Áp dụng phương pháp hàm sinh giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THANH THẢO

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THANH THẢO

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trịnh Đào Chiến

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trịnh Đào Chiến, luận văn
“Áp dụng phương pháp hàm sinh giải tốn trung học phổ thơng” được hồn
thành, khơng trùng với bất kì luận văn nào khác.
Trong q trình làm luận văn, tơi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Đà Nẵng, tháng 9 năm 2015
Tác giả luận văn

Lê Thanh Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................ 5
1.1. HÀM SINH ................................................................................................................ 5
1.1.1. Khái niệm ......................................................................................... 5
1.1.2. Tính chất ........................................................................................... 6
1.1.3. Một số kết quả liên quan .................................................................. 7
1.2. PHÂN HOẠCH....................................................................................................... 11
1.2.1. Phân hoạch của số tự nhiên ............................................................ 11
1.2.2. Phân hoạch của tập hợp .................................................................. 11
CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN
VỀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP .................................................................... 16
2.1. DẠNG TỐN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUN.......................................................................................................................... 16
2.1.1. Bài tốn áp dụng............................................................................. 16

2.1.2. Các bài toán tương tự ..................................................................... 20
2.2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP TỔNG HỢP .......... 22
2.2.1. Bài toán áp dụng............................................................................. 22
2.2.2. Các bài toán tương tự ..................................................................... 37
CHƯƠNG 3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN TỔNG HỢP............................................................................... 38
3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ DÃY SỐ..................................................................................................................... 38
3.1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số .................................................. 38
3.1.2. Dãy số Catalan ............................................................................... 43
3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TÍNH TỔNG TỔ HỢP .......... 54
3.2.1. Phương pháp................................................................................... 54
3.2.2. Bài toán áp dụng............................................................................. 54
3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ
HỢP .................................................................................................................................... 59
3.3.1. Phương pháp................................................................................... 59
3.3.2. Bài toán áp dụng............................................................................. 59


3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN TỔNG HỢP
............................................................................................................................................. 67

3.4.1. Bài toán áp dụng............................................................................. 67
3.4.2. Các bài toán tương tự ..................................................................... 71
KẾT LUẬN .................................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 73
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Số hiệu hình vẽ

Tên hình vẽ

Trang

3.1.

Minh họa Bài toán 3.1.5

46

3.2.

Minh họa Bài toán 3.1.5

47

3.3.

Minh họa Bài toán 3.1.6

49

3.4.

Minh họa Bài toán 3.1.7

50

3.5.

Minh họa Bài toán 3.1.8

50

3.6.

Minh họa Bài toán 3.1.10

51

3.7.

Minh họa Bài toán 3.1.12

53


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến
thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor) để giải khá nhiều lớp
các bài toán sơ cấp, chẳng hạn: giải bài toán phân hoạch tập số nguyên để tìm
số nghiệm của phương trình nghiệm ngun, giải bài tốn về phân hoạch tập
hợp, tìm số hạng tổng quát của dãy số, các bài tốn nổi tiếng về dãy Catalan,
tính tổng tổ hợp, giải bài toán đếm tổ hợp và một số dạng toán tổng hợp khác.
Cho dãy số an  . Chuỗi hình thức

A x   a 0  a1x  a2x 2  ...  an x n  ...

được gọi là hàm sinh của dãy an  .
Ý tưởng của phương pháp hàm sinh như sau:
Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng qt của một dãy số an  nào đó. Từ
cơng thức truy hồi hoặc những lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm được hàm sinh
A x   a 0  a1x  a2x 2  ...  an x n  ...

