De tai phuong phap ham so giai va bien luan phuongtrinh he phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (389.98 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ

À

PH

ƯƠNG PHÁP

Ầ

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình Đại số - Giải tích bậc THPT vấn đề giải và biện luận phương
trình , hệ phương trình có một vị trí quan trọng . Nó xun suốt chương trình của bậc
học

Lớp các bài toán giải và biên luận phương trình , hệ phương trình rất đa dạng và
phong phú . Để giải các bài toán này học sinh phải huy động hầu như tất các các kiến
thức cơ bản của Đại số - Giải tích , phải sử dụng nhiều phương pháp , thủ pháp khác
nhau . Do đó địi hỏi học sinh phải có năng lực vận dụng linh hoạt , sáng tạo .

Để đạt được yêu cầu đó mỗi học sinh phải có sự tích cực rèn luyện , tích lũy kiến
thức , kinh nghiệm với sự say mê tìm tịi , phát hiện .

Trong phạm vi chuyờn đề này chỉ nêu một trong các phương pháp giải và biện luận
phương trình , hệ phương trình đó là phương pháp ứng dụng sự biến thiên của hàm số .
Gọi tắt là phương pháp hàm số

Ầ

NỘI DUNG

A. CƠ SỞ.

Cơ sở của phương pháp hàm số trong giải và biện luận phương trình , hệ phương
trình là các mệnh đề sau ( Mỗi mệnh đề được xem là một định lý)

Mệnh đề 1:

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm khi và chỉ khi a ≠ 0 hoặc a = b =0 và vô nghiệm 
khi và chỉ khi a = 0 và b ≠ 0

Mệnh đề 2:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥0 và vô nghiệm 
khi và chỉ khi Δ < 0

Mệnh đề 3:

Phương trình f(x) = k có nghiệm x thuộc D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x) 
trên D

Mệnh đề 4:

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một 
nghiệm trong (a,b)

Mệnh đề 5:

f(x) liên tục trên [a,b] , phương trình f(x) = k có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ k ≤ M

 

(

)

 

(

)

min

f

x

f

x

m

b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vũ Ngọc Vinh
Mệnh đề 6:

f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trong (a,b) và f(a) = f(b) thì phương trình f'(x) = 0 
có ít nhất một nghiệm trong (a,b)

Mệnh đề 7:

f(x) liên tục và đơn điệu trong (a,b) thì phương trình f(x) =k có nhiều nhất một nghiệm 
trong (a,b)

HƯ qu¶ :

Nếu f(x) có n khoảng đơn điệu trong D thì phương trình f(x) = k có nhiều nhất n 
nghiệm trong D

Mệnh đề 8:

Nếu f(x) và g(x) liên tục trên D và sự đơn điệu của chúng ngược nhau ( một hàm số 
đồng biến , một hàm số nghịch biến ) thì phương trình f(x) = g(x) có khơng quá một 
nghiệm trong D.

Mệnh đề 9:

Hàm số f(x) đơn điẹu trong (a,b) , u và v thuộc (a,b) thì f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v .

Mệnh đề 10:

Nếu f(x) = ax3 + bx2 + cx +d (a ≠ 0) . Xét phương trình f(x) = 0 (1)

a) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f(x) có cực trị và hai số cực trị 
trái dấu nhau ( yct.ycđ < 0)

b) Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị trong đó có 
một cực trị bằng 0 ( yct.ycđ = 0)

c) Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hàm số khơng có cực trị 
hoặc có cực trị cùng dấu

Mệnh đề 11:

Phương trùnh f(x) = k vô nghiệm khi và chỉ khi k không thuộc tập giá trị của hàm số

Mệnh đề 12:

f(x) liên tục trên [a,b] phương trình f(x) =k vơ nghiệm khi và chỉ khi

B. CÁC BÀI TỐN

Các phương trình phải vận dụng phương pháp hàm số để giải và biện luận thường là các
phương trình khơng mẫu mực hoặc các phương trình khơng thể dùng phương pháp ''cổ
điển'' để qui về phương trình bậc nhất , bậc hai hoặc các phương trình '' cơ bản''

Phương pháp hàm số thường sử dụng để giải các bài tốn sau.
I. BÀI TỐN 1: Giải phương trình dạng f(x) = k (1) .

*Khảo sát hàm số y = f(x) (xác định các khoảng đơn điệu)
*''Nhẩm ''nghiệm của phương trình (1)

*căn cứ vào kết quả khảo sát hàm số để xác định tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình 3x + 4x = 5x (1)



mina,b



f(x) k

 

f(x)
k

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

f(x) nghÞch biÕn trên R nên (1) có không quá một nghiệm, x0 = 2 lµ nghiƯm cđa (1) 

phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 2 . 3x + 5x = 6x + 2 (2)
(2)  3x + 5x - 6x - 2 = 0 (2')

xÐt hµm sè y = f(x) = 3x + 5x - 6x - 2 D = R
y' = 3x.ln3 + 5x.ln5 - 6

y'' = 3x(ln3)2 + 5x(ln5)2

y'' > 0 với mọi x thuộc R

→

y' là hàm đồng biến trên R
và f'(0).f'(1) < 0

Suy ra b¶ng biÕn thiên của hàm số f(x)
x

y' - 0 +
y

m
thử thấy (1) cã hai nghiƯm lµ x = 0 , x = 1

Căn cứ sự biến thiên của hàm số và kết quả trên thì phương trình có đúng hai nghiệm
là x = 0 và x =1

II. BÀI TỐN 2: Giải phương trình dạng f(u) = f(v) (1)với f(t) là hàm số đơn điệu 
trên D ( u,v  D)

Theo tính chất hàm đơn điệu nên (1)  u=v (2)
.

Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)

Giải.

XÐt hµm sè f(t) = 3t +t D = R

f'(t) = 3t.ln3 + 1 , f'(t) > 0 với  tR f(t) đồng biến trên R vậy
(1) 2x2 - 5x + 1 = 4x - 1  2x2 - 5x + 2 = 0  x = 1

2 hoặc x = 2

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình :
Giải.

XÐt hµm sè f(t) = 5t + t D = R

4
5
x x
x
x
   
    
   
 
 
   
   
  
   
3 4

(1) 1

5 5

xet hµm sè

5 ; D R

0
)

(x
f'
:
(0,1)
x

! 0 0 








 x0







x

x 1 5

4
3
)

1   




x 2(x2
2x

3
3. 2

( )1 32x2 x 12x2  x 1 34x14x -1 (2)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vũ Ngọc Vinh
 tR f'(t) = 5t ln5 + 1 > 0 vậy f(t) đồng biến trên R

nªn (2)  x2 - (m - 2)x + m = mx

 x2 - 2(m - 1)x + m + 5 = 0 ( Đây là phương trình bậc 2

nên vấn đề giải và biện luận dành cho học sinh)

VÝ dô 3 . (1)
Giải.

Chứng minh f(x) đồng biến trên R và f(1) = 4 nên (2) có nghiệm duy nhất t = 1 . Suy
ra (1) có nghiệm duy nhất x = 2

III.BÀI TỐN 3: Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm trong D 
* Phng php.

* khảo sát hàm số f(x) trên D

* Xỏc nh tp giá trị của hàm số trong D
* Suy ra điều kiện đối với m

Ví dụ 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải:

1
   
    
     

log (x 1) log (4 x 2)

3 2

t
Đặt t log (x 1) x 3

t
t

(1) t log (4 - x 2)2 2 3 1 4 (2)
t

Xet f(t) 2 3 1

m

1 x









*

2

1

2

f

x

f

























2 X et hµm sè (x)

x

1 x

1 ; D R

2x

1 *

(x)

2 2 x

x

1 x

1

( ) ( )

( )
0

0 0

f x f x

f x x

  

   
      
   
x
1

. K h i x (a) lu « n th á a m ·n
2

1 1

. K h i x (a) 0 x

2 2

V Ë y x 0 . lim
Su y ra

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau
x

y' - 0 +
y

Suy ra tập giá trị của hàm số là [2;+

∞

) .

Vậy với m ≥ 2 phương trình có nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Gii

Ta có bảng biến thiên sau

y ' + 0 -
y

-1 1
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 < m ≤ 10

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x4 + mx3 - (2m + 1)x2 + mx + 1 = 0 (1)
Gii: Do x = 0 không phải là nghiƯm cđa (1)











 0

( )
( )

( )

2

2 2 3

1
3

1 1

3
1

1

3 1 3

1 1

0 1 1

x
x

x x

y x y y

   

  



 



 



  

 

      

x x

x 3 m x
m

Xet hµm sè f(x) D R y

lim lim






3

( )1 x2   

  

      



     




1 1

m(x ) - 2m - 1 0

2 x

x
1

Đặt t x §k t 2 (*)
x

3 - t

(2) m t ( - , - 2] (2 , )
t 2

3 - t

xt hµm sè f(t) t ( - , - 2] (2 , ) e
t 2

f  4t3     


- t

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vũ Ngọc Vinh
Ta có bảng biến thiên sau

t - -2 1 2 3 + 
f'(t) - - 0 + + 0 -

f(t) + + -6

-2 - -

Phương trình (1) có nghiệm x  R  (2) có nghiệm t sao cho

t ≥ 2  m ≥ v m ≤ -6

Ví dụ 4: Tìm a để phương trình sau có nghiệm
cos6x + sin6x = asin2x  (1)

Giải

(1)  3sin22x + 4asin2x - 4 = 0 (2)

Đặt sin2x = t §/k 0 ≤ t ≤ 1

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

t 0 1
y ' -

y +

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  (0,1]  m ≥
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải

(

y
0
x lim

0
t
víi

0

y

4
3

-y
(0,1]
t

3t

-y
Ỉt
§
3t

-2)
2
2



















2
1
4
4
4
4
t
t
a
t
(1)

0
3
)
2
(
5
)
4
(
2

2x2  m x m  x 

4

1

4
1
4
1



(

)

(

) (

)

( )

)

(

2
2
2

2

4

5

2

3

2

1

2

5

2

1

2

5

4

m

x

m

x

m

x





  































2
2

2x

(2)

(1)

x 3 (*)

5 ( x kh«ng phải là nghiệm)

2 xet hàm số f(x)

x [3,

)

2(x

f (x)

)

2

x

5



y







 

 







x 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có bảng biến thiên sau

x - 1 3 4 +

f'(x) + 0 - 0 - 0 +

f(x) 4 +

3
(1)cã nghiÖm  (2) cã nghiÖm x [3, +)  m ≥ 3
IV.BÀI TOÁN 4:

Xác định điều kiện để phương trình f(x) = k có đúng n nghiệm (n N)
* Phương phỏp.

Khảo sát hám số y = f(x) xác định các khoảng đơn điệu

- Xác định giao các tập giá trị của hàm số trong các khoảng đó
- Suy ra điều kiện cần tìm

Ví dụ1: Tìm m để phương trình sau

2 x2 - 5x + 4 = x2 -6x +m (1)

a) đúng 4 nghiệm d) có một nghiệm duy nhất
b) đúng 3 nghiệm e) vô nghiệm

c) đúng 2 nghiệm

Giải. (1)  2 x2 - 5x + 4 - x2 +6x = m (2)
Đặt f(x) = 2 x2 - 5x + 4 - x2 +6x

x - 1 2 8

3 4 +

x2 - 4x + 8
-3x2 + 16x + 8

f(x) + 40

3 +

5 8
Căn cứ vào bảng biến thiên của hµm sè

a) (1) cã 4 nghiƯm  5 < m <

b) (1) cã 3 nghiÖm  m = 8 c) (1) cã 2 nghiÖm  m > hc m < 8
d) (1) cã 1 nghiÖm  m = 5 e) (1) v« nghiƯm  m < 5

2
5

( )

f x

 

























2 x

4x

8 khi x 1 hc x 4

2 3x

16x

8 khi 1 x 4

3
40

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vũ Ngọc Vinh
Ví dụ2 : Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm

Giải

Ta có bảng biến thiên sau

x - 0 1 2 +

f'(x) - + - +

f(x) + 1 +

0 0
(1) cã 4 nghiÖm  0< < 1

 < m2 + m + 1 < 1

 -1 < m < 0

Ví dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc

(4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m - 2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = 0 (1)
Giải.

Do cosx = 0 kh«ng tháa m·n (1)

(1)  tg3x - (2m + 1)tg2x + 3(2m - 1)tgx - (4m - 3) = 0 (2)
Đặt tgx = t với x   t [0,1]

(2) t3 - (2m + 1) t2+ 3(2m - 1)t - (4m - 3) = 0
 (t - 1)(t2 - 2mt + 4m - 3)= 0

(1) có đúng một nghiệm trong  (4) khơng có nghiệm trong [0,1)



lo g

(

2

1

3

x















































2 2

2
2

2
1

x

2 x

m

1 ( 1 )

( 1 )

x

m

1 ) ( 2 )

x

2 x k h i

x 0 h o Ỉ c x 2

f ( x ) x

2 x

x k h i

0 x 2

)

1 m



(

log

3
1

]

[

4
,
o





 

4
,
0

(4)

m

2)

-2(t

t
(3)

1
t

(3)

0

3
4m
2mt
t













[

]

[

,



o

[ , )

( )

4 3

0 1

2

2 2
t

t
t

 

 

     



2
t

xet hµm sè f(t) 2(t - 2) t [0,1)
2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có bảng biến thiên sau

t 0 1

f'(t) +

f(t) 1
(4) kh«ng cã nghiÖm trong [0,1)  m < hc m  1

Ví dụ 4: Tìm a để phương trình x3 - x2 + 9ax - a = 0 có 3 nghiệm dương
Giải:

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

x - 0 1/9 1/3 +

y' + 0 - - 0 -
y 0 +

- - -

Căn cứ sự biến thiên của hàm số trong (0, +) thì khơng tồn tại a sao cho phương trình
có 3 nghiệm dương

V. BÀI TOÁN 5: Chøng minh r»ng f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong (a,b) 
* Phương pháp 1.

- Chøng minh f(x) liªn tơc trªn [a,b] . Cho ,   (a,b)
- ChØ ra f().f()≤ 0

* Phương pháp 2.

- Chọn F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D
- Xác định a, b D sao cho F(a) = F(b)

- áp dụng định lí Roll để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1:

4
3

( )

})

(

)

1 1

9 9

3

2

1

9

1

9

1

9

1

x

a

x

 

  

 





























  





x x

2
2

x

1 xet h µm sè y

( D R \ {

9 -2 x(3 x - 1 )

1 y

y 0

x 0 v x

3

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Vũ Ngọc Vinh

Chứng minh rằng phương trình a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0 (1)
ln có nghiệm với  a,b,c

Giải

Đặt f(x) = a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) ; f(x) liờn tục trờn R
f(a).f(b).f(c) = -3a2b2c2(a - b)2(a - c)2(b - c)2 ≤ 0  trong 4 số f(a) , f(b) , f(c) có ít
nhất một số khơng âm và một số không dương giả sử là f(), f() ; ,  {a, b ,c ,d}
( ) ; f().f()≤ 0  Điều phải chứng minh

VÝ dô 2:

Chứng minh rằng  a,b,c,d phương trình acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx = 0 (1)
luôn có nghiệm trong (0; )

Giải.

f(x) = acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx

Thì F'(x) = f(x) và F(0) = F() = 0  F(x) = 0cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong (0, )
VÝ dô 3:

Cho m > 0 vµ a, b, c tháa m·n:

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0,1)
Giải.

f(0) = f(1) = 0 (gt)

f'(x) = axm + 1 + bxm + cxm -1

áp dụng định lí Roll  x0(0,1) sao cho ax0m + 1 +bx0m + cx0m - 1 = 0

 ax02 + bx0 + c = 0  x0 là nghiệm của phương trình (1)

VI. BÀI TỐN 6: Chứng minh phương trình f(x) = k khơng có nghiệm trong D 
Phương phỏp

* Khảo sát hàm số y = f(x) để xác định tập giá trị của f(x) trên D
* Chỉ ra k khơng thuộc tập giá trị đó

VÝ dô 1:

Cho n  N , n chẵn , a > 3 chứng minh rằng phương trình
(n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + 2 = 0 (1)

Giải: §Ỉt f(x) = (n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + 2 D = R

f'(x) = (n + 1)(n + 2)xn +1 -3(n + 2)(n + 1)xn = (n + 1)(n + 2)xn(x - 3)
f'(x) = 0  x = 0 hc x = 3 Do n = 2k (k Z)

Ta có bảng biến thiên sau

x - 0 3 +

f'(x) - 0 - 0 +
x

d
x
c

x
b

x sin 2 sin

2
3
sin
3
4

sin   



4
a
F(x)
vµ

0
m

c
1
m

b
2
m







m
cx
1

m
bx
2

m
ax

f(x)  m 2  m 1  m








 y
lim

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

f(x) + +

m
m = an +2 - 3n + 2 > 0 (gt) VËy (1) v« nghiƯm
VÝ dơ 2:

Cho a > 0 , n  N chứng minh rằng phương trình sau vơ nghiệm

(1)
Giải: Xét

D = R
f'(x) = x2n + 1 - xn + 1 + x = x(x2n - xn + 1)

Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau

x - 0 +

y' - 0 +

y + +

a
Vây: miny = a > 0 nên (1) vô nghiệm
R






 y
lim

x
0
a
2
x
2
n
x
2
2n

x2n 2 n 2 2












 

 x2n 2  xn 2  x2 

f(x) 2n 2 n 2 2 a





          

2
3

2n n n 1

f (x) 0 x 0 (Do x x 1 x 0 víi R)
4

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vũ Ngọc Vinh
* MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài 1. Giải và biện luận phương trình :

Bài 2. Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3. Giải phương trình :

Bài 4. Giải bất phương trình: (3x – 9x) ( x3 - 2) > 0
Bài 5. Giải hệ phương trình:

Ầ

KẾT LUẬN

</div>

De tai phuong phap ham so giai va bien luan phuongtrinh he phuong trinh

<i>ĐỀ</i>

<i>À</i>

PH

<b>ƯƠNG PHÁP</b>

<b>Ầ</b>

<b>ĐẶT VẤN ĐỀ </b>

<b>Ầ</b>

<b> NỘI DUNG </b>

(

)

(

)

min

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>m</i>





 

<b>→ </b>

m

1

x

x

1

x

x













*

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>2</b>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

































2

2

X et hµm sè (x)

x

x

1

x

x

1 ; D R

2x

1

*

(x)

2

2

2 x

x

1

x

x

1