Ba đường cônic và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ ĐOAN THY

BA ĐƢỜNG CƠNIC
VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ ĐOAN THY

BA ĐƢỜNG CƠNIC
VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

Chun ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các nội dung được trình bày trong luận văn này là do
tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Ngọc Châu.
Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên
tác giả, tên cơng trình, thời gian và địa điểm cơng bố.
Nếu có vi phạm quy chế đào tạo, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm.

Tác giả

LÊ ĐOAN THY


MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................ 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ....................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2
5. Cấu trúc luận văn ................................................................................ 2
CHƢƠNG 1. BA ĐƢỜNG CÔNIC ............................................................. 3
1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CƠNIC .............. 3
1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 3
1.1.2. Định nghĩa ................................................................................... 3
1.1.3. Phƣơng trình tổng qt của đƣờng cơnic ....................................... 4
1.1.4. Phƣơng trình chính tắc của các đƣờng cơnic ................................ 5
1.1.5. Phƣơng trình tham số của elip và của hypebol ........................... 11
1.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CÔNIC ................................................. 12
1.2.1. Định nghĩa ................................................................................. 12
1.2.2. Định nghĩa ................................................................................. 12

1.2.3. Tiếp tuyến của elip ..................................................................... 12
1.2.4. Tiếp tuyến của hypebol .............................................................. 14
1.2.5. Tiếp tuyến của parabol ............................................................... 14
1.2.6. Điều kiện để một đƣờng thẳng tiếp xúc với một đƣờng cônic .... 14
1.3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM, MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI MỘT
CÔNIC ......................................................................................................... 15
1.3.1. Định nghĩa .................................................................................. 15
1.3.2. Định nghĩa ................................................................................. 15


1.4. CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI ..................................................................... 16
1.4.1. Phép đổi tọa độ .......................................................................... 17
1.4.2. Nhận dạng đƣờng bậc hai .......................................................... 18
CHƢƠNG 2. NHỮNG BÀI TỐN VỀ CÁC ĐƢỜNG CƠNIC ............. 21
2.1. CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI GIẢI LÀ MỘT ĐƢỜNG CƠNIC ............... 21
2.1.1. Các bài tốn có lời giải là elip .................................................... 21
2.1.2. Các bài tốn có lời giải là hypebol ............................................. 24
2.1.3. Các bài tốn có lời giải là parabol .............................................. 26
2.2. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT ĐƢỜNG BẬC HAI LÀ MỘT
ĐƢỜNG CƠNIC .......................................................................................... 27
2.3. CÁC BÀI TỐN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG CƠNIC ............... 29
2.3.1. Các bài tốn lập phƣơng trình đƣờng elip. ................................. 29
2.3.2. Các bài tốn lập phƣơng trình đƣờng hypebol............................ 34
2.3.3. Các bài tốn lập phƣơng trình parabol ....................................... 38
2.4. CÁC BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA CƠNIC .............................. 40
2.4.1. Các bài tốn lập phƣơng trình tiếp tuyến của cơnic .................... 40
2.4.2. Các bài tốn lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của cơnic. ........ 46
2.5. CÁC BÀI TỐN QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA
CƠNIC ......................................................................................................... 49
2.6. CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT

CƠNIC ......................................................................................................... 52
2.7. CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƢỜNG THẲNG
VỚI MỘT CÔNIC ....................................................................................... 54
KẾT LUẬN ................................................................................................. 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho hai đƣờng thẳng
Quay đƣờng thẳng

khơng vng góc nhau và cắt nhau tại điểm

quanh đƣờng thẳng

gọi là mặt nón trịn xoay. Đƣờng thẳng

một góc 2

ta nhận đƣợc một mặt

gọi là trục của mặt nón, là trục đối

xứng của mặt nón. Mỗi đƣờng thẳng nằm trong mặt nón gọi là một đƣờng
sinh thẳng, rõ ràng mọi đƣờng sinh của mặt nón đều đi qua đỉnh của mặt nón.
Một mặt nón gồm hai phần đƣợc phân cách bởi đỉnh của nó.

