BTXSTK toán học xác xuất thống kê

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TPHCM
KHOA ĐẠI CƯƠNG
BỘ MƠN TỐN

BÀI TẬP

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN

Người biên soạn: THS. DƯƠNG THỊ XUÂN AN
THS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

LƯU HÀNH NỘI BỘ
NĂM 2013


LỜI NĨI ĐẦU

Nhằm giúp sinh viên Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ Thông Tin TP. HCM
học tập môn XÁC SUẤT THỐNG KÊ đạt kết quả cao, chúng tôi tiến hành
biên soạn quyển Bài Tập Xác Suất và Thống Kê Toán. Quyển bài tập này được
biên soạn phù hợp với sinh viên bậc Cao đẳng và lưu hành nội bộ trong phạm
vi Nhà trường. Tài liệu được biên soạn dựa trên đề cương môn học và được sử
dùng kèm theo quyển Giáo Trình Xác Suất và Thống Kê Tốn. Nội dung gồm
hai phần:
Phần Xác suất gồm 2 chương:
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
Chương 2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Phần Thống kê gồm 3 chương:
Chương 3. MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
Chương 4. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Chương 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

Tài liệu giải quyết hầu hết các bài tập từ cơ bản đến phức tạp với lời giải rõ
ràng, dễ hiểu. Các bài tập được phân loại theo từng dạng cụ thể từ đơn giản
đến tổng hợp. Mở đầu mỗi dạng bài tập, tác giả tóm tắt nội dung lý thuyết
trọng tâm để người đọc vận dụng thực hành. Phần cuối mỗi chương là bài tập
tự giải để sinh viên có cơ hội tự rèn luyện.
Với mục đích như trên, chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các
em sinh viên trong quá trình học tập ở bậc Cao đẳng cũng như q trình học
liên thơng sau này. Tài liệu sẽ được cập nhật thường xuyên trong q trình
giảng dạy và học tập. Chúng tơi rất mong nhận được ý kiến góp ý, xây dựng từ
quý Thầy Cô và các em sinh viên để tài liệu ngày càng hoàn thiện hơn. Trân
trọng cảm ơn!
TP. HCM, tháng 6 năm 2013
Các tác giả

2


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU

2

1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

5

1.1

Bổ túc về Giải tích Tổ hợp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Phép đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Biểu diễn mối liên hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Áp dụng các cơng thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1

Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.2

Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Cơng thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes . . .

19

1.4.4

Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6

Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN
PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT
39
2.1

Luật phân phối xác suất của ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . .
3

39


2.1.1

Bảng phân phối xác suất (PPXS) . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.2

Hàm mật độ của ĐLNN liên tục . . . . . . . . . . . . .

43

2.2

Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3

Các đặc trưng bằng số của ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4

Các quy luật phân phối xác suất đặc biệt . . . . . . . . . . . .

57

2.4.1

Quy luật phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.4.2

Quy luật phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.4.3

Quy luật phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.4.4

Quy luật phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4.5

Xấp xỉ các quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . .

68

2.5

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.6

Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

3 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

101

4 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

107

4.1

Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . .

110

4.2

Ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . .

116

4.3

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

124

5.1

So sánh trung bình tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . .

127

5.2

So sánh tỷ lệ tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

5.3

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

5.4

Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO

149

PHỤ LỤC: BẢNG TRA THỐNG KÊ

155

TÀI LIỆU THAM KHẢO

161
4


Chương 1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
VÀ XÁC SUẤT
1.1
1.1.1

Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
Phép đếm

⋄ Giai thừa: n! = 1.2.3 . . . n.

Quy ước: 0! = 1.

⋄ Quy tắc cộng: Giả sử có một cơng việc được thực hiện theo 1 trong k
trường hợp khác nhau.

Trường hợp thứ 1 có n1 cách thực hiện 

Cơng việc này có

Trường hợp thứ 2 có n2 cách thực hiện
n = n1 + n2 + . . . + nk
=⇒
...
...
...


cách thực hiện

Trường hợp thứ k có nk cách thực hiện

⋄ Quy tắc nhân: Giả sử có một cơng việc được thực hiện thơng qua k giai
đoạn liên tiếp.

Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện 



Có n = n1 .n2 . . . nk
Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện
=⇒
...
...
...
cách hồn thành cơng việc



Giai đoạn k có nk cách thực hiện
5


1.1.2

Hoán vị

⋄ Hoán vị trên đường thẳng: Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau vào n
vị trí đã cho là Pn = n!
⋄ Hốn vị trên đường trịn: Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị
trí đã cho trên một đường trịn là Pn−1 = (n − 1)!

1.1.3

Chỉnh hợp

⋄ Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử khác nhau (k ≤ n) rút từ tập

A, có phân biệt thứ tự được gọi là một chỉnh hợp (không lặp) chập k của n
n!
phần tử. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ak =
·
n
(n − k)!
⋄ Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử rút từ tập A, có phân biệt thứ
tự trong đó mỗi phần tử có thể có mặt đến k lần, được gọi là một chỉnh hợp
lặp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là Bk = nk .
n
Chú ý. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử có thể tính được bằng cách áp
dụng quy tắc nhân, trong đó có k giai đoạn, mỗi giai đoạn có n cách.

1.1.4

Tổ hợp

Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử khác nhau (k ≤ n) rút từ tập A,
không phân biệt thứ tự được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ
n!
·
hợp chập k của n phần tử là Ck =
n
k!.(n − k)!
Bài 1. Vui đi dự đám cưới của hai bạn Bình và Yên. Trước khi ra về, Vui và
4 người bạn nữa cùng chụp hình lưu niệm với cơ dâu chú rể. Hãy tính số cách
xếp các bạn thành 1 hàng để chụp hình sao cho:
a) Cơ dâu đứng cạnh chú rể.
b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể.
c) Vui đứng cạnh bên phải cô dâu.

