Chuyên đề hàm số trong thi THPT QG

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021

NẮM TRỌN
CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ
(Dùng cho học sinh 11,12 và luyện thi Đại học năm 2021)

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020



LỜI NĨI ĐẦU
Các em học sinh, q thầy cơ và bạn đọc thân mến !
Kỳ thi THPT Quốc Gia là một trong những kỳ thi quan trọng nhất đối với mỗi chúng ta. Để có
thể tham dự và đạt được kết quả cao nhất thì việc trang bị đầy đủ kiến thức và kĩ năng cần thiết là
một điều vô cùng quan trọng. Thấu hiểu được điều đó, chúng tơi đã cúng nhau tiến hành biên soạn
bộ sách “ Nắm trọn các chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp các em học sinh ơn luyện và hồn
thiện những kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy và tham khảo cho quý thầy
cô trước sự thay đổi về phương pháp dạy học và kiểm tra của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Bộ sách chúng tôi biên soạn gồm 4 quyển:
•

Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số

•

Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit và Tích phân

•

Quyển 3: Hình học khơng gian

•

Quyển 4: Hình học Oxyz và Số phức

Trong mỗi cuốn sách, chúng tơi trình bày một cách rõ ràng và khoa học – tạo sự thuận lợi nhất
cho các em học tập và tham khảo. Đầu tiên là tóm tắt tồn bộ lý thuyết và phương pháp giải các
dạng toán. Tiếp theo là hệ thống các ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng ra đề của kỳ thi
THPT Quốc Gia các năm gần đây bao gồm 4 mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng và Vận
dụng cao. Cuối cùng là phần bài tập rèn luyện từ cơ bản đến nâng cao để các em hoàn thiện kiến
thức, rèn tư duy và rèn luyện tốc độ làm bài. Tất cả các bài tập trong sách chúng tôi đều tiến hành
giải chi tiết 100% để các em tiện lợi cho việc so sánh đáp án và tra cứu thơng tin.
Để có thể biên soạn đầy đủ và hoàn thiện bộ sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo một
số bài tốn trích từ đề thi của các Sở, trường Chun trên các nước và một số bài tốn của các
thầy/cơ trên tồn quốc. Chân thành cảm ơn q thầy cơ đã sáng tạo ra các bài toán hay và các
phương pháp giải tốn hiệu quả nhất.
Mặc dù nhóm tác giả đã tiến hành biên soạn và phản biện kĩ lưỡng nhất nhưng vẫn khơng tránh
khỏi sai sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi và đóng góp từ q thầy cơ,
các em học sinh và bạn đọc để cuốn sách trở nên hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp, q vị vui
lịng gửi về địa chỉ:
•

Gmail:

•

Fanpage: 2003 – ƠN THI THPT QUỐC GIA

Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, các em học sinh và quý bạn
đọc. Chúc quý vị có thể khai thác hiệu quả nhất các kiến thức khi cầm trên tay cuốn sách này !
Trân trọng./
NHÓM TÁC GIẢ


MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trang

Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, một đoạn……………………………….

8

Dạng 2: Tính đơn điệu dựa vào đồ thị, bảng biến thiên…………………………......................

25

Dạng 3: Tính đơn điệu của hàm hợp………………………………………………………………

72

Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối………………………………………

116

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ……………………………………………………

153

Dạng 1: Cực trị cho bởi công thức………………………………………………………………….

158

Dạng 2: Cực trị cho bởi đồ thị, bảng biến thiên………………………………………………….

173

Dạng 3: Cực trị tại một điểm cho trước…………………………………………………………....

209

Dạng 4: Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước……………………………………………………

224

Dạng 5: Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối………………………………………………….....

252

CHỦ ĐỀ 3: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ……………………..............................

275

Dạng 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng………………………………….…....

284

Dạng 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn…………………………………….….....

294

Dạng 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chứa giá trị tuyệt đối……………………………

322

Dạng 4: Ứng dụng……………………………………………………………………………………

357

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ…………………...……….………

388

Dạng 1: Tiệm cận chứa tham số………………………………………………….…………………

393

Dạng 2: Tiệm cận khơng chứa tham số……………………………………….………….………..

417

Dạng 3: Các dạng tốn tổng hợp……………………………………………………….……….….

459

CHỦ ĐỀ 5: ĐỒ THỊ HÀM SỐ………………………………………..................................

476

Dạng 1: Đọc và biến đổi đồ thị……………………………………………………….....................

479

CHỦ ĐỀ 6: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ…………………..…....

497

Dạng 1: Bài tập về sự tương giao…………………………………………………….……….……

506

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình……………………………….………….….....

550

CHỦ ĐỀ 7: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ……….………………...

598

Dạng 1: Bài tập về điểm đặc biệt của đồ thị hàm số…………………….…………....................

599

CHỦ ĐỀ 8: TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC…………………………………….…….

616

Dạng 1: Bài tập về tiếp tuyến và sự tiếp xúc……………………………………………..………

617

CHỦ ĐỀ 9: TỒN TẬP VỀ GHÉP TRỤC…………………………………..……….

653

Một số ví dụ về phương pháp ghép trục…………………………………………………..……..

