Một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ VĂN ĐỒNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH
CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT
VƠ HẠN CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ VĂN ĐỒNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH
CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT
VƠ HẠN CHIỀU
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HDKH: PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội 2018

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được viết dựa trên những nghiên cứu của tác giả tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình, chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng cơng bố trong bất
kỳ cơng trình khoa học nào của ai khác.
Tác giả luận án

Vũ Văn Đồng

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2. Tác giả
xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người Thầy đã
dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học. Những lời chia sẻ, chỉ
dạy của Thầy trong khoa học cũng như trong cuộc sống sẽ là hành trang
quý báu để tôi tự tin hơn trên những chặng đường sắp tới.
Xin chân thành cám ơn PGS. TS. Khuất Văn Ninh, TS. Trần Văn
Bằng và các thành viên của Xêmina Giải tích - Phịng Sau đại học Trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội
2, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn và cán bộ cơng nhân viên của Trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời
gian học Cao học và làm nghiên cứu sinh.

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên,
Trung tâm GDTHPT PCI của trường CĐCN Phúc Yên đã luôn động
viên tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả.
Xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, các bạn nghiên cứu
sinh và bạn bè của tác giả đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trong
q trình học tập và nghiên cứu.

ii


MỤC LỤC

CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

BẢNG KÍ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG . . . . . . . . .

10

1.1. Dạng tồn phương trên khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1. Bài tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Chương 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.1. Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2. Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

TÀI LIỆU THAM KHẢO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

1


BẢNG KÍ HIỆU

Tập và khơng gian
∅

tập rỗng

x∈X

x là một phần tử của tập X

x∈
/X

x không thuộc X

{x ∈ X | P (x)}

Tập các phần tử x của X tuân theo tính chất P (x)

N

tập hợp các số tự nhiên

R

tập hợp các số thực

R+

tập hợp các số thực dương

Rn

không gian Euclid n chiều

H

khơng gian Hilbert

2

khơng gian các dãy số bình phương khả tổng

L2 [a, b]

khơng gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

H ⊕G

tổng trực tiếp của H và G

LH

khơng gian các tốn tử tuyến tính liên tục trên H

A\B

Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Hàm và toán tử
f :X→R

hàm giá trị thực

T :X→Y

toán tử từ X vào Y

T∗

toán tử liên hợp của toán tử T

A+

toán tử giả ngược của toán tử A

Giới hạn và khả vi
r(h) = o(h)

tức là

r(h)
h

→ 0 khi h → 0

2


f (x, d), Df (x)d

đạo hàm của hàm f tại x theo hướng d

f (x, d), D2 f (x)d

đạo hàm cấp hai của hàm f tại x theo hướng d

Chuẩn và hội tụ
x

chuẩn của x

xn → x

xn hội tụ (mạnh) tới x

xn

xn hội tụ yếu tới x

x

Các bài toán tối ưu
val(QP )

giá trị tối ưu của bài toán (QP)

F

tập chấp nhận được (tập ràng buộc) của bài toán
(QP)

Sol(QP )

tập nghiệm của bài toán (QP)

(QPω )

bài toán tối ưu theo tham số ω

F (ω)

tập chấp nhận được của bài toán tham số (QPω )

ϕ(ω)

hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (QPω )

Sol(ω)

tập nghiệm tối ưu của bài toán tham số (QPω )

v. đ. k.

với điều kiện

3


MỞ ĐẦU

Bài tốn quy hoạch tồn phương là bài tốn tìm nghiệm tối ưu (lớn
nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm toàn phương trên một tập hợp xác
định bởi một số hữu hạn các hàm toàn phương. Quy hoạch toàn phương
nghiên cứu những khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán và ứng
dụng khác nhau của các bài toán quy hoạch toàn phương. Quy hoạch
toàn phương là một bộ phận quan trọng của Quy hoạch toán học.
Nhiều bài toán ứng dụng trong thực tế, bao gồm những bài toán
trong việc lập kế hoạch và lịch trình, thiết kế kĩ thuật, và điều khiển
được phát biểu một cách tự nhiên dưới dạng bài tốn quy hoạch tồn