BÀI GIẢI
a) Ta xem cô dâu và chú rể là một "bó" thì có P6 = 6! = 720 cách xếp 5 người
bạn cùng cô dâu chú rể thành một hàng.
Ứng với mỗi cách xếp này, có P2 = 2! = 2 cách hoán vị trong nội bộ "bó" cơ
dâu và chú rể.
Vậy có 6!.2! = 1440 cách xếp theo yêu cầu.
6


b) Xếp ngẫu nhiên 7 người bạn thành một hàng thì có P7 = 7! = 5040 cách.
Theo câu a), có 1440 cách xếp 7 người bạn này thành một hàng sao cho cô dâu
và chú rể đứng cạnh nhau.
Vậy có 5040 − 1440 = 3600 cách xếp sao cho cô dâu không đứng cạnh chú rể.
c) Tương tự câu a) nhưng trong nội bộ giữa Vui và cô dâu chỉ có 1 cách xếp.
Do đó, có 1.6! = 720 cách xếp sao cho Vui đứng cạnh bên phải cô dâu.
Bài 2. Lớp học có 45 sinh viên, trong đó có 43 bạn là đồn viên. Có bao nhiêu
cách chọn ngẫu nhiên 5 đoàn viên để bầu vào Ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng,
1 lớp phó học tập, 1 lớp phó đời sống, 1 bí thư và 1 phó bí thư.
BÀI GIẢI
Vì việc chọn 5 thành viên có phân biệt vị trí nên số cách chọn 5 đồn viên để
bầu vào Ban cán sự lớp là số chỉnh hợp (không lặp) 43 chập 5:
A5 =
43

43!
= 115511760 (cách)
38!

Bài 3. Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu. Có bao nhiêu cách:
a) Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu một cách tùy ý.

b) Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu sao cho toa thứ nhất có 3
hành khách.
BÀI GIẢI
a) Số cách xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu một cách tùy ý là số
12
chỉnh hợp lặp 12 chập 5: B5 = 512 = 244140625 (cách).
b) Ta xem bài toán gồm 2 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Xếp ngẫu nhiên 3 hành khách (từ 12 hành khách) vào toa thứ
3
nhất, có C12 = 220 (cách).
- Giai đoạn 2: Xếp ngẫu nhiên 9 hành khách vào 4 toa tàu còn lại một cách
9
tùy ý, có B4 = 49 = 262144 (cách).
3
9
Vậy có C12 .B4 = 57671680 cách xếp ngẫu nhiên 12 khách lên 5 toa tàu sao cho
toa thứ nhất có 3 hành khách.
Bài 4. Một thùng có 50 quyển sách, trong đó có 20 quyển sách Tiếng Việt và
30 quyển sách Tốn. Có bao nhiêu cách:
a) Lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách.
b) Lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách trong đó có 5 quyển sách Tốn.
c) Lấy ra 8 quyển sách Toán để trao cho 8 em học sinh.

7


BÀI GIẢI
a) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách từ 50 quyển sách là số tổ hợp 50
10
chập 10: C50 = 10272278170 (cách).

4
b) Có C20 cách lấy ra 4 quyển sách Tiếng Việt.
5
Có C50 cách lấy ra 5 quyển sách Tốn.
4
5
Vậy có C20 .C30 = 690441570 cách lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách trong đó có
5 quyển sách Tốn.
8
c) Có C30 cách lấy ra 8 quyển sách Toán từ 30 quyển sách Toán.
Ứng với mỗi cách này, ta có 8! cách trao 8 quyển sách cho 8 em học sinh.
8
Vậy có C30 .8! = 235989936000 cách thỏa u cầu.
Bài 5. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế
phẩm. Có bao nhiêu cách:
a) Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm.
b) Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm tốt.
c) Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có ít nhất 1 phế phẩm.
BÀI GIẢI
a) Số cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ 10 sản phẩm là số tổ hợp 10 chập 4:
4
C10 = 210 (cách).
b) Ta có thể xem bài tốn gồm 2 giai đoạn:
3
- Giai đoạn 1: Lấy 3 sản phẩm tốt từ 8 sản phẩm tốt, có C8 = 56 (cách).
1
- Giai đoạn 2: Lấy 1 phế phẩm từ 2 phế phẩm, có C2 = 2 (cách).
3
1
Vậy có C8 .C2 = 112 cách lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản

phẩm tốt.
c) Vì lơ hàng chỉ có 2 phế phẩm nên bài tốn gồm 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Lấy được 1 phế phẩm (và 3 sản phẩm tốt)
1
3
Có: C2 .C8 = 112 (cách).
- Trường hợp 2: Lấy được 2 phế phẩm (và 2 sản phẩm tốt)
2
2
Có: C2 .C8 = 28 (cách).
1
3
2
2
Vậy có C2 .C8 + C2 .C8 = 140 cách lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có
ít nhất 1 phế phẩm.

1.2

Biểu diễn mối liên hệ giữa các biến cố

Cho hai biến cố A và B.
⋄ Tổng hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố C nếu C
xảy ra ⇐⇒ A xảy ra hoặc B xảy ra (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra).
Kí hiệu: C = A + B.
8


⋄ Tích hai biến cố: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C nếu
C xảy ra ⇐⇒ A xảy ra và B xảy ra (đồng thời (cả hai) biến cố xảy ra).

Kí hiệu: C = A.B.
⋄ Biến cố đối lập: Biến cố B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A
nếu B xảy ra ⇐⇒ A khơng xảy ra. Kí hiệu: B = A.
Bài 1. Ba sinh viên dự thi mơn Tốn cao cấp. Đặt các biến cố: Ai là "Sinh
viên thứ i thi đạt"; Bi là "Có i sinh viên thi đạt", i = 0, 3. Nêu ý nghĩa của
các biến cố sau:
a) A1 .A2 .A3

b) A1 .A3

c) A1 + A2 + A3

d) B 0

e) A2 .B1

f) A3 B2

BÀI GIẢI
a) A1 .A2 .A3 : biến cố cả ba sinh viên thi đạt.
b) A1 .A3 : biến cố sinh viên thứ nhất thi đạt và sinh viên thứ ba thi hỏng.
c) A1 + A2 + A3 : biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt.
d) B 0 : biến cố khơng có sinh viên nào khơng đạt ≡ cả ba sinh viên đều đạt.

e) A2 .B1 : biến cố sinh viên thứ hai thi đạt và có một sinh viên thi đạt ≡
chỉ có sinh viên thứ hai thi đạt.
f) A3 B2 : biến cố sinh viên thứ ba thi hỏng và có hai sinh viên thi đạt ≡ chỉ
có sinh viên thứ ba thi hỏng.

