Tich phan vo ti tSy hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (249.5 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 5. ( Tiết 3)

TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ
I. KIẾN THỨC

1. Cần nhớ một số cơng thức tìm nguyên hàm sau :
-



2f x'( )f x( )dx f x( )C

- 2 2

dx x x b C

x b    



- Mở rộng : 2 2

'( )

ln ( ) ( )
( )

u x

du u x u x b C

u x b    



2. Rèn luyện tốt kỹ năng phân tích hàm số dưới dấu tích phân , nhất là kiến thức về
căn thức

II. MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
1. Tích phân dạng : 2 1





I dx a

bx c




 

 



a. Lý thuyết :

Từ :

2
2

2
f(x)=ax

2 4

b

x u

b a

bx c a x du dx

a a

K
a



 


    

           



 

  

  



Khi đó ta có :

- Nếu



2 2



2 2

0,a 0 f x( ) a u k f x( ) a u. k

         (1)

- Nếu :

2 0

0 ( )

( ) .

a
b

f x a x b

f x a x a u

a





 

        

  

  



(2)
- Nếu :  0.

+/ Với a>0 : f x( )a x x



 1

 

x x 2



 f x( ) a.



x x 1

 

x x 2



(3)

+/ Với a<0 : f x( )a x



1 x x

 

2 x



 f x( ) a.



x1 x x

 

2 x



(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

b. Cách giải .

*. Trường hợp : 0,a 0 f x( ) a u



2 k2



f x( ) a u. 2 k2

        

Khi đó đặt :





2
2

0 1

2
;

2 2

ax .

t c

x dx tdt

b a b a

bx c t ax

bx c t a x

x t t x t t t c

t a x t a

b a

 

 

 



 

   

 

       

     



  

  






*. Trường hợp :

2 0

0 ( )

( ) .

a
b

f x a x b

f x a x a u

a





 

        

  

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Khi đó :

ln : 0

2 2

1 1 1

ln : 0

2 2 2 2

b b

x x

a a

a

I dx dx

b a b b b

a x x x x

a a a a a

 

 




  

  

  

 



  



 

      

 

 





*. Trường hợp :  0,a0

- Đặt :



 











1
2

1 2

ax bx c a x x x x x x t

x x t




     



*. Trường hợp :  0,a0

- Đặt :



 











1
2

1 2

ax bx c a x x x x x x t

x x t




     




3. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính tích phân sau :

1
2

1 2 5

dx
I

x x





 



. ( a>0 )
Giải

-Ta có :  ' 4 0, a 1 0

- Đặt : x2 2x 5 t x t x x2 2x 5 t 1 x 1 x2 2x 5
                .

2 2 2

1
1

2 5 2 5 2 5

x t dt dx

dt dx dx

t

x x x x x x

  

      



     

 

- Khi : x=-1,t= 8 1 ,x=1,t=3
Do đó:

 

1 3

1 2 5 2 2 1 1

dx dt

I

t

x x

 

  


 



Vậy













3 2

ln 1 ln ln 2 1

2 2 1 2 2 1

I  t   

 

Ví dụ 2. Tính tích phân sau .
2

2
0

1
1 2

I dx

x x



 



. ( a<0 )

Giải

Ta có : 2







 



1 1 1

( ) (*)

1 2 2 1 2 1 2 1

f x

x x x x x

  

        .

* Nếu theo phương pháp chung thì :

- Đặt :



2 1 x

 

2 1 x

 

2 1 x t





2 1 x

 

2 1 x



t2



2 1 x



              



 







2
2

2 1 2 1

t

x x t x

t

  

       



. ...

- Nói chung cách giải này dài . Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn )
* Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1.

- Đặt :





2 ostdt.x=0 t=- ; 2

4 4

1 2 sin 1

( ) 2 ostdt=dt

2 1 sin

dx c x t

x t

f x dx c

t

 



    




   









. Vì : ; ost>0
4 4

t  c

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Vậy :
4

4 4 2

I dt t






  




    





2. Tích phân dạng : 2





mx n

I dx a

bx c






 

 



Phương pháp :

b.1 : Phân tích





 

2 2 2

. ax

( ) 1

ax ax ax

A d bx c

mx n B

f x

bx c bx c bx c

 


  

     

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

b.4. Tính I =





2 ax

A bx c B dx

bx c




  

 



(2)

Trong đó 2 1





ax bx cdx a





 



đã biết cách tính ở trên

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính tích phân sau

1
2
1

2 5

x

I dx

x x






 



. (a>0)