phương. Người ta cũng sử dụng các bài tốn quy hoạch tồn phương để
giải xấp xỉ những bài toán tối ưu phi tuyến phức tạp. Về tầm quan trọng
của quy hoạch toàn phương đã được Floudas và Visweswaran trình bày
khá đầy đủ trong tài liệu tham khảo [28].
Bài tốn quy hoạch tồn phương đã và đang thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Năm 1956, Frank và Wolfe đã mở rộng
định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch toàn phương
hữu hạn chiều và chứng minh được định lý tồn tại nghiệm (gọi là định lý
Frank-Wolfe) cho các bài tốn tối ưu tồn phương với ràng buộc tuyến
tính. Định lý đó nói rằng “Nếu bài tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn
chiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn dưới trên miền
ràng buộc khác rỗng, thì nó có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)”. Từ đó đến
nay đã có thêm một số chứng minh mới cho định lý này và nhiều phiên
bản mở rộng của nó. Chẳng hạn, Eaves, B.C. [27], Blum, E. và Oettli,
W. [12], Belousov, E.G. [10], Luo, Z.Q. và Zhang, S. [42], Belousov, E.G.
và Klatte, D. [8]. Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J. F. và Shapiro, A. [13]
4


đã mở rộng định lý Frank-Wolfe cho bài toán quy hoạch tồn phương vơ
hạn chiều với ràng buộc tuyến tính.
Các bài tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều với ràng buộc
tuyến tính đã được khảo sát khá đầy đủ. Nhiều kết quả nghiên cứu quan
trọng trong quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính có thể tìm
thấy trong cuốn sách chuyên khảo [39] và các tài liệu trích dẫn trong
đó. Đối với những bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc toàn
phương đã được Kuhn, H.W. và Tucker, A.W. nghiên cứu từ những năm
đầu của thập niên 50 của thế kỷ 20 trong [38]. Trong những năm gần
đây nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu các bài tốn quy hoạch tồn
phương với ràng buộc tồn phương cả về định tính cũng như định lượng,

cùng các ứng dụng của chúng. Ở Việt Nam, đã và đang có nhiều nhà
khoa học tiến hành nghiên cứu về quy hoạch tồn phương, chẳng hạn
như Hồng Tụy, Nguyễn Đơng n, Hồng Xuân Phú, Lê Dũng Mưu,
Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng Ngọc
Tuấn. Sự quan tâm nghiên cứu các bài tốn quy hoạch tồn phương với
ràng buộc tồn phương ở trong và ngoài nước được phản ánh qua số
lượng và chất lượng của những cơng trình đã cơng bố. Điển hình như:
Tuy, H. [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D. [37], Lee, G.M., Tam,
N.N., Yen, N.D. [39, 40], Tam, N. N. [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D.,
Xu, Y.F. [58], Burer,S., Dong, H. [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y.
[33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y. [34], Jeyakumar, V., Rubinov,
A.M, Wu, Z.Y. [35, 36], Pasquale L. De Angelis, Gerardo Toraldo [45],
Beck, A., Eldar, Y.C. [9], Nghị, T. V. [44]. Trong những cơng trình đó,
có thể tìm thấy nhiều kết quả thú vị và những vấn đề mở về những bài
toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương trong khơng
gian hữu hạn chiều.
Trong khi các bài tốn quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều nhận
5


được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các tác giả, thì những cơng
trình nghiên cứu về lớp bài tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều
được cơng bố cịn rất hạn chế. Theo chúng tơi được biết, ngồi những
kết quả nghiên cứu về những bài toán tối ưu phi tuyến tổng quát có thể
áp dụng cho quy hoạch toàn phương, những kết quả nghiên cứu quan
trọng cho quy hoạch tồn phương trong khơng gian vơ hạn chiều, cho
đến nay, vẫn chỉ xuất hiện lẻ tẻ, chưa nhiều và chưa trọn vẹn. Trong
những kết quả đã có, đáng lưu ý nhất là kết quả về sự tồn tại nghiệm
của bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính trong
khơng gian Hilbert đã được Bonnans và Shapiro chứng minh vào năm

2000 trong [13]. Ngồi ra, có thể kể đến một vài kết quả về sự tồn tại
nghiệm và điều kiện cực trị đối với một bài toán quy hoạch toàn phương
đặc biệt của các tác giả Schochetman, I. E., Smith, R. L., Tsui, S. K.
[49], Semple, J. [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J. M. [53] và Borwein,
J.M. [17].
Theo chúng tơi được biết, nhiều vấn đề về bài tốn quy hoạch tồn
phương với ràng buộc tồn phương trong khơng gian vơ hạn chiều vẫn
chưa được nghiên cứu. Vì những lý do trên chúng tơi đặt vấn đề nghiên
cứu định tính các bài tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều.
Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu một số vấn đề định tính trong
quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều. Cụ thể là nghiên cứu về sự tồn tại
nghiệm và tính ổn định cho một lớp các bài tốn quy hoạch tồn phương
trong đó hàm mục tiêu là hàm tồn phương (có thể khơng lồi) và các
hàm ràng buộc là các hàm tồn phương lồi trong khơng gian Hilbert có
số chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vơ hạn chiều). Trong khơng gian hữu hạn
chiều những tính chất ấy đã được nghiên cứu khá đầy đủ trong [39, 42]
và những tài liệu trích dẫn trong đó. Trong khơng gian vơ hạn chiều sự
tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài tốn quy hoạch tồn phương đã
6


