Tải bản đầy đủ (.pdf) (16 trang)

Phương pháp giải phương trình lượng giác bằng bất đẳng thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (422.67 KB, 16 trang )

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN
Cho
A
BCΔ
có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của



A
,B,C, R
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp
A
BCΔ
, S là diện tích
A
BC
Δ
thì

===
=+− =+−
=+− =+−
=+− =+−
222 22
222 22
222 22
abc
2R


sin A sin B sin C
abc2bccosAbc4S.cotg
bac2accosBac4S.cotgB
cab2abcosCab4S.cotg
A
C






Bài 184 Cho
A
BCΔ
. Chứng minh:

22
A
2B a b bc=⇔=+


Ta có:
2 2 22 22 2
a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sinB.sinC=+⇔ = +

()()
()()
()()
() ()

()
()
⇔−=
⇔− −− =
⇔−=
⇔− + − =
⇔+ −=

−= += >
⇔−=∨−=π−

=
22
sin A sin B sin B sin C
11
1 cos 2A 1 cos 2B sin Bsin C
22
cos 2B cos 2A 2sin B sin C
2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A
2B

Cách khác:
−=
⇔− +=
+− + −
⇔=

22
sin A sin B sin B sin C
(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C
AB AB AB AB
2 cos sin .2 sin co s sin B sin C
22 2 2

()()
() ()
()
()
⇔+ −=
⇔−= +=>
⇔−=∨−=π−
⇔=
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A
2B


Bài 185: Cho
A
BCΔ
. Chứng minh:
(
)
22
2

sin A B
ab
sin C c


=


Ta có
−−
=
22 22 22
222
ab 4RsinA4RsinB
c4RsinC


()()
()()
()() ()
()
()
−−−

==
−+ −

==
+− −
==

+= >
22
22
22
2
11
1 cos 2A 1 cos 2B
sin A sin B
22
sin C sin C
2sin A B sin B A
cos 2B cos 2A
2sin C 2sin C
sin A B . sin A B sin A B
sin C
sin C
do sin A B sin C 0

Bài 186: Cho
A
BCΔ
biết rằng
A
B1
tg tg
223

=⋅

Chứng minh

ab

2c+=

Ta có :
⋅=⇔ =
A
B1 A B A B
tg tg 3sin sin cos cos
223 22 22


A
B
do cos 0,cos 0
22
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠


()
A
BABA
2sin sin cos cos sin sin
22 22 22
AB AB AB
cos cos cos
22 2

AB AB
cos 2cos *
22
⇔=−
+− +
⎡⎤
⇔− − =
⎢⎥
⎣⎦
−+
⇔=
B

Mặt khác:
()
ab2RsinAsinB+= +

()
()
()
+−
=
++
=
=+
=
=
A
BAB
4R sin cos

22
AB AB
8R sin cos do *
22
4R sin A B
4R sin C 2c

Cách khác:
()
+=
⇔+=
ab2c
2R sin A sin B 4R sin C

+−
⇔=
−++
⎛⎞
⇔== =
⎜⎟
⎝⎠
A
BAB CC
2sin cos 4sin cos
22 22
A
BC AB AB
cos 2 sin 2 cos do sin cos
22 2 2
C

2

⇔+= −
⇔=
A
BAB AB A
cos cos sin sin 2 cos cos 2sin sin
22 22 22 2
AB AB
3sin sin cos cos
22 22
B
2

⇔⋅=
A
B1
tg tg
223

Bài 187: Cho
A
BCΔ
, chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì
cotgA,cotgB, cotgC
222
a,b,c
cũng là cấp số cộng.