Nếu cắt mặt nón trịn xoay bởi một mặt phẳng

khơng đi qua đỉnh

của nó, ta đƣợc giao tuyến là:
 Một đƣờng elip nếu
nếu

cắt mọi đƣờng sinh của mặt nón. Đặc biệt

vng góc với trục của mặt nón thì giao tuyến là đƣờng trịn.
 Một đƣờng hypebol nếu

song song với hai đƣờng sinh phân biệt

của mặt nón.
 Một đƣờng parabol nếu

song song với duy nhất một đƣờng sinh

của mặt nón.
Ba đƣờng elip, hypebol, parabol cịn gọi là ba đƣờng cơnic. Chữ
“cơnic” có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp “konos”, nghĩa là hình nón. Các từ
elip, hypebol, parabol do nhà tốn học Hy Lạp Apolonius

trƣớc

cơng ngun) đề xuất.
Các đƣờng cônic là một trong những nội dung cơ bản của mơn hình học
của chƣơng trình tốn bậc trung học phổ thông và đƣợc đƣa vào giảng dạy từ

lớp 10. Tuy nhiên do quỹ thời gian dành cho chƣơng trình này là không nhiều,
hơn nữa sách giáo khoa cũng không chỉ rõ việc định hƣớng tìm tịi lời giải
cũng nhƣ chƣa chú trọng đến việc rèn luyện kĩ năng này nên học sinh thƣờng
lúng túng khi giải những bài toán về đƣờng cơnic. Nhằm tìm hiểu các đƣờng


2

cônic, tôi chọn đề tài luận văn thạc sỹ của mình là: “Ba đƣờng cơnic và
những bài tốn liên quan”
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu ba đƣờng cônic và các vấn đề liên quan.
 Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán về ba đƣờng cơnic.
 Đƣa ra quy trình và định hƣớng giải cho từng lớp bài toán.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Ba đƣờng cơnic và các bài tốn liên quan thuộc chƣơng trình tốn bậc
trung học phổ thơng.
 Quy trình và định hƣớng giải cho từng lớp bài tốn về ba đƣờng cônic
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có liên quan đến nội dung đề
tài luận văn.
 Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
 Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hƣớng dẫn.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng.
Chƣơng 1: Ba đƣờng cơnic.
Chƣơng này trình bày ba đƣờng cơnic cùng các khái niệm liên quan,
nhằm làm cơ sở cho chƣơng sau .
Chƣơng 2: Những bài tốn về các đƣờng cơnic.

Chƣơng này là một nội dung chính của luận văn, trình bày một số bài
tốn liên quan đến ba đƣờng cơnic.


3

CHƢƠNG 1

BA ĐƢỜNG CƠNIC
Chƣơng này trình bày ba đƣờng cơnic cùng các khái niệm liên quan,
nhằm làm cơ sở cho chƣơng sau. Các chứng minh chi tiết có thể xem trong
[2], [5], [18]…
1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CƠNIC
1.1.1. Định nghĩa
Cơnic là tập hợp các điểm
từ
định

đến một điểm cố định
khơng đi qua
Điểm cố định

Đƣờng thẳng

trong mặt phẳng có tỉ số giữa khoảng cách
đến một đƣờng thẳng cố

và khoảng cách từ

bằng một hằng số dƣơng .

gọi là một tiêu điểm, hằng số

gọi là tâm sai của cônic.

gọi là đƣờng chuẩn của cônic tƣơng ứng với tiêu điểm
là một hằng số dƣơng

Cônic C
1.1.2. Định nghĩa

( tƣơng ứng

Ta gọi một cônic có tâm sai

và

) là một

parabol ( tƣơng ứng là một elip, và là một hypebol )
Ví dụ: Viết phƣơng trình đƣờng cơnic có đƣờng chuẩn là
tiêu điểm

và tâm sai

Giải: Với điểm

|

đến đƣờng chuẩn

hay

|
√

thuộc cơnic đã cho nếu
√

⇔

√

ta có

Khoảng cách từ
Vậy

,

hay
=√

|

, tức là:
|


4

⇔
Đó là phƣơng trình cần tìm của cơnic. Vì tâm sai

nên cơnic

này là một hypebol.
1.1.3. Phƣơng trình tổng qt của đƣờng cônic
Giả sử trong hệ tọa độ Đề Các
đƣờng chuẩn

, tiêu điểm

có tọa độ là

có phƣơng trình pháp dạng:

là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng

Gọi

và [
M thuộc cônic C ⇔

, ta có:

]
[

⇔

]

⇔
⇔

Phƣơng trình này có dạng:
và đƣợc gọi là phƣơng trình tổng qt một cơnic.
Xét biểu thức

, ta có:
.
.
.

Nhƣ vậy:


⇔

⇔ cônic là một parabol.



⇔

⇔ cônic là một elip.



⇔

⇔ cônic là một hypebol.

