Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỖ TẤT THẮNG

NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG
ĐƯƠNG TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS. TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH đã hết lịng nhiệt tình
giúp đỡ tơi nghiên cứu khoa học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt để tơi hồn tất luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN, PGS.TS. LÊ
THỊ HỒI CHÂU, TS. ĐOÀN HỮU HẢI, TS. LÊ VĂN PHÚC, TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG,
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH, TS. NGUYỄN ÁI QUỐC và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp
cao học chuyên ngành Didactic Toán.
Xin trân trọng cảm ơn Ban gíam hiệu và các thầy cơ Tổ tốn Trường THPT Ngô Quyền đã giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tơi tham gia khóa học này.
Cảm ơn các bạn lớp Didactic Tốn khóa 17 đã cùng tơi kề vai sát cánh trong suốt thời gian học

tập.
Và cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những người thân đã động viên,
khuyến khích, tạo điều kiện cho tơi hồn tất khóa học này.


CHƯƠNG 0: MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Kiến thức về logic và lý thuyết tập hợp là hai nền tảng cơ bản của lâu đài tốn học. Nhắc đến
lơgic Tốn, khơng thể khơng nói tới phép kéo theo và phép tương đương. Cung cấp kiến thức ban đầu
về logic hình thức, phép kéo theo và phép tương đương tạo cơ sở để học sinh hình thành các khả năng
suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt vấn đề một cách chính xác cũng như việc áp dụng đại số
mệnh đề vào suy luận tốn học (phát biểu định lí, điều kiện cần, điều kiện đủ, xác định mệnh đề đúng
sai...). Như thế, hai khái niệm này khơng những đóng vai trị nền tảng trong việc dạy và học Tốn mà
cịn là một kiến thức không thể thiếu trong các ngành khoa học khác.
Chương trình giảng dạy ở Việt Nam cịn thể hiện sự lưỡng lự trong việc lựa chọn giảng dạy khái
niệm mệnh đề. Giai đoạn 1975-1990, mệnh đề và các phép suy luận tốn học là một chương trong
chương trình Tốn lớp 10. Tuy nhiên, giai đoạn 1990-2000, chương này bị lọai bỏ hồn tồn. Sau đó,
nội dung này xuất hiện lại và chiếm vị trí quan trọng cho tới nay.
Vì vậy, việc nghiên cứu thực tế dạy và học phép kéo theo và phép tương đương ở trung học phổ
thông là rất cần thiết.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt ra những câu hỏi ban đầu dưới đây:
1. Trong lịch sử toán học, các khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã nảy sinh và tiến
triển như thế nào?
2. Phép kéo theo và phép tương đương đã được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách
nào, và nhằm mục đích gì?
3. Những ràng buộc của hệ thống dạy học có ảnh hưởng như thế nào đối với hiểu biết của giáo viên
và học sinh về các khái niệm này? Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc
tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng vào các bài toán cụ thể ra sao?
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
2.1 Lí thuyết nhân chủng học didactic

2.1.1 Quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức
Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân X đối với một
đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O), là tập hợp tất cả những tác động qua lại mà X có thể có với O. R(
X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào về O, X có thể thao tác O ra sao.


Theo quan điểm này thì việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối
quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xảy ra nếu quan hệ R(X, O) được thiết lập hoặc bị biến
đổi.
Trên cơ sở lí luận này, khi phân tích mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tri thức
là phép kéo theo, phép tương đương ta có thể tìm được những yếu tố trả lời cho câu hỏi thứ ba.
2.1.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức. Cách tiếp cận sinh thái
Một cá nhân không thể tồn tại độc lập mà ln ln phải ở trong ít nhất một thể chế. Do đó, mối
quan hệ R( X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X.
Một đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống
trong một mối quan hệ chằng chịt với các đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối
quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu có một lí do tồn tại, nếu nó được
ni dưỡng trong những quan hệ và ràng buộc ấy.
Theo Chevallard, quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O) là tập hợp các mối quan hệ, ràng buộc
mà thể chế I có với O, nó cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, có vai trị gì trong
I…
Như vậy, phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là phép kéo theo, phép tương đương
giúp ta tìm được những yếu tố trả lời cho các câu hỏi thứ hai.
2.1.3 Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Xây dựng mơ hình cho phép mơ tả và
nghiên cứu thực tế của hoạt động đó là cần thiết. Xuất phát từ lí luận này, Chevallard đưa ra khái niệm
praxéologie là một bộ phận gồm 4 thành phần (T, , , ) trong đó, T là kiểu nhiệm vụ,  là kĩ thuật
cho phép giải quyết T,  là cơng nghệ giải thích và biện minh cho  ,  là lí thuyết giải thích cho cơng
nghệ  đó.
Một praxéologie mà các thành phần mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học

(organisation mathématique).
Theo Bosch và Chevallard (1999):
“ Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến
đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện nhờ vào những kĩ
thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc
đời mình trong những thể chế khác nhau ở đó nó là một chủ thể, dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá
nhân của nó đối với đối tượng nói trên”.


