Một số thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ QUỐC PHÒNG
VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QN SỰ
--------------------------------

NGƠ XN PHƯƠNG

MỘT SỐ THUẬT TỐN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP
NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ
TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học
Mã số: 9460110

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội – 2018


Cơng trình được hồn thành tại:
VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QUÂN SỰ
BỘ QUỐC PHÒNG
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS. Phạm Ngọc Anh
2. TS. Nguyễn Mạnh Linh
Phản biện 1: GS. TS. Lê Dũng Mưu
Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Bá Minh
Trường Đại học Thương mại
Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ
cấp Viện tại Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự. Vào hồi giờ
ngày tháng năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài:
Cho C là một tập con đóng khác rỗng của một khơng gian Hilbert
thực H và một ánh xạ F : C → H, bài toán bất đẳng thức biến phân,
được viết tắt bởi V I(F, C), có dạng:
Tìm véc tơ x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Ánh xạ F thường được gọi là ánh xạ giá của bài toán V I(F, C). Dễ thấy
rằng, khi x∗ ∈ intC, bài toán này được viết dưới dạng bài tốn giải phương
trình F (x∗ ) = 0. Bài toán V I(F, C) được biểu diễn khá đơn giản, nhưng
nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác
nhau, chẳng hạn như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu lồi khả vi, mơ
hình cân bằng mạng giao thơng, v.v; nó hợp nhất các bài tốn này theo
một phương pháp nghiên cứu chung rất tiện lợi.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào
năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia. Những nghiên cứu đầu tiên về
bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán bù phi tuyến,
bài toán điều khiển tối ưu và các bài tốn biên có dạng phương trình đạo
hàm riêng. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian vơ hạn
chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách “An introduction to variational inequalities and their applications” của Kinderlehrer
và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách “Variational and

quasivarational inequalities: Application to free boundary problems” của
Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984. Năm 1979, Michael J. Smith đưa
ra bài toán cân bằng mạng giao thông và năm 1980 Defermos chỉ ra rằng:
Điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của bài toán bất đẳng thức


2
biến phân. Từ đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân được phát triển và
trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán cân
bằng trong kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều mơ hình tốn khác.
Chính điều đó mà bài tốn bất đẳng thức biến phân được nhiều người quan
tâm nghiên cứu cả về các hướng tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và
các thuật tốn giải.
Thơng thường các phương pháp giải bài tốn tìm một điểm chung của
tập nghiệm các bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của
các ánh xạ khơng giãn nói riêng hoặc các ánh xạ nói chung trong khơng
gian Hilbert H, được xấp xỉ qua các phương pháp giải trong không giãn
hữu hạn chiều Rn , hoặc mở rộng thông qua các phương pháp tìm điểm bất
động chung của các ánh xạ, hoặc các phương pháp tìm nghiệm chung của
các bài tốn bất đẳng thức biên phân. Theo hiểu biết của chúng tơi, một
số phương pháp tiếp cận chính đề xuất các thuật tốn thường gặp để giải
bài tốn tìm nghiệm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến
phân và tập điểm bất động được chia ra các loại như sau:
- Loại thứ nhất là kết hợp giữa phương pháp một phép chiếu và phương
pháp lặp Mann.
- Loại thứ hai là kết hợp giữa phương pháp một phép chiếu và phương pháp
lặp Halpern.
- Loại thứ ba là phương pháp lặp ẩn.
Trên cơ sở các thuật toán để giải bài toán tìm điểm chung của tập
nghiệm các bài tốn bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của

các ánh xạ không giãn, một vấn đề đặt ra là cần xây dựng các thuật tốn
mới với mục tiêu khơng chỉ mở rộng và cải tiến mà cần tính tốn hiệu quả
trên máy tính các phương pháp đã có để giải bài tốn này. Đặc biệt là các
bài tốn có các giả thiết nhẹ hơn tính đơn điệu và liên tục Lipschitz của
các ánh xạ giá, như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, thậm chí khơng đơn điệu
và lớp các ánh xạ mở rộng của ánh xạ không giãn như ánh xạ giả co chặt,


3
ánh xạ tựa khơng giãn. Rất nhiều các thuật tốn đề xuất, rất khó có thể
cho ta biết tính hiệu quả thực sự với các ứng dụng vào các mô hình thực tế
với các tính tốn cụ thể. Vì vậy, chúng tôi chọn những vấn đề trên để làm
đề tài của luận án: "Một số thuật tốn tìm điểm chung của tập nghiệm bài
toán bất đẳng thức phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn".