Bài 2. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi Ai là

biến cố "xạ thủ thứ i bắn trúng bia", i = 1, 2. Hãy biểu diễn các biến cố sau
qua biến cố A1 , A2 :
a) A: biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia và xạ thủ thứ hai bắn trượt.
b) B: biến cố bia bị trúng đạn.
c) C: biến cố bia không bị trúng đạn.
BÀI GIẢI
a) A = A1 .A2

b) B = A1 + A2

c) C = A1 .A2 ≡ A1 + A2

Bài 3. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình
bày cách biểu diễn qua Ak các biến cố sau:
a) A: biến cố tất cả đều xấu.
b) B: biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt.
9


c) C: biến cố có ít nhất một sản phẩm xấu.
d) D: biến cố không phải tất cả sản phẩm đều tốt.
e) E: biến cố có đúng một sản phẩm xấu.
f) F : biến cố có ít nhất hai sản phẩm tốt.
BÀI GIẢI
a) A = A1 .A2 .A3
b) B = A1 + A2 + A3
c) C = A1 + A2 + A3
d) D = A1 .A2 .A3 ≡ A1 + A2 + A3

e) E = A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3

f) F = A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3

Bài 4. Ba sinh viên thi môn xác suất thống kê. Gọi Ai là biến cố sinh viên thứ
i thi đạt, i = 1, 3. Hãy biểu diễn qua Ai các biến cố sau:
a) A: biến cố cả ba sinh viên đều thi đạt.
b) B: biến cố có không quá hai sinh viên thi đạt.
c) C: biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt.
d) D: biến cố có một sinh viên thi đạt.
e) E: biến cố sinh viên thứ nhất và sinh viên thứ hai thi đạt.
f) F : biến cố chỉ có sinh viên thứ hai thi đạt.
g) G: biến cố có ít nhất một sinh viên thi hỏng.
BÀI GIẢI
a) A = A1 .A2 .A3
b) B = A1 .A2 .A3 +A1 .A2 .A3 +A1 .A2 .A3 +A1 .A2 .A3 +A1 .A2 .A3 +A1 .A2 .A3 +
A1 .A2 .A3
c) C = A1 + A2 + A3 ≡ A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 +
A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 ≡ Ω \ A1 .A2 .A3

d) D = A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3
e) E = A1 .A2
f) F = A1 .A2 .A3

g) G = A1 + A2 + A3 ≡ A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 A3 + A1 .A2 .A3 +
A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 ≡ A1 .A2 .A3
10


Bài 5. (Sinh viên tự giải) Có 3 người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người
bắn một phát. Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng (i = 1, 3). Hãy biểu
diễn qua Ai các biến cố sau:

a) A: biến cố chỉ có người thứ nhất bắn trúng.
b) B: biến cố người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật.
c) C: biến cố có ít nhất một người bắn trúng.
d) D: biến cố cả 3 người đều bắn trúng.
e) E: biến cố có ít nhất hai người bắn trúng.
f) F : biến cố chỉ có 2 người bắn trúng.
g) G: biến cố không ai bắn trúng.
h) H: biến cố khơng có hơn hai người bắn trúng.
i) I: biến cố người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ hai bắn trúng.

1.3

Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Xét một phép thử τ với không gian mẫu Ω gồm n biến cố sơ cấp có đồng
khả năng xảy ra. Giả sử A ∈ Ω là một biến cố bất kỳ. Ta có xác suất để biến
cố A xảy ra là:
P (A) =

Số trường hợp thuận lợi cho A
m
=
n
Số trường hợp đồng khả năng

Tính chất:
• P (Ω) = 1
• P (∅) = 0
• Với A là biến cố bất kỳ thì 0 ≤ P (A) ≤ 1
Bài 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện

mặt lớn hơn 4 chấm.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố xuất hiện mặt lớn hơn 4 chấm.
Số trường hợp đồng khả năng là n = 6.
Số trường hợp thuận lợi cho A là m = 2.
m
1
Do đó, P (A) =
= ·
n
3
11


Bài 2. Một lơ hàng gồm 50 máy vi tính, trong đó có 20 máy do cơng ty A sản
xuất và 30 máy do công ty B sản xuất. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 5
máy từ lô hàng này. Tính xác suất để:
a) Cả 5 máy do cơng ty A sản xuất.
b) Có 3 máy do cơng ty B sản xuất.
BÀI GIẢI
5
Lơ hàng có 50 máy vi tính, chọn ngẫu nhiên 5 máy thì có n = C50 cách.
a) Gọi A: biến cố chọn được 5 máy do công ty A sản xuất. Ta tính P (A).
5
Số trường hợp thuận lợi cho A: m = C20 .
5
C
m
= 20 ≈ 0, 0073.
Vậy P (A) =

5
n
C50
b) Gọi B: biến cố chọn được 3 máy do công ty B sản xuất (và 2 máy do cơng
ty A sản xuất). Ta tính P (B).
3
2
Số trường hợp thuận lợi cho B: m = C30 .C20 .
m
C 3 .C 2
Vậy P (B) =
= 30 5 20 ≈ 0, 3641.
n
C50
Bài 3. Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đưa ra một danh sách cụ
thể 5 loại cổ phiếu. Giả sử xếp được bảng thứ tự tăng trưởng của 5 loại cổ
phiếu này vào năm tới và khả năng xếp hạng đều như nhau. Tính xác suất để
dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở đầu bảng này:
a) Không kể thứ tự.
b) Xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố dự đốn đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở đầu bảng.
Số trường hợp thuận lợi cho A là m = 1.
3
a) Trong trường hợp khơng kể thứ tự thì tổng số cách dự đốn là n = C5 = 10.
m
1
Do đó, P (A) =
=
= 0, 1.