Theo quan điểm này thì việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân đối với
cùng một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thơng qua việc phân tích các tổ chức tốn học. Nói
cách khác, cách tiếp cận theo các tổ chức tốn học là cơng cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và cơng cụ
phân tích thực tế dạy học.
2.2 Khái niệm chuyển đổi didactic
Dưới đây, chúng tơi trình bày vắn tắt khái niệm chuyển đổi didactique, một khái niệm phổ biến
trong ngành didactique.
“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh
vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội:
mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu
vào một hoặc nhiều thể chế.” (Chevallard 1989)1
Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất
định mà chúng tôi cho rằng không đồng nhất giữa các thể chế khác nhau. Chevallard chấp nhận tiên đề
về sự tồn tại của các thể chế chuyển đổi cho phép một tri thức chuyển từ thể chế này sang thể chế khác:
thể chế chuyển đổi là một thể chế vô hình mà Chevallard gọi là noosphère (1985).
Khi thể chế đích là thể chế dạy học, sự chuyển đổi tri thức sẽ được gọi là chuyển đổi didactique.
Đối với tri thức tốn học, chúng tơi sẽ sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để chỉ tri thức tham chiếu
(savoir de référence) được huy động để hợp thức hoá một tri thức nào đó trong thể chế dạy học.
Sự chuyển đổi didactique có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây:
Tri thức bác học
(Thể chế sản sinh)

↓
Đối tượng cần dạy
(Thể chế chuyển đổi)
↓
Đối tượng được dạy
(Thể chế dạy học)
2.3 Khái niệm hợp đồng didactic
Theo Brousseau, “hợp đồng didactic là tập hợp các cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được
học sinh mong đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy mong đợi… Đó là tập hợp các qui
tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học


được giảng dạy. Nói cách khác, hợp đống chi phối mối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các
mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm”.
Như vậy, việc xác định các qui tắc của hợp đồng didactic sẽ cho phép chúng tôi lý giải được một phần
những ứng xử của giáo viên và học sinh trong thực tế dạy và học liên quan đến phép kéo theo và phép
tương đương.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên. Để làm được
điều đó, chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu Chúng tơi trình
bày lại các câu hỏi như sau:
Q1. Những đặc trưng khoa học luận của phép kéo theo, phép tương đương?
Q2. Sự tiến triển của chuyển đổi didactic các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương qua các
thời kỳ? Những yếu tố không thay đổi? Những yếu tố mất đi? Những yếu tố mới xuất hiện? Những yếu
tố được biến đổi?
Q3. Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và
tương đương đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Nó phải chịu những điều kiện và ràng buộc nào?
Q4. Những qui tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình hành giữa giáo viên và học sinh
trong sự vận hành tri thức PKT và PBĐTĐ với các kiểu nhiệm vụ cụ thể?
4. Phương pháp nghiên cứu

Để hồn thành luận văn trên, chúng tơi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau:
-

Phân tích tổng hợp các nghiên cứu khoa học luận về lịch sử hình thành khái niệm phép kéo theo
và phép tương đương để từ đó nắm rõ đặc trưng khoa học luận.

-

Phân tích các chương trình sách giáo khoa qua các giai đọan, sách tham khảo để làm sáng tỏ
mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo và phép tương đương, đặc biệt là các ràng
buộc thể chế của các khái niệm này.

-

Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong thực hành giải toán (2
kiểu nhiệm vụ T11,T12 và đặc biệt tìm m để hai phương trình tương đương. . .).

-

Xây dựng phiếu thực nghiệm để kiểm định giả thuyết đặt ra và bổ sung thêm những giả thuyết
mới.

5. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương sau:
Mở đầu
Chương 1: Nghiên cứu khoa học luận


-

Nghiên cứu sự ra đời và phát triển của phép kéo theo, phép tương đương các kí hiệu , .

-

Rút ra đặc điểm khoa học luận của PKT, PTĐ.

Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương.
-

Phân tích PKT, PTĐ trong chương trình SGK Việt Nam
o Giai đoạn 1975 - 1990 (M1)
o Giai đoạn 2006 - 2008 Nâng cao (M3)

-

Rút ra mối quan hệ thể chế với khái niệm PKT,PTĐ.

Chương 3: Sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương trong 2 kiểu nhiệm vụ T11, T12
và T13
-

Nghiên cứu sự vận hành của PKT,PBĐTĐ trong kiểu nhiệm vụ T11, T12, T13.

-

Kết luận, đưa ra giả thuyết nghiên cứu

Chương 4: Thực nghiệm
-

Bài tập dành cho HS.


CHƯƠNG I:
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO,
PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG LỊCH SỬ.
1. Mục đích phân tích
Như đã làm rõ trong phần mở đầu, mục đích của chương này là tiến hành phân tích, tổng hợp
một số cơng trình lịch sử hay khoa học luận về các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm
rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong q trình phát sinh và phát triển của nó. Cụ thể, nó nhắm
tới trả lời các câu hỏi sau:
Khái niệm PKT, PTĐ đã hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào, trong những
phạm vi nào, dùng để giải quyết các bài toán nào? Những quan niệm về khái niệm PKT, PTĐ đã xuất
hiện? Những quan niệm này có những đặc trưng cơ bản nào?
2. Phép kéo theo
Lịch sử phát triển của phép kéo theo có thể chia làm 3 giai đoạn với các quan niệm khác nhau.
2.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17
2.1.1 Quan niệm của Aristotle (QNA) về suy luận lôgic
Theo Michal Walicki [10, tr.2], thông qua các cuộc thảo luận về chính trị và triết học, các nhà tư
tưởng dần dần nâng cao các con đường lý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin
tưởng vào các nhà ngụy biện . Lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà ngụy
biện, Plato đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc thảo luận về đạo đức và tuyên bố
rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện chứng. Tuy nhiên, gần như khơng có gì có thể học hỏi từ
đó. Sự phát triển của "lý luận chính xác" lên đến đỉnh điểm tại Hy Lạp cổ đại với Aristotle (384-322
trước Thiên Chúa), người đưa vào giảng dạy các categorical forms (hình thức rõ ràng) và Syllogisms
(tam đoạn luận) một cách hệ thống và khá đầy đủ trong bộ Organon.
Theo ông, một mệnh đề là đúng khi nó là một phát biểu đúng. Trong tồn bộ học thuyết của
mình, hầu hết ơng đều sử dụng mệnh đề đúng và các mệnh đề này có kiểu là mệnh đề triết học hoặc đời
sống.
Aristotle đã định nghĩa “Tam đoạn luận là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một cái gì đó được giả

định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã cho....” Được Aristotle hình thức hóa đầu tiên,
tam đoạn luận là một phương thức lập luận lôgic đi từ hai mệnh đề (còn gọi là tiền đề) đến một kết
luận. Ví dụ: Mọi người đều phải chết, Socrates là người, vậy Socrates phải chết là một tam đoạn luận.


