CHUONG TRINH ON THI VAO 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ</b>

<i> </i>

2

2 3

. . ( , 0)

( 0; 0)

1
.

0; ( ) ; ( )

<i>A B</i> <i>A B A B</i>

<i>A</i> <i>A</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A B</i> <i>A B</i>

<i>A</i>

<i>A B</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A A</i> <i>A</i>

 

  




  

<i></i>

<i> </i>

<i>A</i>

<i> xxác định khi A </i>



<i>₀</i>

-Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0

<i> </i>

- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

- Quy tắc rút gọn và đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc
- Các phép toán cộng , trừ, nhân, ch ia phõn thc

<b>II-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức</b>

<b>1) Tìm ĐKXĐ chú ý </b> : Trong căn

<i>0 ,Mẫu </i>

<i>_{0 , biĨu thøc chia}</i>



<i>₀</i>

<b> 2)Rót gän biĨu thøc </b>

<i> -§èi víi các biểu thức chỉ là một căn thức th ờng tìm cách đ a thừa số ra ngoài dấu căn</i>
<i>.Cụ thể là :</i>

<i> + Số thì phân tích thành tích các số chính ph ơng </i>

<i> +PhÇn biÕn thì phân tích thành tích của các luỹ thõa víi sè mị ch½n</i>

<i> -Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn </i>
<i>đồng dạng</i>

<i> - Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở</i>
<i>mẫu tr ớc,có thể khơng phải quy đồng mẫu nữa.</i>

<i> -Nếu biểu thức chứa các phân thức ch a rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức tr ớc</i>
<i> -Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu tr ớc khi</i>

<i> -Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - , cách vit</i>

<i>căn</i>

<i><b> Chỳ ý </b> : Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức khơng phụ</i>

<i>thc vµo biÕn… cịng quy về Rút gọn biểu thức</i>

<b>3) Tính giá trị của biÓu thøc </b>

-Cần rút gọn biểu thức tr ớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá
trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp

-Nếu giá trị của biến cịn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn tr ớc khi thay vào tính
<b>4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó</b>

-CÇn rót gän biĨu thøc tr íc

-Sau khi tìm đ ợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>III-Các dạng bài tập</b>

Dng 1:

Bi tp rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản

1)
2 2
2 2

149

76

457

384





2) 1

√

2+1+
1

√

3+

√

2+
1

√

4+

_√

3

3)

1

33

1

48 2 75

5 1

2





11



3

4)

_√

₉<i>_{a −}</i>

_√

₁₆<i>_a</i>₊

_√

₄₉<i>_a</i>_{Víi a}<i>_≥</i>₀

5)

a

a b

ab

b





b a

6) 9 4 5  9 80
7) ₂

_√

₃₊

_√

₄₈<i>₋</i>

_√

₇₅<i>₋</i>

_√

₂₄₃
8)

_√

₃₊₂

_√

₂<i>₋</i>

_√

₆<i>₋</i>₄

_√

₂ <b> </b>
9)

_√

₄₊

_√

_8.

_√

₂₊

_√

₂₊

_√

_{2 .}

_√

₂<i>₋</i>

_√

₂₊

_√

₂

8 2 2

2 3 2

2

10)

3

2

2

1

2













11) 6 11 6 11

Dạng 2 : Bài tập rút gọn biĨu thøc h÷u tØ

<b> 1</b>. 2 2

2x

2x

x

A

x

3x

x

4x

3

x 1















<b>2.</b> 2

x

2

4x

B

x

2

x

2

4

x













<b>3.</b> 2

1 x

1 2x

x(1 x)

C

3 x

3

x

9

x



















<b>4.</b>
2
2 2

5

4 3x

D

3

2x

6x

x

9













<b>5.</b> 2 2 2

3x

2

6

3x

2

E

x

2x 1

x

1

x

2x 1





















<b>6.</b>

2 3

5

10

15

K

x 1

x

(x

1)

x

1

Dạng 3: Bài tập tổng hợp

<b> Bài 1 </b> Cho biÓu thøc A =

2 1

1 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ 

 

 

 _ _ _ _ 

 _:

√

<i>x −</i>1
2
a. Tìm điều kiện xác định.

b. Chøng minh A = 2
<i>x</i>+

√

<i>x+</i>1

c. Tính giá trị của A tại x = 8 -

_√

₂₈
d. T×m max A.

<b>Bµi2 </b> Cho biĨu thøc P =

√

<i>n+</i>3

√

<i>n −</i>2<i>−</i>

√

<i>n−</i>1

√

<i>n</i>+2+

4

√

<i>n −</i>4

4<i>−n</i> ( víi n 0 ; n 4 )
a. Rót gän P

b. TÝnh giá trị của P với n = 9

<b> Bµi3 </b> Cho biÓu thøc M =

2

( <i>a</i> <i>b</i>) 4 <i>ab</i> <i>a b b a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i>

  



 _{( a , b > 0)}
a. Rót gän biĨu thøc M.

b. Tìm a , b để M = 2

_√

₂₀₀₆
<b> Bài 4: </b> Cho biểu thức : M =

(

<i>x</i>

<i>x 1</i>

<i>x</i>

)

:

(

<i>x</i>+1

<i>x</i> <i></i>
1
1<i></i>

<i>x</i>+

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4

_√

₃
c) T×m x sao cho M =1/2

<b> Bµi 5:</b> Cho biĨu thøc : P =

(

√

<i>x −</i>4
<i>x −</i>2

√

<i>x−</i>

3
2−

√

<i>x</i>

)

:

(

√

<i>x+</i>2

√

<i>x</i> <i>−</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x 2</i>

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 8
3+

√

5
<b>Bµi 6</b> Cho biĨu thøc : B =

(

2<i>x+</i>1

<i>x</i>

√

<i>x −</i>1+
1

1<i>−</i>

√

<i>x</i>

)

:

(

1<i>−</i>

<i>x −</i>2
<i>x+</i>

√

<i>x</i>+1

)

a) Rót gän B.

b) Tìm x để : 2.B < 1

c) Với giá trị nào của x thì B.



<i>_x</i> = 4/5
<b>Bµi 7:</b> Cho biĨu thøc : M =

(

<i>x+2</i>

√

<i>x −7</i>

<i>x −</i>9 +

√

<i>x −</i>1
3<i>−</i>

√

<i>x</i>

)

:

(

1

√

<i>x</i>+3<i>−</i>
1

√

<i>x −</i>1

)

a) Rót gän M.

b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1

<b>Bµi 8:</b> Cho biĨu thøc : A = 1 :

(

<i>x+2</i>

√

<i>x −2</i>
<i>x</i>

√

<i>x+1</i> <i>−</i>

√

<i>x −</i>1
<i>x −</i>

√

<i>x</i>+1+

1

√

<i>x+</i>1

)

a) Rót gän A.

b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4



₃
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .

<b>Bài 9:</b> Cho biÓu thøc : P =

(

√

<i>x+</i>1

√

<i>x </i>1<i></i>

<i>x </i>1

<i>x</i>+1

)

:

(

1

<i>x</i>+1<i></i>

<i>x</i>
1<i></i>

<i>x</i>+

2
<i>x </i>1

)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x =

√

7<i>−</i>4

√

3

2
c) T×m x sao cho P = 1/2

<b>Bµi 10:</b> Cho biĨu thøc : A =
3

2 1 1

.

1 1

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

     

 

   

 _ _   _ 



   

a) Rót gän A.

b) Tính giá trị của A nếu x = 2<i>−</i>

√

3
2
<b>Bµi 11:</b> Cho biĨu thøc : A =

(

2

√

<i>x</i>

<i>x</i>

√

<i>x − x</i>+

_√

<i>x −</i>1<i>−</i>
1

√

<i>x −1</i>

)

:

(

1+

√

<i>x</i>
<i>x</i>+1

)

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0
<b>Bài 12:</b> Cho biểu thức : B =

(

1

√

<i>x</i>+1<i>−</i>

2

<i>x</i>

√

<i>x</i>+<i>x</i>+

_√

<i>x</i>+1

)

:

(

2−

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Rót gän B.

b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2

_√

₅
c) Tìm x nguyên để B ngun.

<b>Bµi 13:</b> Cho biĨu thøc : A =

(

√

<i>x</i>+2

√

<i>x</i>+3<i>−</i>
5
<i>x</i>+

√

<i>x −</i>6+

1
2<i>−</i>

√

<i>x</i>

)

a) Rót gän A.

b) Tính giá trị của A nếu x = 2
2+

√

3
c) Tìm x nguyên để A ngun

<b>Bµi 14:</b> Cho biĨu thøc : M =

(

2

√

<i>x −</i>9
<i>x −</i>5

√

<i>x+</i>6<i>−</i>

√

<i>x</i>+3

√

<i>x −</i>2<i>−</i>

2

√

<i>x</i>+1
3<i>−</i>

√

<i>x</i>

)

a) Rót gän M.

b) Tìm x để M < 1

c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
<b>Bài 15:</b> Cho biểu thức : A =

(

<i>x</i>+

√

<i>x −</i>4

<i>x −</i>2

√

<i>x −</i>3+

√

<i>x −</i>1
3<i>−</i>

√

<i>x</i>

)

:

(

1<i>−</i>

√

<i>x −3</i>

√

<i>x −2</i>

)

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A > 1
<b>Bài 16:</b> Cho biểu thức : P =

(

2+

√

<i>x</i>

2−

√

<i>x−</i>
4<i>x</i>
<i>x −</i>4<i>−</i>

2<i>−</i>

√

<i>x</i>
2+

√

<i>x</i>

)

:

<i>x −</i>3

√

<i>x</i>
2<i>x −</i>

√

<i>x</i>3
a) Rót gän P.

b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
<b>Bài 17:</b> Cho biểu thức : M =

(

√

<i>x</i>

√

<i>x −</i>1+

3

√

<i>x −</i>1
1− x

)

:

(

√

<i>x</i>+1

√

<i>x</i> <i>−</i>

4

√

<i>x</i>+1
<i>x</i>+

√

<i>x</i>

)

a) Rót gän M.

b) Tìm các số tự nhiên x để M là số ngun
c) Tìm x thoả mãn M < 0

<b>Bµi 18:</b> Cho biÓu thøc : P =

(

2<i>x</i>+1

√

<i>x</i>3<i>₋</i>₁<i>−</i>

√

<i>x</i>
<i>x</i>+

_√

<i>x+1</i>

)

:

(

3

√

<i>x −</i>1+

2

√

<i>x</i>+5
1<i>− x</i>

)

a) Rót gän P.

b) Tính giá trị của P khi x = 8
3<i>−</i>

√

5
c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1

<b>Bµi 19:</b> Cho biĨu thøc : B =

(

√

<i>x</i>

√

<i>x</i>+2<i>−</i>
3
2<i>−</i>

√

<i>x</i>+

3

√

<i>x −</i>2
<i>x −</i>4

)

:

(

√

<i>x</i>+3

√

<i>x −</i>2+
2

√

<i>x</i>
2

√

<i>x − x</i>

)

a) Rót gän B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bµi 20:</b> Cho biĨu thøc : M =

(

√

<i>x+1</i>

√

xy+1+

√

xy+

√

<i>x</i>

√

xy<i>−</i>1 <i>−</i>1

)

:

(

√

<i>x</i>+1

√

xy+1<i>−</i>

√

xy+

√

<i>x</i>

√

xy<i>−1</i> +1

)

a) Rót gän M

b) Tính giá trị của M khi x = 2 -

_√

₃ vµ y =

√

3<i>−1</i>
1+

√

3
<b>Bµi 21:</b> Cho biÓu thøc : B =

(

2

√

<i>x+3</i>

√

<i>y</i>

√

xy+2

√

<i>x −</i>3

√

<i>y −</i>6<i>−</i>

6<i>−</i>

√

xy

√

xy+2

√

<i>x</i>+3

√

<i>y+</i>6

)

a) Rót gän B.

b) Cho B= <i>y</i>+10

<i>y −</i>10(<i>y ≠</i>10). Chøng minh :
<i>x</i>
<i>y</i>=

9
10
<b> Bài 22 :</b> Cho biểu thức : <i>P=</i>

(

√

<i>x+2</i>

<i>x −5</i>

√

<i>x+</i>6<i>−</i>

√

<i>x</i>+3
2<i>−</i>

√

<i>x</i>+

√

<i>x</i>+2

√

<i>x −3</i>

)

:

(

2−

√

<i>x</i>

√

<i>x</i>+1

)

<b>a)</b> Rót gän P.

