On thi DH Ung dung cua KSHS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.42 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 1

KH

Ả

O SÁT HÀM S

Ố

Bài vi

ế

t

đượ

c chia làm 2 ph

ầ

n l

ớ

n:

Ph

ầ

n I : S

ơ

l

ượ

c các bài toán liên quan

đế

n

đồ

th

ị

hàm s

ố

.

Ph

ầ

n II : H

ệ

th

ố

ng hóa các d

ạ

ng toán th

ườ

ng g

ặ

p trong kh

ả

o sát hàm s

ố

.

Ph

ầ

n I

: S

Ơ

L

ƯỢ

C CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

ĐẾ

N

ĐỒ

TH

Ị

HÀM S

Ố

1.BÀI TỐN 1

:

ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TÓM TẮT GIÁO KHOA

Phương pháp chung:

Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trị tuyệt đối .

Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối

Phân tích hàm số đã cho thành các phần khơng có chứa dấu giá trị tuyệt đối
( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức)

Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ)

* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng:
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối :





<
−

≥
=

0
A

neáu

A
A
A
2. Định lý cơ bản:





±
=
≥
⇔
=

B
A
B
B

A 0

3. Một số tính chất về đồ thị:

a) Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành
b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 2

* Ba dạng cơ bản:

Bài toán tổng quát:

Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:






=
=
=
)
(
:
)
(
)
(
:
)
(
)
(
:
)
(
3
2
1
x
f
y
C
x
f
y
C
x

f
y
C

Dạng 1: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C1): y= f(x)
Cách giải

B1. Ta coù :




<
−
≥
=
=
(2)

0
f(x)

neáu

(1)

0
f(x)

neáu

)
(
)
(
)
(
:
)
( 1
x
f
x
f
x
f
y
C

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

Minh hoïa

Dạng 2: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C2):y= f(x)) ( đây là hàm số chẵn)

Cách giải

B1. Ta coù :




<
−
≥
=
=
(2)

0
x

neáu

(1)

0
x

neáu

)

(
)
(
)
)
(
:
)
( 2
x
f
x
f
x
f
y
C

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau:

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy
( do do tính chất hàm chẵn )
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đươcï (C2)

f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

y = x3-3x+2

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

(C): y = x3-3x+2

2
3
:

)

( 3

1 y= x − x+
C

y=x3-3x+2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 3 
Minh hoïa:

x

Dạng 3: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C3): y = f(x)

Cách giải

B1. Ta coù :











−
=
=

≥
⇔

(2)

(1)

)
(

)

(
0
)
(
)

(
:

)
( 3

x
f
y

x
f
x

f
y
C

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau:

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) )
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3)

Minh họa:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số : y=−x3 +3x (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

x
x
y

a) = − 3 +3 b)

x
x

y=− 3 +3 c) y =−x3 +3x
f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6
-4

-2
2
4
6
8

x
y

y = x3-3x+2

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8

x
y

(C): y = x3-3x+2

2
3
:

)

(C2 y= x3− x+

y=x3-3x+2

y=x3-3x+2
x

y y

x

f(x)=x^3-3*x+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8

x
y

y = x3-3x+2

y=x3-3x+2

x

y f(x)=x^3-3*x+2

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=-(x^3-3*x+2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8

x
y

(C): y = x3-3x+2

2

3 :

)

(

C

3

y

=

x

−

x

+

x
y

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 4 
Bài 2: Cho hàm số :

1
1
−
+
=

x
x

y (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

1
1

)

−
+
=

x
x
y

a b)

1
1
−
+
=

x
x

y c)

1
1
−
+
=

x

y d)

1
1
−
+
=

x
x

y e)

1
1
−
+
=

x
x
y

2.BÀI TỐN 2 :

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)

=




=


(C1) vaø (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)

* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1)
chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm ⇔ (C1) vaø (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghieäm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2).

