Tự chọn chuyên đề Bất đẳng thức lớp 10

T ự ch ọ n " CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC"
Thời lượng: 04 tiết
Ngày soạn:22-24/12/07
CHƯƠNG I(tiết 1)
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B
⇔
A - B ≥ 0. A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B
gọi là vế phải của bất đẳng thức.
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất
đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B
⇒
C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A >
B.
.Nếu ta có: A > B
⇔
C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tương đương.
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
.A ≥ B là A > B hoặc A = B.
.A ≠ B cũng là bất đẳng thức.
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu
đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là
" chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".

II. Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c
⇒
a > c.
Tính chất 2: a > b
⇒
a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c
⇔
a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d
⇒
a + c > b + d.
Tính chất 4: a > b
⇔
ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0
⇒
ac > bd.
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương
⇒

n
a >
n
b
.
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương
n
a⇒

>
n
b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba ⇔≥
22
≥
bab ≥⇔
.
Tính chất 8: a > b, ab > 0
a
1
⇒
<
b
1
.
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a⇒ >
n
a .
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n
⇒

m
a <
n
a .

III. Các hằng bất đẳng thức.
1) .0
2
≥a Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
2) 0
2
≤− a . Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
.0≥a
Dấu " = " xảy ra
0
=⇔
a
.
1
.aa ≥
Dấu " = " xảy ra
⇔
.0
≥
a
baba +≤+
. Dấu " = " xảy ra
0
≥⇔
ab

.
.baba −≥−
Dấu " = " xảy ra
.0;00)( ≤≤≥≥⇔≥−⇔ bababab
4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng
chúng như một bổ đề, chẳng hạn:
.2
22
abba ≥+ Dấu " = " xảy ra
.ba =⇔
ba
baba
,;
411
+
≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )
.4
2
2
2
abbaab
ba
≥+⇔≥







+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
ba
a
b
b
a
,;2≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )( )
( )
.
2
2222
byaxyxba +≥++
Dấu " = " xảy ra
.bxay =⇔
5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng.
. Bất đẳng thức côsi.
Cho n số dương
.,...,
21 n
aaa

Ta có:
....
...
21
21
n
n
n
aaa
n
aaa
≥
+++
Dấu " = " xảy ra
....
21 n
aaa ==⇔
. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số:
.,,,,
21 n
aaa
và
.,,,,
21 n
bbb
Ta có:
)....)(...()...(
22
2

2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++≤+++
Dấu " = " xảy ra
....
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a
===⇔
CHƯƠNG II.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học
sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chương trình và 03 tiết học theo chủ đề tự
chọn bám sát nâng cao, còn lại hướng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm

vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh
bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối
hợp nhiều phương pháp.
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
. Lập hiệu số: A - B.
. Chứng tỏ A - B ≥ 0.
. Kết luận A ≥ B.
B. Ví dụ.
1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
).(23
222
cbacba ++≥+++
2
b)
cba
cba
cba ,,;9)
111
)(( ≥++++
> 0.
Giải:
a) Ta có:
.0)1()1()1(
)12()12()12(
222)(2)3(
222
222

222222
≥−+−+−=
+−++−++−=
−−−++=++−+++
cba
ccbbaa
cbacbacbacba
Do đó:
).(23
222
cbacba ++≥+++
b) Ta có:
9)
111
)(( −++++
cba
cba
.
=
9111 −++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a

b
a
.
=
).2()2()2( −++−++−+
a
c
c
a
b
c
c
b
a
b
b
a
=
).0,,(;0
)()()(
222
〉≥
−
+
−
+
−
cba
ca
ac

bc
cb
ab
ba
Do đó:
9)
111
)(( ≥++++
cba
cba
. Với a, b, c > 0.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1.
Giải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
=
1)65)(45(
22
++−+− xxxx
.
Dặt
55
2
+−= xxy
, biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y
2
≥ 0.
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1.
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.(tiết 2)
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất

đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A ≥ B
⇔
A
1
≥ B
1

⇔⇔ ...
( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B.
B. Ví dụ
1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a)
baba +≥+
.
b)
yx
yxyx
,;
411
+
≥+
> 0.
Giải:
a)
22
)()( babababa +≥+⇔+≥+

2222
22 bababbbaa ++≥++⇔

abababba ≥⇔≥⇔
.( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.baba +≥+
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:
.04)(4)(
4411
22
≥−+⇔≥+⇔
+
≥
+
⇔
+
≥+ xyyxxyyx
yxxy
yx
yxyx
0)(
2
≥−⇔ yx
, ( bất đẳng thức đúng ).
3
Vậy
.
411
yxyx +
≥+
Với x, y > 0.