n
10
b) Trong trường hợp có kể thứ tự nhất, nhì, ba thì tổng số cách dự đốn là
n = A3 = 60.
5
1
m
=
≈ 0, 0167.
Vậy P (A) =
n
60
Bài 4. Từ một nhóm bạn gồm 5 người: An, Bình, Yên, Lành, Phúc. Chọn ngẫu
nhiên 3 bạn từ nhóm này, tính xác suất để trong đó có "Bình".
BÀI GIẢI
3
Từ nhóm bạn có 5 người, chọn ngẫu nhiên 3 bạn thì có n = C5 = 10 cách.
12


Gọi B: biến cố trong 3 người được chọn có bạn Bình.
Sau khi chọn Bình thì ta cần chọn thêm 2 bạn từ 4 người còn lại, nên số trường
2
hợp thuận lợi cho B là m = C4 = 6.
2
C
6
Vậy P (B) = 4 =
= 0, 6.
3

C5
10
Bài 5. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tìm xác
suất để có 3 người đến quầy số 1.
BÀI GIẢI
Ta xem việc mỗi khách hàng đến 1 quầy tính tiền là một giai đoạn, mỗi giai
đoạn có 10 cách nên số trường hợp đồng khả năng là n = 310 .
Gọi A: biến cố có 3 người đến quầy số 1. Ta cần tính P (A).
Số trường hợp thuận lợi cho A là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 10 người
để xếp vào quầy số 1 và 7 người còn lại sẽ đến ngẫu nhiên hai quầy 2 và 3, tức
3
là m = C10 .27 .
3
5120
C10 .27
=
≈ 0, 2601.
Vậy P (A) =
310
19683
Chú ý. Ta có thể tính số trường hợp đồng khả năng bằng cách áp dụng chỉnh
10
hợp lặp: B3 = 310 .

1.4
1.4.1

Áp dụng các công thức tính xác suất
Cơng thức cộng

⋄ Hai biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với
nhau trong một phép thử nếu A và B không cùng xảy ra.
⋄ Hệ biến cố xung khắc từng đôi: Hệ biến cố {A1 , A2 , . . . , An } được gọi là
xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ xung khắc với nhau.
⋄ Cơng thức cộng:
• Cho A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).
• Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P (A + B) = P (A) + P (B).
Cơng thức trên có thể mở rộng cho n biến cố, chẳng hạn:
• Cho ba biến cố bất kỳ A, B, C, ta có:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (CA) + P (ABC)
13


• Cho {A, B, C} là hệ biến cố xung khắc từng đơi thì:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C)
• Cho A là một biến cố bất kỳ, ta có: P (A) = 1 − P (A).
Bài 1. Có 5 con ngựa đánh số từ 1 đến 5 tham gia một cuộc đua. Giả sử khả
năng chạy nhanh để thắng trận của 5 con ngựa là như nhau. Tính xác suất để
con ngựa số 3 ít nhất là về nhì.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố con ngựa số 3 ít nhất là về nhì.
Ai : biến cố con ngựa số 3 về thứ i, i = 1, 5.
Ta có: A = A1 + A2 và {A1 , A2 } xung khắc, nên
P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) =

1 1
+ = 0, 4
5 5

Bài 2. Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để rút

được ít nhất 1 lá bài Át.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố rút được ít nhất 1 lá bài Át.
=⇒ A: biến cố không rút được lá bài Át nào.
4324
C3
≈ 0, 7826.
Ta có: P (A) = 48 =
3
C52
5525
1201
4324
Suy ra, P (A) = 1 − P (A) = 1 −
=
≈ 0, 2174.
5525
5525
Bài 3. Hai người cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn
một phát. Xác suất để người thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 0,6
và 0,8. Tính xác suất để bia bị trúng đạn.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố bia bị trúng đạn (≡ có ít nhất một người bắn trúng bia).
Ai : biến cố người thứ i bắn trúng bia, i = 1, 2.
Cách 1: Ta có A = A1 + A2 =⇒ P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 .A2 )
Vì {A1 , A2 } độc lập nên P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ).P (A2 )
=⇒ P (A) = 0, 6 + 0, 8 − 0, 6.0, 8 = 0, 92.
Cách 2: Ta có A: biến cố bia không trúng đạn.
=⇒ A = A1 .A2 =⇒ P (A) = P (A1 ).P (A2 ) (vì {A1 , A2 } độc lập)
14

=⇒ P (A) = 0, 4.0, 2 = 0, 08
Vậy P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0, 08 = 0, 92.
Bài 4. Một lơ hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Một khách hàng
kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng này. Nếu trong 10
sản phẩm lấy ra có khơng q 1 phế phẩm thì người này sẽ mua lơ hàng. Tính
xác suất để lơ hàng được mua.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố lô hàng được mua.
Ai : biến cố trong 10 sản phẩm lấy ra có i phế phẩm, i = 0, 10.
Ta có: A = A0 + A1 và {A0 , A1 } xung khắc
1
9
0
10
C4 .C46
2717
C4 .C46
+
=
=⇒ P (A) = P (A0 ) + P (A1 ) =
≈ 0, 82584.
10
10
C50
C50
3290
Bài 5. Khảo sát về mức độ quan tâm của người dân trong một khu phố đối với
3 tờ báo A, B, C, người ta được số liệu sau: có 20% người dân xem báo A; 15%

người dân xem báo B; 10% người dân xem báo C; 5% xem A và B; 4% xem A
và C; 3% xem B và C; 2% xem cả A, B và C. Chọn ngẫu nhiên một người dân
trong khu phố, tính xác suất để người này không xem báo nào trong số 3 tờ
báo A, B, C nói trên.
BÀI GIẢI
Gọi D: biến cố người này không xem báo nào trong 3 tờ báo A, B và C.
=⇒ D: biến cố người này xem ít nhất một trong 3 tờ báo A, B, C.
Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người này xem báo A, B, C.
Ta có: D = A + B + C nên
P (D)

=
=

P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)
0, 2 + 0, 15 + 0, 1 − 0, 05 − 0, 04 − 0, 03 + 0, 02 = 0, 35

Vậy P (D) = 1 − P (D) = 1 − 0, 35 = 0, 65.