Bố cục của luận án:
Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình khoa học của tác
giả liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4
chương:
• Chương 1. Bất đẳng thức biến phân và ánh xạ khơng giãn
• Chương 2. Phương pháp điểm bất động
• Chương 3. Thuật tốn đạo hàm tăng cường mở rộng
• Chương 4. Thuật tốn một phép chiếu
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 bài báo. Cụ thể,
có 02 bài đã được xuất bản trong các tạp chí quốc tế có uy tín trong danh
mục xếp hạng ISI và SCOPUS, và 02 bài đã được gửi đăng. Các kết quả
đã được báo cáo tại:
• Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc, Đà Nẵng, 2017;
• Hội thảo Tối ưu và Tính tốn Khoa học lần thứ 12, Ba Vì, 2016;
• Hội nghị Tốn ứng dụng tồn quốc, Trường Đại học Kinh tế Quốc

dân, 2015;
• Hội nghị tốn ứng dụng miền Trung và Tây nguyên, 2015;
• Xêmina của Lab Tốn ứng dụng và Tính tốn, Học viện Cơng nghệ
Bưu chính Viễn thơng;


Chương 1
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN
Một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán
điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ giả co chặt, và một số
phương pháp tìm điểm chung của tập nghiệm bài tốn bất đẳng thức biến
phân và tập điểm bất động của các ánh xạ không giãn trong một không
gian Hilbert thực H, được giới thiệu trong chương này. Các phương pháp
giải có liên quan đến các thuật tốn giải mới của các chương sau.

1.1

Một số khái niệm cơ bản
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · và chuẩn

tương ứng được xác định bởi x =

x, x , với mọi x ∈ H. Một dãy

{xk } ⊂ H được gọi là hội tụ mạnh (hội tụ yếu) tới x∗ ∈ H, ký hiệu xk → x∗
x∗ ), nếu xk − x∗ → 0 (tương ứng u, xk − x∗ → 0 với

(tương ứng xk

mọi u ∈ H) khi k → ∞.
Cho C = ∅, C ⊂ H. Ánh xạ S : C → H được gọi là nửa đóng tại 0,
nếu {xk } là một dãy trong C sao cho xk

x¯ và (I − S)(xk ) → 0, thì

(I − S)(¯
x) = 0.
Bổ đề 1.1. Với mỗi x, y ∈ H, ta có
(i) x − y

2

= x

2

− y

(ii) T (x) + (1 − t) y

2

2

− 2 x − y, y ,

= t x

2

+ (1 − t) y

2

− t (1 − t) x − y

2

∀t ∈

[0, 1] .
Bổ đề 1.2. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó,


5
(i) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0 ∀y ∈ C, x ∈ H;
(ii) P rC (x) − P rC (y), x − y ≥ P rC (x) − P rC (y)
(iii) x − P rC (x)

2

≤ x−y

2

− y − P rC (x)

2

2

∀x, y ∈ H;

∀x ∈ H, y ∈ C;

(iv) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
(v) P rC (x)−P rC (y)

1.2

2

≤ x−y 2 − P rC (x)−x+y−P rC (y) 2 , ∀x, y ∈ H.

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và
F : C → H là một ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân xác
định bởi C và F , được ký hiệu bởi V I(F, C), là bài tốn tìm một véc tơ
x∗ ∈ C sao cho
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu bởi Sol(C, F ). Ánh xạ F thường
được gọi là ánh xạ giá.
Mệnh đề 1.1. Điểm x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi
x∗ = P rC (x∗ − λF (x∗ )),
trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ.

1.3

Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập con khác rỗng của H. Ánh xạ S : C → C được gọi

là giả co chặt, nếu tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
S(x) − S(y)

2

≤ x−y

2

+ L (I − S)(x) − (I − S)(y)

2

∀x, y ∈ C,


6
trong đó I là ánh xạ đồng nhất trong Rn . Khi L = 0, S được gọi là ánh xạ
không giãn trên C. Tập các điểm bất động của S được ký hiệu bởi F ix(S),
nghĩa là
F ix(S) := {x ∈ C : S(x) = x}.
Ánh xạ S được gọi là tựa giả co chặt, nếu tồn tại L ∈ [0, 1) sao cho
S(x) − p

2

≤ x−p

2

+ L x − S(x)

2

∀x ∈ C, p ∈ F ix(S).

Trong trường hợp L = 0, ánh xạ S được gọi là ánh xạ tựa không giãn trên
C. Như vậy, ánh xạ giả co chặt và ánh xạ tựa không giãn trên C là một
dạng mở rộng của ánh xạ không giãn.

1.4

Một số phương pháp lặp cho bài toán bất đẳng thức biến
phân và ánh xạ không giãn

1.4.1

Phương pháp đạo hàm tăng cường

1.4.2

Phương pháp xấp xỉ gắn kết

1.4.3

Phương pháp đạo hàm tăng cường-lai ghép

1.5

Kết luận Chương 1
Trong chương này, chúng tơi đã trình bày một số kiến thức cơ sở về

giải tích lồi, về bài tốn bất đẳng biến phân và các tính chất cơ bản của
nó, ánh xạ khơng giãn và các dạng ánh xạ không giãn mở rộng như ánh
xạ giả co chặt, ánh xạ tựa khơng giãn. Đồng thời trình bày một số bổ đề
sẽ được dùng cho các chương sau và các phương pháp cơ bản giải bài tốn
tìm nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài tốn điểm
bất động của ánh xạ khơng giãn, làm cơ sở xây dựng các thuật toán mới
trong các chương sau.