Ta có:

()
⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *
Cách 1:
(
)
()
()() ()
()()()
[]
()()()
2
2
22
22
22 2 2
222
sin A C
2cosB
Ta có: * sin B 2sin A sinCcosB
sin A sin C sin B
sinB cosA C cosA C cosA C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
1
sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+

⇔=⇔=
⇔=− +−−−+
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⇔= +−− +
⇔=− +


⇔=− −− +−



⇔=+

22 2
222
222
222
2b a c
4R 4R 4R
2b a c
a , b ,c là câùp số cộng
=+
⇔=+
⇔•
Cách 2:
()
=+−
⎛⎞
⇔=+−

⎜⎟
⎝⎠
⇔=+−
+−
=
+− +−
==
+− +− +−
⇔+=⋅

=+
222
222
222
22 2
22 2 2 22
22 2 2 22 22 2
222
Ta có: a b c 2ab cos A
1
abc4bcsinA.cotgA
2
abc4ScotgA
bca
Do đó cotgA
4S
acb abc
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
bca abc acb

Do đó: * 2
4S 4S 4S
2b a c



Bài 188: Cho
A
BCΔ

22
sin B sin C 2sin A+=
2
Chứng minh

0
BAC 60 .≤

()
22 2
22 2
22 2
22 2
Ta có: sin B sin C 2sin A
bc2a
4R 4R 4R
bc 2a*
+=
⇔+=
⇔+=

A

Do đònh lý hàm cosin nên ta có
222
abc2bccos=+−

(
)
()
()

+−−
+−
⇔= =
+
=≥=

22 22
22 2
22
0
2b c b c
bca
cos A ( do * )
2bc 4bc
bc 2bc1
do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .


Cách khác:
đònh lý hàm cosin cho
=+− ⇒+=+
222 222
a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó
(*) a bc cos A a
abc
cos A ( do Cauchy)
b
cbc
⇔+ =
+
⇔== ≥
22
222
22
1
242


Bài 189: Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :

(
)
222

Ra b c
cotgA+cotgB+cotgC
abc
++
=

+−
=
+− +−
==
+
+++
++= =
++
=
22 2
22 2 2 22
222 22
222
bca
Ta có: cotgA
4S
acb abc
Tương tự: cotgB ,cotgC
4S 4S
abc abc
Do đó cot gA cot gB cot gC
abc
4S
4

4R
abc
R
abc
2

Bài 190:
Cho
A
BCΔ
có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2.
Giả sử A < B < C.
Chứng minh:
=
+
111
abc


Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A
24
Mà A B C nên A ,B ,C
77 7
π
ππ
++=π = = =

Cách 1:
+= +
⎛⎞

⎜⎟
=+
⎜⎟
ππ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ππ
+
=
ππ
ππ
π
π
⎛⎞
=⋅ =
⎜⎟
ππ
⎝⎠
π
=⋅ =
ππ
=
11 1 1
Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
11 1
24
2R
sin sin

77
42
sin sin
1
77
24
2R
sin sin
77
3
2sin .cos
143
77
do sin sin
23
2R 7 7
sin .sin
77
cos
11
7
R2RsinA
2sin .cos
77
1
a

Cách 2:

=+⇔ = +

+
⇔= + =
⇔= = =
ππ
===•
111 1 1 1
a b c sin A sin B sin C
11 1sin4Asin2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A
34
do : sin 3A sin sin sin 4A
77

Bài 191: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu
sin A sin B sin C
12
3
==


Do đònh lý hàm sin:
abc
2R
sin A sin B sin C
===


nên :
()
sin A sin B sin C
*
12
3
==


abc
2R 4R
2R 3
bc
ba3
a
2
3
c2a
⇔= =

=

⇔= =⇔

=



()

()
2
22
222
0
0
Ta có: c 4a a 3 a
cba
Vạây ABC vuông tạiC
Thay sin C 1 vào * ta được
sin A sin B 1
12
3
1
sin A
2
3
sin B
2
A30
B60
== +
⇔=+
Δ
=
==

=






=



=



=


2

Ghi chú:
Trong tam giác ABC ta có
a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ =

II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2
22 2
BC
AB AC 2AM
2
+= +



hay :
2
22 2
a
a
cb2m
2
+= +



Bài 192:
Cho UABC có AM trung tuyến,

A
MB =
α
, AC = b, AB = c, S là diện tích
UABC. Với 0 < <
90

α
0
a/ Chứng minh:
22
bc
cotg

4S

α=

b/ Giả sử
α=
, chứng minh: cotgC – cotgB = 2
0
45

a/ UAHM vuông
HM MB BH
cotg
A
HAH

⇒α= =

()
aBH
cotg 1
2AH AH
⇒α= −







Mặt khác:
()

22
22
ac2accosBc
bc
4S 2AH.a
+− −

=
2

Đặt BC = a
22
bc a ccosB a BH
4S 2AH AH 2AH AH

⇒=−=−
(2)
Từ (1) và (2) ta được :
22
bc
cotg
4S

α=

Cách khác:
Gọi S
1
, S
2

lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH
p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:
+−
α=
22
1
2
A
MBMc
cotg
4S
(3)
+−
−α=
22
2
2
A
MCMb
cotg
4S
(4)
Lấy (3) – (4) ta có :

α=
22
bc
cotg
4S
( vì S

1
=S
2
=
S
2
)
b/Ta có: cotgC – cotgB =
HC HB HC HB
A
HAH AH

−=

=
()
(
)
MH MC MB MH
A
H
+−−

=
=
α= =
0
2MH
2cotg 2cotg45 2
A

H

Cách khác
:
p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:
+−
=
22
1
BM c AM
cotg B
4S
2
(5)
+−
=
22
2
CM b AM
cotg C
4S
2
(6)
Lấy (6) – (5) ta có :

−= =
22
bc
cotg C cot gB 2 cot g
2S

α
=2 ( vì S
1
=S
2
=
S
2
và câu a )


Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa
b
m,m
c
b
c
m
c
1
bm
=≠
. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có:
2
2
b
22
c

m
c
bm
=

()
()
()(
()
)
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=+−
⇔−= −
⇔−=− +
⎛⎞
⇔=+ ≠
⎜⎟
⎝⎠
2
22
2
2

2
22
44
22 22 2 2 22
22 2 2 4 4
22 2 2 2 2 2
222
1b
ac
22
c
b
1c
ba
22
cb
bc ac ab bc
22
1
ac ab c b
2
1
ac b c b c b
2
c
2a c b 1 do 1
b

Thay vào (1), ta có (1) thành
+=+

22 2
bca2bccosA

=
2
a2bccosA
()()
()
⇔==
+
⇔= =
222
a4RsinA
cos A
2bc 2 2R sin B 2R sin C
sin B C
cos A sin A
2
sin A sin B sin C sin Bsin C

+
⇔= =+
sinBcosC sinCcosB
2 cotgA cotgC cotgB
sin B sin C


Bài 194
: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến
BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)


UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’
Vậy
2
A
BC
3

= C

22
c
2
222
222
9c 4m
c
9c 2 b a
2
5c a b
⇔=
⎛⎞
⇔= +−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=+

22
5c c 2abcosC⇔=+
(do đònh lý hàm cos)

()()()
2
2
2c ab cosC
2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC
⇔=
⇔=

⇔=
⇔=
2
2 sin C sin A sin B cos C
2sinC cosC
sin A sin B sin C

()
+
⇔=
2sin A B
cotgC
sin A sin B

()
()
+
⇔=
⇔+=
2 sin A cos B sin B cos A
cotgC
sin A sin B

2 cotg B cotgA cotgC

III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Gọi S: diện tích UABC
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC
r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC
p: nửa chu vi của UABC
thì

()()()
abc
111
S a.h b.h c.h
222
111
S absinC acsinB bcsinA
222
abc
S
4R
Spr
S ppapbpc
===
===
=
=
=−−−


Bài 195: Cho UABC chứng minh:

2
2S
sin 2A sin 2B sin2C
R
++=

Ta có:
()
sin2A+ sin2B + sin2C
= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)
= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)
= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]
= 2sinA.[2sinB.sinC]

