Đa thức bậc ba và các bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ĐẰM

ĐA THỨC BẬC BA
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ĐẰM

ĐA THỨC BẬC BA
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán Sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2015

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❚❘➐◆❍ ❇❾❈ ❇➮◆ ❚✃◆● ◗❯⑩❚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

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❽◆ ✳

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◆❍Ú◆● ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆
❑➼ ❤✐➺✉

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R
S, p
a, b, c
ha , hb , hc
ra , rb , rc

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✷

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❈❤÷ì♥❣ ✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜❛ ❧✐➯♥ q✉❛♥ t❛♠ ❣✐→❝✳
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x1 , x2 , x3
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a = 0) t❤➻

b


x
+
x
+
x
=
−

1
2
3


ca
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =

a


d

x1 x2 x3
= .
a

ỵ ✭✣à♥❤ ❧➼ ❱✐❡t❡ ✤↔♦✮✳

◆➳✉ ❜❛ sè


u + v + w
uv + vw + wu

uvw
t❤➻ ❜❛ sè

u, v, w

◆➳✉

x+y+z




xy + yz + zx




xyz

t❤ä❛ ♠➣♥

=S
=P
= Q.

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✳ ●✐↔✐❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

u, v, w

❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠

x3 − Sx2 + P x − Q = 0.

=0
3
=−
4
1
= .
8

✺
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

●✐↔ sû (x, y, z) t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ❳➨t ✤❛ t❤ù❝

f (t) = (t − x)(t − y)(t − z)
= t3 − (x + y + z)t2 + (xy + yz + zx)t − xyz
3
1
= t3 − t −
4
8

❱➟② x, y, z ❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
1
1
3
✭✶✳✶✮
t3 − t − = 0 ⇔ 4t3 − 3t =
4
8
2
1
π
π
❱➻ = cos = cos
± 2π . ❱➻ cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α ♥➯♥
2
3
3

π
5π
7π
s✉② r❛ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✶✮ ❧➔✿ t1 = cos , t2 = cos , t3 = cos . ❱➟②
9
9
9
❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠✿
x = t1 , y = t2 , z = t3 ; x = t1 , y = t3 , z = t2
x = t2 , y = t1 , z = t3 ; x = t3 , y = t1 , z = t2
x = t2 , y = t3 , z = t1 ; x = t3 , y = t2 , z = t1 .

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥➯✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ợ số
tỹ tũ ỵ
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
a = 0.
✭✶✳✷✮
◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ❦❤✐ ❜✐➳t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ x = x0 t❤➻
ax30 + bx20 + cx0 + d = 0

✈➔ t❛ ❝â
✭✶✳✷✮ ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = ax30 + bx20 + cx0 + d
⇔ a(x3 − x30 ) + b(x2 − x20 ) + c(x − x0 ) = 0
⇔ (x − x0 )[ax2 + (ax0 + b)x + ax20 + bx0 + c] = 0.

✶✮ ◆➳✉ ∆ = (ax0 + b)2 − 4a(ax20 + bx0 + c) < 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✭✶✳✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x = x0 .
✷✮ ◆➳✉ ∆ 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝â ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠

x =

x0
√

−(ax0 + b) ± ∆
x =
2a


✻

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ✶✮ ◆➳✉ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤➻ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝â ❜❛ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❧➔
ax20 + (ax0 + b)x0 + ax20 + bx0 + c = 0
∆ = (ax0 + b)2 − 4a(ax20 + bx0 + c) > 0

✷✮ ◆➳✉ x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮ t❤➻ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤✿
ax3 + bx2 + cx + d = (x − x0 )f (x).

✭✶✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â f (x) ❧➔ ♠ët t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ①→❝ ✤à♥❤✳
✸✮ ◆➳✉ x1 , x2 , x3 ❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤➻
ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )

✈➔ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❱✐❡t❡



x1 + x2 + x3




x1 x2 + x2 x3 + x3 x1




x1 x2 x3

b
=−
ca
=
a
d
= .
a

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
ax3 + bx2 + cx + d = 0

✭✶✳✹✮

ac3 = db3 .

