De va Dap an thi tuyen sinh vao 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI TẬP ÔN TẬP VÀO LỚP 10</b>

<b>PHẦN 1: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC</b>

<b>Bài 1:</b> Cho biểu thức:

a 2 5 1

P

a 3 a a 6 2 a



  

   

Rút gọn P.

Tìm giá trị của a để P < 1.

<b>Bài 2:</b> Cho biểu thức:

x x 3 x 2 x 2

P 1 :

x 1 x 2 3 x x 5 x 6

   _ _ _ 

_  _{ }   _

    

   

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của a để P < 0.

<b>Bài 3:</b> Cho biểu thức:

x 1 1 8 x 3 x 2

P : 1

9x 1

3 x 1 3 x 1 3 x 1

 _   _ 

_   _{ }  _



  

   

a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của x để

6

P

5



.

<b>Bài 4:</b> Cho biểu thức:

a

1

2 a

P

1

:

a 1

a 1 a a

a a 1



 





_



_{ }



_













 





a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của a để P < 1.

c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3  .

<b>Bài 5:</b> Cho biểu thức:

2 3 3

a (1 a)

1

a

1

a

P

:

a .

a

1 a

1

a

1

a





 

















_



 

_{ }





_





_

_

_



_{ }



_

_

_

a) Rút gọn P.

b) Xét dấu của biểu thức M = a.

1

P

2















_.

<b>Bài 6:</b> Cho biểu thức:

x 1

2x

x

x 1

2x

x

P

1 : 1

2x 1

2x 1

2x 1

2x 1



_

_

 

_

_





_





_{ }





_











 



a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi





1

x

. 3 2 2

2





.

<b>Bài 7:</b> Cho biểu thức:

2 x

1

x

P

: 1

x 1

x x

x x 1

x 1



 





_



_{ }



_













 



a) Rút gọn P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 8:</b> Cho biểu thức:

3
3

2a 1

a

1

a

P

.

a

a

a 1

1

a

a







_



_







_{ }







_









 



a) Rút gọn P.

b) Xét dấu của biểu thức P.

√

1<i>− a</i> .

<b>Bài 9:</b> Cho biểu thức:

x 2

x 1

x 1

P 1:

.

x 1

x x 1 x

x 1



_

_

_





_





_













a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 3.

<b>Bài 10:</b> Cho biểu thức:

1 a a

1 a a

P

a .

a

1

a

1

a



_

 

_





_



_{ }



_







 





a) Rút gọn P.

b) Tìm a để P < 7<i>−</i>4

√

3 .

<b>Bài 11:</b> Cho biểu thức:

2 x

x

3x 3

2 x 2

P

:

1

x 9

x 3

x 3

x 3



_

 

_





_





_{ }



_











 



a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

1

P

2



.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

<b>Bài 12:</b> Cho biểu thức:

x 3 x

9 x

x 3

x 2

P

1 :

x 9

x

x 6 2

x

x 3



_

 

_

_

_





_



_{ }





_













 



a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P < 1.

<b>Bài 13:</b> Cho biểu thức:

15 x 11

3 x 2 2 x 3

P

x 2 x 3

1

x

x 3





















a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của x để

1

P

2



.
c) Chứng minh

2

P

3



.

<b>Bài 14:</b> Cho biểu thức:

2
2

2 x

x

m

P

4x 4m

x m

x m













_{với m > 0}

a) Rút gọn P.

b) Tính x theo m để P = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 15:</b> Cho biểu thức:

2

a

a

2a

a

P

1

a

a 1

a















a) Rút gọn P.

b) Biết a >1 Hãy so sánh <b>P </b>với

P

.
c) Tìm a để P = 2.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

<b>Bài 16:</b> Cho biểu thức:

a 1

ab

a

a 1

ab

a

P

1 :

1

ab 1

ab 1

ab 1

ab 1



_

_

 

_

_





_





_{ }





_











 



a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P nếu a 2  3 và

3 1

b

1

3







_.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu

√

<i>a</i>+

_√

<i>b</i>=4 .
Bài 17: Cho biểu thức:

a a 1 a a 1

1

a 1

a 1

P

a

a

a

a

a

a

a 1

a 1























_



_

_



_







_{ }





_

a) Rút gọn P.

b) Với giá trị nào của a thì P = 7.
c) Với giá trị nào của a thì P > 6.

<b>Bài 18:</b> Cho biểu thức:

2

a

1

a 1

a 1

P

2

2 a

a 1

a 1



 









_



_{ }



_







 



a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của a để P < 0.
c) Tìm các giá trị của a để P = 2.

<b>Bài 19:</b> Cho biểu thức:



a

b



2

_{4 ab a b b a}

P

.

a

b

ab





_





a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.

c) Tính giá trị của P khi a 2 3 và b  3.

<b>Bài 20:</b> Cho biểu thức:

x 2

x

1

x 1

P

:

2

x x 1 x

x 1 1

x



_



_



_





_













a) Rút gọn P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 21:</b> Cho biểu thức:

2 x x

1

x 2

P

: 1

x x 1

x 1

x

x 1



_

 

_





_



_{ }



_











 



a) Rút gọn P.

b) Tính

P

khi x=x 5 2 3  .

<b>Bài 22:</b> Cho biểu thức:

3x

1

₂

2

1

P 1:

:

4 x

2

x

4 2 x

4 2 x











_





_

















a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P = 20.

<b>Bài 23:</b> Cho biểu thức:





2

3 3

x

y

xy

x

y

x y

P

:

y x

x

y

x

y







_

_







_





_











a) Rút gọn P.

b) Chứng minh P 0 .

<b>Bài 24:</b> Cho biểu thức:

1 3 ab 1 3 ab a b

P . :

a b a a b b a b a a b b a ab b

 

    _

      

  _     _

    

a) Rút gọn P

b) Tính P khi a=16 và b=4

<b>Bài 25:</b> Cho biểu thức:

2a

a 1 2a a

a a

a

a

P 1

.

1 a

1 a a

2 a 1



_

_

_

_



_

 

_



_











a) Rút gọn P.
b) Cho

6
P

1 6



 _{tìm giá trị của a.}

c) Chứng minh rằng

2

P

3



.

<b>Bài 26:</b> Cho biểu thức:

x 5 x

25 x

x 3

x 5

P

1 :

x 25

x 2 x 15

x 5

x 3



_

 

_

_

_





_



_{ }





_













 



a) Rút gọn P.

b) Với giá trị nào của x thì P < 1.

<b>Bài 27:</b> Cho biểu thức:



a 1 . a





b



3 a

3a

1

P

:

a

ab b a a b b

a

b

2a 2 ab 2b











_





_

















a) Rút gọn P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 28:</b> Cho biểu thức:

1

1

a 1

a 2

P

:

a 1

a

a 2

a 1



_

_









_



_

_



_









_{ }

_

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của a để

1

P

6



.

<b>Bài 29:</b> Cho biểu thức:

3 3

3 3

x y x x y y

1 1 2 1 1

P . :

x y

x y x y x y xy

     

_  _   

 

  

 

a) Rút gọn P.

b) Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài 30:</b> Cho biểu thức:

3

x 2x 1 x

P .

xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x



 

    

a) Rút gọn P.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P < 0,2.

<b>Bài 31:</b> Thực hiện phép tính.
A ( 12  75 27) : 15
B (7 48 3 27 2 12) : 363  

C 7 4 3  7 4 3
D 9 17  9 17  2
E (4  15)( 10 6) 4 15
F 4 5 3 5 48 10 7 4 3  

( N = 3 )

2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

1

1

G

1

1

...

1

2

3

3

4

99

100





















Gợi ý: Trước hết cần chứng minh:





 
  _ _
    
 _  _ _
  _  _
2
2 2

1 1 1 1

1 1

n 1 n _{1 n} n

để suy ra





    



 2 2

1 1 1 1

1 1

n n 1 n

n 1

Từ đó ta có

1 1 1 1 1 1 1 1

G 1 1 ... 1 98

2 3 3 4 99 100 2 100

     
_   __   _ _   _  
      ₌
49
98
100
<b>Bài 32:</b> Cho

1

1

1

1

A

...

1

2

2

3

3

4

24

25



















và

1

1

1

1

B

...

1

2

3

24











a) Tính A

b) Chứng minh B > 8
Gợi ý:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có:

2

2

2

2

2B

...

2 1 2 2 2 3

2 24











2 2 2 _... 2

1 1 2 2 3 3 24 24

    

   

2 2 2 _... 2

1 2 2 3 3 4 24 25

    

   

= 2.A = 8.

<b>Bài 33:</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

Q 9x  6x 1  9x  30x 25

<b>Bài 34:</b> Cho x, y là các số thực thoả mãn x 1 y 2 y 1 x 2 1. Chứng minh rằng x2 + y2
= 1.

Gợi ý: ĐK -1  x  1; -1  y  1.
Cách 1 :

Bình phương 2 vế để đưa về dạng:



1 <i>x</i>2

 

1 <i>y</i>2



<i>xy</i>



1 <i>x</i>2

 

1 <i>y</i>2



<i>x y</i>2 2
Suy ra x2 + y2 = 1.

