Thi HSG truong Toan 8 lan 4

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THCS

<b>NGUYỄN KHUYẾN</b>

<b>KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP</b>

<b>TRƯỜNG LẦN 4</b>

NĂM HỌC 2011-2012

Mơn: Tốn - Lớp 8

Thời gian làm bài: 120 phút

<i>(Không kể thời gian giao đề)</i>

ĐỀ CHÍNH THỨC

<i><b>Bài 1: ( 2,5 điểm)</b></i>

a. Cho:

2

2

1

2

2

4

2

7

10

5

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





















- Thực hiện rút gọn A.

- Tìm x nguyên để A nguyên.

b. Chứng minh: a + b = c thì a

4

_{+ b}

4

_{+ c}

4

_{= 2a}

2

_b

2

_{+ 2b}

2

_c

2

_{+ 2a}

2

_c

2

<i><b>Bài 2: ( 1,5 điểm)</b></i>

a

<i><b>. </b></i>

Chứng minh: a

2

_{+ b}

2

_{+ c}

2

_{ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.}

b. Chứng minh

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>ab</i>
<i>b</i>
<i>ac</i>
<i>a</i>
<i>bc</i>








với mọi số dương a, b, c.

<i><b>Bài 3: (1,5 điểm)</b></i>

Giải phương trình:

6
42
12
4

20
8
8

72
16
2

6

4 2 2 2

2




















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i><b>Bài 4: (3,0 điểm)</b></i>

Cho hình vng ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB

và MF vng góc với AD.

a. Chứng minh DE  CF; EF = CM

b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.

c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..

<i><b>Bài 5: (1,5 điểm)</b></i>

Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung

điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b>

B i 1: ( 2,5 i m)

à

đ ể

5
4
2
)
2
)(
5
(
2
2
1 2











<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i>

Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2

0,25
)
2
)(
5
(
15
8
)
2

)(
5
(
2
)(
4
2
(
2

5 2 2

















<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i> 0,25
2
3
2
)(
5
(
)
3
)(
5
(











<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i> _0,25

(

2) 1

1

1

2

2

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









 





0,25

A nguyên khi và chỉ khi

1

2

<i>x</i>



nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
 x=3, hoặc x=1.

0,25

Đặt P = a4_{+ b}4_{+ c}4_{- 2a}2_b2_{-2 b}2_c2_{- 2a}2_c2

= (a2_{+ b}2_{+ c}2₎2_{- 4a}2_b2_{- 4b}2_c2_{- 4a}2_c2 0,25

Thay c2_{= (a+b)}2_{vào ta được:}

= (2a2_{+ 2b}2_{+ 2ab )}2_{- 4(a}2_b2_{+ b}2_c2_{+ a}2_c2₎ 0,25

= 4[(a2_{+ b}2_{+ ab)}2_{- a}2_b2_{- c}2_(a2_+b2_)] _0,25

Thay c2_{= (a+b)}2_{vào ta được:}

= 4[ (a2_+b2₎2_+2(a2_+b2_{)ab + a}2_b2_{- a}2_b2_-(a+b)2_(a2_+b2_)]

= 4[ (a2_+b2₎2_+2(a2_+b2_{)ab -(a+b)}2_(a2_+b2_)]

0,25
= 4(a2_+b2_{)[ (a}2_+b2_{) +2ab -(a+b)}2_]

= 0  a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25

<i><b>Bài 2</b></i>

: ( 1,5 i m)

đ ể

 2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc) 0,25
 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc  0 0,25
 (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2__{0 …) nên có đpcm} 0,25

Câu b

 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>abc</i>
<i>ab</i>
<i>abc</i>
<i>ac</i>
<i>abc</i>
<i>bc</i>





2
2

2 ₍ ₎ ₍ ₎

)

( 0,25

Nhân hai vế với số dương abc được:

 ₍<i>bc</i>₎2 ₍<i>ac</i>₎2 ₍<i>ab</i>₎2 <i>a</i>2<i>bc</i> <i>b</i>2<i>ac</i> <i>c</i>2<i>ab</i>







0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (<i>bc</i>)2 (<i>ac</i>)2 (<i>ab</i>)2 <i>_a</i>2<i>_bc</i><i>_b</i>2<i>_ac</i><i>_c</i>2<i>_ab</i>

đpcm

0,25

<i><b>Bài 3: (1,5 điểm)</b></i>


6
6
)
6
(
4
4
)
4
(
8
8
)
8
(
2
2
)

2

( 2 2 2 2
















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
0,25

6

6
6
4
4
4
8
8
8
2
2
2















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 0,25

6
6
4
4
8
8
2
2







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  6

3
4
2
8
4
2

1







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

)
6
)(
4
(
24
5
)
8
)(
2
(
16
5








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 0,25

 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)

 (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24

= 5x3_{+ 50x}2 _{+ 80x + 24x}2_{+ 240x + 24.16}

 8x2 + 40x = 0

0,25
 8x(x + 5) = 0

x = 0; x = -5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm

<i><b>Bài 4: (3,0 điểm)</b></i>
<i><b>Câu a: 1,25 điểm</b></i>

DF = AE DFC = AED 0,25

 ADE = DCF

 EDC + DCF = EDC + ADE

0,25

EDC + ADE = 900_{nên DE}__CF 0,25

MC = MA (BD là trung trực của AC) _0,25
MA = FE nên EF = CM _0,25

<i><b>Câu b: 1,0 điểm</b></i>

MCF =FED  MCF = FED 0,25
Từ MCF = FED chứng minh được CM  EF 0,25

Tương tự a) được CE  BF 0,25

ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui. 0,25

<i><b>Câu c: 0,75 điểm</b></i>

ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,25
 ME.MF lớn nhất khi ME = MF 0,25
Lúc đó M là trung điểm của BD 0,25

<i><b>Bài 5: (1,5 điểm)</b></i>

Trong BMF có AD//MF nên:

<i>BD</i>
<i>BM</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>

 0,25

Trong CAD có AD//ME nên:

<i>CD</i>
<i>CM</i>
<i>CA</i>
<i>CE</i>

 0,25

Chia vế theo vế được:

<i>CM</i>
<i>CD</i>
<i>BD</i>
<i>BM</i>
<i>CE</i>

<i>CA</i>
<i>BA</i>

<i>BF</i>

.

.  0,25

<i>BD</i>
<i>CD</i>
<i>CE</i>
<i>CA</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>



 . (BM=CM) 0,25

AD là phân giác nên:

<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>BD</i>
<i>CD</i>

 0,25

Thay vào trên được:

<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>CE</i>
<i>CA</i>
<i>BA</i>
<i>BF</i>



.

<i>BF</i> <i>CE</i>
<i>CE</i>

<i>BF</i>





 1

0,25

A

B

C

D

M

E

F

A

B

D

M

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>

<!--links-->