,


5

1.1.4. Phƣơng trình chính tắc của các đƣờng cơnic
a. Phương trình chính tắc của parabol
Để lập phƣơng trình chính tắc của parabol, ta chọn hệ tọa độ

là đƣờng thẳng đi qua tiêu điểm F và vng góc với đƣờng

sau: Trục
chuẩn

, hƣớng dƣơng từ

đến

(

).

là trung trực của PF. Đặt

Trục

nhƣ

trong hệ tọa độ
(

)

y

,

∆

ta có
(

M( x; y )

H

). Nhƣ vậy đƣờng chuẩn

P

F
p/2 x

O

- p/2

có phƣơng trình
là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng

Gọi
của

trên

có tọa độ

⇔ √

thì hình chiếu H

thuộc parabol ⇔

.
√

.

.

⇔

⇔

.

Phƣơng trình trên gọi là phƣơng trình chính tắc của parabol. Số

đƣợc gọi là tham số tiêu của parabol. Từ chứng minh trên ta thấy nếu
là một điểm thuộc parabol

. Độ dài

thì

đƣợc gọi là bán kính qua tiêu điểm

của điểm

.

 Hình dáng của parabol
a) Phƣơng trình chính tắc của parabol chỉ
chứa số hạng bậc chẵn đối với
nhận

nên parabol

làm trục đối xứng.
b) Giao của parabol với trục đối xứng

là

gốc tọa độ , gọi là đỉnh của parabol.
c) Từ phƣơng trình chính tắc

ta thấy

nghĩa là các


6

điểm của parabol đều nằm về phía phần dƣơng của trục
(

điểm

cùng phía với tiêu

). Chú ý:
y
y

y

F
p/2
O

x

x

O

- p/2

O

parabol cịn những dạng phƣơng trình

Ngồi dạng chính tắc
thƣờng gặp là

b. Phương trình chính tắc của elip và hypebol
Để lập phƣơng trình chính tắc của elip và hypebol, ta chọn hệ tọa độ
sao cho tiêu điểm

có tọa độ

phƣơng trình

và đƣờng chuẩn

với

có

hay

là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng

ta có:
và

[

]

(

)
⇔

thuộc cơnic C với

[

⇔
⇔

]

(
⇔
⇔


(

(

)

⇔ C là một elip ⇔

)

)
⇔

(1)


7

Đặt

phƣơng trình (1) trở thành:

và gọi là

phƣơng trình chính tắc của elip


⇔ C là một hypebol ⇔

Đặt

, phƣơng trình (1) trở thành:

và gọi là

phƣơng trình chính tắc của hypebol
Chú thích: Từ chứng minh trên nếu tiêu điểm
và đƣờng chuẩn

có phƣơng trình

có tọa độ

thì phƣơng trình chính tắc

khơng thay đổi. Điều này có nghĩa là mọi elip và

của cơnic C với

hypebol đều có hai tiêu điểm

và hai đƣờng chuẩn tƣơng

ứng lần lƣợt với hai tiêu điểm này là
 Xét elip

.

có phƣơng trình chính tắc:

với

.
Vì tâm sai của elip
và

và do đó

hai đƣờng chuẩn

không cắt elip.

nên

là một điểm bất kỳ thuộc elip

Gọi

lên hai đƣờng chuẩn

chiếu vng góc của
Ta có

(

)

(

⇔

(
)

⇔
⇔

.

) và

(

(

lần lƣợt là hình

,

(

)

(

)
(

) ⇒

)

)


8

⇒

Tƣơng tự
Hai đoạn

qua tiêu điểm

lần lƣợt đƣợc gọi là bán kính qua tiêu điểm

,

của điểm
, và do đó elip cịn đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Ta có:

c. Định nghĩa tương đương của elip
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định
là tập hợp các điểm

, với

của mặt phẳng sao cho

. Elip
, với

là

một hằng số lớn hơn .
Hai điểm

gọi là hai tiêu điểm của elip.

Khoảng cách

giữa hai tiêu điểm

gọi là tiêu cự của elip.
 Xét hypebol có phƣơng trình chính tắc:
với
hypebol

, vì tâm sai của
nên

và

và do đó hai đƣờng chuẩn

khơng cắt hypebol.
Lập luận tƣơng tự trƣờng hợp cơnic là elip ta có với

.

 Nếu

 Nếu
Hai đoạn
qua tiêu điểm
Ta có: |

lần lƣợt đƣợc gọi là bán kính qua tiêu điểm

,

của điểm
|

, và do đó hypebol còn đƣợc định nghĩa nhƣ

sau:
d. Định nghĩa tương đương của hypebol
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định

, với

.