Cách 2. áp dụng cauchy cho 2 số khơng âm ta có:
1 

2 2 2 2

2 2 1 1

1 1 1

2 2

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i>  <i>y</i>  <i>y</i>  <i>x</i>       

.

Dấu “=” xảy ra khi

2 2 2

2 2
2 2
2
1 1
1

1

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i>
 _ _ _ _{ }
 
  
 
 

 
 


Bài 35: Cho biểu thức: P =

(

1<i>−a</i>+

√

<i>a</i>

√

<i>a</i>+1

)(

1<i>− −</i>
<i>a −</i>

√

<i>a</i>

√

<i>a −</i>1

)

a> Tìm a để P có nghĩa.
b> Rút gọn P.

Bài 36: Cho S =

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Gợi ý: Trước hết cần chứng minh bất đẳng thức kép sau:

1

2 <i>n</i> 1 2 <i>n</i> 2 <i>n</i> 2 <i>n</i> 1

<i>n</i>

     

( với n là số tự nhiên khác 0.)
Từ đó suy ra :

S=

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

>1+2



3 2

 

 4 3 ...



 



101 100





= 1+ 2 ( 101 2_{) > 1+2.10 - 2} 2_{> 21-3 = 18.}
S =

1 1 1

1 ...

2 3 100

   

<1+2



2 1

 

 3 2



...



100 99





= 1+ 2 ( 100 1_{) = 1 +2.9 = 19.}

Vậy 18 < S < 19, chứng tỏ S không phải là số tự nhiên.
Bài 37: Cho biểu thức:

Q =



1







3 3 1 _:

2 2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>ab b a a b b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i>

 
 
 
 
 _ _ _ _  _ _
 

a) Rút gọn M.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 38: Tính tổng: S =

1 1 _... 1

2 1 1 2 3 2 2 3    100 99 99 100 _.
Gợi ý: Cần chứng minh:

1 1 1

(<i>n</i>1) <i>n n n</i> 1  <i>n</i>  <i>n</i>1
Bài 39: ( 3 điểm )

Cho biểu thức : <i>A</i>=(2

√

<i>x</i>+<i>x</i>
<i>x</i>

√

<i>x −</i>1<i>−</i>

1

√

<i>x −</i>1):

(

√

<i>x</i>+2
<i>x</i>+

√

<i>x</i>+1

)

Rút gọn biểu thức .

Tính giá trị của

√

<i>A</i> khi <i>x</i>=4+2

√

3

Bài 40:( 2 điểm )

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
<i>A</i>=

√

2+1

2

√

3+

_√

2 ; <i>B</i>=

1

√

2+

_√

2<i>−</i>

_√

2 ; <i>C</i>=

1

√

3<i>−</i>

√

2+1
Bài 41:( 2,5 điểm )

Cho biểu thức : A =

1 1 2

:
2

<i>a a</i> <i>a a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

 _ _  _



 

 _ _  _

 

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .

c) Với những giá trị ngun nào của a thì A có giá trị nguyên .
Bài 42:( 2 điểm )

Cho biểu thức : A =

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

   

 

      

1) Rút gọn biểu thức A .

2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a .
Bài 43: ( 2 điểm )

1) Cho biểu thức : P =





3 1 4 4

a > 0 ; a 4
4

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
  
  

 

a) Rút gọn P .

b) Tính giá trị của P với a = 9 .

2) Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm cịn lại .
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn <i>x</i>13<i>x</i>32 0

Bài 44: Cho biểu thức

1 1 _{. 1} 1

1 1

<i>A</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

   

_  _{ }  _

 

   

a) Rút gọn A.
b) Tính A khi

1

4

<i>a</i>
c) Tìm a để

10
7

<i>A</i>

Bài 45: Cho biểu thức

2

2<i>x</i> 5<i>x y</i> 3<i>y</i>
<i>A</i>

<i>x y y</i>

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Giải hệ PT:

0

3 2 5

<i>A</i>

<i>x</i> <i>y</i>






  




Bài 46: a) Thực hiện phép tính:

3 ₆ 2 ₂₄ 1 ₅₄

4 3 4

<i>A</i>  

.
b) Cho biểu thức:



<i>a</i> <i>b</i>



2 4 <i>_{ab a b b a}</i>

<i>B</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i>

  _

 


Tìm điều kiện để B có nghĩa.

Khi B có nghĩa, chứng tỏ giá trị của B không phụ thuộc vào a.
Bài 47: Tính giá trị các biểu thức: A = 2 40 12 2 75 3 5 48
B =

3 4 3

6 2 5


 
Bài 48: a) So sánh hai số <i>B</i> 17 5 1 vaø  <i>C</i>  45

b) Chứng minh rằng số sau đây là số nguyên: 5 3 29 12 5
Bài 49. Rút gọn các biểu thức sau:

a/A= <i>x</i>

√

xy+<i>x</i>+
<i>y</i>

√

xy<i>− y−</i>

2

√

xy

<i>x − y</i> . Víi<i>x</i>>0;y>0;x<i>≠ y</i>

b/B=

√

4+2

√

3+

√

4<i>−</i>2

√

3.

c/C=

√

546<i>−</i>84

√

42+

√

253<i>−</i>4

√

63

Bài 50. Cho <i>P</i>= 2

√

<i>x −</i>9
<i>x −</i>5

√

<i>x</i>+6<i>−</i>

√

<i>x</i>+3

√

<i>x −</i>2<i>−</i>

2

√

<i>x</i>+1

3<i>−</i>

√

<i>x</i>
a. Rút gọn P.

b. Tìm các giá trị của x để P<1.
c. Tìm <i>x∈Z</i> để <i>P∈Z</i> .

Bài 51: Cho biểu thức:B =

2 1 2

1 .

1 1 2 1

<i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a a a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i>

      

_  _

  

 

Rút gọn A.
Tìm a đê B =

6
1 6 _.
Chứng minh rằng B >

2
3_.
Bài 52: Cho biểu thức:
Q =

1 1 8 _: 3 1

1 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

  

   

 _ _ _   _ _ 

   

Rút gọn Q.

Tính giá trị của Q khi x = 3 2 2 _.

Chứng minh rằng Q  1 với mọi x  0 và x  1.

<b>PHẦN 2: CÁC BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:</b>

Bài 53: Cho phương trình :

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

a) Giải phương trình khi <i>m</i>=

√

2+1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm <i>x</i>=3<i>−</i>

_√

2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất

Bài 54: Cho phương trình :

(<i>m−</i>4)<i>x</i>2<i>₋</i>_{2 mx}

+<i>m−</i>2=0 (x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình có nghiệm <i>x</i>=

√

2 .Tìm nghiệm cịn lại
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt

c) Tính <i>x</i>12+<i>x</i>22 theo m
Bài 55: Cho phương trình :

<i>x</i>2<i>−</i>2(<i>m</i>+1)<i>x</i>+<i>m −</i>4=0 (x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= <i>x</i>₁

(

1<i>− x</i>2

)

+<i>x</i>2

(

1<i>− x</i>1

)

không phụ thuộc vào m.
Bài 56: Tìm m để phương trình :

a) <i>x</i>2<i>− x</i>+2(<i>m−</i>1)=0 có hai nghiệm dương phân biệt
b) 4<i>x</i>2+2<i>x</i>+<i>m−</i>1=0 có hai nghiệm âm phân biệt

c)

(m

2+1

)

<i>x</i>2<i>−</i>2(<i>m</i>+1)<i>x</i>+2<i>m−</i>1=0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 57: Cho phương trình :

<i>x</i>2<i>−</i>(<i>a−</i>1)<i>x −a</i>2+<i>a −</i>2=0

a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để <i>x</i>12+<i>x</i>22 đạt giá trị
nhỏ nhất

Bài 58: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: 1<i>_b</i>+1
<i>c</i>=

1
2

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm <i>x</i>2+bx+<i>c</i>=0
<i>x</i>2+cx+<i>b</i>=0

Bài 59:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2<i>x</i>

2

<i>−</i>(3<i>m</i>+2)<i>x</i>+12=0(1)

4<i>x</i>2<i>₋</i>

(9<i>m −</i>2)<i>x</i>+36=0(2)
Bài 60: Cho phương trình :

2<i>x</i>2<i>−</i>2 mx+<i>m</i>2<i>−</i>2=0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm khơng âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương
trình

Bài 61: Cho phương trình bậc hai tham số m :

<i>x</i>2

+4<i>x</i>+<i>m</i>+1=0

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện

<i>x</i>1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 62: Cho phương trình

<i>x</i>2<i>−</i>2(<i>m−</i>1)<i>x</i>+2<i>m−</i>5=0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 63: Cho phương trình

<i>x</i>2<i>₋</i>₂₍<i>_m</i>

+1)<i>x</i>+2<i>m</i>+10=0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{; hãy tìm một hệ thức}
liên hệ giữa <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{mà không phụ thuộc vào m}

c) Tìm giá trị của m để 10<i>x</i>1<i>x</i>2+<i>x</i>12+<i>x</i>22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 64: Cho phương trình

(<i>m−</i>1)<i>x</i>2<i>₋</i>_{2 mx}

+<i>m</i>+1=0 với m là tham số
a) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt <i>∀m≠</i>1

b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai
nghiêm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{thoả mãn hệ thức:}
<i>x_x</i>1