1.4.2

Công thức nhân

⋄ Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau
trong một phép thử nếu A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả
năng xảy ra của B và ngược lại.
⋄ Hệ biến cố độc lập từng đôi: Hệ biến cố {A1 , A2 , . . . , An } được gọi là
độc lập từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ độc lập với nhau.
15

⋄ Hệ biến cố độc lập toàn phần: Hệ biến cố {A1 , A2 , . . . , An } được gọi
là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với một tích bất kỳ
các biến cố cịn lại trong hệ.
⋄ Cơng thức xác suất có điều kiện: Cho hai biến cố A và B. Xác suất
để biến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là công thức xác
suất có điều kiện: P (A|B)
P (AB)
Ngồi ra, xác suất có điều kiện có thể tính theo cơng thức: P (A|B) =
P (B)
⋄ Cơng thức nhân:
• Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì: P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B)
• Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: P (AB) = P (A).P (B)
Cơng thức trên có thể mở rộng cho n biến cố, chẳng hạn:
• Cho A, B, C là ba biến cố bất kỳ, ta có: P (ABC) = P (A).P (B|A).P (C|AB)
• Nếu {A, B, C} là hệ độc lập tồn phần thì: P (ABC) = P (A).P (B).P (C)
Bài 1. Cho A, B là hai biến cố độc lập và P (A) = 0, 3 và P (B) = 0, 7. Tính
các xác suất:
a) P (AB)
b) P (A|B)
c) P (B|A)
BÀI GIẢI
Vì A, B là hai biến cố độc lập nên:
a) P (A.B) = P (A).P (B) = 0, 3.0, 7 = 0, 21
b) P (A|B) = P (A) = 0, 3
c) P (B|A) = P (B) = 0, 7
Bài 2. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn
một phát. Xác suất để xạ thủ thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 0,7
và 0,8. Tính xác suất để:
a) Cả hai xạ thủ bắn trúng bia.

b) Chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia.
BÀI GIẢI
Gọi Ai : biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng bia, i = 1, 2.
Ta có: {A1 , A2 } độc lập.
a) Gọi A: biến cố cả hai xạ thủ bắn trúng bia.
Vì A = A1 .A2 nên P (A) = P (A1 ).P (A2 ) = 0, 7.0, 8 = 0, 56.
b) Gọi B: biến cố chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia.
Vì A = A1 .A2 nên P (A) = P (A1 ).P (A2 ) = 0, 7.0, 2 = 0, 14.

16


Bài 3. Có 3 hộp: mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i viên bi trắng
(i = 1, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi.
a) Tìm xác suất để lấy được 3 viên bi trắng.
b) Nếu trong 3 bi lấy ra có một bi trắng, tìm xác suất để viên bi trắng đó
là của hộp thứ nhất?
BÀI GIẢI
Gọi Ai : biến cố lấy được viên bi trắng từ hộp thứ i, i = 1, 2, 3
Ta có: {A1 , A2 , A3 } là hệ độc lập toàn phần.
a) Gọi A: biến cố lấy được 3 viên bi trắng
=⇒ A = A1 .A2 .A3
6
1 2 3
= 0, 048.
=⇒ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = · · =
5 5 5
125
b) Gọi B: biến cố trong 3 bi lấy ra có 1 bi trắng
P (A1 .B)

Ta cần tính: P (A1 |B) =
P (B)
Ta có: B = A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 nên
P (B)

= P (A1 .A2 .A3 ) + P (A1 .A2 .A3 ) + P (A1 .A2 .A3 )
= P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
58
1 3 2 4 2 2 4 3 3
· · + · · + · · =
=
5 5 5 5 5 5 5 5 5
125

P (A1 .A2 .A3 )
P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
Vậy P (A1 |B) =
=
=
P (B)
P (B)

6
125
58
125

=

3

29

Bài 4. Một tín hiệu S được truyền từ điểm A đến điểm B. Tín hiệu sẽ được
nhận tại B nếu cả hai cơng tắc I và II đều đóng. Giả sử rằng khả năng để công
tắc thứ nhất và thứ hai đóng, tương ứng là 0,8 và 0,6. Cho biết hai cơng tắc
hoạt động độc lập nhau. Tính xác suất:
a) Tín hiệu được nhận tại B.
b) Cơng tắc thứ I mở, biết rằng tại B khơng nhận được tín hiệu S.
c) Công tắc thứ II mở, biết rằng tại B khơng nhận được tín hiệu S.
BÀI GIẢI
Gọi Ai : biến cố cơng tắc thứ i đóng, i = 1, 2.
Theo giả thiết, {A1 , A2 } độc lập.
a) Gọi B: biến cố tín hiệu được nhận tại B.
=⇒ B = A1 .A2 =⇒ P (B) = P (A1 ).P (A2 ) = 0, 8.0, 6 = 0, 48.
b) Ta có: P (B) = 1 − P (B) = 1 − 0, 48 = 0, 52.
P (A1 .B)
P (A1 )
0, 2
5
=
=
=
≈ 0, 3846
Ta cần tính: P (A1 |B) =
0, 52
13
P (B)
P (B)
17

c) Ta cần tính: P (A2 |B) =

P (A2 )
0, 4
P (A2 .B)
10
=
=
=
≈ 0, 7692
0, 52
13
P (B)
P (B)