9

Hypebol là tập hợp các điểm

của mặt phẳng sao cho |

|

,

là một hằng số nhỏ hơn .

với

Hai điểm

gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

Khoảng cách

giữa hai tiêu điểm

gọi là tiêu cự của hypebol.

e. Hình dạng của elip, của hypebol
Hình dạng của elip: Ta xét elip

có

phƣơng trình chính tắc:

, với
Phƣơng trình của elip
đối với

và đối với

nên elip

trục đối xứng là đƣờng thẳng

có hai
, và do đó nó có tâm đối xứng là

và

cắt trục hoành tại hai điểm

- Elip

tung tại hai điểm

thẳng

và

, cắt trục

. Bốn điểm đó đƣợc gọi là bốn đỉnh

và

. Đoạn thẳng

của elip

, còn đoạn

gọi là trục lớn của

gọi là trục bé của

Ta gọi

là độ dài trục lớn,

Chú ý hai tiêu điểm của
- Nếu
và
elip

có bậc chẵn

nằm trên

là độ dài trục bé
đều nằm trên trục lớn.
thì

, tức là

nên

và

hay

. Nhƣ vậy tồn bộ

và

thuộc miền chữ nhật giới hạn bởi các đƣờng thẳng
. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip
b) Hình dạng của hypebol
Hypebol có phƣơng trình chính tắc:

- Vì phƣơng trình của hypebol

nên hypebol

có các tính chất sau:
có bậc chẵn đối với

có hai trục đối xứng là đƣờng thẳng

và

và đối với
, và do đó nó


10

có tâm đối xứng là
khơng cắt trục , trục này gọi là trục ảo của hypebol.

- Hypebol

Hypebol cắt trục hoành tại hai điểm
là đỉnh của hypebol
tiêu điểm của

.

chúng đƣợc gọi

và

đƣợc gọi là trục thực của hypebol. Chú ý hai

đều nằm trên trục thực
là độ dài trục thực,

Ta gọi
- Nếu

là độ dài trục ảo.

nằm trên hypebol thì

hay

hoặc

. Nhƣ vậy khơng có điểm nào của hypebol nằm giữa hai đƣờng thẳng
. Hypebol gồm hai nhánh: nhánh phải gồm những điểm

và

nằm bên phải đƣờng thẳng

, và nhánh trái gồm những điểm nằm bên

trái đƣờng thẳng
Đƣờng tiệm cận của hypebol
Xét đƣờng hypebol

có phƣơng trình

.
Phƣơng trình đó có thể viết
(

) hay

Ta gọi
của hàm số

√

là một phần của

nằm trong góc

√

. Ta chứng minh rằng

với

với đƣờng thẳng

tiệm cận

khi đi xa về phía bên phải. Điều đó có nghĩa là nếu

một đƣờng thẳng có phƣơng trình
tại

là đồ thị

thì

và độ dài

tiến tới 0 khi

Thật vậy tọa độ điểm
√

cắt

tại

và cắt đƣờng thẳng

tiến ra vơ cùng.
và tọa độ của

là

. Từ đó
|

√

|

|

√

|

là


11

|

(

√

)(

√

)
|

√

|

√

|

Vì vậy, rõ ràng là
Vì lý do đối xứng mà ba phần cịn lại của hypebol
thẳng

làm đƣờng tiệm cận.

hoặc

Tóm lại, đƣờng hypebol

Chú ý: Từ hai đỉnh của
thẳng song song với

cũng nhận đƣờng

có hai đƣờng tiệm cận là:

ta vẽ hai đƣờng

, chúng cắt hai đƣờng tiệm

cận tại bốn điểm

. Đó là bốn đỉnh của

một hình chữ nhật, gọi là hình chữ nhật cơ sở của

hypebol. Các cạnh của hình chữ nhật đó là

và

, đƣờng chéo là
1.1.5. Phƣơng trình tham số của elip và của hypebol
a. Phương trình tham số của elip
có tọa độ định bởi: {

Cho điểm

là góc thay

đổi )
Từ (1) và (2) ta có:

và

⇒
⇒

elip có trục lớn có độ dài

gọi: {

là phƣơng trình tham số của elip.

b. Phương trình tham số của hypebol
Cho điểm

và trục bé có độ dài

có tọa độ định bởi:

, ngƣời ta


12

{
⇔

Từ (1) ta có:

(3)

⇔

Từ (2) ta có:

(4)

Từ (3) và (4) ta đƣợc:

(5)

Phƣơng trình (5) cho thấy
độ dài

(nằm trên

thuộc hypebol có tâm

), trục ảo có độ dài

(nằm trên

, trục thực có
).

