Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT trường THPT lang chánh

( *)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12
THƠNG QUA LỚP BÀI TỐN SỬ DỤNG KỸ THUẬT NHÂN LIÊN
HỢP NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

Người thực hiện: Nguyễn Văn Long
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn.

THANH HỐ, NĂM 2021


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

2
2
2
2
2

1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lí luận
2.2 . Thực trạng

3
3

2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu

3

2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình
2.3.2. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình
2.3.4. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để tìm giới hạn
2.3.5. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp tính tích phân
2.3.6 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp trong số phức

4
5
4
13
13
15
16

2.4 Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

19

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20

3.1. Kết luận

21

3.2. Kiến nghị

21

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi
2


vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh
lớp 12 của trường tơi ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu vào mơn tốn
thấp. Khi gặp các bài tốn có sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp các em lúng túng
và khơng tìm ra hướng giải bài tốn
Bản thân các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp cũng rất đa dạng. Có
nhiều bài tốn địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự liên
hệ với các kiến thức lại với nhau thì mới giải quyết được.Với khoảng thời gian
ngắn các em muốn giải quyết được bài tốn có liên quan tơi nhân liên hợp, yêu

cầu các em phải nhớ đựơc dạng để áp dụng.
Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập đến cách giải các bài tốn có sử dụng
kỹ thuật nhân liên hợp, tuy nhiên lý thuyết, ví dụ và bài tập minh hoạ chỉ là một
phần nhỏ trong các mục, kiến thức về nhân liên hợp chưa được xâu chuỗi thành
hệ thống lý thuyết và bài tập
Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia
tôi xin được giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm" Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp
để giải tốn trung học phổ thơng”. Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em nhận
ra dạng của bài toán có sử dụng tới nhân liên hợp, áp dụng và giải giải nhanh
được dạng tốn cơ bản, từ đó nâng cao được kiến thức để giải các các dạng toán
thường gặp trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia, và các dạng khác liên
quan đến nhân liên hợp và làm cho học sinh thấy được sự gần gũi và quan trọng
của toán học trong cuộc sống hằng ngày.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh trung học phổ thơng giải quyết
các bài tốn có liên quan đến hàm kỹ thuật nhân liên hợp. Giúp cho các em đạt
điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài tốn có liên
quan đến kỹ thuật nhân liên hợp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều
phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,
thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với mơn học
thuộc lĩnh vực Tốn.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận:
Sáng kiến này dựa trên các bài tốn phương trình, bất phương trình, bất
đẳng thức, các dạng tốn giới hạn, bài tập tích phân và số phức, trong
chương trình tốn trung học phổ thông.

3


- Biểu thức liên hợp:
Biểu thức liên hợp tổng quát:
•
•
•
•

2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu:
2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu:
Sau một thời gian dạy học mơn tốn trong chương trình tốn trung học phổ
thơng. Tơi nhận thấy một số vấn đề như sau:
Trong sách giáo khoa các bài tốn sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp khơng ít,
khơng có lời giải chi tiết do đó học sinh thường khơng có định hướng để giải bài
tốn tương tự. Nhưng thực tế các bài toán yêu cầu học sinh cần có kinh nghiệm
biến đổi thì mới giải quyết được đặc biệt là kỹ thuật nhân liên hợp.
Trường tôi lại là một trường ở miền núi, điều kiện kinh tế khó khăn. Số
lượng học sinh trung bình chiếm hơn 70%,và chủ yếu học sinh học ban cơ
bản.Tư duy của các em cịn nhiều hạn chế do đó khi gặp các bài tốn sử dụng kỹ
thuật này, các em thường khơng có định hướng phải giải bài toán như thế nào?
Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 10A5 và
11A6 tôi thấy học sinh thường không tìm được hướng giải quyết. Vì thế điểm
kiểm tra thường thấp chưa cao. Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa
đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh áp dụng kỹ thuật sử dụng nhân liên hợp
để giải quyết một số bài toán” kết quả đạt được như sau:
Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)
Giỏi
Khá

TB
Yếu
Kém
SL
0

%
0

SL
3

%
7,1%

SL
20

%
51,3%

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)
Giỏi
Khá
TB
SL
0

%
0

SL
4

%
9

SL
14

%
35,8%

Yếu

SL
23

%
56,1

SL
12

SL
2

%
5.8%

Kém
%
29.2

SL
2

%
5.7

2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên:
Chính vì vậy mà học sinh các lớp tơi dạy ban đầu thường lúng túng khi
gặp các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài tốn thực
4


tế có liên quan đến kỹ thuật nhân liên hợp. Tôi mong muốn giúp các em làm bài
tốt bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông, bồi dưỡng cho các em lịng say mê,
u thích mơn Tốn. Biết áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Thấy được
những tác dụng to lớn của Toán học trong thực tiễn.
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
1. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình đại số:
2.3.
a. Dạng phương trình
Thường là những phương trình chứa căn thức .
b. Cách giải
- Thường loại phương trình dạng này ta thường nhân cả tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp ở mẫu số để đưa về phương trình tích.