659


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT
❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K .
• Định nghĩa 1.
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f ( x ) là một hàm số xác định
trên K, ta nói:
Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
❖ Nhận xét.
• Nhận xét 1.
▪ Nếu hàm số f ( x ) và g ( x ) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f ( x ) + g ( x ) cũng
đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể khơng đúng đối với hiệu f ( x ) − g ( x ) .
•

Nhận xét 2.

▪

Nếu hàm số f ( x ) và g ( x ) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì
hàm số f ( x ) .g ( x ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể khơng đúng khi
các hàm số f ( x ) , g ( x ) không là các hàm số dương trên D.

•

Nhận xét 3.

▪

Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x  ( a; b ) và u ( x )  ( c; d ) . Hàm số f u ( x )  cũng xác
định với x  ( a; b ) . Ta có nhận xét sau:

▪

Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x  ( a; b ) . Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến với
x  ( a; b )  f ( u ) đồng biến với u  ( c; d ) .

Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x  ( a; b ) . Khi đó, hàm số f u ( x )  nghịch biến với
x  ( a; b )  f ( u ) nghịch biến với u  ( c; d ) .
❖ Định lí 1.
• Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
▪

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' ( x )  0, x  K .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' ( x )  0, x  K .
❖ Định lí 2.
• Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
Nếu f ' ( x )  0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K.
Nếu f ' ( x )  0, x  K thì hàm số f nghịch biến trên K.
Nếu f ' ( x ) = 0, x  K thì hàm số f không đổi trên K.
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

1


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

❖ Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
•

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:
Nếu f  ( x )  0 , x  K và f  ( x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến
trên K .
Nếu f  ( x )  0 , x  K và f  ( x ) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến

trên K

Bài tốn 1. Tìm tham số m để hàm số y = f ( x ; m ) đơn điệu trên khoảng ( ;  ) .
•

Bước 1: Ghi điều kiện để y = f ( x ; m ) đơn điệu trên ( ;  ) . Chẳng hạn:

▪

Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến trên ( ;  )  y = f  ( x ; m )  0 .

▪

Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến trên ( ;  )  y = f  ( x ; m )  0 .

•

Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế cịn lại là g ( x ) , có hai trường hợp thường gặp :

▪

m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  max g ( x ) .

▪

m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  min g ( x ) .

•

Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g ( x ) trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị

( ;  )

( ;  )

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra m .
Bài tốn 2. Tìm tham số m để hàm số y =

ax + b
đơn điệu trên khoảng ( ;  ) .
cx + d

d
. Tính đạo hàm y  .
c

•

Tìm tập xác định, chẳng hạn x  −

•

Hàm số đồng biến  y  0 (hàm số nghịch biến  y  0 ). Giải ra tìm được m (1) .

•

Vì x  −

•

Lấy giao của (1) và ( 2 ) được các giá trị m cần tìm.

d
d
và có x  ( ;  ) nên −  ( ;  ) . Giải ra tìm được m ( 2 ) .
c
c

➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số f ( t ) đơn điệu một chiều trên miền D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
biến) thì phương trình f ( t ) = 0 có tối đa một nghiệm và u , v  D thì f ( u ) = f ( v )  u = v .

2

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

VÍ DỤ MINH HỌA

( )

VÍ DỤ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 ( x − 9 )( x − 4 ) . Khi đó hàm số y = f x 2
2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B. ( −3; 0 ) .

A. ( 3; + ) .

C. ( − ; −3 ) .

D. ( −2 ; 2 ) .

Lời giải
Chọn C
2
2
2

Ta có y =  f x 2  = x 2  x 4 x 2 − 9 x 2 − 4 = 2 x 5 ( x − 3 )( x + 3 )( x − 2 ) ( x + 2 ) .


Cho y = 0  x = −3 hoặc x = −2 hoặc x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = 3 .

( )

( ) (

)(

)

Ta có bảng xét dấu của y 

( )

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x 2 nghịch biến trên ( − ; −3 ) và ( 0 ; 3 ) .
có đồ thị hàm f  ( x ) như hình vẽ bên. Hỏi

VÍ DỤ 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên

(

)

hàm số y = f x 2 − 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

B. ( 0;1) .

A. ( −1; 0 ) .

C. ( −; 0 ) .

D. ( 0; + ) .

Lời giải
Chọn B

(

)

Ta có y = 2 x. f  x 2 − 1 .
x = 0
x = 0
x = 0

x
=
0




y = 0  2 x. f  x 2 − 1 = 0   x 2 − 1 = −2   x 2 = −1   2
 x = 1
x = 1
 x2 − 1 = 0
 x2 = 1
 x = −1



(

)

Ta có bảng biến thiên

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

3


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f ( x 2 − 1) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

(

)

VÍ DỤ 3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 2 ( x + 2 ) x 2 + mx + 5 với x 

(

. Số giá trị

)

nguyên âm của m để hàm số g ( x ) = f x 2 + x − 2 đồng biến trên khoảng ( 1; + ) là
B. 4 .