✭✶✳✺✮

✈ỵ✐
✭❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✹✮ − ✭✶✳✺✮ ❝â t➯♥ ❣å✐ ❧➔ ữỡ tr ỗ q

ứ s r
c = 0 ⇒ b = 0 ✈➔
✭✶✳✺✮ ⇔ ax3 + d = 0 ⇔ x =
✷✮ c = 0 ⇒ b = 0 ✈➔
✣➦t

d
c
=
a
b

3

.

c
= −x0 t❤➻ c = −bx0 , d = −ax30 .
b

3

d
− ,
a


✼

❚❤➳ ✈➔♦ ✭✶✳✹✮, t❛ ✤÷đ❝

ax3 + bx2 − bx0 x − ax30 = 0
⇔ a(x3 − x30 ) + bx(x − x0 ) = 0
⇔ (x − x0 )[ax2 + (ax0 + b)x + ax20 ] = 0.
c
❱➟② x = x0 = − ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠✳
b
◆➳✉ ∆ = (ax0 + b)2 − 4a2 x20 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝á♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠
√
−(ax0 + b) ± ∆
x=
.
2a

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✸✳ ●✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ 4x3 − 3x = ±1.
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣
4x3 − 3x − 1 = (x − 1)(2x + 1)2

♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 4x3 − 3x = 1 ❝â ♥❣❤✐➺♠ x = 1 ✈➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣
1
x=− .
2
❚÷ì♥❣ tü✱
4x3 − 3x + 1 = (x + 1)(2x − 1)2
♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 4x3 − 3x = −1 ❝â ♥❣❤✐➺♠ x = −1 ✈➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣
1
x= .
2
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✹✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ 4x3 − 3x = m ✈ỵ✐ |m| < 1.

❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣➦t m = cos α = cos(α ± 2π).
❱➻
α
α
α
cos α = cos 3.
= 4 cos3
− 3 cos
3
3
3
♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❜❛ ♥❣❤✐➺♠✿

α
x1 =
cos
3

α ± 2π
x2 ,3 = cos
3
1
1
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✺✳ ❛✮ ✣➦t x = a + , a = 0. ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
2
a
1 3 1
4x3 − 3x =
a +
✭✶✳✻✮

2
a


✽

❜✮ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
4x3 − 3x = m, |m| > 1.
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

❛✮ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✻✮ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳
❜✮ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ [−1, 1] ✈➻ ♥➳✉
x = x0 ∈ [−1, 1] ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ t❤➻ t❛ ✤➦t x0 = cos β.
❑❤✐ ✤â 4x3 − 3x = |cos 3β| 1 = m.
sỷ ữỡ tr õ x = x1 ợ |x1 | > 1.
❑❤✐ ✤â 4x31 − 3x1 = m. ❱➟② ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
4x3 − 3x = 4x31 − 3x1
⇔ 4(x3 − x31 ) − 3(x − x1 ) = 0
⇔ (x − x1 )(4x2 + 4x1 x + 4x21 − 3) = 0
∆ = 4x21 − 4(4x21 − 3) = 12 − 12x21 < 0.

❱➟② x = x1 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
√
1
1
✣➦t m = a3 + 3 ✈ỵ✐ a3 = m ± m2 − 1.
2
a
❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✶✳✻✮ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t

x=

1
1
1
a+
=
2
a
2

3

m+

m2 − 1 +

3

m−

m2 − 1 .

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✻✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
4x3 + 3x = m, m ∈ R.

◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ♥➳✉ x = x0 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t❤➻ ✤â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ①➨t x > x0 ❦❤✐ ✤â
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

4x3 + 3x > 4x30 + 3x0 = m.

ữỡ tỹ ợ x < x0 t❤➻ 4x3 + 3x < 4x30 + 3x0 = m.
1
1
✣➦t x = a − .
2
a


✾

❑❤✐ ✤â ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝
4x3 + 3x =

1 3
1
a − 3 .
2
a

✭✶✳✼✮

❙✉② r❛ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ữ s

1
1
t m = a3 3 ợ a3 = m ± m2 + 1.
2

a
❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✶✳✼✮ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
x=

1
1
1
a−
=
2
a
2

3

m+

√

m2 + 1 +

3

m−

√

m2 + 1 .

❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥➯✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜❛ tê♥❣ q✉→t✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✼✳ ●✐↔✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t3 + at2 + bt + c = 0.
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

a
✣➦t t = y − . ❑❤✐ õ t õ t t ữỡ tr ữợ
3
y

a
3

3

+a y

a
3

2

+b y−

a
+c=0
3

⇔ y 3 − py = q,

2a3 ab
a2
tr♦♥❣ ✤â p =
− b; q = −
+
− c.
3
27
3
√
❛✮ ◆➳✉ p = 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t y = 3 q.
p
x. ❑❤✐ ✤â t❛ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❜✮ ◆➳✉ p > 0. ✣➦t y = 2
3
√
3
3q
4x3 − 3x = m ✈ỵ✐ m = √ .
2p p

✲✮ |m|

1. ✣➦t m = cos α. ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❜❛ ♥❣❤✐➺♠✿
α
α ± 2π
x = cos ; x = cos
.
3
3

✲✮ |m| > 1. ✣➦t m =

1 3
1
d + 3
2
d

✈ỵ✐ d3 = m ±

√

m2 − 1✳


✶✵

❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t
x=

1
1
1
d+
=
2
d
2

3

m+

m2 − 1 +

3

m−

m2 − 1 .

p
❝✮ ◆➳✉ p < 0. ✣➦t y = 2 − x t❛ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 4x3 + 3x = m.
3
√
1
1
✣➦t m = d3 − 3 ✈ỵ✐ d3 = m ± m2 + 1.
2
d
❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t
√
√
1
1 3
1
3
d−
=

x=
m + m2 + 1 + m − m2 + 1 .
2
d
2

✶✳✷✳ ❙Û ❉Ư◆● P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❇❾❈ ❇❆ ✣➎ ●■❷■ P❍×❒◆●
❚❘➐◆❍ ❇❾❈ ❇➮◆ ❚✃◆● ◗❯⑩❚
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② t❛ s➩ ♥➯✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛
t❤ù❝ ❜➟❝ ❜è♥ tê♥❣ q✉→t t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈ỵ✐ ❤➺ sè
t❤ü❝✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè ❞↕♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ❜è♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝â ♥❤ú♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥
✤ê✐ ♣❤ị ❤đ♣ ✈➔ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ ♣❤↔✐ ✈➟♥ ❞ö♥❣ t♦➔♥ ❜ë t❤✉➟t
t♦→♥ tê♥❣ q✉→t✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✽✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x4 = ax2 + bx + c, b = 0
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

●å✐ α ❧➔ sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ tự
b2 = 4(a + 2)(c + 2 )



tỗ t t ♥❤➜t ♠ët ❣✐→ trà α t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✽✮ ✈➻ ✭✶✳✽✮ ữỡ tr
ố ợ
õ t tự ❜➟❝ ❤❛✐
f (x) = (a + 2α)x2 + bx + (c + α2 )

❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ ✈➔


b
(a + 2α) x +
f (x) =
2(a + 2α)

2
c+α

2

♥➳✉ a + 2α = 0
♥➳✉ a + 2α = 0.




t ữỡ tr ữợ
x4 + 2x2 + α2 = f (x)
⇔ (x2 + α)2 = f (x)

✭✶✳✾✮

✶✮ ◆➳✉ a + 2α = 0 t❤➻ ✭✶✳✾✮ ⇔ (x2 + α)2 = c + α2
✷✮ ◆➳✉ a + 2α < 0 t❤➻ ❱➳ tr→✐ ✵❀ ❱➳ ♣❤↔✐ ❁✵✱ ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳
√
b
✸✮ ◆➳✉ a + 2α > 0 t❤➻ ✭✶✳✾✮ ⇔ x2 + α = ± a + 2α x +
.
2(a + 2α)

