CHUYEN DE LUONG GIAC ON THI DH

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Các phương pháp giải pt lượng giác</b>

<b>I. Kiến thức cơ bản: </b>

<b>1). Hằng đẳng thức lượng giác:</b>

Sin

2

_{x + cos}

2

_{x = 1}

<b></b>

<i>_x</i>

<i>x</i>
2
2 tan
cos

1



<b> </b>

<i>x</i>

<i>x</i>
2
2 cot
sin

1



<b> </b>

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

tan
cos

sin



<b> </b>

tanx.cotx = 1

<b>2) Công thức cơ bản:</b>

+ Công thức cộng:

Sin (a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa cos (a ± b) = cosa.cosb



sina.sinb

+ Công thức nhân đôi:

Sin2a = 2sina.cosa

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i> ₂

tan
1

tan
2
2
tan




Cos2a = cos

2

_{a – sin}

2

_{a = 2cos}

2

_{a -1 = 1- 2sin}

2

_a

+ Công thức hạ bậc:

2

2
cos
1

cos2<i>_a</i> _  <i>a</i>

₂

2
cos
1

sin2 <i>_a</i>_  <i>a</i>

+

CT biến đổi tổng thành tích:

2
cos
.
2
sin
2
sin

sin<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i><i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

2

sin
.
2
cos
2
sin

sin<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i><i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
2

cos
.
2
cos
2
cos

cos<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i><i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

2
sin
.
2
sin
2
cos

cos<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i><i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

+ CT biến đổi tích thành tổng:

Sina.cosb =

1₂

[sin(a +b) + sin (a – b)]

cosa.cosb =

1₂

[cos (a +b) + cos (a – b)]

Sina.sinb = -

1₂

[cos (a + b) – cos (a – b)]

+ CT biến đổi về tan

₂<i>a</i>

(đặt t = tan

₂<i>a</i>

):

2

1
2
sin

<i>t</i>
<i>t</i>
<i>a</i>





₂

2
1
1
cos

<i>t</i>
<i>t</i>
<i>a</i>




 ₂

1
2
tan

<i>t</i>
<i>t</i>
<i>a</i>




+ CT nhân 3:

Cos3a = 4cos

3

_{a – 3cosa}

_{sin3a = 3sina – 4sin}

3

_a

<b>3) Các cung lượng giác:</b>

+ Cung đối:

+ Cung bù:

sin (-a) = -sina

sin (п – a) = sina

cos (-a) = cosa

cos (п – a) = -cosa

tan (-a) = -tana

tan (п – a) = -tana

cot (-a) = -cota

cot (п – a) = -cota

+ Cung phụ:

+ Cung hơn kém

2



:

sin (

2


– a) = cosa

sin (

2


</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

cos (

₂

– a) = sina

cos(

₂

– a) = -sina

+ Cung hơn kém п:

sin(п + a) = -sina

cos (п + a) = -cosa

<b>II. Các phương pháp giải:</b>

<b>1) Nghiệm của pt lượng giác:</b>

<b> s</b>

inx = sina



















2
2

<i>k</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

cosx = cosa



_{x = ±a + k2п}

tanx = tana



_{x = a + kп}

<b>2) Các dạng pt lượng giác thường gặp và pp giải:</b>

<b>Dạng 1: asinx + bcosx + c = 0 (a</b>

<b>2</b>

<b>_{+ b}</b>

<b>2</b>

<b>_{≠ 0)}</b>

C

1

: Chia hai vế của pt cho

<i>a</i>2<i>b</i>2

Sau đó đặt:

sin <i>_a</i>2 <i>_b</i>2

<i>b</i>






_,

2
2
cos

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>a</i>





_và

2
2
sin

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>






_{Khi đó pt đã cho}

_

Sin (x +



_{) = sin}



C

2

: Chia 2 vế của pt cho a hoặc b: sau đó đặt b/a = tan



Ví dụ 1: sinx + cosx = 0

Ví dụ 2: sin3x - cos3x = 0

Ví dụ 3:

8 0

14
sin
5
cos
12

5
sin

5
cos

12  







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Dạng 2: asin</b>

<b>2</b>

<b>_{x + bsinx.cosx + ccos}</b>

<b>2</b>

<b>_{x = 0}</b>

C

1

: Nếu cosx = 0 khơng phải là nghiệm thì chia 2 vế của pt cho cos

2

x.

