Tu chon chuyen de Bat dang thuc lop 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (350.58 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

T

ự ch ọ n " CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC"
Thời lượng: 04 tiết

Ngày soạn:22-24/12/07
CHƯƠNG I(tiết 1)

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B  A - B ≥ 0. A > B A - B > 0.

.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B
gọi là vế phải của bất đẳng thức.

.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất
đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.

Nếu ta có: A > B  C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A >

.Nếu ta có: A > B  C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng

thức tương đương.

.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.

.A ≥ B là A > B hoặc A = B.

.A ≠ B cũng là bất đẳng thức.

.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.

*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà khơng chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu
đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là
" chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".

II. Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c  a > c.

Tính chất 2: a > b  a + c > b +c.

Hệ quả: a > b + c  a - c > b.

Tính chất 3: a > b và c > d  a + c > b + d.

Tính chất 4: a > b  ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).

Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0  ac > bd.

Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương  an > bn.

Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương  n a > n b.

Hệ quả: a > b ≥ 0: a2 b2  a ≥ b a  b.

Tính chất 8: a > b, ab > 0

a
1

 <

b
1

Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n am
 > an.

0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n  am < an.

III. Các hằng bất đẳng thức.
1) 2 0.



a Dấu " = " xảy ra  a0.

2) 2 0



 a . Dấu " = " xảy ra  a0.

3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.

.
0



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a

a  Dấu " = " xảy ra  a0.

b
a
b

a   . Dấu " = " xảy ra  ab0.
.

b
a
b

a   Dấu " = " xảy ra  b(a b)0 ab0;ab0.

4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng
chúng như một bổ đề, chẳng hạn:

.
2

2 b ab

a   Dấu " = " xảy ra  ab.
b

a
b
a
b

a ; ,

4
1
1




 > 0. Dấu " = " xảy ra  ab.





4 .
2

2
2

ab
b

a
ab
b

a










 

Dấu " = " xảy ra  ab.

b
a
a
b
b
a

;
2



 > 0. Dấu " = " xảy ra  ab.



a2 b2



x2 y2





ax by







 Dấu " = " xảy ra  aybx.

5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng.
. Bất đẳng thức cơsi.

Cho n số dương a1,a2,...an. Ta có: 1 2 ... n 1 2... .

n

n a a a

n
a
a

a






Dấu " = " xảy ra  a1 a2 ...an.

. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.

Cho hai bộ số: a1,a2,,,an. và b1,b2,,,bn. Ta có:

).
...
)(

...
(

)
...

( 2 2

2
2
1
2
2
2
2

1
2
2

2
1

1b a b anbn a a an b b bn

a        

Dấu " = " xảy ra ... .
2

1
1

n
n
b
a
b

a
b
a







CHƯƠNG II.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài tốn mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học
sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chương trình và 03 tiết học theo chủ đề tự
chọn bám sát nâng cao, còn lại hướng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm 
vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài tốn chứng minh
bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối
hợp nhiều phương pháp.

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.

Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
. Lập hiệu số: A - B.

. Chứng tỏ A - B ≥ 0.
. Kết luận A ≥ B.

B. Ví dụ.

1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 b2 c2 3 2(a b c).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) a b c
c
b
a
c
b

a )(1 1 1) 9; , ,

(      > 0.

Giải:
a) Ta có:

.
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
2
(
)

1
2
(
)
1
2
(
2
2
2
)
(
2
)
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2





























c
b
a
c

c
b
b
a
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a

Do đó: a2 b2 c2 3 2(a b c).








b) Ta có: (   )(111) 9
c
b

a
c
b
a .

= 1   1   1 9
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
.
= (   2)(   2)(   2).

a
c
c
a
b
c
c
b
a

b
b
a

= ( ) ( ) ( ) 0;( , , 0).
2
2
2







c
b
a
ca
a
c
bc
c
b
ab
b
a

Do đó: (   )(111)9
c

b
a
c
b

a . Với a, b, c > 0.

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1.
Giải:

Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
= ( 2 5 4)( 2 5 6) 1






 x x x

x .

Dặt 2 5 5



x x

y , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y2≥ 0.

Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1.

II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.(tiết 2)
A. Kiến thức cần nhớ.

Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất
đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.

A ≥ B  A1 ≥ B1  ... ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B.

B. Ví dụ

1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a) a b ab .

b) x y

y
x
y

x ; ,

4
1
1




 > 0.

Giải:
a) a b a b (a b)2 (a b)2









a2 2ab bb2 a2 2ab b2







 ab ab ab ab.( bất đẳng thức đúng ).

Vậy a  b ab.

b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:

.
0
4

)
(
4
)
(
4
4
1

1 2 2















 x y xy x y xy

y
x
xy

y
x
y
x
y
x
0
)
( 2



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy 1 1 4 .
y
x
y

x   Với x, y > 0.

2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng: (11)(11)9.

b
a

Giải:
Ta có: (11)(11)9

b

a . ( 1 ).

ab
b

a
ab
b

b
a
a

9
1
9

1
.
1










 . Vì ab > 0.

ab
ab

b

a 18  28

 . ( Vì a + b = 1 ).

.
4
)
(
4

1 ab a b 2 ab






 ( Vì a + b = 1 ).

.
0
)

( 2




 a b ( 2 ).

Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh.

C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có
điều kiện, chẳng hạn:

2 b a b

a    Với a, b > 0.

m > n am

 > an. Với m, n nguyên dương, a > 1.

Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tương đương.

III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.

Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem
phần II. Chương I ).

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: a4 b4
 >

8
1

.
Giải:

Do ab > 1 ( 1 ).

Bình phương hai vế: (a b)2

 > 1  a2 2abb2> 1 ( 2 ).

Mặt khác: ( )2 0 2 2 2 0







 b a ab b

a . ( 3 ).

Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: 2(a2 b2)

 > 1.

Suy ra: a2 b2
 >

2
1

( 4 ).

Bình phương hai vế của ( 4 ): a4 2a2b2 b4


 >

4
1

. ( 5 ).
Mặt khác: ( 2 2)2 0 4 2 2 2 4 0









 b a a b b

a . ( 6 ).

Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: 2(a4 b4)

 >
4
1

.
Suy ra: a4 b4

 >
8
1

2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức: 2 .
2

2
2

c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a







Giải:
Ta có: (x y)2 0 x2 y2 2xy.






</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
.
2

.
.
2
2
2
2
2
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a



 ( 1 ).

Tương tự : 2 2 .
2
2
2
a
b
a
c

c
b


 ( 2 ).

.
2
2
2
2
2
b
c
b
a
a
c


 ( 3 ).

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được:

.
)
(
2
)
(

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
b
c
a
b
c

a
a
c
c
b
b
a












IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
A. Kiến thức cần nhớ.

Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn
hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc
bằng A, từ đó ta có A ≥ B.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

n
n
n 2
1
...
2
1
1
1





 > 2.

( Với nN,n> 1 ).

Giải:
Ta có:

1
1



n > 2 .
1

n
n
n 
Tương tự:

2
1



n > 2 .
1
n
...
.
2
1
2
1
n
n 

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 2 2 2
1
...

3
1
2
1
1
n




 > ;( , 1).

1  

 n N n

n
n

Giải:

Ta có: 2 2 2

1
...
3
1
2
1
1

n




 >

)
1
(
1
...
4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1





n

n =
1
1
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1









n

n = 1 1.

1
1




n
n

n Suy ra đpcm.

V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.
A. Kiến thức cần nhớ.

Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vơ lí. Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho 2 2 2.


b

a Chứng minh rằng: ab2.

Giải: Giả sử ab > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
2

2 2ab b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Mặt khác ta có:
Mà: 2( 2 2) 4


b

a ( giả thiết ), do đó 2 2 2 4.



 ab b

a ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có ab2.

2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:

.
0
2
;
0
2
;
0

2 2 2







 bc b ac c ab

a

Giải:

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:

bc
a2 2

 < 0; b2 2ac< 0; c2 2ab< 0.
ab

c
ac
b

bc

a2 2 2 2 2 2








 < 0  (abc)2< 0, vơ lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy

phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )

VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ.
A. Kiến thức cơ bản.

Một số bài tốn bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ
bản về phân số. Ta có hai bài tốn cơ bản sau đây:

Bài toán 1. Với a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

a) Nếu a< b thì: 
b
a

c
b

c
a



.
b) Nếu ab thì: .

c
b

c
a
b
a





Bài toán 2. Với x,y,z > 0. Chứng minh rằng:

a) .
)
(

4
1

2
y
x
xy  

b) 1 1 4 .

y
x
y
x   

c) 1 1 1 9 .
z
y
x
z
y

x     
 * Chú ý:

Hai bài tốn trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi 
dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng:

b
a

c

a
c

b
c
b

a






 < 2.

Giải:

Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a< bc , theo bài tốn 1a) ta có:

c
b

a

 < .

c
b
a

a
c

b
a

a
a









( 1 ).
tương tự:

a
c

b

 < .

2
c
b
a

b



 ( 2 ).

b
a

c

 < .

2
c
b
a

c



 ( 3 ).

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:

b
a

c
a
c

b
c
b

a






 < 2.

)
(








c
b
a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

.
)
(

1
8

1
4

4
1

2
2

2 b ab a b

a    

Giải:
Vì a,b> 0 4a2 4b2



 > 0 và 8ab > 0. Theo bài tốn 2b) ta có:
.

)
(

1
)

(
4

4
8

4
4

4
8

1
4

4
1

2
2

2
2
2

2 b ab a b ab a b a b

a           đpcm.

3.Ví dụ 3. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: 3 .
2

1
2

c
b
a
a

c
c
b
b

a       
Giải:

Vì a,b,c > 0  2ab> 0; 2bc> 0; 2ca > 0.

Theo bài toán 2c) ta có:

.
3
)

(
3

9
2

2
2

9
2

1
2

c
b
a
c
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

a                  đpcm.

VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.(tiết 3)
A.Kiến thức cần nhớ.

Đối với một số bài tốn bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các

bài tốn cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a) a  b ab . Dấu " = " xảy ra khi ab0.

b) a  b a b. Dấu " = " xảy ra khi b(a b)0.

Bài tốn 2. Chứng minh rằng nếu x,y0 thì:

   2.
x
y
y
x
x
y
y
x

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi xy.

Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1)  2.
m

n
n
m

2)  1 2.

m
m

Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán
trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: x yz x  y  z .

Giải:
Từ bài toán 1a) ta có: x yz xy  z x  y  z .

* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng: a1 a2 ...an a1  a2 ...an .

2. Ví dụ 2. Cho a,b0. Chứng minh rằng: 3( ) 4 0

2
2







a
b
b
a
a

b
b

a .

Giải:
Đặt x=

a
b
b
a

 , ta có: x 2 ( theo bài tốn 2 ).

Ta được: 3( ) 4 3 2 2 3 2

2
2






























 x x

a
b
b
a
a

b
b
a
a

b
b
a

= (x 2)(x 1)0. Vì 












 ( 2)

2
2

2 x

x
x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

0
4
3

0
)
1
)(
2

( 2

2
2
2





















a
b
b
a
a

b
b
a

z

x . ( đpcm ).

3. Ví dụ 3. cho a 1,a c 2008,b1 2009.Chứng minh rằng:

ab c 4017.

Giải:
Vì: a 1,b 12009 ab1 2009 ab a 2009.

Mà: a c 2008. Suy ra: ab a  a c 4017.

Theo bài tốn 1) ta có: ab c (ab a)(a c) ab a  a c.

Vậy: ab c 4017.

VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ.

A. Kiến thức cần nhớ.

Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của
tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):

1) 2(x2 y2) (x y)2 4xy




 .

2) 3(x2 y2 z2) (x y z)2 3(xy yz zx)









 .

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x4+ y4≥ 
8
1

.
Giải:

Áp dụng bài toán 1) ta có:

8
1
2

)
(

2
)
(

2
2

2
2
4
4








 





y
x

y

x
y

x .

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 abc(abc).

Giải:
Áp dụng bài toán 2) ta có:

)
(

)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
4

4
4

2
2
2
2
2
2
4
4
4

c
b
a
abc
c

b
a

ab
ca
ca
bc
bc
ab
a

c
c

b
b
a
c
b
a




















IX. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG.
A. Phương pháp.

Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X =

n
A
A

A1 2... và Y = B1B2...Bn hoặc X = A1A2 ...An và Y = B1B2 ...Bnvới

)
,...,
2
,
1
(

,B i n

Ai i  là đa thức, phân thức mà các biểu thức Ai,Bi có chung quy luật. Dễ dàng

chứng minh được các bất đẳng thức riêng A1 B1,...,An Bn  Ai Bi.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho a,b,c> 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c.
a

c
c
b
b
a






Giải:
Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: a b

b
a


2

. ( 1 )
Ta có: 2 2ab a2 2ab b2

b
a





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

0
)
(

2 2 2








 a ab b a b . ( bất đẳng thức luôn đúng ).

Vậy ( 1 ) được chứng minh !

Tương tự c a

a
c
c
b
c
b





2 ; 2

2
2

. ( 2 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm.

2. Ví dụ 2. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
3
2

2
3

2
2

3 a b c

ca
a
c

c

bc

c
b

b
ab

b
a

a  










 .

Giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng:

3
2
2

3 a b

ab
b
a

a 




 . ( 1 )

Ta có ( 1 ) 3a3 (2a b)(a2 b2 ab)








0
)
)(
(

0
2
2

2
3

2
2
2

3
3

2
3
2
2
2
3






















b
a
b
a

ab
b
a
b
a

ab
b
b
a
b

a
ab
a

a

Vậy ( 1 ) đúng.
Tương tự

3
2
2

3 b c

bc
c
b

b 




 . ( 2 )

3
2

3 c a

ca
a
c

c 




 . ( 3 )

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm.

X. PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.
A. Kiến thức cần nhớ.

Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của
biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 8 7 2 1





 x x x

x > 0.

Giải:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức.

Cách 1. * Nếu x1 thì A x7(x 1)x(x 1)1 > 0.

* Nếu x < 1 thì A x8 x2(1 x5) (1 x)






 > 0.

Vậy ta có đpcm.

Cách 2. A = x7(x 1) (x 1)x2 (x 1)(x7  1)x2.

* Nếu x1 x7 1 (x 1)(x7  1)0, mà x2 > 0. Nên A > 0.

* Nếu x < 1 x7

 < 1 (x1)(x7 1) > 0, còn x2 > 0. Nên A > 0.
2. Ví dụ 2. Cho a,b,cR, thoả mãn: abcabc.

Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc.

Giải:
Xét hai trường hợp:

1) a 1,b 1,c 1 a2 b2 c2 abcabc.

2) Trong ba số a,b,c có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Khơng giảm tính tổng quát, giả

sử c < 1. Ta có a2 b2 c2 a2 b2 2ab abc abc.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

A. Kiến thức cần nhớ.

Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán
quen thuộc dẫ biết cách giải

* Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng h
B
A
B

A
B
A

n
n 




 ...

2
2

1
1

.
( h là hằng số, A1,...,An,B1,...,Bn là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách

đổi biến m1 B1,m2 B2,...,mn Bn, sau đó biểu diễn A1 theo m1,m2,...,mn sẽ đưa về bài toán

quen thuộc sau:

Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì  2
x
y
y
x

.
B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007)4 + ( x + 2009 )4  2.

Giải:

Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 )4+( x + 2009 )4= ( y - 1 )4+( y + 1 )4

= 2 4 12 2 2 2



 y

y .

* Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát :

8
)
(
)
(
)
(

4
4

4 x b a b

a

x     bằng cách đặt

2
b

a
x

y   .

2. Ví dụ 2. Cho abc1.Chứng minh rằng:

3
1
2
2
2



b c

a .

Giải:
Đặt a  x b y c z

3
1
;
3
1
;
3
1

. Do abc1 xyz0.

Ta có: 2 2 2 2 2 )2

3
1
(
)
3
1
(
)
3
1

(     




b c x y z

a

3
1
3

)
(

3
2
3
1

2
2
2
















z
y
x

z
y
x
z
y
x

Dấu " = " xảy ra

3
1

0   





 x y z a b c .

3. Ví dụ 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng: 3









 a b c

c
b

a
c

b
a

c
b

a

.
Giải:
Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.

Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0.

Suy ra .

2
;

y
x
c
z
x
b
z
y

a     

Vậy b ac a c ba b a bc c y2xz z2yx x2zy










 .

= 

















( 2) ( 2) ( 2)

6
2
1

x
z

z
x
y

z
z
y
x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

3
6
.
2
1
)
(
)
(
)
(
6
2

1 2 2 2









 






zx
x
z
yz
z
y
xy
y
x
.
XII. PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ CÁC BIẾN.
A. Kiến thức cần nhớ.

Một số bài tốn mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi
vai trị các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến,
giúp tim lời giải dễ dàng hơn.

Lưu ý rằng

1) Các biến tham gia trong bài tốn hốn vị vịng quanh mà giả thiết và bất đẳng thức 
cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

2) Các biến tham gia trong bài tốn có vai trị như nhau, nghĩa là nếu hoán vị tuỳ ý 
mà giả thiết và bất đảng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xắp xếp trật tự 
các biến ( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ).

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1.

Chứng minh rằng: 2

1
1

1    

 ab
c
ca
b
bc
a
.
Giải:

Vai trị của a, b, c như nhau, khơng mất tính tổng quát, giả sử:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1.

Do đó: .

1
1

1         

 ab
c
ab
b
ab
a
ab
c
ca
b
bc
a
1
1
1
1 










ab
c
b
a
ab
c
ca
b
bc
a

. ( 1 ).

Mặt khác: (1 a)(1 b)0 abab12ab1. Mà c1 nên
).
1
(
2
1
1

2    




b c ab ab

a

Do đó: 2

1
)
1
(
2

1  






ab
ab
ab
c
b
a

. ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm.

2. Ví dụ 2. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

abc
c
b
a
c
c
b
a
b
c
b
a

a2( ) 2( ) 2( ) 3










 .
Giải:

* Nhận xét: Khi hốn vị vịng quanh a b c a thì bất đẳng thức cần chứng minh

khơng đổi.

Giả sử c là số nhỏ nhất tức là ac,bc. Ta có:





)
,
:
(
;
0
)
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)

)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
2
2
2
2
2
2
c
b
c
a
do

b
c
a
c
c
c
b
a
b
a
b
c
a
c
c
c
b
b
c
a
a
b
a
b
c
a
c
c
a
b

c
b
b
c
a
b
a
a
ab
cb
ca
c
c
ca
ba
bc
b
b
bc
ac
ab
a
a
c
b
a
c
b
a
c

b
a
c
b
a
abc


















































Vậy ta được đpcm.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n1(nN). ta có thể vận

dụng phương pháp quy nạp toán học.

Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:
1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n1.

2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi nk.

Chứng minh bất đẳng thức đúng khi nk1

3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi n nguyên dương.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 2n2 > 2n5 , với mọi n nguyên dương.

Giải:

Giả sử bất đẳng thức đúng với nk, tức là: 2k2 > 2k5, ta cần chứng minh bất đẳng

thức đúng với nk1.

Ta có: 2( 1)2 2 3 2.2 2


 k k

k > 2(2k5)4k10 > 2k252(k1)5.

Vậy bất 2n2 > 2n5 với mọi n nguyên dương.

2. Ví dụ 2. Cho a,b0. Chứng minh rằng:

2
2
n
n
n
b
a
b
a 






 

, với mọi n nguyên dương.

Giải:
Với n1, ta có

2
2
1
1
1
b
a

b
a 







  , hiển nhiên đúmg.

Giả sử bất đẳng thức đúng với nk , tức là:

2
2
k
k
k
b
a
b
a 






 
.Ta có:

4
)
)(
(
2
4
2
4
2
.
2
2
.
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k

k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
a
b
a
b
b
a
ab
a

b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
























 







 










Mà: (a b);(ak bk)



 cùng dấu nên (a b)(ak  bk)0.

Do đó:

2
2

1
1

1  










ab k ak bk . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
XIV. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH SỐ HẠNG.
A. Kiến thức cần nhớ.

Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có
dạng f(1) f(2)... f(n), khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm

hàm F(k) thoả mãn hệ thức F(k1) F(k)f(k). Từ đó dễ dàng thấy rằng:
)
1
(
)
1

(
)
(
)
1
(
...
)
2
(
)
3
(
)
1
(
)
2
(
)
(
...
)
2
(
)
1

( f f n F F F F F n F n F n F

f               .

Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ... ( 1 1)
4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1





n

n < 1.

Giải:

Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: ( 1 1) 1 11





 k k

k

k .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1
1
1
1
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
)
1
(
1
...

4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1
















n
n

n
n

n < 1. ( đpcm ).

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 2( 1)2
1
2
...
144
7
36
5
4
3






n
n
n

< 1.
Giải:

Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:

2
2

2 ( 1)

1
1
)
1
(
1
2





k
k
k
k
k

. Ta có:

2
2
2

2
2
2
2
2

2 ( 1)

1
1
)
1
(
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
)
1
(
1
2
...

144
7
36
5
4
3

















n
n
n
n
n
n

< 1.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

XV. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ HÌNH HỌC.
A. Kiến thức cần nhớ.

Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải
nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất:

1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c.
2). Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin.

3). uv u v, dấu đẳng thức xảy ra ukv,k> 0 ( tức u,v cùng hướng ).

4). u.v u.v , dấu đẳng thức xảy ra khi ukv ( tức u,v cùng phương )

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho a,b > 0. Chứng minh rằng: a  b > ab.

Giải:

B Xét tam ∆ ABC có A = 1v, AB = , AC = .

Theo định lý Pitago ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = ab BC = a b


a ∆ ABC có AB + AC > BC  a  b > ab.

A b C

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,ln có: 2 1 2 1 2







a a a

a .

Giải:

Nhận xét: )

2
3
,
2
1
(
1
3
2
1
1

2
2
2





















a a u a

a .
)
2
3

,
2
1
(
2
3
2
1
1
2
2

2 a a v a

a  




















 .

Mà ) 2

2
3
2
3
(
)
2
1
2
1

( 2 2











v u v a a

u . đpcm

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC.

Bài 1. Chứng minh rằng:
a) 4 4 4 3 5 2 2 1





 a a a

a . b) ( 5)4 ( 1)4 32





 x

x .

c) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) 6abc







 . d) 4 4 3 3 0





b a b ab

a .

Hướng dẫn:

a) 4 4 4 3 5 2 2 1 ... (2 2 )2 ( 1)2 3 2 0












 a a a a a a a

a .

Dấu " = " khơng xảy ra nên ta có đpcm.
b) Đặt y = x + 3.

c) VT biến đổi được: (a2 b2c2 2abc) (a2b2 c2 2abc) (b2c2 a2 2abc) 6abc








 .

d) a4 b4 a3b ab3 ... (a b)(a3 b3)







 .

Bài 2. Chứng minh rằng:
a)
b
c

a
b
c
a
a
c
c
b
b
a




 2
2
2
2
2
2

. b) 4 4
2
6
2
6
b
a
a
b

b
a


 .

c) 1 2

2
2
2
2
2
4
4 










b
a
b
a
b

a . d)

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
3
2
1















b c a b b c c a a b c

a .

Hướng dẫn:

a) Nhân cả hai vế với 2, biến đổi tương đương.

b) Biến đổi tương đương đưa về: 4 4 ( 6 6)( 2 2) 0
2
6
2
6







 a b a b a b

a
b
b
a

.
c) VT bằng: ( ) 1 2 2 2 ... 2

2
2
2
2
2
2
2













 a b

b
a
b
a
b

a .

d) Chứng minh bài tốn phụ: với x,y,z> 0 thì:

z
y
x
z
y

x    

9
1

1
1

. Áp dụng bài toán trên
với: x a4 b4 c4;y z a2b2 b2c2 c2a2







 .

Bài 3. Chứng minh rằng:

2
2

2 a b c

a
c
a
c
b
c
b
a

b  







 . b) a b c a b c

c
b

a 1 1 1

3
3
3
8
8
8





.
Hướng dẫn: a) Chứng minh:

2 a b

b
b
a
b 


 .

b) Chứng minh bài toán phụ: x2  y2 z2 xyyzzx.

Bài 4. Cho a,b,c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

a) 2

)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2






 a b

c
a
c
b
c
b

a

. b) 23

)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2









a
c
a

c
c
b
c
b
b
a
b
a
.
Hướng dẫn:

a) Chứng minh: 1

)
)(
(
)
)(
(
)
)(

(       b c a b 

ca
b
a
a
c

bc
a
c
c
b
ab

. Mà: 0

2












 a b

c
a
c
b
c
b

a
.
b) Sử dụng hằng đẳng thức: 2(x2 y2) (x y)2 (x y)2






 .

Bài 5. Cho a,b > 0. Chứng minh rằng:

a) 2 2 ( )2

6
1
1
b
a
ab
b

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Hướng dẫn: Chứng minh bài toán phụ: ( )2
4
1
;
4
1
1

y
x
xy
y
x
y

x     .
Bài 6. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

a) a b c

ca
a
c
bc
c
b
ab
b
a








2

2
2
3
3
3
3
3
3

. b) 5( )

7
41
7
41
7
41
2
3
3
2
3
3
2
3
3
c
b
a
c

ca
a
c
b
bc
c
b
a
ab
b
a











.
a) CMBĐT riêng:

2
2

3 a b

ab
b

a 




. b) CMBĐT riêng: a b
a
ab
b
a




6
7
41
2
3
3
.
Bài 7. Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng:

a) (    )(1 111)16
d

c
b
a
d
c
b

a . b) 2 <

b
a
d
a
d
a
d
c
d
c
d
c
b
c
b
c
b
a
b
a
















< 3.
c)
2
3






 a b

c
a
c
b

c
b
a

. d)

3
4












 a b c

d
a
b
d
c
a
d
c

b
d
c
b
a
.
Hướng dẫn:

a) BĐT côsi ( hoặc biến đổi vế trái ).

b) CM bài toán phụ: Cho x,y,z > 0, x > y. Chứng minh rằng: 
y
x

< yx zz



.
c) Đặt x = a + b; y = c + a; z = a + b với x, y, z > 0 .

d) Đặt x = b + c + d, y = c + d + a, z = d + a + b, t = a + b + c; Với x, y, z, t > 0.
Bài 8. Chứng minh rằng:

a) ... 2 2 1
9
8
4
3
n

n 



 > n 2. b) 3 3 3 ... 13
3
1
2
1
1
1
n




 <

4
5

.
Hướng dẫn: a) 2 2 1 1 12

n
n
n




b) ( 1) ( 1) ( 2 1)






 m m m m

m < 












 ( 1)

1
)
1
(

1
2
1
)
1
(
)
1
(
1
;
3
m
m
m
m
m
m
m
m .

Bài 9. Cho abc > 0. Chứng minh rằng: a b c
b
c
a
a
b
c
c
b

a








4
3
2
2
2
2
2
2
.
Hướng dẫn: CMBĐT riêng: a b

c
b
a
2
2
2
2




Bài 10. Cho a,b,c thoả mãn 0a,b,c1. Chứng minh rằng:

a) a3 b4 c5 abc. b)

64
1
)
1
)(
1
)(
1

(  a  b  c 

abc .

c) (1 a)(1 b)(1 c)1 a b c. d) 2(a3 b3 c3) 3 a2b b2c c2a





 .

Hướng dẫn: c) CM: (1 - a )( 1 - b )( 1 - c ) ≥ ( 1 - a - b )( 1 - c ).
d) Xét (1 a2)(1 b) 0 ... a3 b3 1 a2b








 .

Bài 11. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giac. Chứng minh rằng:

a) a2 b2 c2


 < 2(abbcca). b) (abc)(a2 b2 c2)2(a3 b3c3)abc.

c) (a b c)3


 > 8abc. d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2> a3 b3 c3 4abc



 .

Hướng dẫn: a) Dễ dàng CM được: a2< abca.

b) biến đổi tương đương.
c) Ta có: a + b + c > 2c....
d) biến đổi tương đương.

Bài 12. a) cho a,b,c thoả mãn abc 1;a3

 > 36. Chứng minh rằng: 2 2
2

3 b c

a



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b) Cho a,b,c thoả mãn c> 0 và (a c)2

 < abbc 2ac. Chứng minh rằng: b2 4ac
 > 0.

Hướng dẫn: a) Biến đôit tương đương về:

a
a
c
b
a
12
36
2
3
2











 > 0.

b) Từ GT biến đổi được: b2 4ac

 > (ac b)2 (ac)2 > 0.

Bài 13. a) cho a,b> 0 thoả mãn ab1. Chứng minh rằng:

2
25
1

1 2 2


















b
b
a
a .

b) Cho a,b,c> 0 thoả mãn abc1. Chứng minh rằng:

3
100
1

1 2 2 2


























c
c
b
b
a
a
.

Hướng dẫn: a)

2
2
2

1
1
2
1
1
1


























b
b
a
a
b
b
a

a . ( ý b - tương tự ).

Bài 14. Cho a,b,c thoả mãn

c
b
b
a
1
1
1
1



 . Chứng minh rằng: 4

2  





b
c
c
b
b
a
b
a
.
Hướng dẫn: Từ GT

c
a
ac
b



 2 . Biến đổi VT được: 4

2
6
2
2
)
(

2 2 2






ac
ac
ac
ac
c
a
ac

Bài 15. Cho 0 < a,b,c,d < 1. Chứng minh rằng ít nhất có một bất đqẳng thức sau là sai:

)
1
(

2a  b >1; 3b(1 c) > 2; 8c(1 d)> 1; 32d(1 a)> 3.

Hướng dẫn: ( CM bằng PP phản chứng ).

Bài 16. Giả sử hệ phương trình sau có nghiệm:










16
3
2
2
2
2
z
yz
y
y
xy
x

Chứng minh rằng: xyyzzx8.

Hướng dẫn: Từ hệ phương trình, ta có: )& 4

2
,
2
3
(
.

3
&
)
2
3
,
2

(xy x u  v z yz v 

u .

áp dụng tính chất: u.vu.v u.v ....Ta được đpcm.

Bài 17. ( ĐH Huế ) Giải phương trình: 2
3
1
1
3




x
x .

Hướng dẫn: ( Xem chương IV - Ứng dụng của bất đẳng thức )
Sử dụng BĐT cosi để đánh giá hai vế của phương trình.

CHƯƠNG IV.

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.

Bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại
số, giải phương trình,... Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi người thầy và học sinh phải biết
phân dạng bài toán, nắm vững các phương pháp, xây dựng các thuật toán,...

I. Giải toán cực trị đại số.
 A. Kiến thức cần nhớ.

1. Để tìm GTNN ( GTLN ) của biểu thức A(x) trong tập hợp D ta làm như sau:
* Chứng minh A(x) ≥ m ( hoặc B(x) ≤ M ) với m ( hoặc M ) là hằng số.

* Chỉ ra A(a) = m, ( Hoặc B(b) = M ) với a  D ( hoặc b  D ).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2. Khi giải một bài toán cực trị đại số cần căn cứ vào dạng của bài tốn mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Các dạng tốn tìm cực trị thường gặp là:

* Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Hàm đa thức

* Hàm phân thức.

* Các bài tốn mà các biến có điều kiện ràng buộc.
B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Tìm GTNN của hàm số: y x 5  x 7 . ( Bài này có nhiều cách sử dụng

BĐT, tơi chỉ trình bày một cách chứng minh ).

Giải: Chứng minh bài toán phụ: a b ab . Dấu " = " xảy ra  ab0.

Áp dụng bài tốn trên ta có: x 5 x 7 x 5 7 x x 57 x 2. Dấu " = " xảy ra
7
5
0
)
7
)(
5
(      

 x x x . Vậy ymin 2 5x7.
2. Ví dụ 2. Tìm GTLN của hàm số: y x(1 x)3



 , với x

 

0;1 .

Giải: Biến đổi: .3 (1 )(1 )(1 )

3
1
)
1
(
3
.
3
1

)
1

( x 3 x x 3 x x x x

x

y        . Áp dụng bất đẳng thức côsi
cho 4 số không âm gồm 3x và ba số 1-x, ta được:

256
27
4
3
.
3
1
4
)
1
(
)
1
(
)
1
(
3
.
3

1 4 4














      

 x x x x

y .
Vậy
4
1
1
3
256
27

max   x  x x

y .

3. Ví dụ 3. Cho







1
0
,
,
c
b
a
c
b
a

Tìm Max của S 3 ab3 bc3 ca .

Giải: Ta có:

3
3
2
3

2
)
(
.
4
9
3
2
3
2
).
(
.
4
9
3
3
3
3







b
a
b
a

b
a .
3
3
2
3
2
)
(
.
4
9
3
2
.
3
2
).
(
.
4
9
3
3
3
3








c
b
c
b
c
b .
3
3
2
3
2
)
(
.
4
9
3
2
.
3
2
).
(
.
4
9
3

3
3
3







a
c
a
c
a
c .

 3 3 3 3 3 318

3
6
.
4
9
3
4
)
(
2
.

4
9












 a b b c c a a b c

S .

Vậy, Max

3
1
18

3          

 a b b c c a a b c

S .

II. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số.
A. Kiến thức cần nhớ.

Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài tốn địi hỏi
các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn. Các bài tốn này rất độc đáo
địi hỏi học sinh phải có óc phán đốn và suy luận thật hợp lý. Bước đầu làm quen với
phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần ghi nhớ các
điều sau:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2) Có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi chứng minh ngồi nghiệm này ra
khơng cịn nghiệm nào khác nữa.

B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. ( ĐHNN Hà Nội - 99): Giải phương trình: 2 2 5 1 2






 x x

x .

Giải: Điều kiện x1.

Nhận xét rằng: VT = 2 2 5 1 ( 1)2 4 1 2












 x x x x

x .

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2  x10 x1.

2. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 2 1 2 1 2







 x x x

x .

Giải: Điều kiện x1.

Nhận xét rằng: VT = 2 1 2 1 24 2 1.4 2 1 2













 x x x x x x x

x .

( vì a2 b2 2ab


 ).

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 4 2 1 4 2 1 1










 x x x x x .

Vậy nghiệm của bất phương trình là x1.

3. Ví dụ 3. Giải hệ :


















2
2
3

2
1

2 ( 4)( 2 6)
5

6
.

x
x

x

x
x
x

((12))
Giải: Do

x

x,2 cùng dấu, nên từ 2 1 2 0 3 4 0 2 2 6 0

2         




 x x x x

x
x

x .
































0
5

0
1
7

1
7

1
7
1

2 x

x

x
x

Sử dụng bất đẳng thức cosi ta có: 4 4

2
2
4
.
2
.
2
3

3 2 3 3 3 3 3 3







 x x x x x

x .

và 2 3 6 5 2 ( 1)( 2 5) ( 1) ( 2 5) 2 2 6
















 x x x x x x x x x

x .

Do đó VT(1)≤VP(1). Dấu " = " xảy ra khi x = 2, thoả mãn (2).
Vậy, nghiệm của hệ là x = 2.

4. Ví dụ 4. Giải phương trình: x 22008 x 32009 1. (1)

Giải: Nhận thấy x = 2, hoặc x = 3 thoả mãn phương trình (1).

. Nếu

x3 x 21 VT VP1. Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm x3.

.

Nếu x2 3 x1 VT VP1. Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm x2.

.

Nếu 2 3 0 1;0 3 1 ( 2)2008 2;(3 )2009 3 1





















x x x x x x x VT VP

Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm 2x3.

Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 



2;3



Chủ đề " BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH"
Tiết 1- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ngµy 10/01/08

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. Về kiến thức

- Nắm vững cách giải và biện luận bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.

2. Về kỹ năng.

- GiảI thành thạo các bất phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.

3. V t duy và thái độ.

- RÌn lun tÝnh nghiªm tóc khoa học.
- Cẩn thận chính xác.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

- Chuẩn bị của học sinh:

+ Đồ dùng học tập : Thớc kẻ, compa
- Chuẩn bị của giáo viên:

+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiu hc tp.

III. Phơng pháp dạy học.

+ Phng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy và hoạt động đan xen
nhóm.

IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các hoạt động:

* Chia nhóm họat động thành 4 nhóm.

- Nhóm 1: Dựa theo kết quả bài tập đã làm ở nhà chuẩn bị kết quả các bài;
28(a), 29(a), 30(b).

- Nhãm 2: Chuẩn bị báo cáo kết quả các bài tập:
28(b), 29(b), 30(a).

- Nhóm 3: Chuẩn bị báo cáo kế quả các bài tập:
28(c), 29(c), 31(a).

- Nhóm 4: Chuẩn bị báo cáo các bài tập:
28(d). 29(d), 31(b).

B. Tiến trình bµi häc.

* Kiểm tra bài cũ lồng vào các hoạt động của bài học.
* Bài mới.

- GV cho HS th¶o luËn theo tõng nhãm.

- Gọi đại diện các nhóm lên nêu đáp số vừa thảo luận và trình bày chi tiết lời giải của một
bài.

- Nhóm 1: Nêu đáp số của các câu: 29(a), 30(b) và trình bày lời giải câu 28(a).

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Ghe hiĨu néi dung c©u hái nhận bài
tập.

- Trả lời câu hỏi.

- Trình bày chi tiết bài 28(a).
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Ghi nhận kiến thức.

- Gọi đại diện nhóm một lên làm
nhiệm vụ.

- Cho học sinh nhóm khác nhận xét
lời giải.

- Chnh sa cho học sinh nếu cần.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Nhóm 2: Nêu đáp số của câu 28(b), 29(b) và trình bày lời giải của câu 30(a).

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc đề.

- Nêu cách giải.

- Ghi kết quả lời giải chi tiết.
- Trình bày lời giải.

- Ghị nhận kiến thức.

- Chia nhóm häc sinh vµ giao nhiĐm
vơ.

- Phân tích đề bài.

- Kiểm tra kết quả của từng nhóm.
- Trình bày lời giải ngắn gọn.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Nhóm 3: Nêu đáp số bài 28(c), 31(a) và nêu lời giải chi tiết câu 29(c).

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Trả lời câu hỏi ca giỏo viờn.

- Trình bày chi tiết câu 29(c).
- Chỉnh sửa nếu cần.

- HS khác nhóm nhận xét lời giải.
- Ghi nhận kiến thức.

- Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi.
- Nhận xét kết quả của học sinh.
- Chỉnh sưa nÕu cÇn.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

- Nhóm 4: Nêu đáp số các câu 28(d), 29(d) và trình bày chi tiết câu 31(b).
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Trình bày kết quả.

- HS kh¸c nhãm nhËn xét lời giải.
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Ghi nhận kiến thức.

- Yêu cầu học sinh trình bày kết quả.
- Cho HS khác nhóm nhận xét lời giải.
- Nhận xét kết quả của HS.

- Chú ý cho HS những sai lầm thêng
m¾c.

- Cho HS ghi nhËn kiÕn thøc.

* Cđng cè.

- Nắm đợc cách giải của từng dạng tốn.

* Bµi tËp: Làm các bài tập còn lại trong SGK.

Tiết 2 dấu của nhị thức bậc nhất.

ngày 20/01/08

I. Mơc tiªu.

1. VỊ kiÕn thøc

- KháI niệm nhị thức bậc nhất, định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và ý nghĩa hình học
của nó.

- C¸ch xÐt dấu tích, thơng của nhị thức bậc nhất.

2. Về kỹ năng.

- Thành thạo các bớc xét dấu của nhị thức bËc nh¸t.

- Hiểu và vận dụng đợc các bớc lập bảng xét dấu để giảI bất phơng trình dạng tích và bất
phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

3. Về t duy và thái độ.

- RÌn lun t duy logíc, biết quy lạ về quen.
- Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

- Chuẩn bị của học sinh:

+ Đồ dùng học tập : Thớc kẻ compa
- Chuẩn bị của giáo viên:

+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiu hc tp.

III. Phơng pháp dạy học.

+ Phng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy, đan xen hoạt đơng
nhóm.

IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các tình huống hc tp.

- Hot ng 1: Bi c

GiảI các bất phơng tr×nh sau:

a. 5x – 2 > 0. b. -2x + 4 > 0

- Hoạt động 2: Xét dấu của nhị thức: f(x) = 2x - 8

- Hoạt động 3: Phát biểu và chứng minh định lý về dấu của f(x) = ax + b (a)

- Hoạt động 4:Xác định mối quan hệ giữa hàm số khi biết đồ thị của các hàm số là do tịnh
tiến đồ thị của hàm số kia song song với trục toạ dộ.

- Hoạt động 5: Cng c ton bi.

B. Tiến trình bài học.
1. Kiểm tra bµi cị:

2. Bµi míi.

- Hoạt động 1: Các quy tắc sau có phảI là hàm số khơng, vì sao?
a. Đặt tơng ứng mỗi số thực dơng với căn bậc hai của nó.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Chép (hoặc nhận) bài tập

- Đọc và nêu thắc mắc đề bài
- Định hớng cách giảI

- Chính xác hoá kết quả.

- c(hoc phỏt) bi cho hc sinh
- Gi hai hc sinh lờn bng.

- Đánh giá kết quả hoàn thành nhiệm
vụ của từng học sinh.

- Đa ra lời giải.
* Bài mới.

- Hot ng 2: Cng c kháI niệm TXĐ, giá trị của một hàm số tại một điểm

Cho hµm sè f(x) = 2(2 2) 1 1

1 1

x x



TXĐ của hàm số là?

a. R b. (  ; 1] [1; ) c. [ 1; )

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe v hiu ni dung.

- Tìm phơng án thắng
- Ghi nhËn kiÕn thøc.

- Chia nhãm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tập cho các nhóm
- Chỉnh sửa kết quả khi học sinh hoµn
thµnh nhiƯm vơ.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

- Hoạt động 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên mỗi khoảng, lập bảng biến thiên của
hàm số.

Bµi tËp 13 SGK

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Đọc đề bài và nghiên cứu cách giải.

- Độc lập tiến hành giảI toán

- Thụng bỏo kt qu cho giáo viên khi
đã hồn thành nhiệm vụ

- ChÝnh x¸c hoá kết quả.
- Ghi nhận kiến thức.

- c (hoc phỏt) cho hc sinh
- Gi hc sinh lờn bng

- Đánh giá kết quả của học sinh
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

- Hoạt động 4: Xác định mối quan hệ giữa hàm số khi biết đồ thị của các hàm số là do tịnh
tiến đồ thị của hàm số kia song song với trục toạ dộ.

- Bµi 16 – SGK

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Đọc đề bài và nghiên cứu cách gii.

- Độc lập tiến hành giảI toán

- Thụng bỏo kt quả cho giáo viên khi
đã hoàn thành nhiệm vụ

- Chính xác hoá kết quả.
- Ghi nhận kiến thức.

- c (hoặc phát) đề cho học sinh
- Gọi học sinh lên bng

- Đánh giá kết quả của học sinh
- Chỉnh sửa nÕu cÇn.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 5:

* Cđng cè.

- HƯ thống lại kiến thức toàn bài.

* Bài tập: Làm các bài tập còn lại trong SGK .

Tit 3. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
 I. Mục tiêu.

1. Về kiến thức

- Học sinh nắm vững cách giảI bất phơng trình bậc 2 một ẩn, bất phơng trình tích bất
ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, hệ bất phph-ơng trình bậc hai.

2. Về kỹ năng.

- GiI thnh tho cỏc bt phng trỡnh v h bất phơng trình đã nêu ơ r trên.
- GiảI đợc một số bất phơng trình đơn giản đã nêu ở trên.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

3. Về t duy và thái độ.

- RÌn lun t duy logÝc, biÕt quy l¹ vỊ quen.
- CÈn thËn chÝnh x¸c trong tÝnh to¸n, lËp luËn.

II. ChuÈn bị của giáo viên và học sinh.

- Chuẩn bị của häc sinh:

+ §å dïng häc tập nh: Thớc kẻ compa

+ Bài cũ: Nắm vững tập con, tập hợp bằng nhau,cách biểu diễn trên trục số.
- Chuẩn bị của giáo viên:

+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiu hc tp.

III. Phơng pháp d¹y häc.

+ Phơng pháp mở vấn đáp thơng qua các hoạt động điều khiển t duy.

IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các tình huống học tập.

* Tình huống 1: Ơn tập kiến thức cũ..

- Hoạt động 1: Xét dấu mỗi biểu thức sau:
a. f(x) = x2 – 3x +1

b. ( ) 2 1
3 5

x
f x

x




 .

* Tình huống 2: GiảI bất phơng trình bậc hai.

- Hoạt động 2: - GiảI bất phơng trình: f(x) = x2 – 3x + 1 > 0

- Hoạt động 3: - Tìm tập nghiệm của mỗi bất phơng trình sau:
a. x2 + 5x + 4 < 0

b. – 3x2 + 2 3x < 1

c. 4x – 5 7 2
3x



* Tình huống 3: GiảI các bất phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
- Hoạt động 4: GiảI bất phơng trình:

2 3 2

5 6

x x
x x

 


 

- Hoạt động 5: GiảI bất phơng trình (4 – 2x)(x2 + 7x +12) < 0
B. Tiến trình bài học.

1. KiĨm tra bµi cị:

- Hoạt động 1: Xét dấu mỗi biểu thức sau:
a. f(x) = x2 – 3x +1

b. ( ) 2 1

3 5

x
f x

x




  .

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe hiểu nội dung câu hỏi.

- XÐt dÊu cña f(x) = x2 – 3x +1

- XÐt dÊu cña ( ) 2 1

3 5

x
f x

x






- Tìm phơng án thắng.

- Thông báo kết quả cho giáo viên.

- Giao nhim v cho hc sinh.
- Kim tra kết quả của 1 đến 2 học
sinh.

- NhËn xÐt kÕt qu¶

- Thơng qua đó để chuẩn bị bit mới.
- Hoạt động 2: - GiảI bất phơng trình: f(x) = x2 – 3x + 1 > 0

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe hiểu nội dung.

- XÐt dÊu cña f(x) = x2 – 3x + 1

- Đa ra những giá trị của x để
f(x) = x2 – 3x + 1 > 0

- Thông báo kết quả.
- Ghi nhận kiến thức.

-Phân nhóm häc sinh.

- Đa ra mối quan hệ gia dấu của tam
thức bậc hai với những giá trị của x để
f(x) = x2 – 3x + 1 > 0.

- §a ra kháI niệm bất phơng trình bậc
hai.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a. x2 + 5x + 4 < 0

b. – 3x2 + 2 3x < 1

c. 4x – 5 7 2
3x



Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe hiểu cõu hi

- áp dụng cách giảI đa ra tập nghiệm
của các bất phơng trình.

- Chỉnh sửa nếu cần.

- Biết cách biểu diễn tập nghiệm trên
trục số.

- Ghi nhËn kiÕn thøc.

- Giao niƯm vơ cho häc sinh.
- KiĨm tra kết quả của học sinh.
- Đa ra cách giảI bất phơng trình bậc
hai.

- Cho học sinh ghi nhận kiÕn thøc.

- Hoạt động 4 GiảI bất phơng trình:
2

2 3 2

5 6

x x
x x

 


 

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe hiểu câu hỏi.

- Tièm cách xét dấu của tử và mẫu của
bất phơng trình đã cho.

- GiảI bất phơng trình
2

2 3 2

5 6

x x
x x

 


 

- ChØnh sưa nÕu cÇn.
- Ghi nhËn kiÕn thøc.

- Giao nhiƯm vơ cho häc sinh.
- NhËn xÐt kết quả của học sinh.
- Đa ra cách giải.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

- Hoạt động 5: GiảI bất phơng trình (4 – 2x)(x2 + 7x +12) < 0

Hoạt động của HS Hoạt động của GV
- Nghe hiểu cõu hi.

- Tìm phơng án thắng.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Ghi n hËn kiÕn thøc.

- Giao nhiƯm vơ cho häc sinh.
- Kiểm tra kết quả của học sinh.
- Đa ra phơng pháp giảI bất phơng
trình tích.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.

* Củng cố.

- Cách giảI bất phơng trình bậc hai, bất phơng trình quy về bậc hai.

* Bài tập: Làm các bài tập trong SGK .

Tit 4 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
I. Mơc tiªu.

1. VỊ kiÕn thøc

- Cách giải các phơng trình và bất phơng trình (quy về bậc hai) cha n di du giỏ tr tuyt
i.

- Cách giải một số phơng trình và bất phơng trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.

2. Về kỹ năng.

- Vận dụng các khái niệm trong giải toán

- Biết cách giải một số bài toán cho dới dạng tổng quát

3. V t duy và thái độ.

- RÌn lun thªm cho häc sinh kü năng giải thành thạo các phơng trình và bất phơng trình
quy về bậc hai .

- Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

- Chuẩn bị của học sinh:

+ Đồ dùng học tập nh: Thớc kẻ, compa
- Chuẩn bị của giáo viên:

+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiu hc tp.

III. Phơng pháp dạy học.

+ Phng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khin t duy.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. Các tình huống học tËp.

Cũng cố và luyện tập về phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình quy về bậc hai.
- Hoạt động 1: Củng cố kiến thức thông qua giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Hoạt động 2: - Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt

đối.

- Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải phơng trình chứa căn thức.
- Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức.
- Hoạt động 5: Thành lập bảng tóm tắt các dng phng trỡnh v bt phng trỡnh.

B. Tiến trình bài häc.

1. Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các hoạt động học tập của giờ học.
2. Bài mới.

- Hoạt động 1: Củng cố kiến thức thơng qua giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Chỉnh sữa hoàn thiện lời giải.
- Ghi nhËn kiÕn thøc.

- Ra bµi tËp vµ híng dÉn hs cách giải.
- Nhận xét kết quả của học sinh.
- Lu ý HS khi giải phơng trình dạng
phân thức.

- Yêu cầu nâng cao đối với trờng hợp
tổng quát .

- Cho HS ghi nhËn kiÕn thøc.

- Hoạt động 2: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI bất phơng trỡnh cha du giỏ tr tuyt
i.

- GiảI bất phơng tr×nh sau: x2  5x4 x2 6x5.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nghe hiểu nội dung.

- Suy nghĩ giải bài toán
- Chỉnh sữa nếu cần.
- Ghi nhËn kiÕn thøc.

- Kiểm tra kiến thức về giá tr tuyt
i.

- Hớng dẫn học sinh giải toán.
- Lu ý häc sinh khi lÊy tËp nghiƯm
cđa bÊt ph¬ng tr×nh .

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI phơng trình chứa căn thức.
- Giải phơng trình x2 3x 12 x2 3x

   

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nghe hiểu nội dung câu hỏi.

- Vận dụng kiến thức để giải bài toán
trờn.

- Chỉnh sữa nếu cần.
- Ghi nhận kiến thức

- Kiểm tra kiến thức cơ bản:

( ) ( )

f x g x

- Hớng dẫn học sinh giải bài tập toán.
- Lu ý học sinh khi giải các bài toán
phơng trình có chứa căn thức.

- Tổng quát hoá bài toán.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức.
- Giải bất phơng trình : 22 4 1

3 10
x

x x




 

Hoạt động của học sinh Hoạt ng ca giỏo viờn
- Nghe hiu ni dung.

- Trình bày kÕt qu¶

- Vận kiến thức đã học giải bất phơng
trỡnh ó cho.

- Chỉnh sữa nế cần.
- Ghi nhận kiến thøc.

- NhËn xÐt vỊ d¹ng bÊt pt

- KiĨm tra kiến thức về bất phơng
trình f x( ) g x( )

- Cho học sinh vận dung giải bt
ph-ng trỡnh ó cho.

- Phát hiện sai lầm và sữa chữa kip
thời.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

mẫu số.

- Nêu bit to¸n ttỉng qu¸t.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 5: Thành lập bảng tóm tắt các dạng phơng trình và bất phơng trình.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Học sinh tự tóm tắt.

- Tự hoàn thiện bảng tóm tắt.
- Ghi nhận kiến thức.

-Hớng dẫn học sinh thành lập bảng
tóm tắt.

- Yêu cầu học sinh tự hoàn thiện bảng
tóm tắt.

- Chỉnh sữa nếu cÇn.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

* Cđng cè.

- Nắm đợc các dạng và cách giải cụ thể của từng dạng phơng trình và bất phơng trình .
- Kỷ năng biến đổi và ứng dụng của dấu tam thức bậc hai và quá trình giải phơng trình và
bất phng trỡnh .

* Bài tập: Làm các bài tập trong SGK

Tiết 5 KIỂM TRA CHỦ ĐỀ

ĐỀ BÀI

Đề kiểm tra chủ đề "Bất phương trình"
Thời gian: 45 phút

Đề bài
Bài 1. Giải bất phương trình:

a). 2x 3 3 x5.

b). 2

(2 1)(3 )
5 4

x x

 

  .

c). 2

2 6 2

5 4 0

x x

  





  




Bài 2. Cho phương trình: (m 1)x2 2(m 1)x 3(m 2) 0

      .

a). Tìm m để phương trình có nghiệm.

b). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

Hình Học:

Phơng trình tổng quá của đờng thẳng
I. Mục tiêu:

1. VÒ kiÕn thøc:

- Nắm đợc :

+ Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phơng của đờng thẳng.
+ Phơng trình tổng quát và các dạng đặc biệt của nó.
+ Biết đợc vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

2. VỊ kü năng:

+ Vận dụng thành thạo các khái niệm

+ Bit c các vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
+ Biết cách tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

3. VỊ t duy:

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

4. Về thái độ:

- CÈn thËn, chÝnh x¸c.

- Xây dựng bài mới một cách tự nhiên, chủ động.
- Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn.

II. Chn bÞ phơng tiện dạy học:

- Hc sinh ó bit iu kin vng góc của hai đờng thẳng thơng qua tích vơ hớng.
- Chuẩn bị giấy trong, chiếu Overheat.

III. Gỵi ý vỊ phơng pháp dạy học:

- Phng phỏp vn ỏp gi m thông qua các hoạt động điều khiển t duy.

IV. Tiến trỡnh bi hc v cỏc hot ng

A. Các tình huống häc tËp.

 HĐ1: Xây dựng định nghĩa vectơ pháp tuyến của đờng thẳng.

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giỏo viờn

- Nhận nhiệm vụ
- Quan sát hình vẽ.
- Trả lời câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức.

- Đa ra bảng phụ hình 65.

- H1 cỏc vect n1, n2 , n3 có gì đặc biệt.

- Nêu định nghĩa vtpt của đờng thẳng.
- Mỗi đờng thẳng có bao nhiêu vectơ
pháp tuyến? Chúng liên hệ với nhau
nh thế nào?

- ChÝnh xác hoá kết quả.

* H2: Xõy dng phng trỡnh tng quát của đờng thẳng, bài tập áp dụng.
+ Bài toỏn 1: (SGK).

+ Bài tập áp dụng: Trả lời câu hái H3 vµ vÝ dơ SGK.

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viên

- NhËn nhiƯm vơ
- Gi¶i bài toán SGK
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiÕn thøc míi.

- NhËn phiÕu häc tËp

- Th¶o ln trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhãm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Häc sinh nhãm kh¸c nhËn xÐt.
- ChØnh sưa nÕu cÇn.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

* HĐ3: Các dạng đặc biệt của phơng trình tổng quát, ý nghĩa hình học của hệ số góc.
+ Bài tập2 (sgk) Cho đờng thẳng (d): ax + by + c = 0. Em có nhận xét gì về vị trí tơng đối
của (d) với các trục toạ độ khi a = 0, b = 0, c = 0?

+ Bµi tËp 3 (sgk)

+ Bài tập 4: Cho đờng thẳng (d): ax + by + c = 0

a. Nếu b khác 0 viết phơng trình của (d) về dạng phơng trình của đờng thẳng bậc nhất?
b. Tìm hệ số góc k của (d) từ đó suy ra ý nghĩa hình học.

c. ¸p dơng

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viờn

- Nhận nhiệm vụ
- Giải bài toán SGK
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức mới.
- Nhận phiếu học tập

- Thảo luận trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Nêu câu hỏi

- Chia nhãm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

- Ghi nhận kết quả đúng. - Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
* HĐ4: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng bài tập áp dụng.

+ Bài toán 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 đờng thẳng (d1), (d2) lần lợt có phơng

trình: ax + by + c = 0, a’x + b’y + c’ = 0. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
+ Bài tập 5: a. Từtỉ lệ thức a/a’=b/b’ có thể nói gì về vị trí tơng đối của (d1), (d2)

b. Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trong các trờng hợp sau:
2x + 8y -2 = 0 và x - 2y +1 = 0

-x + 4y +1 =0 vµ 2x – 8y + 1 = 0

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viên

- NhËn nhiƯm vơ
- Gi¶i bài toán SGK
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiÕn thøc míi.
- NhËn phiÕu häc tËp

- Th¶o ln trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhãm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm

häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Häc sinh nhãm kh¸c nhËn xÐt.
- ChØnh sưa nÕu cÇn.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

V. Cđng cố

+ Hệ thống toàn bài.

+ Về nhà làm các bài tập còn lại trong sgk.

Phng trỡnh tham s ca đờng thẳng
I. Mục tiêu:

1. VÒ kiÕn thøc:

- VÐc t¬ chØ ph¬ng.

- Phơng trình tham số của đờng thng.

2. Về kỹ năng:

- Thnh tho cỏch chn VTCP, cách lập PTTS của đờng thẳng.
- Chuyển phơng trình tham số, chính tắc sang tổng qt và ngợc lại.
- Sử dụng máy tính bỏ túi trong tính tốn giải phơng trình hệ phơng trình.

3. VỊ t duy.

- Hiểu đợc ý nghĩa của phơng trình tham số.

4. Về thái độ:

- CÈn thËn, chÝnh x¸c.

II. Chuẩn bị phơng tiện dạy học:

1. Thc tin: Hc sinh đã nắm đợc khái niệm véc tơ, hai véc tơ cùng phơng.

2. Phơng tiện: Bảng kết quả cho các hoạt động.

III. Phơng pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp.

IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:

4.1. KiĨm tra bµi cị:

Hoạt động 1: Điều kiện để hai véc tơ a, b cùng phơng?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

khi cã sè k sao cho b = k a häc sinh.

4.2. Bµi míi:

Tình huống 1: Định nghĩa véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng.

Hoạt động 2:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên

* Học sinh đa ra định nghĩa về véc tơ
chủ phơng của đờng thẳng 

* Giáo viên nêu ví dụ cụ thể để học sinh
nắm đợc định nghĩa véctơ chỉ phơng

VD: Cho u1 khác o có giá là đờng thẳng .

u2 kh¸c o cã gi¸ song song víi .

Khi đó u1, u2 là các véc tơ chỉ phơng .

* Giáo viên nhận xét về ý kiến học sinh và
đa ra định nghĩa về véc tơ chỉ phơng.

Hoạt động 3: Giáo viên đa ra các câu hỏi.

Đờng thẳng  có bao nhiêu véc tơ chỉ phơng? Mối quan hệ của các véc tơ đó?
Mối quan hệ vét tơ chỉ phơng và véc tơ pháp tuyến của một đờng thẳng.
Vì sao u (b; -a) là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng .

ax + by + c = 0

Đờng thẳng có vô số véc tơ pháp

tuyến các véc tơ đó cùng phơng với nhau.

Giáo viên vẽ hình:

Hai vộc tơ đều nhau o và vng góc với

nhau.

 Vì véc tơ pháp tuyến của là n (a; b)

Mặt khác u . n = a.b - b.a = 0  n  u

Do vËy u và véc tơ chỉ phơng của . Kiểm tra, nhận xÐt tr¶ lêi cđa häc sinh.

Hoạt động 4: Giáo viên đa ra ví dụ:

Cho : 3x + 4y + 1 = 0. Tìm một véc tơ chỉ ph¬ng cđa .

 Một véc tơ pháp tuyến của  là n (3; 4)  Tìm véc tơ pháp tuyến của . Từ đó

suy ra vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa .
Do vËy chän 1 vÐc tơ chỉ phơng của là

u (4; - 3).

Tỡnh huống 2: Phơng trình tham số của đờng thng

* Giáo viên đa ra bài toán.

"Trong mt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng  đi qua I(x0; y0) và có véc tơ chỉ phơng

u (a; b). Hãy tìm điều kiện của x; y để M(x; y) nằm trên ".

Hoạt động 5: Đa ra lời giải bài toán.

IM = (x - x0 ; y - y0 )  Tìm tọa độ véc tơ IM ; t u.

t u = (t a ; t b)
V× IM = t u

x - x0 = t a x = x0 + t a

y - y0 = t b y = y0 + t b

 So sánh u; IM. Từ đó nhận xét đa ra

kÕt luËn về phơng trình tham số của
đ-ờng thẳng .

()

(I)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Chó ý:

* Với mỗi giá trị t. ta tìm x, y từ hệ (I). Khi đó có đợc điểm M (x; y) nằm trên .

* Nếu M (x; y) nằm trên  thì có một số t sao cho x; y thoả mãn (I).

Hoạt động 6: Cho đờng thẳng  có phơng trình tham số
x = 2 + t

y = 1 - 2 t

a. H·y chỉ ra một VTCP của .

b. Tìm các điểm của tơng ứng với các giá trị t = 0; t = - 4; t = .
c. §iÓm M (1; 3); N (1 ; - 5) cã thuộc không.

u ( 1; 2) là một VTCP cđa 
 Víi t = 0  ®iĨm M1(2; 1)

t = - 4  ®iĨm M2 (-2 ; 9)

t =  ®iĨm M3 ( ; 0)

 Thay giá trị của t vào (II) để tìm cỏc

điểm trên .

Thay M(1; 3) vo (II) ta có  Thay toạ độ M; N vào (II). Tìm t?

1 = 2 + t
3 = 1 - 2t

Kiểm tra, nhận xét hoạt động của học
sinh.

VËy M  ()

 Thay N (1 ; - 5) vµo (II) ta cã:

1 = 2 + t t = - 1
- 5 = 1 - 2t t = 3

Không tồn tại giá trị của t. Do vậy N .

Hot ng 7: Cho đờng thẳng d có phơng trình tổng quát
2x - 3y - 6 = 0 (2)

a. Hãy tìm toạ độ của một điểm thuộc d và viết PTTS của d.
b. Hệ x = 2 + 1, 5t

y = - + t

c. Tìm toạ độ của điểm M thuộc d sao cho OM = 2.
a. Chọn x = 0 thay vào (2) ta có y = -2

 N (0; - 2)  d.

VTCP của d là u (3; 2) khi đó PTTS của (d)
là: x = 3 t

y = -2 + 2t

Hớng dẫn học sinh cách tìm một

điểm trên d, cách chuyển PTTQ sang
PTTS và ngợc lại.

b. Vì véc tơ v = (1,5 ; 1) cùng phơng với u
nên v là một VTCP d.

 Cho học sinh thấy một đờng thẳng

cã nhiều PTTS.
Mặt khác điểm P (2; - ) thuộc d.

Do vậy hệ (III) là PTTS của đờng thẳng d.
c. Lấy M(3 + 3t ; 2t)

V× OM = 2  (3 + 3t)2 + (2t)2 = 4

Để tìm toạ độ của M thuộc d ta đi tìm
giá trị của tham số t.

 t = - 1
t = -

 Tính độ dài véc tơ OM. T ú suy

ra giá trị t.
Với t = -1 ta cã M1(0; - 2)

t = - ta cã M2 (; - )

(II )

 t = - 1



</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Chó ý:

* Tõ (I) víi a 0 ; b  0. Khư t ta cã. 
 = (3).