=
3
abc 1abc
= 4. . .
2R 2R 2R 2
R
==
32
14RS 2S
2
RR




Bài 196 Cho UABC. Chứng minh :
S = Diện tích (UABC) =
()
22
1
asin2B bsin2A
4
+


Ta có :
()
1
S = dt ABC absin C
2
Δ=


()
+
1
=absinAB
2


[]
+
1
= ab sin A cos B sinB cos A
2


()
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
+
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎣⎦
+
22
22
1a b
= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)
2b a
1
= a sin B cos B+ b sin A cos A
2
1
= a sin 2B b sin 2A
4


Bài 197
: Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và




GAB ,GBC ,GCA .
=
α=β=γ

Chứng minh:
(
)
222
3a b c
cotg + cotg +cotg =
4S
++
αβγ


Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB


A
H
AMH cos
AM
BH 2BH
BHM cosB
MB a
Δ⊥⇒α=
Δ⊥⇒==


Ta có: AB = HA + HB
()
a
cAMcos cosB
2
1a
cos c cos B 1
AM 2
⇔= α+
⎛⎞
⇔α= −
⎜⎟
⎝⎠

Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào
A
MB
Δ
ta có :

MB AM 1 a
sin MB sin B sin B (2)
sin sin B AM 2AM
=⇔α= =
α


Lấy (1) chia cho (2) ta được :



α=
a
ccosB
2c a cos B
2
cotg =
ab
sin B a.
22R

()
(
)


+− +−
2
222 222
R4c 2accosB
R4c 2acosB
= =
ab abc
3cba3cba
= =
abc
4S
R



Chứng minh tương tự :

22
22
3a c b
cotg
4S
3b a c
cotg
4S
+−
β=
+−
γ=
2
2

Do đó:

()
α+ β+ γ
+− +− +−
=++
++
222 222 22
222
cotg cotg cotg
3c b a 3a c b 3b a c

4S 4S 4S

3a b c
=
4S
2

Cách khác : Ta có
()
222 222
abc
3
m m m a b c (*)
4
++= ++


Δ
+−
+−
α= =
2
22
222
a
a
ABM
a
cm
4c 4m a
4
cotg (a)

4S 8S


Tương tự
222 222
bc
4a 4m b 4b 4m c
cotg (b),cotg (c)
8S 8S
+− +−
β= γ=


Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

(
)
++
α+ β+ γ=
222
3a b c
cotg cotg cotg
4S


IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp
A
BC
Δ


và r bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
thì

() () ()
==
=
=− =− =−
aabc
R
2sinA 4S
S
r
p
A
BC
rpatg pbtg pctg
222


Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
.
Chứng minh:


2
A
BC
a/ r 4Rsin sin sin
22
b/ IA.IB.IC 4Rr
=
=
2


a/ Ta có :
BBH
IBH cotg
2IH
Δ⊥⇒ =


B
BH rcotg
2
⇒=

Tương tự
=
C
HC r cotg
2



Mà : BH + CH = BC
nên

()
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⇔=
⇔=
⇔=
BC
r cotg cotg a
22
BC
rsin
2
a
BC
sin sin
22
ABC
r cos 2R sin A sin sin
222
AAABC

r cos 4R sin cos sin sin
22222
ABC A
r 4R sin sin sin . (do cos >0)
222 2


b/ Ta có :
IK
sin
IA
Α
Δ⊥ΑΚΙ⇒ =
2

r
IA
A
sin
2
⇒=

Tương tự
=
r
IB
B
sin
2
;

=
r
IC

C
sin
2
Do đó :
3
r
IA.IB.IC
A
BC
sin sin sin
22
=
2



3
2
r
4Rr (do kết quả câu a)
r
4R
==


Bài 199: Cho

A
BCΔ
có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh
A
BCΔ
tại A’, B’,
C’.
A
'B'C'Δ
có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’. Chứng minh:

⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠
=
a' b ' C A B
a/ 2 sin sin sin
ab 2 2 2
S' A B C
b/ 2 sin sin sin
S222


a/ Ta có :