A. 3 .

D. 7 .

C. 5 .
Lời giải

Chọn B

(

)

Ta có g ' ( x ) = ( 2 x + 1) . f ' x 2 + x − 2 . Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; + )

(

)

 g ' ( x )  0 x  ( 1; + )  f ' x 2 + x − 2  0 x  (1; + )

(

) (x

(

)

 x2 + x − 2

2

2

+x

(

2

) (( x

2

)

(

)

)

+ x − 2 + m x 2 + x − 2 + 5  0 x  (1; + )
2

)

 x2 + x − 2 + m x2 + x − 2 + 5  0

(1)

x  ( 1; + ) .

Đặt t = x2 + x − 2 , x  ( 1; + )  t  0 .
Khi đó ( 1) trở thành t 2 + mt + 5  0 t  ( 0; + )  t +

5
 −m
t

(2)

t  ( 0; + )

Để ( 1) nghiệm đúng với mọi x  ( 1; + )  ( 2 ) nghiệm đúng với mọi t  ( 0; + ) .
Ta có h ( t ) = t +

5
5
 2 5 với t  ( 0; + ) . Dấu bằng xảy ra khi t =  t = 5 .
t
t

Suy ra Min ( h ( t ) ) = 2 5  ( 2 ) nghiệm đúng t  ( 0; + )  −m  2 5  m  −2 5 .
t( 0; + )

Vậy số giá trị nguyên âm của m là 4 .
VÍ DỤ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Bất phương trình f ( x )  e x + m đúng với mọi x  ( −1;1) khi và chỉ khi
2

A. m  f ( 0 ) − 1 .

B. m  f ( −1) − e .

C. m  f ( 0 ) − 1 .

D. m  f ( −1) − e .

Lời giải
4

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Chọn C
Có f ( x )  e x + m , x  ( −1;1)  m  g ( x ) = f ( x ) − e x , x  ( −1;1) (1)
2

2

 g ( x )  0, x  ( −1;0 )
Ta có g ( x ) = f  ( x ) − 2 x.e x có nghiệm x = 0  ( −1;1) và 
.
 g ( x )  0, x  ( 0;1)
2

Bảng biến thiên:

Do đó max g ( x ) = g ( 0 ) = f ( 0 ) − 1 . Ta được ( 1)  m  f ( 0 ) − 1 .
( −1;1)

VÍ DỤ 5. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f ( x)  3e x + 2 + m có nghiệm x  ( −2; 2 ) khi và chỉ khi:
A. m  f ( −2 ) − 3 .

B. m  f ( 2 ) − 3e 4 .

C. m  f ( 2 ) − 3e 4 .

D. m  f ( −2 ) − 3 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: f ( x)  3e x + 2 + m  f ( x) − 3e x + 2  m .
Đặt h ( x ) = f ( x) − 3e x + 2  h ( x ) = f  ( x ) − 3e x + 2 .

(

Vì x  ( −2; 2 ) , f  ( x )  3 và x  ( −2; 2 )  x + 2  ( 0; 4 )  3e x + 2  3; 3e 4

)

Nên h ( x ) = f  ( x ) − 3e x + 2  0, x  ( −2; 2 )  f (2) − 3e 4  h ( x )  f ( −2) − 3 .
Vậy bất phương trình f ( x)  3e x + 2 + m có nghiệm x  ( −2; 2 ) khi và chỉ khi m  f ( 2 ) − 3e 4 .
VÍ DỤ 6. Tổng các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số y =

sin x − 3
sin x − m

 
đồng biến trên khoảng  0;  .
 4

A. −2039187 .

B. 2022.

C. 2093193.

D. 2021.

Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định: sin x  m
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

5


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Ta có y =

cos x ( sin x − m ) − ( sin x − 3) cos x cos x ( 3 − m )
sin x − 3
 y =
=
.
2
2
sin x − m
( sin x − m )
( sin x − m )


2
 
Vì x   0;  nên cos x  0; sin x   0;



 4
 2 
 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  0; 
 4

Vì m 

3 − m  0
m  0

m  0
.
 
 2

m3
2

 2
  m  2

 m  −2019; −2018;...; −1; 0  1; 2

Vậy tổng các giá trị của tham số m là: S =

−2019 + 0
.2020 + 1 + 2 = −2039187 .
2

VÍ DỤ 7. Cho hàm số f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên.
Hàm số g ( x ) = f (1 − 2 x ) + x 2 − x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
y
1
–2

4

O

x

–2

 3
A. 1;  .
 2

 1
B.  0;  .
 2

C. ( −2; −1) .

D. ( 2;3) .

Lời giải
Chọn A
Cách 1:

Ta có: g ( x ) = f (1 − 2 x ) + x 2 − x  g  ( x ) = −2 f  (1 − 2 x ) + 2 x − 1 .