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).

x

y y y

x x

O
O

O

)
(C1

)
(C2

)

(C1

)
(C2

x x2

M y2 M2
1

y M0

)
(C2

)
(C1

x
y

0
y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 5 
Áp dụng:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):

1
1
2

+
−
=

x
x

y và đường thẳng (d):y=−3x−1

Minh hoïa:

b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số :
Định lý :

(C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)

=



 có nghiệm

Áp dụng:

Ví dụ: Cho (P): y=x2 −3x−1 vaø

1
3
2
:

)
(

2
−

−
+
−
=

x
x

x
y

C . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau
Minh họa:

f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t )=-1 , y(t )=t
f(x)=2

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-20
-15
-10
-5
5
10
15

x
y

1
1
2
:
)
(

+
−
=

x
x
y
C

1
3
:

)

(d y =− x−

M

O ∆

)
(C1

)
(C2
y

x

f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-5

5
10
15

x
y

)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 6 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số y=(x−1)(x2+mx m+ ) (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số y=2x3−3x2−1 (C)

Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt
(C) tại ba điểm phân biệt.

Baøi 3: Cho haøm soá y= x3 −3x+2 (C)

Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d)

cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

Bài 4 : Cho hàm số y=x4 −mx2+m−1 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số 2 2 4

x x

− +

− (1)

Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 6: Cho hàm số

1
1
2

+
−

−
=

x
x
x

y (1)

Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số

2 4 1
2

x x

y
x

+ +

=
+

Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

Bài 8: Cho hàm số

2
1

mx x m

+ +
=

− (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hồnh độ
dương .

Baøi 9: Cho hàm số

2 1
1

x mx

+ −

− (1)

Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA⊥OB.

Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số

2 1
1

x mx

+ −

− cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho
diện tích tam giác OAB bằng 8.

Bài 11: Cho hàm số

2 3
1

+
=

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;2

5) sao cho (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân A,B và M là trung điểm của AB.
Bài 12: Cho hàm số

)
1
(
2

3
3
2

−
−
+
−
=

x
x
x

y (1)

Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1
Bài 13: Cho hàm số y=(x−1)(x2 +mx m+ ) (1)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 7 
Bài 14: Cho hàm số

1
1
−

+
−
=

x
x
x

y . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị
hàm số

Bài 15: Cho hàm số

2
6
3
2

−
+
−
=

x
x
x

y (C)

Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm ;1)
2
1
(

I

Bài 16: Cho hàm số

1
2
2
2

−
+
−
=

x
x
x

y (C) và hai đường thẳng (d1):y=−x+m&(d2):y=x+3
Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt (d1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d2)

Bài 17: Cho hàm số

x
x

y = +4 (1)

Chứng minh rằng đường thẳng (d):y=3x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là

trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆):y =2x+3

3.BÀI TỐN 3:

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a. Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ; y ) (C)0 0 0 ∈

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 )

Trong đó : x0 : hồnh độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi cơng thức : k = f'(x0)

Áp dụng:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x3 −3x+3 tại điểm uốn của nó
(C): y=f(x)

x x

0
y

y

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 8

`b. Daïng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( )0 =k, từ đó suy ra y0 = f x( )0 =?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến songsong,
tiếp tuyến vng góc với một đường thẳng cho trước .

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (∆) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (∆) là:
k∆ =a

Định lý 2: Nếu đường thẳng (∆) đi qua hai điểm A x y( ;A A) và B(x ;B yB) với xA ≠ xB thì hệ số
góc của (∆) là :

B A

y y

x x

∆

−
=

−

Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) và (∆1 ∆2). Khi đó:

1 2

1 2
1 2

// k k
k .k 1

∆ ∆

∆ ∆ ⇔ =

∆ ⊥ ∆ ⇔ = −

Áp dụng:

(C): y=f(x)

x x

0
y

y

M ∆

(C): y=f(x)
∆

x
y

a
k =−1/

O

b

ax
y= +
∆2 :

(C): y=f(x)

x
y

a
k =

b
ax
y= +

1
∆

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 9 
Ví dụ1: Cho đường cong (C): 1 3 1 2 2 4

3 2 3

y= x + x − x−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2.
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):

3
2

+
+
=

x
x

y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆):y=−3x

c. Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:

y y− A =k x x( − A) ⇔ y=k x x( − A)+yA (*)

Bước 2: Định k để (∆) tiếp xúc với (C). Ta có:

tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1)

f ( )

x k

+


∆ ⇔ 

=


Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

Áp dụng:

Ví dụ1: Cho đường cong (C): y= x3 +3x2 +4

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C): 2 5

x
y

−
=

−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
BAØI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số y x 2x 3x

1 3− 2 +

= tại điểm uốn và
chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 2: Cho đường cong (C):

2
1
2

+
−
+
=

x
x
x

y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆):y =x−2
Bài 3: Cho hàm số

1
6
3
2

+
+
+
=

x
x
x

y (C)

Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng d y x

3
1
:

)

( =

x
y

A
A
A

A k x x y k x x y

y

y− = − ⇔ = − +

∆: ( ) ( )

O

)
;
(xA yA
A

)
(
:

)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 10 
Bài 4: Cho đường cong (C):

2 1
1

x x

y
x

+ +
=

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vng góc với tiệm cận xiên của (C).
Bài 5: Cho hàm số

1
1
2

−
−
+
=

x
x
x

y (C)

Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vng góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).

Baøi 6: Cho hàm số

3
1
2

1 3 + 2 +

= x mx

y (Cm)

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hồnh độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song

song với đường thẳng 5x-y=0

Bài 7: Cho đường cong (C): = 3 −3 2 +2
x
x

y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)

4.

BÀI TỐN 4:

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hồnh độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x)

Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*)
Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định

( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)

C y f x

y m

• =

• ∆ = ∆

Bước 2: Vẽ (C) và (∆) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (∆) và (C)
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

y

x
0

x

)
(C1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 11

Minh hoïa:

Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *)
Phương pháp: Đặt k=g(m)

Bước 1: Xem (**) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định

( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;k)

C y f x

y k

• =

• ∆ = ∆

Bước 2: Vẽ (C) và (∆) lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (∆) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m
Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**).

Minh họa:

Áp dụng:

Ví dụ: 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3−9x2 +12x−4

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x3−9x2 +12x−4−m=0
3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3 −9x2 +12x =m

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình :

a. 2

x
m

x− = b.

x − =

Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

3 3 2 3 3 2 0

x x k k

− + + − =

x
y

∆ y =k

)

;
0
( k
K

1
M
O

2
K

y

x

)
(
:

)

(C y = f x

)
;
0
( m

m

m
y =
∆

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 12 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

3 3 2 0

x − mx+ =

Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

2x −4x− +3 2m x−1 0=

Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

3 2

3 2 log 0

x x m

− + − − =

Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

3
2
2 3
3

x x

e e m

− + =

Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

2 2

1 1 1 1

9 + −t (a 2).3+ −t 2a 1 0

− + + + =

5. BAØI TOÁN 5:

HỌ ĐƯỜNG CONG

BÀI TỐN TỔNG QT:

Cho họ đường cong (Cm):y = f(x,m) ( m là tham số )

Biện luận theo m số đường cong của họ (Cm) đi qua điểm M0(x0;y0) cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta coù :

Họ đường cong (Cm) đi qua điểm M0(x0;y0) ⇔ y0 = f(x0,m) (1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.

Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0

Cụ thể:

• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0

• Nếu phương trình (1) vơ nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều khơng đi qua M0

• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0

Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong (Cm)

Áp dụng:

Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số

m
x

m
m

x
y

+
−
+
+
−
=

1 . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm

A(2;0)

Ví dụ: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +9x+1 (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường
thẳng y=x+1

TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TỐN TỔNG QUÁT:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 13 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi M0(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình:

y0 = f(x0,m) nghiệm đúng ∀m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1: Am+B=0 ∀m

Daïng 2: Am2+Bm+C =0 ∀m

Áp dụng định lý: Am+B=0





=
=
⇔
∀

0
0
B
A

m (2)







=
=
=
⇔
∀
=
+
+

0
0
0
0

C
B
A
m
C

Bm

Am (3)

Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được (x0;y0)

6. BÀI TỐN 6:

TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

Bài 1: Cho hàm số

2 3 6
2

x x

y
x

+ +

=
+

Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên .
Bài 2: Cho hàm số 2 2 2

x x

+ +

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hồnh bằng hai lần khoảng
cách từ đó đến trục tung .

Bài 3: Cho hàm số 2 1

x
y

+
=

Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất
Bài 4: Cho hàm số 2 2 2

x x

+ −

−

Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là
nhỏ nhất

Baøi 5: Cho hàm số

2 4 5
2

x x

+ +

=
+

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là
nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hàm số y=2x4 −3x2+2x+1

Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ
nhất.