Hệ phƣơng trình (1) và (2) đƣợc gọi là phƣơng trình tham số của
hypebol.
1.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CÔNIC
1.2.1. Định nghĩa
Ta gọi tiếp tuyến của một đƣờng cong tại
điểm

của nó là vị trí giới hạn của cát tuyến
khi

chạy trên đƣờng cong dần tới

Với các đƣờng cônic là các đƣờng bậc hai,
ta có thể có một định nghĩa khác của tiếp tuyến
tƣơng đƣơng với định nghĩa trên.
1.2.2. Định nghĩa
Tiếp tuyến của một đƣờng cônic là một đƣờng thẳng cắt đƣờng cônic
tại hai điểm trùng nhau.
1.2.3. Tiếp tuyến của elip
Cho elip với phƣơng trình:

Giả sử
tuyến của elip tại điểm

(1)

là một điểm nằm trên elip. Ta lập phƣơng trình tiếp


13

√

Từ (1) có thể viết:
Phần elip thuộc nửa mặt phẳng
√

phƣơng trình

, phần cịn lại có

√

phƣơng trình

Ta xét trƣờng hợp

thuộc phần

,

| |

√

tức là

sẽ có

Khi đó ta đã biết tiếp tuyến của tại điểm

Nhƣng

có phƣơng trình:

, thay vào phƣơng trình trên ta có:

√

√
Nhân cả hai vế với

, ta đƣợc:
Tóm lại phƣơng trình tiếp tuyến của elip

hay
tại điểm

thuộc phần

có dạng:

Đối với phần elip ứng với

, lập luận tƣơng tự ta cũng có kết quả

nhƣ trên.
Tiếp tuyến tại hai đỉnh

và

nhƣ hàm số của . Ứng với phần elip có
√

( hay

√

đƣợc xét bằng cách coi
( hay

), ta có hàm số

) và tiến hành tính tốn tƣơng tự

và cũng có kết quả nhƣ trên.
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm
là:

của elip

14

1.2.4. Tiếp tuyến của hypebol
Cho hypebol có phƣơng trình

và một điểm

nằm trên nó, tức là
Tính tốn tƣơng tự nhƣ đối với elip, ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến của
hypebol tại điểm

là:

1.2.5. Tiếp tuyến của parabol
, ta cũng coi

Cho parabol
nhƣ hàm số của . Giả sử
parabol, tức

hay

tuyến của parabol tại điểm
Nhƣng

là một điểm của
Khi đó tiếp
có dạng:

.

, thay vào phƣơng trình trên ta có:

hay
Thay

vào phƣơng trình trên và rút gọn, ta đƣợc phƣơng trình

tiếp tuyến của parabol tại điểm

là:

1.2.6. Điều kiện để một đƣờng thẳng tiếp xúc với một đƣờng cônic
Định lý[5]: Cho đường thẳng

a) Đƣờng thẳng

có phương trình:

là tiếp tuyến của elip

b) Đƣờng thẳng

là tiếp tuyến của hypebol

c) Đƣờng thẳng

là tiếp tuyến của parabol

khi và chỉ khi:

khi và chỉ khi:

khi và chỉ khi:


15

1.3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM, MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI
MỘT CÔNIC
1.3.1. Định nghĩa
Khoảng cách từ một điểm A đến một cônic là khoảng cách ngắn nhất của
đoạn

, với

thuộc đƣờng cong đó.

1.3.2. Định nghĩa
Khoảng cách giữa một đƣờng thẳng
ngắn nhất của đoạn
của

và một cơnic là

thuộc cơnic đó và

, với

là hình chiếu vng góc

lên

Ví dụ: Cho điểm

và elip

Tính khoảng cách từ điểm

có phƣơng trình:

đến elip

Giải:
Cách 1: Lấy điểm

, ta có:
⇔

Độ dài

đƣợc xác định:

⇔

khoảng cách

√

16

( √

)

√
(√

)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến elip

0
√

là

, đạt đƣợc

khi:
{

⇔

√

⇒

Cách 2:
Elip

√
√

có phƣơng trình tham số là: {

Với điểm M

ta đƣợc

( √

)

√
(√

√

Do đó:

[

)

