ON TAP THI VAO LOP 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.14 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phần I : Đại số

 Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức
A. Kiến thức cần nhớ:

- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức

- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức
B. Bài tập

 Rót gọn Các căn thức sau:

Bi 1. Tỡm giỏ tr cỏc biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,
9
196
49
16
81
25
b,
81
34
2
.
25
14
2
.
16
1

3 c.

567
3
,
34
.
640

d, 21,6 810. 112 52

Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành c¸c luü thõa bËc hai:

a, 8+2 15; b, 10-2 21; c, 12- 140
d, 5 + 24; e, 14+6 5 ; g, 8- 28
Bài 3. Phân tích thành thõa sè c¸c biĨu thøc sau:

a, 1 + 3 5 15 b, 10 14 15 21
c, 35 15 14 6 d, 3 + 18 3 8
e, xy +y x x1 g, 3+ x +9 -x

Bài 4

. Rút gọn các biểu thức sau:

a, ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4) b, ( 0,2 ( 10)2.3

 + 2 ( 3 5)2

c, ( 28 2 14 7 ). 7 + 7 8 d, ( 15 505 200 3 450 ) : 10

e, 2 ( 2 3)2 2( 3)2 5 ( 1)4






 g, ( ): 6

3
216
2
8
6
3
2



h,
5
7
1
:
)
3
1
5
15
2

1
7
14
(






i,
10
2
7
15
2
8
6
2
5





Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a, a b
b
a
1
:

ab
a
b
b
a





( a, b > 0 vµ a



b )

b, ( 1+ ) 1 a

1
a
a
a
1
)(
1
a
a
a






 (a > 0 vµ a



1);c, ( 1 a a

a
a
1



)(
a
1
a
1


 )2 =1 (a > 0 vµ a



d, a

b
ab
2
a
b
a
.
b
b

a
2
2
4
2
2 



 (a+b>0, b



0)
Bµi 6. Rót gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a, 9a 9 12a 4a2





 víi a = -9 ; b, 1 + m 4m 4

2
m
m
3 2



 víi m<2

c, 1 10a 25a2 4a




 víi a= 2 ; d, 4x- 9x2 6x1 víi x=- 3
e, 6x2 -x 6+1 víi x =

2
3
3
2



Bài 7:Rót gän C¸c biĨu thøc sau:

4
2
4
4
2




x
x
x

A 1 1 22 4 52 1 1 12 :4 2 41 1


















x
x
x
x
x
x
x
B
x
y
y
y
x
y
x

y
x
y
x
C







 2
2
2
2

2 D x x x x  x



















1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1






















1
2
1
1
:
1

1 x x x x

x
x

E a

x
x
a
a
x
x
a

F 2 2

2
2







 Gỵi ý:

Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1
2
2
1
2
2
khix
A
khix




 



2
1 2
B
x


2 y
C
x y


1
D
x

 E x 1

x




Một số loại tốn thờng kèm theo bài tốn rút gọn
I.Tính tốn mt biu thc i s

Ph ơng pháp :

Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:

+Rút gọn biểu thức P(x).

+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn
*Ví dụ:
x
x
x
x
x
A
3
2
9
6
2
2

Tính giá trị của A biết x 18.

2
2
1
2
2
1

a
a

B Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0

4
5
:
2
3
2
2
2
2

x
x
x
x
x
x
x

C Tính giá trị của C biết 2x2+3x =0

1
2
1
2
:
1
1
.
1
1
1
2
2
3

x
x
x
x
x
x
x
x
x

D Tính giá trị của D biết x=

2007
2005

9
9
6

1
2
2

x
x
x
x

E Tính E biÕt x 16

4
4
·
2
2
2




x
x
x
a

F TÝnh F biÕt x= a

a 

1 .

 §¸p ¸n:

khi 3

3
3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x




; 4
2
B
a



 & B=-4/5

( 2) 2

&
5 5
x
C C
x
 
 
1
1
x
D
x



1
x -3
3

1- x

khi x < -3
x - 3

x

khi
x
E

II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức: 
Ph ơng pháp :

Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)

+ Giải phơng trình P(x) =a.
Ví dụ :

























1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
A

a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A=0




























1
3
2
3
1

:
1
9
8
1
3
1
1
3
1
x
x
x
x
x
x
x

B T×m x khi B=6/5


























1
2
1
1
:
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x

C a) TÝnh C biÕt x=42 3 b)T×m x khi C >1.
























1
2
1
1
1

:
1
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

E= 


















1
1
1
:
1
1
3
x
x
x

x a) TÝnh E khi x= 12 140 b) TÝnh x khi E >5

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

F

x x x x

  

  

   

a)Rút gọn F b)Tính x để F=1/2



 









 



2 3 1 4 2 3

1 3

x x x

G

x x

   



 

a)Rót gän G

c)TÝnh G khi x 32 2

b)Tỡm x G >1

Đáp án:

1
; 1
a
A a
a


  ;a=1 ; 4; 1

3 1

x x

B x x

x



  



1 6 3 3

; ; 1 or x < -2

1 3

x x

C C x

x
  
  

2
;
1
x
D
x



2 1
; 0
2
x
E x
x

 

   ; 7 9 5

2 3
x x
F
x x
 

 

2 3; 2 x < -1;G = 2 2 1 ...

1 2 2 1

x

G x or

x

 

  

 

III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó 
 Ph ơng pháp :

Trớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài tốn mà
lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
Ta cần đa biểu thức rút gọn về dạng : R(x)= f(x)+

( )
a

g x sau đó lập luận:

R x( )Z  a g x hay ( ) g(x) lµ íc cđa a (a lµ h»ng sè)
 VÝ dơ :



 



2
2

4 2 3

6 9

x x x

A

x x

  



 

a) Rút gọn A b)Tính xZ để AZ?

2)
x
x
x
x
x
B








2
1
6
5
3
2
2

Rút gọn B, Tính xZ để BZ?

3)
2
2
:
1
1
















a
a
a
a
a

a
a
a
a
a

C a)Tìm a để biểu thức C khơng xác định

b)Rút gọn C c) Tính aZ để C Z?

4)
1
1
1
1
1 3









x
x
x
x
x

x
x

D a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5b)Tìm giá trị nguyên dơng của x để DZ ?

5)E= 

















1
1
1
:
1
1
3

x
x
x
x :
x

x2 Tớnh xZ E Z?

Đáp án: 3 4
3
A
x
 
 ;
4 2
1
2 2
x
B
x x

  
  ;

2 4 8

2
2 2
a
C

a a

  
  ;





2
1 1
D x  ;

2 4
1
2 2
x
E
x x

  
 

IV. Một số thể loại khác 
Bài 1. Chứng minh rằng:



1 2005



2. 20062 2005 2004 b) 3 5 27  3 5 2 7 2
c)
ab
a
a
b
a
b
a

b
a
ab
b
a
b
b
a
ab

a 1 1

1
.
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2

























Bµi 2. Cho B= 

















1
1
1
1
1
2
:
1
x
x
x
x
x
x
x
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b)CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x1.
Bµi 3. Cho C=

6
3
2
ab
6

6
3
2
3
2









b
a
ab
b
a
ab
b
a

a) Rót gän C b) CMR nÕu C=

81
81

b

b

thì 3

b
a

Bài 4. Cho

x
x
b
b
x
b
x
b
x
x
b
b
x
b
x
b
D

2
.

a) Rót gän D b) So sánh D với D.