Bài 5. Một kiện hàng gồm 20 chiếc tivi, trong đó có 16 chiếc đạt chất lượng
tốt và 4 chiếc bị lỗi. Lần lượt chọn ngẫu nhiên ra 3 chiếc tivi từ kiện hàng này.
Tính xác suất để:
a) Chiếc tivi chọn lần thứ 3 là tốt, biết rằng chiếc tivi chọn lần thứ nhất và
thứ hai là tốt.
b) Chiếc tivi chọn lần thứ 3 bị lỗi, biết rằng chiếc tivi chọn lần thứ nhất là
tốt và lần thứ hai bị lỗi.
c) Chiếc tivi chọn lần thứ 3 bị lỗi, biết rằng chiếc tivi chọn lần thứ nhất bị
lỗi và lần thứ hai là tốt.
d) Chiếc tivi chọn lần thứ 3 bị lỗi, biết rằng trong hai chiếc tivi chọn ra lần
thứ nhất và thứ hai có một chiếc tốt và một chiếc bị lỗi.
BÀI GIẢI
Gọi Ai : biến cố chiếc ti vi chọn ở lần thứ i là tốt, i = 1, 2, 3.
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta có:

14
7
a) P (A3 |A1 .A2 ) =
= ≈ 0, 7778.
18
9
3
≈ 0, 1667.
b) P (A3 |A1 .A2 ) =
18
3
≈ 0, 1667.
c) P (A3 |A1 .A2 ) =
18
d) Gọi A: biến cố trong hai chiến ti vi chọn ra lần thứ nhất và thứ hai có một
P (A3 .A)
chiếc tốt và một chiếc bị lỗi. Ta cần tính: P (A3 |A) =
P (A)
Vì A = A1 .A2 + A1 .A2 nên
P (A) = P (A1 ).P (A2 |A1 ) + P (A1 ).P (A2 |A1 ) =

16 4
4 16
16
·
+
·
=
20 19 20 19
95

Ngoài ra,
P (A3 .A)

=
=
=

P (A1 .A2 .A3 + A1 .A2 .A3 ) = P (A1 .A2 .A3 ) + P (A1 .A2 .A3 )
P (A1 ).P (A2 |A1 ).P (A3 |A1 .A2 ) + P (A1 ).P (A2 |A1 ).P (A3 |A1 .A2 )
4 16 3
16
16 4 3
·
·
+
·
·
=
20 19 18 20 19 18
285

Vậy P (A3 |A) =

16
285
16
95

=

1
≈ 0, 3333.
3

18


1.4.3

Cơng thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes

⋄ Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc: Hệ biến cố {A1 , A2 , . . . , An } được gọi
là hệ đầy đủ và xung khắc khi và chỉ khi chỉ có duy nhất một biến cố trong hệ
xảy ra, nghĩa là: A1 + A2 + . . . + An = Ω và Ai .Aj = ∅, ∀i = j.
⋄ Giả sử {A1 , A2 , ..., An } là hệ đầy đủ và xung khắc. Khi đó, với A là một
biến cố bất kỳ, ta có cơng thức xác suất tồn phần (đầy đủ):
P (A) = P (A1 )P (A|A1 ) + P (A2 )P (A|A2 ) + ... + P (An )P (A|An )
⋄ Cho biến cố A bất kỳ và {A1 , A2 , ..., An } là một hệ đầy đủ và xung khắc. Khi
đó, ta có cơng thức Bayes:
P (Ai ) =

P (Ai )P (A|Ai )
=
P (A)

P (Ai )P (A|Ai )
n

P (Ak )P (A|Ak )

k=1

Bài 1. Một đám đơng có số đàn ông bằng nửa số đàn bà. Xác suất để đàn ông
bị bệnh tim là 0,06 và xác suất để đàn bà bị bệnh tim là 0,036. Chọn ngẫu
nhiên 1 người từ đám đơng, tính xác suất để người này bị bệnh tim.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố người được chọn bị bệnh tim.
B: biến cố người được chọn là đàn bà.
C: biến cố người được chọn là đàn ơng.
Ta có {B, C} là hệ đầy đủ và xung khắc và P (B) =
Áp dụng cơng thức xác suất tồn phần (CTXSTP):
P (A) = P (B).P (A|B) + P (C).P (A|C) =

2
1
; P (C) =
3
3

2
1
· 0, 036 + · 0, 06 = 0, 044
3
3

Bài 2. Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng
và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu
nhiên ra 1 bi. Tính xác suất:
a) Bi lấy từ hộp II là bi trắng.
b) Bi lấy từ hộp I sang hộp II là bi trắng, biết rằng bi lấy ra từ hộp II là bi

trắng.
BÀI GIẢI
Gọi Ti : biến cố bi lấy từ hộp thứ i là bi trắng, i = 1, 2.
19


a) Ta cần tính P (T2 ). Ta có {T1 , T 1 } là hệ đầy đủ và xung khắc.
Áp dụng CTXSTP:
P (T2 )

= P (T1 ).P (T2 |T1 ) + P (T 1 ).P (T2 |T 1 )
7 6
7
5 7
·
+
·
=
≈ 0, 5833
=
12 11 12 11
12

b) Ta cần tính:
P (T1 ).P (T2 |T1 )
P (T1 .T2 )
=
=
P (T1 |T2 ) =
P (T2 )

P (T2 )

35
132
7
32

=

5
≈ 0, 4545
11

Bài 3. Có 3 hộp: mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i viên bi trắng
(i = 1, 3). Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên đồng
thời 3 viên bi.
a) Tìm xác suất để lấy được 3 viên bi trắng.
b) Nếu trong 3 bi lấy ra có một bi trắng, tìm xác suất để viên bi trắng đó
là của hộp thứ nhất.
BÀI GIẢI
a) Gọi A là biến cố lấy được 3 bi trắng. Ta cần tính: P (A)
Gọi Hi : biến cố chọn được hộp thứ i, i = 1, 2, 3.
1
Ta có P (T1 ) = P (T2 ) = P (T3 ) = và {T1 , T2 , T3 } là hệ đầy đủ và xung khắc.
3
Áp dụng CTXSTP:
P (A)

