Ôn thi ĐH 2009 theo cấu trúc của cục Khảo thí

/>HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2

4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.

Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9y x= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b. Hàm số
4
y x
x
= +
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2

2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.
1
/>Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên
khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x= + + +
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số
2 2

5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
đồng biến trên khoảng (0; 3)

Ví dụ 10
Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )+∞
c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)−∞
Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )+∞
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − −
đồng biến trên
[2:+ )∞
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:

+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 

b. Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
2
/>Cho hàm số
( ) t anx - xf x =
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]

4
f x x
π
π
= − ∈
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π
b. Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0
hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và

kí hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f
”(x
i
) < 0 thì hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0
phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
Qui tắc I.
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0

2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −

+
∞
-
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞

-
∞
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔


= −

y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3
và
y
cđ
=71
3
/>Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2

2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d

x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị
tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ =

Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số
đạt giá trị cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +
Bài 2. Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +

Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1,
f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-
2) = -2
Hướng dẫn:
2

'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+
+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q ≤ ∀ ≠
4
/>+ Nu q > 0 thỡ:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q

=
+ +
= =

+

= +

Lp bng bin thiờn xem hm t cc ti ti giỏ tr x no.
Dng 3. Tỡm iu kin hm s cú cc tr
Bi toỏn: Tỡm m hm s cú cc tr v cc tr tho món mt tớnh cht no ú.
Phng phỏp
B1: Tỡm m hm s cú cc tr.
B2: Vn dng cỏc kin thc khỏc Chỳ ý:
Hm s
3 2
ax ( 0)y bx cx d a= + + +
cú cc tr khi v ch khi phng trỡnh y = 0 cú hai
nghim phõn bit.
Cc tr ca hm phõn thc
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Gi s x
0
l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x
0
)
cú th c tớnh bng hai cỏch: hoc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )

( ) hoặc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= =
Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+
+ + +
+
Hng dn.
a. TX: R

2
' 2 6y x mx m= + + +
.
hm s cú cc tr thỡ phng trỡnh:
2
2 6 0 có 2 nghiệm phân biệtx mx m+ + + =
2
3
' 6 0

2
m
m m
m
>

= >

<

b. TX:
{ }
\ 2Ă

2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m

m m
+ + + + + +
= =
+ +
= + + + =
> >

<

+ +

Bi 1. Tỡm m hm s
3 2
3 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?y x mx= +
Bi 2. Tỡm m hm sụ
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ + +
=

luụn cú cc i v cc tiu.
Bi 3. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc
tiu ca th cỏch u trc tung.
Bi 4. Hm s
3 2

2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= + +
. Tỡm m hm s cú cc i cc tiu.
Bi 5. Cho hm
2
1
x mx
y
x
+
=

. Tỡm m hm s cú cc tr
Bi 6. Cho hm s
2
2 4
2
x mx m
y
x
+
=
+
. Xỏc nh m hm s cú cc i v cc tiu.
Dng 4. Tỡm tham s cỏc cc tr tho món tớnh cht cho trc.
Phng phỏp
+ Tỡm iu kin hm s cú cc tr
5

/>+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
6
/>Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x

x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c

π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Bài 5. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +
Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +
Bài 7. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 8. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1,
f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số

( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-
2) = -2
Bài 11. Tìm m để hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +
Bài 12. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2 · 12 13y x x= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3

m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
7
/>DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
( )
;a b

:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

[ ]
;a b∈
(i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )

n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0; )+∞
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )+∞
2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x = − ∉ +∞
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3

2
2 3 4
3
x
y x x= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈

∈
= −

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −
= −
−
=
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a ∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )

cosx 2 2
π π
 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
8
GTLN
-
+
y
y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
+
∞
0

2
+
-
y
y'
+
∞
1
0
x
/>Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
• y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) ,hoÆc lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =
• x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞
• Đường thẳng y = ax + b (

0a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện
sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=
Phương pháp
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm
cận đứng.
• Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử
và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được
xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0

x
x
ε
→∞
=
thì y
= ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −
Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −

= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3

x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị
hàm số.
c. Ta thấy

2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+

2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1
x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
9
/>Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)y bx c a= + + >
Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2

b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi đó
( )
2

b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20y x x= − +
Híng dÉn
2
9( 2) 6y x= − +
10
/>Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=
lim ( )
0
f x
x x
lim ( )
0
g x
x x
Dấu của g(x)
( )

lim
( )
0
f x
x x
g x

L

Tuỳ ý 0
L > 0 0
+ +

- -

L < 0 0
- +

+ -

Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =

x 3x + 1
Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 + h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+

+
=

Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của
các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+
Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với
hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3

1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A
b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x=
tại hai điểm phân biệt.
11
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
/>4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số
3 2

(a 0)y ax bx cx d= + + +
Phơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1x x m + =
Hớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D = Ă
2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1

lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
+ +

+ = + = +
+ = + =
c. Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= + = + =

=

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y =
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1y x x= +
và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 phương trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phương trình có 2 nghiệm
m < -1: Phương trình có 1nghiệm
m =
12
3
-

+

-1
--
+
0
0
2
0
+

-

y
y'
x
2
-2
-5 5
/>Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)

Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m = có 3 nghiệm phân biệt.
Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .

a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng
ni cc i vo cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b. Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + = có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
13
/>Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số
3

3 2y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C
) tại 3 điểm phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y =
m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1

b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
14
/> Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0a
Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b = + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<
Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2y x x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
15

/>Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1
Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phơng trình
4 2
2 1 0x x + =
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
c. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số

4 2
m
2 (C )y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4y x x= +
2. Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x=
Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m= +
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
16