Chương 2
THUẬT TỐN CHIẾU ARMIJO
Trong chương này, chúng tơi giới thiệu một thuật toán lặp mới, được
gọi là thuật toán chiếu-Armijo, để giải bài tốn tìm một điểm chung của
tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và tập
điểm bất động của p ánh xạ giả co chặt Si (i = 1, 2, ..., p) trong không gian
Rn . Sự hội tụ của các dãy lặp trong thuật tốn điểm bất động được phân
tích và chứng minh chi tiết với giả thiết ánh xạ giá F giả đơn điệu và không
cần đơn điệu mạnh ngược. Các kết quả tính tốn được áp dụng cho một
ví dụ minh họa về mơ hình cân bằng Walrasian được lấy ra từ ví dụ của
Mathiesen. Các kết quả này được lấy từ cơng trình [1].

2.1

Thuật tốn và định lý hội tụ

Thuật toán 2.1.
Bước 0: Chọn điểm ban đầu và các tham số:
p
0

x ∈ C, σ ∈ (0, 1), θ ∈ (0, 1), {λn,i } ⊂ (0, 1),

λn,i = 1, τ > 0,
i=1

1−L
L = max{Li : 1 ≤ i ≤ p} ∈ (0, 1), α =
, {βk } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 2α).
2

Bước 1: y k = P rC (xk − τ F (xk )). Nếu y k = xk , thì đặt z k := xk và chuyển tới Bước
Ngược lại, chuyển tới Bước 2.

Bước 2: Tìm một số nguyên không âm nhỏ nhất m sao cho
σ k
F ((1 − θm )xk + θm y k ), xk − y k ≥
x − y k 2 , đặt tk = (1 − θm )xk + θm y
τ
k
k
k
F (t ), x − t
v k := xk −
F (tk ) và z k = P rC (v k ).

F (tk ) 2


8
p
k+1

Bước 3: x

:= P rC

k

z − βk

λk,i Si (z k ) .

I−
i=1

Bổ đề 2.1. Giả sử F là liên tục trên C và tại bước lặp thứ k điểm lặp xk
khơng phải là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) hay
xk ∈
/ Sol(C, F ). Khi đó
(i) Tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất m;
(ii) F (tk ), xk − tk > 0 với mọi k ∈ N .
Bổ đề 2.2. Đặt L = max{Li : 1 ≤ i ≤ p} ∈ [0, 1), {βk } ⊂ [c, d] ⊂
(0, 1 − L), τ > α > 0 với mọi k ≥ 1 and ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅. Nếu
tồn tại k0 sao cho xk = y k với mọi k ≥ k0 , thì dãy {xk } xác định bởi Thuật
toán 2.1 hội tụ yếu tới x¯ ∈ ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ).

Định lý 2.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, Si : C → C
là Li -giả co chặt với mọi i = 1, · · · , p và F : C → H thỏa mãn các hạn chế
sau:
(i) F là giả đơn điệu trên C;
(ii) F là liên tục trên C;
(iii) ∩pi=1 F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅.
Khi đó, các dãy {xk }, {y k } và {z k } xác định bởi Thuật toán 2.1 hội tụ yếu
tới một điểm x∗ , ở đây
x∗ = lim P r∩pi=1 Fix(Si ,C)∩Sol(C,F ) (xk ).
k→∞

2.2

Các ví dụ tính tốn
Để minh họa Thuật tốn 2.1, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(F, C) trong không gian H := R3 , ở đây miền chấp nhận được C và
ánh xạ giá F : C ⊆ R3 → R3 xác định bởi:
C = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3+ : x1 + x2 + x3 = 1, x1 − x2 − x3 ≤ 0, x1 ≥ 0.1, x2 ≥ 0.1},


9

Bảng 2.1: Dãy lặp {xk } cho bởi Thuật toán 2.1, H = R3 và sai số nghiệm
= 10−4 .
Bước (k)
0

F (x) =

xk1

xk2

xk3

z1k

z2k

z3k

0.2

0.5

0.3

-

-

-

1

0.1401 0.7399 0.1200 0.1160 0.8360 0.0480

2

0.1161 0.8359 0.0480 0.1065 0.8744 0.0192

3

0.1066 0.8743 0.0191 0.1027 0.8897 0.0076

4

0.1028 0.8896 0.0075 0.1012 0.8958 0.0029

5

0.1014 0.8957 0.0028 0.1007 0.8982 0.0010

6

0.1011 0.8981 0.0008 0.1007 0.8992 0.0001

7

0.1011 0.8989 0.0000 0.1000 0.9000 0.0000

8

0.1000 0.9000 0.0000 0.1000 0.9000 0.0000

0.9(5x2 + 3x3 ) 0.1(5x2 + 3x3 )
,
− 5, −3
x1

x2

T

∀(x1 , x2 , x3 )T ∈ C.

Khi đó, ánh xạ giá F là giả đơn điệu và không đơn điệu trên C.
Trong ví dụ này, với mỗi x ∈ C, ta xét hai ánh xạ giả co chặt S1 và S2 ,
trong đó S1 là ánh xạ đồng nhất và S2 được cho bởi:
S2 (x) = x − G(x), G(x) = (x1 − 0.1)2 , 10x2 − 9, 0

T

∀x ∈ C.

Trong việc thực hiện tính tốn, các tham số trong Thuật toán 2.1 được
chọn như sau:
σ
= 1.5, θ = 0.6, L = max{0, 0.5} = 0.5, βk = 0.001 ∀n = 1, · · · , = 10−4
τ
1−L
α=
= 0.25, τ = 4, λn,i = 0.5 ∀i = 1, 2.
2
Nghiệm xấp xỉ với sai số = 10−4 của bài tốn tìm một điểm chung của
Sol(C, F ) và tập điểm bất động F ix(S1 ) ∩ F ix(S2 ) đạt được sau 8 bước
lặp là (see Table 1):
x∗ = (0.1000, 0.9000, 0.0000)T .

10

Bảng 2.2: Thuật toán 2.1 với điểm xuất phát khác nhau x0 và sai số
nghiệm = 10−4 .
Starting point No. Iterations CPU-Times/sec

2.3

(0.2, 0.5, 0.3)T

8

1.8125

(0.3, 0.6, 0.1)T

8

1.8594

(0.4, 0.5, 0.1)T

7

1.8750

(0.4, 0.4, 0.2)T

9

2.1440

(0.5, 0.4, 0.1)T

17

3.1994

Kết luận Chương 2
Bằng cách kết hợp giữa kỹ thuật tìm kiếm theo tia Armijo với cách

phân tích sai số tính tốn của các tác giả Huang, Noor và Al-Said, chúng
tơi đã đề xuất một thuật tốn lặp mới để giải bài tốn tìm một điểm chung
của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F ) và tập điểm
bất động của p ánh xạ giả co chặt Si trong không gian Rn . Hơn nữa, bằng
cách chọn các tham số chính qui trong thuật tốn phù hợp, chúng tôi đã
chỉ ra rằng điểm tụ x∗ của các dãy lặp là giới hạn của của hình chiếu của
điểm lặp đó lên trên tập nghiệm chung Sol(C, F ) ∩pi=1 F ix(Si ). Phần cuối
của chương trình bày một ví dụ minh họa của các thuật tốn mới với số
liệu tính tốn cụ thể trên phần mềm Matlab.


Chương 3
THUẬT TỐN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG MỞ RỘNG
3.1

Thuật tốn đạo hàm tăng cường song song
Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và các ánh xạ giá

Fi : C → H với i ∈ I := {1, 2, ..., n}. Xét bài tốn tìm một điểm chung

của các tập nghiệm bài toán V IP (C, Fi ) (i ∈ I) và tập điểm bất động của
một ánh xạ tựa khơng giãn S như sau:
Tìm x∗ ∈

Sol(C, Fi ) ∩ F ix(S),

(3.1)

i∈I

Giả sử rằng S, Fi với mỗi i ∈ I, các dãy tham số {αn } và {βn } thỏa mãn
các điều kiện sau:
(A1 ) Fi giả đơn điệu trên C;
(A2 ) nếu {xn } là một dãy trong H hội tụ yếu tới x¯, thì {Fi (xn )} hội tụ
mạnh tới Fi (¯
x);
(A3 ) Fi là liên tục Lipschitz với hằng số Li > 0 trên C thỏa mãn
0 < τ < min

1
: i∈I ;
Li
∞

(A4 ) {αn } ⊂ (0, 1) sao cho lim αn = 0,
n→∞

αn = ∞, {βn } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1);
n=1

(A5 ) S là tựa không giãn trên C sao cho I − S nửa đóng tại 0;
Sol(C, Fi ) ∩ F ix(S) = ∅.

(A6 ) Ω :=
i∈I


12
Bổ đề 3.1. Cho F : H → H là giả đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng
số L > 0 trên C, τ > 0 và Sol(C, F ) = ∅. Cho x ∈ H, đặt
U (x) = P rC (x − τ F (x))
T x = {w ∈ H :

x − τ F (x) − U (x), w − U (x) ≤ 0}

V (x) = P rT x [x − τ F (U (x))].
Khi đó, với mọi x∗ ∈ Sol(C, F ), ta có
V (x) − x∗

2

≤ x − x∗

2

− (1 − τ L) x − U (x)

2

− (1 − τ L) V (x) − U (x) 2 .

Hơn nữa, nếu τ L < 1, thì V (x) − x∗ ≤ x − x∗ .
Bổ đề 3.2. Với mỗi i ∈ I, cho các ánh xạ Fi : H → H thỏa mãn giả thiết
(A2 ). Chọn τ > 0 và đặt U := P rC (I − τ Fi ). Nếu dãy xn thỏa mãn xn

x¯

và xn − U (xn ) → 0, thì x¯ ∈ Sol(C, Fi ) = F ix(U ).
Thuật toán 3.1.
Bước 0: Chọn điểm ban đầu x0 ∈ H.
Bước 1: Với i ∈ I, tính tốn song song các hình chiếu:
yin = P rC (xn − τ Fi (xn )),
zin = P rTni [xn − τ Fi (yin )],
ở đây Tni = {w ∈ H :

xn − τ Fi (xn ) − yin , w − yin ≤ 0};

Tìm z¯n := argmax{ zin − xn : i ∈ I},
z n = αn x0 + (1 − αn )¯
zn,
Bước 2: xn+1 = βn xn + (1 − βn )Sz n .
Định lý 3.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H. Giả sử
rằng các điều kiện (A1 ) − (A6 ) được thỏa mãn. Cho {xn } được xác định bởi
Thuật tốn 3.1. Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm nghiệm P rΩ x0 .


13

3.2

Thuật toán đạo hàm tăng cường Mann
Với mỗi i ∈ I := {1, 2, ..., n}, cho Ci là một tập con lồi đóng khác rỗng

của H sao cho ∩i∈I Ci = ∅, và ánh xạ giá Fi : H → H. Bài toán bất đẳng
thức biến phân tương đối được xét lần đầu tiên bởi Censor và đồng nghiệp
có dạng:
Tìm x∗ ∈ ∩i∈I Sol(Ci , Fi ),

(3.2)

ở đây, với mỗi i ∈ I, ký hiệu Sol(Ci , Fi ) là tập nghiệm của bài tốn bất
đẳng thức biến phân:
Tìm xˆ ∈ Ci sao cho

Fi (ˆ
x), x − xˆ ≥ 0 với mọi y ∈ Ci .

Với mỗi i ∈ I, bài tốn tìm một điểm chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ {Si : Ci → Ci }i∈I được viết dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ ∩i∈I F ix(Ci , Si ),

(3.3)

ở đây F ix(Ci , Si ) là tập điểm bất động của ánh xạ Si .
Ký hiệu Sol(V I) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
tương đối (3.2) và Sol(F ix) := ∩i∈I F ix(Ci , Si ) là tập điểm bất động của
bài tốn (3.3). Mục đích của phần này là đề xuất thuật toán mới để giải
bài tốn tìm một nghiệm chung của hai bài tốn (3.2) và (3.3). Chi tiết,
bài tốn được phát biểu dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ Sol(F ix) ∩ Sol(V I).

(3.4)

Giả thiết 3.1. Với mọi i ∈ I, ta giả thiết rằng các ánh xạ giá Fi và các
ánh xạ Si trong bài toán (3.4) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Fi là giả đơn điệu;
(ii) Fi is Li −liên tục Lipschitz trên H;
(iii) Si : Ci → Ci là không giãn;


14
(iv) Sol(V I) ∩ Sol(F ix) = ∅.
Thuật toán 3.2.
Bước khởi tạo: Chọn điểm xuất phát x0 ∈ H và cho k = 0. Chọn các
dãy số dương {λk,i }, {αk,i } và {γk,i } với mọi i ∈ I thỏa mãn các hạn chế:
αk,i ≤ c < 1, a ∈ (0, 1), λk,i ∈

c,

1−a
1
, lim inf γk,i > 0, γk,i ≤ . (3.5)
k→∞
Li
2

Bước lặp k(k = 0, 1, ...): Thực hiện các bước sau:







k
k
k


y
:=
P
r

Ci (x − λk,i Fi (x ))

i








Với mọi i ∈ I, tính tốn zik := P rCi (xk − λk,i Fi (yik ))













tki := αk,i xk + (1 − αk,i )Si (zik ),



Ck,i := {x ∈ H : xk − tki , x − xk − γk,i (tki − xk ) ≤ 0}, Qk := ∩i∈I Ck,i ,







Wk := {x ∈ H : x0 − xk , x − xk ≤ 0},






xk+1 := P rQk ∩Wk (x0 ), k := k + 1.
Bổ đề 3.3. Cho x, y ∈ H và λ ∈ [0, 1]. Xây dựng nửa không gian H(x, y)
xác định bởi
H(x, y) := {z ∈ H : x − y, z − y ≤ 0}.

(3.6)

Khi đó,
H(x, y) ⊆ H(x, λx + (1 − λ)y).
Bổ đề 3.4. Giả sử rằng giả thiết 3.1 được thỏa mãn (không cần thiết đơn
điệu) và các dãy lặp {xk }, {yik }, {zik } xác định bởi Thuật tốn 3.2. Khi đó,
với mỗi x∗ ∈ Sol(V I) ∩ Sol(F ix) và k ∈ N , ta có
tki −x∗

2

≤ xk −x∗ 2 −(1−αk,i )(1−λk,i Li ) xk −yik 2 −(1−αk,i )(1−λk,i Li ) yik −zik 2 .

Bổ đề 3.5. Giả sử rằng giả thiết 3.1 được thỏa mãn, các tập Qk và Wk
được xác định bởi Thuật toán 3.2. Khi đó, ta có
Ω := Sol(V I) ∩ Sol(F ix) ⊆ Qk ∩ Wk ∀k ∈ N .