C

2

: Nếu cosx = 0 là nghiệm thì sử dụng cơng thức nhân đơi, hạ bậc để đưa pt về dạng 1:

Ví dụ 1: 4cos

2

_{x + 3sinx.cosx – sin}

2

_{x = 3}

Ví dụ 2: 2sin

2

_{x – sinx.cosx – cos}

2

_{x =2}

Ví dụ 3: 4

2

sin

3

x – 4cos

3

x +

2

sin (x +

4


) – 2cos (x -

₄

) = 0

<b>Dạng 3: a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 </b>

<b>(pt đối xứng)</b>

Đặt t = sinx + cosx =

2

.sin(x +

4


)

<i>t</i> _ ₂



2
1
cos

sin

2


 <i>x</i> <i>t</i>
<i>x</i>

Ví dụ 1: 4

2

(sinx + cosx) + 3sin2x – 11 = 0

Ví dụ 2:

sin cos _sin1 _cos1 10₃

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

Ví dụ 3: (sinx + cosx)

2

_-

₂

_{(1 + sin2x) +sinx + cosx -}

₂

_{= 0}

Ví dụ 4: Tìm m để pt sau có nghiệm: sinx.cosx – sinx – cosx =

2
1

m

2

_{– 2m + 1}

<b>3) Một số dạng pt lượng giác không quen thuộc</b>

<b>Dạng 1: Dùng công thức và phép biến đổi đưa về pt tích:</b>

Ví dụ 1: 4

2

sin

3

x – 4cos

3

x +

2

sin(x +

4


) – 2cos(x -

4


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 3: sin

3

_{x + cos}

3

_{x = 2 (sin}

5

_{x + cos}

5

_x)

Ví dụ 4: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

<b>Dạng 2: Dạng biến đổi về pt: </b>

2
1

<i>A</i>

<b> + </b>

2
2

<i>A</i>

<b> + </b>

2
3

<i>A</i>

<b>_{+ … +}</b>

2

<i>n</i>

<i>A</i>

<b>_{= 0}</b>















0
0
0
0
3
2
1

<i>n</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>

Ví dụ 1: 4cos

2

_{x + 3 tan}

2

_{x - 4}

₃

_{cosx +2}

₃

_{tanx +4 = 0}

Ví dụ 2: 4sin

2

_{x + sin}

2

_{3x = 4 sinx.sin}

2

_3x

Ví dụ 3: cos

2

_{4x + cos}

2

_{8x = sin}

2

_{12x + sin}

2

_{16x + 2}

<b>Dạng 3: Giải pt f(x) = g(x) bằng pp đối lập: </b>

Ta c/m:
















<i>m</i>
<i>x</i>
<i>g</i>

<i>m</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

<i>g</i>

<i>m</i>
<i>x</i>
<i>f</i>

)
(

)
(
)

(
)
(

Ví dụ 1: sin

3

_{x + cos}

3

_{x = 2 – sin}

2

_x

_

_sin

3

_{x + cos}

3

_{x = 1 + cos}

2

_{x (sinx = 1, cosx = 1 VN)}

Ví dụ 2: sin

3

_{x + cos}

4

_{= 1}

Ví dụ 3:

5

4
39
cos
3
cos

4

17
sin

sin2 2








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

Ví dụ 4: os

14

_{x + sin}

13

_{x = 1}

<b>Giải các PT và hệ PT sau:</b>

<b>1.</b> sin2_{3x - cos}2_{4x = sin}2_{5x - cos}2_6x <b>_2.</b>_{cosx+ cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -1}

<b>3.</b> (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin2_2x <b>_4.</b>_{cotgx - 1 =}

tgx
x
cos



1
2

+ sin2_{x -}

2
1 _sin2x

<b>5.</b> 0

2
cos
4

2

sin2 2 _ 2 _









 <i>tg</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> 

<b>6.</b> 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2_x

<b>7.</b> cos2_{3xcos2x - cos}2_{x = 0} <b>_8.</b>_{1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0}

<b>9.</b>

cos

4

sin

4

cos

sin 3

3

0

4

4

2

<i>x</i>



<i>x</i>





_

<i>x</i>







_



_

<i>x</i>







_













<b>10</b>.





