HSG AG 0910

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (205.89 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC: 2009-2010

MƠN THI: TỐN

Thời gian: 150 (khơng kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

Chứng minh các số sau đây là những số nguyên:

1/. 2 52 12

(

5 27

)

3 1 3 3 1 3 3

a =ổỗỗỗ - + ửữữữữ +

ỗố - - - ứ

2/. b = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - +
Bài 2: (6,0 điểm)

1/. Cho phương trình ẩn x, tham số m:x2-2(m+1)x m+ 2+2m- =3 0. Xác
định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2008< < <x2 x1 2013.

2/. Giải hệ phương trình:

(

)

2 2

3 3

3 3

2( ) 3
6

x y x y xy

x y

ìï + = +

ïï

íïï + =
ïỵ

Bài 3: (2,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

(

)

(

)

3 2 1 3 1 3 2 1 3 1

y = x + + x + + x + - x +

Bài 3: (4,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với
đường thẳng BD ở M. Chứng minh rằng : AB.CD = BC.AD.

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M. Một
đường thẳng D đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P. Chứng minh rằng: BM CM

BP - CN
không đổi, khi M và D thay đổi.

--- Hết 
----ĐỀ CHÍNH THỨC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1
GIẢI ĐỀ:

Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh các số sau đây là những số nguyên:

1) 2 52 12

(

5 27

)

3 1 3 3 1 3 3
a =ổỗỗỗỗố - + ửữữữữ +

ứ

- -

-(dựng MTCT nh

p to

àn b

ộ biểu thức tr

ên vào máy và

ấn “=”, ta được

ngay k

ết

qu

ả l

à: -2)

Gi

ải chi tiết tr

ên gi

ấy:

(

)

2 52 12 5 27
3 1 3 3 1 3 3

a =ổỗỗỗỗố - + ửữữữữ +
ứ

- -

-(

) (

) ( )

2 3 1 52 3 3 1 12 3 3

5 3 3

2 26 6

é + + + ù

ê ú

= - + +

ê ú

ë û

(

3 1 6 3 2 6 2 3

)(

5 3 3

)

= + - - + + + = -

(

5 3 3

)(

5 3 3+

)

=25 27- =- ẻ2 Â

V

y

a

l m

t số nguy

ên.

(đpcm)

2) b = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - +

(Tương tự d

ùng MTCT nh

ập to

àn b

ộ biểu thức tr

ên vào máy và

ấn “=”, ta được

ngay k

ết quả l

à: 3)

Gi

ải chi tiết tr

ên gi

ấy:

Kh

ử các căn thức từ trong ra ngoài, ta được:

· (

)

7+4 3 = 2+ 3 = +2 3

· (

)

(

)

48 10 7 4 3- + = 48 10 2- + 3 = 28 10 3- = 5- 3 = -5 3

·

5 3+5 48 10 7- +4 3 = 5 3+5 5

(

- 3

)

= 25=5
Þ b= 4+ 5 3+5 48 10 7- +4 3 = 4+ =5 9=3ẻÂ

V

y

b

l m

t s nguy

ờn.

(pcm)

Bi 2: (6,0 điểm)

1) Cho phương trình ẩn x , tham số m:x2-2(m +1)x m+ 2 +2m- =3 0. Xác
định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2008< < <x2 x1 2013.

Ta có:

2 2

' ( 1) ( 2 3)

' 2 1 2 3

' 4

m m m

m m m m

D = + - +

-D = + + - - +

D =

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1 3; 2 1

x = +m x = -m

Ta lại có: x1 >x2 (vì x1- = + - + = >x2 m 3 m 1 4 0)
Nên theo đề bài, ta có:

2 1

2008 2013 2008 1 3 2013
2008 1 2009

2009 2010
3 2013 2010

x x m m

m m

m

m m

< < < Û < - < + <

ì ì

ï < - ï >

ï ï

Ûíï + < Ûíï < Û < <

ï ï

ỵ ỵ

Vậy với 2009< <m 2010 thì phương trình có hai nghiệm thỏa u cầu bài tốn.