Trong trường hợp thuận lợi, từ biểu diễn trên, có thể tìm được một cơng
thức giải tích cho hàm A x  . Khai triển A x  thành chuỗi và tìm hệ số của x n
trong khai triển đó ta tìm được an .
Cho đến nay, trong nước đã có một số luận văn thạc sĩ tốn học liên quan
đến hàm sinh và phương pháp hàm sinh bảo vệ thành công.
Luận văn này tiếp nối hướng nghiên cứu nêu trên, nhưng để tránh trùng
lặp nội dung nghiên cứu, sẽ không quá đi sâu vào lý thuyết hiện đại của hàm
sinh, mà chỉ tập trung áp dụng phương pháp hàm sinh giải một số dạng toán về


2

phân hoạch tập số nguyên để tìm số nghiệm của phương trình nghiệm ngun,
giải một số dạng tốn phân hoạch tập hợp và một số dạng toán tổng hợp. Trong
các bài tốn trên có các bài tốn là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
các nước, khu vực và quốc tế. Đây là những nội dung mà các luận văn trước đó
chưa hoặc ít đề cập.
Đồng thời, luận văn cũng sẽ áp dụng phương pháp trên đề xuất các bài
toán tương tự, phù hợp với toán phổ thơng, đặc biệt đối với hệ Chun Tốn.
Do đó, việc nghiên cứu của luận văn là cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang
tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp.
2. Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn sẽ đề cập đến hàm sinh và áp dụng phương pháp hàm sinh để
giải một số dạng toán về phân hoạch tập số nguyên để tìm số nghiệm của
phương trình nghiệm ngun, một số dạng tốn phân hoạch tập hợp tổng hợp
và một số dạng toán tổng hợp là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các
nước, khu vực, Olympic toán quốc tế.
Luận văn cũng sẽ đề xuất một số bài toán tương tự, nhằm phục vụ cho cho
công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở phổ thông, đặc biệt đối với hệ
Chuyên Toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Hàm sinh và phương pháp hàm sinh.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. Luận văn không quá đi
sâu vào lý thuyết hiện đại của hàm sinh mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương
pháp hàm sinh để giải một số bài tốn khó của tốn phổ thơng.


3

4. Phương pháp nghiên cứu
Từ các tài liệu sưu tầm được, luận văn sẽ đề cập ngắn gọn về hàm sinh và
áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm tịi lời giải, cùng với việc đề xuất một
số bài toán tương tự, phù hợp với tốn phổ thơng, đặc biệt đối với hệ Chuyên
Toán.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn là có ý nghĩa khoa
học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ
cấp.
Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh
và bạn đọc quan tâm đến vấn đề này.

6. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn được chia thành ba chương và cấu trúc như sau:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất, sử dụng cho những
chương tiếp theo.
Chương 2. Áp dụng phương pháp hàm sinh giải bài toán về phân hoạch
tập hợp
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm số
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và giải một số dạng toán tổng hợp,
thực chất là việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải bài toán về phân hoạch
tập hợp.
Để tìm số nghiệm của một phương trình nghiệm nguyên nào đó, ta thực
hiện các bước như sau:
- Xét một hàm sinh F x  phù hợp;
- Khai triển F x  dưới dạng một chuỗi lũy thừa;


4

- Số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên đã cho chính là hệ số của
số hạng x n phù hợp trong chuỗi lũy thừa nêu trên.
Tiếp theo là các bài toán, thực chất là dạng toán về phân hoạch tập hợp,
có thể giải bằng phương pháp hàm sinh.
Chương 3. Áp dụng phương pháp hàm sinh giải một số bài toán tổng hợp
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải một số
dạng toán về dãy số (đặc biệt, giới thiệu các bài toán nổi tiếng liên quan đến
dãy số Catalan), bài tốn tính tổng tổ hợp, bài toán đếm tổ hợp và một số bài
toán tổng hợp khác.

5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày một số khái niệm về hàm sinh và phân hoạch tập
hợp. Nêu ra một số tính chất, kết quả liên quan đến việc áp dụng hàm sinh vào
giải các bài toán.
1.1. HÀM SINH
1.1.1. Khái niệm
Định nghĩa 1.1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là biểu thức có dạng
2

a 0  a1x  a2x  ... 

dãy các số nguyên an 



a x
n 0

n

n

,

(1.1)

được gọi là dãy các hệ số.

n 0

Định nghĩa 1.2. Cho dãy số a 0, a1, a2 ,..., an ,... các số thực, và x là một
biến số. Hàm sinh của dãy an 

n 0

2

là
k

F (x )  a 0  a1x  a2x  ...  ak x  ... 



a x
n 0

n

n

,

(1.2)

với a 0, a1, a2 ,..., an ,... gọi là các hệ số của hàm sinh.