được nghiên cứu trong [13, 17] chủ yếu với ràng buộc tuyến tính. Luận
án này nghiên cứu mở rộng những kết quả ấy cho trường hợp tổng quát
hơn.
Một trong những kỹ thuật thường dùng trong nghiên cứu định tính
của các bài tốn quy hoạch tồn phương trong khơng gian Hilbert hữu
hạn chiều là sử dụng tính compact, tính lồi, tính chính quy của tập ràng
buộc và định lý Weiertrass. Để thu được những kết quả định tính của
những bài tốn quy hoạch tồn phương trong khơng gian Hilbert có số
chiều tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn chiều) chúng ta vẫn có thể sử dụng kỹ

thuật đó với một sự hiệu chỉnh phù hợp. Tuy vậy, sự hiệu chỉnh đó nói
chung khơng dễ dàng. Trong luận án này chúng tơi hiệu chỉnh kỹ thuật
đó bằng cách sử dụng tính chất Legendre của dạng tồn phương. Tính
chất đó dùng để chứng minh rằng, một dãy (hoặc dãy con) mà hội tụ
yếu thì nó hội tụ mạnh đến cùng giới hạn. Mặt khác, vì nhiều bài tốn
quy hoạch tồn phương trong khơng gian Hilbert vơ hạn chiều, dạng
tồn phương khơng có tính chất Legendre, ví dụ như bài tốn quy hoạch
tuyến tính, nên khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng, luận án cịn
sử dụng giả thiết về tính compact với ảnh đóng của các tốn tử trong
bài tốn đó. Mặc dù giả thiết này khá mạnh, nhưng bằng cách sử dụng
giả thiết này chúng ta có thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớp
bài tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều mà khơng sử dụng đến
tính chất của dạng Legendre. Vì mọi dạng tồn phương trong khơng gian
Hilbert hữu hạn chiều đều là dạng Legendre và toán tử biểu diễn dạng
tồn phương đó là compact với ảnh đóng nên những kết quả mà chúng
tơi thu được trong luận án này thực sự là những mở rộng của những kết
quả đã có. Ngồi việc hiệu chỉnh một cách phù hợp những kỹ thuật đã
sử dụng trong nghiên cứu bài tốn hữu hạn chiều chúng tơi đưa ra một
điều kiện, có tên là điều kiện A, để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của
7


bài tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi.
Các bài tốn quy hoạch toàn phương mà chúng ta xét trong luận án
này có tập ràng buộc là tập lồi đóng trong khơng gian Hilbert. Vì thế
tính bị chặn của nó tương đương với tính compact yếu. Tuy nhiên, tập
ràng buộc có thể khơng bị chặn, đó là lý do tại sao khái niệm nón lùi xa
của tập ràng buộc được sử dụng trong suốt luận án này.
Luận án này, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham
khảo, gồm ba chương.

Chương 1 giới thiệu về Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc
toàn phương cùng một số khái niệm và kết quả liên quan trong không
gian Hilbert. Các khái niệm và kết quả được trình bày trong chương này
là cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được đề xuất trong các chương
sau của luận án.
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn
quy hoạch tồn phương với hàm mục tiêu tồn phương và ràng buộc
xác định bởi hữu hạn bất đẳng thức tồn phương lồi trong khơng gian
Hilbert. Trong mục 2.1 đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tại
nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi. Trong mục 2.2
đề xuất và chứng minh một số kết quả tồn tại nghiệm của bài tốn quy
hoạch tồn phương lồi.
Chương 3 nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm và tính
liên tục của hàm giá trị tối ưu của bài tốn quy hoạch tồn phương có
tham số trong không gian Hilbert. Trong mục 3.1 đề xuất và chứng minh
tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm tồn cục. Trong mục 3.2 đề xuất và
chứng minh tính liên tục của hàm giá trị tối ưu.
Luận án này được viết dựa trên bài báo [24] đã được đăng trong tạp
chí “Taiwanese Journal of Mathematics” và hai bài báo [25, 26] đã được
đăng trong tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica”.
8


Các kết quả của luận án đã được trình bày tại International Workshop on Some Selected Problems in Optimization and Control Theory
(February 4-7, 2015, VIASM, Hanoi), The 14th Workshop on Optimization and Scientific Computing (April 24-27, 2016, Ba Vi, Hanoi), The
15th Workshop on Optimization and Scientific Computing (April 20-22,
2017, Ba Vi, Hanoi), Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà
Nội 2), Xêmina của Phịng Giải tích số và Tính tốn khoa học (Viện
Tốn học) và Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện
nghiên cứu cao cấp về toán).

9


Chương 1
BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG

Chương này trình bày một số khái niệm và một số kết quả cốt yếu
cho việc nghiên cứu trong các chương sau. Mục 1.1 trình bày một số
khái niệm cơ bản trong khơng gian Hilbert, dạng tồn phương và dạng
Legendre. Mục 1.2 trình bày khái niệm bài tốn quy hoạch tồn phương
trên khơng gian Hilbert và một số kết quả đơn giản về tập ràng buộc
của bài tốn đó.
Nhiều kết quả trong chương này được trình bày ngắn gọn, khơng kèm
theo chứng minh. Các kết quả đó được tham khảo trong các tài liệu
[7, 13, 21, 30, 32, 52].

1.1. Dạng tồn phương trên khơng gian Hilbert
1.1.1. Một số tính chất cơ bản trong khơng gian Hilbert
Trong luận án này, H kí hiệu là khơng gian Hilbert thực với tích vơ
hướng · , · . Một tích vơ hướng · , · : H × H → R là một dạng song
tuyến tính xác định dương. Tức là,
(i) x → x, y là tuyến tính với mọi y ∈ H;
(ii) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
(iii) x, x

0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.

Nếu · , · là một tích vơ hướng, thì x =

x, x xác định một chuẩn

trên không gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.1.1. ([21, Definition 3.3.10]) Dãy {xn } trong không gian
10


H hội tụ yếu đến x ∈ H, kí hiệu xn

x nếu

lim xn , y = x, y , ∀y ∈ H.

n→∞

Định lý 1.1.2. ([52, Theorem 4.4.1]) Giới hạn của một dãy hội tụ yếu
là duy nhất.
Bổ đề 1.1.3. ([7, Lemma 2.37]) Cho {xn } là một dãy bị chặn trong
khơng gian H. Khi đó, {xn } chứa một dãy con hội tụ yếu.
Định lý 1.1.4. ([31, Theorem 8.40]) Giả sử rằng {xn } là một dãy trong
không gian Hilbert H và D là một tập con trù mật của H. Khi đó {xn }
hội tụ yếu tới x nếu và chỉ nếu
(a) xn

M với M là hằng số;

(b) xn , y → x, y khi n → ∞ với mọi y ∈ D.
2

Ví dụ 1.1.5. Cho H =

là khơng gian tất cả các dãy số thực bình

phương khả tổng,
∞
2

x2n < ∞, xn ∈ R, n = 1, 2, . . .}.

= {x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) |
n=1

Tích vơ hướng và chuẩn trong

2

được xác định lần lượt bởi
∞

∞

xn yn ,

x, y =

1

x2n ) 2 .

x =(

n=1

n=1

Đặt
en = (0, 0, ...., 0, 1, 0, ....)
là vector cơ sở số hạng thứ n là 1 và các số hạng khác bằng 0. Nếu
y = (y1 , y2 , ...) ∈

2

, khi đó
en , y = yn → 0, khi n → ∞

∞

(vì

|yn |2 hội tụ). Do vậy en

0 khi n → ∞. Mặt khác, en −em =

n=1

với mọi n = m, do đó dãy {en } khơng hội tụ mạnh.
11

√

2


Ví dụ 1.1.6. Cho L2 [0, 1] là khơng gian tất cả các hàm bình phương
1

x2 (t)dt < ∞}. Tích vơ hướng và

khả tích trên [0, 1], L2 [0, 1] = {x |
0

chuẩn trong L2 [0, 1] được xác định lượt bởi:
1

1

x, y =

x(t)y(t)dt,

2

x =

x (t)dt

0

1
2

.

0

Dãy {xk } ⊂ L2 [0, 1] xác định bởi


k
xk (t) =

0

nếu 0
1
k2

nếu

1
k2

t
t

1

hội tụ yếu, nhưng không hội tụ mạnh tới 0 trong L2 [0, 1]. Thật vậy, với
bất kỳ đa thức p ta có
1

k2

1

1
k2

p(t)xk (t)dt = k
0

[p(t) + p(0) − p(0)]dt

p(t)dt = k
0

0

1
k2

1
k2

[p(t) − p(0)]dt + k

k
0

p(0)dt
0

1
k2

[p(t) − p(0)]dt +

=k

1
p(0) → 0 khi k → ∞
k

0
1
k2

[p(t) − p(0)]dt → 0 khi k → ∞.