15
Bổ đề 3.6. Giả sử rằng giả thiết 3.1 được thỏa mãn, các dãy {xk }, {yik }
và {tki } được xác định bởi Thuật tốn 3.2. Khi đó, tồn tại giới hạn c :=
lim xk − x0 < +∞ và

k→∞

lim xk+1 −xk = lim zik −xk = lim yik −xk = lim tki −xk = 0 ∀i ∈ I.

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

Định lý 3.2. Giả sử các ánh xạ Fi và Si , với i ∈ I, thỏa mãn một trong
các điều kiện sau:
(a) Các giả thiết 3.1(ii)-3.1(iv) và Fi đơn điệu trên H;
(b) Giả thiết 3.1 và Fi (x), y − x là liên tục yếu theo biên x với mỗi
y ∈ C.
Khi đó, với mọi i ∈ I, các dãy {xk }, {yik } và {zik } xác định bởi Thuật toán
3.2 hội tụ mạnh tới cùng một điểm x∗ ∈ Ω, ở đây Ω := Sol(V I) ∩ Sol(F ix)
và x∗ = P rΩ (x0 ).
Ví dụ 3.1. Xét bài toán (3.4) với n = 2, H = R. Bài toán (3.2) được cho
bởi
C1 := [−1, 1], C2 := −1,

1
, F1 (x) := x2 , F2 (x) := 2x2 + 3,
2

và ánh xạ Si (i ∈ I := {1, 2}) trong bài toán (3.3) được xác định bởi
2
1
S1 (x) := x, S2 (x) := x − .
3
3

16

Bảng 3.1: Thuật toán 3.2 với điểm xuất phát x0 = 1 và sai số = 10−3 .
Iter. k

y1k

y2k

z1k

z2k

tk1

tk2

xk+1

k=1

0.7500 -0.2500 0.8594 -1.0000 0.8594 -0.6667 0.4444

k=2

0.3951 -0.4043 0.4054 -1.0000 0.4054 -0.7593 0.0432

k=3

0.0427 -0.7077 0.0428 -1.0000 0.0428 -0.8261 -0.2466

k=4

-0.2618 -1.0000 -0.2637 -1.0000 -0.2637 -0.8744 -0.4559

k=5

-0.5078 -1.0000 -0.5203 -1.0000 -0.5203 -0.9093 -0.6070

k=6

-0.6991 -1.0000 -0.7292 -1.0000 -0.7292 -0.9345 -0.7162

k=7

-0.8444 -1.0000 -0.8944 -1.0000 -0.8944 -0.9527 -0.7950

k=8

-0.9530 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9658 -0.8633

k=9

-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9772 -0.9089

k = 10 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9848 -0.9393
k = 11 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9899 -0.9595
k = 12 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9933 -0.9730
k = 13 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9955 -0.9820
k = 14 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9970 -0.9880

k = 15 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9980 -0.9920
k = 16 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.9987 -0.9947


17

Bảng 3.2: Thuật toán 3.2 với các tham số khác nhau được chọn dựa trên
điều kiện: a = 13 , c = 16 , 0 < αk,i ≤

1
6

< λk,i < 13 , 0 < lim inf γk,i ≤ γk,i ≤ 12 ,

sai số = 10−3 , x0 = 1.
Case λk,i

αk,i

γk,i

Iter. No. CPU time (s)

1

0.2500

0.1667

0.3333

16

3.6250

2

0.2500

0.1429

0.3333

19

8.5313

3

0.3000

0.1555

0.4556

19

6.0625

4

0.3000

0.1666

0.5000

18

5.0067

5

0.3023

0.1666

0.5000

17

5.2308

6

0.3000

0.0234

0.5000 −

13

3.8906

7

0.3000

0.0234

0.5000 −

14

3.7188

8

0.3000 −

0.1555

0.4556

13

3.2188

9

0.3000

0.4556

13

3.2344

10

0.3000 −

14

3.4688

1
3k+4

0.1555 −
1
3k+4

0.1555 −

1
3k+9
1
3k+9

0.5000 −

1
(k−1)2 +7
1
(k−1)2 +3

1
(k−1)2 +3


18

3.3

Kết luận Chương 3
Một bài toán mới được xét trong chương này là bài tốn tìm một điểm

chung của tập nghiệm một họ hữu hạn các bài toán bất đẳng thức biến
phân và tập điểm bất đông của một họ các ánh xạ không giãn với các miền
ràng buộc khác nhau. Bằng cách kết hợp kỹ thuật lặp điểm bất động Mann
và phương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tôi đã đề xuất một thuật toán
lặp mới để giải bài toán này. Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đạo hàm
tằng cường cho một họ hữu hạn các bài toán bất đẳng thức biến phân và
kỹ thuật lặp Mann áp dụng cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn.
Tiếp theo, nếu điểm lặp hiện tại không là điểm chung cần tìm, ta xây dựng
các nửa khơng gian thích hợp tách các điểm lặp hiện tại khỏi tập nghiệm
chung. Khi đó, điểm lặp tiếp theo được xây dựng là hình chiếu của điểm
lặp ban đầu lên giao của các nửa không gian chứa tập nghiệm. Bằng cách

xây dựng này, nếu dãy lặp khơng dừng tại một bước lặp, thì dãy lặp sẽ
hội tới một nghiệm chung. Hơn nữa, điểm lặp chung này là hình chiếu của
điểm xuất phát tới tập nghiệm chung. Bằng cách chọn các tham số phù
hợp, sự hội tụ của thuật tốn đề xuất chỉ địi hỏi giả thiết giả đơn điệu và
liên tục Lipschitz các ánh xạ giá và tính khơng giãn của các ánh xạ điểm
bất động.