Trong tam đoạn luận, hai tiền đề (còn gọi là đại tiền đề và tiểu tiền đề) là những mệnh đề cho trước và
được giả định là đúng. Tam đoạn luận cho phép hợp thức hóa tính xác thực hình thức của kết luận. Tam
đoạn luận học không chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà triết học kinh viện trung cổ mà còn cả
Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz và Emmanuel Kant. Nó được xem là tiền thân của lơgic toán hiện
đại và được giảng dạy đến tận cuối thế kỷ 19.
Có thể sơ đồ hóa tam đoạn luận của Aristotle bằng ngôn ngữ của phép kéo theo hiện đại như
sau:
(P  Q) = 1
(A  P) = 1
(A  Q) = 1
Dù chưa thể hiện một cách toàn diện và chính xác các ý tưởng của phép kéo theo, tam đoạn luận
của Aristotle là cố gắng đầu tiên trong việc xây dựng một cơ sở của lơgic hình thức cho phép suy diễn
một mệnh đề thứ ba từ hai tiền đề ban đầu.
Phép kéo theo được sử dụng như một công cụ, phương pháp của các nhà triết học.
2.1.2 Quan niệm của Euclide (QNE) (330 275 TCN) về phép kéo theo
Trong lịch sử toán học, người đầu tiên đưa ra phương pháp tiên đề là nhà toán học Hy Lạp
Euclide. Ông đưa ra một hệ tiên đề dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh sau:
1. Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng
đó.
2. Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.
3. Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.
4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một giao tuyến chung.
5. Từ một điểm ngồi một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song
song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song)

Từ hệ tiên đề trên, Euclide chỉ dùng suy diễn toán học để xây dựng bộ mơn hình học mang tên
ơng. Tác phẩm Nguyên lý (hoặc Cơ bản, tiếng anh là Elements) là minh chứng rõ ràng nhất. Ngày nay
người ta vẫn khẳng định rằng: Tác phẩm Nguyên lý của Euclide, chứng tỏ ông đã thành công ở mức độ
cao trong việc cố gắng tìm cách xây dựng hình học theo một lý luận chặt chẽ. Tác phẩm Nguyên lý
gồm 13 quyển.


Quyển I nói về các trường hợp bằng nhau của tam giác, sự so sánh về cạnh và góc trong một tam giác,
sự vng góc và sự song song của các đường thẳng. Trong quyển này cũng đề cập tới các tính chất của
hình bình hành, diện tích một số hình phẳng và định lí Pitago.
Quyển II nói về sự đẳng hợp của các hình phẳng.
Quyển III nói về đường trịn và một số vấn đề có liên quan trực tiếp tới đường trịn, chẳng hạn như các
tính chất của tiếp tuyến, dây cung của đường tròn. Ðặc biệt, ở đây có định lí về phương tích của một
điểm

đối

với

một

đường

trịn.

Quyển IV nói về phép dựng các đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn với số cạnh bằng 3, 4, 5, 10,
15.
Quyển V nói về lí thuyết tỉ lệ thức thơng qua nội dung hình học, với lí luận khá chặt chẽ và chính xác.
Quyển VI nói về lí thuyết đồng dạng của các hình phẳng.
Các quyển VII, VIII, IX có nội dung số học, nhưng được trình bày dưới dạng hình học.

Quyển X nói về các phép dựng hình để tìm căn bậc hai của các số tự nhiên.
Quyển XI nói về vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng, về góc đa diện và các hình chóp
có cùng chiều cao và cùng diện tích đáy.
Quyển XII nói về diện tích hình trịn, thể tích các hình khối đồng dạng, thể tích các hình lăng trụ, chóp,
trụ, nón.
Quyển XIII nói về hình cầu, diện tích mặt cầu, tính thể tích hình cầu. Quyển này cũng nói về khối đa
diện đều và đã khẳng định được rằng chỉ có năm loại khối đa diện đều mà thơi.
Tác phẩm Nguyên lý là một thành công nổi bật để sắp xếp lại tồn bộ các kiến thức tốn học vào
trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản. Hầu hết các tiên đề, hay định đề đều
được Euclide phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q”. Trong đó P, Q cùng kiểu mệnh đề (Số học, đại số và
hình học) và có mối quan hệ nhân quả với nhau. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí của mệnh đề Nếu
P thì Q, Euclide quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Xem P là nguyên nhân
(giả thuyết) để suy luận ra Q.
Như vậy, Euclide đã dùng phép kéo theo như một công cụ để giải toán. Quan niệm về phép kéo
theo của Euclide gồm những đặc trưng cơ bản sau:
 Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.
 Chân trị của P ln đúng.
 Chân trị của P và Q đều là đúng.
 P và Q cùng kiểu mệnh đề hình học, số học (được thể hiện dưới dạng hình học).
 P và Q có mối quan hệ nhân quả.