1− 2x
.
2
t
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = f  ( t ) và y = − .
2
Hàm số nghịch biến  g  ( x )  0  f  (1 − 2 x )  −

 −2  t  0
t
Dựa vào đồ thị ta có: f  ( t )  −  
.
2 t  4
3
1
x

 −2  1 − 2 x  0
2
 2
Khi đó: g ' ( x )  0  
.
1
−
2
x

4

3

x  −

2
Cách 2:

6

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Ta có: g ( x ) = f (1 − 2 x ) + x 2 − x  g  ( x ) = −2 f  (1 − 2 x ) + 2 x − 1 .

g  ( x ) = 0  f ' (1 − 2 x ) = −

1− 2x
.
2

t
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = f  ( t ) và y = − .
2

t = −2
t
Từ đồ thị ta có: f ' ( t ) = −  t = 0 . Khi đó:

2
t = 4
3

x = 2
1 − 2 x = −2

1


g ( x ) = 0  1 − 2 x = 0   x =
. Ta có bảng xét dấu:

2
1 − 2 x = 4

x = − 3

2

3

1 3
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến trên các khoảng  − ; −  và  ;  .
2

2 2
VÍ DỤ 7. Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) có một phần đồ thị biểu diễn đạo hàm f  ( x ) và g ( x ) như hình
vẽ dưới đây. Biết rằng hàm số y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a 2 x + 2021 luôn tồn tại một khoảng đồng biến là

( m; n ) . Tổng các giá trị nguyên dương

A. 5 .

a thỏa mãn là?

B. 6 .

C. 7 .

D. 8 .

Lời giải

Chọn B
Ta có đạo hàm: h ( x ) = f  ( x ) − g ( x ) − a 2 . Để hàm số đồng biến thì h ( x )  0 .
 a 2  f  ( x ) − g ( x ) . Từ đồ thị, ta có f  ( x ) − g ( x )  12  a 2  12 .

Suy ra số giá trị nguyên dương của a thỏa mãn là a  1; 2; 3 .
Vậy tổng các giá trị của a thỏa mãn là 6 .
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

7


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN.
Câu 1:

Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập
A. y = x 2 + 2 x + 1

Câu 2:

Câu 3:

B. y = x − sin x.

?
C. y =

3x + 2
.
5x + 7

1
5
Hàm số y = x 3 − x 2 + 6 x nghịch biến trên khoảng nào?
3
2
A. ( 2; 3 ) .
B. ( 1; 6 ) .
C. ( −6; −1) .

Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =

D. y = ln ( x + 3 ) .

D. ( −3; −2 ) .

3x − 1
là đúng?
x−2

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; 2 ) và ( 2; + ) .
B. Hàm số đồng biến trên

\2 .

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; 2 ) và ( 2; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên
Câu 4:

Câu 5:

Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; 0 ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; +  ) .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ( −; 2 ) và ( 2; + ) ?
A. y =

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

8

\2 .

x −1
.
x+2

B. y =

1
x−2

C. y =

2x − 5
.
x−2

D. y =

x −1
.
x−2

Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 3 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; + ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; + ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; 3 ) .

Cho hàm số f ( x ) =

x3 x2
3
− − 6x +
3
2
4

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 3 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên ( − ; −2 ) .

C. Hàm số đồng biến trên ( −2; + ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2; 3 ) .

Cho hàm số y = x 2 − 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; 0 ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +).

D. Hàm số đồng biến trên ( −; + ) .

Hàm số z2 − 4z + 5 = 0 đồng biến trên khoảng

1
 1

A.  −; − 
B.  − ; + 
2

 2


C. ( 0; + )

D. ( −; 0 )

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 10: Trong các hàm sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên
A. y = −

.

x


2 
B. y = 
 .
 2+ 3



1
.
2
x +1

C. y = − x 3 + 2 x 2 − 7 x . D. y = −4x + cos x .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạp hàm f  ( x ) = x 2 + 1 , x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; 0 ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ; + ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; + ) .

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đờng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập
2x + 1
xác định của nó. (  ) . y =
, (  ) . y = − x 4 + x 2 − 2 , (  ) . y = x 3 + 3x − 4 .
x+1
A. (  ) ; (  ) .
B. (  ) & ( II ) .
C. (  ) ; (  ) .
D. ( II ) .
1
Câu 13: Cho hàm số y = − x 3 + x 2 − x + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
A. Hàm số nghịch biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số đồng biến trên ( 1; +  ) và nghịch biến trên ( −;1) .

D. Hàm số đồng biến trên ( −;1) và nghịch biến trên ( 1; +  ) .
Câu 14: Cho hàm số y =

x+1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
1− x

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) và ( 1; + ) .

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −;1) và ( 1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;1)  ( 1; + ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;1)  ( 1; + ) .

Câu 15: Cho các hàm số y =
A. 0 .

x+1
, y = tan x , y = x 3 + x 2 + 4 x − 2017 . Số hàm số đồng biến trên
x+2
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .

là

Câu 16: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx 2 − ( m + 6 ) x nghịch biến trên khoảng ( −1; + )
A. −2  m  0 .
Câu 17: Cho hàm số y =

B. −2  m  0 .

C. m  −2 .

D. m  −2 .

2x + 1
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
−x + 1

A. Hàm số đồng biến trên
B. Hàm số nghịch biến trên

\1

\1

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; 1) và ( 1; +  )
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; 1) và ( 1; +  )
Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 2 x , x  . Hàm số y = −2 f ( x ) đồng biến trên
khoảng
A. ( −2; 0 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; + ) .

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

D. ( − ; −2 ) .
9


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
1
Câu 19: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 . Chọn khẳng định đúng.
4
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + ) .

B. Hàm đồng biến trên các khoảng ( − ; −2 ) và ( 0; 2 ) .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − ; −2 ) và ( 2; + ) .
Câu 20: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

1
1
x −1
A. y = x 4 – 2 x 2 – 1 .
B. y = x 3 − x 2 + 3x + 1 .C. y =
.
3
x+2
2

D. y = x 3 + 4 x 2 + 3x – 1 .

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ( 1; + ) ?
x

x −1
B. y = 2
.
x +2

A. y = log3 x .

1
C. y =   .
2

D. y =

x−3
.

x−2

Câu 22: Hàm số y = − x 4 + 4 x 2 + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?
A.

(

)

(

2 ; + .

)(

B. − 3; 0 ;

) (

)(

2 ; + .C. − 2;0 ;

)

(

)

2; + . D. − 2; 2 .

Câu 23: Hàm số y = x 3 − 3x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
C. ( 0; 2 ) .

B. ( −;1) .

A. ( −1;1) .

D. ( 2; +  ) .

Câu 24: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) ?
A. y = − x 3 + 3x 2 .

4 − x2
B. y =
.
x

C. y =

2x − 1
.
x −1

D. y =

x
.
ln x

Câu 25: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ( 1; 3 ) ?
1
x+1
A. y = x 3 − 2 x 2 + 3x + 1 .B. y =
.
3
x+2

Câu 26: Cho hàm số y =

C. y =

x2 − 2x + 1
.
x−2

D. y = x 2 + 1 .

2x + 5
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x+1
\−1 .

A. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ; −1) và ( −1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − ; −1) và ( −1; + ) .
D. Hàm số luôn luôn đồng biến trên

\−1 .

Câu 27: Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
A. x  .

B. ( −1; 0 ) và ( 1; + ) . C. ( −1; 0 ) .

Câu 28: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
x
A. y =
.
B. y = x + 1 .
x+1

10

C. y = x 4 + 1 .

D. ( 1; + ) .

D. y = x 2 + 1 .

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 29: Hàm số y = x 4 − 2 nghịch biến trên khoảng nào?

1

A.  −;  .
2


1

C.  ; +  .
2


B. ( −; 0 ) .

Câu 30: Cho hàm số f ( x ) =

D. ( 0; + ) .

3x + 1
. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
−x + 1

A. f ( x ) nghịch biến trên

B. f ( x ) đồng biến trên ( −;1) và ( 1; + ) .

.

C. f ( x ) nghịch biến trên ( −; −1)  ( 1; + ) .

D. f ( x ) đồng biến trên

.

Câu 31: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  −;   (1; +  ) .
3


1
B. Hàm số đồng biến trên  −;   (1; +  ) .
3


1

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; +   .
3

1 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  .
3 

Câu 32: Cho hàm y = x 2 − 6 x + 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; + ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; + ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; 3 ) .

Câu 33: Hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 2 nghịch biến trên.
A. ( −1; 0 ) ; ( 1; + ) .

B. ( −1;1) .

Câu 34: Hàm số nào sau đây đồng biến trên
A. y = x + 3 x + 1 .
3

Câu 35: Hàm số y =
A. ( −1; + ) .

C.

B. y = x − 3x + 1 .

x+2
nghịch biến trên các khoảng:
x −1

Câu 36: Cho hàm số y =

D. ( −; −1) ; ( 0;1) .

?

3

B. ( 1; + ) .

.

C. y = x 2 + 1 .

D. y = − x 2 + 1 .

C. ( −;1) ; ( 1; + ) .

D. ( 3; + ) .

x+3
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x−3

A. Hàm số nghịch biến trên
B. Hàm số đồng biến trên

\3 .

\3 .

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; 3 ) và ( 3; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; 3 ) và ( 3; + ) .
Câu 37: Tìm tất cả các khoảng đờng biến của hàm số y = 9 − x 2 .
A. ( 0; + ) .

B. ( −; 0 ) .

C. ( −3; 0 ) .

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.

D. ( 0; 3 ) .

11


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 38: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
B. y = −2 x 3 − 3x + 5 .

A. y = x 4 + 2 x 2 + 5 .

C. y = − x 4 − x 2 .

Câu 39: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
x −1
A. y = x 4 + 2 x 2 + 3
B. y =
C. y = − x 3 − x − 2
x+3
Câu 40: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ? .
x −1
A. y = x 3 − 3x 2 + 3x − 2 . B. y =
.
C. y = x 4 + 2 x 2 + 1 .

x+1

D. y =

x+1
.
−x + 3

D. y = x 3 + x 2 + 2 x + 1

D. y = −

x3
+ 3x + 2 .
3

( )

Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 ( x − 9 )( x − 4 ) . Khi đó hàm số y = f x 2 nghịch
2

biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 3; + ) .
B. ( −3; 0 ) .

C. ( − ; −3 ) .

D. ( −2 ; 2 ) .

Câu 42: Cho f ( x ) mà đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình bên. Hàm số y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng biến

trên khoảng

B. ( −1; 0 ) .

A. ( 1; 2 ) .
Câu 43: Cho

hàm

(

số

y = f ( x)

có

đạo

)

D. ( −2; −1) .

C. ( 0;1) .
hàm

f  ( x ) = x2 − 2x

với

x

mọi

.

Hàm

số

g ( x ) = f 2 − x 2 + 1 − x 2 + 1 − 3 đồng biến trên các khoảng nào dưới đây?

A. ( −2; −1) .

B. ( −1;1) .

Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. ( 2; 3 ) .