Bài 5. Cho

1
1
2
2
4
1
2
1
:
1
4
1
4
x
x
x
x

x
x
x
E

a) Rút gọn E. b) Tìm x để E E2

 . c) Tìm x để E  41

Bµi 6. Cho

ab
b
a
b
ab
b
b
ab
a

F  







a) TÝnh F khi a= 42 3;b 4 2 3

b) CMR nÕu

5
1



b
a
b
a

thì F có giá trị khơng đổi.

Bµi 7. Cho biĨu thøc: A1 = (

x
1
1
x
1
1



 ) : ( 1 x

1
x
1

1



 ) +1 x



a) Rót gän A1. b) Tính giá trị cña A1 khi x=7+4 3.

c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bµi 8. Cho biÓu thøc: A2 = 2 2

2
)
2
x
(
)
1
x
2
(
4
)
1
x

(






a) Tìm x để A2 xác định. b) Rút gọn A2. c) Tìm x khi A2 =5.

Bµi 9. Cho biĨu thøc: A3 = (

1
x
1
x
1
x
1
x





):(
1
x
1
1

x
x
1
x
2
2




 )

a) Rót gän A3 b) tìm giá trị của A3 khi x= 3 8 c) T×m x khi A3 = 5

Bµi 10. Cho biĨu : A4 = (

a
a
1
a
a
a
a
1
a
a






):
2
a
2
a



a) Với giá trị nào của a thì A4 khơng xác định. b) Rút gọn A4.

c) Víi giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ?

Bài 11. Cho biểu thức: B1 =

x
x
x
x
2
1
x
x





a) Rót gän B1 b) Tính giá trị của B1 khi x=3+ 8

c) Tìm x để B1 > 0 ? B1 < 0? B1 =0

Bµi 12. Cho biĨu thøc: B2 =

6
a
2
a
3
6
a
2
3
a






a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B2 < 1? B2 > 1?

Bµi 13. Cho biÓu thøc: B3= ( 1+

1
x

 ):( x x x x 1

x
2
1
x
1




 )

a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3 > 3? c) Tìm x để B3 =7.

Bµi 14. Cho biĨu thøc: B4 = (

x
x
1
1
x
x



 ):( x 1

2
1

x
1


 )

a) Rót gän B4 b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B4 khi x=3+2 2

c) Giải phơng trình B4 = 5

Bµi 15. Cho biĨu thøc: B5 = (

a
b
a
b
a
a



 ):( a b 2 ab

a
a
b
a
a




 )

a) Tìm điều kiện của a để B5 xác định. b) Rút gọn B5.

c) BiÕt r»ng khi a/b = 1/4 th× B5 = 1, tìm giá trị của b.
Bài 16. Cho biểu thức: C1 = x4 x 4  x 4 x 4

a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 = 4

Bµi 17. Cho biĨu thøc: C2 =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Rót gän C2

b) Tính giá trị của C2 khi a = 42 3 , b = 4 2 3

c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị khơng đổi

Bµi 18. Cho biĨu thøc: C3 =

6
b
3
a
2
ab

ab
6
6

b
3
a
2
ab

b
3
a
2

a) Chứng minh rằng b0 thì C3 có giá trị không phụ thuộc vào b

b) Giải phơng trình C3 = -2.

c) Tìm a để C3 < 0? C3 > 0?

d) Tìm giá trị ngun của a để C3 có giá trị nguyên.

e) Chøng minh r»ng nÕu C3 = b+81/b-81,

khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 19. Cho biểu thức: C4 = (

1
x
2
x

2
x
1

x
2
x










2
1
x
2
x2  

a) Xác định x để C4 tồn tại. b) Rút gọn C4

c) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× C4 > 0.

d) T×m giá trị của C4 khi x = 0,16.

e) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa C4.

g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z.

Bµi 20. Cho biĨu thøc: C5 = 3 2 2 3
3
2
2
3

y
xy
y
x
x









a) Rót gän C5.

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa C5 khi x = 3, y = 2.

c) Với giá trị nào của x, y thì C5 = 1.

Bµi 21. Cho biĨu thøc: D1 = (

x
1

1
1
x
x

x
1

x
x

2
x








 ):

2
1
x 
a) Rót gän D1.

b) Chøng minh D1 > 0 víi x0,x 1.

Bµi 22. Cho biĨu thøc: D2 = (

x
y

y
x
y
x

x 3 3







y
x

xy
)

y
x

( 2






a) Xác định x, y để D2 có nghĩa. b) Rút gọn D2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D2. d) So sánh D2 và D2 .

e) Tính giá trị của D2 khi x = 1,8 vµ y = 0,2.

 Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b
 Kiến thức:

Cho hµm sè y=ax+b (a≠0)

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x0;y0) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.

- Ngợc lại, nếu điểm A(x0;y0) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x0;y0) của A thoả mãn hàm số

y=f(x).

- Cho hai đờng thẳng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ 0 ; a1 ≠ 0)

+ (d1) // (d2)  a=a1 & b≠ b1

+ (d1)  (d2)  a= a1 & b= b1

+ (d1) c¾t (d2)  a≠ a1 & b≠ b1

+ (d1) ┴ (d2)  a.a1=-1

Bµi tËp vËn dơng

Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.
Bài 2: Cho đờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m
Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):

a) CMR: (d1) & (d2) kh«ng thĨ trïng nhau víi mäi m.

b) Tìm m để (d1) // (d2); (d1) cắt (d2); (d1) ┴ (d2)

Bài 4: CMR: 3 đờng thẳng sau đây đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đờng thẳng :(d1): y=

3x;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4

Bài 7: Cho đờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m2+1)x+m2-4

a) CMR: (d1) luôn đi qua điểm A cố định và (d2) luôn đi qua điểm B cố định

b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d1) // (d2)

Bµi 8. Cho hai hµm sè : y = (k + 1 )x + 3 vµ y = (3-2k)x +1

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trên có thể trùng

nhau đợc khơng ?

Bài 9. Viết phơng trình đờng thẳng :a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(

2
5
;
2
1

)
b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)

c. §i qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )

d . Song song với đờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (

3
4
;
3
1

)

Bài 10.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)

a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) & (d2)

b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)

b. Gọi các giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (3) với các đờng thẳng (1), (2) thứ tự là A,B: tìm toạ
độ của các điểm A,B

c.TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c OAB

 Chun đề 3:Phơng trình và hệ phơng trỡnh bc nht
Bt phng trỡnh

I.Ph ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

Ph ơng pháp : ax+b=0 ax=-b  x=-b/a

Nếu phơng trình khơng có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa 
 về dạng tổng quát rồi tính

* VÝ dụ:

Bài 1:Giải các phơng trình:

x x

x b)





 











4
1
2
12

5
2
3

1  







 x x x x x

x

c) 0

2
2

3
1
1
2
2
2

2 









 x x x

x
x

* Ph ơng trình dạng f(x) g(x) (1)

 Sơ đồ giải:





( ) 0(2)
( ) ( )

( ) ( ) (3)
g x

f x g x






  






Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm khơng thích hợp, 
 nghiệm thích hợp là nghim ca phng trỡnh ó cho.