2

+<i>x</i>2

<i>x</i>1

+5

2=0
Bài 65: <i><b>A) Cho phương trình :</b></i>

<i>x</i>2<i>−</i>mx+<i>m−</i>1=0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có)}
của phương trình và giá trị của m tương ứng

b) Đặt <i>A</i>=<i>x</i>12+<i>x</i>22<i>−</i>6<i>x</i>1<i>x</i>2

 Chứng minh <i>A</i>=<i>m</i>2<i>−</i>8<i>m</i>+8
 Tìm m để A=8

 Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

<i><b> B) Cho phương trình</b></i>

<i>x</i>2<i>−</i>2 mx+2<i>m −</i>1=0

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm <i>x</i>1<i>; x</i>2 với mọi m.
b) Đặt A= 2(<i>x</i>12+<i>x</i>22)<i>−</i>5<i>x</i>1<i>x</i>2

 CMR A= 8<i>m</i>2<i>−</i>18<i>m</i>+9
 Tìm m sao cho A=27

c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 66: Giả sử phương trình <i>a</i>.<i>x</i>2

+bx+<i>c</i>=0 có 2 nghiệm phân biệt <i>x</i>1<i>; x</i>2 .Đặt
<i>Sn</i>=<i>x</i>1

<i>n</i>

+<i>x</i>2

<i>n</i>

(n nguyên dương)
a) CMR <i>a</i>.<i>S_n</i>₊₂+bS<i>_n</i>₊₁+cS<i>_n</i>=0

b) Áp dụng Tính giá trị của : A=

(

1+₂

√

5

)

5

+

(

1<i>−</i>

√

5

2

)

5

Bài 67: Cho

f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0có 2

nghiệm lớn hơn 2
Bài 68: Cho phương trình :
<i>x</i>2<i>₋</i>₂₍<i>_m</i>

+1)<i>x</i>+<i>m</i>2<i>−</i>4<i>m</i>+5=0

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và
trái dấu nhau

d) Gọi <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính} <i>_x</i>₁2

+<i>x</i>22 theo m

Bài 69: Cho phương trình <i>x</i>2<i>−</i>4<i>x</i>

√

3+8=0 có hai nghiệm là <i>x</i>1<i>; x</i>2 . Khơng giải phương
trình , hãy tính giá trị của biểu thức : <i>M</i>=6<i>x</i>1

2

+10<i>x</i>1<i>x</i>2+6<i>x</i>2
2
5<i>x</i>₁<i>x</i>₂3+5<i>x</i>₁3<i>x</i>₂

Bài 70: Cho phương trình

<i>xx−</i>2(<i>m</i>+2)<i>x</i>+<i>m</i>+1=0
a) Giải phương trình khi m= 1₂

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :}
<i>x</i>1(1<i>−</i>2<i>x</i>2)+<i>x</i>2(1<i>−</i>2<i>x</i>1)=<i>m</i>

2

Bài 71: Cho phương trình

<i>x</i>2+mx+<i>n −</i>3=0 (1) (n , m là tham số)

 Cho n=0 . CMR phương trình ln có nghiệm với mọi m

 Tìm m và n để hai nghiệm <i>x</i>1<i>; x</i>2 của phương trình (1) thoả mãn hệ :

{

<i>_xx</i>1<i>− x</i>2=1

1
2<i>_{− x}</i>

2
2

=7
Bài 72: Cho phương trình:

<i>x</i>2<i>₋</i>₂₍<i>_{k −}</i>₂₎<i>_{x −}</i>₂<i>_{k −}</i>₅

=0 ( k là tham số)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi <i>x</i>₁<i>; x</i>₂ _{là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho}
<i>x</i>1

2
+<i>x</i>2

2
=18
Bài 73: Cho phương trình

(2<i>m−</i>1)<i>x</i>2<i>−</i>4 mx+4=0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=1

b) Giải phương trình (1) khi m bất kì

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 74:Cho phương trình :

<i>x</i>2<i>−</i>(2<i>m−</i>3)<i>x</i>+<i>m</i>2<i>−</i>3<i>m</i>=0

a) CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm <i>x</i>₁<i>, x</i>₂ _{thoả mãn} 1<<i>x</i>₁<<i>x</i>₂<6

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm
của phương trình (1). Tìm m để x12 + x22 ≥ 10

3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 để
E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 76: Ch o hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0 (1)
x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Cho biết a1a2 ≥ 2 (b1+b2). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2  0

Bài 77 : Cho ba phương trình ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)

Cho biết a, b, c ≠ 0. Chứng minh ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm.
Gợi ý: Cần chứng minh 1 + 2 + 3  0

Bài 78: Cho Parabol y = <i>−</i>1

2<i>x</i>

2

(P) Và đường thẳng y = x + 1₂ (d).
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ .

Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) ln tiếp xúc parabol (p). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 79: Trong cùng hệ toạ độ gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2

và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + m.

Tìm a biết (P) đi qua A (2;- 1), vẽ (P) với a tìm được.

Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) (ở câu 1). Tìm toạ độ tiếp điểm.

Trong các điểm sau điểm nào thuộc (P) điểm nào thuộc (d) vừa tìm được : M(-2;1); N(2; -1);
E(-2; -1)

Gọi B là giao điểm của (d) (ở câu 2) với trục tung , C là điểm đối xứng của A qua trục tung.
Chứng tỏ C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.

Bài 80: trong hệ trục vuông góc gọi P là đồ thị của hàm số y = x2, gọi M,N là hai điểm thuộc P
có hồnh độ lần lượt là: -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng MN. ( KQ: y = x+2)

Bài 81: Cho phương trình: mx2- 2( m+1 )x + m +2 = 0.
Xác định m để phương trình có nghiệm.

Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu
nhau.

Gợi ý: b. phương trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau khi





0

0 1 0

' 0 0 1

0 ₂ ₁

0

<i>m</i>
<i>a</i>

<i>m</i>
<i>S</i>

<i>S</i> <i>_m</i>

<i>m</i>






 



 

     

 

 _ 



 _






Bài 82: Cho phương trình ẩn x : x2 + x + m = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm
phân biệt đều lớn hơn m. ( KQ: m < - 2 )

Bài 83: Cho a  0, giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:

2

2

1 ₀

<i>x</i> <i>ax</i>
<i>a</i>

  

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x14 + x24
HD: áp dụng Vi-et ta có: x1 + x2 = a; x1.x2 = 2

1

<i>a</i>


. áp dụng cauchy suy ra:
Q = a4 + <i>a</i>2 4 2 2 44    => Min Q = 2 2 4 _{khi a8 = 2}

Bài 84: Cho Parabol y = 1₂ <i>x</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qu 2 điểm M, N.
Chứng minh rằng đườngthẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểmphân biệt A, B với mọi m ≠ 0.

Gọi H, K là các hình chiếu của A, B trên trục hồnh.
Chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác vuông.

Bài 85: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
hất của biểu thức: A = x + y.

Gợi ý: Ta có: ( x++)2  2 (x2+y2) = 2 => A  2  <i>a</i>  2  2  <i>A</i> 2

<b>PHẦN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH:</b>

Bài 86: ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình .

{

mx₂<i>_x−</i>₊ny<i>_y</i>₌=<i>_n</i>5
Giải hệ khi m = n = 1 .

Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm

{

<i>x</i>=<i>−</i>

√

3
<i>y</i>=

_√

3+1

Bài 87: Cho hệ phương trình

¿

3<i>x −</i>my=3
<i>−</i>mx+3<i>y</i>=<i>−</i>3

¿{
¿
Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm .
Giả hệ phương trình với m = - 2.

Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x > 0, y > 0.
Bài 88: Giải hệ phương trình

¿

<i>x</i>+2<i>y −</i>3<i>z</i>=<i>−</i>1

2<i>x</i>+3<i>y −</i>4<i>z</i>=0

3<i>x</i>+4<i>y −</i>5<i>z</i>=1
¿{{

¿
Bài 89 : Cho hệ phương trình

¿

2<i>x</i>+my=1

mx+2<i>y</i>=1
¿{

¿
Giải và biện luận theo tham số m

Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x, y Z

Chứng mingh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M(x;y) luôn chạy trên một đường
thẳng cố định.

Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng

√

2

2 .

Hướng dẫn: 4. Theo câu 2 ta có x = y =
1

2

<i>m</i> _nên

M(x;y) thuộc đường tròn tâm O bán kính

√

22 khi và chỉ khi x2 + y2 = r2 =

1
2_





2 2

2

1 1 1 2 1

2 2 2 ₂ 2

<i>m</i> <i>m</i> <i>_m</i>

   

   

   

 

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài 90: Cho hệ phương trình:
3
1 ₁
2
<i>mx y</i>
<i>x y</i>
 



 


Giải hệ phương trình khi m =

3
2


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 91: Cho hệ phương trình

2 1

( 1) 2

<i>mx</i> <i>my m</i>

<i>x</i> <i>m</i> <i>y</i>

  




  



1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M( x; y) ln ln thucộc một đường thẳng
cố định khi m thay đổi.

2. Tìm m để M thuộc góc phần tư thứ nhất.

3. Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 5.
Hướng dẫn:Khi m khác 0 và 1 thì hệ có nghiệm duy nhất

1_; 1

<i>m</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>m</i> <i>m</i>

 
Ta có

1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i>m</i>

       

Vậy M thuộc đường thẳng có pt y = -x + 1.
Bài 92: Giải các hệ phương trình sau:

a )

1

2 4 8

3 9 27

<i>x y z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

  



  

   

 _b)

2 3 11

2 3 2

3 2 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y z</i>

<i>x y</i> <i>z</i>

  


  

 _{ } _


KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )

Bài 93: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ;

{

(<i>m_x</i>+1)<i>x − y</i>=<i>m</i>+1

+(<i>m−</i>1)<i>y</i>=2

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 94: Giải hệ phươnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
a)

{

₂|<i>x_{y −}</i>|+1₅=<i>y</i>

=<i>x</i> b)

{

<i>x −</i>|<i>y</i>|=2
<i>x</i>

4+

<i>y</i>

4=1

c)

{

|<i>y_y</i>+1|=<i>x −</i>1
=3<i>x −</i>12

Bài 95: Cho hệ phương trình :

{

2_bx<i>x₋</i>+by_ay=₌<i>−₋</i>4₅
a)Giải hệ phương trình khi <i>a</i>=|<i>b</i>|

b)Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm :
* (1;-2)

* (

√

2<i>−</i>1<i>;</i>

√

2 )

*Để hệ có vơ số nghiệm

Bài 96:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:

{

mx₄<i>_{x −}− y</i>_my=2<i>m</i>

=6+<i>m</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

{

_ax<i>x</i>+<i>_·</i>ay=1
+<i>y</i>=2
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vơ nghiệm

Bài 98 :Giải hệ phương trình sau:

{

<i>x</i>2+xy+<i>y</i>2=19

<i>x −</i>xy+<i>y</i>=<i>−</i>1

Bài 99*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:

{

|<i>x −</i>1|+|<i>y −</i>2|=1

(x − y)2+<i>m</i>(<i>x − y −</i>1)<i>− x</i>+<i>y</i>=0

Bài 100 :GiảI hệ phương trình:

{

2<i>x</i>

2

<i>−</i>xy+3<i>y</i>2=13

<i>x</i>2<i>₋</i>_{4 xy}<i>₋</i>₂<i>_y</i>2

=<i>−</i>6

Bài 101*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :

{

<i>a</i>3+2<i>b</i>2<i>−</i>4<i>b</i>+3=0

<i>a</i>2

+<i>a</i>2<i>b</i>2<i>−</i>2<i>b</i>=0 .Tính <i>a</i>
2

+<i>b</i>2

Bài 102:Cho hệ phương trình :

{

(<i>a</i>+1)<i>x − y</i>=3

<i>a</i>.<i>x</i>+<i>y</i>=<i>a</i>

a) Giải hệ phương rình khi a=-

√

2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

<b>PHẦN 4: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ</b>

¿
¿

¿ Bài 103: Cho hàm số :

y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-

√

2 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
bằng 2+

√

2 .

c) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1
Bài 104: Cho hàm số : <i>y</i>=2<i>x</i>2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) <i>y</i>=mx<i>−</i>1 theo m

d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 105: Cho (P) <i>y</i>=<i>x</i>2 và đường thẳng (d) <i>y</i>=2<i>x</i>+<i>m</i>

1.Xác định m để hai đường đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hồnh độ x=-1. Tìm
hồnh độ điểm cịn lại . Tìm toạ độ A và B

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.

Bài 106: Cho đường thẳng (d) 2(<i>m−</i>1)<i>x</i>+(<i>m −</i>2)<i>y</i>=2

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) <i>y</i>=<i>x</i>2 tại hai điểm phân biệt A và B

b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 107: Cho (P) <i>y</i>=<i>− x</i>2

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vng góc
với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng

√

2
Bài 108: Cho đường thẳng (d) <i>y</i>=3

4 <i>x −</i>3

a) Vẽ (d)

b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bài 109: Cho hàm số <i>y</i>=|<i>x −</i>1| (d)

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phương trình |<i>x −</i>1|=<i>m</i>
Bài 110: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng :

(d) <i>y</i>=(<i>m−</i>1)<i>x</i>+2

(d') <i>y</i>=3<i>x −</i>1

a) Song song với nhau
b) Cắt nhau

c) Vuông góc với nhau

Bài 111: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng :

(<i>d</i>1)<i>y</i>=2<i>x −</i>5

(<i>d</i>₂)<i>y</i>=<i>x</i>+2
(<i>d</i>₃)<i>y</i>=<i>a</i>.<i>x −</i>12

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 112: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 ln đi qua một điểm cố định
Bài 113: Cho (P) <i>y</i>=1

2<i>x</i>

2

và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d)
đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

Bài 114: Cho hàm số <i>y</i>=|<i>x −</i>1|+|<i>x</i>+2|

a) Vẽ đồ thị hàn số trên

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình |<i>x −</i>1|+|<i>x</i>+2|=<i>m</i>
Bài 115: Cho (P) <i>y</i>=<i>x</i>2 và đường thẳng (d) y=2x+m

a) Vẽ (P)

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Bài 116: Cho (P) <i>y</i>=<i>−x</i>
2

4 và (d) y=x+m

a) Vẽ (P)

b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm
có tung độ bằng -4

d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vng góc với (d') và đi qua giao điểm của (d')
và (P)

Bài 117: Cho hàm số <i>y</i>=<i>x</i>2 (P) và hàm số y=x+m (d)

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vng góc với (d) và tiếp xúc với (P)

c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Áp dụng: Tìm m sao cho
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3

√

2

Bài upload.123doc.net: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( <i>d</i>₁ _{) y=-2(x+1)}

a) Điểm A có thuộc ( <i>d</i>₁ _{) ? Vì sao ?}

b) Tìm a để hàm số <i>y</i>=<i>a</i>.<i>x</i>2 (P) đi qua A

c) Xác định phương trình đường thẳng ( <i>d</i>₂ _{) đi qua A và vng góc với (} <i>d</i>₁ ₎

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( <i>d</i>₂ _{) ; C là giao điểm của (} <i>d</i>₁ _{) với trục tung .}
Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC

Bài 119: Cho (P) <i>y</i>=1₄<i>x</i>2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hồnh độ lầm
lượt là -2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)

<i>c)</i> Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ <i>x∈</i>[<i>−</i>2<i>;</i>4] sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.

(<i>Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hồnh độ </i> <i>x∈</i>[<i>−</i>2<i>;</i>4] <i> có nghĩa là A(-2;</i> <i>yA</i> <i>) và B(4;</i> <i>yB</i> <i>)</i><i> tính</i>

<i>y_{A ;}; y_B</i> <i>)</i>

Bài 120: Cho (P) <i>y</i>=<i>−x</i>
2

4 và điểm M (1;-2)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi <i>x_A;x_B</i> _{lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để} <i>xA</i>

2

<i>xB</i>+<i>xAxB</i>

2

đạt giá trị
nhỏ nhất và tính giá trị đó

d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hồnh và S là diện tích tứ giác
AA'B'B.

*Tính S theo m

*Xác định m để S= 4(8+<i>m</i>2

√

<i>m</i>2+<i>m</i>+2)
Bài 121: Cho hàm số <i>y</i>=<i>x</i>2 (P)

a) Vẽ (P)

b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình
đường thẳng AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Bài 122: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) <i>y</i>=<i>−</i>1

4<i>x</i>

2

và đường thẳng (d) <i>y</i>=mx<i>−</i>2<i>m −</i>1

a) Vẽ (P)

b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 123: Cho (P) <i>y</i>=<i>−</i>1

4<i>x</i>

2

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc
m.

a) Vẽ (P) . CMR (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B <i>∀m∈R</i>
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất

Bài 124: Cho (P) <i>y</i>=<i>x</i>
2

4 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(
3

2<i>;</i>1 ) có hệ số góc là m

a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)

c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Bài 125: Cho (P) <i>y</i>=<i>x</i>

2

4 và đường thẳng (d) <i>y</i>=<i>−</i>

<i>x</i>

2+2

a) Vẽ (P) và (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 126: Cho (P) <i>y</i>=<i>x</i>2

a) Vẽ (P)

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình
đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 127: Cho (P) <i>y</i>=2<i>x</i>2

a) Vẽ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 và điểm B có hồnh độ x=2 . Xác định các giá trị
của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 128: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình (<i>d</i>1)<i>x</i>+<i>y</i>=<i>m</i>
(<i>d</i>₂)mx+<i>y</i>=1 cắt
nhau tại một điểm trên (P) <i>y</i>=<i>−</i>2<i>x</i>2

<b>PHẦN 5: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH</b>

<i><b>1. CHUYỂN ĐỘNG</b></i>

Bài 129: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một
xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về
A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều
chạy với vận tốc không đổi

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài 131: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở
về A .Thời gian xi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến
A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h

Bài 132: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và
một đoạn đường dốc . Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40
km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian
để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài qng đường người đó đã đi.
Bài 133: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30
Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được 3₄ quãng đường AB , xe con tăng
vận tốc thêm 5 Km/h trên qng đường cịn lại . Tính qng đường AB biết rằng xe con đến B
sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 134: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi
từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn

vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1
giờ 30 phút.

Bài 135:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau .
Sau 1h40’ thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn
hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h.

Bài 136: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với
vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến
mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?

Bài 137: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một
người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu khơng có gì thay đổi thì sẽ
đuổi kịp người đi xe máy tại B . Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB , người đi xe đạp
giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đường AB
Bài 138: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B
người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính qng đường
AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 139: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ngược
từ B về A . Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai
bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 140: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc
đầu ơ tơ đi với vận tốc đó , khi cịn 60 Km nữa thì được một nửa quãng đường AB , người lái
xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại . Do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ
so với dự định . Tính quãng đường AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài 142: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận
tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Bài 143: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xi dịng 108 Km và ngược dịng 63 Km.
Một lần khác , ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81 Km và ngược dịng 84 Km . Tính
vận tốc dịng nước chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.

Bài144: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút .
Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nước là 4 Km/h.

Bài 145: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nơ
chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận
tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.

Bài 146: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 Km
trong một thời gian đã định . Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi
đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa qng đường cịn lại . Tính thời gian xe
lăn bánh trên đường .

Bài 147: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định .
Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe
phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ơtơ.

Bài148: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi cịn cách B 30
Km , người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhưng
nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren
quãng đường đã đi lúc đầu.

<i><b>2. NĂNG SUẤT</b></i>

Bài 149: Hai đội cơng nhân cùng làm một cơng việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội
làm một mình để làm xong cơng việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ

hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?

Bài 150: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhưng do
cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hồn thành kế
hoạch đã định trong 24 ngày mà cịn vượt mức 104 000 đơi giầy . Tính số đơi giầy phải làm
theo kế hoạch.

Bài 151: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng
đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn
vượt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định

Bài 152: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ
xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao
nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài 154: Hai tổ cơng nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hồn thành xong công việc đã định .
Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm
nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hồn thành
công việc.

Bài 155: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ
nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc . Hỏi mỗi người làm
công việc đó trong mấy giờ thì xong .

<i><b>3. THỂ TÍCH</b></i>

Bài 156: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5
giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vịi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi

nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 157: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể khơng có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ
48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30
phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?

Bài 158: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định
thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3_{. Sau khi bơm được} 1

3 thể tích bể chứa , máy bơm hoạt

động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm được 15 m3_{. Do vậy so với quy định , bể chứa được}

bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa.

Bài 159: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có nước thì sau 1 giờ 30
phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp
trong 20 phút thì sẽ được 1₅ bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 160: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có nước thì sau 2 giờ 55 phút
sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu
chảy riêng thì mỗi vịi chảy đầy bể trong bao lâu ?

<b>PHẦN 6 : HÌNH HỌC</b>

Bài161: Cho hai đường tròn tâm O và O’_{có R > R}’_{tiếp xúc ngồi tại C . Kẻ các đường kính}

COA và CO’_{B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE}

 AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’_{tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng}

c) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’_{tại G . CMR EC đi qua G}

d) *Xét vị trí của MF đối với đường trịn tâm O’_{, vị trí của AE với đường trịn ngoại tiếp tứ}

giác MCFE

Bài 162: Cho nửa đường trịn đường kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vng góc với CD .
Từ điểm E bất kì trên nửa đường tròn , dựng tiếp tuyến với đường tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy
tại Q.

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED
b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= <i>R</i>₂ _{. CMR} <i>Δ</i>POQ

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đường trịn tâm O và hình thang vng CPQD khi
chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD

Bài 163: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB , COD vng góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đường tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với

đường tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .

a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?

c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào ?

Bài 164: Cho đường tròn tâm O và một điểm A trên đường tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax
. Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp được

b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.

c) Hạ BK  Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của
điểm H

Bài 165: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O . Các đường cao AD , BK
cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đường trong tại F . Vẽ đường kính BOE .

a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI = BH₂ và H ; F đối xứng nhau qua AC

Bài 166: Cho (O,R) và (O’_,R’ _{) (với R>R}’ _{) tiếp xúc trong tại A . Đường nối tâm cắt}

đường tròn O’_{và đường tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc}

với BC . Nối A với M cắt đường trịn O’_{tại E .}

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’_{P = R ; OP = R}’

c) Xét vị trí của PE với đường tròn tâm O’

Bài 167: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đường trịn bán kính
OB . Đường trịn này cắt đường trịn O tại C và D

a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B

Bài 168: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường trịn đó tại hai điểm cố
định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngồi đoạn AB người ta kẻ hai
tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .

a) Tính các góc của <i>Δ</i>MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45 ❑0 .

b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đường tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp  MPQ khi M chạy trên d

Bài 169: Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh
BC tại E và cắt đường tròn tại M .

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Bài 170: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong  ABC và
tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vng góc MI ,
MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là
giao điểm của MC , IH.

a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp được . Suy ra PQ  BC

Bài 171: Cho  ABC ( AC > AB ; <i>B</i>^<i>_{A C}</i> _{> 90}0_{) . I , K theo thứ tự là các trung điểm}

của AB , AC . Các đường trịn đường kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt
đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được

c) Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy

d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp  AEF . Hãy so sánh
độ dài các đoạn thẳng DH , DE .

Bài 172: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA = <i>R</i>

√

2 , một đường thẳng (d) quay
quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .

a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B
, C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vng

c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của
(O)

Bài173: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên
cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.

a)  AFC và  BEC có quan hệ với nhau như thế nào ? Tại sao ?
b) CMR  FEC vuông cân

c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn . CMR
tứ giác BECD nội tiếp được

Bài174: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB , CD vng góc với nhau . E là một
điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( <i>E ≠ B ; E ≠ D</i> ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.

a) CMR  AMC đồng dạng  ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số

CN
ND

¿❑

❑

Bài 175: Một điểm M nằm trên đường trịn tâm (O) đường kính AB . Gọi H , I lần lượt là
hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của
AM , HI.

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đường trịn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường
trịn (O) đường kính AB

Bài 176: Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB , AC lần lượt tại M, N .

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .

c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định , khi góc xOy quay xung
quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC

Bài177: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB=2R (
<i>M ≠ A , B</i> ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường trịn đó . Đường Mz cắt Ax , By
lần lượt tại N và P . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng
minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 178: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(cung AB khơng chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lượt tại M và N .

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn

b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB

Bài 179: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( <i>B ≠ C</i> ) và
vẽ đường trịn tâm (O’_{) đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây}

cung DE vng góc với AB , DC cắt đường tròn (O’_{) tại I .}

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’_{) và MI}2_{= MB.MC}

<i> (Lớp10- bộ đề toán)</i>

Bài 180: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một
nửa đường tròn . Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp
xúc với đường kính AB tại N . Đường trịn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C ,
D

a) Chứng minh : CD // AB .

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 181: Cho một đường trịn đường kính AB , các điểm C , D ở trên đường tròn sao cho C
, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính
giữa các cung AC , AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lượt là H , I ;
giao điểm của MD với CN là K

a) CMR: <i>Δ</i>NKD<i>; Δ</i>MAK cân

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp được . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK

Bài 182: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đường trịn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM
cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn tại
điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp được

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di
động.

Bài 183: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ;
gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A
của đường tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .

a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định
.

b) Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường trịn (B;BA)

c) Đường tròn đi qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đường thẳng
MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.

d) Xác định vị trí của M sao cho <i>M_{K A}</i>^ ₌₉₀0 _.

Bài 184: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của
cung AB khơng chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD
và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:

a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được
c) IK // AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A

Bài 185: Cho hai đường trịn (O1) và (O2) tiếp xúc ngồi với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến

chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lượt tại các điểm B , C và cắt Ax tại

điểm M . Kẻ các đường kính BO1D và CO2E.

a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR: <i>Δ</i> O1MO2 vuông

c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng

d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với

đường thẳng d

Bài 186: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R

√

2 cố định và một điểm M di động trên
cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ;
P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là
giao điểm của các đường thẳng PB , QA.

a) CMR : PQ là đường kính của đường trịn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

d) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đường
tròn cố định.

Bài 187: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .

a) CMR : BM // OP

b) Đườngthẳng vng gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại
sao ?

c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm
của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài 188: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB và CD vng góc nhau . Trong đoạn
thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N
. Đường thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P .

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp được

b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi

d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định

Bài 189: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO ,
AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại
các điểm thứ hai E , F .

a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp được

c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’)

Bài 190: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường
tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung
trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm
trong góc BOM ).

a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b) CMR : CA và DB vng góc với AB

c) CMR : <i>Δ</i>AMB đồng dạng <i>Δ</i>COD

d) CMR : AC.BD = R2

Bài 191: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn .
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau

tại K .

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi

b) Hạ ΙΡ<i>⊥</i>ΑΜ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)

c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc
đường tròn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI ln ln tiếp xúc với một đường tròn
cố định.

Bài 192: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn
sao cho cung AC < 900_và <i>_C_{O D}</i>_^

=900 . Gọi M là một điểm trên nửa đường trịn sao cho C là

điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?

b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt
tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được.

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B ,
K , S cùng thuộc một đường tròn

Bài 193: Cho <i>Δ</i>ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và
tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên

cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vng góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương
ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

b) CMR : MI2_{= MH . MK}

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được . Suy ra PQ MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

Bài 194: Cho tam giác ABC vuông tại A (BˆC)ˆ . AH là đường cao, AM là trung tuyến.
Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AD ở D và đường thẳng AC ở E.

Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.

Chứng minh góc MAE bằng góc ADE và MA_DE

Chứng minh 4 điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì?

Bài 195: Cho tam giác ABC có AB = AC. Các cạnh AB, BC,CA tiếp xúc với đường tròn (O)
tại các điểm tương ứng là D,E,F.

Chứng minh DF//BC và 3 điểm A,O,E thẳng hàng.

Gọi giao điểm thứ hai của BF với (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. Chứng minh
BFC DNB và N là trung điểm của BE.

Gọi (O’) là đường tròn đi qua 3 điểm B,O,C. Chứng minh AB,AC là các tiếp tuyến của (O’)
Bài 196: Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD,BE,CF của
ABC cắt nhau tại H. Tia AH và AO cắt đường tròn tương ứng tại điểm thứ hai là K và M.
Chứng minh

a. MK//BC
b. DH = DK

c. HM đi qua trung điểm của BC

Bài 197: Gọi C là một điểm tuỳ ý trên đoạn AB cho trước. Vẽ hai nửa đường trịn đường kính
AC và BC ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Kẻ tiếp tuyến chung PQ của hai nửa đường trịn
(P thuộc nửa đường trịn đường kính AC; Q thuộc nửa đường trịn đường kính BC). Tia AP và
tia BQ cắt nhau tại M.

a. Khi C di chuyển trên đoạn AB thì M di chuyển trên đường nào?
b. Chứng minh tứ giác APQB nội tiếp được đường tròn

Bài 198: Cho đường tròn nội tiếp trong ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M
và N. Đường thẳng MN cắt tia phân giác góc B và C lần lượt tại E và G. Chứng minh:

EB _EC

Tứ giác BGEC nội tiếp.

Bài 199: Cho đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong tại C (R>R’). ABC là đường kính
chung. M là trung điểm của AB, đường vng góc tại M với AB cắt (O) tại D và E. CD cắt
(O’) tại F.

Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
Chứng minh E, B, F thẳng hàng

Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O’)

Bài 200: Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC = 2R (AB>AC). Dựng hình vng ABED có

D_{AC kéo dài. AE cắt (O) tại F.}

BCF là tam giác gì? Tại sao?

Gọi K = CF_{ED. Chứng minh tứ giác BCDK nội tiếp.}

Gội H là trung điểm của dây CF. Tính HK theo R

Bài 201: Cho (O;R). Từ A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB; AC. Lấy M thuộc cung nhỏ BC
(MB, C)_{. Hạ MD; ME; MF lần lượt vng góc với BC; CA; AB.}

Chứng minh tứ giác MDBF và MDCE nội tiếp.
Chứng minh FBM DCM và DBM ECM
Tìm vị trí của M để tích ME.MF lớn nhất

Bài 202: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). BC cố định, gọi E; F theo thứ tự là điểm
chính giữa cung AB và AC. Gọi giao điểm của DE với AB và AC lần lượt là H và K.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Gọi I = BE_{CD. Chứng minh AI luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi trên cung BC}

Chứng minh tỷ số
AH

AK_{khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A.}

Bài 203: Gọi AB là đường kính của một đường trịn tâm O và điểm M là một điểm trên đường
trịn đó (M khác A, B) Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở E. Kẻ MPAB (P _{AB) và}

kẻ MQAE (Q _{AE). Gọi I là trung điểm của PQ.}

Chứng minh ba điểm O, I, E thẳng hàng

Chứng minh hệ thức AQ.AE = AO.AP = 2AI2
EB cắt PM tại K. Chứng minh IK // AB.

Cho AE = 2 3 và bán kính của (O) là R = 2. Tính thể tích của hình được tạo ra do tứ giác
EMPA quay một vòng quanh AE.

Bài 204: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
AMN với (O). (B,C,M,N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là
giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O).

Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AOC = BIC

Chứng minh BI//MN.

Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài 205: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN
vng góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và
MN.

Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
Tính tích AH.AK theo R

Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất
đó.

Bài 206: Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong

của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đường trịn tại M, đường phân giác ngồi của góc BAC
cắt đường thẳng BC tại E, cắt đường trịn tại N. Gọi K là trung điểm của DE.

Chứng minh rằng:

a. MN vng góc với BC tại trung điểm I của BC.
b. Góc ABN = góc AEK

c. KA là tiếp tuyến của đường tròn(O)

Bài 207: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn O, bán kính R. Trên cung nhỏ BC
lấy một điểm M, trên dây AM lấy AD = MC.

Tính góc BMC; chứng minh rằng  ABD =  CBM

Tính diện tích phần hình trịn tâm O bán kính R nằm ngoài ABC.
Giả sử AM cắt BC tại I. Chứng minh rằng:

AB2 = AI.AM và (AB + AI).(AB - AI) = BI.IC

Bài 208: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn AB lấy một điểm D (D khác A và B) và
vẽ đường trịn (O) có đường kính BD. Đường tròn (O) cắt BC tại E. Các đường thẳng CD cắt
đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F

Chứng minh ACED là một tứ giác nội tiếp.
Chứng minh BC_BD=BA

BE

Chứng minh AED = ABF

Chứng minh các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui.

Bài 209: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Một tia Ax
nằm giữa hai tia AB và AC lần lượt cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Biết góc BAC = 300..Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BC và dây cung BC theo
R.

Bài 210 : Cho tam giác vuông ABC (C = 900 ) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung
nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ). Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC,
đường trịn này cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C ) . Đoạn thẳng BM cắt đường tròn
tâm A ở điểm N .

Chứng minh MB là tia phân giác của góc CMD .

Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trịn tâm A nói trên .
So sánh góc CNM với góc MDN .

Cho biết MC = a , MD = b . Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b .

Bài 211: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp . P là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD .
Chứng minh hình chiếu vng góc của P lên 4 cạnh của tứ giác là 4 đỉnh của một tứ giác có
đường trịn nội tiếp .

M là một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành . Chứng minh rằng nếu góc
CBM = góc CDM thì góc ACD = góc BCM .

Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để :
<i>S</i>_ABCD=1

2(AB . CD+AD . BC)

Bài 212: Cho tam giác vng ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính
AD .

Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật .

Gọi M , N thứ tự là hình chiếu vng góc của B , C trên AD , AH là đường cao của tam giác
( H trên cạnh BC ) . Chứng minh HM vng góc với AC .

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN .

Gọi bán kính đường trịn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC là R và r . Chứng
minh <i>R</i>+<i>r ≥</i>

√

AB . AC

Bài 213: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I .

Chứng minh rằng OI vuông góc với BC .
Chứng minh BI2 = AI.DI .

Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BC .
Chứng minh góc BAH = góc CAO .

d) Chứng minh góc HAO = B  C

Bài 214: Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Giả sử BAM BCA 
Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA .

Chứng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So sánh BC và đường chéo hình vng cạnh là AB .
Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC .

Đường thẳng qua C và song song với MA , cắt đường thẳng AB ở D . Chứng tỏ đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC

<b>Hướng dẫn:</b>

194.

a. Có góc EAD = 90O  _{DE là đường kính} _{ba điểm D, H, E thẳng hàng.}

b. Sử dụng các  DHA, AMB và AMC cân, HAB vuông

c. Theo b có góc MAE = ADE và cùng nhìn đoạn BE vậy 4 điểm B, C, D, E nằm trên đường
trịn tâm O.

- Tứ giác AMOH là hình bình hành. Có OM // AH ( cùng _{BC)……… 2.2}

a. Các ADF và ABC cân  ….  DF//BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

c. BO là phân giác góc DOO’ ; OO’B cân tại O’  OD//O’B mà OD  AB  O’B AB
195.

a.

BC AK

MK // BC
KM AK

 



 _

b.

O
O

KAC KBC

KBC EBC
KAC C 90

KAC EBC
EBC C 90

 



 

   

 

 _

  _ _

HBK cân ( đường cao trùng với đường phân giác)
 DH = DK

c.

BE AC

BE // MC
MC AC

HBMC
BM AB

BM // CF
CF AB



 



 

 _ _




  _



 _

 _ _ _{là hình bình hành}

 đpcm
196.

Chứng minh góc AMB không đổi bằng 90O. Vậy khi C di chuyển trên đoạn AB thì M di
chuyển trên nửa đường trịn dường kính AB nằm cùng phía với P

Trên đường trịn đường kính AC có PAC = QPC =
1

2 _{sđ PC}

APC và AMB vuông  APQ + ABQ = 180O. Hay tứ giác APQB nội tiếp
197.

a. Chứng minh tứ giác ONEC nội tiếp  ENC = EOC (1)
mà ENC = 90 2

<i>o</i> <i>A</i>


(2) EOC =
1

2 _{(B + C)} ₍₃₎
Từ 1,2,3 suy ra đpcm

b. Chứng minh tương tự để có GB  GC. Do đó BEC + BGC = 180O .
198

ADBE là hình thoi.

Chứng minh BF // AD rồi suy ra E, B, F thẳng hàng
Tứ giác MECF nội tiếp

MFE = MCE  MFE = MCF  MFE = O’FC  MFO’ = 90O
Hay MF là tiếp tuyến của (O’)

199.