2.1.3 Quan niệm của Philo (QNP) về phép kéo theo
Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.129-131], Philo là người đầu tiên đưa ra bảng chân
trị của mệnh đề “Nếu P thì Q” trong cả 4 trường hợp. Tuy nhiên, ông chỉ dùng phương pháp qui nạp
thử một số trường hợp rồi suy luận bằng trực giác để thu được kết quả mà chưa chứng minh được
chúng.
P

Q

Nếu P thì Q

Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Đúng

Trước đó trong mệnh đề “Nếu P thì Q” theo quan niệm Euclide thì P và Q phải cùng kiểu mệnh
đề và có mối quan hệ nhân quả. Từ bảng chân trị trên ta thấy rõ ràng, đối với Philo 2 mệnh đề P và Q
có thể khơng cùng kiểu mệnh đề, khơng có mối quan hệ nhân quả. Nói cách khác khi xét giá trị chân lí

của mệnh đề Nếu P thì Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q.
Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay khơng, mà chỉ quan tâm đến tính
đúng, sai của chúng.
Như vậy, bảng chân trị của mệnh đề “Nếu P thì Q”của Philo đánh dấu một bước ngoặt về
quan niệm của phép kéo theo. Quan niệm về phép kéo theo của Philo gồm những đặc trưng cơ bản
sau:
 Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 Chân trị của P và Q có thể đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề .
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
2.2 Giai đoạn 2: Thế kỷ 17-18
Theo Michal Walicki [10, tr.8]


“Lingua universalis characteristica” là ý tưởng của Gottfried Leibniz (1646-1716), Leibniz

nghiên cứu và đã rất ấn tượng theo phương pháp của người Ai Cập và Trung Quốc trong việc sử dụng
hình ảnh, kí hiệu để diễn tả cho khái niệm. Ông là người đầu tiên có ý tưởng đưa ra hệ thống các kí
hiệu các phép toán logic trong toán học. Chẳng hạn, Leibniz đã dùng kí hiệu phép kéo theo để diễn
đạt tam đoạn luận của Aristotle .


Tam đoạn luận của Aristotle

Kí hiệu của Leibniz

Tất cả A là B

A = AB;

Tất cả B là C

B = BC;

---------------

----------

Thì Tất cả A là C

A = AC

Leibniz là người tiên phong trong việc sử dụng kí hiệu cho phép kéo theo vào tốn học. Hệ
thống kí hiệu của Leibniz đánh dấu sự xuất hiện của ngơn ngữ hình thức hố.


Trong tác phẩm Formal Logic và The Calculus of Inferrence xuất bản năm 1847 của De

Morgan(1806-1871). Khi phát biểu công thức De Morgan
Kí hiệu của De Morgan

Kí hiệu ngày nay

AB  A  B

A  B  A  B

( A)( B )  A  B

A B  A B

Để chứng minh chúng, De Morgan phải liên tục dùng tới bảng chân trị Phép kéo theo, phép tương
đương để chứng minh các cơng thức của mình.
Phép kéo theo đã được thể hiện bằng kí hiệu. Thực tế nó là sự kết hợp giữa quan niệm của
Euclide và Philo. Nó được dùng như một cơng cụ để giải tốn và đã có tên.
2.3 Giai đoạn 3: Từ thế kỷ thứ 19
2.3.1 Quan niệm Gottlob Frege cho tới Whitehead và Russell (QNFR) về phép kéo theo


Theo Michal Walicki [10, tr. 12-14 ]. Năm 1879 các nhà toán học Đức trẻ Gottlob Frege (1848 –

1925) đã xuất bản cuốn sách tốt nhất , duy nhất trên logic biểu tượng trong thế kỷ 19, Begriffsschrift
( "Ý tưởng Ký hiệu"). Tiêu đề này được lấy từ bản dịch Trendelenburg của Leibniz.
Hệ thống kí hiệu của Frege rất chính xác và đầy đủ . Ơng là người đầu tiên bao hàm toàn diện lý
thuyết hệ thống hố logic hình thức. Có cơng lớn trong việc hệ thống hóa tồn bộ logic về mặt lý
thuyết. Tuy nhiên, nó chỉ ở mức độ lý thuyết và vẫn cịn khó hiểu nên cịn ít người biết tới.


Russell (1872 -1970 là nhà tốn học có bổ sung và hồn thiện thêm hệ thống hố logic hình thức

của Frege trong giải tốn . Thì Begriffsschrift của Frege mới được nhiều người biết tới.
Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.530-531] Whitehead và Russell đã định nghĩa Phép kéo
theo như sau:


P kéo theo Q là một mệnh đề, kí hiệu là P  Q, chỉ sai khi P đúng và Q sai và đúng trong các
trường hợp còn lại.
Bảng chân trị của phép kéo theo
P

Q

P Q

Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Đúng

Trải qua hơn 2000 năm phát triển, cuối cùng phép kéo theo đã được định nghĩa tường minh, được xem

như là đối tượng và công cụ để giải tốn.
Do đó, phép kéo theo đã xuất hiện tường minh, có tên, được định nghĩa, là đối tượng và cơng
cụ để giải tốn. Quan niệm về phép kéo theo của Frege và Russell gồm những đặc trưng cơ bản
sau:
 Hình thức thể hiện “P Q”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 Chân trị của P và Q có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề .
 P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.
2.3.2 Quan niệm của Alfred David Hilbert (QNH) về phép kéo theo
Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.699-700] Hilbert (1862-1943) định nghĩa Phép kéo theo
như sau:
P kéo theo Q là một mệnh đề, kí hiệu là P Q, chỉ sai khi P đúng và Q sai và đúng trong các
trường hợp còn lại.
Bảng chân trị của phép kéo theo
P