Ví dụ :

Bài 2:Giải phơng trình: a) 3x 8 7 b) x2x12 x

2 3 x

2 3x1

* Ph ơng trình dạng f(x) g(x) h(x)

 Sơ đồ giải:- t k cú ngha ca phng trỡnh

0
)
(

x
h

x
g

x
f

- Bình phơng 2 vế , rút gọn đa về dạng(1)

ví dụ:

Bài 3:Giải phơng tr×nh:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) 5 x  1x b) 3x 1 10x1 5

* Ph ơng trình dạng f x( ) g x( )  h x( )
 Sơ đồ gii:

- Đặt đk có nghĩa của phơng trình

0
)
(

x
h

x
g

x
f

-Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải
 đối chiếu nghiệm vừa tìm c vi iu kin!

ví dụ:
Bài 5:Giải phơng trình

a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7 12 x
IV. Bất ph ơng trình

*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
+ Phơng pháp: ax+b>0 ax>-b  x>-b/a nÕu a>0

x<-b/a nÕu a<0
+ VÝ dô:

Bài 6: Cho phơng trình:

3
2

1
6
3

1
5

2x x x x

a) Giải bất phơng trình

b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất phơng trình.

Dạng 2: BPT phân thức 
B
A

>0 ,BPT tíchA.B>0

*Cỏch gii: Mi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :

0
0
0
0
A
B
A
B

 






 
 


 

*vÝ dơ:

Bµi 6: Giải các phơng trình sau:
1)2x(3x-5) <0 2) 1

2
2

x
x

3)(x-1)2-4 <0

*D¹ng 3: ( ) ( )

( )

f x a




   



Bµi 7: Giải phơng trình: x 4 x1

*D¹ng 4: ( ) ( )

( )
f x a
f x a

f x a




  

 


hc f(x) a a f(x)a

Bài 8: Giải phơng trình: 1
2
4
2

x
x

V.Hệ ph ơng trình

* Phơng pháp:

*ví dụ: Cho hệ phơng trình 3 2

9 6 1

x my

x y

 




 



(1)

a) Gi¶i (1) khi m=

2
1



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

d) Tìm m để (1) có nghiệm 0
0

x
y

Bi tõp

Bài 1.Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
a)
25
20
5
5
5
5
2

x
x
x
x
x

2
7
1

4
1

2 2 2





 x
x
x

c) 2 36 8



x d) 2 2 2 1



 x

x d)

e) x3x 2x12 f) x1 x 2 1 g) x 4x2 4x15
Bài 2. Giải các hệ phơng tr×nh sau

a)
1
1
3
2
2
1
1
1
2
1








y
x
y
x
b) 
5

4
3
1
1
1




y
x
y
x
c) 
1
5
1
5
1







x
y
y
x

d) 2 2

x
x
x
e) 
0
5
0
5
)
(
3
)
(
2 2








y
x
y
x
y

x
 f) 
12
3
3
8
)
(
3
)
(
5 2






y
x
y
x
y
x

Bµi 3.Cho hÖ pt: 3

3
mx y
x my

 


 


a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)

b)Tìm m để hệ có vơ số nghiệm; vô nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm 0

0
x
y

Bài 4. Cho hệ phơng trình:

2
mx my m

mx y m

 





 


(m: lµ tham sè)

a)Giải và biện luận hệ phơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0.
Bài 5.Tìm m để hệ phơng trình sau : 5

2 3 7

mx y
x my
 


 


cã nghiÖm tháa m·n ®iỊu kiƯn: x>0; y<0

Bài 6) Tìm a để hệ phơng trình: 3

· 4 6

x ay
a x y

 




 



cã n0 tháa m·n x>1; y>0.

Bài 7)Tìm a để 3 đờng thẳng sau: (d1) 2x +y =5 (d2) 3x-2y =4 (d3) a x +5y =11 ng quy?

Bài 8)Giải hệ phơng trình 2 3 8

3 1
x y
x y
 


 


& 4 3 2

3
x y
x y

Bài 9) Giải hệ phơng trình sau: a) 2 2 5

5
x y xy

x y
  


 


b) 30

35
x y y x
x x y y

  


 


c)
64

1 1 1

4
xy
x y




 



d) 2 2 11

30
x xy y
x y xy

  


 

 e) 
2 2
2 2
19
7

x y xy

   



 

Bài 10. Giải hệ phơng trình sau :

2

3

1 x

y

x

y















2

0

3

1 x

y

x

y

















2x 3y 1
2
y
3
x







5
y
2
2
x
10
1
y
x
2







  



2
y
x
4
5
y
3
x

8 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1

3

4

5 x

y

x

y


























  


36
5
y
1
x
1
4
3
y
6
x
5




 







1
1
y

1
2
x
1
1
1
y
3
2
x
2 





3
y
x
1
y
x
1
1

y
x
3
y
x
2

Bài 11. Giải các hệ phơng trình : a. 


    



0
5
)
y
x
(
3
)
y
x
(
2
0
5
y
x

2
b.


   

8
)
y
x
(
3
)
y
x
(
5
12
y
3
x
2
2

Bài 12. Cho hệ phơng trình :

)
1
(
b
ay
x
2
)
2
(
1
by
ax

a. Xỏc định a,b để hệ có nghiệm x= 2 ,y= 3 ; b. Tìm a,b để hệ vụ s nghim

Bài 13. Cho hệ phơng trình :

3
y
x
)
1

a
(
a
y
ax

a. Giải hệ phơng trình víi a=- 2

b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Bài 14.Cho hệ phơng trình



  


a
ay
x
1
y
ax

; a. Giải hệ phơng trình với a= 2 -1
b. Chứng minh hệ phơng trình có hai nghiệm với mọi a

c. Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thoả m·n x>0; y>0

 Chuyên đề 4: phơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng
I.Phơng trình bậc hai

1) Ph ơng trình bậc hai khuyết :

* Ph ơng pháp : Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đa về dạng phơng trình tích.
* Ví dụ: Giải phơng trình sau:

a) 2x2-50x =0 b) 54x2 =27x c) 2

4
5

3x2 x2  d)

4
1
2
3
2
2

1 2 2






 x x

x
2) Ph ơng trình dng y :

* Ph ơng pháp : Giải theo công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:
* Ví dụ:Giải phơng trình

a) 1 2 0

x
x
x
x
b)
1
1
2
1
2
2



 x
x
x

c) 2 1 1 7

7 12 2 6 40

x  x  x 
3)Ph ơng trình giải đ ợc bằng cách đặt ẩn số phụ :

* Ví dụ: Giải các phơng trình

a) (x2+2x)2 -2(x2+2x) -3 =0 c) 4x4 +12x3-47x2+12x+4=0

b) x4-5x2-6 =0 d) x2+

2
5
x
-2
3
=0
Bài tập: Giải các phơng trình sau

a)(6x2-7x)2- 2(6x2-7x) -3 =0 ; b)(x+

x

)2-4,5(x+

x

) +5=0

c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)

2
2 8
1
x
x
x


II.Điều kiện nghiệm của phơng trình bậc hai ax2+bx+c =0

Ph ơng pháp :

Cho phơng trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (1)

+ K để (1) vô nghiệm: 0

0
a



 


+ ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb: 0

0
a


 

+ ĐK để (1)Có nghiệm kép: 0

0
a


 


</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ ĐK để (1)Có nghiệm: 0

0
a



 


+ ĐK để (1) có 2n0 dơng:

0
0
0
S
P

 





 

+ ĐK để (1) có 2n0 âm:

0
0
0
S
P

 






 


+ ĐK để (1)có 2n0 cùng dấu:

0
0
P

 






(Khi đó nếu Tổng 2n0 dơng thì 2n0 mang dấu dng v ngc li)

Ví dụ:

Bài 1:Cho phơng trình: (m-1)x2 -2(m+1x + m-2=0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phơng trình khi m= 5

Bài 2: Cho phơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép?

Bài 3: Cho phơng trình :m2x2 + mx +4 =0 . Tìm m phng trỡnh vụ nghim?

Bài 4:Cho phơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0

a)CMR Phơng trình luôn có nghiệm?

b)Tỡm k để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n0 mang dấu gì?

Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?

Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?

Bµi 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0

a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng - 3.Tìm nghiệm thứ hai?

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0

a) m=? để phơng trình có nghiệm kép

b) m=? để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n0 mang du gỡ?

III.Bài toán liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi-ét

Ph ơng pháp : 
 NÕu pt bËc 2 :ax2+bx+c = 0

có 2 nghiệm x1, x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là:

1 2

1. 2
b
x x

a
c
x x

a



 





 




Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trớc. Nếu đk cho
trớc có chứa biểu thức x12+x22 hoặc x13+x23 thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: x12+x22=(x1+x2)2

-2x1x2

x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2).

TÊt nhiªn các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mÃn đk 0

Ví dụ:

Bài 1:Cho phơng trình bËc hai: x2- 2(m+1)x + m2 +3 =0 (1)

a) Tìm m để (1) có 2 n0 dơng?

b) Tìm m để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn 22

7
7

1
2
2

x
x
x

x

Bài 2:Cho phơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham sè

a) Tìm k để pt(2) có n0 kép?

b) Tìm k để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn x12+x22=10

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi x.

b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đơi nghiệm kia?
Bài 4: Cho phơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m : x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2.

Bài 5:Cho phơng trình mx2-(m-4)x +2m =0.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho món: 2(x12+x22)-x1.x2=0.

Bài 6:Cho phơng trình x2-(m-1)x +5m-6=0.

Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả món: 4x1+3x2=1

Bài 7:Cho phơng trình x2-2(m+1)x+m2+3=0.

Tỡm m phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuéc vµo tham sè?

 Ph ơng pháp : Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợc biểu thức
không phụ thuộc vào tham số

VÝ dô :

Bài 1:Cho phơng trình: x2-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x

1,x2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

c lp vi k.

Bài 2:Cho phơng tr×nh bËc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 cã các nghiệm là x

1,x2. Tìm một hệ thức liên hệ gi÷a

các nghiệm độc lập với k.

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập

víi m?.

Bài 4: Cho phơng trình bậc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ gia cỏc nghim c

lập với m?.

Lập phơng trình bậc hai khi biÕt hai nghiƯm cđa chóng
 Ph ¬ng ph¸p :

- LËp tỉng x1+x2

- LËp tÝch x1x2

- Ph¬ng trình cần tìm là X2-SX+P =0.

* Ví dụ:

Bài 1:Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm lµ:a)

3
1

vµ

2
1

;b) 3vµ 5; c)5 2vµ 5 2
Bµi 2: Cho phơng trình: x2+px+q =0(1)

a) Không giải phơng trình, hÃy tính biÓu thøc:









2
2

1 22 3

2
2







x
x

A theo p và q

b)Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc 2 theo y có hai nghiệm là:

1
1

1
1
1






x
x

y ;

1
1

2
2
2





x
x
y

c)Chøng minh r»ng nếu phơng trình (1) và phơng trình x2+mx+n=0

có nghiệm chung thì :(n-q)2+(m-p)(mq-np)=0

Bài tập:

Bài 1: Cho phơng trình x2-mx +m-1 =0(1)

a)CMR: (1) cã nghiƯm víi mäi m.T×m nghiƯm kép nếu có của (1) và giá trị tơng ứng của m.
b)Đặt A= x12+x22-6x1x2. - CMR : A=m2-8m +8.

-Tìm m A=8
Bi 2:Cho phng trỡnh : (m-4)x2-2mx+m-2=0

a) Giải phơng trình khi m=18

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phõn bit.
c) Tớnh x13+x23 theo m?

Bài 3: Cho phơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)

a) Giải phơng trình khi m=-3/2

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2.

Bµi 4: Cho phơng trình : x2- 2mx+2m-1=0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1.CMR: A= 8m2-18m+9

2. Tìm m để A=27

3. T×m m sao cho phơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?

Chuyên đề 5: Mối tơng quan giữa đồ thị

hµm sè bËc nhÊt vµ hàm số bậc hai

Ph ơng pháp :

Cho Parabol (P): y=ax2 và đờng thẳng (d): y=mx+b

- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  phơng trình ax2=mx+b có 2 nghiệm phân biệt  >0

(nghiệm của phơng trình chính là hồnh độ cỉa hai giao điểm)

- ĐK để (d) Không cắt (P)  phơng trình ax2=mx+b vơ nghiệm   <0.

- ĐK để (d) tiếp xúc với (P)  phơng trình ax2=mx+b có nghiệm kép

  =0

(nghiệm kép tìm đợc đó chính là hồnh độ tiếp điểm).
Bài tập:

Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=

x

2 .

Tìm a và b để đờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P).

Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y=

(m-1)x-(m-1).

a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ.
Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2

a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung.

b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho hàm số y= -1x 2

2 (P)
a) VÏ (P).

b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B.
Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó.

Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2. Lập phơng trình đờng thẳng

() song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P).
Bài 6: Cho (P): y=1 2

2x và hai đờng thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1.

a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng

b) BiÖn luËn theo a sè giao ®iĨm cđa (P) & (d2)

c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm.

d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

 Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức

 Ph ơng pháp 1 :

Bin i biu thc đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn
 ( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng
 (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay ln nht).

Chẳng hạn:

A=(ax+b)2+m m thì minA=m khi và chỉ khi x=

a
b

A=-(ax+b)2+M M

thì maxA =M khi vµ chØ khi x=
a

b



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 . Do =(m-3)2 0 nên A==(m-3)2+22

dấu = xảy khi m-3=0  m=3.
VËy GTNN cđa A lµ 2 khi m=3.

VÝ dơ 2: T×m GTLN cđa biĨu thøc B= -4x2-8x+5

Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+66

VËy GTLN cđa B lµ 6 khi 2x+1=0 x=-1/2.

Ph ơng pháp 2 :Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dơ: T×m GTLN & GTNN cđa biĨu thøc:

1
1

2
2






x
x

x

Đặt y=

1
1

2
2

x
x

x

, ta cần tìm GTNN&GTLNcủa y?

y(x2+x+1)=x2+1 (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - Đây là phơng trình bậc hai ẩn x

+) y-1=0 y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)

+) y -1 0 y1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm 0.
 = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2)0  2 2

3  y  GTNN lµ

3 GTLN lµ 2.

Khi đó x=

2( 1) 2(1 )

y y

 

  víi y=2/3 th× x=1
víi y=2 th× x=-1
VËy: GTNN lµ 2

3 Khi x=1 ; GTLN lµ 2 Khi x=-1

 Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi:
+ với a0;b0 ta có ab ab

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

 HƯ qu¶ : + NÕu a+b =S th×

4
2

S
ab
S

ab    . Vậy ab đạt GTLN là S  ab

4
2

+ Nếu ab =P thì a+b 2 P.Vậy a+b đạt GTNN là 2 P  ab
Ví dụ: Cho biểu thức



x



x



P





5
3

với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Giải : Từ -3<x<5 P>0. Đặt E=



x3 5

 

 x



P đạt GTNN thì E đạt GTLN 



x3 5

 

 x



đạt GTLN.
Xét (x+3)+(5-x)=8 (hằng số) 



x3 5

 

 x



 8 4

2 dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM).