BCF là tam giác vuông cân

BCF = 45O & BDE = 45O  4 điểm BCDK thuộc đường trịn
Có F là trung điểm của CK. 

3
HK CK

4


BCK là tam giác vuông cân tại B  CK = 2R 2
200.

c. Từ FBM DCM và DBM  ECM suy ra các tỷ số và suy ra

2

FM DM

FM.EM DM

DM EM   _{Vậy tích ME.MF lớn nhất khi MD lớn nhất}
Hay M là điểm chính giữa cung BC

201.

Sử dụng tính chất của góc có đỉnh bên trong đường trịn suy ra AHK cân tại A

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

202.

QMPA là hình chữ nhật  I là trung điểm của AM  OI  AM.
Mà EI AM nên O, I, E thẳng hàng

b. Chứng minh EAO : PAQ  EA.AQ = AO.AP (1)

Chứng minh APM : AIO  AP.AO = AM.AI = AI2 (2)
từ (1) Và (2)  đpcm

c. Chứng minh BKP : BEA 

<i>BP KP</i>

<i>BA EA</i> ₍₃₎

Chứng minh BMP : OEA 

<i>MP BP</i>

<i>EA OA</i> ₍₄₎

từ (3) Và (4) rút ra tỷ số
<i>KP</i>

<i>MP</i> __{K là trung điểm của MP}__{IK là đường trung bình của}__MAP
 IK // AP

d. <i>V V V</i> 2 1_{Trong đó:}

V1 là thể tích hình nón khi quay QEM quanh QE có

2
1 1 . .₃
<i>V</i>  <i>QE QM</i>
V2 là thể tích hình trụ khi quay hình chữ nhật QMPA quanh QA

2

2 . .

<i>V</i> <i>QA QM</i>


2 4 2

. ( )

3 3

<i>V</i>  <i>QM</i> <i>QA</i>

Dựa vào câu (b) và AMQ vuông tại A suy ra QM = 3 và QA = 3
Vậy <i>V</i> 12 3

203.
b. BIC =

1

2_{BOC (góc nơi tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)}
và AOC =

1

2_{BOC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)}

c. Có AOC = AEC (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn đi qua 4 điểm A, O, E,
C) Kết hợp với (b) suy ra BIE = AEC (vị trí so le trong) suy ra BI // MN

204.

a. Xét tổng hai góc đối K và C của tứ giác BCHK
b. ACH : AKB  AH.AK = AB.AC = 2R.
1

2 _{R = R2}
205.

a. Có NA  AM (tính chất của tiếp tuyến trong và ngồi) MN là đường kính của (O) (1)
Chứng minh AED : IEN IEN vuông tại I (2)

Từ (1) và (2)  đpcm

b. Chứng minh ABN = AMN (góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
AMN = AEK ( cùng phụ với ANM )

206

Góc BMC = 120O;  ABD =  CBM (c.g.c)

Theo tính chất trọng tâm  đều  đường cao của  là BH =
3
2<i>R</i>
áp dụng tỷ số lượng giác góc 60O tính được độ dài cạnh  là BC =

3
3 <i>R</i>


2

3
4
<i>ABC</i>

<i>S</i>_V  <i>R</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Chứng minh BAI : MAB  AB2 = AI.AM

AB2 = AI.AM = AI.(AI + IM) = AI2 + AI.IM  AB2 - AI2 = AI.IM
 (AB – AI)(AB+AI) = AI.AM (1)

Chứng minh ABI : CMI  BI.IC = AI.IM (2). Từ (1)(2)  đpcm
207.

Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180O (A + E)
Chứng minh ABC : EBD  tỷ số

Có AED = ACD (1) ( cung chắn cung AD của đường tròn (ACED))
ACD + ADC = 90O = FDB + FBD  ACD = FBD (2)

Từ (1)(2)  đpcm

d. Gọi giao điểm của BF và AC là Q. QBC có FC và BA là các đường cao
 D là trực tâm. Mà DE  BC  Q, D, E thẳng hàng  đpcm

208.

Chứng minh ADB : ABE  đpcm
Từ O hạ OH BC. Có BOC = 60O

. .60 .

360 6

<i>qOBCO</i>

<i>R</i> <i>R</i>

<i>S</i>  

OHC cân tại O mà BOC = 60OBOC đều 

3
2

<i>OH</i>  <i>R</i>



2

1 _. 3 3

2 2 4

<i>OBC</i>

<i>S</i>_V  <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

 Tính S hình viên phân.
ĐỀ ƠN TẬP SỐ 1
Bài 1: (0,75 điểm) Chứng minh đẳng thức:

3 2 6 150 1 4

3 3

27 3 6

 _ 

  

 

 _ 

 

Bài 2: (1,25 điểm) Rút gọn các biểu thức:





2 2
3

4 9 6 1
3 1

<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>

  

 _với

1
0

3

<i>x</i>

 
.
b)

4 7 4 7
4 7 4 7

<i>B</i>   

 

Bài 3: (2,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị (P) của hàm số
2

<i>y ax</i> _{và điểm B khơng thuộc (P).}
Tìm hệ số <i>a</i> và vẽ (P).

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của
(P) và đường thẳng AB.

Bài 4: (1,5 điểm) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ
Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại
một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế - Hà
Nội dài 645 km.

Bài 5: (2,75 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường trịn đường kính
AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vng góc của E
xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:

Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được;
E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH;
Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đường tròn.

Bài 6: (1,25 điểm) Để làm một cái phểu hình nón khơng nắp bằng bìa cứng bán kính đáy
12

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

quanh của hình nón, sau đó cuộn lại. Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài
44cm, chiều rộng 25cm; tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, có thể sử dụng tấm
bìa nào để làm ra cái phểu hình nón nói trên mà khơng phải chắp nối ? Giải thích.

Đề ơn tập số 2

Bài 1: (1,75 điểm) a. Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị của biểu thức:
3 2 3 6

3 3 3

<i>A</i>  

Rút gọn biểu thức





  

_  _  

   

 

1 1 1

: 0 vµ 1
1 2 1

<i>x</i>

<i>B</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> _.

Bài 2: (2,25 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm <i>B</i>



4 ; 0



và <i>C</i>



1 ; 4



.

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng <i>y</i>2<i>x</i> 3_.
Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.

Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc tạo bởi
đường thẳng BC và trục hồnh Ox (làm trịn đến phút).

Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn
đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 3: (2 điểm)

a. Tìm hai số <i>u</i> và <i>v</i> biết: <i>u v</i> 1,<i>uv</i> 42 và <i>u v</i> .

b. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xi dịng từ bến A đến
bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể
từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước
yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.

Bài 4: (2,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa
đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.

Chứng minh rằng: _{DOE là tam giác vuông.}
Chứng minh rằng: AD BE = R 2_.

Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường trịn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ
nhất.

Bài 5: (1,5 điểm) Một cái xơ dạng hình nón cụt có

bán kính hai đáy là 19 cm và 9 cm, độ dài đường
sinh <i>l</i>26cm_{. Trong xô đã chứa sẵn lượng nước có}
chiều cao 18 cm so với đáy dưới (xem hình vẽ).
Tính chiều cao của cái xơ.

Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ?

A
O'

A'

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>Đáp án và thang điểm Đề ôn tập số 1</b>

Bài 1 (0,75)













2 3 3 6 3 1

3 2 6 6

3
27 3 3 3 3 3 3 1

 



  

  

(0,25)
150 5 6

3  3 _(0,25)

3 2 6 150 1 6 5 6 1 4 6 1 4

3 3 3 3 3

27 3 6 6 6

 _   

       

   

 _   

    _(0,25)

Bài 2a:( 0,75)









2

2 2 6 3 1

3

4 9 6 1

3 1 3 1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>


  

  _(0,25)





6 3 1
6 3 1

6

3 1 3 1

<i>x x</i>

<i>x x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 

  
 
(vì
1
0
3
<i>x</i>
 

nên <i>x</i>0_và3<i>x</i> 1 0₎ _(0,50)

Bài 2b:( 0,5)



4 7



2



4 7



2 4 7 4 7

4 7 4 7

9 9 3

4 7 4 7

    
 
    
 

<i>B</i>
(0,25)
4 7 4 7 8

3 3 3

<i>B</i>    

(vì 16 7  4 7_). _(0,25)
Bài 3 (2,50)

3.a + Điểm A có tọa độ: <i>A</i>(2; 3) _. _(0,25)

+

3

( )

3 4

4

<i>A P</i>



  

<i>a</i>

 

<i>a</i>

(0,25)
+ Lập bảng giá trị và vẽ đúng đồ thị (P) (0,50)

3.b + Phương trình đường thẳng có dạng <i>y ax b</i>  _{, đường thẳng này đi qua A và B nên ta có}

hệ phương trình:

3 2
6 2
<i>a b</i>
<i>a b</i>
  


  
 _(0,50)

+ Giải hệ phương trình ta được:

3 9
;
4 2
<i>a</i> <i>b</i>
 
 
 
 

Vậy phương trình đường thẳng AB là:

3 9
4 2

<i>y</i> <i>x</i>

. (0,25)

+ Phương trình cho hồnh độ giao điểm của (P) và đường thẳng AB là:

2 2

3 3 9

6 0
4<i>x</i> 4<i>x</i> 2 <i>x</i> <i>x</i>

      

(0,25)
Giải phương trình ta có 1 2 2

27
2; 3

4

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>y</i> 

(0,25)
Vậy tọa độ giao điểm thứ hai của (P)

và đường thẳng AB là

27
3;
4
 

 
 

 _. _(0,25)

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. Khi đó, x > 0 và vận tốc của
xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h). (0,25)

Theo giả thiết, ta có phương trình:
300 5 345

5 3

<i>x</i>   <i>x</i> _(0,50)









2

900<i>x</i> 5<i>x x</i> 5 1035 <i>x</i> 5 <i>x</i> 22<i>x</i> 1035 0

         _(0,25)

Giải phương trình ta được: <i>x</i>123 (loại vì x > 0) và <i>x</i>2 45 0 . (0,25)
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h

và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h (0,25)
Bài 5 (2,75) Vẽ hình: (0,25)

a) Tứ giác ABEH có: <i>B</i> 900_{(góc nội tiếp trong}
nửa đường trịn);

 ₉₀0

<i>H</i>  _{(giả thiết) Nên: ABEH nội tiếp được.}
(0,25)

Tương tự, tứ giác DCEH có <i>C H</i>  900_{, nên nội}
tiếp được. (0,25)

b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: <i>EBH</i> <i>EAH</i>

(cùng chắn cung <i>EH</i> ₎ _(0,25)

Trong (O) ta có: <i>EAH CAD CBD</i>  _{(cùng chắn cung}<i>CD</i> _). _(0,25)
<i>EBH</i> <i>EBC</i> ,nên BE là tia phân giác của góc <i>HBC</i>. (0,25)
+ Tương tự, ta có: <i>ECH</i> <i>BDA BCE</i> _,

nên CE là tia phân giác của góc <i>BCH</i>. (0,25)
+ Vậy: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.

Suy ra EH là tia phân giác của góc <i>BHC</i> (0,25)

c) Ta có I là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ECD, nên <i>BIC</i>2<i>EDC</i>_{(góc nội}
tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung <i>EC</i> ). Mà <i>EDC EHC</i>  _{, suy ra}<i>BIC BHC</i>  _.

(0,25)

+ Trong (O), <i>BOC</i>2<i>BDC</i><i>BHC</i> _{(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung}<i>BC</i> _).
(0,25)

+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc <i>BHC</i> dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B, C, H, O, I

cùng nằm trên một đường tròn. (0,25) Câu 6 (1,25)

+ Đường sinh của hình nón có chiều dài: <i>l</i> <i>r</i>2<i>h</i>2 20(<i>cm</i>)_. _(0,25)

+ Hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón là hình quạt của hình trịn bán kính <i>l</i>, số
đo của cung của hình quạt là:

0 360 360 12 ₂₁₆0
20

<i>r</i>
<i>n</i>

<i>l</i>



  

(0,25)
 ₇₂0 <i>OI</i> _cos

<i>AOI</i> <i>AOI</i>
<i>OA</i>

   <i>_OI</i> _{20cos 72}0 _{6, 2(}<i>_cm</i>₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

+ Do đó, để cắt được hình quạt nói trên thì
phải cần tấm bìa hình chữ nhật có kích thước tối thiểu: dài 40cm,
rộng (20 + 6,2) = 26,2cm. Vậy phải dùng tấm bìa B mới cắt được

hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón mà khơng bị chắp

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<b>Đáp án và thang điểm Đề ôn tập số 2</b>

Bài 1 (1,75)

1.a











 



3 3 2 6 3 3
3 2 3 6

3 3 3 3 3 3 3 3

<i>A</i>      

  

(0,25)
+





6 3 3
3 2

9 3

<i>A</i>   

  _(0,25)

+ <i>A</i> 3 2 3   3 1  _(0,25)
1.bTa có:

+





  

   

1 1 1 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

(0,25)
=







1

1

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

(0,25)

=





 



  _ 2

1 1

2 1 ₁

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

(0,25)

+



 



2

1 1 1

:

1 ₁

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

  

 

 _

(vì <i>x</i>0_và<i>x</i>1₎ _(0,25)
Bài 2 (2,25)

2.a + Đường thẳng (d) song song với đường thẳng <i>y</i>2<i>x</i> 3, nên phương trình đường thẳng
(d) có dạng <i>y</i>2<i>x b b</i> ( 3)_. _(0,25)

+ Đường thẳng (d) đi qua điểm <i>C</i>



1; 4



nên: 4  2 <i>b</i> <i>b</i> 6 3_.
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: <i>y</i>2<i>x</i>6. (0,25)

+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm <i>A x</i>( ; 0) nên 0 2 <i>x</i> 6 <i>x</i>3_{. Suy ra:}<i>A</i>



3 ; 0



(0,25)

2.b + Đồ thị hàm số

<i>y ax b</i>  _{là đường thẳng đi qua}<i>B</i>



4; 0



_và<i>C</i>



1; 4



_nên

ta có hệ phương trình:
0 4
4

<i>a b</i>
<i>a b</i>

 




 


</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

+ Giải hệ phương trình ta được:





4 16

; ;

5 5

<i>a b</i>  _ _

 _.

(0,25)

+ Đường thẳng BC có hệ số góc

4

0,8 0
5

<i>a</i>  

, nên
tang của góc '_{kề bù với góc tạo bởi BC và trục Ox là:}

0

' 0,8 ' 38 40'

<i>tg</i> <i>a</i>    

. (0,25)
+ Suy ra: Góc tạo bởi đường thẳng BC và trục Ox là  1800 ' 141 20' 0 _0,25
2.c + Theo định lí Py-ta-go, ta có:

2 2 ₂2 ₄2 _{2 5}

<i>AC</i> <i>AH</i> <i>HC</i>    _(0,25)

+Tương tự: <i>BC</i> 5242  41_.

Suy ra chu vi tam giác ABC là:

7 2 5 41 17,9( )

<i>AB BC CA</i>      <i>cm</i> _(0,25)

Bài 3 (2,0)

3.a + u, v là hai nghiệm của phương trình: <i>x</i>2 <i>x</i> 42 0 _(0,25)
+ Giải phương trình ta có: <i>x</i>16; <i>x</i>2 7 (0,25)

+ Theo giả thiết: <i>u v</i> _{, nên}<i>u</i>7;<i>v</i>6_0,25

3.b+ Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng.

Điều kiện: x > 1. (0,25)

+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B:
60

(h)
1

<i>x</i> _,

thời gian xuồng ngược dòng từ B về C :
25

(h)
1

<i>x</i> _(0,25)

+ Theo giả thiết ta có phương trình :

60 25 1
8
1 1 2

<i>x</i> <i>x</i>   _(0,25)

+ Hay 3<i>x</i>2 34<i>x</i>11 0 _{Giải phương trình trên, ta được các nghiệm:}<i>x</i>111; 2
1
3

<i>x</i> 
(0,25)

+ Vì x > 1 nên x = 11 .

Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h. (0,25)
Bài 4

4.a + Hình vẽ đúng (câu a): (0,25)

+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D,
nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân
giác góc MOB. (0,50)

+ Mà AOM và MOB là hai góc kề bù, nên <i>DOE</i> 900_{. Vậy}

tam giác DOE vuông tại O. (0,50)

4.b+ Tam giác DOE vuông tại O và OMDE_{nên theo hệ}
thức lượng trong tam giác vng, ta có:

2 2

<i>DM EM</i> <i>OM</i> <i>R</i> _{(1) (0,25)}

+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt
nhau) (2) . (0,25)

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

4.c+ Tứ giác ADEB là hình thang vng, nên diện tích của nó là:









1 1

2

2 2

<i>S</i>  <i>AB DA EB</i>   <i>R DM EM</i>   <i>R DE</i>

(0,25)

+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vng góc kẻ từ D
đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H).

Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM 

AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: <i>S</i>0 2<i>R</i>2(0,25)

Ghi chú: Nếu học sinh khơng tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa.
Bài 5 (1,5)

5.a

+ Cắt hình nón cụt bởi mặt
phẳng qua trục OO', ta được hình thang cân AA’B’B. Từ A hạ
AH vng góc với A’B’ tại H, ta có:

A'H O'A' OA 10 (cm)   _(0,25)
Suy ra:

2 2

2 2

OO' AH AA' A'H
26 10 24 (cm)

  

   _(0,25)

5.b + Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại K. Theo giả thiết
ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm). 0,25

+ Bán kính đáy trên của khối nước trong xô là <i>r</i>1O I O K KI 9 KI1  1    .

KI//A’H 1

KI AK

= KI 7,5 16,5 (cm)

HA' AH <i>r</i>

    

. (0,25)

Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:

+









2 2 2 2

1 1

1 1

. 6 19 19 16,5 16,5

3 3

<i>V</i>   <i>h r</i> <i>rr r</i>     

. (0,25)
+ <i>V</i> 5948,6 cm3 5,9486<i>dm</i>3 5,9_{lít. 0,25}

Ghi chú:

Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm tồn bài khơng làm trịn.

<b>Lưu ý:</b>

 Tài liệu chỉ có giá trị tham khảo .

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40></div>

<!--links-->