= P (H1 ).P (A|H1 ) + P (H2 ).P (A|H2 ) + P (H3 )P (A|H3 )
1

1
1
1 C3
=
·0+ ·0+ · 3 =
3
3
3
3 C5
30

b) Gọi B là biến cố trong 3 bi lấy ra có 1 bi trắng.
P (H1 .B)
Ta cần tính: P (H1 |B) =
P (B)
Để tính P (B), ta áp dụng CTXSTP:
P (B)

=
=

P (H1 ).P (B|H1 ) + P (H2 ).P (B|H2 ) + P (H3 )P (B|H3 )
1
2
1
2
1
2
1 C2 .C3
1 C3 .C2

1
1 C1 .C4
+ ·
+ ·
= = 0, 5
·
3
3
3
3
C5
3
C5
3
C5
2

P (H1 .B)
P (H1 ).P (B|H1 )
Do đó, P (H1 |B) =
=
=
P (B)
P (B)
20

1
3

·

1
2
C1 .C4
3
C5

0, 5

=

2
= 0, 4.
5


Bài 4. Điều tra về giới tính của sinh viên ở một trường học, người ta thấy rằng
có 65% nam và 35% nữ. Trong đó, tỷ lệ học sinh nữ và nam thích chơi game
tương ứng là 20% và 25%. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường này, tính
xác suất:
a) Sinh viên được chọn thích chơi game.
b) Sinh viên được chọn là nam, biết rằng sinh viên này thích chơi game.
BÀI GIẢI
a) Gọi A là biến cố chọn được sinh viên thích chơi game. Ta tính P (A).
A1 : biến cố chọn được sinh viên nữ.
A2 : biến cố chọn được sinh viên nam.
Ta có P (A1 ) = 35%; P (A2 ) = 65% và {A1 , A2 } là hệ đầy đủ và xung khắc.
Áp dụng CTXSTP:
P (A) = P (A1 ).P (A|A1 ) + P (A2 ).P (A|A2 ) = 35%.20% + 65%.25% = 0, 2325
b) Ta cần tính: P (A2 |A) =

P (A2 .A)
P (A2 ).P (A|A2 )
65%.25%
=
=
= 0, 6989.
P (A)
P (A)
0, 2325

Bài 5. Một nhà máy có hai phân xưởng. Sản lượng của phân xưởng I gấp 3
lần xản lượng của phân xưởng II. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I và II lần
lượt là 3% và 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất:
a) Chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất.
b) Chọn được 1 phế phẩm.
c) Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm này do phân
xưởng I sản xuất.
BÀI GIẢI
Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm tốt.
Ai : biến cố chọn được sản phẩm do phân xưởng thứ i sản xuất, i = 1, 2.
3
1
=⇒ P (A1 ) = ; P (A2 ) =
4
4
3
a) Ta cần tính: P (A.A1 ) = P (A1 ).P (A|A1 ) = · (1 − 3%) = 0, 7275
4
b) Ta cần tính: P (A). Ta có: {A1 , A2 } là hệ đầy đủ và xung khắc.

Áp dụng CTXSTP:
P (A) = P (A1 ).P (A|A1 ) + P (A2 ).P (A|A2 ) =
c) Ta cần tính: P (A1 |A) =

1
3
· 3% + · 5% = 0, 035
4
4

P (A1 .A)
P (A1 ).P (A|A1 )
=
P (A)
P (A)
21


Ta tính P (A) bằng cách áp dụng CTXSTP:
P (A) = P (A1 ).P (A|A1 ) + P (A2 ).P (A|A2 ) =

1
3
· 97% + · 95% = 0, 965
4
4

3
4

· 97%
291
=
≈ 0, 7539
0, 965
396
Chú ý. Ta có thể tính P (A) bằng cách áp dụng cơng thức

Khi đó, P (A1 |A) =

P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0, 035 = 0, 965

1.4.4

Công thức Bernoulli

⋄ Phép thử Bernoulli là phép thử mà trong đó ta chỉ quan tâm đến hai biến cố
A và A với P (A) = p.
⋄ Xét lược đồ Bernoulli gồm:
• n phép thử độc lập (trong mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai trường
hợp: A xảy ra hoặc A không xảy ra).
• Xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là P (A) = p và P (A) =
1 − p = q.
Khi đó, xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần được tính theo
cơng thức Bernoulli:
P(A) = Pn (k) = Ck .pk .qn−k ,
n

k = 0, n

Bài 1. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính
xác suất để trong 100 hạt:
a) Có 85 hạt nảy mầm.
b) Có ít nhất 99 hạt nảy mầm.
BÀI GIẢI
Ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 100
- Xác suất để 1 hạt đậu nảy mầm: p = 0, 9.
Ta có cơng thức Bernoulli:
k
P100 (k) = C100 (0, 9)k (0, 1)100−k , (k = 0, 100)

a) Gọi A là biến cố có 85 hạt nảy mầm =⇒

k = 85

85
P (A) = P100 (85) = C100 (0, 9)85 (0, 1)15 = 0, 0327

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 99 hạt nảy mầm. Ta cần tính P (B).
Gọi C là biến cố có 99 hạt nảy mầm và D là biến cố có 100 hạt nảy mầm
22


Ta có B = C + D (C, D xung khắc)
=⇒ P (B) = P (C) + P (D) = P100 (99) + P100 (100)
99
100
= C100 (0, 9)99 (0, 1)1 + C100 (0, 9)100 (0, 1)0 = 0, 0003
Bài 2. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,02. Lấy

ngẫu nhiên 150 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 phế
phẩm.
BÀI GIẢI
Theo giả thiết, ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 150
- Xác suất lấy được 1 phế phẩm: p = 0, 02.
Công thức Bernoulli:
k
P150 (k) = C150 (0, 02)k (0, 98)150−k , (k = 0, 150)

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một phế phẩm
B: biến cố không lấy được phế phẩm nào
Ta có: A = B =⇒ P (A) = 1 − P (B)
0
Theo công thức Bernoulli: P (B) = P150 (0) = C150 (0, 02)0 (0, 98)150 = 0, 0483
Vậy xác suất lấy được ít nhất một phế phẩm:
0
P (A) = 1 − P (B) = 1 − C150 (0, 02)0 (0, 98)150 = 0, 9517