Giải

- Ta có : ( ) 2 2 2



2 2



2 2 2 2

 

2 5 2 5 2 5 2 5

A x

x B Ax B A

f x

x x x x x x x x



  

   

       

- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :





2 2

1 2 2

2 1 2 1

( ) 3

2 2 3 2 5 2 5

x

A A

f x

B A B x x x x

 

 

 

   

 

     

  

- Vậy :





1 1 1

2 2

1 1 1

1 1

( ) 3

2 5 2 5

x dx

I f x dx dx

x x x x

  



  

   



Theo kết quả trên , ta có kết quả :



2 2 5



1 3ln



2 1



2 2 2 3ln



2 1



I  x  x      



Ví dụ. 2 Tính tích phân sau
2

2
0

2 3

1 2

x

I dx

x x




 



Giải

- Ta có : 2 3 2



2 2



2 2 2



2 2



1 2 1 2 1 2 1 2

A x Ax A B

x B

x x x x x x x x

   



  

       

- Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : 2 2 1

2 3 1

A A

A B B

  

 



 

  

 

- Vậy :









 

2 2 2

0 0 0

1 1 1

2 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2

x dx

I dx x x dx

x x x x x x



     

     

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Theo kết quả đã tính ở ví dụ trên ta có :

I  

Ví dụ 3. Tính tích phân sau





2
0

4 5

x dx

I

x x




 



Giải

- Học sinh tự giải theo hướng dẫn .
- Sau đây là cách giải nhanh .

+/ Ta có : ( )



2 4





2 2



2 2

4 5 4 5 4 5

x x

f x

x x x x x x

 

  

     

+/ Vậy :













1 1 1

2 2 2

0 0 0

4 1 2 2 1 1

2 ln 4 1 2

2 2

4 5 4 5 2 1

x dx x dx

I dx x x J

x x x x x

 

      

     



(1)

+/ Tính J : Đặt

















2 2

2 2 1 1

2 1 2 1

x t

t x x dt dx dx

x x

 



 

        

     

 

Hay :





2 1

dt dx

t  x  . Khi x=0, t=2+ 5; x=1, t=3+ 10.

+/ Do đó :

3 10

2 5

3 10 3 10

ln ln

2 5

dt

J t

t




 

 

    

  

  



. Thay vào (1) ta tìm được I

3 10
10 5 2ln

2 5

I      

  

 

3. Tích phân dạng :









0
ax

I dx a

mx n bx c




 

  



Phương pháp :

b.1. Phân tích :





2 2

1 1

ax n ax

mx n bx c m x bx c

m



 

     

 

 

. (1)

b.2 Đặt : 2

1 1

1 1 1

n

y t dy dx

x t m x t

n
x

y m

x t bx c a t b t c

y y y

  

    


   


   

   

             



   



b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :
'

2
'

dy
I

Ly My N






 



. Tích phân này chúng ta đã
biết cách tính .

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính tích phân sau





2 1 2 3

dx

x x  x



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Đặt :

1 1

1 ;

1
1

2 1; 3

x dx

y y

x

y

x y x y



  



   

      



- Khi đó :

2 2 2

2 2

4 1

1 1 1 4 1

2 3 1 2 1 3 4 y 2 3 y

x x x x

y y y y y



    

                  

   

- Vậy :





1
2

2
2

1 2

1 1 1 1

ln 1 ln 2 3

2 1 2 4 2

4 1

2
4

dy dy

I y y

y y

      





Ví dụ 2. Tính tích phân sau









2
0

3 2

1 3 3

x dx

x x x



  



Giải

- Trước hết ta phân tích :

























2 2 2 2 2

3 2 3 1 1 3 1

1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3

x x

x x x x x x x x x x x x x x

 

   

             

* Học sinh tự tính hai tích phân này .
Đáp số : 3ln5 2 7 ln 2 7

3 2 3 3 2 3

I    

 

4. Tích phân dạng : I R x y dx



;



R x;m x dx
x

 

 

 
 

  

   

  

 



( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và    , , , là các hằng
số đã biết )

Phương pháp :
b.1 Đặt : t=m x

x

 

 



 (1)

b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x

 

t

b.3. Tính vi phân hai vế : dx='

 

t dt và đổi cận

b.4. Cuối cùng ta tính :



 



 

'
'

;m x ; '

R x dx R t t t dt

x

 

 

 

 

 

  



 

  

 



VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính tích phân sau

11 1

x
dx
x

 



Giải

- Đặt :

2 3

1; 2 ; 1 0, 2 1

1 1 2

( ) 2 2 2

1 1 1

x t dx tdt x t x t

x t t t t

f x dx tdt dt t t dt

t t t

         



       

      



    


- Vậy :

2 1

1 0

2 11

2 4ln 2

1 3

1 1

x

dx t t dt

t
x

 

       


   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
2

x

a dx

x x



3 2

. 1

b



x x dx

9
3
1

. 1

c



x  xdx

3 5 3

2
0

2
.

x x

d dx

x






4
1

2
.