Nhận xét 1.1.


a) Nếu F ( x)   an x n là hàm sinh của dãy số an n0 thì ta cịn kí hiệu
n 0

an   F ( x) hay an   F .
b) Việc xây dựng hàm sinh khơng chỉ dựa trên một biến (vì một biến chỉ
cho ta một thông tin duy nhất!). Đối với những bài tốn địi hỏi nhiều thơng tin
ta cần xét hàm sinh với nhiều biến hơn (xem Bài tốn 2.2.10).
Hàm sinh có thể tổng quát cho nhiều chỉ số, cụ thể


6

Cho dãy số am,n m,n0 . Khi đó ta định nghĩa


a

F (x , y ) 

n 0

mn

x my n .

(1.3)

Định nghĩa 1.3.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa F   an x n là
n 0

F '   nan x n 1 .

(1.4)

n 0

Đạo hàm cấp n  1 được xác định bởi
F

n 1

 (F   ) ' .
n

(1.5)

1.1.2. Tính chất
Cho an   F ( x),bn   G ( x) . Khi đó ta có các tính chất sau

an  bn   F ( x)  G ( x) .

(1.6)

ka   kF (x ), k   .

(1.7)

(n  1)a   F '(x ) .

(1.8)

a

(1.9)

n

n 1

n

 an 1   (1  x )F (x ) .

na   xF '(x ) .

(1.10)

n

a  

F (x )  a 0  a1x  a2x 2  a 3x 3  ...  ah1x h 1

n h

k .a

n

xh

 h .bn   k .F (x )  h .G (x ) .

a0  a1  a2  ...  an  

F ( x)
.
1 x


  n

cn     aib j    ak bnk   F ( x).G ( x) .

i  j  n
  k 0

,h   .

(1.11)
(1.12)
(1.13)

(1.14)

7

1.1.3. Một số kết quả liên quan
a. Kết quả về hàm sinh
n

Mệnh đề 1.1. Cho hàm sinh F ( x )  1  x  x 2  ... . Khi đó ta có
a) Nếu ar là hệ số của x r trong khai triển của F (x ) , thì
ar  C rrn 1 .

(1.15)

b) 1  x m   1  C n1x m  C n2x 2m  ...  (1)n x mn .
n

(1.16)

c) 1  x  x 2  ...  x m 1   1  x m  1  x  x 2  ... .
n

n

n

(1.17)

Mệnh đề 1.2. (Công thức xác định hệ số tích của hai hàm sinh)
Cho hai hàm sinh của hai dãy an , bn  lần lượt là

A(x )  a0  a1x  a2x 2  ....

B(x )  b0  b1x  b2x 2  ....
Đặt
F (x )  A(x )B(x )







 a 0  a1x  a 2x 2  .... b0  b1x  b2x 2  ....

 a 0b0  a 0b1  a1b0  x  a 0b2  a1b1  a2b0  x 2
 a 0b3  a1b2  a2b1  a 3b0  x 3  ...

Khi đó hệ số của x r trong khai triển của F (x ) là
a0br  a1br 1  a2br  2  ...  ar 2b2  ar 1b1  ar b0 .

(1.18)

Nhận xét 1.2. Trong các bài toán ứng dụng hàm sinh chúng ta thường sử
dụng công thức (1.18)
Định lý 1.1. (Công thức khai triển Taylor)
Giả sử f ( x) là hàm số liên tục, có đạo hàm mọi cấp trên khoảng

 a, b  ; x0   a, b  .


8

Khi đó ta có cơng thức khai triển Taylor
f ( x)  

f

n

 x0  x n .