 



8 8

2
4
3 5

P

x x

  

  . GTLN của P là 2 và đạt đợc khi x=1
*Bi tp

Bài 1: Tìm GTLN&GTNN nếu có của c¸c biĨu thøc sau:
a) -x2+2x+5 b) 2x2-x+3 c)

1
1
2


 x

x d) 2 1



 x

Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN. Tìm GTNN đó

a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2

Bµi 3: Cho biĨu thøc :

x
x
Q

3
72
2



 với x>0. Tìm x Q t GTNN.Tỡm GTNN ú.

Bài 4: Tìm GTLN & GTNN cđa biĨu thøc: y=

7
2

3
2




 x x

Bµi 5: Giả sử x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình x2-2(m-1)x+m2-m -0 (1)

Tìm GTNN của tổng S= x12+x22

Bài 6: Cho phơng trình : x2- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Gọi x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x12+x22.

Bài 7: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2-3mx-2 =0

Tìm giá trị của m để x12+x22 đạt giỏ tr nh nht?

Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của c¸c biĨu thøc sau: 
A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C=

2
3

2

x

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5

Bài 10:Tìm GTLN & GTNN cđa biĨu thøc:
a)

2
2 2 2007

x
x
x

y   ;b)

1
1

2
2

x
x

y ;c) 2

1
3

x
y

Bài 11: Cho 2 biến số dơng x và y . Biết x+y=6.Tìm GTNN của

y
x

Q2 2
Chuyên đề 7: Bất đẳng thức
I. Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa:

* §N: AB  A- B  0
Nªn khi chøng minh A B ta:
 - LËp hiÖu A-B

-Chứng tỏ rằng A-B 0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số
 không âm hoặc tổng các bình phơng.v.v.

VÝ dơ: Chøng minh r»ng 2(a2+b2) (a+b)2 a,b

Gi¶i: XÐt hiÖu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)20 a,b.

Theo định nghĩa  2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm)

Bµi tËp vËn dơng

1) CMR: (a+b)24ab 2) CMR: NÕu ab th× a3b3

3) CMR: a2+b2+c2 ab+bc+ca 4) CMR:

2
2

2 x
1

x
x



 


II. Phơng pháp biến đổi tơng đơng

 Để chứng minh A B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần chứng minh
đến một đẳng thức đã biết là đúng

VÝ dô: CMR :1 1 4 x y, 0

xy x y  

Gi¶i: 1 1 4 x + y 4 x + y





2 4 x - y





2 0

xy xy

xy x y  x y    

§óng x y, , 0 nªn 1 1 4 x y, 0

x yx y (đpcm)
Bài tập vận dụng

1) CMR:

2
2

4 5

0
1

x x

x
x

 

 

 2) CMR:

2
4

1
1 2
a

a
a   
3) CMR: NÕu p,q>0 th×:

2 2

p q

pq
p q




 4) CMR: 3x

2+y2+z22x(y+z+1) x y z, ,

5) CMR: 2006 2007 2006 2007

2007  2006   6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x

2+4y21

7) CMR: NÕu 2x+4y=1 th× : x2+y2 1

8)Cho a0.Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng tr×nh 2 2

4 0

x x

a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Sư dơng BĐT Côsy: , 0

2
a b

ab a b

- Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci:

ax by

a2b2

x2y2

x, y
- Các hệ quả của BĐT Côsy:

+)1 1 4 x y, 0

xy x y  
+)





1 4

x, y
xy x y 

+) 1 1 1 9 x, y, z

x yz x y z  

Ví dụ: Cho 3 cạnh của  ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c

CMR: 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Gi¶i: ta cã p-a, p-b, p-c >0 nên áp dụng BĐT 1 1 4 x y, 0

x yx y   , ta cã:

1 1 4 1 1 4 1 1 4

; ;

1 1 1 1 1 1

2 4 dpcm

p a p b c p b p c a p c p a b

p a p b p c a b c

     

     

   

         

    

 

 Ghi chú : Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng
Bài tập vận dụng:

Bµi 1:Cho 2 sè dơng a,b thoả mÃn a+b=1. CMR: 1 21 2 6

ab a b  (cã thĨ hái: T×m GTNN cđa biĨu thøc A=

2 2

1 1

ab a b )

Bµi 2:Cho 2 sè d¬ng a,b. CMR:





2 2

1 1 1

4a 4b 8ab  a b

Bµi 3: Cho x>y, xy=1. CMR:

2 2

x y

x y

Bài 4:Cho x>0; y>0 thoả mÃn điều kiện 1 1 1

xy .Tìm GTNN của biÓu thøc A= x y

 Chuyên đề 8: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình

.Ph ơng pháp:
B

c 1 : Chn n số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số)
B

ớc 2 : - Biểu thị các đại lợng đã biết và cha biết qua ẩn số

- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho trớc trong bài để 
 thiết lập phơng trỡnh(hoc h phng trỡnh)

B

ớc 3 : Giải phơng trình ( hoặc hệ phơng trình)
B

c 4 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời
Bài tp vn dng:

Bài 1. Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hn ba lần của số kia là 8.

Bi 2. Cho mt số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai ch số của nó thì đợc một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng
của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho?

Bµi 3. Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 5. Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là

3
5

cạnh còn lại dài 8cm.
Tính cạnh huyÒn

Bài 6. Bảy năm trớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con.
Hỏi năm nay mỗi ngời bao nhiờu tui?

Bài 7. Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000đ Hôm nay mẹ lan mua 3 quả

trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600đ mà giá trứng thì vẫn nh cũ. Hỏi giá mỗi quả trứng mỗi loại là bao

nhiêu?

Bài 8. Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, nếu xếp
mỗi ghế 4 häc sinh th× thõa mét ghÕ.

Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiªu häc sinh?

Bài 9. Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đợc tất cả 460 tấn thóc. Hỏi
năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu. Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch đợc ít hơn 4 ha trồng lúa
cũ là 1 tấn

Bài 10. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hơm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe
phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 11. Hai ơ tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn
ô tô thứ hai 12km. Nên đến địa đỉêm B trớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗt ơ tơ biết qng
đ-ờng AB di 240km

Bài 12. Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngợc chiều và gặp nhau sau
2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô tô B giảm đi 5
km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô t« B.

Bài 13. Một ơ tơ đi t A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

3
2

vận tốc của ô tô
th nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB mất bao lâu?

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lp phng trỡnh

hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)

Bi 14. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ơ tơ vân tải cũng đi
đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu. Biết rằng vân tốc của ô tô tải
bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch.

Bài 15. Hai ngời thợ cùng xây một bức tờng trong 7h12phút thì xong nếu ngời thứ nhất làm trong 5h và ngời
thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đơc 3/4 bức tờng. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu song bức tờng?
Bài 16. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong 4 thì xong việc. Nếu ngời thứ nhất làm một
mình trong 9 ngày, rồi ngời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi ngời làm một
mình thì bao lâu xong việc.

Bài 17. Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một sản xuất vợt
mức 15%, tổ hai sản xuất vợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong
tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.

Bài 18. Cho một dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nớc thì đợc một dung dịch 6%. Hỏi có bao
nhiêu gam dung dịch đã cho?