2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
.9)
1
1)(
1
1( ≥++
ba
Giải:
Ta có:
9)
1
1)(
1
1( ≥++
ba
. ( 1 ).
abbaab
b
b
a
a
919
1
.
1
≥+++⇔≥
++
⇔
. Vì ab > 0.

ababba 8281 ≥⇔≥++⇔
. ( Vì a + b = 1 ).
.4)(41
2
abbaab ≥+⇔≥⇔
( Vì a + b = 1 ).
.0)(
2
≥−⇔ ba
( 2 ).
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có
điều kiện, chẳng hạn:
.
22
baba ≥⇔≥ Với a, b > 0.
m > n
m
a⇔ >
n
a . Với m, n nguyên dương, a > 1.
Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tương đương.
III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem
phần II. Chương I ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
44

ba +
>
8
1
.
Giải:
Do
ba +
> 1 ( 1 ).
Bình phương hai vế:
2
)( ba +
> 1
22
2 baba ++⇒
> 1 ( 2 ).
Mặt khác:
020)(
222
≥+−⇒≥− bababa
. ( 3 ).
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được:
)(2
22
ba +
> 1.
Suy ra:
22
ba +
>

2
1
( 4 ).
Bình phương hai vế của ( 4 ):
4224
2 bbaa ++
>
4
1
. ( 5 ).
Mặt khác:
020)(
4224222
≥+−⇒≥− bbaaba
. ( 6 ).
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được:
)(2
44
ba +
>
4
1
.
Suy ra:
44
ba +
>
8
1
.

2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức:
.
2
2
2
2
2
2
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++≥++
Giải:
Ta có:
.20)(
222
xyyxyx ≥+⇒≥−
Dấu " = " xảy ra
.yx
=⇔
4

áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
.2..2
2
2
2
2
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
=≥+
( 1 ).
Tương tự :
.2
2
2
2
2
a
b
a
c
c
b

≥+
( 2 ).
.2
2
2
2
2
b
c
b
a
a
c
≥+
( 3 ).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được:

.
)(2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒
++≥++
IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn

hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc
bằng A, từ đó ta có A ≥ B.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
nnn 2
1
...
2
1
1
1
++
+
+
+
>
.
2
1
( Với
nNn ,∈
> 1 ).
Giải:
Ta có:
1
1
+n
>
.
2

11
nnn
=
+
Tương tự:
2
1
+n
>
.
2
1
n
..................

.
2
1
2
1
nn
≥
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
222
1
...
3
1

2
1
1
n
++++
>
).1,(;
1
≥∈
+
nNn
n
n
Giải:
Ta có:
222
1
...
3
1
2
1
1
n
++++
>
)1(
1
...
4.3

1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
=
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
=
.
11

1
1
+
=
+
−
n
n
n
Suy ra đpcm.
V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
.2
22
≤+ ba
Chứng minh rằng:
.2
≤+
ba
Giải: Giả sử
ba
+
> 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
22
2 baba ++
> 4. ( 1 )

5
Mặt khác ta có:
Mà: 2
4)(
22
≤+ ba
( giả thiết ), do đó
.42
22
≤++ baba
( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có
.2≤+ ba
2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.02;02;02
222
≥+≥+≥+ abcacbbca
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
bca 2
2
+ < 0; acb 2
2
+ < 0; abc 2
2
+ < 0.
abcacbbca 222
222
+++++⇒
< 0

2
)( cba ++⇔
< 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy
phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )
VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ.
A. Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ
bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a
<
b
thì:
b
a
<
cb
ca
+
+
.
b) Nếu
ba
≥
thì:
.
cb

ca
b
a
+
+
≥
Bài toán 2. Với
zyx ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
.
)(
41
2
yx
xy
+
≥
b)
.
411
yxyx +
≥+
c)
.
9111
zyxzyx ++
≥++
* Chú ý:
Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng

đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Giải:
Vì
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác nên
a
<
cb +
, theo bài toán 1a) ta có:

cb
a
+

<
.
2
cba
a
cba
aa
++
=
++
+
( 1 ).
tương tự:
ac
b
+
<
.
2
cba
b
++
( 2 ).

ba
c
+
<
.
2

cba
c
++
( 3 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
<
.2
)(2
=
++
++
cba
cba
2. Ví dụ 2. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:
6

.

)(
1
8
1
44
1
222
ba
ab
ba +
≥+
+
Giải:
Vì
ba,
> 0
22
44 ba +⇒ > 0 và
ab8
> 0. Theo bài toán 2b) ta có:
.
)(
1
)(4
4
844
4
8
1
44

1
222222
babaabba
ab
ba +
=
+
=
++
≥+
+

⇒
đpcm.
3.Ví dụ 3. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
3
2
1
2
1
2
1
cbaaccbba ++
≥
+
+
+

+
+
Giải:
Vì
cba ,,
> 0
ba +⇒ 2
> 0;
cb +2
> 0;
ac +2
> 0.
Theo bài toán 2c) ta có:
.
3
)(3
9
222
9
2
1
2
1
2
1
cbacbaaccbbaaccbba ++
=
++
=
+++++

≥
+
+
+
+
+

⇒
đpcm.
VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.(tiết 3)
A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các
bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
baba +≥+
. Dấu " = " xảy ra khi
0
≥
ab
.
b)
baba −≤−
. Dấu " = " xảy ra khi
0)( ≥− bab
.
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
0, ≠yx
thì:

.2≥+≥+
x
y
y
x
x
y
y
x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
yx ±=
.
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1)
.2≥+
m
n
n
m
2)
.2
1
≥+
m
m
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán
trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
zyxzyx ++≤++
.

Giải:
Từ bài toán 1a) ta có:
zyxzyxzyx ++≤++≤++
.
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng:
nn
aaaaaa +++≤+++ ......
2121
.
2. Ví dụ 2. Cho
0, ≠ba
. Chứng minh rằng:
04)(3
2
2
2
2
≥++−+
a
b
b
a
a
b
b
a
.
Giải:
Đặt x=

a
b
b
a
+
, ta có:
2≥x
( theo bài toán 2 ).
Ta được:
23234)(3
2
2
2
2
2
2
+−=+






+−







+=++−+ xx
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
=
0)1)(2( ≥−− xx
. Vì



−⇒
≥
−≤
⇔≥ )2(
2
2
2 x

x
x
x
và
)1( −x
cùng dấu.
7
0430)1)(2(
2
2
2
2
≥+






+−+⇔≥−−⇒
a
b
b
a
a
b
b
a
zx
. ( đpcm ).

3. Ví dụ 3. cho
.20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa
Chứng minh rằng:

.4017≤− cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba
.
Mà:
2008≤− ca
. Suy ra:
4017≤−+− caaab
.
Theo bài toán 1) ta có:
caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()(
.
Vậy:
4017≤− cab
.
VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ.
A. Kiến thức cần nhớ.
Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của
tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):
1)
xyyxyx 4)()(2
222
≥+≥+
.

2)
)(3)()(3
2222
zxyzxyzyxzyx ++≥++≥++
.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x
4
+ y
4
≥
8
1
.
Giải:
Áp dụng bài toán 1) ta có:
8
1
2
2
)(
2
)(
2
2
22
44
≥







+
≥
+
≥+
yx
yx
yx
.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
)(
444
cbaabccba ++≥++
.
Giải:
Áp dụng bài toán 2) ta có:

)(
))(())(())((
444
222222444
cbaabccba
abcacabcbcabaccbbacba
++≥++⇒
++≥++≥++
IX. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG.
A. Phương pháp.

Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X =
n
AAA ...
21
và Y =
n
BBB ...
21
hoặc X =
n
AAA +++ ...
21
và Y =
n
BBB +++ ...
21
với
),...,2,1(, niBA
ii
=
là đa thức, phân thức mà các biểu thức
ii
BA ,
có chung quy luật. Dễ dàng
chứng minh được các bất đẳng thức riêng
iinn
BABABA ≥⇒≥≥ ,...,
11
.
B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
222
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
Giải:
Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng:
ba
b
a
−≥ 2
2
. ( 1 )
Ta có:
22
2
22 babaab
b
a
−≥⇔≥
(vì
b

> 0 ).
8
0)(02
222
≥−⇔≥+−⇔ bababa
. ( bất đẳng thức luôn đúng ).
Vậy ( 1 ) được chứng minh !
Tương tự
ac
a
c
cb
c
b
−≥−≥ 2;2
22
. ( 2 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm.
2. Ví dụ 2. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
3
22
3
22
3
22
3
cba
caac

c
bccb
b
abba
a ++
≥
++
+
++
+
++
.
Giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng:
3
2
22
3
ba
abba
a −
≥
++
. ( 1 )
Ta có ( 1 )
))(2(3
223
abbabaa ++−≥⇔
0))((
0

2223
2
2233
2322233
≥−+⇔
≥−−+⇔
−−−++≥⇔
baba
abbaba
abbbabaabaa
Vậy ( 1 ) đúng.
Tương tự
3
2
22
3
cb
bccb
b −
≥
++
. ( 2 )
3
2
22
3
ac
caac
c −
≥

++
. ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm.
X. PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của
biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1
278
+−+− xxxx > 0.
Giải:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức.
Cách 1. * Nếu
1
≥
x
thì A
1)1()1(
7
+−+−= xxxx
> 0.
* Nếu x < 1 thì A
)1()1(
528
xxxx −+−+=
> 0.
Vậy ta có đpcm.
Cách 2. A =
2727

)1)(1()1()1( xxxxxxx +−−=+−−−
.
* Nếu
0)1)(1(11
77
≥−−⇒≥⇒≥ xxxx
, mà
2
x
> 0. Nên A > 0.
* Nếu x < 1
7
x⇒
< 1
)1)(1(
7
−− xx
> 0, còn
2
x
> 0. Nên A > 0.
2. Ví dụ 2. Cho
Rcba ∈,,
, thoả mãn:
abccba ≥++
.
Chứng minh rằng: abccba ≥++
222
.
Giải:

Xét hai trường hợp:
1)
abccbacbacba ≥++≥++⇒≥≥≥
222
1,1,1
.
2) Trong ba số
cba ,,
có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả
sử
c
< 1. Ta có
abcabcabbacba ≥≥≥+≥++ 2
22222
.
XI. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.(tiêt 4)
9
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán
quen thuộc dẫ biết cách giải
* Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng
h
B
A
B
A
B
A
n
n

≥+++ ...
2
2
1
1
.
( h là hằng số,
nn
BBAA ,...,,,...,
11
là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách
đổi biến
nn
BmBmBm === ,...,,
2211
, sau đó biểu diễn
1
A
theo
n
mmm ,...,,
21
sẽ đưa về bài toán
quen thuộc sau:
Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì
2≥+
x
y
y
x

.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007)
4
+ ( x + 2009 )
4
≥
2.
Giải:
Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 )
4
+( x + 2009 )
4
= ( y - 1 )
4
+( y + 1 )
4

=
22122
24
≥++ yy
.
* Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát :
8
)(
)()(
4
44
ba

bxax
−
≥+++
bằng cách đặt
2
ba
xy
+
+=
.
2. Ví dụ 2. Cho
1
=++
cba
.Chứng minh rằng:
3
1
222
≥++ cba
.
Giải:
Đặt
zcybxa +=+=+=
3
1
;
3
1
;
3

1
. Do
.01 =++⇒=++ zyxcba
Ta có:
222222
)
3
1
()
3
1
()
3
1
( +++++=++ zyxcba

3
1
3
1
)(
3
2
3
1
222
222
≥+++=
++++++=
zyx

zyxzyx
Dấu " = " xảy ra
3
1
0 ===⇔===⇔ cbazyx
.
3. Ví dụ 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
.
Giải:
Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.
Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0.
Suy ra
.
2
;
2
;
2

yx
c
zx
b
zy
a
+
=
+
=
+
=

Vậy
z
yx
y
xz
x
zy
cba
c
bac
b
acb
a
222
+
+
+

+
+
=
−+
+
−+
+
−+
.
=






−++−++−++ )2()2()2(6
2
1
x
z
z
x
y
z
z
y
x
y
y

x
10
36.
2
1)()()(
6
2
1
222
=≥






−
+
−
+
−
+≥
zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
XII. PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ CÁC BIẾN.