(1.19)

n!

n0

Nhận xét 1.3.
a) Khi 0   a, b  , ta có
f (x )  
n 0

f

n 

0 x

n!

n

.

(1.20)

b) Theo công thức Taylor số cách chọn k phần tử có lặp từ n phần tử
bằng C nk k 1 .
Định lí 1.2. Cho số nguyên dương n , định nghĩa

 e

2 i
n

 cos

2
2
 i sin
,
n
n

trong đó  là căn bậc n của đơn vị.
Xét đa thức
F (x )  a0  a1x  a2x 2  ...   ak x k
k 0

( ak  0 nếu k  deg F )
Khi đó ta có
a 0  an  a2n  ... 

1
n

F (1)  F ()  F (2 )  ...  F (n 1 ) .



Định lí 1.3. Cho p là một số nguyên tố, đặt   cos

(1.21)

2
2
.
 i sin
p
p

Khi đó, nếu a 0  a1  a22  ...  a p 1 p 1  0 thì
a0  a1  a2  ...  a p 1 .

(1.22)


9

Định lí 1.4. (Quy tắc xoắn)
Gọi A(x ) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp A và B(x )
là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp B . Nếu A và B là rời nhau

thì hàm sinh cho cách chọn các phần tử của A  B là A(x ).B(x ) .
b. Khai triển đại số
Sau đây là một số kết quả khai triển đại số thường dùng trong việc áp dụng
giải bài toán về hàm sinh


1  x   1  x     1

x2
 ...
2!

(1.23)

xn
 x     1...   n  1  ...
n!
(1  x )n  1  C n1x  C n2x 2  ...  C nn x n  ... 

1  ax  
n



C a x
n 0

k
n

k

k



C
k 0

k
n

xk .

.

(1.25)

1
 1  x  x 2  x 3  ... 
1x
1
 1  x  x 2  x 3  ... 
1x



x

n

.

(1.26)

n 0


 (1) x
i

i

.

(1.27)

i 0


1
2 2
3 3
n n
 1  ax  a x  a x  ...  a x  ...   a n x n .
1  ax
n 0

 1  2ax  3a x  4a x  ...   (n  1)a n x n .
2

1  ax 

2

2

3 3

(1.29)

n 0



1
2

 1  2 x  3 x 2  4 x 3  ...  (n  1) x n   (i  1) x i .

(1.30)


n(n  1) 2 n(n  1)(n  2) 3
 1  nx 
x 
x  ...   Cii n 1 xi .
2!
3!
i 0

(1.31)

i 0

1

1  x 

(1.28)



1

1  x 

(1.24)

n


10

1
 1  x 2  x 4  x 6  ... 
2
1x



x

n 1

1  x 





C
k 0

k
n k

.

x

ir

(1.32)

i 0

1
 1  x r  x 2r  x 3r  ... 
r

1x

1

2i



.

(1.33)

i 0

xk .

(1.34)

xk
 x k 1  x  x 2  ...  x k  x k 1  x k 2  ...
1x

(1.35)

k
1  x k 1
 1  x  x 2  x 3  ...  x k   x i .
1x
i 0

(1.36)

x
 x 1  x 2  x 4  x 6  ...  x  x 3  x 5  x 7  ...
2
1x

(1.37)



1 x

1  x 

 1  3 x  5 x  ...   (2n  1) x n .
2

2

(1.38)

n0


1
  C2kk x k .
1  4 x k 0

(1.39)

x 2k 1
.
sin x   (1)
2k  1!
k 0

(1.40)

x2k
.
cos x   (1)
 2 k !
k 0

(1.41)



k



k

ex  1  x 


x 2 x3
xn

xk
  ...   ...   .
2! 3!
n!
k 0 k !


1
xk
ln
 .
1  x k 0 k

(1.42)

(1.43)


11

1.2. PHÂN HOẠCH
1.2.1. Phân hoạch của số tự nhiên
Định nghĩa 1.4. Một phân hoạch của số tự nhiên r là một cách viết r
thành tổng của các số nguyên dương hay một bộ số không thứ tự ( ai ) thỏa mãn

a

i

r.