6 6

2

sin

sin .cos

0

2 2sin

<i>cos x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









<b>11.</b> cotx + sinx

1 tan .tan

4

2

<i>x</i>

<i>x</i>

















<b>12.</b> cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

<b>13.</b>



1 sin



2

<i>x</i>



cos

<i>x</i>





1 cos



2

<i>x</i>



sin

<i>x</i>

 

1 sin 2

<i>x</i>

<b> 14.</b> 2sin2_{2x + sin7x - 1 = sinx}

<b>15. </b>

2

sin

cos

3 cos

2

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



















<b>16. </b> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>g</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

2
sin
8

1
2

cot
2
1
2

sin
5

cos

sin4 4






17.





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>tg</i>4 2 ₄

cos

3
sin
2
sin
2
1 

 <b>18</b>. tgx + cosx - cos2_{x = sinx(1 + tgxtg}

2
<i>x</i>

)

<b>19. </b> <i>x</i>

<i>x</i> sin
cos

8
1

2  <b> 20</b>. 3 tgx



tgx2sinx



6cosx0

<b>21. </b>cos2x + cosx(2tg2_{x - 1) = 2} <b>₂₂</b>_.

0
3
2

9
4

3cos x cos6x cos2x 

<b>23. </b>





1
1

cos

2

4
2
sin
2
cos
3

2 2










 _




<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> 

<b> 24. </b>   _ _sin_x_

x
cos
x
sin

x
cos
x
cos







1
2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>25. </b>

x
sin

x
cos

tgx

gx
cot

2
4
2


 <b>26</b>. sin(cosx) = 1

<b>27. </b>tg x tgx cosxsin3x

3
1

2   <b>28</b>. sinxcosx3 2sin2x1sinxcosx 20

<b>29. </b>

5
5
3

3x sin x
sin

 <b>30. </b> ₁__sin_x__cos_x_₀

<b>31</b>. sin2x4



cosx sinx



4 <b>32. </b>

x
cos
x

cos
x

cos2 8 7 1

2   

<b>33. </b>₂ 3 ₂ ₀




cos x cosx
x

sin <b>34. </b>2sin3xcos2x cosx0
<b>35</b>. 4 22 6 2  9 3 2 0

x
cos

x
cos
x

sin
x

sin <b>_36.</b>

2
3
sin
2
sin

sin2<i>x</i> 2 <i>x</i> 2 <i>x</i>

<b>37. </b>sin<i>x</i>cos4<i>x</i>cos2<i>x</i>sin3<i>x</i>0 <b>38. </b>1sinxcosxsin2xcos2x0

<b>39. </b>tg2x + cotgx = 8cos2_x <b>_40.</b> _tg _x

x
sin
x
cos

x
cos
x

sin ₂

8

13
2

2

6
6






<b>41. </b>sinxsin2xsin3x 3cosxcos2xcos3x0 <b>42.</b> sin x 2sinx

4

3








 



<b>43. </b>3cosx

_

1 sinx

_

 cos2x2 sinxsin2x 1 <b>44. </b> 1 ₂ 2 ₁ 





 cotgx

x
sin
x
cos
x

g
cot
tgx

<b>45</b>. sinx.cosx + cosx = -2sin2_{x - sinx + 1} <b>_56.</b>









3
3

4 2 x

cos
x
cos

<b>47. </b>sin3x = cosx.cos2x.(tg2_{x + tg2x)} <b>_48.</b>









₁

1
2

2
3

2









x
sin

x
sin

x
sin
x

sin
x
cos
x
cos

<b>49. </b>cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2 <b>50.</b> cosx
x

sin

x
sin
x

sin2 1 2 ₄

1






 

<b>51. </b>cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 <b>52. </b>sin3_{x.cos3x + cos}3_{x.sin3x = sin}3_4x

<b>52. </b>2tgx + cotg2x = 2sin2x +

x
sin2

1

<b>53. </b>sin4_{x + cos2x + 4cos}6_{x = 0}

<b>54. </b>sinx + sin2_{x + sin}3_{x + sin}4_{x = cosx + cos}2_{x + cos}3_{x + cos}4_x<b>_55.</b>  