Bµi 19. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 4

5
4

giờ bể đầy

mi gi lng nc ca vũi mt chảy đợc bằng 1

2
1

lợng nớc chảy đợc của vòi hai . Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì
trong bao lâu đầy bể

Bài 20. Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30’ một ngời đi xe máy cũng đi từ
A đến B sớm hơn 1h .Tính vận tốc của mỗi xe .Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe đạp .

Bài 21. Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ngời đó nghỉ 20phút rơì
quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5h50’
Bài 22. Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu ngời thứ nhất làm trong 3h và ngời thứ
hai làm trong 6h thì họ làm đợc 25% cơng việc .Hỏi mỗi ngời làm một mình thi song công việc trong bao lâu
.

Bài 23. Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12
.Tìm số đã cho

Bài 24. Trong một phịng họp có 360 ghế đợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau .Có
một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ chỗ cho 400 đại biểu .Hỏi
bình thờng trong phịng có bao nhiêu dãy ghế

Bài 25. Quãng đơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15’ rồi trở về A hết tất cả 10h
.Tính vận tốc của ôtô lúc về .Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h

Bµi 26. Một số máy suôi dòng 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà số máy đi
59,5km trên mặt hồ yên lặng .Tính vận tốc của xng khi ®i trong hå .BiÕt r»ng vËn tèc cđa n ớc chảy trong
sông là 3km/h.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chuyờn đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trỡnh

hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)

Bi 28: Ngi ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè. Sau khi chia số
học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh. Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1 ngời thì thiếu 7 học sinh. Hỏi
số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu.

Bài 29:Hai cạnh góc vng của một  vng hơn kém nhau 14 cm.Tính các cạnh của  đó biết chu vi của
nó là 60cm.

Bµi 30Cho mét thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng thêm mỗi cạnh 10m th× diƯn tÝch míi b»ng 2

3 diƯn tÝch

cị.NÕu giảm mỗi cạnh đi 10 m thì diện tích mới b»ng 3

5 diƯn tÝch cị.

Bài 31: Hai vịi nớc cùng chảy đầy một bể khơng có nớc trong 3h45’. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi vòi phải chảy
trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4giờ.

Bài 32:Quãng đờng Hải Phòng – Hà Nội dài 105 km.Một ơ tơ đi từ Hải Phịng đi Hà nội với vận tốc đã
định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi là nửa giờ. Tính vận tốc
lúc đi của ơtơ?

Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ só đó, ta sẽ đ ợc
một số viết theo thứ tự ngợc lại. Tìm số đó?

Bài 34:Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ. Lúc về ngời đó đi đợc 1

3quãng đờng với vận tôc hơn lúc

đi là 2km/h.Phần đờng cịn lại, ngời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h, lúc về chậm hơn lúc đi là
40giây. Tính qng đờng AB?

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

PhÇn II: H×nh häc

 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình
hệ thức lợng trong tam giác vng.
 Ph ơng pháp ;

- Các phơng pháp nhận biết tam giác cân.
- Các phơng pháp nhận biết tam giác đều
- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông

- Các phơng pháp nhn bit tam giỏc vuụng cõn

- Các phơng pháp nhận biết hình thang, hình thanh cân
- Các phơng pháp nhận biết hình bình hành

- Các phơng pháp nhận biết hình chữ nhật
- Các phơng pháp nhận biết hình thoi
- Các phơng pháp nhận biết vuông
 Bài tập vận dụng:

Bài 1. Tìm x, y,z trong mỗi hình sau :

Bài 2. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dới đây :

a, Trong (h×nh 1) sinx b»ng :

A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4
b, Trong (h×nh 2) sinQ b»ng :

RS
PR

SR
PS

QR
PR

QR
SR

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số lợng giác của góc B. Từ đó 
suy ra các hệ thức tính tỉ số lợng giác ca gúc C

Bài 4. giải tam giác vuông ABC Biết A = 900 AB=5 ,BC=7

Bài 5. Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 13:21
Bài 6. Dựng góc x Biết sinx = 3/5

Bµi 7. Dùng gãc x BiÕt cotgx = 1/2

Bài 8 Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 400 góc F = 580 kẻ đờng cao EI của tam giác đó . Hãy tớnh

(lấy 3 chữ số thập phân)
a).Đờng cao EI

b). C¹nh EF

Bài 9: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo hình bình hành ABCD. M và N lần lợt là trung điểm của AD và
BC; BM và DN cắt AC lần lợt ở P và Q.

a) So sánh các đoạn AP, PQ, QC. ; b) Tứ giác MPNQ là hình g×?
c) TÝnh tØ sè CA

CD để MPNQ là hình chữ nhật.;d) Tính ACD để MNPQ là hình thoi.

e)  ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vng?

Bài 10: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB.Gọi M là một điểm nằm
trên cung AK, N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN=AM.

Chøng minh r»ng:

a) AMK =  BNK; b) MKN lµ  vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của AMN

c)Khi điểm M chuyển động trên cung AK thì đờng vng góc với BM kẻ từ N ln ln đi qua một điểm cố
định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại B.

x

9

25 y

x

10

8 a)

b)

x

y

z

4

5 x

3cm

H.1 5cm

4cm

Q
R

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bµi 11: Cho hinh fvuông ABCD.Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1

4 đờng trịn phía trong hình vng.lấy AB

là đờng kính, vẽ 1

2 đờng trịn phía trong hình vng. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC (không trùng với A và

C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD; PA và PB cắt nửa đờng tròn tại I và M.
c) Chứng minh I là trung điểm của AP

d) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy tại một điểm
e) Chứng minh PM=PK=AH

f) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân
g) Tìm vị trí của điểm P trên cung AC để  APB đều
 Chuyên đề 2: Chứng minh một số điểm nằm trên đờng trịn

tø gi¸c néi tiÕp

 Ph ơng pháp ;

- Phng phỏp chng minh 4 điểm nằm trên một đờng tròn
- Phơng pháp chứng minh 5 điểm nằm trên một đờng tròn

1.Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc dối bằng 1800

3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh cịn lại dưới hai góc bằng nhau
4. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng nhau

5. Sử dụng định lý đảo về hệ thức lượng trong đường tròn

Nếu M là giao điểm của AB và CD và thoả mãn AM.MB = CM.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
6. Trong trường hợp phải chứng minh từ 5 điểm trở lên cùng nằm trsên một đường tròn ta chọn 3 điểm nào
đó cố định ,rồi kết hợp với một điểm thứ tư để chứng minh 4 điểm nằm trên đường tròn và cứ tiếp tục như
vậy chứng minh tiếp .

Bµi tËp vËn dơng:

Bµi 1 Từ một điểm M nằm ngoài (o) kẻ các tuyến qua tâm MAB và các tiếp tuyến MC,MD , gọi K là giao
điểm của AC và BD .

C/m 4 điểm B,C,M,K cùng thuộc một đường trịn ,xác định tâm đường trịn đó

Bµi 2.Gọi AB là đường kính của (o) từ A kẻ hai dây bất kì cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở E và F và
cắt đường tròn ở C và D . Chứng minh tứ giác DCEF nội tiếp

Bµi 3. Cho hình bình hành ABCD ( ABˆC >900)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

A’ là hình chiếu của DS trên BC, B’ là hình chiếu của D trên AC, C’ là hình chiếu cuả D trên AB. Chứng 
minh O nằm trên đường trịn ngoại tiếp ∆A’B’C’.

Bµi 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O) gọi D và E là hai tiếp điểm.Trên AB và AC.Các đường phân
giác của góc B và C cắt đường thẳng DE tại N và M.

Chứng minh rằng 4 điểm B,M,N,C cùng nằm trên một đường trịn.