Ví dụ 1.1. Ví dụ về phân hoạch
2  11
3  21  111
4  3 1  2 2  2 11  1111

5  4 1  3 2  3 11  2 2 1
= 2 111  11111

Đặt ek là số nguyên dương thành phần xuất hiện k lần.
Ta có
1e1  2e2  ...  kek  ...  rer  r .

Xây dựng hàm sinh cho phương trình trên ta có


1  x


 ... ... 1  x



F (x )  1  x  x 2  ... 1  x 2  x 4  ... .
3

 x6

k



 x 2k  ... ...

1.2.2. Phân hoạch của tập hợp
Định nghĩa 1.5. Một phân hoạch của một tập hữu hạn X thành k phần
là một họ các tập con khác rỗng X1, X 2,..., X k của X thỏa các tính chất sau:
i) Hợp tất cả các tập hợp X i , i  1, k tạo thành tập hợp X , tức là
X 1  X 2  ...  X k  X .

ii) Các tập hợp này đôi một giao nhau bằng tập hợp rỗng, tức là
X i  X j  , i  j .


12

Định nghĩa 1.6. (số Stirling, số Bell)
Số tất cả các phân hoạch thành k phần của một tập hợp X có n phần tử
được gọi là số Stirling loại hai và được ký hiệu là S n ,k .
n

Số Bn   Sn ,k được gọi là số Bell.
k 0

Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa ta có
i) Sn ,k  0 nếu k  n .
Ta cũng quy ước rằng S 0,0  1 và Sn ,0  0 nếu n  1 .
ii) Số Bell chính là số tất cả các phân hoạch của tập X có n phần tử và
được tính theo cơng thức sau
1  k n 1

.
Bn  
e k 1 k  1 !

(1.44)

iii) Số Stirling loại hai là số cách phân phối n quả bóng phân biệt vào k
hộp giống nhau mà khơng có hộp nào rỗng và được tính theo cơng thức sau
S n ,k

1 k
  (1)k iC ki i n .
k ! i 0

(1.45)

Ví dụ 1.2. Phân hoạch của tập hợp a, b, c, d  thành 3 phần có thể biểu thị
như tập hợp

a , b, c,d  ; a , b, d , c; a, d , b, c
a , b,c, d  ; a,c, b, d ; a,b, c, d 
Như vậy S 4,3  6 .
Ta cũng có S 4,0  0; S 4,1  1; S 4,2  7; S 4,4  1 .
Do đó B4  S 4,0  S 4,1  S 4,2  S 4,3  S 4,4  0  1  7  6  1  15 .


13

Định nghĩa 1.7. (Phân hoạch thứ tự tổ hợp)
Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, r  n và S  X có r phần tử.

Một phân hoạch S1, S 2,..., S k  có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự
tổ hợp chập r của X .
Nếu r  n thì gọi là phân hoạch thứ tự của X .
Cho các số nguyên dương n1, n2,..., nk thỏa n1  n2  ...  nk  r . Số các
phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng

S , S ,..., S 
1

2

k

có

S1  n1, S 2  n2,..., Sk  nk , được ký hiệu là C n; n1, n2,..., nk  . Một cấu

hình tổ hợp kiểu này được xây dựng qua các bước sau:
Bước 1: Chọn n1 phần tử từ X cho S1 , có C n, n1  khả năng.
Bước 2: Chọn n2 phần tử từ X \ S1 cho S 2 , có C n  n1, n2  khả năng.
…
Bước k: Chọn nk phần tử từ X \ S1  S 2  ...  Sk 1  cho Sk , có
C n  n1  n2  ...  nk 1, nk  khả năng.

Theo nguyên lý nhân suy ra
C n; n1, n2,..., nk   C n, n1 .C n  n1, n2 ...C n  n1  n2  ...  nk 1, nk 



n!