Q

P Q

Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Đúng


Định nghĩa về phép kéo theo của Hilbert là định nghĩa hồn chỉnh nhất tính đến thời điểm hiện
tại. Là sự kết hợp các quan niệm của Euclide, Philo, Frege và Russell và ý tưởng hình thức hóa của
riêng ơng.
Phép kéo theo đã xuất hiện tường minh, có tên, được định nghĩa, là đối tượng và cơng cụ để
giải tốn. Nó có cơ chế tốn học.
 Hình thức thể hiện “P Q”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề .
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
2.4 Kết luận về Phép kéo theo
Các phân tích và tổng hợp trên về lịch sử tiến triển của khái niệm phép kéo theo đã cho những câu
trả lời đặt ra ban đầu. Sau đây là tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận cơ bản của phép kéo theo.
Cũng như các khái niệm toán học khác, khái niệm phép kéo theo đã trải qua 3 giai đoạn phát triển.
 Ở giai đoạn đầu tiên từ Hy lạp cổ đại đến giữa thế kỷ 17, khái niệm phép kéo theo có những đặc

trưng sau:
 QNE:
 Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.
 Chân trị của P là đúng.
 P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).
 P và Q có mối quan hệ nhân quả.
 QNP:
 Hình thức thể hiện “Nếu P thì Q”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).
 P và Q có thể có hoặc không cùng mối quan hệ nhân quả.
 Giai đoạn thứ hai, từ thế kỷ thứ 17 đến thế kỷ 18, khái niệm phép kéo theo có những đặc trưng
cơ bản sau:
 QNL :
 Hình thức thể hiện “P=PQ”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích).


 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
 Giai đoạn thứ ba, từ thế kỷ 19 đến thế kỷ 20, khái niệm phép kéo theo với các quan niệm sau:
 QNFR
 Hình thức thể hiện “PQ”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
 QNH
 Hình thức thể hiện “PQ”.
 Chân trị của P có thể là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).

 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
2.5 Bảng tóm tắt sự phát triển của phép kéo theo trong lịch sử toán học
Giai đoạn

Quan niệm

Thời kỳ Hy lạp cổ đại

TK 17-18

TK 19-20

QNE

QNP

QNL

Đại diện

Euclide

Philo

Leibniz

Kiểu mệnh đề

Hình học,

Hình học,

Gỉai tích

Đại số, Gỉai tích,

Số học

Số học

Đại số

Hình học và Số học

P,Q
P và Q có cùng
kiểu mệnh đề?
P và Q có mqh
nhân qủa ?

Chân trị của P
Kí hiệu P kéo
theo Q

QNFR
Frege
Russell

Có

Có thể có hoặc khơng

Có

Có thể có hoặc khơng

Đúng

Có thể Đúng hoặc Sai

Nếu P thì Q

P=PQ

PQ

QNH
Hilbert

PQ


3. Phép tương đương
3.1 Giai đoạn 1:Thời Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 19.
3.1.1 Quan niệm của Aristotle (QNA1
Theo Michal Walicki [10, tr.03]. Aristotle tự đặt câu hỏi làm thế nào để thay thế một phát biểu
dưới hình thức khác mà không ảnh hưởng đến việc đề xuất? Chẳng hạn, Aristotle cho rằng:
Phát biểu “Mọi β là α “ tương đương với phát biểu “α thuộc về mọi β” .
Từ đó ơng đi đến thừa nhận rằng:
Hai phát biểu tương đương với nhau nếu chúng có cùng chân trị đúng.

Những phát biểu của ông ở đây chỉ là trong lĩnh học triêt học và cuộc sống chứ không phải toán học.
Như vậy, phép tương đương được dùng như một cơng cụ, phương pháp của các nhà triết
học, nó đã có tên. Các đặc trưng cơ bản của phép tương đương:
 Hình thức thể hiện “P is equivalent to Q”.
 Chân trị của P và Q đều đúng.
 P và Q cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .
 P và Q có mối quan hệ nhân quả.
3.1.2 Quan niệm của De Morgan (QNM1) về phép tương đương
Trong tác phẩm Formal Logic và The Calculus of Inferrence xuất bản năm 1847 của De
Morgan(1806-1871). Khi phát biểu công thức De Morgan
Kí hiệu của De Morgan

Kí hiệu ngày nay

AB  A  B

A  B  A  B

( A)( B )  A  B

A B  A B

Để chứng minh chúng, De Morgan phải liên tục dùng tới bảng chân trị Phép kéo theo, phép tương
đương để chứng minh các cơng thức của mình.
Phép tương đương đã được dùng như một cơng cụ để giải tốn và đã có tên. Các đặc trưng cơ
bản của phép tương đương:
 Hình thức thể hiện “P is equivalent to Q”.
 Chân trị của P và Q đều đúng.
 P và Q cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .
 P và Q có mối quan hệ nhân quả.

3.1 Giai đoạn 2:Từ thế kỷ 19.


Theo Michal Walicki [10, tr. 12-14 ]. Năm 1879 các nhà toán học Đức trẻ Gottlob Frege (1848 –

1925) đã xuất bản cuốn sách tốt nhất , duy nhất trên logic biểu tượng trong thế kỷ 19, Begriffsschrift
( "Ý tưởng Ký hiệu").
Hệ thống kí hiệu của Frege rất chính xác và đầy đủ . Ông là người đầu tiên bao hàm toàn diện lý
thuyết hệ thống hố logic hình thức. Có cơng lớn trong việc hệ thống hóa tồn bộ logic về mặt lý
thuyết. Tuy nhiên, nó chỉ ở mức độ lý thuyết và vẫn cịn khó hiểu nên cịn ít người biết tới.
 Quan niệm của Russell (QNR1) về phép tương đương
Theo Wiliam Kneale-Martha Kneale [11, tr.530-531] Russell (1872 -1970) có đưa ra định nghĩa về
phép tương đương như sau.
Cho P, Q là 2 mệnh đề cho trước. mệnh đề P tương đương Q kí hiệu là P  Q, Chân trị của mệnh đề P
 Q được xác định bởi Bảng chân trị
P