Khi đó (3) là phơng trình chính tắc của đờng thẳng.

* Với a = 0 hoặc b = 0 thì đờng thẳng khơng có phơng trình chính tắc. 
Hoạt động 8: Ví d SGK.

a. Đờng thẳng cần tìm có VTCP i (1; 0) và đi
qua A.

Vy PTTS x = 1 + t  Tìm VTCP của đờng thẳng.

y = 1
PTTQ lµ y - 1 = 0

b. Gọi  là đờng thẳng cần tìm, vì  d nên
VTCO của  là u (5; - 7).

 Nªn mèi quan hƯ VTPT cđa hai

đ-ờng thẳng vuông góc với nhau?

PTTS là x = 2 = 5t
y = 1 - 7t

PTCT  lµ: =  KiĨm tra, nhËn xÐt kÕt qu¶ ho¹t

động học sinh.
PTTQ là: 7 x + 5y - 19 = 0.

Hoạt động 9: Giáo viên đa ra ví dụ:

Viết phơng trình tham số, phơng trình chính tắc (nếu có) và phơng trình tổng quát
của đờng thẳng đi qua hai điểm M(- 4; 3) và N(1; - 2).

Ta cã MN = (5; - 5). Chän VTCP MN lµ u(1;
- 1).

 Tìm VTCP của đờng thẳng.

 PTTS x = - 4 + t  Lập PTTS, CT, TQ của đờng thẳng

y = 3 - t

 PTCT =

 KiÓm tra, nhËn xÐt kÕt quả hoạt

ng hc sinh.

PTTQ x + y + 1 = 0

V. Cñng cè:

Khắc sâu lại định nghĩa VTCP, cách lập PTTS, CT của đờng thẳng.

Bµi tËp gãc vµ khoảng cách

I. Mục tiêu:

1. Về kiến thức:

- Nm c :

+ Khắc sâu về công thức tính khoảng cách.

+ iu kin để hai điểm nằm cùng phía , khác phía đối với một đờng thẳng.
+ Khắc sâu về cơng thức tính gúc gia hai ng thng.

2. Về kỹ năng:

+ Vận dụng thành thạo các công thức

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

+ Biết cách vận dụng công thức vào bài toán cụ thể.

3. Về t duy:

- Rèn luyện t duy lôgíc sáng tạo, biết quy l¹ vỊ quen.

4. Về thái độ:

- CÈn thËn, chÝnh x¸c.

- Xây dựng bài mới một cách tự nhiên, chủ động.
- Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn.

II. Chn bÞ phơng tiện dạy học:

- Hc sinh ó bit iu kin vng góc của hai đờng thẳng thơng qua tích vơ hớng.
- Chuẩn bị giấy trong, chiếu Overheat.

III. Gỵi ý vỊ phơng pháp dạy học:

- Phng phỏp vn ỏp gi m thông qua các hoạt động điều khiển t duy.

IV. Tiến trỡnh bi hc v cỏc hot ng

A. Các tình huống học tập.

* HĐ1: Bài tập về khoảng cách.

+ Bi 1: Cho điểm A (1; 2) vaf đờng thẳng ( ) : 1 2
2

x t

y t

 


 




Tính khoảng cách từ điểm A đến () . Từ đó suy ra đờng trịn tâm A tiếp xúc
với 

+ Bµi tËp 2: Cho tam gi¸c ABC biÕt A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2)
a. TÝnh cosA

b. Tính khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB.

+ Bài tập 3: Cho 3 điểm A(3; 0), B(-5; 4) và P(10; 2). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua P
đồng thời cách đều A và B.

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viờn

- Nhận nhiệm vụ
- Giải bài toán SGK
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức mới.
- Nhận phiếu học tập

- Thảo luận trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhóm học sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Häc sinh nhóm khác nhận xét.
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
* HĐ2: Bài tập về góc.

+ Bài tập 4: Cho 3 điểm A(4; -1), B(-3; 2), C(1; 6). Tính góc BAC và góc giữa hai đờng
thẳng AB và AC

+ Bài tập 5: Biết 3 cạnh của tam giác ABC có phơng trình:
AB: x – y + 4 = 0, BC: 3x + 5y + 4 = 0, AC: 7x + y -12 = 0
a. Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A.

b. Khơng dùng hình vẽ hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngồi tam giác?
c. Tìm toạ độ tâm I đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viên

- NhËn nhiệm vụ
- Giải bài toán SGK
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức mới.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhãm häc sinh.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

- NhËn phiÕu học tập

- Thảo luận trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu đúng.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Học sinh nhóm khác nhận xét.
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

V. Cđng cè.

+ HƯ thống lại kiến thức toàn bài.

+ Về nhà làm các bài tập còn lại trong sgk.

Đờng tròn

I. Mơc tiªu:

1. VỊ kiÕn thøc:

- Nắm đợc :

+ Cách viết phơng trình đờng trịn

+ Biết các dạng phơng trình tiếp tuyn ca ng trũn.

2. Về kỹ năng:

+ Vn dng thnh thạo các cơng thức
+ Biết nhận dạng phơng trình đờng trịn.

+ Biết cách viết phơng trình tiếp tuyến của đờng trịn.

3. VỊ t duy:

- RÌn lun t duy l«gÝc sáng tạo, biết quy lạ về quen.

4. V thỏi :

- CÈn thËn, chÝnh x¸c.

- Xây dựng bài mới một cách tự nhiên, chủ động.
- Toán học bắt nguồn từ thực tin.

II. Chuẩn bị phơng tiện dạy học:

- Hc sinh ó biết về đờng tròn ở lớp dới.
- Chuẩn bị giy trong, chiu Overheat.

III. Gợi ý về phơng pháp dạy häc:

- Phơng pháp vấn đáp gợi mở thông qua các hoạt động điều khiển t duy.

IV. Tiến trình bài học v cỏc hot ng

A. Các tình huống học tập

* H1: Xây dựng phơng trình đờng trịn và bài tập áp dụng.
* HĐ2: Nhận dạng phơng trình đờng trịn và bài tập áp dụng.
* HĐ3: Phơng trình tiếp tuyến của đờng trũn.

* HĐ4: Bài tập luyện tập
B. Tiến trình bài học.

* HĐ1: Xây dựng phơng trình đờng trịn và bài tập áp dụng.

+ Bài toán: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng trịn (C) tâm I(x0; y0) và bán kính R.

Tìm điều kiện để điểm M (x; y) thuộc đờng tròn.
+ Bài tập 1; Cho điểm P(-2; 3); Q(2; -3)

a. Viết phơng trình đờng trịn tâm P và đi qua Q
b. Viết phơng trình đờng trịn đờng kính PQ

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

- Nhận nhiệm vụ
- Giải bài toán 1

- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức míi.
- NhËn phiÕu häc tËp

- Th¶o ln tr¶ lêi vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhóm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Học sinh nhóm khác nhận xét.
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
* HĐ2: Nhận dạng phơng trình đờng trịn bài tập áp dụng.

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viên

- NhËn nhiƯm vơ

- (1) tơng đơng với x2 + y2 -2x

0x -2y0y

+ x2

0 + y20 – R2 = 0

- Tr¶ lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiến thức mới.
- Nhận phiếu học tập

- Thảo luận trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhóm học sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Häc sinh nhóm khác nhận xét.
- Chỉnh sửa nếu cần.

- Cho học sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

* Bài tập áp dụng: Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình của đơng
tròn?

a. x2 + y2 – 0,14x + 5y – 7 = 0

b. x2 + y2 – 2x - 6y +103 = 0

c. 3x2 + 3y2 + 2006x - 17y = 0

d. x2 + 2y2 – 2x + 5y + 2 = 0

* HĐ3: Phơng trình tiếp tuyến của đờng trịn bài tập áp dụng.

+ Bài tốn 1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng trịn (C) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®i qua M(5; 1)

+ Bài tốn 2: Cho đờng trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và điểm M(4; 2)

a. Chứng tỏ điểm M thuộc đờng trịn đẫ cho

b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng trịn tại điểm M

Hoạt động của hóc sinh Hoạt động của giáo viên

- NhËn nhiƯm vơ
- T×m câu trả lời.
- Trả lời các câu hỏi.
- Ghi nhận kiÕn thøc míi.

- NhËn phiÕu häc tËp

- Th¶o ln trả lời vào phiếu học tập.
- Trình bày kết quả

- Ghi nhn kt qu ỳng.

- Nêu câu hỏi

- Chia nhãm häc sinh.

- Ph¸t phiÕu häc tËp cho tõng nhãm
häc sinh.

- Yêu cầu đại diện nhóm trả lời câu
hỏi.

- Häc sinh nhãm kh¸c nhËn xÐt.
- ChØnh sưa nÕu cÇn.

- Cho häc sinh ghi nhËn kiÕn thøc.

V. Cđng cố.

+ Hệ thống lại kiến thức toàn bài.

</div>

Tu chon chuyen de Bat dang thuc lop 10



















<b>MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC.</b>

<b>ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.</b>

 

. Nếu

.

<b>.</b>





<b> </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về