C. ( 1; 2 ) .

(

)

và có đạo hàm f  ( x ) = x 2 ( x − 2 ) x 2 − 6 x + m với mọi

x  R . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn −
 2019;2019  để hàm số g ( x ) = f ( 1 − x ) nghịch

biến trên khoảng ( − ; −1) ?
A. 2012 .

B. 2011 .

C. 2009 .

D. 2010 .

Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1) ( x − 2 ) với mọi x 
2

 5x 
g ( x) = f  2
 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
x +4

A. ( − ; − 2 ) .

12

B. ( −2 ;1) .

C. ( 0 ; 2 ) .

D. ( 2 ; 4 ) .

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”

. Hàm số


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 46: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

 x − 1  x3 3 2
Xét hàm số g ( x ) = f 
 − + x − 2 x + 3 . Khẳng định nào sau đây sai?
 2  3 2

A. Hàm số g ( x ) nghịch biến trong khoảng ( −1; 0 ) .
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trong khoảng ( −4; −1) .
D. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2; 3 ) .
Câu 47: Tìm

tập

hợp

S

tất

cả

các

giá

trị

của

tham

số

thực

1
y = x 3 − (m + 1)x 2 + (m 2 + 2 m)x − 3 nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
3

A. S = −
 1;0  .

C. S = −1 .

B. S =  .

m

để

hàm

số

D. S = 1 .

(

)

1
1
Câu 48: Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = m2 x 5 − mx 3 + 10 x 2 − m2 − m − 20 x + 1 đồng
5
3
biến trên
bằng
1
5
3
A. .
B. −2 .
C. .
D. .
2
2
2
2
Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x ) = ( x − 2 )( x + 5 )( x + 1) . Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?
A. ( 0;1) .

B. ( −1;0 ) .

C. ( −2; −1) .

D. ( −2; 0 ) .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f  ( x ) như hình bên. Đặt g ( x ) = f ( x ) − x . Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
2

y

1
x
−1

O
−1

1

2

A. g ( 1)  g ( −1)  g ( 2 ) .

B. g ( −1)  g ( 1)  g ( 2 ) .

C. g ( 2 )  g ( 1)  g ( −1) .

D. g ( 2 )  g ( −1)  g ( 1) .

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

13


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

BẢNG ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Câu 2:

Chọn B
Ta có hàm số y = x − sin x có tập xác định D =

và y = 1 − cos x  0 với mọi x 

nên luôn

đồng biến trên .
Chọn A
Ta có: y = x 2 − 5 x + 6 ; y  0  x 2 − 5x + 6  0  2  x  3
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; 3 ) .

Câu 3:

Chọn A
Ta có y =

−5

( x − 2)

2

 0, x  2 .

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; 2 ) và ( 2; + ) .
Câu 4:

Chọn C
x = 0
Ta có: y = 3 x 2 − 6 x ; y = 0  
.
x = 2
Bảng xét dấu:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) và đồng biến trên các khoảng ( −; 0 ) ; ( 2; +  ) .
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:

Chọn C
Chọn A
Chọn A

Ta có f  ( x ) = x 2 − x − 6 có hai nghiệm phân biệt là −2 và 3 .
f  ( x )  0  x  ( −2; 3 ) . Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 3 ) .

Câu 8:

Câu 9:

Chọn A

Hàm số có tập xác định D = ( −; −1  1; + ) nên loại A, B, D.
Chọn C
y = 8 x 3  y = 0  x = 0  y  0  x  0 ; y  0  x  0 .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + )

14

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 10: Chọn A
Với y = −

1
2x
ta có y =
x +1
x2 + 1

(

2

)

2

y  0 khi x  0 và y  0 khi x  0 nên hàm số không nghịch biến trên

Câu 11: Chọn C
Ta có f  ( x ) = x 2 + 1  0, x 

 Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ; + ) .

Câu 12: Chọn D

( I ) : TXĐ: D =

\−1 . y =

1

( x + 1)

2

 0 x  \−1  ( I ) không thỏa.

( Nhận xét: đây là hàm nhất biến nên không thỏa).

( II ) : TXĐ: D =


x = 0

2
3
, y  = −4 x + 2 x , y  = 0   x =
.

2

x = − 2

2

Bảng xét dấu.

.

Vậy ( II ) thỏa.

(Nhận xét, y = 0 là phương trình bậc ba có đủ 3 nghiệm nên ln đổi dấu trên

( III ) : TXĐ: D =

nên ( II ) thỏa).

, y = 3 x 2 + 3  0 x  . Vậy ( III ) không thỏa.

Câu 13: Chọn A
y = − x 2 + 2 x − 1 = − ( x − 1)  0, x 
2

nên hàm số nghịch biến trên

.

Câu 14: Chọn A
Hàm số y =

x+1
có tập xác định D =
1− x

\1 và có đạo hàm y =

2

( x − 1)

2

 0  x  D nên khẳng

định A đúng.
Câu 15: Chọn C
Loại hai hàm số y =

x+1
, y = tan x vì khơng xác định trên
x+2

.