5 4

dx
e

x





 

2 4

5
0

x

f dx

x 



GIẢI

2
1

x

a dx

x x



 Đặt :

1 2 1

0 0

2 1 1

1 1 2 2

1 0, 2 1 1 1

dx tdt t

t x x t I tdt t dt

x t x t t t



   

            

         





 Vậy : I 221t2 lnt  011

 

3 3

3 2 2 2

0 0

. 1 1

b



x x dx



x x xdx.

 Đặt :





2 2 2 2 2

1 1 1

0 1, 3 2

xdx tdt

t x x t I t t dt

x t x t




        

     





 Vậy :





4 2 5 3

1 1 58

5 3 15

I  t  t dt t  t  

 



9
3
1

. 1

c



x  xdx.

 Đặt :









2 2

1 1 1 . 2

1 0, 9 2

dx tdt

t x x t I t t tdt

x t x t






         

     





 Vậy :





2 4 3 5

1 1 112

2 2

3 5 15

I t t dt t t



 

      



 







2 2

3 5 3 3

2 2

0 0

2
2

1 1

x x xdx

x x

d dx

x x






 



 Đặt :



 







2 2

2 2 2 2

2 4

1 1

1 1 .2

1 2 1

0 1, 3 2

t t t tdt

x t xdx tdt

t x I t tdt

t

x t x t

 

   

       

     





 Vậy : 2 1 5 1 2 2 59
1

5 2 5

I   t  t  

 

4
1

2
.

5 4

dx
e

x





 

.
 Đặt :

3 3

2 2

5, 2 2.2 4

5 4 1

4 4

1 2, 4 3

x t dx tdt tdt

t x I dt

t t

x t x t

     

         

 

       





 Vậy : 4



4 ln 4



3 4 4 ln 6 ln 7





4 4ln6

2 7

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>









2 4 2

5 5

0 0

1 2

1 2 2

. 1 33 1

5 5 5

1 1

d x
x

f dx x

x x



    

 



Ví dụ 3. Tính các tích phân sau :
1

5 2

. 1

a



x  x dx

2 3

. 1 .

b



x x dx

2 2

. 4

c



x  x dx

2
1

2 2

xdx
d

x x

  



0
1

. 1

e x xdx







3 2

. 3

f



x x  dx

GIẢI

1 1

5 2 4 2

0 0

. 1 1

a



x  x dx



x  x xdx

 Đặt :













0 1

2 2

2 2 2 4 2

1 0

1 ;

1 1 . 2 1

0 1, 1 0

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t t dt

x t x t

   

          

     





 Vậy : 1 7 2 5 1 3 1 8
0

7 5 3 105

I  t  t  t  

 

3 3

2 3 2 2

0 0

. 1 . 1

b



x x dx



x x xdx

 Đặt :









2 2 2 2

2 2 4 2

1 1

1 1 .

0 1, 3 2

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     





 Vậy : I 15t5 13t3 125815

 

2 2

. 4

c



x  x dx.

 Đặt :

2 2

0 0

2 ost ; 4 ost

2sin 4sin .2cos .2cos 4sin 2

x=0 t=0.x=2 t=
2

dx c dt x c

x t I t t tdt tdt

 



   



    



 





 Vậy :





2
0

1 os4t sin 4 2

4 2

I c dt t t






 

     

 















2 2 2 1 1

2 2

1 1 1

1 1

. 2 2 2 2

2 2

xdx

d x x dx x x dx

x x

 

         

    



- Vậy : 1 2





32 2





32 2 22 3

2 3 3 9

I   x   x   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

0
1

. 1

e x xdx







 Đặt :









1 1

2 4 2

0 0

1; 2

1 1 .2 2

1 0, 0 1

x t dx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     





 Vậy : 2 1 5 1 3 10 2 1 1 4

5 3 5 3 15

I   t  t     

   

1 1

3 2 2 2

0 0

. 3 3.

f



x x  dx



x x  xdx

 Đặt :









2 2 2 2

2 2 4 2

3 3

3 1 .