.
n1 ! n2 !...nk ! n  r  !

Định lí 1.5. Số lượng các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X có n
phần tử bằng
C n; n1, n2,..., nk  

n!
,
n1 ! n2 !...nk ! n  r  !

C n; n1, n2,..., nk  được gọi là hệ số đa thức.

(1.46)


14

Ví dụ 1.3. 17 sinh viên đi dạ hội bằng 5 xe khác nhau theo thứ tự có số
chỗ ngồi tương ứng là 4, 3, 3, 4,1 . Hãy xác định số cách chở 17 sinh viên bằng 5
xe, trong đó có 2 sinh viên phải đi bằng phương tiện khác.
Lời giải. Mỗi cách chở là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 15 của 17
với số phần tử trong mỗi tập con tương ứng là 4, 3, 3, 4,1 .
Vì vậy số cách chở là C 17; 4, 3, 3, 4,1 

17 !
 8576568000 .
4 ! 3! 3! 4 !1!

Định nghĩa 1.8. (Phân hoạch không thứ tự)

Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, các số nguyên dương
n1, n2,..., nk và p1, p2,..., pk thỏa n1p1  n2 p2  ...  nk pk  n . Một hệ thống

các tập con của X với p1 tập lực lượng n1 , p2 tập lực lượng n2 ,…, pk tập lực
lượng nk gọi là phân hoạch không thứ tự của X .
Định lí 1.6. Số phân hoạch không thứ tự của X với p1 tập lực lượng n1 ,
p2 tập lực lượng n2 ,…, pk tập lực lượng nk là
C n; n1,..., n1, n2 ,..., n2 ,..., nk ,..., nk 
p1 ! p2 !...pk !



n!
p1 ! n1 ! p2 ! n2 ! ...pk ! nk !
p1

p2

pk

,

(1.47)

trong tử số C n; n1,..., n1, n2,..., n2,..., nk ,..., nk  số n1 lặp lại p1 lần, n2 lặp lại
p2 lần,…, nk lặp lại pk lần.

Ví dụ 1.4. Phân phối n quả cầu phân biệt vào m hộp phân biệt sao cho:
Hộp 1 chứa n1 vật, hộp 2 chứa n2 vật,…, hộp m chứa nm vật:
n1  n2  ...  nm  n . Hỏi có bao nhiêu cách phân phối khác nhau, không kể

thứ tự cầu trong mỗi hộp.
Lời giải. Có thể phân phối bằng m bước như sau:
Bước . Chọn n1 phần tử từ n cầu cho hộp 1 , có C n, n1  cách


15

Bước 2. Chọn n2 phần tử từ n  n1 cầu cho hộp 2 , có C n  n1, n2  cách
…
Bước m. Chọn nm phần tử từ n  n1  n2  ...  nm 1 cầu cho hộp m , có
C n  n1  n2  ...  nm 1, nm  cách

Theo nguyên lý nhân suy ra số phân phối là
C n, n1 .C n  n1, n2 ...C n  n1  n2  ...  nm 1, nm  

n!
.
n1 ! n2 !...nm !


16

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm số
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và giải một số dạng toán tổng hợp.
Thực chất là việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải bài tốn về phân hoạch

tập hợp.
2.1. DẠNG TỐN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUN
Để tìm số nghiệm của một phương trình nghiệm ngun nào đó, ta thực
hiện các bước như sau:
- Xét một hàm sinh F x  phù hợp;
- Khai triển F x  dưới dạng một chuỗi lũy thừa;
- Số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên đã cho chính là hệ số của
số hạng x n phù hợp trong chuỗi lũy thừa nêu trên.
2.1.1. Bài toán áp dụng
Bài tốn 2.1.1. Tìm số nghiệm ngun khơng âm của phương trình
x 1  x 2  ...  x n  m , với m, n là các số nguyên dương cho trước.