Chương 4
THUẬT TOÁN MỘT PHÉP CHIẾU
Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của một khơng gian Hilbert
thực H, ánh xạ F : C → H và một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
Si : C → C(i ∈ I := {1, 2, ..., n}). Trong mục này, ta xét bài tốn tìm một
nghiệm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F )
và tập điểm bất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Si (i ∈ I).
Cụ thể,
Tìm x∗ ∈

F ix(Si ) ∩ Sol(C, F ).

(4.1)

i∈I

4.1

Thuật toán một phép chiếu và sự hội tụ
Để giải Bài toán (4.1), ta giả thiết rằng ánh xạ giá F , các ánh xạ

Si (i ∈ I), các dãy tham số {λk }, {δk } và {βk,i } thỏa mãn các hạn chế sau:

(C1 ) Ánh xạ F (x), y − x nửa liên tục trên yếu theo biến x với mỗi y ∈ C;
F liên tục, và giả đơn điệu trên C ứng với mọi nghiệm của Bài tốn
(4.1) và thỏa mãn tính chất tiền đơn điệu chặt, hay
{x ∈ Sol(C, F ), y ∈ C, F (y), x − y = 0} ⇒ y ∈ Sol(C, F );
(C2 ) Các ánh xạ Si là không giãn C với mọi i ∈ I;
(C3 ) Cho L > λ > 0 và 0 < a < b < 1. Các dãy tham số {δk } ⊂
(0, 1), {βk,j } và {λk } thỏa mãn
∞

∞

δk2 < +∞, a < βk,j < b ∀j ∈ I, và {λk } ⊂ (λ, L);

δk = +∞,
k=0

k=0


20
F ix(C, Si ) ∩ Sol(C, F ) = ∅.

(C4 ) Tập nghiệm của bài toán 4.1: Ω :=
i∈I

Thuật toán một phép chiếu được viết chi tiết dưới dạng sau.
Thuật toán 4.1. (Thuật toán một phép chiếu)
Bước khởi tạo: Chọn điểm xuất phát x0 ∈ C, và các dãy tham số {λk }
và {δk } thỏa mãn các điều kiện (C3 ) − (C4 ).
Bước lặp k ≥ 1,




Lấy γk = max{λk , F (xk ) }, αk = γδkk






Tính toán y k = P rC (xk − αk F (xk ))


Với mỗi j ∈ I, tính tốn ukj = (1 − βk,j )xk + βk,j Sj y k






Đặt xk+1 = uk , ở đây j0 := argmax{ uk − y k : j ∈ I}.
j0
j
Bổ đề 4.1. (Opial) Cho {xk } là một dãy trong H sao cho xk

x¯. Khi

đó, với mọi y = x¯, bất đẳng thức sau đúng:
lim inf xk − x¯ < lim inf xk − y .
k→∞

k→∞

Bổ đề 4.2. Cho F : C → H là giả đơn điệu và các điều kiện (C2 ) − (C4 )
được thỏa mãn. Khi đó,
(i) Dãy {xk } trong Thuật toán 4.1 hội tụ tựa Fejér tới tập nghiệm chung
Ω. Hơn nữa,
xk+1 − x∗

2

≤ xk − x∗

2

+ 2βk,j0 δk2 ∀x∗ ∈ Ω.

(ii) Với mỗi x∗ ∈ Ω,
lim sup F (xk ), x∗ − xk = 0.
k→∞

Định lý 4.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H. Giả sử các
điều kiện (C1 ) − (C4 ) được thỏa mãn. Khi đó, các dãy lặp {xk } và {y k }
trong Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới một điểm chung x∗ ∈ Ω.