<b>b)</b> Tìm x để 1
<i>P≤−</i>

5
2
<b> B i 23à</b> <b> </b> : Cho biÓu thøc <b>:</b> <i>P=</i> <i>x</i>

2

<i>−</i>

√

<i>x</i>
<i>x+</i>

√

<i>x</i>+1<i>−</i>

2<i>x+</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x</i> +

2(<i>x −1</i>)

√

<i>x −</i>1
a) Rót gän P.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức <i>_Q=</i>2

√

<i>x</i>

<i>P</i> nhËn gi¸ trị là số nguyên
<b>Bi 24:</b> Cho biu thc : <i>P=</i>

(

√

<i>x −</i>1

√

<i>x+1</i> <i>−</i>

√

<i>x</i>+1

√

<i>x −</i>1

)(

1
2

√

<i>x−</i>

√

<i>x</i>
2

)

2

a) Rút gọn P
b) Tìm x để <i>P</i>

√

<i>x</i>>2

<b>Bài 25:</b> Cho biểu thức : <i>P=</i>

(

1

√

<i>x −</i>2+

5

√

<i>x −</i>4
2

√

<i>x − x</i>

)

:

(

2+

√

<i>x</i>

√

<i>x</i> <i>−</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x −</i>2

)

a) Rót gän P

b)*Tìm m để có x thoả mãn : <i>_P=mx</i>

_√

<i>_{x −}</i>_{2 mx}₊₁
<b>Bài26: </b> Cho biểu thức A =

(

1

√

1<i>− x</i>+
1

√

1+<i>x</i>

)

2

<i>x</i>2<i>−1</i>

2 <i>−</i>

√

1<i>− x</i>

2

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.

3. Gi¶i ph ơng trình th eo x khi A = - 2.

PhÇn thøhai

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>A>kiÕnthøc cÇn nhí </b>

-

Hàm số bậc nhất : y = ax + b đồng biến khi a > 0 . Khi đó Đths tạo với rrục hồnh ox
một góc nhọn .Nghịch biến thì ng c li.

-ĐK hai đ ờng thẳng song song là :

'
'
<i>a a</i>
<i>b b</i>

-ĐK hai đ ờng thẳng cắt nhau lµ : a



a’.NÕu cã thêm b =b thì 2 đt cắt nhau tại một
điểm trên trôc tung oy.

-ĐK hai đ ờng thẳng vuông góc là tích a.a’ = -1

-Đt hs y=ax( a



0) đi qua gốc toạ độ

-Đths y=ax+b (a



0,b



0)khơng đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam giác

B> Bài tập

<b>Bµi 1 </b> : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trụ c hồnh .

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ th ị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọ i m.
<b>h)</b> Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ th ị hàm số là lớn nhất

<b>Bài 2 </b>: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m- x (d) . Xác định m để:
a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đờng thẳng d song song với đ ờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn

d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tï

e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2

f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại mộ t điểm có hoành độ là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung y = 4

h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
<b>Bµi 3 </b>: Cho hµm sè y=( 2m-3).x+m-5

a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đ ờng thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m th ay đổi
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vng cân
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh mộ t góc 45o

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành mộ t góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh mộ t góc 30o_{, 60}o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y
h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x

<b>Bài4 </b> (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn ln nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ th ị cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 3.

c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 ng quy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 5 </b>(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2004<i>)</i>

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

a) A(-1 ; 3) ; b) B(

_√

₂ ; -5

_√

₂ ) ; c) C(2 ; -1)

2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV
<b>Bài 6 </b>:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4

a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)

b) Cmkhi m thay đổi thì (d1)ln đi qua một điểm A cố định, (d2) đi qua B cố định.

c) TÝnh khoảng cách AB

d)Tỡm m để d1 song song với d2

e)Tìm m để d1 cắt d2. Tìm giao điểm khi m=2
<b>Bài 7 </b> Cho hàm số y =f(x) =3x – 4 <i> </i>

a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)

c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;- 1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m2_-4)

e)Tìm x để hàm số nhận các giá tr ị : 5 ; -3

g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ.
h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ là 7

k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4

l) Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ và tung độ bằng nhau
m) Tìm điểm thuộc đths cách đều hai trụ c to

Phần thứ ba

<b>A>kiếnthức cần nhớ</b>

1)Các phơng pháp giải HPT

a) Phơng pháp thế : Thờng dùng giải HPT đã có 1 phơng trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ chứa
tham số

b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT về đúng dạng sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn trong 2
phơng trình :- Nếu đối nhau thì cộng .Nếu bằng nhau thì trừ .Nếu khác thì nhân .

NÕu kÕt qu¶ phức tạp thì đi vòng.

c) Phng phỏp t n ph : Dùng để “đa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn
2)Một số dạng toán quy về giải HPT:

- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng

- Giao điểm của hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đờng thẳng đồng quy

- Xác định hệ số của đa thức , phơng trình…
3)Giải phơng trỡnh bc nht 1 n

<b>B> Các dạng bài tập </b>

<b>I-Dng 1:</b> Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất nhiều

trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra

<b>II-D¹ng 2 :</b> Hệ phơng trình chứa tham số

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1)Cho HPT : 9 3
<i>x my o</i>

<i>mx</i> <i>y m</i>

 




  


a) Gi¶i HPT víi m = -2

b) Giải và biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm ngun

f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

Chú ý: <i>Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng .Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham số đề HPt</i>

<i>cã 1 nghiÖm ,VN,VSN .</i>
<i> </i>

<i>2) Cho hệ ph ơng trình:</i> <i><b> mx + y = 3</b></i>

<i><b>9x + my = 2m + 3</b></i>
a. Gi¶i ph ơng trình với m = 2, m = -1, m =

_√

₅

b. Tìm m để ph ơng trình có 1 nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
c. Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2

d. Tìm m để ph ơng trình có nghiệm d ơng.
e. Tìm m để ph ơng trình cú nghim nguyờn õm.

<i>3)Cho hệ ph ơng trình</i>

¿

(<i>m−</i>1)<i>x</i>+<i>y</i>=<i>m</i>

<i>x</i>+(<i>m−</i>1)<i>y</i>=2

¿{

¿

; có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m;
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 _{- 7y = 1}

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A = 2<i>x −</i>3<i>y</i>

<i>x+y</i> nhËn giá trị nguyên.

<i>4)Cho hệ ph ơng trình</i>

mx<i> y</i>=1
<i>x+</i>my=2

{

a.Giải hệ ph ¬ng tr×nh theo tham sè m.

b.Gọi nghiệm của hệ ph ơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không ph thuc vo m.

5)Cho hệ ph ơng trình :

( 1) 3

.

<i>a</i> <i>x y</i>

<i>a x y a</i>

  




 


a) Gi¶i hƯ víi <i>a</i> 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6)Cho hệ ph ơng trình

2

3

5

<i>mx</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>my</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

7)Cho hệ ph ơng trình :

¿

2<i>x</i>+3<i>y=3+a</i>
<i>x</i>+2<i>y=a</i>

¿{

¿

a)T×m a biÕt y=1

b)Tìm a để : x2_+y2 ₌₁₇

8)Cho hệ ph ơng trình

( 1) 3 1

2 5

<i>m</i> <i>x my</i> <i>m</i>

<i>x y m</i>

  

a) Giải hệ ph ơng trình với m = 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2_+y2_{đạt giá trị nhỏ nhất}
<b>Dạng 3 .Một số bài toán quy về HPT</b>

1) Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)
2) Cho hàm số y = (3m- 1)x + 4n -2

Tìm m,n biết đồ th ị hàm số đi qua điểm (5 ;- 3) và cắt trục hồnh tại 1 điểm có hồng độ là -2
3)Tìm giao điểm của hai đ ờng thẳng 4x-7y=19 và 6x + 5y = 7

<i>4) Cho 2 ® êng th¼ng</i><b>:</b> d1: <i>y = mx + n</i>

d2<b>:</b> (m - 1)x + 2ny = 5

a. Xác định m,n biết d1 cắt d2 tại điểm (2;- 4)

b. Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d1 biết d1 đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox

tại một điểm có hồnh độ là - 4.

c. Xác định ph ơng trình đ ờng thẳng d2 biết d2 đi qua điểm 7 trên oy và song

song với đ ờng thẳng y - 3x = 1

5) Giả sử đ ờng thẳng (d) có ph ơng trình y = ax+ b.

Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)
6) Tìm giá trị của m để các đ ờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:

y = 6 - 4x ; y = 3<i>x</i>+5

4 ; và y = (m – 1)x + 2m.
7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

A(- 1 ; 3) ; B(

_√

₂ ; -5

_√

₂ ) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV
8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (

3
2
<i>m</i>

)

1. Tìm các giá tr ị của m và n để đ ờng thẳng (d) :
a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ <i>y</i>3 2 1 và cắt ox tại điểm có hồnh độ

<i>x</i>

 

1

2

2. Cho n = 0, tìm m để đ ờng thẳng (d ) cắt đ ờng thẳng (d/_{) có phơng trình x-y+2 = 0}

tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y2_-2x2_{đạt giá tr ị lớn nhất.}

9)Cho hµm sè y = (m -2)x + m + 3

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ th ị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.

c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng
quy.

10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2_{) ,C(-3} _{;-2) thẳng hàng.}

12)Chøng minh 3 ® êng th¼ng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.

Phần thứ t

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>A.Phân loại và ph ơng pháp giải</b>

Loi 1 : Phng trỡnh bc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng ax = c
<b>Phơng pháp giải</b>: Biến đổi tơng đơng phơng trỡnh v dng: ax = c

<i>-Nếu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm: x = c/a</i>

<i>-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi c khác 0 , v« sè nghiƯm khi c = 0</i>
<i>-NÕu a cha rõ ta phải xét tất cả các trờng hợp (biện luËn)</i>

<b>Chú ý</b> : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc . –Nếu có mẫu thờng quy đồng rồi khử mẫu
-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .– Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu .-Chỉ đợc cùng nhân ,chia 1số khác 0

Loại 2; phơng trình bậc 2:

<b>Phng phỏp gii</b> : Bin đổi tơng đơng Pt về đúng dạng ax2_{+ bx + c = 0}

<i>- D¹ng khuyÕt ax2_{+ bx = 0 th× đa về dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0}</i>

<i>- D¹ng khuyÕt ax2_{+ c = 0 thì đa về dạng x}2_{= m}</i>

<i>- NÕu a+ b + c = 0 th× x = 1 ; x = c/a</i>

<i>- NÕu a </i>–<i> b + c = 0 th× x =-1 ; x= -c/a</i>

<i>- Nếu b = 2b mà b đơn giản hơn b thì dựng CTNTG</i>

<i>- Còn lại thì dùng CTN</i>

Loi 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
<b>Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối </b>

<b>Phơng pháp giải</b> : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn
2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn thì đa PT về dạng /f(x)/ = m

Chú ý : -Đối chiếu ĐK . – 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)
<b>Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối</b>

Phơng pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối
2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn

<b>Chú ý</b> : -Đối chiếu ĐK . – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

<b>Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên</b> : thì lập bảng xét dấu …hoặc đa về HPT

Loại 4 : phơng trình chứa ẩn trong dấu căn (PT vô tỉ)

Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm §KX§

<b>Dạng 1</b>: = g (x)

(1). Đây là dạng đơn giản nhất của ph ơng trình vơ tỉ.

Sơ đồ cách giải:

= g (x)



g(x)



0

(2).

f(x) = [g(x)]

2



_(3).

Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra

nghiệm của phơng trình (1).

<b>D¹ng 2: §a vÒ PT chøa dÊu //</b> :

-Nếu trong căn viết đợc dứa dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

<b>Dạng3 : Đặt ẩn phụ :</b> -Nếu bên ngoài biến đổi đợc giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là khơng âm)
<b>Dạng 4 : Dùng phơng pháp bình phơng 2 vế :</b>

<b>Chú ý</b> : Khi bình phơng 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm
-Dạng <i>A</i> <i>B</i>  <i>A</i> <i>B</i> <i>m</i> thờng bình phơng 2vế

Lo¹i 5 : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Phng phỏp giải :</b> 1) Thơng thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo

3) Nhãm hỵp lý ( nÕu viƯc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)

Loại 6 : Phơng trình bậc cao -Đa về Pt tích -Đặt ẩn phụ

<b>B.Bài tập</b>

a. 3x+5 = x-1 h. (2x+3) 2-(4x-7)(x+5)=0
b.

5 3 2
3

4 6

<i>x</i> <i>x</i>

 

i. 7(x+4)-3(6-x)=0
c. (2x - 3)2_{- (x + 2)(4x - 1) = 0} _k.

√

<i>x+</i>

√

2<i>x −1</i> +

_√

<i>_{x −}</i>

_√

₂<i>_{x −1}</i> = 2
d. x2_{- (}

√

3 + 1)x = -

_√

₃ l. (x2_{+ x + 1) (x}2_{+ x + 12) = 12}

e. <i>x −_x+</i>₂2+ 3
2<i>− x</i>=

2<i>x −22</i>

<i>x</i>2<i>−4</i>

m.