A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi
vai trò các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến,
giúp tim lời giải dễ dàng hơn.
Lưu ý rằng
1) Các biến tham gia trong bài toán hoán vị vòng quanh mà giả thiết và bất đẳng thức
cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2) Các biến tham gia trong bài toán có vai trò như nhau, nghĩa là nếu hoán vị tuỳ ý mà
giả thiết và bất đảng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xắp xếp trật tự các biến
( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Chứng minh rằng:
2
111
≤
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a
.
Giải:
Vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1.

Do đó:
.
111111 +
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+ ab
c
ab
b
ab
a
ab
c
ca
b
bc
a
1111 +
++
≤
+
+
+

+
+
⇒
ab
cba
ab
c
ca
b
bc
a
. ( 1 ).
Mặt khác:
1210)1)(1( +≤+≤+⇒≥−− ababbaba
. Mà
1≤c
nên
).1(2112 +=++≤++ ababcba
Do đó:
2
1
)1(2
1
=
+
+
≤
+
++
ab

ab
ab
cba
. ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm.
2. Ví dụ 2. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
abccbaccbabcbaa 3)()()(
222
≤−+++−+++−
.
Giải:
* Nhận xét: Khi hoán vị vòng quanh
acba →→→
thì bất đẳng thức cần chứng minh
không đổi.
Giả sử
c
là số nhỏ nhất tức là
cbca ≥≥ ,
. Ta có:
[ ]
),:(;0))(()()(
))(()()()(
))(())(())((
)()()(
)()()(3
2
222

222
cbcadobcacccbaba
bcacccbbcaaba
bcaccabcbbcabaa
abcbcacccababcbbbcacabaa
cbacbacbacbaabc
≥≥≥−−+−+−=
−−+−−−−=
−−+−−+−−=
+−−++−−++−−=
−++−++−+−
Vậy ta được đpcm.
XIII. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
A. Kiến thức cần nhớ.
11
Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi
)(1 Nnn ∈≥
. ta có thể vận
dụng phương pháp quy nạp toán học.
Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:
1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi
1=n
.
2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi
kn =
.
Chứng minh bất đẳng thức đúng khi
1+= kn
3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi
n

nguyên dương.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
2
2
+n
>
52 +n
, với mọi
n
nguyên dương.
Giải:
Giả sử bất đẳng thức đúng với
kn =
, tức là:
2
2
+k
>
52 +k
, ta cần chứng minh bất đẳng
thức đúng với
1+= kn
.
Ta có:
232)1(
2.222
++++
==
kkk

>
104)52(2 +=+ kk
>
5)1(2522 ++=++ kk
.
Vậy bất
2
2
+n
>
52 +n
với mọi
n
nguyên dương.
2. Ví dụ 2. Cho
0, ≥ba
. Chứng minh rằng:
22
nn
n
baba +
≤






+
, với mọi

n
nguyên dương.
Giải:
Với
1
=
n
, ta có
22
11
1
baba +
≤






+
, hiển nhiên đúmg.
Giả sử bất đẳng thức đúng với
kn
=
, tức là:
22
kk
k
baba +
≤







+
.Ta có:

4
))((
242
42
.
22
.
22
111111
11
1
kkkkkkkkkk
kkkkkk
kk
bababaabbababa
bbaababababababa
−−
−
+
=
−−+

−
+
=
+++
=
++
≤






++
=






+
++++++
++
+
Mà:
)();(
kk
baba −−
cùng dấu nên

0))(( ≥−−
kk
baba
.
Do đó:
22
11
1
++
+
+
≤






+
kk
k
baba
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
XIV. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH SỐ HẠNG.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có
dạng
)(...)2()1( nfff +++
, khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm
hàm F(k) thoả mãn hệ thức

)()()1( kfkFkF =−+
. Từ đó dễ dàng thấy rằng:
)1()1()()1(...)2()3()1()2()(...)2()1( FnFnFnFFFFFnfff −+=−+++−+−=+++
.
Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
< 1.
Giải:
Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:
1
11
)1(
1
+
−=
+ kkkk
.