1
2

2
1





 cotgx

x
sin
x

cos
x

g
cot
tgx

<b>56. </b> cos x

x
tg
x
tg

x
cos
x

sin ₄

4
4

2

2 4 4

4








_






_



<b>57. </b>9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

<b>58. </b>



cosx cosx



cos x sin4x

2
1
2

1   <b>59</b>. 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2

<b>60. </b>tgx + 2cotg2x = sin2x <b>61. </b>

x
sin

tgx
gx

cot   1

<b>62. </b>1 + 3tgx = 2sin2x <b>63</b>. 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x

<b>64. </b>cos3xcos3_{x - sin3xsin}3_{x = cos}3_{4x +}

4

1 <b>₆₅</b>_{. 48 -} 1 2 _₁ ₂ _ ₀

2

4  cotg x.cotgx 
x

sin
x
cos

<b>66. </b>

3
10
1
1








x
sin
x
sin
x
cos
x

cos <b>67. </b> 2₂ 2tg2x5tgx5cotgx40

x

sin

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>70. </b>



x3 2x1



sinx 3cosxx3 2x1 <b>71</b>_{. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx}

<b>72</b>.cos x cos x  sinx 



 sinx







 








 

 4 2 21

4
2
4

2 <b> 73. </b>sin2x + cos2x + tgx = 2

<b>74</b>. 3cotg2x2 2sin2x

_

23 2

_

cosx <b>75. </b>

5
4
3
1
5
3

2cos2 x  cos x

<b>76</b>.










 





 








 _ 






 _ 







_x_  _cos _x _cos _x _sin _x _cos _x _cos _x

sin
3
3
4
3
8
2
8
8
3

2 2 2

<b>77. </b>2cos2x + sin2_{x.cosx + cos}2_{x.sinx= 2(sinx + cosx)}<b>_78.</b>_{2cos2x + sin}2_{x.cosx + cos}2_{x.sinx= 2(sinx + cosx)}

<b>79. </b> 3₂ 3tg2xmtgxcotgx 10

x

sin <b>80. </b>sin

2_{x + sin}2_{2x + sin}2_{3x = 2}

<b>81</b>. cos3x + ₂ _cos2₃_x ₂

_

₁ _sin2₂_x

_




 <b>82</b>. 8sinx =

x
sin
x
cos
1
3


<b>83</b>.















 







 






4
2
4
2
1
4
1
2

2 sinx sinx cos x sin x

<b>84. </b>3cosx + 4sinx + 6
1
4
3
6


 sinx
x

cos <b>85. </b>cos3x - 2cos2x + cosx = 0

<b>86. </b> 3

3
2
3
2





x
cos
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
x
sin

<b>87. </b>tg2x - tg3x - tg5x = tg2x.tg3x.tg5x

<b>88. </b>2sin3_{x - sinx = 2cos}3_{x - cosx + cos2x} <b>_89.</b>

2
1
7
3

7
2
7 





cos
cos
cos

<b>90. </b>(1 + tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx <b>91</b>. sin _





 







 

4
2

4

3x sin x.sin x

<b>92. </b>3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx <b>93. </b>sin3_{x.cos3x + cos}3_{x.sin3x = sin}3_4x

<b>94. </b> <i>x</i> ) 2sin <i>x</i> tan<i>x</i>

4
(
sin

2 2 2




  . <b>95. </b>tan2x + cotx = 8cos2x .

<b>96. </b>cosx.sinx + cosxsinx 1 <b>97. </b>























2

2

1

2

2

y

y

x

x

y

sin

x

sin

<b>98. </b>















2

2

y

cos

x

cos

y

sin

x

sin

<b>99</b>.



















0

1

sin

3

2

cos

sin

sin

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<b>100</b>.













tgy

tgx

y

cos

x

sin

3

4

1

<b>101. </b>















2

2

y

cos

x

cos

y

sin

x

sin

<b>Tìm tham số để pt có nghiệm thỏa mãn một điều kiện</b>

<b>Bài 1</b>. Chứng minh rằng hàm số: y =sin6_{x + cos}6_{x + 3sin}2_{x cos}2_{x + 2005x có đạo hàm khơng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 2</b>. Cho hai pt: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x và 4cos2_{x - cos3x = (a - 1)cosx -} a 5 _{(1 + cos2x)}

Tìm a để hai phơng trình trên tơng đơng.