Q

PQ

Đúng

Đúng

Đúng

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Sai

Sai

Sai

Đúng

Phép tương đương đã được thể hiện bằng kí hiệu, nó được dùng như một cơng cụ để giải tốn,
đã có tên và được định nghĩa.
Các đặc trưng cơ bản của phép tương đương:
 Hình thức thể hiện “P  Q”.
 Chân trị của P và Q có thể đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (cuộc sống, triết học) .
 P và Q có thể có hoặc khơng có mối quan hệ nhân quả.
 Năm 1920 Hilbert đề nghị một dự án nghiên cứu rõ ràng (về metamathematics, như là nó được
gọi) mà sau đó được biết đến như là chương trình Hilbert. Ơng muốn tốn học phải được hệ
thống hóa trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ. Chương trình này vẫn được cơng nhận


là nổi tiếng nhất về triết học của toán học, nơi mà nó thường được gọi là hình thức hóa. Toàn bộ

Logic học được viết và xây dựng lại trên cơ sở tiên đề.
3.2 Kết luận về Phép tương đương
Các phân tích và tổng hợp trên về lịch sử tiến triển của khái niệm phép tương đương đã cho những
câu trả lời đặt ra ban đầu. Sau đây là tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận cơ bản của phép tương
đương.
Khái niệm phép tương đương đã trải qua 2 giai đoạn phát triển.
 Ở giai đoạn đầu tiên Hy lạp cổ đại, khái niệm phép tương đương với quan niệm QNA1 với các
đặc trưng cơ bản sau:
 Hình thức thể hiện “P tương đương với Q”.
 Chân trị của P, Q đều đúng.
 P và Q có cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học).
 P và Q có mối quan hệ nhân quả.
 Giai đoạn thứ ba, từ thế kỷ 19 đến thế kỷ 20, khái niệm phép kéo theo có những đặc trưng sau:
 QNM
 Hình thức thể hiện “P tương đương với Q”.
 Chân trị của P, Q là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
 QNFR1
 Hình thức thể hiện “PQ”.
 Chân trị của P, Q là đúng hoặc sai.
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng kiểu mệnh đề (hình học, số học, giải tích, đại số).
 P và Q có thể có hoặc khơng cùng mối quan hệ nhân quả.
3.3 Bảng tóm tắt sự phát triển của phép tương đương trong lịch sử toán học
Giai đoạn

Thời kỳ Hy lạp

TK 19-20

cổ
Quan niệm

QNA1

QNM

Đại diện

Aristotle

De Morgan

QNR1
Frege
Russell


Triết học,
Kiểu mệnh đề

Đại số, Gỉai tích,

Cuộc sống

P và Q có mqh

Chân trị của Q

Hình học và Số học

Có

Có thể có hoặc khơng

Đúng

Đúng, Sai

Đúng

Đúng, Sai

nhân qủa
Chân trị của P

Đại số

khi P đúng
Kí hiệu P tương
đương Q

equipvelent

equipvelent



4. Các kí hiệu phép kéo theo, phép tương đương từ thế kỉ 20
Các kí hiệu phép kéo theo, phép tương đương đã được các nhà toán học sử dụng trong lịch sử. Sau

đây là một số ký hiệu thơng dụng.
Kí hiệu
→
(Implication)

(Implication)
↔
(Equivalence)

(Equivalence)

Năm

Bởi nhà tốn học

1922

David Hilbert

1954

Nicholas Bourbaki

1936

1954

Tài liệu, trang, tác giả
The symbol is found on p.
166. [Wilfried Neumaier]

The symbol appears on p. 14.
[Wilfried Neumaier]

Wilhelm Ackermann. The symbol appears on p.
306. [Wilfried Neumaier]
Nicholas Bourbaki

The symbol appears on p. 32.
[Wilfried Neumaier]


CHƯƠNG II:
NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI NIỆM PHÉP
KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Mục tiêu của chương
Chương này có mục đích thực hiện một nghiên cứu về quan hệ thể chế với các khái niệm phép
kéo theo, phép tương đương. Cụ thể hơn, chương này nhằm trả lời các câu hỏi sau:
-

Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương đã được đưa vào chương trình, sách giáo khoa

THPT như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh các khái niệm này?
Những đặc trưng của chúng?
-

Những đặc trưng khoa học luận nào của các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được hiện

diện trong chương trình THPT?
-

Những điều kiện và ràng buộc của thể chế lên việc dạy học các khái niệm này?

Để nghiên cứu, chúng tơi chọn chương trình và sách giáo khoa ban nâng cao hiện hành vì chúng tôi cho
rằng các yêu cầu thể chế trong ban nâng cao sẽ được thể hiện rõ hơn so với ban cơ bản. Một cách cụ
thể, chúng tôi đã phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa và sách bài tập Đại số lớp 10
ban nâng cao.
2. Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương
2.1 Tình huống định nghĩa phép kéo theo, phép tương đương
Ngay bài đầu tiên của SGK Đại số 10, Bài 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến, chương 1 sách giáo
khoa có đưa vào định nghĩa mệnh đề kéo theo ở trang 5.
Tiến trình này vẫn theo cách định nghĩa truyền thống, nghĩa là theo tuần tự có thể sơ đồ hố như
sau:
ĐN mệnh đề

ĐN mệnh đề kéo theo

ĐN mệnh đề tương đương

Trong đó, từ liên hệ với ví dụ của thực tế cuộc sống, noosphèere dẫn dắt vào định nghĩa mệnh đề.
Mệnh đề kéo theo được định nghĩa thơng qua định nghĩa mệnh đề. Sau đó, mệnh đề và mệnh đề kéo
theo là cơ sở để định nghĩa mệnh đề tương đương.
 Định nghĩa Mệnh đề kéo theo (SGK, trang 5)
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là
P  Q. Mệnh đề P  Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.


Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P  Q là “P kéo theo Q” hay “P
suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. . .
Ta thường gặp các tình huống sau:

-Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P  Q là mệnh đề đúng.
- Mệnh đề P đúng và Q sai. Khi đó P  Q là mệnh đề sai.
 Định nghĩa Mệnh đề tương đương (SGK, trang 6)
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương
đương và kí hiệu là P Q.
Mệnh đề PQ đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo PQ và QP đều đúng và sai trong các
trường hợp cịn lại.
Đơi khi, người ta phát biểu mệnh đề P Q là “P khi và chỉ khi Q”.
Mệnh đề P  Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó ta nói rằng hai
mệnh đề P và Q tương đương với nhau.
Từ trên ta thấy rằng các tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không được đưa vào sách giáo
khoa. Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương không được định nghĩa như là các phép tốn
(hai ngơi) trên tập hợp các mệnh đề, biến hai mệnh đề cho trước thành một mệnh đề thứ ba có chân trị
thỏa mãn những điều kiện nào đó. Thay vào đó, sách giáo khoa định nghĩa các khái niệm mệnh đề kéo
theo, mệnh đề tương đương mà bản chất toán học của chúng tương ứng là kết quả của phép kéo theo,
phép tương đương.
Bảng chân trị của hai loại mệnh đề này không được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa. Chẳng hạn,
trường hợp mệnh đề kéo theo P  Q, sách giáo khoa chỉ ghi “Mệnh đề P  Q sai khi P đúng, Q sai và
đúng trong các trường hợp còn lại”. Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị của P  Q
trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai. Điều này cho phép chúng tôi giả định
rằng sách giáo khoa quan tâm đến kết quả của phép kéo theo, phép tương đương nhiều hơn là bản chất
của hai phép tốn lơgic hai ngơi này. Do đó, sách giáo khoa đã đưa vào mệnh đề kéo theo, mệnh đề
tương đương thay vì phép kéo theo, phép tương đương.
Cụ thể hơn, trong phần nội dung chi tiết, mục tiêu của Tiết 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến SGV
trang 36,37
 Về kiến thức
-

Nắm được khái niệm MĐ, nhận biết được một số câu có phải là MĐ hay khơng?

-

Nắm được các khái niệm MĐ phủ định, kéo theo, tương đương.

-

Biết được MĐ chứa biến.

 Về kỹ năng
-

Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, MĐKT và MĐTĐ từ hai mệnh đề đã cho và xác
định được tính đúng sai của mệnh đề này..

Như vậy, trong tiết 1, chương 1 Đại số lớp 10, thay vì đưa vào phép kéo theo, phép tương đương,
sách giáo khoa đưa vào mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương bằng cách định nghĩa chân trị với
mục tiêu “giúp học sinh biết lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương từ hai mệnh đề đã cho và
xác định được tính đúng sai của mệnh đề này”.
2.2 Các tổ chức tốn học có liên quan đến mệnh đề kéo theo và đến mệnh đề tương đương của
chương trình SGK 10 (Ban Nâng cao)
Trong mục này, chúng tôi mô tả các tổ chức tốn học có liên quan đến phép kéo theo, phép tương
đương trong sách giáo khoa Toán 10 (nâng cao) dựa vào việc xem xét các kiểu nhiệm vụ sau đây của
sách giáo khoa:
T1. Xét P, Q là hai mệnh đề toán học cho trước được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường.
Phát biểu mệnh đề P  Q bằng ngôn ngữ thông thường
Dưới đây, chúng tôi chọn ra từ sách giáo viên và sách giáo khoa một số ví dụ về nhiệm vụ thuộc
kiểu nhiệm vụ T1 kèm theo lời giải mong đợi của thể chế.
 Bài tập H 3 trang 6 SGK:
Xét các mệnh đề P: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;

Q:”36 chia hết cho 12”.
Phát biểu mệnh đề P  Q, Q  P [...].
 Lời giải (Trích từ SGV, trang 39)
P  Q: “Vì 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nên 36 chia hết cho 12”2
Q  P: “Vì 36 chia hết cho 12 nên 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”3
 Bài 14 trang 13 SGK
Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề
P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 180o”;
Q: “Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”.
2
3

Chúng tôi nhấn mạnh.
Chúng tôi nhấn mạnh.


Hãy phát biểu mệnh đề P  Q [...].
 Lời giải (Trích từ SGV, trang 49)
Mệnh đề P  Q: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 thì tứ giác đó nội tiếp trong một
đường trịn”.4
 Bài 15 trang 14 SGK.
Xét hai mệnh đề
P: “4686 chia hết cho 6”; Q: “4686 chia hết cho 4”.
Hãy phát biểu mệnh đề P  Q .
 Lời giải (Trích từ SGV, trang 49)
Mệnh đề P  Q: “Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia cho 4”. 5
Các lời giải nói trên cho phép chúng tơi rút ra kỹ thuật giải 11, 12, 13 công nghệ MĐKT và lý thuyết 
của kiểu nhiệm vụ T1.
 Kĩ thuật giải
11 :Đặt từ nếu ngay trước mệnh đề P, từ thì ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q.