vì, bởi tính liên tục của p, k
0

Do vậy, p, xk → 0 khi k → ∞ với mỗi đa thức p. Ta có thể kiểm tra
được rằng xk = 1, do đó dãy { xk } bị chặn và tập tất cả các đa thức
là trù mật trong L2 [0, 1] (xem [20, Corollary 4.34]), theo Định lý 1.1.4,
xk hội tụ yếu tới khơng. Vì xk = 1 với mọi k nên xk không thể hội tụ
mạnh tới 0.
12


Định nghĩa 1.1.7. (xem [7, Definition 3.1]) Một tập con C của H

được gọi là tập lồi nếu với mọi α ∈ [0, 1] và với mọi x, y ∈ C ta có
αx + (1 − α)y ∈ C.
Đặc biệt, H và ∅ là các tập lồi.
Định lý 1.1.8. ([7, Theorem 3.32]) Cho C là một tập con lồi của H.
Khi đó, C đóng nếu và chỉ nếu C đóng yếu.
Định lý 1.1.9. ([7, Theorem 3.33]) Cho C là một tập con lồi đóng bị
chặn của H. Khi đó C là compact yếu.
Định nghĩa 1.1.10. ([52, Definition 2.7.6]) Cho C là một tập con lồi
của H. Khi đó, một hàm f xác định trên C được gọi là hàm lồi nếu
f [αx + (1 − α)y]

αf (x) + (1 − α)f (y), ∀α ∈ [0, 1] và ∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.1.11. ([52, Definition 2.4.1]) Cho H là một khơng gian
Hilbert thực, khi đó
(1) Một ánh xạ T từ H vào H được gọi là một toán tử. Giá trị của T
tại x ∈ H được kí hiệu bởi T x hoặc T (x).
(2) T được gọi là toán tử tuyến tính nếu các điều kiện sau thỏa mãn
(a) T (x + y) = T x + T y với mọi x, y ∈ H,
(b) T (αx) = αT x với mọi x ∈ H và số thực α.
(3) Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số thực k > 0 sao
cho T x

k x với mọi x ∈ H.

(4) T được gọi là toán tử liên tục tại một điểm x0 nếu, với ε > 0
cho trước, tồn tại một số δ > 0 phụ thuộc vào ε và x0 sao cho
T x − T x0 < ε khi mà x − x0 < δ. T được gọi là liên tục trên
H nếu nó liên tục tại mọi điểm của H.
Định lý 1.1.12. ([52, Theorem 2.4.1]) Tốn tử tuyến tính T từ H vào

H liên tục nếu và chỉ nếu T bị chặn.
13


Định nghĩa 1.1.13. ([52, Definition 3.8.1]) Giả sử rằng T : H → H là
tốn tử tuyến tính liên tục. Khi đó, tốn tử liên hợp T ∗ : H → H được
xác định bởi
T x, y = x, T ∗ y ∀x, y ∈ H.
Nhận xét 1.1.14. ([52, Remark 3.8.1]) Tốn tử T ∗ ln tồn tại, tuyến
tính bị chặn và duy nhất.
Định nghĩa 1.1.15. ([52, Definition 3.8.2]) Giả sử rằng T là tốn tử
tuyến tính trên H vào chính nó. Khi đó T được gọi là tốn tử tự liên
hợp nếu T = T ∗ .
Ví dụ 1.1.16.
1. Mỗi ma trận đối xứng trong Rn là toán tử tự liên hợp.
2. Toán tử đồng nhất I là toán tử tự liên hợp.
3. Tốn tử khơng là tốn tử tự liên hợp.
Ví dụ 1.1.17. [52, Example 3.8.5] Tốn tử T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] được
xác định bởi: T x(t) = tx(t) là toán tử tự liên hợp, tuyến tính, bị chặn.
Định nghĩa 1.1.18. ([21, Definition 4.8.1]) Toán tử T : H → H được
gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn {xn } trong H, {T xn }
chứa dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.1.19. (Xem, [21, p.182]) Một toán tử T : H → H được
gọi là hữu hạn chiều (hay toán tử hạng hữu hạn) nếu ảnh của nó là hữu
hạn chiều.
Lưu ý rằng nếu toán tử liên tục T trên H có hạng hữu hạn thì theo
[41, Theorem 2, p. 38] và [48, Theorem 4.18] có thể suy ra nó là tốn tử
compact với ảnh đóng, và bất kỳ tốn tử compact với ảnh đóng là tốn
tử hạng hữu hạn( xem [4, p. 215]). Nếu H là không gian hữu hạn chiều
thì bất kỳ tốn tử tuyến tính liên tục T trên H là toán tử hạng hữu hạn.