<b>Bài 3</b>.T×m nghiƯm  (0; 2) cña pt : 2 3

2
2
1

3
3

5 _ 











 cos x

x
sin

x
sin
x
cos
x
sin

<b>Bài 4</b>. Tìm x  [0;14] nghiệm đúng phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 .

<b>Bài 5.</b> Xác định m để phơng trình: 4



sin4<i>x</i>cos4<i>x</i>



cos4<i>x</i>2sin2<i>x</i> <i>m</i>0 có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn






2
;
0 

<b>Bi 6</b>. Cho phơng trình: <i>a</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

3
cos
2
sin

1
cos
sin

2

(2) (a lµ tham sè)
a) Giải phơng trình (2) khi a =

3
1

. b) Tìm a để phơng trình (2) có nghiệm.

<b>Bi 7</b>.<b> Cho phơng trình: </b>cos2x

2m 1

cosx1 m0 (m lµ tham sè)

1) Giải phơng trình với m = 1. 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm trong khoảng _





 _

;

2 .

<b>Bi 8</b>. Cho phơng trình: sin2x 3m 2sinxcosx1 6m20

a) Giải phơng trình với m = 1. b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm.

<b>Bi 9</b>. Cho phơng trình: sin6xcos6xmsin2x

a) Giải phơng trình khi m = 1. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

<b>Bài 10</b>. Cho f(x) = cos2_{2x + 2(sinx + cosx)}3_{- 3sin2x + m.}

1) Giải phơng trình f(x) = 0 khi m = -3.

2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó tỡm m sao cho (f(x))2

2) Giải và biện luận phơng trình: m.cotg2x =

x
sin
x
cos

x
sin
x
cos

6
6

2
2

theo tham số m

<b>Bài 11.</b>T×m nghiƯm cđa pt: cos7x - 3sin7x 2 thoả mÃn điều kiện:
7
6
5

2

x

<b>Bi 12.</b> Cho phơng trình: cos3_{x + sin}3_{x = ksinxcosx}

a) Giải phơng trình với k = ₂. b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có nghiệm?

<b>Bi 13</b>. Tìm t sao cho phơng trình: t
x

sin
x
sin

2

1
2

cú ỳng hai nghim tho món điều kiện: 0  x .

<b>Bài 14.</b> Tìm các nghiệm x (0; ) của phơng trình: sin x cos x
x

cos
x
sin
x

sin ₂ ₂

2
1

3

<b>Bi 15.</b>Cho phơng tr×nh: x2_{- (2cos}__{- 3)x + 7cos}2__{- 3cos}__-

4
9

= 0
Với giá trị nào của thì phơng trình có nghiệm kép

<b>Bi 16.</b>Cho phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
1) Giải phơng trình với m =

2
3

. 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x  _







 
2
3
2; .
<b>Bài 17.</b>Cho ph¬ng tr×nh: (1 - a)tg2_{x -} 2 _1_3_a_0

x
cos

1) Giải phơng trình khi a =

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng _





 

2
0; .

<b>Bài 18.</b>Cho f(x) = cos2_{2x + 2(sinx + cosx)}2_{- 3sin2x + m}

1) Giải phơng trình f(x) = 0 khi m = -3. Từ đó tìm m sao cho f2_(x)_₃₆__x

2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x).

<b>Bi 19.</b> Tìm các nghiệm x

₃

2; của phơng trình: sin x cos x 2 1 2sinx

7
3

2
5

2  







 











 



<b>Bi 20</b>. Cho phơng trình: sin6_{x + cos}6_{x = asin2x}

1) Giải phơng trình khi a = 1. 2) Tìm a để phơng trình có nghim.

<b>Bi 21</b>. Cho phơng trình lợng giác: sin4_{x + cos}4_{x = msin2x -}

2
1

(1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 1.

2) Chøng minh r»ng víi mäi tham sè m thoả mÃn điều kiện m 1 thì phơng trình (1) luôn luôn có nghiệm.

<b>Bi 22.</b>Cho phơng tr×nh: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2_{x (1)}

1) Giải phơng tr×nh (1) víi m = 1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thoả mãn điều kiện: 0  x .

<b>Bài 23.</b> T×m tÊt cả các nghiệm của pt: sinxcos4x + 2sin2_{2x = 1 - 4} _






_

2
4

2 x

sin

tho¶ m·n hệ bất phơng trình:

x

x

x

3

3

1

</div>

<!--links-->