21

4.2

Ví dụ minh họa tính tốn

Ví dụ 4.1. Xét H := R2 , F (x) = M x + q với ma trận M được xác định
bởi:
M = AAT + B + D,
trong đó A là ma trận cấp 2 × 2, B là một ma trận phản đối xứng cấp
2 × 2, D là ma trận đường chéo cấp 2 × 2 và q là một véc tơ trong R2 . Tập
chấp nhận được C và các ánh xạ không giãn Si (i ∈ I = {1, 2}) được xác
định bởi
C = {x ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 1, −1 ≤ x2 ≤ 2, x1 + 2x2 ≤ 2},
S1 x =

1
2
x1 − , x2 , S2 x = (x1 , − cos(x2 + 1)).
3
3

Bảng 4.1: Kết quả của Thuật toán 4.1 với các sai số và điểm khởi tạo khác
nhau.
= 10−3 , x0 = (0, 0)

= 10−2 , x0 = (0.5, −0.5)

Bài toán

Bước lặp (k)

CPU times/s

Bài toán

Bước lặp (k)

CPU times/s

1a

99

7.1406

1b

13

1.2969

2a

83

5.4531

2b

15

0.9219

3a

217

15.5938

3b

12

0.7813

4a

261

18.1875

4b

11

0.7344

5a

95

6.3906

5b

8

0.8438

6a

162

11.2031

6b

12

0.7500

7a

128

8.6875

7b

14

0.9219

8a

126

8.3125

8b

12

0.7813

Từ các kết qủa tính tốn trên, ta có nhận xét sau:
(a) Như các phương pháp khác để giải bài toán bất đẳng thức biến phân
như phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường,


22

Bảng 4.2: Thuật toán 4.1 với các tham số khác nhau, x0 = (0, −0.5) và
sai số = 10−3 .
Bài toán

1
2
3
4
5
6
7

8
9

λk

δk

βk,j

1
2k+1
1
123 − 2k+5
1
21 + 2k+5
1
150 + 2k+1
1
150 + 2k+1
1
250 + 2k+1
250 + k21+1
300 + k21+1
350 + k21+1

1
k+1
1
3k+1
1

3k+1
1
5k+3
1
k+3
1
k+3
1
k+3
1
k+1
1
4k+1

0.9 −

123 +

0.7 −
0.7 −
0.8 −
0.8 −
0.8 −
0.8 −
0.8 −
0.9 −

1
2(k+1)
1

2k+3
1
2k+3
1
2k+7
1
k+7
1
k+7
1
k 2 +7
1
k 2 +2
1
5k+6

Số bước lặp

CPU-Times/sec

170

14.4531

32

2.3281

286

22.2500

27

2.3281

36

2.5469

22

1.4375

20

1.2656

29

1.9063

16

2.0313

phương pháp hàm khoảng cách, tốc độ tính toán của thuật toán 4.1
phụ thuộc rất nhiều vào điểm khởi tạo x0 ;
(b) Sự hội tụ của thuật toán khá nhạy với các tham số δk , βk,j và λk .

4.3

Kết luận Chương 4
Trong chương này, khi xét bài tốn tìm điểm chung của tập nghiệm

của một bài tốn bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của một
họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong một không gian Hilbert thực H,
chúng tôi đã đề xuất một thuật toán mới (được gọi là thuật toán một phép
chiếu). Ý tưởng của thuật toán được viết dựa trên phương pháp chiếu và
kỹ thuật tính tốn song song. Thuật toán một chiếu khá đơn giản, tại mỗi
bước lặp k, thuật tốn chỉ địi hỏi tính tốn một phép chiếu và sự hội tụ
của dãy lặp chỉ đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu không cần liên tục Lipschitz
của ánh xạ giá. Cuối chương trình bày kết quả tính tốn minh họa sự hội
của thuật toán một phép chiếu.


KẾT LUẬN
Luận án đã đạt được các kết quả sau:
1. Ánh xạ giả co chặt là một dạng ánh xạ khơng giãn mở rộng. Chúng
tơi xét bài tốn tìm một điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(C, F ) và một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong
không gian Rn . Điểm mới trong thuật tốn giải bài tốn tìm điểm chung
là, bằng cách chọn các tham số chính qui phù hợp, sự hội tụ của các dãy
lặp trong thuật toán đề xuất được chứng minh dưới các giả thiết giả đơn
điệu của ánh xạ F . Khi đó, điểm tụ của các dãy lặp là giới hạn của hình
chiếu điểm lặp trong dãy lên tập nghiệm nghiệm chung.
2. Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường đã được áp
dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân, chúng tơi đề xuất hai thuật
tốn mới cho bài tốn bất đẳng thức và bài tốn điểm bất động trong một
khơng gian Hilbert thực H. Thuật toán thứ nhất được xây dựng dựa trên

phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với kỹ thuật tính tốn song song
để giải bài tốn tìm một điểm chung của tập nghiệm các bài tốn bất đẳng
thức biến phân và tập điểm bất động của một ánh xạ tựa không giãn, và
được gọi là thuật toán đạo hàm tăng cường song song. Thuật toán thứ hai,
áp dụng giải bài tốn tìm điểm chung của tập nghiệm một hệ hữu hạn các
bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung
của một hệ hữu hạn các ánh xạ không giãn với các miền ràng buộc khác
nhau, được gọi là thuật toán đạo hàm tăng cường xấp xỉ Mann. Bằng cách
chọn các tham số chính qui phù hợp, tính chất hội tụ mạnh của các dãy
lặp đề xuất tới một nghiệm chung được phân tích và chứng minh trong
một khơng gian Hilbert thực H.
3. Nghiên cứu đề xuất thuật toán một phép chiếu để giải bài tốn tìm
điểm chung của tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân