HD chuyen ngu 2008
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.68 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>thi vào chuyên ngữ Hà nội Năm học 2008-2009</b>
<i><b>(Ngày thi 8 tháng 6 năm 2008)</b></i>
<b>Câu 1 Cho biĨu thøc </b>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>P</i>
. 2
3
<b>Chøng minh r»ng P lu«n nhËn giá trị nguyên với mọi x,y thoả mÃn x,y>0,x</b><b>y</b>
<b>Giải</b>
Rút gọn P
2
2
.
)
(
2
2
.
)
.(
2
)
.(
2
2
.
)
.(
)
.(
2
.
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>P</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>P</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>P</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>P</i>
<b>P= 2 ( đpcm)</b>
<b>Câu 2</b> <b>1) Giải phơng trình :</b>3 <sub>1</sub> 3 <sub>2</sub> <sub>1</sub> 3 2 <sub>3</sub> <sub>2</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <b> </b>
<b> 2) Tìm x,y nguyên thoả mÃn phơng trình: x2 <sub> -xy </sub></b><sub></sub><b><sub>y +2 =0</sub></b>
<b>Giải</b>
1) ĐKXĐ <i>x</i><i>R</i>
t 3 <i>x</i>1<i>u</i>;3 <i>x</i>2<i>v</i>
1
:
1
0
)
1
)(
1
(
1
2
3
1
2
1 3 3 2
3
<i>v</i>
<i>hoac</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>uv</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Với u=1 thì x=0
Với v=1 thì x=-1
Vậy phơng tr×nh cã 2 nghiƯm x1=0;x2=-1.
2) xÐt PT: x2 <sub> -xy y +2 =0 (1) Coi phơng trình (1) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham </sub>
số y
PT (1) có nghiệm nguyên khi là số chính phơng
=y2 +4(y-2)=y2+4y-8 đặt =k2 (<i>k</i><i>Z</i>)
Ta cã: y2<sub>+4y-8 =k</sub>2 <sub></sub> <sub>(y+2)</sub>2<sub>-k</sub>2<sub>=12</sub><sub></sub> <sub>(y-k+2)(y+k+2)=12</sub>
y-k+2;y+k+2 cùng tính chẵn lẻ xét 12=2.6=(-2).(-6)
<b>ta đợc các nghiệm (x;y)=(-2;-6);(2;2); (-4;-6);(0;2).</b>
<b>* </b>Cã thĨ ®a vỊ dạng (x+1)(y-x+1)=3
<b>Câu 3</b>
<b>a)Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành</b>
<b>D</b>
<b>N</b>
<b>H</b>
<b>M</b>
<b>K</b>
<b>C</b>
<b>O</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Ta có
//
)1(
)90
(
)(
0
<i>CH</i>
<i>BM</i>
<i>AMB</i>
<i>AM</i>
<i>BM</i>
<i>gt</i>
<i>AM</i>
<i>CH</i>
Mặt kh¸c
)2(
)
(
)
(
)
90
(
0<i>BM</i>
<i>CH</i>
<i>BMK</i>
<i>CHK</i>
<i>dd</i>
<i>BKM</i>
<i>CKH</i>
<i>gt</i>
<i>KB</i>
<i>CK</i>
<i>BMK</i>
<i>CHK</i>
<b>Tõ (1 ) & (2) ta có tứ giác BHCM là hình bình hành (</b> <i><b>®pcm)</b></i>
b) chøng minh <i>OHC</i><i>OHM</i>
Ta cã <i>CHM</i> vuông tại H có <i>CMH</i> 450 nên <i>CHM</i> vuông cân tại H
suy ra CH=HM
xét 2 tam giác <i>OCH</i>;<i>OHM</i> có:
.(
).
)
(
)
(
)
(
<i>cc</i>
<i>c</i>
<i>OHM</i>
<i>OHC</i>
<i>chung</i>
<i>OH</i>
<i>cmt</i>
<i>HM</i>
<i>CH</i>
<i>bk</i>
<i>OM</i>
<i>OC</i>
c) Chứng minh D,H,B thẳng hàng
Vì tứ giác BHCM là hình bình hành nên BH//CM (3)
Ta lại có
<i>HM</i>
<i>CH</i>
<i>OM</i>
<i>OC</i>
OH là trung trực của CM,mà N thuộc OH nên NC=NM
Nên <i>CNM</i> cân tại N ,nªn<i>CMN</i> <i>MCN</i> cungCD=cungBM
)
4
(
//<i>CM</i>
<i>BD</i>
<i>CBD</i>
<i>MCB</i>
tõ (3)& (4) ta có <b>D,H,B thẳng hàng (đpcm)</b>
<b>Câu 4</b>:Tìm các nghiệm nhỏ hơn -1 của phơng trình
8
)
1
( 2
2
2 <sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Giải</b>
)
1
(
1
.
2
8
1
1
.
2
8
1
1
.
2
8
1
.
2
)
1
(
8
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Đặt
1
2
<i>x</i>
<i>x</i> <sub>=t ta có (1) </sub>
t2<sub>+2t-8=0</sub><sub></sub> <sub>(t-2)(t+4)=0</sub><sub></sub> <sub>t=2 hc t=-4</sub>
Với t=2 ta đợc phơng trình:x2<sub>-2x-2=0 có 2 nghiệm đều lớn hơn -1</sub>
Với t=-4 ta có phơng trình :x2<sub>+ 4x +4 =0 có nghiệm x=-2 thoả mÃn điều </sub>
kiện
<b>Câu 5</b>
<b>Cho a,b là các số không âm thoả mÃn </b> 2 2 2
<i>b</i>
<i>a</i> <b><sub> .</sub></b>
<b>HÃy tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc : </b>
)
2
(
3
)
2
(
3<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<i>M</i>
<b>Gi¶i</b>
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho 2 dãy
Dãy 1 : a ; b
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
12 3( ) 36 62
)
6
12
(
2
)
6
3
6
3
)(
(
)
)
2
(
3
)
2
(
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
<i>M</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>M</i>
<i>b</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>ba</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M=6 khi
1
;
0
,
0
2
)
2
(
3
)
2
(
3
2
2
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
</div>
<!--links-->