√
(√

)
√

Vậy
{√
√

√
√

, đạt đƣợc khi:
⇔

√

⇒

1.4. CÁC ĐƢỜNG BẬC HAI
Ta thấy phƣơng trình của elip, hypebol, parabol là những phƣơng trình
bậc hai đối với

. Bây giờ ta xét vấn đề ngƣợc lại: tìm ý nghĩa hình học của

phƣơng trình bậc hai tổng qt
trong đó

là những hằng số và

khơng đồng thời bằng 0

17

1.4.1. Phép đổi tọa độ
a Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ
Tịnh tiến hệ trục tọa độ

thành hệ trục

sao cho

và

. Phép tịnh tiến trục đƣợc hoàn toàn xác
định khi cho tọa độ
Xét một điểm

trong mặt phẳng. Liên hệ

giữa các tọa độ
tọa độ

đối với hệ

của

của

cũng của

trong hệ
trong hệ

với các
là:

{
Đó là các cơng thức tịnh tiến trục (từ hệ

. Từ đó ta suy

sang

ra: {
Đây cũng có thể xem là cơng thức tịnh tiến ( từ hệ

sang

).

b. Phép quay hệ trục tọa độ
Khi quay hệ trục

một góc

ta đƣợc một hệ mới

gốc

xung quanh

. Phép quay đƣợc

xác định hồn tồn bởi góc
Xét một điểm

trong mặt phẳng. Nó có tọa độ

đối với hệ mới. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

tọa độ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chiếu đẳng thức hình học này lên hai trục
và

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
và

ta đƣợc liên hệ giữa

là {

Công thức này gọi là công thức quay trục từ
Bằng cách thay
{

đối với hệ cũ và

bằng –

sang

ta suy ra công thức quay trục từ

sang


18

1.4.2. Nhận dạng đƣờng bậc hai
Xét phƣơng trình bậc hai tổng quát đối với

Nếu

và

, ta thực hiện một phép quay trục góc
{

trong đó

nếu

, và

là góc thỏa mãn

nếu

,

khi đó phƣơng trình (1) trở thành:

Dùng một phép tịnh tiến trục thích hợp ta sẽ đƣa đƣợc phƣơng trình (2)
về dạng đơn giản, và từ đó có thể tìm đƣợc biểu diễn hình học của phƣơng
trình (1), cụ thể là: ( xem [4] )
thì phƣơng trình (1) xác định một elip, hoặc một

a) Nếu

cặp đƣờng thẳng ảo cắt nhau, hoặc một elip ảo.




, phƣơng trình (1) xác định một elip.
, phƣơng trình (1) xác định một elip ảo.
, phƣơng trình (1) xác định một cặp đƣờng thẳng ảo cắt

nhau.
thì phƣơng trình (1) xác định một hypebol, hoặc

b) Nếu
hai đƣờng thẳng cắt nhau.


, phƣơng trình (1) xác định một hypebol.



, phƣơng trình (1) xác định một cặp đƣờng thẳng cắt nhau.

c) Nếu

thì phƣơng trình (1) xác định một parabol, hoặc

một cặp đƣờng thẳng song song, hoặc một cặp đƣờng thẳng trùng nhau, hoặc
một cặp đƣờng thẳng ảo song song.


19



, phƣơng trình (1) xác định một parabol.



, phƣơng trình (1) xác định một cặp đƣờng thẳng song

song.


, phƣơng trình (1) xác định một cặp đƣờng thẳng trùng nhau.



, phƣơng trình (1) xác định một cặp đƣờng thẳng ảo song

song.
Ví dụ: Xét phƣơng trình bậc hai:

Ta có

, vậy

đƣờng biểu diễn là một đƣờng elip.
Trƣớc hết ta quay hệ trục tọa độ một góc ,
đƣợc tính bởi cơng thức:
⇒
Vậy

và

. Ta chọn

, do đó:
√
Ta sẽ lấy

√

√
√

Vậy

√

√
√

√

Thế vào phƣơng trình trên ta đƣợc:

√

Phƣơng trình đó có thể viết:
√
Đổi tọa độ

hay
√

√

, tức là tịnh tiến hệ tọa độ

đến hệ


20

tọa độ

sao cho gốc có tọa độ đối với hệ tọa độ

Khi đó ta đƣợc:

)

hay

Vậy đƣờng biểu diễn của (1) là elip nhận
trục lớn nằm trên

là (√

, trục nhỏ nằm trên

độ dài nửa trục bé bằng √ .

làm trục đối xứng, có

, độ dài nửa trục lớn bằng √ và