Vậy ta có:
12

1
1
1
1
11
...
3
1
2
1
2
1
1
1
)1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
−=
+
−++−+−=

+
++++
nnnnn
< 1. ( đpcm ).
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
22
)1(
12
...
144
7
36
5
4
3
+
+
++++
nn
n
< 1.
Giải:
Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:
2222
)1(
11
)1(
12
+
−=

+
+
kkkk
k
. Ta có:
222222222
)1(
1
1
)1(
11
...
3
1
2
1
2
1
1
1
)1(
12
...
144
7
36
5
4
3
+

−=
+
−++−+−=
+
+
++++
nnnnn
n
< 1.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
XV. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ HÌNH HỌC.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải
nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất:
1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c.
2). Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin.
3).
vuvu +≤+
, dấu đẳng thức xảy ra
kvku ,=
> 0 ( tức
vu,
cùng hướng ).
4).
vuvu .. ≤
, dấu đẳng thức xảy ra khi
vku =
( tức
vu,
cùng phương )

B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:
ba +
>
ba +
.
Giải:
B Xét tam ∆ ABC có
∠
A = 1v, AB = , AC = .
Theo định lý Pitago ta có:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
=
⇒+
ba
BC =
ba +

a
∆ ABC có AB + AC > BC
ba +⇒
>
ba +

.
A b C
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,luôn có:
211
22
≥+−+++ aaaa
.
Giải:
Nhận xét:
)
2
3
,
2
1
(
1
3
2
1
1
2
2
2
+⇒









+






+=++ auaaa
.
)
2
3
,
2
1
(
2
3
2
1
1
2
2
2
avaaa −⇒









+






−=+−
.
Mà
2)
2
3
2
3
()
2
1
2
1
(
22
=++−++=+≥+ aavuvu
. đpcm

CHƯƠNG III.
13
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC.
Bài 1. Chứng minh rằng:
a)
12544
234
+−+− aaaa
. b)
32)1()5(
44
≥+++ xx
.
c)
abcaccbba 6)1()1()1(
222222
≥+++++
. d)
0
3344
≥+++ abbaba
.
Hướng dẫn:
a)
03)1()2(...12544
2222234
≥+−+−==+−+− aaaaaaaa
.
Dấu " = " không xảy ra nên ta có đpcm.
b) Đặt y = x + 3.

c) VT biến đổi được:
abcabcacbabccbaabccba 6)2()2()2(
222222222
+−++−++−+
.
d)
))((...
333344
babaabbaba ++==+++
.
Bài 2. Chứng minh rằng:
a)
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2

2
. b)
44
2
6
2
6
ba
a
b
b
a
+≥+
.
c)
2
1
2
22
22
44
≥









+
+
++
ba
ba
ba
. d)
2
222222222444
321






++
≥
++
+
++ cbaaccbbacba
.
Hướng dẫn:
a) Nhân cả hai vế với 2, biến đổi tương đương.
b) Biến đổi tương đương đưa về:
0))((
226644
2
6
2

6
≥−−⇔+≥+ bababa
a
b
b
a
.
c) VT bằng:
2...2
1
)(
22
22
22
222
=≥−








+
+
++ ba
ba
ba
ba

.
d) Chứng minh bài toán phụ: với
zyx ,,
> 0 thì:
zyxzyx ++
≥++
9111
. Áp dụng bài toán trên
với:
222222444
; accbbazycbax ++==++=
.
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
2
222
cba
ac
a
cb
c
ba
b ++
≥
+
+
+
+
+
. b)

cba
cba
cba 111
333
888
++≥
++
.
Hướng dẫn: a) Chứng minh:
4
2
ba
b
ba
b +
−≥
+
.
b) Chứng minh bài toán phụ:
zxyzxyzyx ++≥++
222
.
Bài 4. Cho
cba ,,
đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
a)
2
)()()(
2
2

2
2
2
2
≥
−
+
−
+
− ba
c
ac
b
cb
a
. b)
2
3
)()()(
2
22
2
22
2
22
≥
−
+
+
−

+
+
−
+
ac
ac
cb
cb
ba
ba
.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh:
1
))(())(())((
−=
−−
+
−−
+
−− bacb
ca
baac
bc
accb
ab
. Mà:
0
2
≥







−
+
−
+
− ba
c
ac
b
cb
a
.
b) Sử dụng hằng đẳng thức:
2222
)()()(2 yxyxyx −++=+
.
Bài 5. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
222
)(
611
ba
ab

ba +
≥+
+
. b)
bababa 3
4
3
411
+
+
+
≥+
.
14