- Hoặc có thể nhẩm nghiệm của phương trình để xuất hiện thừa số của tích
mà ta phải phân tích, từ đó xác định biểu thực liên hợp cần phải nhân thêm.
c. Một số điểm cần lưu ý khi giải phương trình
Sai lầm thường gặp của học sinh:
- Khơng đặt điều kiện cho phương trình.
- Học sinh khơng nhẩm nghiệm nên không biết nhân biểu thức liên hợp nào
để đưa về phương trình tích.
- Khơng biết giải phương trình tích.
- Rút gọn biểu thức làm mất nghiệm của phương trình.
d. Một sớ ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Cho phương trình
.
Gọi S là tổng nnghiệm của phương trình sau thuộc tập nghiệm nào sau đây:

(Đề thi khảo sát chất luợng 12, THPT chuyên KHTN Năm học 2018-2019)

Lời giải Chọn A
Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm

. Do đó phương trình sẽ

có 2 nghiệm với nhân tử chung dạng
Do đó với 2 biểu thức căn cịn lại phải ghép lại có dạng

với

thỏa các hệ
5

và

Khi đó ta có lời giải như sau
Điều kiện:

Khi đó phương trình tương đương với

(1)

Do

suy ra

nên
(1)
án A
Ví dụ 2. Giải phương trình

hoặc

Vậy chọn đáp

.
Gọi S là tổng bình phương các nghiệm thì giá trị của S là:
(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020)

Lời giải

Chọn B

Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm của phương trình là:
ta cần ghép hai căn thức với bậc nhất dạng

Khi đó

trong đó

và
6


Khi đó ta có cách giải như sau
Phương trình đã cho tương đương với

Do

suy ra

Các nghiệm cần tìm là
Ví dụ 3 Giải phương trình

Chọn B

.
Giả sử

khi đó tổng

là bao nhiêu:

(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020)
Lời giải Phân tích: Nhẩm nghiệm tìm được 2 nghiệm
bậc nhất để liên hợp.

Với
Với

thì
thì

7

nên ghép


Khi đó ta có lời giải sau, Điều kiện:
Nhận thấy
Với

là một nghiệm của phương trình.
thì

(loại) hoặc
nghiệm cần tìm là
Chọn C
Nhận xét. Trong bài toán này, ta phải xét hai trường hợp, ngun nhân là do khi
liên hợp có biểu thức

Chính biểu thức dưới mẫu số này làm cho phép biến đổi khơng xác định, đó là
sai lầm thường gặp của học sinh.

Ví dụ 4. Cho phương trình
.
Gọi S là tổng của tất cả các nghiệm phương trình trên, khi đó S là giá trị nào:
(Đề thi tham khảo trên Violet.vn Năm học 2018-2019)

Lời giải
8


Phân tích. Sử dụng casio tìm được 2 nghiệm
của phương trình. Khi
đó ta sẽ ghép bậc nhất với từng căn thức tương tự như các ví trên và có lời giải
sau.
Điều kiện:

Phương trình tương đương với

Vì
hoặc
Vậy tổng các nghiệm
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau

Chọn D

1.
2.

3.
4.

5.
9


6.
2.3.2. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình:
a. Cách sử dụng:
Ta thường dụng kỹ thuật này để đưa bất phương trình về dạng xuất hiện
thừa số trung ở 2 vế sau đó đặt nhân tử chung để có thể giải được bất phương
trình của chúng dưới dạng tích
Khi nhân biểu thức liên hợp ta thường chú ý tới việc có làm thay đổi tập
xác định của bất phương trình hay khơng
Khi nhân liên hợp ta kết hợp với các kỹ thuật phân tích đã nói ở phương
trình
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho bất phương trình

Gọi tập nghiệm của bất phương trình có dạng

khi đó

là

Lời giải: Điều kiện:
Khi đó bất phương trình tương đương với:

Vì

nên

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
khi đó tổng

Chọn B

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình
10

là


A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn C

có điều kiện:
Nhân vế trái của biểu thức liên hợp

Bình phương 2 vế ta được

•

Với

, ta có:

Vì

nên

và

11

được


hoặc

•

Với

, ta có:

Nhân vế phải với biểu thức liên hợp của ta được :

.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau đây

2.3.3. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để tìm giới hạn vô định của dãy
số và hàm số:
a. Phương pháp :
Mục đích nhân liên hợp để khử các dạng vơ định và đưa về các dạng xác
12


định của hàm số
Khi tìm
trong đó
tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp

ta thường

Sau khi nhân liên hợp ta thường đưa về dạng

ta thường chia cả tử

và mẫu cho , trong đó là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
b. Các ví dụ :
Các giới hạn về dãy sớ
Ví dụ 1: Tính giới hạn
A.

B.

C.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

Ví dụ 2 : Tính
A. .
Lời giải
Chọn A.

bằng
B. .

C.

.

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của:

Tacó:
13

D.

.