Bµi 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi trên cạnh BC. Các đường thẳng qua M và song song với các cạnh
bên AB,AC lần lượt cắt AB và AC ở Q và P.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC.Chứng minh.
a, Tứ giác APOQ nội tiếp.

b, Điểm đối xứng của M qua PQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Bài 6. Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D sao cho
DB=DC và góc DCB bằng 1/2góc ACB

Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp

Bài 7. S là điểm chính giữa cung AB của đờng tròn tâm 0 Trên dây AB lấy hai điểm E và H các đờng
thẳng SH và SE cắt đờng tròn tại C và D .Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp

Bài 8. Tứ giác ABDC nội tiếp đờng trịn tâm O .E là điểm chính giữa cung AB hai dây EC,EB cắt AB
tại P và Q các dây AD,EC cắt nhau tại I ,các dây BC và ED cắt nhau tại K .Chứng minh rằng

a. Tø gi¸c CDIK néi tiÕp ; b. Tø gi¸c CDQP néi tiÕp

Bài 9. Cho tam giác ABC các đờng phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S .Các
đờng phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E . Chứng minh BSCE là tứ giác nội tiếp

Bi 10. Cho tam giỏc cân ABC đáy BC và góc A =20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy D sao

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 11. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E biết AE.EC =BE.ED .Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng
nằm trên một đờng tròn.

Bài 12. Cho đờng tròn tâm O .SA ,SB là hai tiếp tuyến của đờng tròn tại A và B Kẻ dây BC .Đờng kính
vuông góc với AC cắt BC t¹i I .Chøng minh r»ng :

a. 4 điểm S,A,I,B cùng nằm trên đờng tròn
b. Tứ giác SAOI nội tiếp

Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I và cắt đờng tròn 
tai P ,kẻ đường kính PQ các tia phân giác của góc ACB và góc ABC cắt AQ tại E và F .Chứng minh 4 điểm
B,C,E,F nằm trên một đường tròn

Bài 14.Cho tam giác ABC có các góc nhọn . Gọi H là Trực tâm .P,M,N là chân các

đờng cao hạ từ A,B,C xuống BC ,AC,AB .Chứng minh rằng

a. Các tứ giác AM HN và BMNC nội tiếp

b. Gọi D,E,F lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AC,AB,BC .
Chứng minh rằng 6 điểm A,E,B,F,C và D cùng nằm trên một đờng tròn

Bài 15. Cho tam giác ABC vng tại C .Gọi D là hình chiếu của C trên AB đờng trịn tâm O

đờng kính CD cắt cạnh AC,BC tại E và F.Gọi M là giao điểm thứ hai của BE với đờng tròn ,K là giao điểm
của AC và MF ,P là giao điểm của EF và BK .

Chứng minh rằng : 4 điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng tròn .

Bài 16: Cho  ABC, các đờng cao BE và CF cắt nhua tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. Tìm
các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ.

Bài 17: Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đờng thẳng AO

cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C và C’. Đờng thẳng AO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại D và D’
Chứng minh rng:

a) C, B, D thẳng hàng
b) ODCO nội tiếp

c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D’C’ cắt nhau tại M. Chứng minh: MCBC’ nội tiếp.

Bài 18: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC. lấy điểm A trên đờng trịn sao cho AB>AC. Dựng hình vng
ABED ở miền ngồi  ABC. Gọi F là giao điểm của AE với đờng tròn và K là giao điểm của CF và ED.
Chứng minh:

a) B,K, D, C cùng thuộc một đờng trịn.
b) AC=EK

Bài 19: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O). Các đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Các
cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:

a) A,D,E, O cùng thuộc một đờng tròn.
b) Tứ giác AOCF nội tiếp

c) MNCP là hình bình hành trong đó M, N lần lợt là trung điểm của BD, AC và P là chân đờng cao hạ
từ B xuống CD.

 Chuyên đề 3: Chứng minh tam giác đồng dạng
và chứng minh đẳng thức hình học
 Ph ơng pháp ;

- Sử dụng các trờng hợp của tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam
giác đồng dạng

- Sử dụng định lí Ta Lét và hệ quả; tính chất đờng phân giác của tam giác;
các cách biến đổi tỷ lệ thức để chứng minh các đẳng thức hình học.
- Muốn chứng minh một đẳng thức m mi v l tớch cu hai on thng,

chẳng hạn: MA.MB=MC.MD ta có thể dùng các phơng pháp sau đây:
+ Chứng minh mỗi vế cùng bằng một tích thứ ba

+ Chøng minh hai tam gi¸c MAC và MDB (hoặc hai tam giác MAD vµ
MCB)

(Trờng hợp đặc biệt: MT2=MA.MB thì chứng minh  MTA  MBT)

+ Sư dơng c¸c hƯ thøc trong vuông
Bài tập vận dụng:

Bi 1: Cho hai ng trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi với nhau tại M. một đờng thẳng cắt đờng tròn tại A, B và
tiếp xúc với đờng tròn (O) tại C. Các tai AM , MB cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại E và D. Tia CM cắt đờng tròn
(O) tại I.

a) Chøng minh  AIB  ECD

b) Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn kẻ từ M cắt tại P.
 Chứng minh PC2=PA.PB

Bài 2: Cho nửa đờng trịn tâm O, dờng kính AB=2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (M khác A,B). Tiếp
tuyến tại M cắt nửa đờng tròn, cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

e) CM:  AMB  COE

Bài 3: Cho góc vng xOy. Trên Ox đặt đoạn OA=a.Dựng đờng tròn (I; R) tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy
tại hai điểm B,C. Chứng minh các hệ thức:

a) 12 12 12

AB  AC a

b) AB2+AC2=4R2

Bài 4: Cho hình vng ABCD. Từ A kẻ một đờng thẳng tạo với AB góc  (00< <450). Đờng thẳng này cắt

cạnh BC tại M và cắt đờng thẳng DC tại I.

a) Chøng minh hƯ thøc: Sin2 +Cos2 =1

b) TÝnh biĨu thøc 1 2 12

AM AI theo a là cạnh của hình vuông.

Chuyờn 4: Chng minh mt ng thẳng
là tiếp tuyến với đờng trịn-Tốn tổng hợp

 Ph ơng pháp ;

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

- Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau (thuận, đảo)
- Các định lí về tiếp tuyến

Bµi tËp vËn dơng:

Bài 1. Cho tam giác ABC cận tại A ( có BC<BA) nội tiếp (O) tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn lần lợt cắt 
các tia AC,AB ở D và E .Chứng minh :

a. BD2=AD.CD

b. Tø gi¸c BDCE là tứ giác nội tiếp
c. BC// DE

d. Gi M là giao điểm của BD và EC .Chứng minh rằng A,O,M thẳng hàng và tứ giác OBMC nội tiếp
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A trên AC lấy M dựng đờng trịn đờng kính MC. Nối BM và kéo dài cắt

đờng tròn tại D,DA cắt đờng trịn tại S Chứng minh rằng :

a. ABCD lµ tø giác nội tiếp
b. CA là phân giác của góc SCB

c. Gọi T là giao điểm của đờng tròn đờng kính MC với B và K là giao điểm của BA và CD Kéo dài
.Chứng minh: K,M,T thẳng hng , ATK=OTK

d. Chứng minh tứ giác KBTS là hình thang

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc C=900 nội tiếp nửa đờng tròn (O,R).Gọi Ax, By lần lợt là tiếp tuyến của nửa

đờng tròn, tiếp rtuyến lại của (O) cắt Ax, Bythứ tự tại E, F.
a. Tính góc EOF.

b. Chøng minh r»ng EF = AE + BF.
c. Chøng minh r»ng AE.BF = R2.

d. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính EF.
e. Gọi M là giao điểm của OE và AC, N là giao điểm của OF và BC.
Tứ giác OMNC là hình gì ? Vỡ sao ?

g. BC cắt Ax tại G, AC cắt By tại H .Chứng minh rằng: AG.BH = AB2 và AG2 = GC. GB.

h. Gọi D là giao điểm cđa AF vµ BE. Chøng minh r»ng: CD // AE.
i. Chøng minh r»ng: EF. CD = EC.FB

k. Khi C chuyển động trên nửa đờng trịn thì M, N chuyển động trên đờng nào.
l. Xác định vị trí của C để tam giác EOF có diện tích bé nhất ?