0 3, 1 2

x t xdx tdt

t x I t t tdt t t dt

x t x t

   

        

     





 Vậy : 15 5 13 3 2 56 12 315
3

I  t  t   

 

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau :
3

3
.

3 1 3

x

a dx

x x




  



10
5

2 1

dx
b

x x







1 2

2
3

x x

c dx

x






5 2

. 1

d



x x  dx

3 2

. 1

e



x  x dx

GIẢI

3
1

3
.

3 1 3

x

a dx

x x




  



 Đặt : t x 1 x t 2 1 dxx 21tdt t 0;x 3 t 2
     


 Vậy :



 





 



2 2 2 2

2
2

0 0 0

2 2

4 3 1

2 2 2 3 2 3 3ln 2

3 2 1 2 2 2

t t t

t

I tdt dt t dt t t t

t t t t t

 

    

            

        



 Do đó : I6ln 2 8





10 10 10

5 5 5

2 1 1 2 1 1 1 1

dx dx dx

b

x x  x  x   x 



- Đặt :













2 2 2

1; 2 . 5 2; 10 3

2 1 1

( ) 2

1 1

x t dx tdt x t x t

dx tdt

t x

f x dx dt

t

t t

x

         



  

   

     

       

 



- Vậy :





10 3

5 2

1 1 1

( ) 2 2 ln 1 2ln 2 1

1 1 1

I f x dx dt t

t t t

   

           

      

 























1 2 1 1 3 1

2 2 2

3 3 3

0 0 0 0

1
1

. 1

1 1 1

x x dx

x x dx

x x

c dx x x dx

x x x






   

  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

- Đặt :









3 2 3

3 2 6 3

1, 3 . 0 1; 1 2

( ) 1 1 .3 3 3

x t dx t dt x t x t

t x

f x dx x x dx t t t dt t t dt

         


   

     




- Vậy :





1 2 3 3

6 3 7 4

0 1

3 3 2 3 2 9

( ) 3 3

7 4 1 14 28

I  f x dx t  t dt  t  t   

 



 

3 3

5 2 4 2

0 0

. 1 1 1

d



x x  dx



x x  xdx .

- Đặt :









2 2 2

4 2 2 5 3

. 0 1, 3 2

1 1

( ) 1 1 . 2

xdx tdt x t x t

t x x t

f x dx x x xdx t tdt t t t dt

       


      

      




- Vậy :





3 2

4 2 5 3 6 4 2

0 1

1 1 1 9

1 2

6 2 2 2

I  x x  xdx t  t t dt t  t  t  

 



 

1 1

3 2 2 2

0 0

. 1 1 1

e



x  x dx



x  x xdx .

- Đặt :













2 2

2 2 2 2 4

1 ; . 0 1, 1 0

( ) 1 1

x t xdx tdt x t x t

t x

f x dx x x xdx t t tdt t t dt

         


   

      




- Vậy :









1 0 1

2 2 2 4 2 4 3 5

0 1 0

1 1 2

3 5 15

I  x  x xdx  t  t dt t  t dt t  t  

 



Ví dụ 5. Tính các tích phân sau
1.

1 2

1
1

x

dx
x






( ĐHXD-96) 2.

2
2
2

dx

x x 



( BK-95)

3.
7
3

3
0

1
3 1

x

dx
x






(GTVT-98 ) 4.

2 2

2
2

1
1

x

dx
x x









( HVBCVT-97 )

Giải

1 2

1
1

x

dx
x






. Ta có : ( ) 2 1



 















1
1

x x x

x

f x x x x x x x

x
x

  



        




Vậy :





1 1

2 2

0 0

2 2 1 1

( ) 1

5 3 2 15

I  f x dx x x x x  dx x x x x x  x 

 



 

2 2

2 2 2

2 2

3 3

1 1

dx xdx

x x   x x 



- Đặt :





2 2

2
2

2 2

2 1

1, . , 2 1

3 3

( )

1
1

x t xdx tdt x t x t

t x

xdx tdt dt

f x dx

t

t t

x x



        



   

   




 


-Vậy :

2 1

2
2

2 1

3 3

1
tan 1

1 4 6 12

dx dt

I acr t

t
x x

  

     




</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3.
7
3
3
0

3 1

x

dx
x






. Đặt :





2
3

2 4

1 7

, , 0 1; 2

3 3

3 1

1 2 1

( ) 2

3 3

3 1

t

x dx t dt x t x t

t x

x t

f x dx dx t dt t t dt

t
x

 

       



   

 

    

 



- Vậy :