2) Giải hệ phương trình: ìï + =ïï

(

)

íïï + =
ïỵ

2 2
3 3
3 3

2( ) 3

( )
6

x y x y xy

I
x y
Đặt:
3 3
3
3

u x u x

v y
v y
ì ì
ï = ï =
ï ï
ï Ûï
í í
ï = ï =
ï ïïỵ
ïỵ

(

)

(

)

ì ì
ï + = + ï + - + =
ï ï
ï Ûï
í í
ï + = ï + =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ

3 3 2 2

2 3 . ( ) ( ) 9

( ) :

6 6

u v u v u v u v u uv v uv

I

u v u v

ì ì
ï - = ï =
ï ï
Ûíï + = Ûíï + =
ï ï
ỵ ỵ

6(36 3 ) 9 . 8

6 6

uv uv u v

u v u v

Theo Vi-ét thì u v, là nghiệm của phương trình: - + = Û ê =é =ê

êë

2 6 8 0 2

4
X

X X X

Suy ra: 2 hc 4

4 2
u u
v v
ì ì
ï = ï =
ï ï
í í
ï = ù =
ù ù
ợ ợ

. Do ú: 8 hoặc 64

64 8
x x
y y
ì ì
ï = ï =
ï ï
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ

Vậy hệ phương trình (I) có đúng hai nghiệm

( ) ( )

8;64 , 64;8

Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

(

)

(

)

3 2 1 3 1 3 2 1 3 1

y = x + + x + + x + - x +

Điều kiện: x ³ -1
Ta có:

(

3 1 2

)

3 1 1

(

3 1 2

)

3 1 1

y = x + + x + + + x + - x + +

(

) (

)

3 1 1 3 1 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

-3

3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 2

y = x + + + - x + ³ x + + + - x + =

Dấu “=” xảy ra Û -1 x3+ ³ Û £1 0 x 0
Vậy: miny =2 khi - £ £1 x 0.

Bài 3: (4,0 điểm)

· Xét ∆MAD và ∆MBA, ta có:
·

AMB: chung
· ·

MAD MBA= (cùng bng ẵ s ADẳ)
Suy ra: MAD ng dạng ∆MBA (g-g)
Do đó: MA AD

MB AB= (*)

· Xét ∆MCD và ∆MBC, ta có:
·

CMB: chung
· ·

MCD MBC= (cùng bằng ½ sđ CD»)
Suy ra ∆MCD đồng dạng ∆MBC (g-g)

Do đó: MC CD

MB BC= (**)

· Hay MA CD

MB BC= (**) (vì MC = MA theo tính chất
tiếp tuyến cắt nhau)

· Từ (*), (**) suy ra:

. .

AD CD ABCD AD BC

AB BC= Û = (đpcm)

D

M

O

A

C

B

Bài 4: (4,0 điểm)

· Vẽ qua A, (d) // (∆), cắt BC tại Q

· Áp dụng định lý Talet cho ∆BAQ, ta có:

BM BP hay BM BQ

BQ = BA BP = BA (*)
· Áp dụng định lý Talet cho ∆CAQ, ta có:

CM CN hay CM CQ

CQ = CA CN = CA (**)
· Trừ theo vế của (*) và (**), ta được:

BM CM BQ CQ BQ CQ BC

BP CN BA CA AB AB

-- = - = = (do AB

= AC).

Hay BM CM BC (const)

BP CN- = AB = (đpcm)

(d)

Q

P

B

A

C

M

N

________________
Giải đề: Nguyễn Chí Dũng

</div>

HSG AG 0910

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

-(dựng MTCT nh

p to

àn b

ộ biểu thức tr

ên vào máy và

ấn “=”, ta được

ngay k

ết

qu

ả l

à: -2)

Gi

ải chi tiết tr

ên gi

ấy:

(

)

-(

) (

) (

<sub>) ( )</sub>

(

)(

)

(

)(

)

V

y

l m

t số nguy

ên.

(đpcm)

(Tương tự d

ùng MTCT nh

ập to

àn b

ộ biểu thức tr

ên vào máy và

ấn “=”, ta được

ngay k

ết quả l

à: 3)

Gi

ải chi tiết tr

ên gi

ấy:

Kh

ử các căn thức từ trong ra ngoài, ta được:

·

(

)

·

(

)

(

)

·

(

)

V

y

l m

t s nguy

ờn.

(pcm)

(

)

(