Bài 4. Cho hai đờng tròn ( O; R ) và ( O; G ), cắt nhau tại hai điểm A và B ( O và O, thuộc hai nửa mặt phẳng

bờ AB ) các đờng thẳng AO và AG cắt đờng tròn ( O ) tại điểm thứ hai C1

D và cắt đờng tròn ( G ) ại

các điểm thứ hai E và F.

a. Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng. b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc đờng tròn.
c. Chứng minh AB, CD, EF đồng quy. d. Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác

BDE.
e. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến trung của ( O ) và ( G ).

Bài 5. Cho ( O ) và một điểm A nằm ngoài ( O ) các tiếp tuyến với ( O ) kẻ từ A tại B và C. Gọi M là điểm 
tuỳ ý trên đờng tròn ( khác B và C ) từ M kẻ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng góc AB.
Chứng minh: a. Tứ giác ABOC nội tiếp.b. Góc BAO = góc BCO.

c. Tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK. d. MI.MK = MH2.

Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng trịn ( O ). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; gọi E 
là điểm đối xứng của H qua AB, F là điểm đối xứng của H qua trung im I ca BC.

Chứng minh:

a. Tứ giác BHCF là hình bình hành.
b. E, F nằm trên ( O ).

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

d. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
e. Gọi BB' , CC' là đờng cao của tam giác ABC. Chứng minh AO vng góc B' C' .

g. Tìm điều kiện ràng buộc góc B và góc C để OH // BC.

Bài 7. Cho (o) đờng kính AB một các tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB

a, Chứng minh khi cát tuyến MN di động trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định
b, Từ A kẻ ã vng góc với MN tia By cắt Ax tại C chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành
c, chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN

d, Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đờng nào ?

e, Cho AB = 2R, AM.AN = 3R2 AN =R 3 Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác AMN.

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. vẽ về một phía của AB các nửa đ ờng trịn có đờng kính
theo thứ tự là AB, AC, CB. Đờng vng góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn lớn tại D. DA và DB cắt các nửa
đờng trịn có đờng kính AC và CB theo th t ti M, N

a)Tứ giác DMCN là hình gì? tại sao
b)Chứng minh hệ thức: DM.DA=DN. DB

c)CMR MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn có đờng kính AC và CB.
d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất

Bài 9:Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn, vẽ N đối xứng với A qua M, BN cắt đờng
tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC với BM.

a)CMR: NE ┴ AB

b)Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. CMR: FA là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
c)CMR: FN là tiép tuyến của (B,BA)

 Chuyên đề 5: Bài toán về tính tốn số đo
diện tích xung quanh,thể tích của một số hình

 Ph ơng pháp ;

- Sư dông cĨc cỡng thục tÝnh diơn tÝch, thố tÝch cĨc hÈnh: hÈnh trô, hÈnh nãn, hÈnh nãn côt, hÈnh cđô
-Khi tÝnh cđn xĨc ợẺnh xem hÈnh cđn tÝnh bao gạm nhƠng hÈnh nÌo hỵp thÌnh.

- Lu ý đổi cùng đơn vị để tính.
Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho dờng thẳng d cố định. Một doạn thẳng AB cắt đờng thẳng d tại diểm O sao cho OA = 4 và
OB=10, đồng thời AB tạo với d một góc 300.Gọi I và J tơng ứng là hình chiếu vng góc của A,B trên d.

a)Khi quay hình IAOBJ một vịng xung quanh d đoạn AB sẽ tạo nên hình gì?
b)Tính diện tích xung quanh của hình tạo đợc; c)Tính thể tích của hình tạo đợc

Bài 2: Một chiếc hộp có dạng hình trụ,ngời ta đo đợc chiều cao của hộp bằng đờng kính đáy của nó và bằng
30cm. Hãy tính diện tích tồn phần của hộp đó.

Bài 3: Một bình đựng nớc có dạng hình trụ với bán kính đáy là R. Một hình cầu nằm khít trong hình trụ đó.
Ngời ta đổ nớc vào trọng bình sao cho mặt nớc phía trên vừa ngập hết quả cầu. Sau đó vớt quả cầu ra, hỏi
mực nớc tụt xuống bao nhiêu so với lúc đầu?

Bµi 4:H·y hoµn thành bảng sau với h

ình nón:

Bán kính

ỏy (r) Chiều cao(h) Chu vi đáy(C) Diện tíchmột đáy(Sđ)

DiƯn tÝch
xung quanh
(Sxq)

DiƯn tích
toàn phần
(Stp)

Thể tích
(V)

5 12

5 60

5 100

Bài 5:

HÃy hoàn thành bảng sau với hình trụ:

Bỏn kính
đáy (r)

ChiỊu cao
(h)

Chu vi đáy
(C)

Diện tích
một đáy(Sđ)

DiƯn tÝch
xung quanh

(Sxq)

DiƯn tích
toàn phần
(Stp)

Thể tích
(V)

5 12

3 60

2 100

5 120

15 81

17 20

Bài 6: Một hình nón cụt có các bán kính đáy là R=20 cm; r=12cm và đường cao là h=15cm
a) Tính diện tích xung quanh của nón cụt

b) Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó

 Chun đề 6: Các bài tốn quỹ tích
 Ph ơng pháp ;

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bµi tËp vËn dơng

Bài 1: Cho nửa đơng trịn tâm O, đờng kính AB.Từ A và B kể các tiếp tuyến Ax, By của nửa đờng tròn. Từ
một điểm M di động trên nửa đờng tròn, ta kẻ tiếp tuyến của nửa đờng tròn ấy, cắt Ax, By lần lợt tại C và D.
Tìm Quỹ tích trung điểm I của CD.

Bài 2:Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Một cát tuyến di đông qua A cắt (O) và (O’) theo thứ
tự tại C và D.

a) CMR: Đờng trung trực của đoạn CD đi qua một điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích trung điểm K của đoạn CD

Bài 3:Từ diểm O nằm trên đờng thẳng xx’, ta kẻ Oy ┴ xx’. Trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A, B sao cho
OA=OB. Gọi C là một điểm di động trên đoạn OB.

Từ B kẻ một đờng thẳng ┴ với tia AC tại E và cắt Ox’ tại D.
a) Tìm quỹ tích điểm E.

</div>

ON TAP THI VAO LOP 10

. Rút gọn các biểu thức sau:

<sub></sub>





<sub></sub>



 









 





 







<sub></sub>

<sub></sub>





 















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

2

3

1

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>















2

0

3

1

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>



















1

1

1

3

4

5

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>







