
sin A sin B 1
12
3
1
sin A
2
3
sin B
2
A30
B60
== +
⇔=+
Δ
=
==
⎧
=
⎪
⎪

⇔
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2

Ghi chú:
Trong tam giác ABC ta có
a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ =

II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2
22 2
BC
AB AC 2AM
2
+= +

hay :
2
22 2
a
a
cb2m
2
+= +



Bài 192:
Cho UABC có AM trung tuyến,

A
MB =
α
, AC = b, AB = c, S là diện tích
UABC. Với 0 < <
90

α
0
a/ Chứng minh:
22
bc
cotg
−
4S

α=

b/ Giả sử
α=
, chứng minh: cotgC – cotgB = 2
0
45

a/ UAHM vuông
HM MB BH
cotg
A
HAH
−
⇒α= =

()
aBH
cotg 1
2AH AH
⇒α= −







Mặt khác:
()

22
22
ac2accosBc
bc
4S 2AH.a
+− −
−
=
2

Đặt BC = a
22
bc a ccosB a BH
4S 2AH AH 2AH AH
−
⇒=−=−
(2)
Từ (1) và (2) ta được :
22
bc
cotg
4S
−
α=

Cách khác:
Gọi S
1
, S
2

lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH
p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:
+−
α=
22
1
2
A
MBMc
cotg
4S
(3)
+−
−α=
22
2
2
A
MCMb
cotg
4S
(4)
Lấy (3) – (4) ta có :
−
α=
22
bc
cotg
4S
( vì S

1
=S
2
=
S
2
)
b/Ta có: cotgC – cotgB =
HC HB HC HB
A
HAH AH
−
−=

=
()
(
)
MH MC MB MH
A
H
+−−

=
=
α= =
0
2MH
2cotg 2cotg45 2
A

H

Cách khác
:
p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:
+−
=
22
1
BM c AM
cotg B
4S
2
(5)
+−
=
22
2
CM b AM
cotg C
4S
2
(6)
Lấy (6) – (5) ta có :
−
−= =
22
bc
cotg C cot gB 2 cot g
2S

α
=2 ( vì S
1
=S
2
=
S
2
và câu a )


Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa
b
m,m
c
b
c
m
c
1
bm
=≠
. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có:
2
2
b
22
c

m
c
bm
=

()
()
()(
()
)
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=+−
⇔−= −
⇔−=− +
⎛⎞
⇔=+ ≠
⎜⎟
⎝⎠
2
22
2
2

2
22
44
22 22 2 2 22
22 2 2 4 4
22 2 2 2 2 2
222
1b
ac
22
c
b
1c
ba
22
cb
bc ac ab bc
22
1
ac ab c b
2
1
ac b c b c b
2
c
2a c b 1 do 1
b

Thay vào (1), ta có (1) thành
+=+

22 2
bca2bccosA

=
2
a2bccosA
()()
()
⇔==
+
⇔= =
222
a4RsinA
cos A
2bc 2 2R sin B 2R sin C
sin B C
cos A sin A
2
sin A sin B sin C sin Bsin C

+
⇔= =+
sinBcosC sinCcosB
2 cotgA cotgC cotgB
sin B sin C


Bài 194
: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến
BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)

UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’
Vậy
2
A
BC
3
′
= C

22
c
2
222
222
9c 4m
c
9c 2 b a
2
5c a b
⇔=
⎛⎞
⇔= +−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=+

22
5c c 2abcosC⇔=+
(do đònh lý hàm cos)

()()()
2
2
2c ab cosC
2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC
⇔=
⇔=

⇔=
⇔=
2
2 sin C sin A sin B cos C
2sinC cosC
sin A sin B sin C

()
+
⇔=
2sin A B
cotgC
sin A sin B

()
()
+
⇔=
⇔+=
2 sin A cos B sin B cos A
cotgC
sin A sin B

2 cotg B cotgA cotgC

III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Gọi S: diện tích UABC
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC
r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC
p: nửa chu vi của UABC
thì

()()()
abc
111
S a.h b.h c.h
222
111
S absinC acsinB bcsinA
222
abc
S
4R
Spr
S ppapbpc
===
===
=
=
=−−−