2
3

4 5 2

0 1

1 1 1 1 46

3 3 5 15

3 1

x

I dx t t dt t t

x

  

       

  



 

2 2 2 2

2
2

2 2

1 1

1
1

x x

dx xdx

x
x x

 

 






- Đặt :

2 2

2 2

2 2 2

1 . 2 5, 2 3

1 1 1 1 1 1

( ) 1 1

1 1 2 1 1

x t xdx tdt x t x t

t x x t

f x dx xdx tdt dt dt

x t t t t

          



         

      

         

    


- Vậy :



 





 



2 3

2 5

3 1 5 1
3

1 1 1 1 1 1

( ) 1 ln 3 5 ln

2 1 1 2 1 5 2 3 1 5 1

t

f x dx dt t

t t t




 

     

           

  

   

   



Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
1. 1 32

dx
x x 1

 ( HVNHTPHCM-2000). 2.

7 9

3 2

I dx

1 x





 (ĐHTM-97)

3 2

x  2x xdx



. (ĐHTL-2000) 4.

2 / 2 2
2
0

dx
1 x



. (HVTCKT-97)

Giải





3 2

1 3 1 1 1

2 2 4

2 2

0 0 0 0

x x 1 x

I dx dx x x 1xdx x dx

x 1 x

x x 1

 

    

 

 

   

Vậy : Đặt









2 2

2 4 2

1, ; 0 1; 1 2

( ) 1 .

x t xdx tdt x t x t

t x

f x dx t t tdt t t dt

         


   

   




Suy ra :





1 2

2 2 4 2 5 3

0 1

1 1 2 4

5 3 1 15

x x  xdx t  t dt t  t  

 



;

4 5

1 1

5 5

x dx x 



- Do đó : 4 1 1

15 5 15

I   

2. 7 3 9

2
0

I dx

1 x





 =

 

4
2
7

3 2

0 1

x xdx

x





- Đặt :













2 3 2 2

3 2

4
3

2 3 12 9 6 4

1, 2 3 . 0 1; 7 2

2
1

3 1 3 3

( ) 1 4 6 4

2 2 2

x t xdx t dt xdx t dt x t x t

t x

t

f x dx t dt t t dt t t t t t dt

t



          



   




      




- Vậy :





13 10 7 5 14 11 8 6

3 3 1 4 3 2

4 6 4

2 2 14 11 4 3

I  t  t  t  t dt   t  t  t  t  

 



. ( Học sinh tự tìm kết

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

3 2

x  2x xdx











3 1 3

0 0 1

1 1 1

x xdx  x xdx x xdx











1 3

2 2

0 1

1 3

2 2 2 2 8 3

0 1

3 5 5 3 5

I x x x dx x x x dx  x x x x  x x x x

           

   



2 / 2 2
2
0

dx
1 x



. Đặt : 2

2
ostdt.x=0 t=0;x=

2 4

sin

sin 1-cos2t

( ) ostdt=

ost 2

dx c t

x t

t

f x dx c dt

c




   



  

 

 

 

  



- Vậy :





4
0

1 1 1

1 os2t sin 2 4

2 2 2 0 8

I c dt t t






 

      

 



Ví dụ 7. Tính các tích phân sau :
1.

2
1

1 x 1 x

   



. (HVQS-98). 2.

1/ 3

2 2

(2x 1) x 1



. (HVQS-99)

2 2 2
0

x x a dx ,a 0



.(AN-96). 4.

2
7

dx
x x 9



. (AN-99)

Giải

2
1

1 x 1 x

   



* Chú ý :

a. Một học sinh giải cách này , các em tham khảo .
Nhân liên hợp ta được :

- f(x)=

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 2 2

x x x x

x

x x x x x

 

      

        

 

   

- Vậy :





 

1 1 1 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

( ) 1 ln 1

2 2 2 2

x

I f x dx dx xdx x x J

x x

  



 

        



 



* Tính J : Đặt



 



2 2

2 2

2 2

1. ; 1 2; 0 1

1 1

( ) 1

1 1 1 1

x t xdx tdt x t x t

t x t t

f x dx tdt dt dt

t t t t

         



     

    



     



* Học sinh thử tính thử xem có được khơng ? Nếu khơng được thì giải thích xem tại
sao ? ( Theo điều kiện tồn tại tích phân )

b. Một học sinh giải theo cách khác :
- Đặt :





, 1 ; 1

os 4 4

tan 1

( )

1 os sin ost+1 ost
1 tan

ost

dx dt x t x t

c t

x t dt dt

f x dx

c t t c c

t
c

 