.
Các giới hạn về hàm sớ

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của hàm số
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử là

được:

Vậy:
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số:
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của
ta được

Vậy
Bài tập tương tự : Tính các giới hạn sau đây

14

là


2.3.4. Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bài tốn tích phân:
a. Phương pháp chung: Thơng thường ta thường dung kỹ thuật này áp
dụng để giải bài toán tích phân có chứa căn ở mẫu, sau khi nhân liên hợp ta
thường rút gọn mẫu số của biểu thức chứa dấu tích phân
Khi nhân biểu thức liên hợp ta phải chú ý biểu thức liên hợp phải xác định
trên cận của tích phân
b.Các ví dụ:

Ví dụ 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau đây
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

được

Ví dụ 2: Tính tích phân sau
Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức là

Đặt

Đổi cận:

Khi đó :

15

ta được:


Mà
Các bài tập tương tự

Vậy:

2.3.5. Sử dụng nhân biểu thức liên hợp trong số phức:
a. Định nghĩa và tính chất sớ phức khi giải tốn
Cho số phức z = a + bi. Số phức
phức z

Vậy

Chú ý: 10)

=

= a – bi gọi là số phức liên hợp với số

= a - bi

= z ⇒ z và

gọi là hai số phức liên hợp với nhau.

20) z. = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1):
(2):
(3):
(4): z. =
(z = a + bi )
b. Các ví dụ về sử dụng số phức liên hợp của số phức
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn

. Tính mơđun của số phức

Giải: Giả sử

16


Thay vào
Vậy môđun

của là

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:

. Tìm mơđun

của số phức
Giải: Giả sử

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức

với

Do đó

ta được

.

Ví dụ 3: Tính môđun của số phức z biết:
Giải:

Suy ra
Bài tập tương tự
17


1. Cho số phức thỏa
. Biết rằng tập hợp số phức
trịn. Tìm tâm của đường trịn đó.
A.

.

B.

.

2. Cho số phức
Tính

là một đường

C.

.

thỏa mãn

D.
và

.

.
A.

.

B.

3. Có bao nhiêu số phức

.

C.

.

thỏa mãn điều kiện

D.

.

?

A. .
B. .
C. .
D. .
2.4. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:
Sau khi giảng dạy cho học sinh tại trường trung học phổ thông lang chánh
tôi nhận thấy:
- Học sinh nâng cao được kỹ năng biến đổi biểu thức cũng như các phương
pháp giải tốn
- Học sinh có thêm cơng cụ giải các bài tốn phương trình, bất phương
trình, giới hạn, tích phân, số phức
- Học sinh có thể xâu chuỗi các bài tốn để có thể định hướng được cách
giải phương trình một cách nhanh chóng
Số liệu thu thập của các lớp trước và sau khi áp dụng dạy cho các lớp như

sau
Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
0

%
0

SL
3

%
7,1%

SL
20

%
51,3%

SL
14

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Giỏi
Khá
TB
SL
1

%
2.5

SL
8

%
20.5%

SL
18

%
46,1%

%
0

SL
4

%
9

SL
23

%
56,1
18

SL
2

Yếu
SL
8

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Giỏi
Khá
TB
SL
0

%
35,8%

Kém

%
20,5%

SL
4

Yếu
SL
12

%
5.8%

%
10,4%

Kém
%
29.2

SL
2

%
5.7


Sau khi áp dụng kinh nghiệm
Giỏi
Khá
SL
1

%
4.7

SL
8

%
18,5

TB
SL
20

Yếu
%
47,7

SL
11

Kém
%
26,7

SL
1

%
2.4

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Để nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và dạy học mơn tốn nói chung,
cung cấp các phương pháp giải quyết vấn đề là yếu tố quan trọng trong việc đảm
bảo chất luợng giáo dục, với sáng kiến kinh nghiêm” Sử dụng kỹ thuật nhân liên
hợp để giải tốn trung phổ thơng” là một trong nội dung nhằm nâng cao hiệu
quả dạy học toán trong nhà trường.
Với các phương pháp được nêu trong sáng kiến và cách trình bày trong
sáng kiến sẽ giúp học sinh nâng cao kiến thức, có thể tự đọc, tự học, tự nghiên
cứu.
Với các bài tập đã giải cụ thể và các bài tập tương tự, sáng kiến kinh
nghiệm có thể cung cấp cho giáo viên có thêm một cuốn tài liệu dung để tham
khảo lấy ví dụ.
3.2. Kiến nghị:
Đối với nhà trường:
- Tạo điều kiện cho tổ chuyên môn về thời gian để đánh giá và góp ý để
hồn thiện hơn.
- Tạo điều kiện để tài liệu sáng kiến kinh nghiệm được nằm trong thư viên
nhà trường, nhằm cung cấp cho học sinh một tài liệu học tập về mơn tốn.
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
19


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Văn Long

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải Tích 12 –Trần Văn Hạo-Nhà xuất bản giáo dục, 2007.
2. Phương pháp giải tích phân – Lê Hồng Đức – Nhà xuất bản trẻ, 2011
3. Đề minh họa của bộ lần 1, lần 2 năm 2017
6. Các đề thi thử trên mạng : dethi.violet.vn

20