()()
11 1
C'A'B' C'IB' A B C

22 2
==π−=+

Áp dụng đònh lý hình sin vào
A
'B'C'
Δ


a'
2r
sin A '
=
(r: bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
)


BC
a ' 2r sin A ' 2r sin (1)
2
+
⇒= =

A
BCΔ
có :
a BC BA' A'C

=
=+


BC
arcotg rcotg
22
BC
sin
2
ar (2)
BC
sin sin
22
⇒= +
+
⇒=

Lấy
(1)
(2)
ta được
aB
2sin sin
a2

=
C
2



Tương tự
b' A C
2sin .sin
b2
=
2


Vậy
a' b' C A B
2sin sin sin .
ab 2 2 2
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


b/ Ta có:

()()
11 1
A
'C'B' .B'IA' C A B
22 2
==π−=+


Vậy

A
BC
sin C ' sin cos
22
+
==

Ta có:
()
()
1
a'b'sinC'
dt A'B'C'
S'
2
1
SdtABC
absin C
2
Δ
==
Δ


⎛⎞⎛⎞
⇒=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

⋅⋅

2
S' a' b' sinC'
SabsinC
C
cos
BCA
2
= 4 sin sin sin
CC
222
2sin cos
22
BCA
= 2 sin sin sin
222


Bài 200:
Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông
góc với đường phân giác trong của . Chứng minh:

BCA
abc 2ab
3ab
+
+
=

+

Vẽ
GH AC,GK BC,ID AC⊥⊥⊥
IG cắt AC tại L và cắt BC tại N
Ta có:
Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ=Δ
=ID.LC = r.LC (1)
Mặt khác:
()
Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)
1
GH.LC GK.CN (2)
2
Δ=Δ+Δ
=+

Do cân nên LC = CN
CLNΔ

Từ (1) và (2) ta được:

()
1
rLC LC GH GK
2
2r GH GK
=+
⇔= +


Gọi là hai đường cao
a
h,h
b
A
BC
Δ
phát xuất từ A, B

Ta có:
a
GK MG 1
hMA
==
3

b
GH 1
h3
=


Do đó:
()
ab
1
2r h h (3)
3
=+


Maø:
()
ab
11
SDtABC pr a.h b.h
22
=Δ == =


Do ñoù:
a
2pr
h
a
=
vaø
b
2pr
h
b
=


Töø (3) ta coù:
211
2r pr
3ab
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠


+
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
++ +
⇔= ⋅
++
⇔=
+
1ab
1p
3ab
abcab
3
2a
2ab a b c
ab 3
b


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

BÀI TẬP

1. Cho
A

BCΔ
có ba cạnh là a, b, c. R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại
tiếp và nội tiếp
A
BCΔ
. Chứng minh:
a/
() () ()
CAB
a b cotg b c cotg c a cotg 0
222
−+−+−=

b/
r
1 cos A cosB cosC
R
+= + +

c/ Nếu
A
B
cotg , cotg , cotg
22
C
2
là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng.
d/ Diện tích
()
A

BC R r sin A sin B sin CΔ= + +

e/ Nếu : thì
44
abc=+
4
A
BCΔ
có 3 góc nhọn và
2
2sin A tgB.tgC=
2. Nếu diện tích (
A
BCΔ
) = (c + a -b)(c + b -a) thì
8
tgC
15
=

3. Cho
A
BCΔ
có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,
C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
A
BCΔ
. Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp của
A

'B'C'Δ
. Chứng minh:
a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC
b/
R
R'
2
=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC
4.
A
BCΔ
có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng. Với a < b < c
Chứng minh :
a/ ac = 6Rr
b/
A
CB
cos 2sin
22

=

c/ Công sai
3r C A
dtgtg
22 2
⎛⎞
=−

⎜⎟
⎝⎠

5. Cho
A
BCΔ
có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2.
Chứng minh:
a/
111
abc
=+

b/
222
5
cos A cos B cos C
4
++=

×