      




  

 

 

 




</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

* Đây là cách giải đúng :

- Đặt:

2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 2 1 ,

2 2

t

t x x t x x t tx x x x t

t t

  

                 

  .
- Suy ra : 2

1 1

2 2

dx dt

t

 

  

 

- Đổi cận : x=-1, thì t= 2 1 ;x=1 thì t= 2 1
-Do đó :









2 1 2 2 1 2 1 2 1

2 2

21 2 1 2 1 2 1

1 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

ln 1

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

dt

t

I dt t dt

t t t t t t t

   

  

 



  

 

 

         

      



Hay : 1ln 1





1ln 1 2 1 1 2 1 ln 1





1ln



2 1



2 1





2 2 2 1 2 2 1 2 2

t
I

t t

 


 

            

   

2. 1/ 3 2 2

(2x 1) x 1

 .

* Chú ý :

-Cách 1. Đặt 2

1 1

t ant dx= ; 0 0;

cos 3 6

x dt x t x t

t



       

- Suy ra :





2 2 2 2 2

1 ost

( )

1 os 2sin os 1+sin 1

2 tan 1 ost

ost os

dt dt c du

f x dx dt

c t t c t t u

t c

c c t

   



  

  

 

- Vậy :
1
2

2
0

arctanu 2 arctan

1 0 2

du
I

u

  





* Học sinh tự tìm hiểu : Tại sao lại không đặt 2
1

t x để giải .

2 2 2
0

x x a dx ,a 0



. 2 2

a

x x a xdx







* Học sinh thử làm theo cách này có được khơng ?
- Đặt :













3 3

2 2

3
2
2

1 1

1 0

3 3

1
1

a
du dx

u x a

I x x x dx

v x

dv x x







 

     

 

 

 

 



- Do đó :



1 2



3 1

 

1

3 3

a

I  a  J . Tính tích phân J :





3
2
0

a

J 



x dx

* Cách khác :
- Đặt :

2 2 2

2 5

. 0 0;

os 4

.tan

( ) .tan . . sin

ost os os

a

dx dt x t x a t

c t

x a t

a a a

f x dx a t dt tdt

c c t c t




      




  

  




- Nếu lại đặt









2 2

4 4

3 3

2 2

2
ostdt.t=0 u=0;t=

4 2

sin sin

( ) . ostdt=a

1 sin 1

du c t

u t t u

f t dt a c du

t u




   



  

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- Ta lại có :











 





 



3 2

2
3
2

1- 1-u 1 1

f(u)=

1 1 1 1

1-u u u u u

   

    

   

   

* Với :



 













 



3 3

3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

( ) 3

1 1 8 1 1 8 1 1 1 1 1 1

g u

u u u u u u u u u u

 

     

            

              

   

























3 3 3 3 2 2

1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1

8 1 u 1 u 2 1 u 1 u 8 1 u 1 u 2 1 u 1 u 1 u 1 u

 

     

 

               

 

   

 

     

 

    

















1 1 1 3 1 1 1 1

8 1 u 1 u 16 1 u 1 u 1 u 1 u

   

        

         

   

(1)
-



 











2 2

1 1 1 1 1 1

( )

1 1 4 1 1 1 1

h u

u u u u u u

 

 

       

 

     

   

(2)
Vậy :

2 2

0 0

( ) ( )

I 



g u du



h u du (3)

















2 2

3 3 2 2

0 0

1 1 1 3 1 1 1 1

( )

8 1 1 16 1 1 1 1

g u du du

u u

u u u u

 

   

 

         

         

    

 











1 1 1 1 3 1 1 1 3 2 2 11 85 2 2

ln 2 2ln 2ln

8 2 1 1 16 1 1 1 2 2 64 64 2

u

u u u

u u

       

 

            

        

   

 









2 2

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

( ) ln 2 2ln 1

4 1 1 1 1 4 1 1 1 2

u

h u du du

u u u u u

u u

     

            

          

 



Thay kết quả tìm được vào (3). Vậy : 149

I 

4.
4

2
7

x x 9



2 2

7 9

xdx

x x







- Đặt :







 



2 2

9. ; 7 4; 4 5

9 1 1 1

( )

3 3 6 3 3

x t xdx tdt x t x t

t x tdt dt

f x dx dt

t t t t

t t

         



     

     

       


- Vậy :

5
4

1 1 1 1 3 1 1 1 1 7

ln ln ln ln

6 3 3 6 3 6 4 7 6 4

t

I dt

t t t

    

        

    







Ví dụ 8. Tính các tích phân sau
1.