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳ ▼å✐ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ❜è♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤ü❝ ✤➲✉ ♣❤➙♥ t➼❝❤
✤÷đ❝ t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈ỵ✐ ❤➺ sè t❤ü❝✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✾✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t4 + αt3 + βt2 + γt + δ = 0.
✭✶✳✶✵✮
α
❇➔✐ ❣✐↔✐✳ ✣➦t t = x − . ❑❤✐ ✤â✿
4
α 2
α 4
α
3
✭✶✳✶✵✮ ⇔ x −
+ α x − α4 + β x −
+γ x−
+δ =0
4
4
4
⇔ x4 = ax2 + bx + c

tr♦♥❣ ✤â

6α2
− β;
16
2α3 1
b=−

+ αβ − γ;
16
2
1
c=
(3α4 − 16βα2 + 64αγ − 256δ).
256
a=

⑩♣ ❞ư♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✶✳✽ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜è♥ tê♥❣ q✉→t✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✵✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x4 + 4x3 + 3x2 − 12x − 16 = 0.
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

✭✶✳✶✶✮

✣➦t x = t − 1. ❑❤✐ ✤â t❛ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
t4 = 3t2 + 10t + 4

✭✶✳✶✷✮




t ữỡ tr ữợ
(t2 + )2 = (3 + 2α)t2 + 10t + 4 + α2 .

❈❤å♥ α ✤➸ ∆ = 25−(3+2α)(4+α2 ) = 0 ⇔ 2α3 +3α2 +8α−13 = 0

❚❛ t❤➜② α = 1 t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❱➟② õ t t ữỡ tr ữợ

(t2 + 1)2 = 5t2 + 10t + 5
√
⇔ (t2 + 1)2 = [ 5(t + 1)]2
√
⇔ (t2 + 1)2 − [ 5(t + 1)]2 = 0
√
√
√
√
⇔ (t2 + 1 + 5t + 5)(t2 + 1 − 5t − 5) = 0
√
√
t2 + √5t + √5 + 1 = 0
⇔ 2
t − 5t − 5 + 1 = 0
●✐↔✐ tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s✉② r❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✷✮ ❧➔
√
√
√
√
− 5± 1−4 5
5± 1+4 5
t1 ,2 =
; t3 ,4 =
.
2
2
❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮ ❧➔✿

√
√
√
√
− 5−2± 1−4 5
5−2± 1+4 5
x1 ,2 =
; x3 ,4 =
.
2
2




ì

Pì
r ữỡ ú tổ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛ ➞♥
❝❤õ ②➳✉ ❞ü❛ tr➯♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✻❪✱ ❬✼❪ ✈➔ ❬✽❪✳

✷✳✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ✣➬◆● ◆❍❻❚ ❚❍Ù❈ ❇❆ ❇■➌◆
❱➼ ❞ư ✷✳✶✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ✭t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝✮ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët z1 , z2 , z3
t ổ õ ỗ t tự
z1 (z22 z32 ) + z2 (z32 − z12 ) + z3 (z12 − z22 ) = (z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

❚❛ ❝â✿
z1 (z22 − z32 ) + z2 (z32 − z12 ) + z3 (z12 − z22 )
= z1 z22 − z1 z32 + z2 z32 − z2 z12 + z3 z12 − z3 z22
= z1 z22 − z2 z12 + z2 z32 − z1 z32 + z3 z12 − z3 z22

= z1 z2 (z2 − z1 ) + z32 (z2 − z1 ) + z3 (z12 − z22 )
= −z1 z2 (z1 − z2 ) − z32 (z1 − z2 ) + z3 (z1 − z2 )(z1 + z2 )
= (z1 − z2 )(−z1 z2 − z32 + z1 z3 + z2 z3 )
= (z1 − z2 ) (z1 z3 − z1 z2 ) + (z2 z3 − z32 )
= (z1 − z2 ) [−z1 (z2 − z3 ) + z3 (z2 − z3 )]
= (z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).
❱➟② ✈ỵ✐ ❜❛ sè ✭t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝✮ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤ỉ✐ ♠ët z1 , z2 , z3 t ổ
õ ỗ t tự
❣✐↔✐✳

z1 (z22 − z32 ) + z2 (z32 − z12 ) + z3 (z12 − z22 ) = (z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ✭t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝✮ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤ỉ✐ ♠ët z1 , z2 , z3
t❛ ❧✉æ♥ ❝â

|z1 ||z22 −z32 |+|z2 ||z32 −z12 |+|z3 ||z12 −z22 |

|z1 −z2 ||z2 −z3 ||z3 −z1 |.

❱➼ ❞ư ✷✳✷✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤ỉ✐ ♠ët z1 , z2 , z3 ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✿
z12 (z2 − z3 ) + z22 (z3 − z1 ) + z32 (z1 − z2 ) = −(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

❚❛ ❝â✿
z12 (z2 − z3 ) + z22 (z3 − z1 ) + z32 (z1 − z2 )

❇➔✐ ❣✐↔✐✳


✶✹

= z12 z2 − z12 z3 + z22 z3 − z22 z1 + z32 z1 − z32 z2
= z1 z32 − z1 z22 + z12 z2 − z32 z2 + z22 z3 − z12 z3
= −z1 z22 − z32 − z2 z32 − z12 − z3 z22 − z12
= − z1 z22 − z32 + z2 z32 − z12 + z3 z22 − z12
= −(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ). ✭t❤❡♦ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✮
❱➟② ✈ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët z1 , z2 , z3 ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✿
z12 (z2 − z3 ) + z22 (z3 − z1 ) + z32 (z1 − z2 ) = −(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳

❱ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤ỉ✐ ♠ët

|z1 |2 |z2 − z3 | + |z2 |2 |z3 − z1 | + |z3 |2 |z1 − z2 |

z1 , z2 , z3

t❛ ❝â

|z1 − z2 ||z2 − z3 ||z3 − z1 |.

❱➼ ❞ư ✷✳✸✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t z1 , z2 , z3 t õ ỗ t
tự s❛✉✿
(i) z1 (z2 − z3 )3 + z2 (z3 − z1 )3 + z3 (z1 − z2 )3
= (z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).
(ii) z13 (z2 − z3 ) + z23 (z3 − z1 ) + z33 (z1 − z2 )
= −(z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

✭✐✮ ❚❛ ❝â✿
z1 (z2 − z3 )3 + z2 (z3 − z1 )3 + z3 (z1 − z2 )3
= z1 (z23 − 3z22 z3 + 3z2 z32 − z33 )

+z2 (z33 − 3z32 z1 + 3z3 z12 − z13 )
+z3 (z13 − 3z12 z2 + 3z1 z22 − z23 )
= z1 z23 − 3z1 z22 z3 + 3z1 z2 z32 − z1 z33
+z2 z33 − 3z1 z2 z32 + 3z12 z2 z3 − z13 z2
+z13 z3 − 3z12 z2 z3 + 3z1 z22 z3 − z23 z3
= z1 z23 − z1 z33 + z2 z33 − z13 z2 + z13 z3 − z23 z3
= (z1 z23 − z13 z2 ) + (z13 z3 − z23 z3 ) + (z2 z33 − z1 z33 )
= z1 z2 (z22 − z12 ) + z3 (z13 − z23 ) + z33 (z2 − z1 )
= z1 z2 (z2 + z1 )(z2 − z1 ) + z3 (z1 − z2 )(z12 + z1 z2 + z22 ) + z33 (z2 − z1 )
= (z1 − z2 )(−z1 z22 − z12 z2 + z12 z3 + z1 z2 z3 + z22 z3 − z33 )
= (z1 − z2 )[(z12 z3 − z12 z2 ) + (z1 z2 z3 − z1 z22 ) + (z22 z3 − z33 )]
= (z1 − z2 )[z12 (z3 − z2 ) + z1 z2 (z3 − z2 ) + z3 (z22 − z32 )]

❇➔✐ ❣✐↔✐✳


✶✺

= (z1 − z2 )(z3 − z2 )(z12 + z1 z2 − z2 z3 − z32 )
= (z1 − z2 )(z3 − z2 )[(z12 − z32 ) + (z1 z2 − z2 z3 )]
= (z1 − z2 )(z3 − z2 )[(z1 − z3 )(z1 + z3 ) + z2 (z1 − z3 )]
= (z1 − z2 )(z3 − z2 )(z1 − z3 )(z1 + z2 + z3 )
= (z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).
❱➟② ✈ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t z1 , z2 , z3 t õ ỗ t tự
z1 (z2 − z3 )3 + z2 (z3 − z1 )3 + z3 (z1 − z2 )3
= (z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).
✭✐✐✮ ❚❛ ❝â✿
z13 (z2 − z3 ) + z23 (z3 − z1 ) + z33 (z1 − z2 )
= z13 z2 − z13 z3 + z23 z3 − z1 z23 + z1 z33 − z2 z33
= (z13 z2 − z1 z23 ) + (z1 z33 − z2 z33 ) + (z23 z3 − z13 z3 )

= z1 z2 (z12 − z22 ) + z33 (z1 − z2 ) + z3 (z23 − z13 )
= z1 z2 (z1 − z2 )(z1 + z2 ) + z33 (z1 − z2 ) − z3 (z1 − z2 )(z12 + z1 z2 + z22 )
= (z1 − z2 )(z12 z2 + z1 z22 + z33 − z12 z3 − z1 z2 z3 − z22 z3 )
= (z1 − z2 )[(z12 z2 − z12 z3 ) + (z33 − z22 z3 ) + (z1 z22 − z1 z2 z3 )
= (z1 − z2 )[z12 (z2 − z3 ) + z3 (z32 − z22 ) + z1 z2 (z2 − z3 )]
= (z1 − z2 )(z2 − z3 )(z12 − z2 z3 − z32 + z1 z2 )
= (z1 − z2 )(z2 − z3 )[(z12 − z32 ) + (z1 z2 − z2 z3 )]
= (z1 − z2 )(z2 − z3 )[(z1 − z3 )(z1 + z3 ) + z2 (z1 − z3 )]
= (z1 − z2 )(z2 − z3 )(z1 − z3 )(z1 + z3 + z2 )
= −(z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).
❱➟② ✈ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t z1 , z2 , z3 t❛ ❝â ỗ t tự
z13 (z2 z3 ) + z23 (z3 − z1 ) + z33 (z1 − z2 )
= −(z1 + z2 + z3 )(z1 − z2 )(z2 − z3 )(z3 − z1 ).

❱➼ ❞ư ✷✳✹✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët z1 , z2 , z3 ❝â ỗ t
tự
z1n (x z2 )(x z3 ) z2n (x − z3 )(x − z1 ) z3n (x − z1 )(x − z2 )
f (x) =
+
+
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
(z2 − z3 )(z2 − z1 )
(z3 − z1 )(z3 − z2 )
n
=x

✈ỵ✐ n = 0, 1, 2.
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

✣❛ t❤ù❝ f (x) − xn ❝â ❜➟❝ < 3 t❤ä❛ ♠➣♥

f (z1 ) − z1n = f (z2 ) − z2n = f (z3 ) − z3n = 0.


✶✻

❱➟② f (x) = xn ✈➔ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ õ ỗ t tự
ự

q

ợ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët

z1 , z2 , z3

t❛ ❝â

|z1 |n |z − z2 ||z − z3 | |z2 |n |z − z3 ||z − z1 |
+
|z1 − z2 ||z1 − z3 |
|z2 − z3 ||z2 − z1 |
|z3 |n |z − z1 ||z − z2 |
+
|z3 − z1 ||z3 z2 |
ợ số ự

z

tũ ỵ

|z|n

n = 0, 1, 2.

❱➼ ❞ư ✷✳✺✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè ♣❤ù❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët z1 , z2 , z3 ✈➔ ❤❛✐ sè
♣❤ù❝ u, v õ ỗ t tự
(x u)(x v)
(z1 − u)(z1 − v)
=
(x − z1 )(x − z2 )(x − z3 ) (z1 − z2 )(z1 − z3 )(x − z1 )
(z2 − u)(z2 − v)
(z3 − u)(z3 − v)
+
.
+
(z2 − z1 )(z2 − z3 )(x − z2 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 )(x − z3 )

❚ø ✤â s✉② r❛✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý sè ♣❤ù❝ z t❛ ❝â

❍➺ q✉↔ ✷✳✹✳
|z − u||z − v|
|z1 − u||z1 − v|
|z − z1 ||z − z2 ||z − z3 | |z1 − z2 ||z1 − z3 ||z − z1 |
|z2 − u||z2 − v|
|z3 − u||z3 − v|
+
+
.
|z2 − z1 ||z2 − z3 ||z − z2 | |z3 − z1 ||z3 − z2 ||z − z3 |

❱➼ ❞ư ✷✳✻✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè z1 , z2 , z3 ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ởt õ ỗ t tự

s
z2 + z3
z3 + z1
+
(z1 z2 )(z1 − z3 )(z1 − t) (z2 − z3 )(z2 − z1 )(z2 − t)
z1 + z2
t − z1 − z2 − z3
+
=
.
(z3 − z1 )(z3 − z2 )(z3 − t) (t − z1 )(t − z2 )(t − z3 )

❚ø ✤â t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳
|z2 + z3 |
|z3 + z1 |
+
|z1 − z2 ||z1 − z3 ||z1 − t| |z2 − z3 ||z2 − z1 ||z2 − t|
|z1 + z2 |
|t − z1 − z2 − z3 |
+
.
|z3 − z1 ||z3 − z2 ||z3 − t| |t − z1 ||t − z2 ||t − z3 |


✶✼

❳➨t
t − z1 − z2 − z3

x
y
z
=
+
+
.
(t − z1 )(t − z2 )(t − z3 ) t − z1 t − z2 t − z3

❇➔✐ ❣✐↔✐✳

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
t − z1 − z2 − z3
= x(t − z2 )(t − z3 ) + y(t − z3 )(t − z1 ) + z(t − z1 )(t − z2 ).
❱ỵ✐ t = z1 , z2 , z3 t❛ ✤÷đ❝

z2 + z3


x
=
−


(z1 − z2 )(z1 − z3 )


z3 + z1
y=−
(z2 − z3 )(z2 − z1 )




z1 + z2


z = −
(z3 − z1 )(z3 z2 )
ữ ú t õ ỗ ♥❤➜t t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➼ ❞ư ✷✳✼✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè z1 , z2 , z3 ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët✱ ❝â ỗ t tự
s
(z1 + z2 )(z2 + z3 ) (z2 + z3 )(z3 + z1 ) (z3 + z1 )(z1 + z2 )
+
+
= −1.
(z1 − z2 )(z2 − z3 ) (z2 − z3 )(z3 − z1 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 )
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

✣➦t x =

z1 + z2
z2 + z3
z3 + z1
,y=
,z =
. ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
z1 − z2
z2 − z3
z3 − z1

(x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x − 1)(y − 1)(z − 1).

❑❤❛✐ tr✐➸♥ ✈➔ ữợ õ xy + yz + zx = 1 ữ ú t
õ ỗ t tự ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚ø ✤â t❛ ❝â

❍➺ q✉↔ ✷✳✻✳
|z1 + z2 ||z2 + z3 | |z2 + z3 ||z3 + z1 | |z3 + z1 ||z1 + z2 |
+
+
|z1 − z2 ||z2 − z3 | |z2 − z3 ||z3 − z1 | |z3 − z1 ||z3 − z2 |

1.

❱➼ ❞ư ✷✳✽✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè z1 , z2 , z3 ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ởt õ ỗ t tự
s
z12 (z1 + z2 )(z1 + z3 ) z22 (z2 + z3 )(z2 + z1 ) z32 (z3 + z1 )(z3 + z2 )
+
+
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
(z2 − z3 )(z2 − z1 )
(z3 − z1 )(z3 − z2 )
= (z1 + z2 + z3 )2 .