Với hàm số y = x 3 + x 2 + 4 x − 2017 ta có y ' = 3 x 2 + 2 x + 4  0, x 

nên hàm số đồng biến trên

.
Câu 16: Chọn A

y = 2mx − ( m + 6 ) . Theo u cầu bài tốn ta có y  0, x  ( −1; + ) .
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

15


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Ta có 2mx − ( m + 6 )  0  m 

Xét hàm số g ( x ) =

6
.
2x − 1

6
với x  ( −1; + ) .
2x − 1

.
Vậy −2  m  0 .
Câu 17: Chọn C
Tập xác định D = \1
Ta có y =

3

( −x + 1)

2

 0 với mọi x  1 .

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; 1) và ( 1; +  ) .
Câu 18: Chọn B
Ta có: y = −2 f  ( x ) = −2 x 2 + 4 x  0  x  ( 0; 2 ) .
Suy ra: Hàm số y = −2 f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 )
Câu 19: Chọn C
x = 0
Phân tích: Xét phương trình y = 0  x3 − 4x = 0  
.
 x = 2
1
Theo dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a =  0 nên ở đây ta có thể xác định nhanh
4

hàm số đờng biến trên ( −2; 0 ) và ( 2; + ) , hàm số nghịch biến trên ( − ; −2 ) và ( 0; 2 ) .

Câu 20: Chọn B
2

1
1

1  11
Hàm số y = x 3 − x 2 + 3x + 1 có y = x 2 − x + 3 =  x −  +  0, x 
3
2
2
4


.

Câu 21: Chọn A
Ta có hàm số y = a x , y = log a x đồng biến trên tập xác định nếu a  1 .
Do đó hàm số y = log3 x đờng biến trên ( 0; + ) . .
Câu 22: Chọn C

(

)

y = −4 x 3 + 8 x = 4 x − x 2 + 2 = 0  x = 0, x =  2 .

Câu 23: Chọn C

Ta có y = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) .
Do đó, y  0  x  0  2 .
Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên ( 0; 2 ) .
Câu 24: Chọn A
Xét hàm số y = − x 3 + 3x 2 có y = −3x 2 + 6 x .
16

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
y = 0  −3x 2 + 6 x = 0  x = 0 hoặc x = 2 .

Xét dấu y  ta có hàm số đờng biến trên ( 0; 2 ) .
Câu 25: Chọn A
x = 1
1
Xét hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x + 1 .Ta có y = x 2 − 4 x + 3 . y = 0  
.
3
x = 3

Bảng biến thiên.

.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 3 ) .
Câu 26: Chọn C
−3

y =
 0  Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − ; −1) và ( −1; + ) .
2
( x + 1)
Câu 27: Chọn B
x
y'

-1

-∞
-

0

1

0
+

0

-

+∞

0 +

y

Hàm số y = x − 2 x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng ( −1; 0 ); ( 1; + ) .
4

.

2

Câu 28: Chọn B
Hàm số y = x + 1 xác định trên

và có đạo hàm y = 1  0, x 

nên hàm số đờng biến trên

.
Câu 29: Chọn B
Ta có: y = x 3 . Hàm số nghịch biến  y = x 3  0  x  0 .
Câu 30: Chọn B
Tập xác định D = \1 . f  ( x ) =

4

( −x + 1)

2

 0 , x  1 .

Vậy hàm đã cho đồng biến trên các khoảng ( −;1) và ( 1; + ) .
Câu 31: Chọn D

x = 1
Ta có y = 3x − 4 x + 1 . y = 0  
.
x = 1

3

Bảng xét dấu y :
2

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

17


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1 
Dựa vào bảng xét dấu ta có y  0 x   ;1  nên hàm số nghịch biến trên khoảng
3 
Câu 32: Chọn A
x−3
Tập xác định: D = ( −;1   5; + ) . Ta có y =
 0 , x  ( 5; + ) .
x2 − 6x + 5

1 
 ;1  .
3 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; + ) .

Câu 33: Chọn A
x = 0
Ta có y = −4 x 3 + 4 x . y = 0  
.
 x = 1
Bảng biến thiên:

.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) ; ( 1; + ) .
Câu 34: Chọn A
Hàm số y = − x 2 + 1 luôn nghịch biến trên

.

Hàm số y = x 3 − 3x + 1 có y = x 2 − 3 nên hàm số không thể đồng biến trên
Hàm số y = x 2 + 1 có y = 2x nên hàm số không thể đồng biến trên

.

.

Hàm số y = x 3 + 3 x + 1 có: y = 3x 2 + 3  0 x .
Câu 35: Chọn C
TXĐ: D = \1 . y =

−3

( x − 1)

2

 0, x  D .

Suy ra: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −;1) ; ( 1; + ) .
Câu 36: Chọn D
Tập xác định D =
Ta có y =

−6

( x − 3)

2

\3 .

 0, x  D do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; 3 ) và ( 3; + ) .

Câu 37: Chọn C
Tập xác định D = −
 3; 3  .
Ta có y / =

18

−x

9−x

2

; y /  0 x  ( 0; 3 ) , suy ra hàm số đã cho đồng biến trên ( −3; 0 ) .
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Câu 38: Chọn B
Hàm trùng phương không nghịch biến trên tập xác định của nó.
x+1
4
Với y =
ta có: y =
 0, x  3 . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
2
−x + 3
−
x
+
3
(
)
Với y = −2 x 3 − 3x + 5 ta có: y = −6 x 2 − 3  0, x 

. Hàm số nghịch biến trên

.