Bài 7: Cho hàm số 1

y x

= +

− (C)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 14 
Baøi 8: Cho hàm số

2 2
1

x x

+ +
=

−

Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm (0; )5
2

Bài 9: Cho hàm số 2

x
y

=
−

Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1
7. BÀI TỐN 7:

CÁC BÀI TỐN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho hàm số

1
1

−
+
−
=

x
x
x

y (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên
làm tâm đối xứng.

Baøi 2: Cho haøm soá 2 2 2 2

x m x m

+ +

+ (Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc

toạ độ

Baøi 3: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 (Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc

tọa độ

Bài 4: Cho hàm số 2 4 5

x mx m

− +

− (Cm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc

toạđộ

Ph

ầ

n II

:

H

Ệ

TH

Ố

NG HĨA CÁC D

Ạ

NG TỐN TH

ƯỜ

NG G

Ặ

P TRONG

KH

Ả

O SÁT HÀM S

Ố

Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C )

- PTTT có dạng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)

- Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒f’(x0)

f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0

- Thế vào tìm (d)

Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA)

- Pt đường thẳng (d) đi qua điểm A và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA)

- (d) tiếp xúc với ( C )

{






⇔

= (đốivới hàmđathức)

thức)
phân
hàm
với
đối
(

kép
nghiệm

coù

(d)

vaø

)
C

( trình hồnh độđiểm chung của
phương

)
x
(
g

)

x
(
f

)
x
('
g
)
x
('
f

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 15

Bài tốn 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x)
và các đường x = a , x = b

B1 : Ta coù S = f(x) g(x).dx

∫

−

B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ;

đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân )
B3 : Tính

* Chú ý : Kết quả là số dương

Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung
độ điểm chung )

Bài toán 4 : Tính diện tích hình trịn xoay

Hinh phẳng :

x
O
trục
quanh
Quay

b
x

a
x

có)
phải
c
bắt buộ
(

0
y

:
Ox

)
x
(
f
y
:
)
C
(









=
=

Có thể tích là : V = π

∫

(

)

2dx

)
x
(
f

Hình phẳng :

( ) : ( )

: 0 ( bắt buộc phải có)
y a

y b

quanh truïc O y

C x f y

Oy x

Quay

=




=



=

 =


Có thể tích là : V = π

∫

(

)

2dy

)
y
(
f

* Bình phương hàm số f(x) rồi tính

Bài tốn 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0

B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1)
với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên

B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C )
Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d)

B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT )

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 16

* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để phương trình có 4

nghiệm phân biệt)

Bài tốn 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại

B2 : Biện luận

*Nếu (1) là PT : ax + b = 0
Biện luận 2 trường hợp :

a = 0 :⇒ giá trị tham số m, thế vào PT,
kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm

a≠ 0 :⇒ giá trị m ⇒ 1 ngiệm ⇒ 1 giao
điểm

*Nếu (1) là PT : ax2 + bx + c = 0
Biện luận 2 trường hợp :

a = 0 :⇒ giaù trị tham số m, thế vào PT, kết

luận nghiệm ⇒ số giao điểm

a≠ 0 :⇒ giá trị m ; tính ∆ ( hoặc ∆’) ; xét dấu
∆ ( hoặc ∆’) ⇒ số giao điểm

Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định
B1 : TXĐ

B2 : Tính y’

B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R





⇒
<
∆

⇒
≤
∆
⇔





<
>

≤
≥

⇔

m

tìm
BPT

giải
0

lại
cịn
hàm
với

đối

)
0
y'
hoặc
(

0
y'

ba
bậc
hàm
với
đối

)
0
y'
hoặc
(

0
'
y

Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’

B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’)

Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’

Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hồnh độ là x0
B1 : TXĐ

B2 : Tính y’ , y’’

B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 17

Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn
B1 : TXĐ

B2 :y’ ; y’’

B3 : I(x0 ;y0) là điểm uốn





=
⇔

0
0

y
)
x
(
y

0
)
x
(
''
y

Giải hệ tìm m

Bài tốn 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 3 )

B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0.