12 : Đặt từ suy ra (kéo theo) ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q.
13 :Đặt từ vì ngay trước mệnh đề P, từ nên ngay sau mệnh đề P và ngay trước mệnh đề Q.
 Công nghệ MĐKT. Định nghĩa mệnh đề kéo theo của sách giáo khoa.
 Lý thuyết . Logic học hình thức.
 Nhận xét:
 Kĩ thuật giải 12 được đề cập một lần duy nhất trong định nghĩa mệnh đề kéo theo, nhưng lại không
xuất hiện trong bài tập nào trong sách giáo khoa. Điều này cho thấy thể chế không mong muốn dùng
12 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1.
 Kĩ thuật giải 11, 13 xuất hiện trong định nghĩa và đều được sử dụng để giải toán. Cụ thể , kĩ thuật
giải 11 được dùng để giải trong bài 14 và bài 15 trên (mỗi bài 1 lần), kĩ thuật giải 13 được dùng để
giải hoạt động H3 (2 lần). Do đó thể chế ưu tiên dùng 11, 13 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1.
Chúng tơi có thể giải thích ý đồ của thể chế như sau:

4
5

Chúng tơi nhấn mạnh.
Chúng tôi nhấn mạnh.


Khi phát biểu mệnh đề P  Q thành ngôn ngữ thông thường sẽ được phát biểu dưới dạng “Nếu
P thì Q” , “Vì P nên Q” hoặc “P suy ra (kéo theo) Q”. Cặp liên từ “Nếu. . .thì”, “Vì . . .nên” cho
chúng ta thấy giữa P và Q có mối quan hệ nhân quả. Cịn “suy ra”, “kéo theo” thể hiện tính logic chặt
chẽ giữa P và Q. Thể chế mong muốn nhấn mạnh phát biểu mệnh đề P  Q thành ngôn ngữ thông
thường sẽ được phát biểu dưới dạng “Nếu P thì Q” , “Vì P nên Q”, nhằm khắc sâu mối quan hệ nhân
quả giữa P và Q. Thể chế không nhấn mạnh đến tính logic của P và Q. Điều này hồn tồn phù hợp với
giả định ban đầu chúng tôi “sách giáo khoa quan tâm đến kết quả của phép kéo theo, phép tương
đương nhiều hơn là bản chất của hai phép tốn lơgic hai ngơi này.”


Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1

 Kí hiệu “  ” có nghĩa tương đương với một trong các cặp liên từ “Nếu . . .thì ”, “. . . suy ra . . .”
hoặc “Vì . . . nên ”.
 Khơng có kiểu bài tập chuyển từ mệnh đề diễn đạt bằng ngôn ngữ thơng thường “Nếu P thì Q”
thành mệnh đề được diễn đạt bằng kí hiệu P  Q.
Để tiện cho việc trình bày chúng tơi gọi kiểu nhiệm vụ T1’: Phát biểu mệnh đề được diễn đạt bằng ngôn
ngữ thông thường P  Q thành mệnh đề được diễn đạt bằng kí hiệu P  Q với P, Q là hai mệnh đề
tốn học cho trước được diễn đạt bằng ngơn ngữ thơng thường.
SGK khơng hề có bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1’ nhưng lại có tới 4 bài tập thuộc kiểu nhiệm
vụ T1. Điều đó chứng tỏ thể chế mong muốn học sinh khắc sâu kĩ năng chuyển từ kí hiệu logic sang
ngơn ngữ thơng thường . Để làm sáng tỏ nhận định trên chúng tôi xét hoạt động
 H2 trang 6 SGK:
Cho tứ giác ABCD. Xét MĐ P“Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và MĐ Q”Tứ giác ABCD có hai
đường chéo bằng nhau”. Hãy phát biểu MĐ P  Q theo nhiều cách khác nhau
 Lời ghi chú trong phần lời giải H2 trích SGV trang 39
Mục đích của H2 là luyện tập cho học sinh biết chuyển từ kí hiệu logic sang ngơn ngữ thơng thường.
 Các mệnh đề hầu hết đều là mệnh đề dạng hình học hoặc số học. Như chúng ta đã biết các mệnh đề
dạng số học, hình học thì học sinh đã được học từ cấp 2 nên hoàn toàn dễ hiểu khi 2 dạng mệnh đề trên
được đưa vào chương trình mục đích cho học sinh dễ hiểu.
 Mệnh đề P, Q trong mệnh đề toán học P  Q có các đặc trưng sau:
+ Mệnh đề P có chân trị ln Đúng.
+ Mệnh đề Q có chân trị là Đúng hoặc sai (đối với kiểu mệnh đề hình học thì Q có chân trị ln
Đúng)


+ Mệnh đề P,Q có mối quan hệ nhân quả.
+ Mệnh đề P, Q có cùng kiểu mệnh đề( số học, hình học, đại số. . .).
Các đặc trưng của mệnh đề P và Q như trên chúng tôi rút ra từ việc thống kê số liệu cụ thể của
các bài tập thuộc kiểu T1.

T2:Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu P thì Q” .
Trong kiểu nhiệm vụ 2 chỉ có đúng 2 bài tập đó là
 VD5 trang 6 SGK
Cho tam giác ABC. Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì nó là tam giác
cân” là mệnh đề “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó là tam giác đều”6.
 Bài 6 trang 12 SGK
Phát biểu mệnh đề đảo của định lí “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì
bằng nhau” [...].
 Lời giải mong đợi của thể chế trang 49 SGV
Mệnh đề đảo: “Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó cân”.

7

Mệnh đề đảo đó

đúng.
Từ lời giải mong đợi của VD5 và bài 6 thuộc kiểu nhiệm vụ T2 trong SGV cho phép nêu lên kĩ thuật
giải 21 , 22 , 23 và công nghệ MĐKT tương ứng sau :
o Kĩ thuật giải
21 :
-

Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”).

-

Phát biểu MĐ “Nếu Q thì P”.

22 :
-

Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”).

-

Phát biểu MĐ “Q suy ra(kéo theo) P”,

23 :

6
7

-

Xác định mệnh đề P (nằm giữa hai từ “nếu”…”thì”), Q (nằm sau từ “thì”).

-

Phát biểu MĐ “Vì Q nên P”.

Chúng tôi nhấn mạnh.
Chúng tôi nhấn mạnh.