Câu 39: Chọn D
Xét hàm: y = x 3 + x 2 + 2 x + 1 .
Ta có: y = 3 x 2 + 2 x + 2  0 x  , nên hàm số luôn đồng biến trên

.

Câu 40: Chọn A
Ta có y = x 3 − 3x 2 + 3x − 2  y = 3x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1)  0 x 
2

Vậy y = x 3 − 3x 2 + 3x − 2 đồng biến trên

và y = 0 chỉ tại x = 1 .

.

Câu 41: Chọn C
2
2
2

Ta có y =  f x 2  = x 2  x 4 x 2 − 9 x 2 − 4 = 2 x 5 ( x − 3 )( x + 3 )( x − 2 ) ( x + 2 ) .


Cho y = 0  x = −3 hoặc x = −2 hoặc x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = 3 .

( )

( ) (

)(

)

Ta có bảng xét dấu của y 

( )

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x 2 nghịch biến trên ( − ; −3 ) và ( 0 ; 3 ) .
Câu 42: Chọn A
Ta có y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x
Khi đó y = f  ( x − 1) + 2 x − 2 . Hàm số đồng biến khi y  0  f  ( x − 1) + 2 ( x − 1)  0 ( 1)
Đặt t = x − 1 thì ( 1) trở thành: f  ( t ) + 2t  0  f  ( t )  −2t .
Quan sát đồ thị hàm số y = f  ( t ) và y = −2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

19


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Khi đó ta thấy với t  ( 0;1) thì đờ thị hàm số y = f  ( t ) luôn nằm trên đường thẳng y = −2t .
Suy ra f  ( t ) + 2t  0, t  ( 0;1) . Do đó x  ( 1; 2 ) thì hàm số y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng biến.
Câu 43: Chọn A

)

(

−x

2
Ta có g( x) = f  2 − x + 1 .

x +1
2

−

x
x +1
2

=

(

−x

)

 f  2 − x2 + 1 + 1 .

x + 1 
2

Vì f  ( x ) = x 2 − 2 x = ( x − 1) − 1 nên f ( x)  −1 , x 
2

(

hay f  ( x ) + 1  0 , x  .

)

f  ( x ) = −1  x 2 − 2 x = −1  x = 1 . Do đó f  2 − x + 1 + 1 + 1  0 , x 

)

(

)

(

2

.

2
2
2
Và f  2 − x + 1 + 1 = 0  f  2 − x + 1 = −1  2 − x + 1 = 1  x = 0 .

BBT:

x

∞

0
+

g'(x)

+∞

0
0

g(x)

∞

∞
Dựa vào BBT, suy ra hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −; 0 ) .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên ( −2; −1) .
Câu 44: Chọn B
Ta có:


2
2
g  ( x ) = f  ( 1 − x ) . ( 1 − x ) = − ( 1 − x ) ( − x − 1) x 2 + 4 x − 5 + m = ( 1 − x ) ( x + 1 ) x 2 + 4 x − 5 + m .

(

)

(

)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ; −1) thì g ( x )  0 , bằng không tại một số điểm hữu hạn
với mọi x  ( − ; −1) .
Do ( 1 − x ) ( x + 1)  0 với mọi x  ( − ; −1) , nên
2

g ( x )  0 với mọi x  ( − ; −1)  x2 + 4x − 5 + m  0 với mọi x  ( − ; −1)  m  −x2 − 4x + 5

với mọi x  ( − ; −1) .
Xét hàm số h ( x ) = − x 2 − 4 x + 5 trên ( − ; −1) . Ta có bảng biến thiên:

20

Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Từ bảng biến thiên suy ra m  9 , kết hợp với điều kiện m nguyên và thuộc đoạn −
 2019; 2019 
suy ra có 2011 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45: Chọn D
x = 0


Cho f  ( x ) = 0  x ( x − 1) ( x − 2 )   x = 1(nghiem_kep)
 x = 2
2

Ta có g ( x ) =

−5x2 + 20

(x

2

+4

)

2

−5x2 + 20  5x 
 5x 

.
Cho
g
x
=
0

f  2

f  2
( )
=0

2
2
x
+
4

x +4

x +4

(

)

 −5x 2 + 20 = 0

 x = 2
 5x = 0

 x2 + 4
x=0
Dựa và f  ( x ) ta có:  5x

 x = 1( nghiem_kep)
 2
=1


x + 4
 x = 4(nghiem_kep)
 5x
=
2
 2
x + 4

Bảng xét dấu

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; 4 ) .
Câu 46: Chọn B
Cách 1: Ta có g ( x ) =

1  x −1
2
f 
 − x − 3x + 2
2  2 

(

)

x −1
5
 2 =−2

 x = −4

x −1
5
 x − 1 = −1

 2 −2
 x  −4
x
=
−
1
 2

x
−
1

 x −1


f 
 = 0   x − 1 1  x = 2 ; f  2   0   1 x − 1


 2 
 
2  x  7

3
=


 2
2
2
 2
 x = 7
x −1
=3

 2
Bảng xét dấu cho các biểu thức

Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.

21