(

<i>x</i>2<i>₋₁</i>

3<i>x</i>+2

)

2

<i>−</i>5<i>x</i>2<i>−5</i>

3<i>x+2</i>

= 6

g. x +

√

7<i>x</i>+2

= 4

n. x

2

- 3x +

√

<i>x</i>2<i>−3x+</i>1

= 1

p. <i>x</i>2 (<i>x</i>2)2 4 q. 4x2_{– 1 = 0}

r. <i>x+</i>3
<i>x −</i>2<i>−</i>

<i>x</i>+1
<i>x</i>+2=

<i>x</i>2<i>−</i>4<i>x+</i>24

<i>x</i>2<i>−</i>4 t.

√

4<i>x</i>

2

<i>−</i>4<i>x</i>+1 = 2008<i>5 u) = </i>

Phần thứ năm

<b>A.Các dạng bài tập và ph ơng pháp giải </b>

<b>Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,v« nghiƯm </b>
Cã thĨ xảy ra 6 tr ờng hợp

-Muốn chứng minh PTB2 lu«n cã nghiƯm , cã 2 nghiƯm pb , v« nghiƯm ta chøng minh
Luôn không âm ,luôn d ơng , luôn âm.

-Mun tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất ph ơng trình …
<b>Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm </b>

Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo VIéT
-Biến đổi biểu thức về dạng tồn Tổng ,Tích 2 nghiệm

<i><b>Chú ý</b></i> –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình ph ơng rồi suy ra
-Nếu biểu thức khơng đối xứng th ì có thể dùng

2

1 1 0

<i>ax</i> <i>bx</i>  <i>c</i>
;

2

2 2 0

<i>ax</i> <i>bx</i> <i>c</i>
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhÈm nghiƯm

Ngồi ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
<b>Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số</b>

B

íc 1 : TÝnh tỉng vµ tÝch 2 nghiƯm theo ViÐt
B

íc 2 : Rót tham sè tõ tổng thay vào tích hoặc ng ợc l¹i

<b>Chú ý</b> : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng
cách nh phơng pháp cộng trong giải HPT

<b>D¹ng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hƯ gi÷a 2 nghiƯm </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

B

íc1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiÖm theo ViÐt
B

ớc 2 : Biến đổi t ơng đơng hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm .Nếu khơng đ ợc
thì giải hệ... ( Hệ thức có bậc 1 )

<b>Chú ý</b> : Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm . Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể bình ph
-ơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có th ể thành 2 phần

<b>D¹ng 5 : LËp ph ơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm </b>
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và Èn

- Muèn lËp PTB2 cã 2 nghiÖm <i>x x</i>1, 2_{ta lµm nh sau} _:

TÝnh <i>x</i>1<i>x</i>2 <i>S x x</i>, .1 2 <i>P</i>_{VËy PTB2 cần lập là} _{: x}2_{- Sx+ P =0}
<b>D¹ng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích </b>:Dủng ph ơng pháp thế đ a vỊ PTB2
<b>D¹ng7 :Xét dấu các nghiệm của PT</b>

Xét phơng tr×nh bËc hai: _ax2₊_bx₊<i>_c</i>₌₀ (a 0¿

Cã <i>_Δ=b</i>2<i>₋</i>_{4 ac}
P = <i>x</i>₁<i>x</i>₂=<i>c</i>

<i>a</i>
S = <i>x</i>₁+<i>x</i>₂=−<i>b</i>

<i>a</i>

Trong nhiều tr ờng hợp ta cần so sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr
-ớc hoặc xét dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai mà khơng cần giải ph ơng trình đó, ta có
thể ứng dng nh lớ Viột .

1. Phơng trình có 2 nghiệm d ơng <i></i>

<i></i>0
<i>P</i>

<i>S</i>

{{0|

2. Phơng trình có 2 nghiệm âm <i></i>

<i></i>0
<i>P</i>

0
<i>no</i>

<i>S</i>
{{0|

3. Phơng trình có 2 nghiƯm tr¸i dÊu: P

¿

0

¿
¿

Nhiều bài tốn địi hỏi tìm điều kiện để ph ơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm khơng
âm. Thờng có 2 cách giải:

<b>C¸ch 1 </b>: Cã P ¿¿

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Hc:

¿

<i>P</i>

¿<i>Δ≥</i>0

<i>S</i>

¿

{0|{

¿

Thì hai nghiệm đều d ơng.

<b>C¸ch 2: </b>

Trớc hết phải có <i>Δ≥</i>0 khi đó ph ơng trình có ít nhất 1 nghiệm khơng âm nếu :
<i>S</i>

0 ( Trêng hỵp này tồn tại nghiệm d ơng)

Hoặc S = 0 ( Tr ờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc

0<i>, P </i>0

<i>S</i>

( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.

<b>Dạng 8: NghiƯm chung cđa 2 ph ¬ng trình</b>
<b>Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ¬ng</b>

<b>Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau:</b> Khi tìm ra hai ph ơng trình vô nghiệm th ờng vội kết luận
ngay là hai ph ơng trình đó khơng t ơng đơng với nhau:

<b>VD3: </b> Tìm m để hai ph ơng trình x2_{– mx + 2m -3 = 0 (1); x}2_{– (m}2 _{+ m - 4)x + 1=}

0 (2) tơng đơng.
<b>H</b>

<b> ớng dẫn : </b> Hai phơng trình tr ên t ơng đơng trong hai tr ờng hợp

* Tr êng hỵp 1 : PT(1) và PT(2) vô nghiệm
<i></i>
<i></i>1<0

<i></i>2<0

{

<i></i>
<i>m</i>2<i>8m</i>+12<0

(

<i>m</i>2+<i>m</i>4

)

2<i></i>4<0

{

<i></i>
2<m<6
3<m<2

1<m<2

{ {

(không x¶y

ra)

* Tr ờng hợp 2 : PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x1; x2 thì theo định lý Vi-ét ta có :

¿

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂=m=m2+<i>m+</i>4
<i>x</i>₁.<i>x</i>₂=2<i>m−</i>3=1

<i>⇔</i>

¿<i>m</i>2<i>−</i>4=0

2<i>m−</i>4=0
<i>⇔m=2</i>

¿{

¿

.

Thử lại với m = 2 thì hai ph ơng trình t ơng đơng vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2



<b>Với loại toán này ta cần l u ý học sinh: </b>Khi cả hai ph ơng trình vơ nghiệm thì hai ph ơng
trình đó cũng là hai ph ơng trình t ơng đơng. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai tr ờng
hợp, tr ờng hợp cả hai ph ơng trình vơ nghiệm và tr ờng hợp cả hai ph ơng trình có cùng mộ t tập
hợp nghiệm.

<b>VD4 </b>: Tìm m, n để ph ơng trình x2_{– (m + n)x -3 = 0 (1)}

và phơng trình x2_{– 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) t ơng đơng.}
<b>H</b>

<b> íng dÉn </b>:

PT(1) cã <i>_Δ=(m</i>_+n)2_+12>₀<i>_∀_{m, n}</i> nªn PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

¿

<i>x</i>1+<i>x</i>2=m+n=2

<i>x</i>1.<i>x</i>2=<i>−3=</i>3<i>m−n −</i>5

<i>⇔</i>

¿<i>m</i>+n=2

3<i>m− n=2</i>
<i>⇔</i>

¿<i>m=1</i>

<i>n=1</i>

¿{

¿

. VËy m =1 vµ n =1 là các giá trị cần tìm

Vi bài toán này ta đã chỉ ra đ ợc một ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt, nên để cho
hai phơng trình t ơng đơng thì ph ơng trình cịn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm
của phơng trình tr ên. áp dụng định lý Vi- ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm đ ợc m, n

<b>B. bµi tËp</b>

<b>Bài 1 </b>:Cho phơng trình : x2_{– (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai}

nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n : 2x1 + 3x2 = 13
<b>Bµi 2 </b>: Cho phơng trình : x2_{- 2mx + m = 7}

a. Giải ph ơng trình víi m = 7, m = - 4, m =



₃

b. Cm phơng trình luôn có 2 nghiƯm ph©n biƯt víi m

c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x1 theo x2.

d. TÝnh theo m: 1
<i>x</i>1

3 +

1
<i>x</i>2

3 , 3x ❑1

2 _{- 2mx}

1 + 2x ❑₂2 + m

e. Tính m để ph ơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghim d ng.

g. Với điều kiện nào của m th×

_|

<i>x</i>₁<i>− x</i>_2| = 4 ; 2x1 + x2 = 0 ;

(x1 + 3x2)(x2 + 3x1) = 8 ; x ❑₂2 - (2m + 1)x2 - x1 + m > 0

h. T×m giá trị lớn nhất của A = x, 1(x2 – x1) - x ❑₂2 .

Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm ph ơng trình trên.
<b>Bài 3 </b> : Cho ph ơng trình : x2_{-(m+1)x + m = 0}

a) giải phơng trình với m = 3

a) Tỡm m để tổng bình ph ơng các nghiệm bằng 17

b) Lập hệ thức độc lập giữ a các nghiệm khơng phụ thuộc vào m

<b>c)</b> Giải phơng trình trong tr ờng hợp tổng bình ph ơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
<b>Bài 4 </b> : Cho ph ơng trình : x2_{- 2mx + 2m 1 = 0}

a) Giải phơng trình với m= 4

a) Tìm m để tổng bình ph ơng các nghiệm bằng 10.

b) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m sao cho : 2(x12+x22)- 8x1x2 = 65

<b>Bµi 5 </b>: Cho ph ơng trình : x2_{-(2k+1)x +k}2_{+2 = 0}

a) Tìm k để ph ơng trình có nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.
a) Tìm k để ph ơng trình có x12+x22 nhỏ nhất .

<b>Bài6 </b>: Cho ph ơng trình x2_+mx+m-1=0

a) Giải phơng trình với m=3

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của ph ơng trình
<b>Bài 7 </b>: Cho ph ơng trình : x2_{+( 2m+1 ).x+m}2_+m-2=0

a) Giải phơng trình với m= 4

b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1,x2 là nghiệm của ph ơng trình. Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2.
<b>Bµi 8 </b>: Cho x2_{-4x-( m}2_+2m)=0

a) Giải phơng trình với m=5.

b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với mọi m.
c) TÝnh x2

1+x22+8( x1x2+1) th eo m

d) Tìm m để x2

1+x22=5( x1+x2)
<b>Bài 9 </b>: Cho ph ơng trình 2x2_+6x+m=0

a)Tìm m để ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định m để ph ơng trình có 2 nghiệm thoả mãn <i>x</i>1

<i>x</i>2

+<i>x</i>2

<i>x</i>1

<i>≥</i>5

<b>Bµi 10 </b>: Cho x2_{-2( m-1)x +m-3=0}

a) Chứng minh ph ơng trình ln có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuc m
c) Tỡm m x1-3x2=5

<b>Bài 11 </b>:Cho phơng trình mx2_{+(2m- 1)x+(m-2)=0}
<b>2.</b> Giải phơng trình với m = 3

<b>3.</b> Tìm m để ph ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006
<b>4.</b> Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng ph thuc vo m

<b>Bài 12 </b>: Cho ph ơng tr×nh (m-1)x2 _{+ 2mx + m – 2 = 0.}

a) Giải phơng trình khi m = 1

a) Tỡm m để ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để ph ơng trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm cịn lại.
<b>Bài 13 </b>: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của ph ơng trình x2 – 2(m- 1)x – 4 =0

( m là tham số )
Tìm m để

_|

<i>x</i>_1| +

_|

<i>x</i>_2| = 5
<b>Bài 14 </b>:<i> Cho ph ơng trình:</i>

<i> x2</i> _–<i>_{3x + 1 = 0 cã 2 nghiÖm x}</i>

<i>1, x2. TÝnh:</i>

a. x ❑12 + x ❑22 d. x ❑15 + x ❑52 h.

<i>x</i>₁+1

<i>x</i>2

+ <i>x</i>2+1

<i>x</i>1

b. x _❑₁3 + x _❑3₂ e.

_|

<i>x</i>₁<i>− x</i>_2| i) x1

√

<i>x</i>₂ + x2

√

<i>x</i>₁

c. x _❑₁4 + x _❑₂4 g. x1

√

<i>x</i>₁ + x2

√

<i>x</i>₂ k. x1(2x1- 3) + x

2
2

<b>Bài 15 </b><i>Cho phơng tr×nh:</i>

<i>x2_{- 2x + m - 3 = 0}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

b1. (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = 0 b2. 3x1 + 5x2 = 0

b3. x ❑₁2 + x ❑₂2 - x1x2 = 0

* Biết ph ơng trình có 1 nghiệm là x1 = 4. Tìm m và x2.
<b>Bài 16 </b><i>Cho phơng trình x2</i> <i>_{(m+4)x + 3m+3 = 0 ( m lµ tham sè)}</i>

a. Xác định m để ph ơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b. Xác định m để ph ơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x13 + x23 0 .
<b>Bài 17 </b><i>Cho phơng trình bậc 2 đối với x.</i>

(m + 1)x2_{- 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)}

a. Chøng minh rằng ph ơng trình (3) luôn luôn cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi
giá trị củ m khác - 1.

b- Tỡm giá trị của m để ph ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.

c. Tìm giá trị của m để ph ơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai
nghiệm đó có nghiệm này gấp đơi nghiệm kia.

<b>Bµi 18 </b>Cho phơng trình : (m2_{+ 1)x}2_{+ 2(m}2_{+ 1)x – m = 0, víi m là tham số. Tìm giá trị lớn}

nhất và giá trị nhỏ nhất của : A = x12 +x22 với x1 , x2 nghiệm của ph ơng trình

Xét hai ph ơng trình: x2_{+x+k+1 = 0 (1) và x}2_{- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)}

a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4

b) Tìm k để ph ơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c) Với giá trị nào của k thì hai ph ơng trình tr ên t ơng đơng ?

<b>Bµi 19 </b>Xét hai ph ơng trình : x2_{+x+k+1 = 0 (1) và x}2_{- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)}

a)Giải ph ơng tr×nh (1) víi k = - 1; k = - 4

b)Tìm k để ph ơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c)Với giá tr ị nào của k thì hai ph ơng trình trên t ơng đơng ?
<b>Bài 21 :</b> Cho hai ph ơng trình : x2_{– (2m + n)x -3m = 0 (1)}

x2_{– (m + 3n)x - 6 = 0 (2). Tìm m, n để 2pt trên t ơng đơng}
<b>Bài 22: </b> Cho hai ph ơng trình : x2_{+(m + 1)x +1 = 0 (3)}

x2_{+ x + m+ 1 = 0 (4)}

a) Tìm m để ph ơng trình (3) có tổng bình ph ơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m hai ph ơng trình trên t ơng đơng.

<b>Bài 23: </b> Tìm m để hai ph ơng trình : x2_{+ 2x - m = 0 (5)}

2x2_{+ m x + 1 = 0 (6) t ơng đơng}
<b>Bài 24 :</b> Cho ph ơng trình x2_{- 2(m + 1)x + m - 4 = 0}

a) Chứng minh rằng ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọ i m.
b) Tìm m để ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m.

d) Tìm giá trị của biểu thức x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23.
<b>Bµi 25 : </b>

a) Định m để ph ơng trình mx2_{- (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình ph ơng các nghiệm là 13.}

b) Định m để pt mx2_{+ (2m - 1)x + (m - 2) = 0 có tổng bình ph ơng các nghiệm là 2005.}
<b>Bài 26 :</b> Cho ph ơng trình x2_{- 2(m + 1)x + m}2_{- 4m + 5 = 0.}

a) Định m để ph ơng trình có nghiệm.

b) Định m để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt đều d ng.

Phần thứ sáu

<b>Lo</b>

<b> ạ i I: Toán chuyển động</b>

<b>Bài 1: </b> Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhất mỗi giờ đi
nhanh hơn xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm hơn xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc mỗi
xe,biết quãng đ ờng Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 2:</b> Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm hơn xe
tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?

<b>Bài 3: </b>Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ nhất
chạy chậm hơn canô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy tiếp đến B. Tính vận
tốc của mỗi ca nơ , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút.

<b>Bài 4:</b> Một ca nơ xi dịng 90km , rồi ngợc dịng 36 km. Biết thời gian xi dịng nhiều hơn ngợc dịng là 2 giờ
và vận tốc xi dịng lớn hơn ngợc dịng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nơ đi hết qng đờng AB.

<b>Bµi 5: </b>Mét tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả ®i lÉn vỊ mÊt 5 giê 15 phót .TÝnh vËn tốc của dòng
n-ớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nn-ớc yên lặng là 21km/h.

<b>Bài 6: </b>Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ 20 phút gặp
nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ng ợc là 9km/h và
vận tốc dòng nớc là 3km/h.

<b>Bi 7:</b>Mt ca nụ xuụi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trơi theo dịng n ớc từ A về
hớng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trơi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của ca nơ, biết rằng
vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nớc bằng 4km/h.

<b>Bài 8: </b>Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi đ ợc nửa quãng đờng
xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h trên quãng đ ờng cịn lại. Tính
vận tốc dự định.

<b>Bài 9:</b>Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc
45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên qng đờng cịn lại vì vậy
đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.

<b>Bài 10: </b>Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định. Nhng thực tế , sau
khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên qng đờng cịn lại. Vì vậy đã đến B
chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đờng.

<b>Bài 11:</b>Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi đợc 2 giờ , ngời lái
xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên qng đờng cịn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính vận
tốc ơ tơ đi ở đoạn đờng đầu ?

<b>Bài 12:</b> Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa quãng
đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên qng đờng cịn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn
đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ngời đi xe đạp trên đoạn đờng cuối của đoạn AB.

<b>Bài 13: </b>Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B trở về A và gặp
xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc
của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đờng.

<b>Bài 14: </b> Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng 20km/h
so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nh ng nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian
đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.

<b>Bài 15 :</b> Một bè nứa trôi tự do (<i><b>với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước</b></i>) và một ca nô cùng

dời bến A để xi dịng sơng. Ca nơ xi dịng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi
lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa
nói ở trên. Tìm vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dòng nước.

<b>Bài 16 :</b> Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ
ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính
vận tốc của mỗi ôtô ?

<b>Bài 17 :</b> Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó,
cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại
ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tc thc ca ca nụ

<b>Loại II: Toán Năng Suất </b>

<b>Bi 18: </b>Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng thực tế , do áp
dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó khơng những hồn thành tr ớc thời hạn
40 phút mà cịn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.

<b>Bài 19:</b> Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí nghiệp giao thêm
cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự
kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

lớn hơn 5m3_{mỗi giờ so với ban đầu.}_{Do vậy , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút . Tính thể tích}

bĨ chøa .

<b>Bài 21:</b> Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi làm đợc 2
giờ , ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy trong thời gian qui
định khơng những hồn thành kế hoạch mà cịn vợt mức 16 sản phẩm. Tính năng suất làm lúc đầu.

<b>Bài 22:</b> Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số lợng đợc giao ,
ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với nửa số sản phẩm còn lại song
vẫn hồn thành cơng việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng suất dự kiến .

<b>Bài 23 </b>: Một công nhân đ ợc giao làm một số sản phẩm trong một số thời gian nhất định. Khi
còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng ng ời đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì sẽ ch ậm 30
phút. Nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm hơn so với dự định là 30
phút. Tính năng suất của ng ời thợ lúc đầu.

<b>Bài 23 : </b> Một phân x ởng đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩn. Trong 5 ngày đầu do còn phảI
làm việc khác nên mỗi ngày phân x ởng sản xuất ít hơn mức đề ra là 4 sản phẩm. Trong những
ngày còn lại, x ởng sản xuất v ợt mức 10 sản phẩm mỗi ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn
1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân x ởng cần sản xuất bao nhiêu sản phảm ?

<b>Lo¹i III: Lo¹i toán làm chung ,làm riêng</b>

<b>Bi 25:</b>Hai vũi nc cựng chy vào một bể chứa khơng có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy 15 phút rồi khố lại, rồi mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể. Hỏi nếu để từng vịi chảy một thì
sau bao lâu bể đầy.

<b>Bài 26:</b>Hai vịi nớc cùng chảy vào một bể chứa khơng có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính xem nếu để từng
vịi chảy thì mỗi vịi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vịi thứ nhất cần nhiều hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
<b>Bài 27:</b>Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày xong. Biết rằng nếu làm một mình xong việc thì ngời
thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi ngời làm một mình xong cơng việc trên.

<b>Bài 28 :</b>Để hồn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung
thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hồn thành cơng việc còn lại trong 10 giờ.
Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong cơng việc ú ?

<b>Bài 28</b>

Hai công nhân nÕu lµm chung th × trong 12 giê sÏ hoµn thµnh xong mé t công việc. Họ làm
chung víi nhau trong 4 giê th× ng êi thø nhÊt chuyển đi làm việc kh¸c, ng êi thø hai làm nốt
công viÖc trong 10 giê. Hái ng êi thø hai làm mộ t mình thì bao lâu hoàn thành song công việc.
<b>Bài 30</b>

Hai tổ sản xuất cùng làm chung c«ng viƯc th ì hoàn th ành trong 2 giê. Hái nÕu lµm riêng một
mình th ì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng, tổ I
hoàn thành sớm hơn tổ II là 3 giê.

<b>Bµi31</b>

Hai vòi n ớc cùng chảy vào một bể th ì sau 4 4/5 giờ bể đầy . Mỗi giờ l ợng nớc của vòi I
chảy đợc bằng 1 1/2 l ợng nớc chảy đ ợc của vòi II .Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao
lâu đầy bể ?

<b>Bµi32</b>

Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong .Nếu ng ời thứ làm 3 giờ và
ngời thứ hai làm 6giờ thì họ làm đ ợc 25% công việc .Hỏi mỗi ng ời làm cơng việc đó một
mình thì trong bao lâu sẽ hồn thành công việc

<b>Bài33 </b>Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong12 ngày. Họ
cùng làm với nhau đ ợc 8 ngày thì đội một đ ợc điều động làm việc khác , còn đội 2tiếp tục
làm .Do cải tiến kĩ thuật ,năng suất tăng gấp đôI nên đội 2 đã làm xong phần cơng việc cịn lại
trong 3 ngày r ỡi .Hỏi nếu mỗ i đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong cơng việc
nói trên (với năng suất bình th ờng)?

<b>Bµi34</b>

NÕu hai vßi n íc cùng chảy vào bĨ th× sau 1giê 20 phót bĨ đầy . Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 10phót vµ vßi thø hai chảy trong 12phút thì đầy 2/15 bể.Hỏi nếu mỗi vòi chảy một
mình thì phảI bao lâu mới đầy bể ?

<b>Loại IV: Loại toán tìm số</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bµi 37</b>

Cho một số có hai chữ số . Tìm số đó , biết rằng tổnh hai chữ số của nó nhỏ hơn số đo 6 lần ,
nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ ợc một số viết theo thứ tự ng ợc lại với số đã cho

<b>Loại V: Loại tốn có nội dung hình học</b>

<b>Bài 38:</b>Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn thuộc đất của vờn
rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt là 4256m2_{. Tính kích thớc của vờn}

<b>Bài 39:</b>Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời ta làm hai đoạn
đ-ờng có cùng chiều rộng. Các tim đđ-ờng lần lợt là đđ-ờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung
điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết rằng diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang.
<b>Bài 40 </b> : Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và cú diện tớch bằng
1792m2_{. Tớnh chu vi của khu vườn ấy.}

<b>Bµi41 </b>

Một tam giác có chiều cao bằng 2/5 cạnh đáy . Nếu chiều cao giảm đI 2dm và cạnh đáy tăng
thêm 3dm thì diện tích của nó giảm đI 14dm . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác .

<b>Bµi 42</b>

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m . Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu
chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2lần th ì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi .

<b>Bài 43 </b> Một hình chữ nhật có đ ờng chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m, Tính
diện tích hình chữ nhật ú .

<b>Loại VI: Loại toán phần trăm</b>

<b>Bi 44 :</b> Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã
vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành
vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?

<b>Bài 45 </b>Trong tháng 1 ,hai tổ công nhân sản xuất đ ợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 ,tổ I sản
xuất vợt mức 15% ,tổ II sản xuất đ ợc 120%,do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ ợc 945 chi
tiết máy .Hỏi rằng trong tháng đầu , mỗi tổ công nhân sản xuất đ ợc bao nhiêu ch i tiết máy ?

<b>Các Loại toán khác</b>

<b>Bi 47: </b>Trong mt bui liờn hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê
thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ngời nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu
dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và khơng q 5 ngời.

<b>Bài 48:</b>Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dịng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang tăng thêm 4 chữ.
Nhng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dịng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn khơng thay đổi. Tính số chữ , số dòng
trong trang sách lúc đầu.

<b>Bài 49: </b>Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhng thực tế
đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số l ợng xe
mà đội đã điều động chuyên chở.

<b>Bài 50 </b>Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ ợc xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau . Nếu số dãy tăng thêm 1và số ghế của mỗ i dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phịng có 400

ghế .Hỏi tronh phịng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có ba o nhiêu ghế ?

<b>Bài 51 </b> Trong một buổi liên hoan, một lớp mời 23 khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên
phải kê thêm 1 ghế và mỗ i ghế phải ngồi thêm một ng ời nữa mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi
dãy ghế đều có số ng ời ngồi nh nhau Hỏi ban đầu lớp có bao nhiờu gh ?

Phần thứ bảy

<i>*Honh giao điểm của Parabol(P) y=ax2_{và đờng thẳng(d) y = mx + n là nghiệm của ph ơng}</i>

<i>tr×nh</i> <i>: ax2_{= mx + n (*)}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i>+ d c¾t P tại 2 điểm phân biệt </i> <i></i> <i> Phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt</i>

<i>+ d tip xúc với P </i> <i>⇔</i> <i> Ph ơng trình (*) có nghiệm kép .Nghiệm kép là hồnh độ tip im</i>

<i>+ d không cắ t P </i> <i></i> <i> Phơng trình (*) vô nghiệm </i>

<i>Bài1- Cho hàm sè</i> <i><b>y = </b></i> 1

2 <i><b>x</b><b>2 </b></i>a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tính giá trị của hàm số tại x =

_√

₂ +

_√

₃
c. Các điểm A(- 1; - 1

2 ), B(4;8) , C(

√

2 ;1) có thuộc đồ th ị hàm số không?
d. M, N là các điểm thuộc đồ th ị hàm số có hồnh độ là 2, - 4.

Viết phơng trình đ êng th¼ng MN.

e. Tìm giao điểm của đ ờng thẳng y = x + 4 với đồ thị hàm số trên.

g. Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đi qua điểm (3; 4) và tiếp xúc với đồ th ị hàm
số trên.

h. Chứng minh đ ờng thẳng y = mx + m + 3 luôn cắt đồ thị hàm số trên với
m. Gọi 2 giao điểm là A, B. Tìm m để:

x ❑<i>A</i>2 + x ❑<i>B</i>2 - xAxB = - 3 ; xA + xB = 0

k. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hồnh độ.
<b>Bài2 </b><i> : Cho hàm số f(x) = x2_{- x +2}</i>

a. Tính các giá trị của hàm số tại x = 1

2 vµ x = -3
b. Tìm các giá tr ị của x khi f(x) = 2 vµ f(x) = 14

<b>Bài 3</b> : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2_{/2 (P) : và đường thẳng (D) : y = 3x trên cùng một hệ}
trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.

<b>Bài 4 </b>:Cho <i>_y=</i>

(

_√

<i>m −5−</i>2

)

.x2 _{a)Vẽ đồ thị hàm số với m=6}

b)Tìm m để hàm số đồng biến với x<0

c)Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua A( -2:12)

<b>Bài 5 </b> Cho ( P): y=-x2_{. Đờng thẳng y =m cắt ( P) tại A; B. Tìm m để tam giác AOB đều và tính}

diƯn tÝch tam gi¸c ABO.

<b>Bµi 6 </b>: Cho Parabol ( P) : <i>y=</i>1
4<i>x</i>

2

và đờng thẳng(d) : <i>y=−</i>1
2<i>x</i>+2
a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ độ.

b) Gäi A, B lµ các giao điểm của ( P) vµ ( d). Tìm M trên cung AB cña ( P) sao cho SM A B

lớn nhất

c) Tìm N trên trơc hoµnh sao cho NA+NB nhá nhÊt

<b>Bài 7 </b>: Cho Parabol ( P): y=3x2_{trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đ ờng thẳng y=x+m ct ( P}₎

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB
<b>Bài 8 </b>: Cho Parabol y = <i></i>1

2<i>x</i>

2

và điểm M(1, -2).

1. Chøng minh rằng: Ph ơng trình ® êng th¼ng ®i qua M cã hÖ sè gãc lµ k luôn cắt Parabol tại 2
điểm phân biệt A, B với <i>∀</i> k.

b. Gọi xA, xB lần lợt là hoành độ của A và B, xác định k để <i>x_A</i>2+<i>x</i>

<i>B</i>2<i>−2x_Ax_B</i>(<i>x_A</i>+<i>x_B</i>) đạt giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị ấy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Bµi 10 </b>: Cho hµm sè y = ax2₍₁₎

a) Xác định a biết đồ thị của (1) đi qua điểm A



2 ;2 2



b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a vừa tìm đ ợc.

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số khi x  [ - 2 ; 0 ] ; x  [ 0 ; 2 ] .
d) T×m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cđa hµm sè khi x  [ - 3 ; 3 ] .
<b>Bµi 11 :</b> Cho hai hµm sè

2

1

y x vµ y 2x 2
2

  

.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọ a độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

<b>Bài 12** :</b> Tam giác đều AOB nội tiếp trong mộ t parabol y = ax2_{đỉnh O là gốc tọa độ và đáy AB}

song song với trục Ox, A và B nằm trên parab ol. Hãy tính tung độ của điểm B.

<b>Bài 13 :</b> Cho đờng thẳng (d): y = k(x - 1) và parabol (P): y =

2

1
x

2 _{. Với giá trị nào của k th× (d):}
a) TiÕp xóc víi (P).

b) Cắt (P) tại một điểm có tung độ là 2 và hồnh độ d ơng. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
(d).

<b>KHI CHøNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT</b>

Và<b> PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN</b>
<b>A.Khai thác giả thiết </b>

<i><b>-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có đ ợc từ đầu bài ,những điều đã chứng </b></i>
<i><b>minh đợc.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:</b></i>

<b>I.NÕu cã điểm thuộc đ ờng tròn thì nghÜ tíi</b>
1, C¸c b¸n kÝnh b»ng nhau

2, Tø gi¸c nội tiếp

3,Các góc với đ ờng tròn.Đặc biệt nếu có đ ờng kính thì sẽ có góc vuông
<b>II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới</b>

1,Cỏc gúc i bù nhau

2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(<i><b>nếu nối 2 đ ờng chéo</b></i>)
3, Góc trong bằng góc ngồi ở đỉnh đối( <i><b>Phải chứng minh</b></i>)
4, Điểm thuộc đ ờng trịn

5, Bài tốn “<i>Phơng tích</i>” ( <i>Nếu có giao điểm 2 đ ờng chéo hoặc 2 cạnh đối)</i>

<b>III. NÕu cã TiÕp tun th× nghÜ tíi</b>

1,Các tính chất Vng góc , cách đều , phân giác
2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

<b>IV. Quan hệ </b><i><b>Góc - Cung </b></i>–<i><b> Dây </b></i>–<i><b> Khoảng cách từ tâ m đến dây</b></i>

<b>V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình </b>
<b>vng…thì nghĩ tới</b>

TÝnh chÊt của các hình ấy

<b>VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới </b>

nh lý Pi ta go và các hệ thứ c l ợng trong tam giác vng
<b>VII.Nếu có 2 đ ờng thẳng song song thì nghĩ tới </b>

Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị

<b>VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ êng trung tuyÕn , ® êng cao , trung trùc </b> của tam giác thì
nghĩ tới tính chất của chúng

<b>B.phân tích đi lên từ kết luận (</b>

<i><b>Dựa vào các phép chứng minh)</b></i>

I - C h ø n g m i n h c ¸ c y Õ u t è b » n g n h a u .

1. Chøng minh hai gãc b»ng nhau.

C1 Thờng CM chúng là hai góc t ơng ứng của <i><b>hai ta m giác bằng nhau hoặc đồng dạng</b></i>.
C2/ Nếu là <i><b>hai góc trong 1 ta m giác</b></i> thờng CM chúng là hai góc ở đáy của <i><b>tam giác cân.</b></i>
C3/ Nếu là <i><b>hai góc đối trong một tứ giá c</b></i> ta thờng CM tứ giác đó là <i><b>hình bình hành.</b></i>
<i><b>C4/ </b></i>Nếu <i><b>là hai góc kề trong mộ t tứ giác</b></i> thờng CM tứ giác là <i><b>hình thang cân.</b></i>

C6/ Nếu là hai góc <i><b>So le trong</b></i> hoặc <i><b>đồng vị</b></i> thờng chứng minh <i><b>hai đờng thẳng song song.</b></i>
C7/ Nếu là hai <i><b>góc trong đ ờng trịn</b></i> ta th ờng chuyển về <i><b>chứng minh cung , dây</b></i> t ơng ứng bn

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

C8/ <b>Ngoài ra ta có thể sử dụng</b>: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất <i><b>tia phân giác</b></i>,
hai góc <i><b>đối đỉnh</b></i>, cặp góc<i><b> có cạnh t ơng ứng vng góc</b></i> hay<i><b> song song</b></i>,…

<i><b>*Chó ý: </b></i> NÕu kh«ng cm ® ỵc trùc tiÕp. Ta nghÜ tí i viƯc <i><b>sư dông gãc thø 3 lµm trung gian</b></i>. (CM
chóng cïng b»ng ,cïng bï,cïng phơ víi 1gãc .Hay 2 gãc cïng b»ng tæng ,hiƯu cđa 2 gãc b»ng
nhau.)

2. Chøng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

C1/ Thông th ờng gắn vào hai cạnh t ơng ứng của <i><b>hai ta m giác bằng nhau.</b></i>
C2/ CM là hai cạnh bên của một <i><b>tam giác cân</b></i> hoặc <i><b>hình thang cân</b>.</i>

C3/ CM l <i><b>hai cạnh đối của hình bình hành</b></i> (HCN, Hình thoi, Hình vng).

C4/Sửdụngđịnh nghĩa:<i><b>Trung điểm đ ờng trung tuyến, đ ờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến</b></i>
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về <i><b>đờng trung bình trong tam giác, hình thang.</b></i>

C6/ Nếu là 2 <i><b>đờng chéo</b></i> trong 1 tứ giác th ờng CM tứ giác là <i><b>Hình thang cân, HCN, HV</b></i>.
C7/ Nếu là 2 <i><b>dây cung</b></i> trong 1 đ ờng tròn th ờng chuyển về <i><b>dây , góc , kc đến tâm</b></i> t ơng ứng.
<i><b>*Chú ý :</b></i> Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách:

+ Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn th ẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng <i><b>tính chất bắc cầu</b></i> hay CM phản chứng.

I I - C h ø n g mi n h 2 đ ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g 2 ® ê n g t h ¼ n g v u « n g gã c

1. Chứng minh hai đờng thẳng song song.

C1/CM cùng <i><b>song song</b></i> hoặc cùng <i><b>vng góc</b></i> với đờng thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc <i><b>SLT</b></i> hoặc đv <i><b>bằng nhau</b></i> , hoặc 1 cặp <i><b>TCP bù nhau.</b></i>

C3/ NÕu lµ 2 cạnh trong 1 tứ giác th ờng CM tứ giác là <i><b>Hình bình hành</b></i>

C4/ Nu cú cỏc <i><b>on </b><b>thng tỉ lệ</b></i>: ta sử dụng <i><b>định lí đảo của định lí Talét.</b></i>

C5/ Nếu có nhiều <i><b>trung điểm</b></i> thờng dùng <i><b>đờng trung bình</b></i> của tam giác , hình thang.

2. Chøng minh hai đ ờng thẳng vuông góc.

C1/ Cm chóng lµ 2 <i><b>tia phân giá c</b></i> của <i><b>2 gãc kÒ bï </b></i>hay hai đ ờng thẳng cắt nhau tạo ra gãc b»ng
900_.

C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của <i><b>ba đờng cao</b></i> trong tam giác. Sử dụng tính chất <i><b>đờng cao</b></i>
ứng với <i><b>cạnh đá</b></i>y trong tam giác cân hoặc <i><b>đờng trung trực .</b></i>

C3/ Sử dụng tính chất <i><b>góc nội tiếp chắn nửa đ ờng trịn</b></i>. <i><b>Đờng kính</b></i> của đờng tròn đi qua

<i><b>trung điểm của dây</b></i> cung hay <i><b>tính chất của tiếp tuyến</b></i>.

C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng <i><b>định lí đảo của định lí Pytago.</b></i>

C5/ Nếu là <i><b>2 đờng chéo</b></i> trong 1 tứ giác th ờng chứng minh tứ giác là <i><b>hình thoi</b></i>

<b>C6/ </b>Chứng minh đ ờng thẳng này <i><b>vng góc</b></i> với đờng thẳng <i><b>song song</b></i> với đờng kia hoặc <i><b>song</b></i>
<i><b>song</b></i> với đờng thẳng <i><b>vng góc</b></i> với đờng kia.

I I I - c h ø n g m i n h b a ® i Ó m t h ¼ n g h µ ng , b a đ ờ n g t h ẳ n g ® å n g qu i.

1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( C ïn g t h u é c m é t ® ê ng t h ẳn g )

Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :

C1/ AB + BC = AC (hc AC + CB = AB, BA + AC = BC).
C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800_.

C3/ CM: AB, AC <i><b>cùng song song</b></i> với một đ ờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc <i><b>cùng</b></i>
<i><b>vng góc</b></i> với 1 đ ờng thẳng.

C4/ Dïng tÝnh chÊt : <i><b>Trung ®iĨm 1 ® êng chÐo vµ 2 ®Çu ® êng chÐo kia</b></i> trong <i><b>h×nh b×nh hành</b></i>
thẳng hàng. <i><b>Đờng kính đi qua tâ m</b></i><b>.</b>

2. Chng minh ba đ ờng thẳng đồng qui.

C1/ Chøng minh ® ờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng kia.

C2/ S dng tớnh cht các đ ờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đ ờng cao đồng qui,
3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đ ờng phân giác đồng qui, 3 đ ờng trung trực đồng qui.

C3/ Dùng tính chất <i><b>: Các đ ờng kính</b></i> đồng quy tại <i><b>tâm</b></i> .Các <i><b>đờng chéo của những hình bình</b></i>
<i><b>hành</b></i> có chung 1 đ ờng chéo đồng quy.

C4/ Đa về chứng minh ba điểm thẳng hµng.

I V - c h ø n g m in h c á c h ì n h c ơ b ả n.

1. Chứng minh tam giác cân.

C1/ CM tam giác có <i><b>hai góc bằng nhau.</b></i>
C2/ CM tam giác có <i><b>hai cạnh bằng nhau.</b></i>

C3/ CM tam giác có <i><b>một đờng đi qua đỉnh</b></i> đồng thời là một đ ờng khác của tam giác.

2. Chứng minh tam giỏc u .

C1/ CM tam giác có <i><b>ba cạnh bằng nhau.</b></i>

C2/ CM tam giác có <i><b>hai góc bằng 60</b><b>0</b><b>_.</b></i>_hoặc<i><b>_{3 gãc b»ng nhau.}</b></i>

C3/ CM <i><b>tam giác cân có một góc bằng 60</b><b>0</b></i>_.hoặc<i><b>_{cạnh bên bằng cạnh đáy.}</b></i>

3. Chøng minh tam giác vuông.

C1/ S dng <i><b>nh lớ o ca nh lí Pytago</b></i> (nếu có độ dài).
C2/ CM tam giác <i><b>có một góc bằng 90</b><b>0</b><b>_.</b></i>

C3/ CM tam giác có <i><b>đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh t ơng ứng</b></i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>§Ĩ chøng minh mét đ ờng thẳng là: Đ ờng cao, đ ờng phân giác, đ êng trung tuyÕn, ® ờng</b>
<b>trung trực, đ ờng trung bình, trong một tam giác. Ta chøng minh:</b>

C1/ Sử dụng <i><b>tính chất đồng qui</b></i> của các đ ờng này trong một tam giác.
C2/ Sử dụng chính tính chất của các đ ờng ấy:

<b>Ví dụ </b>: + Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.

+ Điểm cách đều hai đầu mú t của đoạn thẳng th ì thuộc đ ờng trung trực của đoạn thẳng ấy.

I v - C h ø n g m in h t ø g i ¸ c n éi t i Õ p ® ên g t r ß n

C1/ CM bốn đỉnh cùng <i><b>cách đều </b></i>một điểm nào đó (gọi là tâm đ ờng trịn).
C2/ CM tứ giác có <i><b>tổng hai góc đối bằng 180</b><b>0</b><b>_.</b></i>

C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh cịn lại d ới <i><b>hai góc bằng nhau.</b></i>
C4/ CM tứ giác có <i><b>tổng các góc đối bằng nhau</b></i>

C5/Cm <i><b>góc trong bằng góc ngồi ở đỉnh đối.</b></i>

C6/CM tứ giác là <i><b>hình chữ nhật</b></i> hoặc <i><b>hình thang cân</b></i>.

C7/ Chứng minh <i><b>2 điểm thuộc đ ờng tròn đ ờng kính</b></i> là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.

<i><b>Chỳ ý </b></i>: Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đ ờng tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon
điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộ c một đ ờng trịn. Sau đó CM t ơng tự với các điểm
còn lại.

V I - c h ø n g m i n h h Ö t h ø c , t Ø l Ö t h ø c

C1/ Gắn vào 2 tam giác <i><b>đồng dạng</b></i>.

C2/ Nếu có đ ờng thẳng <i><b>song song</b></i> th ờng dùng định lý Ta Lét.

C3/NÕu cã <i><b>gãc vu«ng</b></i> thêng dïng hệ thức l ợng trong tam giác vuông
C4/ Nếu có phân giác th ờng dùng <i><b>tính chất đ ờng phân giác</b></i>

Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp thì dùng tính chất <i><b>bắc cầu. </b></i>

V I I - C h ø n g m i n h m é t ® ê n g t h ¼ n g l µ t i Õ p t u y Õ n c đ a ® ê n g t r ß n .

<b>C1/ C</b>hứng minh đ ờng thẳng <i><b>vng góc với bán kính</b></i> tại đầu thuộc đ ờng tròn.
C2/ Chứng minh <i><b>khoảng cách</b></i> từ tâm đến đ ờng thẳng bằng bán kính.

<b>VIII-các tr ờng hợ p bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác.</b>

A)B»ng nhau : <i><b>c. c. c ; c. g.c ; g.c.g</b></i> B)Đồng dạng : <i><b>g. g ; c.c. c ;</b></i>
<i><b>c.g.c</b></i>

<b>IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ</b>

1.C«ng thøc tÝnh chu vi và diện tích các hình

2.Diện tích tam giác đều và tam giác cân có một góc bằng 1200

3.Hệ thức l ợng trong tam giác vuông ( cả đl Pi-ta go) và tỉ số l ợng giác của góc nhọn.

<b>X-Khi giải bài toán quỹ tích</b> (T h ê n g c h o d í i d ¹ n g<i> K h i m é t ®i Ĩ m c h u y Ĩ n ® é n g t hì đ i ể m ? d i </i>“

<i>c h u y Ĩ n t r ª n đ ờ ng n à o h o Ỉ c c h ø n g m i n h ® i Ó m ? d i c h u y Ó n t r ª n m é t ® ê n g t r ß n c u n g t r ß n h a y đ ờ ng t h ẳ n g c ố </i>

<i>đ ị n h )</i>”

<b>cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau:</b>
1. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vng là đ ờng trịn đ ờng kính
2. Cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi là đ ờng trịn tâm
3. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc khơng đổi là cung chứa góc

4. Cách đờng thẳng cố định một khoảng không đổi là đ ờng thẳng song song ( hoặc vng
góc)

5. Cách đều 2 điểm cố định là đ ờng trung trực của đoạn thẳng
6. Cách đều 2 cạnh mộ t góc cố định là tia phận giác cuả góc
<i><b>Chú ý </b></i>: Quỹ tích ( cịn gọi là tập hợp) phải gắn vi yu t <b>c nh</b>

<b>XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất trong hình học cần ghi nhớ:</b>
1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông

2.Trong hình th ang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông

<b>C.Một số dạng hình cơ bản</b>

I,Từ mộ t điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến
II,Đa giác nội tiếp đ ờng tròn (Đ ờng tròn ngoại tiếp)
III, Hai đ ờng tròn cắt nhau

IV,Hai ng trũn tip xỳc
V, Na ng trũn

VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác
VII,Không có đ ờng tròn

<b>BàI tập</b>

<b>Dng 1 : Từ một điểm ở ngồi đ ờng trịn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng trịn</b>
<b>Bài 1 </b> : Từ điểm M nằm ngồi (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD.

a) Chøng minh MA.MB = MC.MD

b) AD cắt BC tại N .Chứng minh NA.ND = NB.NC

c) KỴ tiÕp tun MP . Chøng minh MP2 _{= MA.MB = MC.MD}
<b>Bài 2 </b><i>( Đề năm 02-03</i><b>)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

a. Gọi I là trung điểm AB. Chøng minh 4 ®iĨm P, Q, O, I nằm trên một đ ờng tròn
b. PQ cắt AB t¹i E. Chøng minh MP 2_{= ME. MI}

c. Qua A kẻ một đ ờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt tại H,K.
Chứng minh Tứ giác AHIQ nội tiếp và KB = 2. HI

<b>Bài 3 </b><i><b>(</b></i><b> </b><i><b> </b></i><b> </b><i>Đề năm 06-07</i>)Cho điểm A ở bên ngoài đ ờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C ). Gọi D, E,
F tơng ứng là hình chiếu vng góc của M trên các đ ờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm
của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF.

Chứng minh : a) MECF ,MHFK là tứ giác néi tiÕp.
b) MF2 _{= MD.ME}

b) MF vu«ng gãc víi HK.

c) DF là tiếp tuyến của đ ờng tròn ® êng kÝnh MC

<b>Bµi 4: </b>Cho tam gi¸c ABC cân tại A . Đ ờng tròn (O) tiÕp xóc víi hai cạnh AB,AC lần l ợt tại
B,C.Qua C kẻ một đ ờng th¼ng song song víi AB c¾t (O) t¹i D .AD cắt (O) tại E .Chøng minh:
a) AE. AD = OA2_OD2

b)CE cắt AB tại G .Chứng minh : GA2_{= GE.GC}

c) Chøng minh : GA= GB

<b>Bµi 5 : </b>Tõ ®iĨm M n»m ngo¹i (O) kỴ hai tiÕp tun MA,MB và cát tuyÕn MCD .Tia phân giác
của góc CAD cắt CD tại I . Chøng minh a) MI = MA b) BI lµ tia phân giác cđa gãc
CBD.

<b>Bµi 6 : </b>Tõ ®iĨm M n»m ngo¹i (O) kẻ cát tuyến MCD. TiÕp tuyÕn víi (O) t¹i C,D cắt nhau tại
A.Gọi H là hình chiếu của A trên OM. Chứng minh:

<b>a)</b> 5 điểm C,D,O,A,H cùng thuộc một đ ờng tròn.
<b>b)</b> MH.MO = MC.MD

<b>c)</b> Kẻ tiếp tuyến MB .Chứng minh MH.MO = MB2 _{T ú H c nh.}

d)* A,H,B thẳng hàng.

e)* AH cắt (O) tại E .Cm ME lµ tiÕp tun cđa (O)
<b>Bµi 7 </b>: cho (O) và đ ờng thẳng d cắt (O)

Tại A,B. M thuộ c đ ờng thẳng d và nằm ngoài
(O) .KỴ 2 tiÕp tun MC,MD . Chøng minh:

a)Đờng trịn ngoại tiếp tam giác MCD ln đi qua 2 điểm cố định

b)Xác định vị trí của M để tam giác MCD vuông

<b>Bài 8 : </b> Cho đường trịn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngồi đường trịn (O). Từ S vẽ hai
tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt
đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi
qua tâm O).

a) Chứng minh SO vng góc với AB.

b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB
cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh OI.OE = R2_{. d) Cho biết SO = 2R và MN =} _{Tính diện tích tam giác ESM}
theo R.

<b>Dang2 : Đa giác nội tiếp đ ờng trßn</b>

<b>Bài 9: </b><i><b>(đề </b></i>06-07<i><b>)</b></i> Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đ ờng kính AD. Hai đ ờng chéo AC, BD cắt
nhau tại E. Hình chiếu vng góc E trên AD là F. Đ ờng thẳng CF cắt đ ờng tròn tại điểm thứ
hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh

a) CEFD là tứ giác nội tiếp.

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE. DN = EN . BD

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

a)Chứng minh OI vng góc với cạnh QR.
b)Chứng minh ng thc QI2_{= PI.DI}

c)Gọi H là hình chiếu vuông góc của P trên cạnh QR. Cm Q ^<i>_P</i> H = R ^<i>_P</i> O

d)Chøng minh gãc H ^<i>_P</i> O = |Q - R|

<b>Bài11: </b> Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ ® êng kÝnh AD.
a) Chøng minh tø gi¸c ABDC là hình chữ nhật .

b) Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD; AH là đ ờng cao của tam giác
(H trên cạnh BC). Chứng minh HM vuông gãc víi c¹nh AC.

c) Xác định tâm của đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.

d) Gọi bán kính của đt nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Cm: r + R

√

AB . AC

<b>Bµi 12 : </b>Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) .Đ ờng cao AH .Kẻ đ ờng kính AD.

Chứng minh : a) AB.AC = AH.AD b) DiÖn tÝch tam giác ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)

<b>Bài 13 </b>Cho tam gi¸c ABC cân tại A nội tiÕp (O) .Tia phân giác của các gãc B , C c¾t nhau ở E
và cắt (O) lần l ợt t¹i F,D. Chøng minh :

a) AD // BF

b) Tứ giác ADEF là hình thoi

c) Qua E kẻ một đ ờng thẳng song song với AC cắt AB tại G

Cm tứ giác BEGD nội tiếp. DF cắt AC tại H .Cm H thuộc đt ngoại tiếp tam giác CEF

<b>Bài 14 </b> : Cho ABC nhän, néi tiÕp ® êng tròn tâm O. Tõ B, C kỴ tiÕp tuyÕn víi đ ờng tròn,

chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cá t t uyÕ n s ong s ong víi AB cắt đ ờng tròn tại E, F và cắt AC t¹i I.

a) Chøng minh gãc DOC b»ng gãc BAC

b) Chøng minh bèn ®iĨm O, I, D, C nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh IE=IF

d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC

e) Cho B,C cố định,kh A chuyển động tr ên cung BC lớn th ì I di chuyển trên đ ờng nào ?
<b>Bài15 </b>:Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O). D,E là điểm chính giữ a của cung AB, AC. DE
cắt AB và AC tại H,K.

a) Chøng minh r»ng: tam giácAHK cân

b) BE cắt CD tại I, Chứng minh r»ng AI vu«ng gãc víi DE
c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiÕp

d) Chøng minh r»ng IK//AB

e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC

<b>Bài 16 </b>: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong một đ ờng tròn. P là điểm chÝnh gi÷a cđa cung
AB( phần không chứa C,D). Hai đây PC, PD lần l ợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo
dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:

a) Gãc CID b»ng gãc CKD.
b) Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ® ỵc.
c) PC.PE = PD.PF

d) IKCD néi tiÕp
e) IK//AB.

f) PA là tiếp tuyến của đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.

<b>Bài 17 </b>: Cho hình chữ nhËt ABCD néi tiÕp trong đ ờng tròn (O). TiÕp tuyÕn t¹i C víi ® êng tròn
cắt AB,AD kéo dài lần l ợt tại E và F.

a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai ph ơng pháp.

b) Gọi M là trung điểm cđa EF. Chøng minh AM vu«ng gãc víi BD.

c) TiÕp tuyÕn t¹i B và D với đ ờng tròn (O) cắt EF lần l ợt tại I, J. Chøng minh I vµ J lần l ợt
là trung điểm của CE vµ CF.

d) TÝnh diƯn tÝch phần hình tròn giới hạn bởi dây AD vµ cung nhá AD, biÕt AB=6 vµ AD=6

√

3 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

a) Chøng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đ ờng vuông gãc lµ G)
b) Chøng minh BCGF , ABGF néi tiÕp

c) Chøng minh :BA.BE=BC.BF=BD.BG

d) Chứng minh B là tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác ACG.
e) Cho góc ABC bằng 1350_{, hãy tính độ dài AC theo BD.}

<b>Bµi 19 </b>:Cho tam giácABC cân tại A( gãc A<900_{) néi tiÕp ® ờng tròn (O). Một điểm M tuú ý trªn}

cung nhá AC. Tia Bx vu«ng gãc víi AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:

a) Góc AMD bằng góc ABC.

b) Tam giác BMD cân

c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn của
góc BDC khơng đổi .

<b>D¹ng 3 </b>: <b> Hai ® ờng tròn cắt nhau</b>

<b>Bài20( </b> Đề 03-04)Cho hai ® êng tròn (O1) và (O2) c¾t nhau tại A và B, tiÕp tuyÕn chung víi hai

đờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E

vµ F . Qua A kỴ c¸t tuyÕn song song víi EF c¾t đ ờng tròn O1, O2 thø tù t¹i C, D. § êng th¼ng

CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I.

1. Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD

2. Chøng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh đ ờng thẳng AB đi qua trung ®iĨm EF

<b>Bµi 21: </b> Cho hai đ ờng tròn (O1) vµ (O2) cắt nhau tại A vµ B.Qua B vÏ c¸t tuyÕn chung CBD

vuông góc với AB , vẽ cát tuy ến chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O1) ,E thuéc cung BC ) .

a)Chøng minh A, O1, C th¼ng hàng và AD đi qua O2

b) Gäi K lµ giao điểm của các đ ờng thẳng CE vµ FD .Chøng minh tø gi¸c AEKF néi tiÕp vµ
K thuộc đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

c) Khi E di chun trªn cung BC thì K di chuyển trên đ ờng nào

<b>Bài 22 </b>: Cho tam gi¸c ABC vuông tại A . Đ ờng tròn tâm I ® êng kÝnh AB cắt đ ờng tròn tâm K ®
-êng kÝnh AC tại điểm thứ hai H .Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuéc (I) .Gäi M lµ trung điểm của
EF ,N là trung điểm cđa BC .Chøng minh

a) B,H,C th¼ng hàng

b) 6 điểm A , I , H , N , K, M cùng thuộc đ ờng tròn
c) AB lµ tiÕp tun cđa (K) vµ AC lµ tiÕp tun cđa (I)

d) Khi EF quay quanh A th ì M di chuyển trên một đ ờng tròn cố định
e) Hỏi rằng ở vị trí nào thì cát tuyến EF có độ dài ln nht

<b>Dạng 4 : Hai đ ờng tròn tiếp xúc ngoài</b>

<b>Bài 23: </b>Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A . Gäi BC lµ mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi . BC ở .
OI cắt (O) tại D cắt (I) tại E .Chứng minh

a) A , B , C cïng thuéc mé t ® êng

b) B thuộc đ ờng tròn nội tiếp tam giác CDE

c) OI là tiếp tuyến của đ ờng tròn đ ờng kính BC và ng ợc lại

d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tÝnh diÖn tích của hình giớ i hạn bởi đoạn thẳng BC víi c¸c cung AB,
AC

<b>Bài 24: </b> Cho (O) và (P) tiếp xúc ngoài tại A . Đ ờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần l ợt tại B,C .Tiếp

tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I .Chứng minh: a) I thuộc đ ờng
trịn đờng kính OP

b) MN2_{= 4. OA.PN}

c) BM vuông góc với CN

d) AM cắt (O) tại E và AN cắt (P) tại F .chứng minh : BC2_{= ME}2_{+ NF}2

<i><b>Bài 25 </b> :</i> Hai đờng tròn (O; R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại điểm A (R > r). Gọi BC là tiếp tuyến
chung ngoài

(B  (O) ; C (O). M là trung điểm của OO, H là hình chiếu của M trên BC.
a) Tính góc OHO

b) Chứng minh OH là tia phân gi¸c cđa gãc AOB

c) Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O’)
d) Cho R = 4 cm ; r = 1 cm . Tính các độ dài BC ; AM

<b>Bµi 26 </b>: Cho hai đ ờng tròn (O1),(O2) tiÕp xóc ngoài tại A. Một đ ờng thẳng (d) tiÕp xóc víi

(O1),(O2) lÇn lợt tại B, C.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

d) Các tia BA, CA lÇn l ợt cắt (O1),(O2) tại các giao ®iÓm thø hai D, E. Chøng minh diƯn

tÝch tam gi¸cADE b»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC .
<b>Dạng 5 : Nửa đ ờng tròn </b>

<b>Bài 27: </b> Cho M thué c nöa đ ờng tròn tâm O ® êng kÝnh AB .Tõ A vµ B kỴ 2 tiÕp tuyÕn Ax vµ
By .TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t Ax , By lần l ợt ë C ,D .Các đ ờng thẳng AD, BC c¾t nhau ë N .Chøng
minh : a) CD - AC = BD b) Tam giác CDO vuông

c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí của M để Diện tích đ ờng trịn đ
-ờng kính CD nhỏ nhất

g) MN c¾t AB tại H .Chứng minh : MN = NH

<b>Bài 28 </b>:<b> </b> <b> </b> Cho C thc nưa ® êng tròn đ ờng kính AB . I lµ điểm chính giữa cña cung AC .AI cắt
BC tại M .Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân

c) AC ct BI tại H ,MH cắt AB tại N .Chứng minh H là tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác NIC
d) Gọi K là điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA là tiếp tuyến của đ ờng tròn đ ờng kính
AB

<b>Bµi 29 </b> :Cho nửa đ ờng tròn đ ờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đ ờng tròn

(D A và D B). Dùng hình bình hành ABCD. Tõ D kỴ DM vu«ng gãc với đ ờng thẳng AC
tại M và từ B kẻ BN vuông góc với đ ờng thẳng AC tại N.

a. Chứng minh bốn ®iĨm D, M, B, C n»m trªn mé t ® êng trßn.
b. Chøng minh AD . ND = BN . DC

c. Tìm vị trí của D tr ên nửa đ ờng tròn sao cho BN . AC lín nhÊt.

<b>Bài 30 :</b> Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO,
đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một
điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho

tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.

1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh ΔMNK cân.

3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.

4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp
ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định.

<b>Bµi 31 </b>: Cho nưa ® êng tròn tâm O, ® êng kÝnh AB=2R và một điểm M bÊt k× n»m trên nửa đ ờng
tròn (M khác A và B). Đ ờng thẳng d tiÕp xóc víi nưa ® êng tròn tại M và cắt đ ờng trung trực
của đoạn AB tại I.Đt tâm I tiÕp xóc víi AB cắt đ ờng thẳng d tại C vµ D (D n»m trong gãc
BOM).

a) Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.

c) Chứng minh AC.BD=R2

d) Tìm một vị trí của M trên nửa đt(O) để tổng AC+BD đạt min? Tìm giá trị đó theo R.
<b>Các bài khác</b>

<b>Bài 32 </b><i> :</i> Cho đờng trịn (O) đ ờng kính AB, một điểm M di động tr ên đ ờng tròn. Gọi N là điểm
đối xứng với A qua M, P là giao điểm thứ hai của đ ờng thẳng BN với đ ờng tròn (O); Q.R là
giao điểm của đ ờng thẳng BM lần l ợt với AP và tiếp tuy ến tại A của đ ờng tròn (O).

a) Chứng minh rằng điểm N luôn luôn nằm trên đ ờng tròn cố định tiếp xúc với đ ờng
tròn (O). Xác định tâm và BK của đ ờng trịn đó.

b) Chøng minh RN là tiếp tuyến của đ ờng tròn (B;AB)
c) Tứ giác ARNQ là hình gì ? Tại sao ?

<b>Bài 33 </b><i>:</i> Cho đờng tròn (O) đ ờng kính AB. Dây CD khơng qua O vng góc với AB tại H. Dây
CA cắt đờng tròn đ ờng kính AH tại E và đ ờng trịn đ ờng kính BH cắt dây CB tại F. Chng minh
rng :

a) CEHF là hình chữ nhật.

b) EF là tiếp tuyến chung của các đ ờng tròn đ ờng kính AH và đ ờng kính BH.
c) 1

EF2=
1
CA2+

1
CB2

<b>Bµi 34 </b> Cho tam giác vuông ABC ( <i>_C</i>^ = 900_{), O lµ trung điểm của AB và D là điểm tr ên cạnh}

AB ( D không trùng víi A, O, B ). Gäi I và J thứ tự là tâm đ ờng trong ngoại tiếp tam giác ACD
và BCD.

1. Chøng minh OI song song víi BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi và chỉ khi OI = OJ

<b>Bài 35 </b> : Cho tam giác vuông MNP ( ^<i>_M</i> = 900_{), §êng cao MH (H trên cạnh NP). Đờng tròn}

ng kớnh MH cắt cạnh MN tại A và cắt cạnh MP ti B.

1) Chứng minh AB là đ ờng kính của đ ờng tròn đ ờng kính MH
2) Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.

3) Từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh IN = IP

<b>Bài36: </b> Cho tam giác vu«ng ABC (AC > AB, ^<i>_A</i> = 900_{). Gọi I là tâm đ ờng tròn nội tiếp tam}

giác ABC, các tiếp điểm của đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l ợt tại M , N , P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.

2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D . Chứng minh 5 ®iĨm M, B, N, D, I n»m trªn mét đ ờng tròn
3*. Đ ờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt tại E vµ F.

Chøng minh BE. CF = 2 BI .CI

<b>B i 37à</b> <b> </b>:Cho đờng tròn tâm(O). AB là dây cố định của đ ờng trịn khơng đi qua tâm. M là mộ t
điểm trên dây cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm
chính giữa của cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD tại I, đ ờng thẳng CD cắt
cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.

1. Chøng minh tam gi¸c ADI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác ADPI là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh PI = MQ.

4. Đờng thẳng MI cắt đ ờng tròn tại N. Khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm
của MN chuyển động trên đ ờng nào.

<b>Bài 38</b> Cho 3 ®iĨm A, B , C thẳng hàng ( theo thø tù Êy). Gäi (O) lµ đ ờng tròn đi qua B vµ C.

Tõ A vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AE vµ AF víi ®t (O). ( E vµ F là các tiếp ®iÓm ). Gäi I là trung điểm
của BC.

a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F

b) Đờng thẳng FI cắt đ ờng tròn (O) tại G. Chøng minh EG // AB
c) Nèi EF cắt AC tại K, Chứng minh AK . AI = AB . AC

<b>B i39:à</b> <b> </b> Cho đ ờng tròn(O;R) và dây AC cố định không đi qua tâm . B là một điểm bất kì trên
đờng trịn (O;R) ( B không trùng với A và C).Kẻ đ ờng kính BB _❑<i>,</i> _{Gọi H là trực tâm của của}

tam gi¸c ABC.

1) Chøng minh AH//BC

2) Chøng minh r»ng HB®i qua trung ®iĨm cđa AC

3) Khi điểm B chạy trên đ ờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA và C) . Chứng minh rằng
điểm H luôn nằm trên mộ t đ ờng trịn cố định .

<b>Bµi 40 </b>: Cho ®t tâm O, bán kÝnh OA=R. VÏ d©y BC vu«ng gãc víi OA t¹i trung ®iĨm H cđa
OA.

a) Tứ giác ABOC là hình gì ?

b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC là tứ giác nội tiếp và
KB,KC là tiếp tuy ến ca (O)

c) Tam giác KBC là tam giác gì?

d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.

f) TÝnh diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
<b>Bài 41 </b>: Cho (O;R) và dây AB<2R. Trªn tia AB lÊy C sao cho AC>AB.Tõ C kỴ hai tiÕp tun
víi (o)t¹i P,K. Gäi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng Tø gi¸c CPOK néi tiÕp

b) Chøng minh r»ng: C,P, I, O, K cïng n»m trªn mét ® êng trßn

c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2_=CB.CA

d) gäi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R

e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP

<b>Bài 42 </b>: Cho đờng tròn (O;R) đ ờng kính AB, kẻ tia tiếp tuy ến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn tại M.

a) Chøng minh APMO néi tiÕp
b) Chøng minh r»ng BM//OP

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân

e) Biết AN cắt OP t¹i K, PM cắt ON tại I, PN vµ OM kéo dài cắt nhau t¹i J. Chứng minhI,
J, K thẳng hàng.

<b>Bài 43 </b>: Cho đoạn AB vµ M n»m giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bê AB dùng h×nh vuông
AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N

a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đt ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh : D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE

c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,

<b>Bài 44 </b>:Cho đờng tròn (O) đ ờng kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đ ờng tròn.
Ngời ta vẽ mộ t đ ờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ ờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đ ờng
kính AB tại N. Đ ờng này cắt MA, MB lần l ợt tại các điểm thứ hai C, D.

a) Chøng minh CD//AB

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đ ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm
K cố định.

c) Chứng minh :tích KM.KN khơng đổi

d) Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần l ợt là C,_,D,_{.Tìm vị tr í của M để chu vi}

tam giác NC,_D,_{đạt giá trị nhỏ nhất.}

<b>Bµi 45 </b>:Cho tam gi¸c ABC vuông tại A. Đ êng cao AH. § êng tròn đ ờng kính AH cắt các cạnh
AB, AC, lần l ợt tại E,F.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chøng minh AE. AB=AF. AC

c) Chøng minh r»ng BEFC néi tiÕp

d) Đ ờng t hẳ ng qua Avng góc với EF cắt BC tại I, C hứng m i nh I là trung điểm của đoạn BC.

e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam

gi¸c ABC vuông cân.

<b>Bi 46 </b>:Cho ng tròn tâm (O;R), hai đ ờng kính AB,CD vng góc với nhau. Trong đoạn AB
lấy mộ t điểm M( khác O). Đ ờng thẳng CM cắt đ ờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đ ờng thẳng
vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đ ờng tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) tø gi¸c OMNP nội tiếp đ ợc.

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) Tứ giác OMNP nội tiếp

d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.

<b>Bài 47 </b> : Cho ba điểm A, B, C tr ên một đ ờng thẳng theo thứ tự ấy và một đ ờng thẳng d vng
góc với AC tại A. Vè đ ờng trịn đ ờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đ
-ờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đ -ờng tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đttại điểm thứ hai P.

a) Chøng minh ABMD néi tiÕp

b) Chøng minh tÝch CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?

d) Chng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đ ờng tròn cố định khi M di động
<b>Bài 48 </b>: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ
một tia v ơng góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:

a) Tø gi¸c BHCA néi tiÕp
b) KC. KA=KH.KB .

c) Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E

d) Khi E di chuyn trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH khơng đổi

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

a) MA2_{= MC.MD}

b) MB.BD = BC.MD

c) Đờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB t¹i B.

d) Tổng bán kính của hai đtngoại tiếp BCD và ACD không đổi khi C di động trên đoạn
AB.

<b>Bài 50 </b>: Cho ABC có góc A > 90o_{. Đờng tròn (O), đ ờng kính AB cắt đ ờng tròn (O}/_{) đờng kính}

AC t¹i giao ®iĨm thø hai lµ H. Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đ ờng tròn
(O/_{) lần lợt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.}

a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh tû sè HM

HN không đổi.

c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I
thuộc một đ ờng tròn và I di chuyển trên một cung trịn cố định.

d) Xác định vị trí của đ ờng thẳng (d) để diện tích HMN lớn nht.

<b>Bài 51 </b>:Cho đoạn thẳng AB và một ®iĨm P n»m giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các
tia Ax, By vu«ng gãc víi AB vµ lần l ợt trên hai tia dã lÊy hai ®iĨm C vµ D sao cho :
AC.BD=AP.PB (1)

a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.

b) Chứng minh góc CPD bằng 900_{. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)}

c) Gọi M là hình chiếu cđa P trªn CD, chøng minh gãc AMB bằng 900

d) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD t¹i K. Chøng minh IK // AB

e) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đ ờng tròn cố định khi C;D lần l ợt di động tr ên Ax,
By nhng vẫn thoả mãn (1).

<b>Bài 52 </b>: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đ ờng tròn đ ờng kính
BD cắt BC tại E.Các đ ờng thẳngCD, AE lần l ợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng
minh :

a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ ợc.
c) Chứng minh AD.AB = AG.AE

d) AC //FG.

e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.

<b>Bài53 </b>Cho đường trịn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao

cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2_{= AE.AC.}
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2_.

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác CME là nhỏ nhất.

<b>Bài 54 :</b> Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường trịn đường kính CH
cắt AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) EF là tiếp tuyến chung của hai đt đường kính BH và CH. c) Tứ giác BCFE nội tiếp.
<b>Bài 55 </b>Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm
của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O)
tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2_.

<b>Bài 56 </b> : Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O và cắt đường tròn tại hai
điểm A, B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với
đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.

a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO.

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN.

d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F.

Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.

<b>Bµi 1 </b> :a. Cho x, y > 0. Chøng minh r»ng : 1
<i>x</i>+

1
<i>y≥</i>

4
<i>x+y</i>

b. Cho a,b >0 thoả mÃn a+ b =1. Tìm giá tr ị nhá nhÊt cña :
<i>A=</i> 1

<i>a</i>2+<i>b</i>2+
1
ab
<b>Bài 2 </b> : Chứng minh bất đẳng thức:

a)

_√

₍<i>_a+c</i>₎2_+(b+<i>_d</i>₎2<i>_≤</i>

_√

<i>_a</i>2₊<i>_b</i>2₊

_√

<i>_c</i>2_+d2

b)

_√

<i>_c</i>_._{(a − c)+}

_√

<i>_c</i>_{(b −c}₎<i>_≤</i>

_√

_ab víi a c  0, b  c
c)

_√

_ab+

_√

_cd<i>_≤</i>

_√

₍<i>_a+d</i>₎_.₍<i>_b+c</i>₎ víi a, b, c, d > 0

<b>Bµi 3 </b> : Chøng minh r»ng : <i>x</i>

2

+<i>y</i>2
2 <i>≥</i>

(

<i>x+y</i>
2

)

2

<i>≥</i>xy

<b>Bµi 4 </b> : Tìm giá tr ị nhỏ nhất của: <i>A=</i> <i>x+</i>16

√

<i>x+</i>3 víi x >0
<b>Bµi 5 </b> :

a) Chứng minh bất đẳng thức :

_|

_ax₊_by

_|

<i>_≤</i>

_√

<i>_a</i>2_+b2_.

_√

<i>_x</i>2₊<i>_y</i>2
b) Tìm giá trị lớn nhất của : <i>_A=</i>



<i>_x</i>₂₊



₄<i>_x</i>

c) Giải phơng trình :



<i>_x</i>₂₊



₄<i>_x</i>₌<i>_x</i>2<i></i>₆<i>_x</i>

+11

d) Giải phơng trình :



<i>x −</i>1+

_√

<i>y −</i>1+

_√

<i>z −1</i>=

√

2(xy+<i>z −1)</i>
<b>Bµi 6 </b> :

1. Chứng minh bất đẳng thức : a. xy + yz + zx Ê x2 _{+ y}2 _+z2

b.

(

<i>x+y</i>+<i>z</i>

3

)

2

<i>≤x</i>

2

+<i>y</i>2+<i>z</i>2
3
2. Cho x + y + z = 3.

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 _{+ y}2 _+z2

b. Tìm giá trị lớn nhÊt cña T = xy + yz + zx

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Bài 7 </b> : Tìm giá tr Þ nhá nhÊt cđa biĨu thøc :
A= x2_{–4x + 3}

B = 3x2_{–6x -1}

C = x2_{+3x + 5}

D =3 x2_{–2x + 9}

<b>Bµi 8 </b> : Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thøc :
A = x2_{–4xy + 5y}2_{+ 10x –22y + 30}

B = x2_{+ 26y}2_{– 10xy + 14x – 76y + 100}

C = 5x2_{– 12xy + 9y}2_{– 4x +4}

D = x2_{+ y}2_{– xy –x y +1}

<b>Bài 9 </b> : Tìm giá tr Þ lín nhÊt cđa biĨu thøc :

A= - 4x2_{–4x + 3 C= 1 + 6y – 5y}2_{– 12xy – 9x}2

B=5 - 8x- x2_{D = 15 – 10x – 10x}2_{+ 24xy – 16y}2
<b>Bµi 10 </b>: Tìm giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc :

<i>A=</i> <i>x</i>

2

+1

<i>x</i>2<i>_{− x+1}</i> <i>B=</i>

8<i>x</i>+3

4<i>x</i>2₊₁ <i>C=</i>

2<i>x</i>+1
<i>x</i>2

+2 <i>D=</i>

27<i>−</i>2<i>x</i>
<i>x</i>2

+9

<b>Bµi 11 </b> : Cho x, y, z 0 thoả mÃn :

4<i>x</i>+<i>y</i>+2<i>z=4</i>
3<i>x+6y </i>2<i>z=6</i>

{

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :T = 5x – 6y + 7z

<b>Bµi 12 </b> : Cho x, y, z  N tho¶ m·n :

¿

<i>x</i>2<i>_{− y}</i>2

+<i>t</i>2=21
<i>x</i>2+3<i>y</i>2+4<i>z</i>2=101

{

Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2_{+ y}2_{+ 2z}2_{+ t}2

<b>Bµi 13 </b>✰ : Cho x2_{+ y}2_{+ z}2_Ê_{27. Tìm giá trị lớn nhất và giá tr ị nhỏ nhất của biểu thøc:}

F = x + y + z + xy + yz + zx
<b>Bµi 14 </b>: Chøng minh r»ng :

a) 1
<i>k</i>2<

1
<i>k −1</i>+

1

<i>k</i> víi k  N vµ k  2
b) 1+ 1

22+

1

32+. .. .. . .+

1
<i>n</i>2<2<i>−</i>

1

<i>n</i> víi n  N vµ n  2
c) 1

9+
1

25+.. . .. ..+
1
(2<i>n+1)</i>2<

1

4 víi n  N vµ n  2

Bµi 15 : Cho hai số x, y thoả mÃn x > y và x.y = 1. Chøng minh : <i>x</i>

2

+<i>y</i>2

<i>x − y</i> <i>−2</i>

√

2≥0
<b>Bài 16 </b> : Cho a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh :

ab + bc + ca £ a2_{+ b}2_{+ c}2_£_{2 (ab + bc + ca)}

<b>Email:</b>

</div>

<!--links-->
ON THI VAO 10 CUA EDUNET

• 37
• 631
• 9