14


Định nghĩa 1.1.20. ([31, p. 198]) Tốn tử tuyến tính T : H → H được
gọi là không âm (hay cịn được gọi là nửa xác định dương) nếu nó tự liên
hợp và x, T x

0 với mọi x ∈ H.

1.1.2. Dạng tồn phương
Hàm B : H × H → R được gọi là dạng song tuyến tính nếu với bất
kỳ x ∈ H hàm B(·, x) và B(x, ·) là tuyến tính trên H. Một dạng song
tuyến tính B được gọi là đối xứng nếu B(x1 , x2 ) = B(x2 , x1 ) với bất kỳ
x1 , x2 ∈ H.
Định nghĩa 1.1.21.
1) Hàm Q : H → R được gọi là một dạng toàn phương nếu tồn tại một
dạng song tuyến tính đối xứng B(x, y) sao cho
Q(x) = B(x, x) ∀x ∈ H.

(1.1)

2) Một dạng toàn phương Q được gọi là xác định dương (không âm)
nếu Q(x) > 0 với mọi x ∈ H\{0} (tương ứng, Q(x)

0 với mọi

x ∈ H).
3) Một dạng toàn phương Q được gọi là xác định âm (không dương)
nếu Q(x) < 0 với x ∈ H\{0} (tương ứng, Q(x)

0 với mọi x ∈ H).

4) Một dạng toàn phương Q(x) được gọi là liên tục yếu nếu với mọi
dãy xn

x0 ta có Q(xn ) → Q(x0 ).

5) Một dạng toàn phương Q(x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu nếu
xn

x, lim inf Q(xn )
n→∞

Q(x).

Theo Định lý Riesz (xem [31, Theorem 8.12 ]) hàm Q : H → R là
một dạng toàn phương liên tục khi và chỉ khi tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục tự liên hợp T : H → H sao cho
Q(x) = T x, x .
15


Vì lý do trên, trong luận án này chỉ xét dạng tồn phương liên tục có
dạng:
Q(x) = T x, x ,
trong đó T là tốn tử tuyến tính liên tục, tự liên hợp.
Sau đây chúng ta trình bày một số tính chất của dạng tồn phương.
Mệnh đề 1.1.22. ([13, Proposition 3.71]) Một dạng toàn phương Q( · )
là lồi trên H nếu và chỉ nếu nó khơng âm.
Mệnh đề 1.1.23. ([32, p. 269]) Một dạng tồn phương liên tục, khơng

âm trong không gian Hilbert là nửa liên tục dưới yếu.
1.1.3. Dạng Legendre
Định nghĩa 1.1.24. ([30, p. 551]) Dạng toàn phương Q : H → R là
một dạng Legendre nếu nó nửa liên tục dưới yếu, và nếu xk

x và

Q(xk ) → Q(x), thì xk → x.
Ví dụ 1.1.25. Cho H là một khơng gian Hilbert vơ hạn chiều. Khi đó
a) Dạng toàn phương Q : H → R xác định bởi Q(x) = x

2

(bình

phương của chuẩn) là một dạng Legendre.
b) Dạng toàn phương J : H → R xác định bởi J(x) = − x

2

khơng là

dạng Legendre.
c) Dạng tồn phương Q : H → R xác định bởi Q(x) = x, 0x khơng
là dạng Legendre.
Thật vậy,
a) Vì Q(x) là dạng tồn phương liên tục khơng âm nên theo Mệnh
đề 1.1.23, Q(x) nửa liên tục dưới yếu. Giả sử xk
xk − x¯

2

x¯ khi k → ∞, khi đó

= Q(xk ) − Q(¯
x) + 2 x¯ − xk , x¯ . Vì x¯ − xk , x¯ → 0 khi k → ∞

nên nếu Q(xk ) → Q(¯
x) khi k → ∞ thì xk − x¯ → 0. Vậy Q(x) là dạng
Legendre.
16


b) Trong không gian H với dimH = ∞ bao giờ cũng tồn tại dãy {xn }
sao cho {xn } hội tụ yếu tới x0 , nhưng {xn } không hội tụ (mạnh) tới x0
khi n → ∞. Giả sử rằng J(x) = − x
lim inf (− xn 2 )

− x0

n→∞

2

2

là dạng Legendre, khi đó ta có

hay lim sup xn

2

x0 2 .

n→∞

Kết hợp bất đẳng thức trên với tính nửa liên tục dưới yếu của x 2 , ta
có
x0

2

lim inf ( xn 2 )

lim sup xn

n→∞

2

x0 2 .

n→∞
2

Từ bất đẳng thức trên suy ra xn

→ x0 2 . Điều này mâu thuẫn với

{xn } không hội tụ tới x0 . Vậy J(x) không là dạng Legendre.

c) Chứng minh tương tự như phần b).
Chúng ta nói rằng một dạng tồn phương Q là elliptic nếu Q là liên
tục và tồn tại α > 0 sao cho
Q(x)

α x 2 , ∀x ∈ H.

Rõ ràng, một dạng toàn phương elliptic là dương, do đó nó là hàm lồi,
và suy ra nó nửa liên tục dưới yếu.
Mệnh đề 1.1.26. ([13, Proposition 3.76])
(i) Bất kỳ dạng toàn phương elliptic là một dạng Legendre.
(ii) Cho Q1 là một dạng Legendre và Q2 là liên tục yếu. Khi đó Q =
Q1 + Q2 là một dạng Legendre.
Chúng ta nói rằng dạng tồn phương Q : H → R là hạng hữu hạn n
(finite rank n) nếu tồn tại một dạng toàn phương Q1 : Rn → R và một
tốn tử tuyến tính liên tục A : H → Rn sao cho Q(x) = Q1 (Ax) với mọi
x ∈ H.
Mệnh đề 1.1.27. ([13, Proposition 3.79]) Cho H là một không gian
Hilbert và Q : H → R là một dạng tồn phương. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
17


(i) dạng toàn phương Q là dạng Legendre,
(ii) hạn chế của Q lên khơng gian con đóng bất kỳ của H là dạng Legendre,
(iii) hạn chế của Q lên một không gian con của H đối chiều hữu hạn là
một dạng toàn phương elliptic,
(iv) dạng toàn phương Q là tổng của một dạng toàn phương elliptic và
một dạng toàn phương hạng hữu hạn.
Định lý 1.1.28. ([30, Theorem 11.1]) Dạng toàn phương Legendre xác

định dương là một dạng elliptic.
Nhận xét 1.1.29. Trong khơng gian hữu hạn chiều, mọi dạng tồn
phương đều là dạng Legendre và do đó một dạng tồn phương là elliptic
khi và chỉ khi nó xác định dương. Trong khơng gian vơ hạn chiều tồn
tại những dạng tồn phương xác định dương mà khơng là dạng elliptic.
Chúng ta có thể thấy điều này trong Ví dụ 1.1.31 b).
Mệnh đề 1.1.30. ([30, Corollary 2]) Nếu Q(x) là dạng Legendre trên H
và Q∗ (x) là dạng toàn phương sao cho Q∗ (x)

Q(x) trong H, thì Q∗ (x)

là dạng Legendre trên H.
Ví dụ 1.1.31.
a) Cho T :

2

→

2

là tốn tử tuyến tính liên tục được xác định bởi

T x = (0, x2 , . . . , xn , . . .), trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈

2

. Khi

đó, dạng tồn phương x, T x là một dạng Legendre.

b) Cho toán tử T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] được xác định bởi T x(t) = tx(t)
với mọi t ∈ [0, 1]. Khi đó, dạng tồn phương x, T x khơng là dạng
Legendre.
Thật vậy, a) Vì
x, T x = (x21 + x22 + · · · ) − x21 = x
18

2

− x21 ∀x = (x1 , x2 , . . .) ∈

2


nên x, T x là tổng của một dạng elliptic và một dạng tồn phương
có hạng hữu hạn. Do đó, theo Mệnh đề 1.1.27, x, T x là một dạng
Legendre.
b) Vì tx(t)2

0 với mọi t ∈ [0, 1], nên theo [2, Hệ quả 2, tr. 140] ta
1

tx(t)2 dt > 0 với mọi x = 0.

có thể suy ra rằng x, T x =
0

Lấy dãy {xn } được xác định như trong Ví dụ 1.1.6. Ta có
1
k2

1
k2

txk (t)2 dt = k 2

xk , T xk =
0

tdt =

1
→ 0 = 0, T 0 ( khi k → ∞).
2k 2

0

Theo Ví dụ 1.1.6 xk hội tụ yếu tới 0 nhưng xk không hội tụ tới 0.
Như vậy ta đã chỉ ra xk hội tụ yếu tới 0, xk , T xk → 0, T 0 nhưng
xk không hội tụ tới 0. Vậy x, T x khơng là dạng Legendre.