Lời giải. Vì x 1, x 2,...x n nguyên không âm nên suy ra x i (1  i  n ) nhận
các giá trị 0,1,2, 3,... Ta tìm hàm sinh cho cách chọn mỗi x i (1  i  n ) .
Có
1 cách chọn

giá trị 0

1 cách chọn

giá trị 1


17

1 cách chọn

giá trị 2

1 cách chọn

giá trị 3
…

Do đó hàm sinh cho cách chọn mỗi x i là
1  x  x 2  x 3  ... 

1
.
1x

Áp dụng quy tắc xoắn suy ra hàm sinh cho cách chọn bộ số

x , x , x ,..., x  là
1

2

3

n

1

1  x 

n

.

Gọi um là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
x 1  x 2  ...x n  m .

Khi đó hàm sinh của dãy với các số hạng dạng um chính là hàm sinh cho
số cách chọn bộ số x 1, x 2, x 3,..., x n  , tức là

u x
k 0

k

k



1

  C kkn 1x k .

1  x 

n

k 0

Vậy um  C mmn 1 .
Bài tốn 2.1.2. Tìm số nghiệm ngun dương của phương trình:
u  v  w  z  27 với 3  u, v, w, z  8 .

Lời giải. Hàm sinh cho số nghiệm nguyên dương của phương trình là



G (x )  x 3  x 4  ...  x 8



4









 x 3 1  x  x 2  ...  x 5 



4

4

 x 12 1  x  x 2  ...  x 5 .

18

Số nghiệm nguyên dương của phương trình là hệ số của x 27 trong khai
triển của G (x ) và là hệ số của x 15 trong khai triển của





4

H (x )  1  x  x 2  ...  x 5 .

Ta có



H (x )  1  x  x 2  ...  x 5
4

1  x 6 
  1  x 6
 
 1  x 



Đặt A(x )  1  x

6



4





4



4

4

 1 

 .
1  x 

4

 1 
 . Ta có
, B(x )  
1  x 



A(x )  1  x 6



4

 1  C 41x 6  C 42x 12  C 43x 18  x 24

4

 1 
  1  C 41x  C 52x 2  C 63x 3  ...
B(x )  
1  x 
Do tìm hệ số của x 15 trong khai triển của H (x ) nên ta chỉ quan tâm tới hệ
số của A(x ) với bậc  15 .
Do đó A(x ) chỉ có các hệ số a 0, a 6, a12 là thỏa mãn.
4

 1 
 là br  C rr41  C rr3 .
Và hệ số của x trong khai triển B(x )  
1  x 
r

Theo Mệnh đề 1.2. ta có hệ số của x 15 trong khai triển của H (x ) là

a 0b15  a 6b9  a12b3  1.C 1815  C 41C 129  C 42C 63 .
Vậy số nghiệm nguyên dương của phương trình là

C 1815  C 41C 129  C 42C 63 .


19

Bài tốn 2.1.3. Cho số ngun dương n . Tìm các bộ số nguyên không âm

x, y, z  với z chẵn sao cho x  y  z  n .
Lời giải. Số các nghiệm của phương trình đã cho là hệ số x n trong khai
triển của hàm sinh sau









F (x )  1  x  x 2  ... 1  x  x 2  ... 1  x 2  x 4  ...




1
1
1
.
.

1x 1x 1x2
1

1  x  1  x 
3

.

F n (0)
Chú ý rằng hệ số của x trong F (x ) bằng
.
n!
n

Để tính giá trị của các đạo hàm của F tại 0 ta phân tích F thành các phân
thức đơn. Ta biết rằng tồn tại a,b, c, d để
F (x ) 





1
1
1
.
.
1x 1x 1x2
1

1  x  1  x 
3

a
b
c
d



.
2
3
1  x 1  x 
1

x
1  x 

Quy đồng mẫu số và cân bằng các hệ số hai vế ta được
a

1
1
1
1
,b  , c  , d  .
8
4
2

8

Như vậy,
F (x ) 

1 1
1
1
1
1
1 1
.
 .

.

.
.
8 1  x 4 1  x 2 2 1  x 3 8 1  x