B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)

⇔






=
+
+

=
−

(2)

0
C
Bx
Ax

0
x
x

2
0

B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm pb
⇔ (2) coù 2 nghiệm khác x0








>
∆

≠

≠
+
+

⇔

0
0
A

0
C
Bx

Ax20 0

Bài tồn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
- TXĐ @ Tính :y’

- Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
- Giải phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)

* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)

Bài tốn 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 4)

- PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1)
- Đặt t = x2 (t ≥ 0) . PT trở thành at2 + bt + c = 0 (2)
- ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 18 
⇔









>
−
=

>
=
>
∆
0
a
b
S
0
a
c
P
0

B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m

Bài tốn 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với
hàm phân thức)

* Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax + cx+d B

* Để x, y là số nguyên thì cx+d phải là số nguyên B ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm

M(x ; y) VD :

1
x

− là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒










⇒
⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
−
⇒
⇒
−
−
−
⇒
⇒
=
−
⇒

⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
−
y
x
4
1
x
y
x
4
1
x
y
x
2
1
x
y
x
2
1
x
y
x

1
1
x
y
x
1
1
x

Bài toán 16 :Tìm tập hợp điểm

* Tìm toạ độ điểm M cần tìm











=
⇒



=
=

=
⇒



=
=
=
⇒



=
=
0
y)
F(x,
:
đường
là
M
điểm
các
hợp
tập
,
m

Khử
)

m
(
g
y
)
m
(
f
x
M
c
y
thẳng
đường
là
M
điểm
các
hợp
Tập
c
y
)
m
(
f
x
M
c
x

thẳng
đường
là
M
điểm
các
hợp
Tập
)
m
(
f
y
c
x
M

Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x0 ; y0)

B1 : TXÑ
B2 : y’

B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 0

0 0

'( ) 0
( )

y x

y x y

=




=


B4 : Giaûi hệ PT tìm m

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 19

Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương)
* TXĐ

* Tính :y’ ; y’’

* Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x )
⇒∆≤ 0 ( hoặc ∆≥ 0) ; ∆ của y’’
* Giải bpt tìm m

Bài tồn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
* TXĐ

* Tính :y’

* Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)

* Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)

Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)

Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thị (C) có tích các khoảng cách
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :

+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0
+ p dung cơng thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) =

2
2

M
M

B
A

C
y
.
B
x
.
A

+
+

tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
+ Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên)

+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số )
+ Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành hằng số

* Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
của (C) đạt giá trị lớn nhất :

+ Làm như trên

+ Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 : 1 2 1. 2
2

d d

≤

Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất = 2 d d1. 2

</div>

On thi DH Ung dung cua KSHS

KH

Ả

<b>O SÁT HÀM S</b>

Ố

<i><b>Bài vi</b></i>

ế

<i><b>t </b></i>

đượ

<i><b>c chia làm 2 ph</b></i>

ầ

<i><b>n l</b></i>

ớ

<i><b>n: </b></i>

<i><b> Ph</b></i>

ầ

<i><b>n I : S</b></i>

ơ

<i><b> l</b></i>

ượ

<i><b>c các bài toán liên quan </b></i>

đế

<i><b>n </b></i>

đồ

<i><b> th</b></i>

ị

<i><b> hàm s</b></i>

ố

<i><b>. </b></i>

<i><b> Ph</b></i>

ầ

<i><b>n II : H</b></i>

ệ

<i><b> th</b></i>

ố

<i><b>ng hóa các d</b></i>

ạ

<i><b>ng toán th</b></i>

ườ

<i><b>ng g</b></i>

ặ

<i><b>p trong kh</b></i>

ả

<i><b>o sát hàm s</b></i>

ố

<i><b>. </b></i>

<i><b>Ph</b></i>

ầ

<i><b>n I</b></i>

: S

Ơ

<b> L</b>

ƯỢ

<b>C CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN </b>

ĐẾ

<b>N </b>

ĐỒ

<b> TH</b>

Ị

<b> HÀM S</b>

Ố

:

ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TÓM TẮT GIÁO KHOA

* Ba dạng cơ bản:

2

3

:

)

(

<i>C</i>

<i>y</i>

=

<i>x</i>

−

<i>x</i>

+

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG