SKKN Bùi Nga : Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai
I.Lý DO CHọN Đề TàI
Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh đợc làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại tán này
tiếp tục đựơc dạy kỹ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kỳ, thi học
sinh giỏi, thi tốt nghiệp, lớp 10, tuyển sinh vào các trờng THPT, chuyên Hạ Long.........
Một số em cha biết cách làm loại toán này, mà ta gọi là phơng pháp. Đi theo kết quả của
bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán: giải phơng trình, bất phơng trình, tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị
nguyên....
Vì vậy, phần trên mà không rút gọn đợcbiểu thức thì học sinh không thực hiện tiếp đợc
các bài toán tiếp theo cần có kết quả của rút gọn biểu thức.
Vậy cách trình bày 1 bài toán rút gọn biểu thức nh thế nào, phơng pháp giải bài toán đó ra
sao. Trong bài viết này tôi xin đóng góp vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh thực hiện tốt
loại toán đó.
II.NộI DUNG Đề TàI
A.Phơng pháp giải
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau
- Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa ( mà ta gọi tắt là tìm điều kiện xác
định cho những biểu thức chứa chữ)
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đa bớt thừa số chung ra ngoài căn thức (nếu có)
- Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng
- Với điều kiện xác định đã tìm đợc, trả lời kết quả rút gọn của biểu thức A
B.CáC Ví Dụ MINH HọA
1. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
2
150 1,6. 60 4,5. 2 6
3
A
= + +

Giải:

9 8
25.6 96 6
2 3
A
= + +

2
9 4.2.3
5 6 16.6 6
2 3
9 2
5 6 4 6 . 6 6
2 3
11 6
= + +
= + +
=
2. Ví dụ 2:
Cho A =
4 3 6
2 2
x x
x x x x
+ +
+

(với x > 0; x

4)
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của x sao cho 2A-1

0
(Đề thi tốt nghiệp lớp 9 Quảng Ninh năm 2002- 2003) (2 điểm)
Giải:
1
Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai
a) Với x > 0 và x

4

4 3 6
2 ( 2)
x x
A
x x x x
+
= +


4( 2) ( 3) 6
( 2)
4 8 3 6
( 2)
2
( 2)
1
x x x x

x x
x x x x
x x
x
x x
x
+ + +
=

+ +
=


=

=
b) 2A - 1

0

2 1A

(ĐK: x > 0 và x

4)

1
2
A

1 1
2
1 1
4
x
x


( bình phơng 2 vế không âm)

{ }
1; 2;3x

thỏa mãn điều kiện x > 0 và x

4
Kết luận: Với
{ }
1; 2;3x

thì 2A - 1

0
3. Ví dụ 3:( Đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội năm 2001- 2002)
Cho biểu thức:
2 4
( ) : ( )
1
1 1

x x x
P x
x
x x
+
=

+ +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P < 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Giải:
a) ĐKXĐ:
0 0
1 0 1
x x
x x






Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x

0 và x

1
Rút gọn:
Với x

0 và x

1

( 1) ( 2) ( 1) 4
:
1 ( 1)( 1)
x x x x x x
P
x x x
+ + +
=
+ +
2
Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai

2 4
:
1 ( 1)( 1)
x x x x x x
x x x
+ +
=
+ +


2 4
:
1 ( 1)( 1)

x x
x x x

=
+ +
(Thêm điều kiện x

4)

( 2)( 1)( 1)
( 1).( 4)
1
2
x x x
x x
x
x
+
=
+

=
+
Với x

0 ; x

1 và x

4 thì biểu thức P =

1
2
x
x

+
b) P < 0

1
0
2
x
x

<
+
(Điều kiện :
0; 1; 4x x x

)

1 0x
<
(Vì
2 0x x R
+
+ >
)

1

1
x
x
<
<

Kết hợp với điều kiện phần a với
0 1x
<
thì P < 0
c)
2 3 2 3 3
1
2 2 2 2
x x
P
x x x x
+ +
= = =
+ + + +
P có GTNN
3
2x

+
có GTNN

2x +
có GTNN ( do phân thức có tử và mẫu dơng)

x
có GTNN

0x
=

0x
=
(Thỏa mãn điều kiện xác định)
Kết luận: Với x = 0 thì P có GTNN là
1
2

4. Ví dụ 4:
Cho biểu thức P =
2
2 2 (1 )
( ).
1 2
2 1
x x x
x
x x
+


+ +
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x=
7 4 3

c) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất.
Giải:
3
Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai
a) Xét:
2
2 1 ( 1) 1 0x x x x
+ + = + >
* ĐKXĐ:
0 0
1 0 1
x x
x x






Với
0x

và
1x

thì biểu thức P có nghĩa
Với
0x

và
1x

ta có:
P =
2
2
( 2)( 1) ( 2)( 1) (1 )
.
2
( 1)( 1)
x x x x x
x x
+ +
+

2
2
2 2 2 2 ( 1)
.
2
( 1)( 1)
2 .( 1)
( 1)( 1).2
( 1)
1
( 1)
x x x x x x x
x x
x x

x x
x x
x
x x
x x
+ + +
=
+

=
+

=
+
=
=

Với
0x

và
4x

thì biểu thức P có kết quả rút gọn là:

.( 1)x x

hoặc
x x

b)
2
7 4 3 4 2.2 3 3 (2 3)x
= = + =

2 3 2 3x = =
Với
7 4 3x =
thay vào biểu thức P =
x x

ta đợc
P =
2 3 7 4 3 3 3 5 + =
Với giá trị x=
7 4 3

(thỏa mãn điều kiện xác định )
Thì P =
3 3 5
c)
( )P x x x x
= =

2
2
2
1 1 1
( ) 2 .

2 4 4
1 1
( )
2 4
1 1
( )
4 2
x x
x
x

= +



=


=
P có GTLN
2
1
( )
2
x

có GTNN

2
1

( ) 0
2
x
=
do
2
1
( ) 0 0
2
x x
>
4
Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan Bùi Nga THPT Hòn Gai

1
0
2
1
2
1
4
x
x
x
=
=
=
( Thỏa mãn điều kiện
0; 4x x

)
Thay
1
4
x
=
vào P ta đợc P =
1 1
0
4 4
=
5. Ví dụ 5( Đề thi THCS của thành phố Hà Nội năm 2002-2003) (2,5 đ)
Cho biểu thức:
P =
4 8 1 2
( ) : ( )
4
2 2
x x x
x
x x x x

+

+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P =-1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
( 3) 1m x P x
> +

Giải:
a) Xét:
2 ( 2)x x x x
=
ĐKXĐ:
0
0 0
4 0 4
2 0
x
x x
x x
x



>










Với x > 0 và
4x

có:
P =
4 8 1 2
( ) : ( )
4
2 ( 2)
x x x
x
x x x x



+
1 2( 2)
4 ( 2) 8
:
( 2)( 2) ( 2)
4 8 8 1 2 4
:
( 2)( 2) ( 2)
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x


=
+
+

=
+

4 8 3
:
( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+
=
+
( Thêm ĐK x

9)
5