1 3

dx
x x 1



. (HVNGTPHCM-2000) 2.

2 / 2 2
2
0

dx
1 x



.(HVTCKT-97)

3.
3

x  1dx



.(YHN-2001) 4.

2 3
0

(1 x ) dx

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Giải

1 3

2
0

dx
x x 1















3 2

1 1

3 2 4

2 2

0 0

1
1

x x x

dx x x x dx

x x

 

  

 



(1)

- Với :

1 1

3 2 2 2

0 0

1 1

x x  dx x x  xdx



Đặt :









2 2

2 2 2 4 2

1. . 0 1; 1 2

( ) 1 1 .

x t xdx tdt x t x

t x

g x dx x x xdx t t tdt t t dt

         


   

     




- Cho nên :





1 2

2 2 4 2 5 3

0 1

1 1 2 2 6 2

5 3 1 15

x x  xdx t  t dt  t  t   

 



(2)

-1

4 5

1 1

5 5

x dx x 



. (3). Thay (2) và (3) vào (1) ta có : I 6 2 2 115  56 2 115 .

2 / 2 2
2
0

dx
1 x



. Đặt : 2

2
ostdt.x=0 t=0;x= t=

2 4

sin

sin 1-cos2t

( ) . ostdt=

ost 2

dx c

x t

t

f x dx c dt

c




  




  

 



- Do đó : 4

1 os2t 1 1 1 1 2

sin 2 4

2 2 2 0 2 4 2 8

c

I dt t t



 

     

        

   



3.I=
3

x  1dx



3 2 3 3

2 2

2 2 2

3 1

. 1 5 2 1

2 1 1

x

x x dx x dx dx

x x

     

 



Vậy :









2
2

1 5 2 1

5 2 2 5 2 ln 1 5 2 ln 2 1 ln 2 1

2 2

2
1

I I dx I x x I

x

              





2 3
0

(1 x ) dx



. Đặt :





6 4

ostdt.x=0 t=0;x=1 t=
2
sin

1 os2t
( ) os ostdt=cos

dx c

x t

c

f x dx c tc tdt dt




  



  



  



Vậy :





2 2

0 0

1 1 os4t 1 1 1 3

1 2cos 2 3 4 cos 2 os4t 3 2sin 2 sin 4 2

4 2 8 8 4 16

c

I t dt t c dt t t t

 





   

             

   



Ví dụ 9. Tính các tích phân sau
1.

2 2 2
0

x a  x dx (a 0)



(SPIHN-2000) 2.

1
0

dx
x 1  x



. (QG-97)

0
1

x 4 x 2

   



(CĐSPHN-2000) 4.

4
1

dx
x(1 x )



. (CĐSPKT-2000)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2 2 2
0

x a  x dx (a 0)



- Đặt :

2 2 4 2 2

. ostdt.x=0 t=0;x=a t=

.sin 2

( ) sin . . ost.a.costdt=a sin cos

dx a c

x a t

f x dx a t a c t tdt




  



  

 



- Vậy :





4 4 4

2 2

4 2

0 0

1 1

sin 2 1 os4t sin 4 2

4 8 8 4 0 16

a a a

I a tdt c dt t t

 




 

       

 



dx
x 1  x























1 1

3 3

0 0

1 2 1 2

1 1 2 2 1

1 3 3

x x

dx x x dx x x

x x

 

        

 



0
1

x 4 x 2

   







 









0 0

1 1

4 2 1

4 2

4 2 2

x x

dx x x dx

x x

 

  

    

  



Vậy : 1 2.









0 1



8 2 2 3 3 1



9 2 2 3 3
1

2 3 3 3

I  x  x       



4
1

dx
x(1 x )



. Đặt :





















1 . 2 1 ; 1 2; 4 3

1 2 1 2 1 1

( ) 2

1 1

x t dx t dt x t x t

t x t dt

f x dx dt dt

t t t t

t t

          




      

     



   





- Vậy :

3
2

1 1 1 2 1 4

2 2ln 2 ln ln 2ln

1 3 2 3

t

I dt

t t t



   

        



   



Ví dụ 10. Tính các tích phân sau
1.

1 2
2
0

(x x)dx

x 1






.(ĐHHĐ-99) 2.