✶✽
❇➔✐ ❣✐↔✐✳

❚ø ❱➼ ❞ö ✷✳✹ t❛ ❝â✿

z1n (x − z2 )(x − z3 ) z2n (x − z3 )(x − z1 ) z3n (x − z1 )(x − z2 )
+
+
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
(z2 − z3 )(z2 − z1 )
(z3 − z1 )(z3 − z)
n
=x .

f (x) =

❈❤♦ x = z1 + z2 + z3 ✈➔ n = 2 t❤➻ t❛ ✤÷đ❝✿
z 2 (z1 + z2 )(z1 + z3 ) z22 (z2 + z3 )(z2 + z1 )
f (z1 + z2 + z3 ) = 1
+
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
(z2 − z3 )(z2 − z1 )
2
z (z3 + z1 )(z3 + z2 )
+ 3
(z3 − z1 )(z3 − z2 )
= (z1 + z2 + z3 )2 .
❱➟② ✈ỵ✐ ❜❛ sè z1 , z2 , z3 ♣❤➙♥ t ổ ởt t õ ỗ t tự
z12 (z1 + z2 )(z1 + z3 ) z22 (z2 + z3 )(z2 + z1 ) z32 (z3 + z1 )(z3 + z2 )
+
+
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
(z2 − z3 )(z2 − z1 )
(z3 − z1 )(z3 − z2 )

= (z1 + z2 + z3 )2 .

❍➺ q✉↔ ✷✳✼✳

❱ỵ✐ ❜❛ sè

z1 , z2 , z3

♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤æ✐ ♠ët✱ t❛ ❝â

|z1 |2 |z1 + z2 ||z1 + z3 | |z2 |2 |z2 + z3 ||z2 + z1 | |z3 |2 |z3 + z1 ||z3 + z2 |
+
+
|z1 − z2 ||z1 − z3 |
|z2 − z3 ||z2 − z1 |
|z3 − z1 ||z3 − z2 |
|z1 + z2 + z3 |2 .

❱➼ ❞ö ✷✳✾✳ ❱ỵ✐ ❜❛ sè z1 , z2 , z3 ♣❤➙♥ t ổ ởt õ ỗ t tự
s
z12
z22
+
(z1 z2 )(z1 − z3 )(z − z1 ) (z2 − z3 )(z2 − z1 )(z − z2 )
z32
z2
+
=
.
(z3 − z1 )(z3 − z2 )(z − z3 ) (z − z1 )(z − z2 )(z z3 )

tr ỗ t tự
ứ ỗ t tự s r t tự


q✉↔ ✷✳✽✳
|z1 |2
|z2 |2
+
|z1 − z2 ||z1 − z3 ||z − z1 | |z2 − z3 ||z2 − z1 ||z − z2 |
|z3 |2
|z 2 |
+
.
|z3 − z1 ||z3 − z2 ||z − z3 | |z − z1 ||z − z2 ||z − z3 |




Pì
ữỡ tr s ỵ t
sỷ P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❳➨t
❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

P (x, y, z) = 0
Q(x, y, z) = 0
✭✷✳✶✸✮

R(x, y, z) = 0.
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t

x + y + z = σ1 , xy + yz + zx = σ2 , xyz = σ3 ,

tr➯♥ ❝ì sð ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✱ ✷✳✹✱ t❛ ✤÷❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✮ ✈➲ ❞↕♥❣

p(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0
q(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0

r(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0.

✭✷✳✶✹✮

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✹✮ t❤÷í♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✮
✈➔ t❛ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ σ1 , σ2 , σ3 ✳ ❙❛✉ ❦❤✐ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝
❣✐→ trà ❝õ❛ σ1 , σ2 , σ3 ✱ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ ➞♥ sè x, y, z ✳ ✣✐➲✉
♥➔② t❤ü❝ ữủ ớ s

ỵ sû σ1 , σ2 , σ3 ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜❛

u3 − σ1 u2 + σ2 u − σ3 = 0
✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤


x + y + z
xy + yz + zx

xyz

❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ♥➳✉

u1 , u2 , u3

= σ1 ,
= σ2 ,
= σ3 .


x5 = u3 ,
y5 = u1 ,

z5 = u2 ;

✭✷✳✶✻✮

❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

✭✷✳✶✺✮
t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✶✻✮
 ❝â ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠

x1 = u1 , x2 = u1 , x3 = u2 ,
y1 = u2 ,
y2 = u3 ,
y3 = u1 ,



z1 = u3 ;
z2 = u2 ;
z3 = u3 ;


x4 = u2 ,
y4 = u3 ,

z4 = u1 ;

✭✷✳✶✺✮


x6 = u3 ,
y6 = u2 ,

z6 = u1 .