1.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương
Định nghĩa 1.2.1. Chúng ta nói rằng f : H → R là một hàm toàn
phương nếu tồn tại tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp T : H → H,
một véc tơ c ∈ H và một số thực α sao cho
f (x) :=

1
x, T x + c, x + α ∀x ∈ H.
2

Vì x → x, T x , x → c, x + α là các hàm liên tục và tổng hai hàm
liên tục là một hàm liên tục nên f là một hàm liên tục
Giả sử rằng T là toán tử liên tục tự liên hợp khơng âm. Khi đó, theo
Mệnh đề 1.1.22 ta có Q(x) = x, T x là hàm lồi. Vì x → c, x + α là
hàm lồi và tổng hai hàm lồi là một hàm lồi nên trong trường hợp này f
là một hàm lồi.
Bởi vì
f (x + h) = f (x) + T x + c, h +

1
h, T h = f (x) + T x + c, h + o( h ),
2
19


nên hàm f khả vi Frechet và
Df (¯
x)h = f (x, h) = T x + c, h , D2 f (¯
x)h = f (x, h) = h, T h .
Định nghĩa 1.2.2. Bài tốn quy hoạch tồn phương trên khơng gian
Hilbert là bài tốn dạng



min f (x) := 12 x, T x + c, x

v. đ. k x ∈ H, gi (x) := 1 x, Ti x + ci , x + αi
2

(QP)
0, ∀i ∈ I

trong đó H là khơng gian Hilbert, T : H → H là tốn tử tuyến tính liên
tục tự liên hợp, Ti là các tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp nửa xác
định dương trên H, c, ci ∈ H và α, αi là các số thực, I = {1, 2, . . . , m}.
Nếu Ti là các tốn tử khơng i = 1, . . . , m, thì chúng ta nói rằng (QP)
là bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính và được kí
hiệu bởi (QPL). Nếu T là tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp khơng
âm, thì chúng ta nói rằng (QP) là bài tốn quy hoạch tồn phương lồi và
kí hiệu bởi (CQP). Lưu ý rằng nếu T và Ti là các tốn tử khơng với mọi
i = 1, . . . , m, thì (QP) trở thành bài tốn quy hoạch tuyến tính và được
kí hiệu bởi (LP).
Nếu dimH < ∞ thì bài tốn (QP) được gọi là bài tốn quy hoạch
toàn phương hữu hạn chiều.
Hàm f được gọi là hàm mục tiêu và
F = {x ∈ H | gi (x)

0, ∀i ∈ I}.

được gọi là tập ràng buộc của bài toán (QP). Các phần tử của F được
gọi là các véc tơ chấp nhận được của bài toán (QP). Nếu F = H thì ta
nói rằng (QP) là một bài tốn khơng có ràng buộc. Nếu F = H thì (QP)
được gọi là bài tốn có ràng buộc.
Định nghĩa 1.2.3. Một véc tơ chấp nhận được x∗ ∈ F được gọi là
nghiệm (tồn cục) của bài tốn (QP) nếu f (x∗ )
20

f (x) với mọi x ∈ F .

Chúng ta nói rằng x∗ ∈ F là một nghiệm địa phương của bài toán (QP)
nếu tồn tại một lân cận U của x∗ trong H sao cho
f (x∗ )

f (x) với mọi x ∈ F ∩ U.

Tập tất cả các nghiệm, nghiệm địa phương của bài toán (QP) được kí
hiệu lần lượt bởi Sol(QP), loc(QP).
Định nghĩa 1.2.4. Giá trị tối ưu ϕ(QP) của bài toán (QP) được xác
định bởi
ϕ(QP) = inf{f (x) | x ∈ F }.
Nếu F = ∅ thì ta quy ước ϕ(QP) = +∞.
Nhận xét 1.2.5. Rõ ràng rằng Sol(QP) ⊂ loc(QP). Hiển nhiên là:
Sol(QP) = {x ∈ F | f (x) = ϕ(QP)}.
Đối với bài tốn (QP), trong suốt luận án này chúng ta kí hiệu:
I0 = {i ∈ I | Ti = 0},

I1 = {i ∈ I | Ti = 0} = I \ I0 .

Phần còn lại của chương này dành cho việc khảo sát một số tính chất
của tập ràng buộc F trong bài toán (QP).
Bổ đề 1.2.6. Tập ràng buộc F của bài tốn (QP) là tập lồi và đóng yếu.
Chứng minh. Vì gi , i = 1, ..., m, là các hàm lồi, liên tục nên F là tập
lồi, đóng. Vì vậy, theo Định lý 1.1.8, F là tập đóng yếu. Bổ đề đã được
chứng minh.
Định nghĩa 1.2.7. Nón lùi xa của tập lồi đóng C trong H được xác
định bởi (xem [13, p. 33])
0+ C = {v ∈ H | ∃x ∈ C

với x + tv ∈ C ∀t

0}.

Mỗi phần tử v ∈ 0+ C sẽ được gọi là một hướng lùi xa của C.
21