2
7

dx
2 x 1 



.(ĐHĐN-97)

2 3 2

2 3

0 0

x 1

x x 1dx dx

x 1


 





.(ĐHCT)

4. 2

/ 2 3 5 3

x 1

0 0

x 2x

(x 1)sin xdx dx





 



. ( ĐHTSNT-2000)

Giải

1 2
2
0

(x x)dx

x 1










1 2 1

2 2

2 2 2

0 0

1
1

1 1

1 1 1

x x

dx x dx x

x x x

   

          

  

   



 

1
2
0

1 arctanx 2 1 2 1 1

0 4

x dx J 





       

- Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân từng phần )

1 1 2 1

2 2 2

2 2

0 0 0

1 1 1

1 1 2 1 2 arctanx

0 1 1 0

x

x dx x x dx x dx I

x x

 

            

   

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Do đó : 2 2 2

4 2 8

I    I  

2
7

dx
2 x 1 



. Đặt :

2. 2 . 7 3; 2 2

2 2 1

( ) 2 1

1 1

x t dx tdt x t x t

t x tdt

f x dx dt

t t

         



     

    

  

 



- Do đó :









2
3

1 4

2 1 2 ln 1 2 2 ln 3 3 ln 4 2 ln 1

1 3

I dt t t

t

   

                


   



2 3 2

2 3

0 0

x 1

x x 1dx dx

x 1


 





2 8 8 8 8

2 3

0 0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 24 1

3 3 2 1 3 2 1

u du

x x dx udu u u du udu

u u

    

              

 

    

   



8 8

0 0

1 1 7 1 1 1 26 52

24 8 8 1 8 1

3 2 1 6 6 1 3 3 3 7

du du

I I u I

u u

  

                 

 

  

















 

3 2 3

0 0

1 2 1 2

1 1

x x

x

dx dx

x x

   




 



- Đặt :





2
2

1 ; 2 . 0 1; 3 2

1 2 2

( ) 2 2 4 4

x t dx tdt x t x t

t x t t

f x dx tdt t t dt

t

         



     

   




- Vậy :





2 3 2

2 8

2 4 4 2 4

3 3

I  t  t dt t  t  t 

 



4. 2

/ 2 3 5 3

x 1

0 0

x 2x

(x 1)sin xdx dx





 











 

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

1 sinxdx sinxdx sinxdx osx osx 2 1 1

x x x d c c J

   



       



- Tính J:









2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

osx osx.x 2 2 . osxdx 2. . s inx 2 .sinx 2 sin xdx

0 0

J x d c c x c x d x

   

   

 

        

 

 



2 osx 2 2 1

2 c 0 I




 

 

 

      

 

 





2 2

3 5 3 3

2 2

0 0

2
2

1 1

x x

x x

I dx xdx

x x




 

 



- Đặt :



 







2 2

2 2 2

1; ; 0 1; 3 2

1 1 1

( ) 1

x t xdx tdt x t x t

t x t t

f x dx tdt t dt

t

         



     

  



- Vậy :





4 5

1 26

5 5

I  t  dt t  t 

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1
0

x 1 xdx



(ydtphcm-2000) 2.

3 2

x 1 x dx



. (ĐHNGT-2000)

3.
1

0 2 1

x
dx
x



2 3

2
5

x x 4



. (KA-2003)

5.
1

3 2

x 1 x dx



.(DB-2003) 6.

1 x 1



.(KA-2004)

7.
e

1 3ln x.ln x
dx
x





.(KB-2004) 8.

3
0

x 2

dx
x 1






.(DB-2005)

9.
6

2x 1  4x 1



. (DB-2006) 10.

dx
x 2 x 1



.(DB-06)

11.
e

3 2 ln x
dx
x 1 2 ln x






.(DB-06) 12.

5 3
3

2
0

x 2x

x 1






.(CĐSPHN-04)

13.

4
2

5
0

x 1



.(CĐSPKT-04) 14.

e 2

ln x
dx
x ln x 1



.(DB-05)

15.
1

2
0

5 3

2 8 1

x

dx

x x


 



16.

4
2
7
2

3 4

6 8

x

dx

x x


  



17. 2 2 2
0

a

x a  x dx



18.





2
2

0 1

dx

x x



19*.

3
4

1 x dx
x





20*.





3 2

3
2

1 1

x
dx
x





21. 2 2
1

a

x a

dx
x





22*.

3 6

1 x
dx
x





23*+.

2 3

4
1

x

dx
x





24.

0 1 1

dx

x x



  

</div>

Tich phan vo ti tSy hay

<sub></sub>











<sub></sub>

<sub></sub>



 





 





 





 



<sub></sub>

<sub></sub>











 













 





















<sub></sub>

<sub></sub>







<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



 























<sub> </sub>