Bài 195: Cho UABC chứng minh:

2
2S
sin 2A sin 2B sin2C
R
++=

Ta có:
()
sin2A+ sin2B + sin2C
= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)
= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)
= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]
= 2sinA.[2sinB.sinC]

=
3
abc 1abc
= 4. . .
2R 2R 2R 2
R
==
32
14RS 2S
2
RR

Bài 196 Cho UABC. Chứng minh :
S = Diện tích (UABC) =
()
22
1
asin2B bsin2A
4
+


Ta có :
()
1
S = dt ABC absin C
2
Δ=


()
+
1
=absinAB
2


[]
+
1
= ab sin A cos B sinB cos A
2

()
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
+
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎣⎦
+
22
22
1a b
= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)
2b a
1
= a sin B cos B+ b sin A cos A
2
1
= a sin 2B b sin 2A
4


Bài 197
: Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và




GAB ,GBC ,GCA .
=
α=β=γ

Chứng minh:
(
)
222
3a b c
cotg + cotg +cotg =
4S
++
αβγ


Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB
⊥

A
H
AMH cos
AM
BH 2BH
BHM cosB
MB a
Δ⊥⇒α=
Δ⊥⇒==

Ta có: AB = HA + HB
()
a
cAMcos cosB
2
1a
cos c cos B 1
AM 2
⇔= α+
⎛⎞
⇔α= −
⎜⎟
⎝⎠

Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào
A
MB
Δ
ta có :

MB AM 1 a
sin MB sin B sin B (2)
sin sin B AM 2AM
=⇔α= =
α


Lấy (1) chia cho (2) ta được :
−

−
α=
a
ccosB
2c a cos B
2
cotg =
ab
sin B a.
22R

()
(
)
−
−
+− +−
2
222 222
R4c 2accosB
R4c 2acosB
= =
ab abc
3cba3cba
= =
abc
4S
R

Chứng minh tương tự :

22
22
3a c b
cotg
4S
3b a c
cotg
4S
+−
β=
+−
γ=
2
2

Do đó:

()
α+ β+ γ
+− +− +−
=++
++
222 222 22
222
cotg cotg cotg
3c b a 3a c b 3b a c

4S 4S 4S

3a b c
=
4S
2

Cách khác : Ta có
()
222 222
abc
3
m m m a b c (*)
4
++= ++


Δ
+−
+−
α= =
2
22
222
a
a
ABM
a
cm
4c 4m a
4
cotg (a)

4S 8S


Tương tự
222 222
bc
4a 4m b 4b 4m c
cotg (b),cotg (c)
8S 8S
+− +−
β= γ=


Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

(
)
++
α+ β+ γ=
222
3a b c
cotg cotg cotg
4S


IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp
A
BC
Δ

và r bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
thì

() () ()
==
=
=− =− =−
aabc
R
2sinA 4S
S
r
p
A
BC
rpatg pbtg pctg
222


Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
.
Chứng minh:

2
A
BC
a/ r 4Rsin sin sin
22
b/ IA.IB.IC 4Rr
=
=
2


a/ Ta có :
BBH
IBH cotg
2IH
Δ⊥⇒ =


B
BH rcotg
2
⇒=

Tương tự
=
C
HC r cotg
2

Mà : BH + CH = BC
nên

()
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⇔=
⇔=
⇔=
BC
r cotg cotg a
22
BC
rsin
2
a
BC
sin sin
22
ABC
r cos 2R sin A sin sin
222
AAABC

r cos 4R sin cos sin sin
22222
ABC A
r 4R sin sin sin . (do cos >0)
222 2


b/ Ta có :
IK
sin
IA
Α
Δ⊥ΑΚΙ⇒ =
2

r
IA
A
sin
2
⇒=

Tương tự
=
r
IB
B
sin
2
;

=
r
IC

C
sin
2
Do đó :
3
r
IA.IB.IC
A
BC
sin sin sin
22
=
2



3
2
r
4Rr (do kết quả câu a)
r
4R
==


Bài 199: Cho

A
BCΔ
có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh
A
BCΔ
tại A’, B’,
C’.
A
'B'C'Δ
có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’. Chứng minh:

⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠
=
a' b ' C A B
a/ 2 sin sin sin
ab 2 2 2
S' A B C
b/ 2 sin sin sin
S222


a/ Ta có :


()()
11 1
C'A'B' C'IB' A B C

22 2
==π−=+

Áp dụng đònh lý hình sin vào
A
'B'C'
Δ


a'
2r
sin A '
=
(r: bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
)


BC
a ' 2r sin A ' 2r sin (1)
2
+
⇒= =

A
BCΔ
có :
a BC BA' A'C

=
=+


BC
arcotg rcotg
22
BC
sin
2
ar (2)
BC
sin sin
22
⇒= +
+
⇒=

Lấy
(1)
(2)
ta được
aB
2sin sin
a2
′
=
C
2

Tương tự
b' A C
2sin .sin
b2
=
2


Vậy
a' b' C A B
2sin sin sin .
ab 2 2 2
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


b/ Ta có:

()()
11 1
A
'C'B' .B'IA' C A B
22 2
==π−=+


Vậy

A
BC
sin C ' sin cos
22
+
==

Ta có:
()
()
1
a'b'sinC'
dt A'B'C'
S'
2
1
SdtABC
absin C
2
Δ
==
Δ


⎛⎞⎛⎞
⇒=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⋅
⋅⋅

2
S' a' b' sinC'
SabsinC
C
cos
BCA
2
= 4 sin sin sin
CC
222
2sin cos
22
BCA
= 2 sin sin sin
222


Bài 200:
Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông
góc với đường phân giác trong của . Chứng minh:

BCA
abc 2ab
3ab
+
+
=

+

Vẽ
GH AC,GK BC,ID AC⊥⊥⊥
IG cắt AC tại L và cắt BC tại N
Ta có:
Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ=Δ
=ID.LC = r.LC (1)
Mặt khác:
()
Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)
1
GH.LC GK.CN (2)
2
Δ=Δ+Δ
=+

Do cân nên LC = CN
CLNΔ

Từ (1) và (2) ta được:

()
1
rLC LC GH GK
2
2r GH GK
=+
⇔= +

Gọi là hai đường cao
a
h,h
b
A
BC
Δ
phát xuất từ A, B

Ta có:
a
GK MG 1
hMA
==
3
và
b
GH 1
h3
=


Do đó:
()
ab
1
2r h h (3)
3
=+

Maø:
()
ab
11
SDtABC pr a.h b.h
22
=Δ == =


Do ñoù:
a
2pr
h
a
=
vaø
b
2pr
h
b
=


Töø (3) ta coù:
211
2r pr
3ab
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠


+
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
++ +
⇔= ⋅
++
⇔=
+
1ab
1p
3ab
abcab
3
2a
2ab a b c
ab 3
b


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

BÀI TẬP

1. Cho
A

BCΔ
có ba cạnh là a, b, c. R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại
tiếp và nội tiếp
A
BCΔ
. Chứng minh:
a/
() () ()
CAB
a b cotg b c cotg c a cotg 0
222
−+−+−=

b/
r
1 cos A cosB cosC
R
+= + +

c/ Nếu
A
B
cotg , cotg , cotg
22
C
2
là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng.
d/ Diện tích
()
A

BC R r sin A sin B sin CΔ= + +

e/ Nếu : thì
44
abc=+
4
A
BCΔ
có 3 góc nhọn và
2
2sin A tgB.tgC=
2. Nếu diện tích (
A
BCΔ
) = (c + a -b)(c + b -a) thì
8
tgC
15
=

3. Cho
A
BCΔ
có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,
C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
A
BCΔ
. Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp của
A

'B'C'Δ
. Chứng minh:
a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC
b/
R
R'
2
=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC
4.
A
BCΔ
có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng. Với a < b < c
Chứng minh :
a/ ac = 6Rr
b/
A
CB
cos 2sin
22
−
=

c/ Công sai
3r C A
dtgtg
22 2
⎛⎞
=−

⎜⎟
⎝⎠

5. Cho
A
BCΔ
có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2.
Chứng minh:
a/
111
abc
=+

b/
222
5
cos A cos B cos C
4
++=