Bài 3. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào 1 tấm bia một cách độc lập. Xác suất
bắn trúng bia của mỗi viên đạn bằng nhau và bằng 0,6. Tìm xác suất có từ 5
đến 7 viên đạn trúng đích.
BÀI GIẢI
Theo giả thiết, ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 10
- Xác suất để 1 viên đạn bắn trúng đích: p = 0, 6.
Khi đó, cơng thức Bernoulli:
k
P10 (k) = C10 (0, 6)k (0, 4)10−k , (k = 0, 10)

Gọi A: biến cố có từ 5 đến 7 viên đạn trúng đích. Ta cần tính P (A)
Gọi Ai : biến cố có i viên đạn bắn trúng đích, i = 0, 10
Ta có A = A5 + A6 + A7 ({A5 , A6 , A7 } xung khắc)
=⇒ P (A) = P (A5 ) + P (A6 ) + P (A7 ) = P10 (5) + P10 (6) + P10 (7)
5
6
7
= C10 (0, 6)5 (0, 4)5 + C10 (0, 6)6 (0, 4)4 + C10 (0, 6)7 (0, 4)3 = 0, 6665
Bài 4. Ngân hàng đề thi mơn Lý có 500 câu hỏi. Thầy Bình chọn ngẫu nhiên
20 câu hỏi để làm đề thi cuối kỳ. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó
23


chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng đạt 0,5 điểm. Bạn Ân làm bài
thi bằng cách chọn hú họa một phương án cho mỗi câu hỏi. Tính xác suất để
bạn Ân đạt 8 điểm.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố bạn Ân đạt 8 điểm ≡ bạn Ân trả lời đúng 16 câu hỏi.
Trước hết ta nhận xét rằng: 500 câu hỏi trong ngân hàng đề thi không ảnh
hưởng đến kết quả bài tốn.
Theo đề bài, ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 20
- Xác suất để bạn Ân trả lời đúng 1 câu hỏi: p = 0, 25.
k
Công thức Bernoulli: P20 (k) = C20 (0, 25)k (0, 75)20−k với k = 0, 20
16
Cho ta P (A) = P20 (16) = C20 (0, 25)16 (0, 75)4 = 0, 357.10−6
Bài 5. Trong một hộp có 9 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ cịn lại là bi xanh. Lần
lượt lấy ngẫu nhiên có hồn lại 3 bi. Tìm xác suất để:
a) Lấy được 2 bi xanh.

b) Lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
BÀI GIẢI
Ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 3

6
2
- Xác suất lấy được 1 bi xanh trong mỗi phép thử: p = =
9
3
2 k 1 3−k
k
Ta có cơng thức Bernoulli: P3 (k) = C3
, với k = 0, 3.
3
3
a) Gọi A: biến cố lấy được 2 bi xanh =⇒ k = 2.
Vậy

2
P (A) = P3 (2) = C3

2
3

2

1
3

1

=

4
9

≈ 0, 4444

b) Gọi B: biến cố lấy được ít nhất 1 bi đỏ
=⇒ B: biến cố không lấy được bi đỏ nào ≡ lấy được 3 bi xanh.
3

Tương tự, ta có:

0

1
8
3
P (B) = P3 (3) = C3 2
= 27 ≈ 0, 2963
3
3
3 1 0
3 2
= 0, 7037
Vậy P (B) = 1 − P (B) = 1 − C3
3
3

1.5

Bài tập tổng hợp

Bài 1. Cho hai biến cố A, B và P (A) = 0, 2; P (B) = 0, 5; P (A + B) = 0, 6.
Tính P (AB).
24


BÀI GIẢI
Ta có cơng thức cộng xác suất: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
=⇒ P (AB) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 2 + 0, 5 − 0, 6 = 0, 1.
Bài 2. Cho ba biến cố A, B, C và P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 2; P (C) = 0, 3. Tính
xác suất P (A + B + C), biết rằng A, B, C độc lập nhau.
BÀI GIẢI
Áp dụng cộng thức cộng xác suất:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (CA) + P (ABC)
Theo giả thiết, A, B, C độc lập nhau nên:
P (AB) = P (A).P (B) = 0, 4.0, 2 = 0, 08
P (BC) = P (B).P (C) = 0, 2.0, 3 = 0, 06
P (CA) = P (C).P (A) = 0, 3.0, 4 = 0, 28
P (ABC) = P (A).P (B).P (C) = 0, 4.0, 2.0, 3 = 0, 024
Do đó, P (A + B + C) = 0, 4 + 0, 2 + 0, 3 − 0, 08 − 0, 06 − 0, 12 + 0, 024 = 0, 664.
Bài 3. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất:
a) Rút được 2 lá bài Cơ.
b) Rút được 2 lá bài Rô màu đen.
c) Rút được 2 lá bài Cơ, biết rằng hai lá này màu đỏ.
BÀI GIẢI
2

Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài 52 lá, có n = C52 = 1326 cách.
2
a) Gọi A: biến cố rút được 2 lá bài Cơ =⇒ Có m = C13 = 78 cách.
2
m
1
C13
Suy ra, P (A) =
= 2 =
≈ 0, 05882.
n
C52
17
b) Gọi B: biến cố rút được 2 lá bài Rơ màu đen thì P (B) = 0 vì khơng có lá
bài Rơ nào màu đen.
25
C2
≈ 0, 2451.
c) Gọi C: biến cố rút được 2 lá bài màu đỏ thì P (C) = 26 =
2
C52
102
P (AC)
6
P (A)
C2
Ta cần tính: P (A|C) =
=
= 13 =
= 0, 24.

2
P (C)
P (C)
C26
25
Bài 4. Trong một xưởng có 3 máy làm việc. Trong một ca, máy thứ nhất có
thể cần sửa chữa với xác suất 0,12; máy thứ hai với xác suất 0,15 và máy thứ
ba với xác suất 0,18. Tìm xác suất sao cho trong một ca làm việc có ít nhất
một máy khơng cần sửa chữa.
25