de cuong on tap dai ki 2 du chi tiet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (327.05 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Cho hàm số f x

 

xác định trên K. Khi đó, hàm số F x

 

được gọi là nguyên hàm của hàm
số f x

 

trên K nếu F x'

 

f x

 

với mọi x K và kí hiệu F x

 





f x dx

 

2. Một số tính chất quan trọng của nguyên hàm

 

f x dxf x C



 

k f x dx k f x dx



 

f x g x dx f x dx g x dx

 

 



3. Cơng thức tính tích phân:

 

b

a

f x dx F b  F a



4. Một số tính chất quan trọng của tích phân:

( )

b a

a b

f x dx



f x dx



( )

b b

a a

kf x dx k f x dx





[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx  f x dx g x dx



( )

( ) , (

)

b c b

a a c

f x dx



f x dx



f x dx a c b

 



5. Nhắc lại các quy tắc tính đạo
hàm



u v w 



'  u v w' ' '



u v. '



u v uv'.  '

 

k ' 0 ( k là hằng số )

Đạo hàm các hàm sơ cấp

 

xn ' nxn1



'
2

k k

x x

 

 
 

 

x ' 21
x




sinx



' cosx



cosx



' sinx





' 2

1
tan

cos
x

x






' 2

1
cot

sin
x

x


6. Bảng nguyên hàm:

Bảng nguyên hàm theo biến x Bảng nguyên hàm của hàm số hợp
dx x C 





du u C 

, 1

x

x dx C






  





, 1

1
u

u du C








  





ln
dx

x C
x  





duu ln u C

x x

e dx e C





e du eu  u C

ln
x

x a

a dx C

a

 



ln

u

u a

a du C

a

 



cosxdxsinx C





cosudusinu C

sinxdx cosx C





sinudu cosu C

2 tan

cos
dx

x C
x  



cos2 tan

du

u C
u  



2 cot

sin
dx

x C
x 



sin2 cot

du

u C
u  



B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
NGUYÊN
HÀM

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm 
số

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Biến đổi hàm số f(x) về những hàm số có
trong bảng nguyên hàm:

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ... n n( )
f x k f x k f x  k f x
2. Áp dụng tính chất của nguyên hàm

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ... n n( )
F x k F x k F x  k F x C
3. Các phép biến đổi:

- Các tính chất của luỹ thừa:

( )

n

x

n

x x

 

x

 

x

 

x





x


 





(với x>0)

- Sử dụng các phép biến đổi lượng giác
- Công thức biến đổi tích thành tổng





cos .cos cos( ) cos( )

a b a b  a b





sin .sin cos( ) cos( )

a b a b  a b





sin .cos sin( ) sin( )

a b a b  a b





cos .sin sin( ) sin( )

a b a b  a b

- Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2

sin

2
a
a 

2 1 cos 2

2
a
c a 

3 1

sin (3sin sin 3 )
4

a a a os3 1(3cos cos3 )

c a a a

Ví dụ

VD 1. Tìm họ ngun hàm của các hàm số sau: yf x

 

x32x2 3x
Giải:

Ta có:





3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2

4 3 2

x

x  x  x dx x dx x dx xdx  x  x C



VD 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: yf x

 

cos3x
Giải:

Ta có:

1 1

os3 os3 3 sin 3

3 3

c xdx c xd x x C



Bài tập

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

x dx



2.



(3x1)dx
3.

(3x 6x1)dx



4 2

(x  x  5)dx



2
3

2
(3x 1)dx

x

 



2 3

(x  x 3 x1)dx



(3x 6x e dxx)

 



8. ( 5.3 )

x x

e  dx



9.

10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x




11. (2 os2 )
x
x e
e dx
c x





12.



2x5dx
13.

3 8x
e  dx



14.

1
1 5 x dx



15.
2
7
x
xdx



18.



cos(4 2 ) x dx
19.

sin 3xdx



20.

cos (1 7 ) x dx



21.



sinx sin 5xdx
22.



sinxcos3xdx
23.



cos2xcos3xdx
24.

sin .cosx xdx



25.



tan 5xdx

27.
1
( 1)dx
x x



28. 2

1
4dx
x 



29. 2

5 4dx
x  x



30. 2
1

3x 7x10dx



31. 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(3sinx-5cosx1)dx



16.
1
7x 5dx



17.



sin 5xdx

26.

tan xdx



33.



esinxcosxdx

Dạng 2:CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số F(x) và f(x)
- Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) = f(x),  x D

Ví dụ:

CMR: hàm F x( ) 4sin x(4x5)ex1 là một nguyên hàm của hàm số
( ) 4cos (4 9) x

f x  x x e

Giải: tập xác định của F(x) và f(x) là 

Ta có:





'( ) 4sin (4 5) x 1 4cos (4 5) x 4 x 4cos (4 9) x ( )

F x  x x e   x x e  e  x x e f x
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)

Bài tập:

Bài 1: CMR: hàm F x( ) x2 2x2 là một nguyên hàm của hàm số 2
1
( )

2 2

x
f x

x x




 

Bài 2: CMR: hàm F x( )x  ln 1



 x



là một nguyên hàm của hàm số
( )

1
x
f x

x




Bài 3: Tìm m để hàm số





( ) ln 2 4

F x  x  mx

là một nguyên hàm của hàm số

2 3

( )

3 4

x
f x

x x



 

Dạng 3: Xác định hằng số C
Phương pháp:

Dùng cơng thức đã học, tìm ngun hàm: F(x) = G(x) + C (*)
Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.

Thay giá trị C vào (*), ta có ngun hàm cần tìm

Ví dụ:

Cho f(x) = sin2x, tìm ngun hàm F(x) của f(x) biết F( ) = 0

Giải:

2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2

sin

2 2 2 2 4

sin 2

( ) 0 0

2 4 2

x x x x

xdx dx dx C

F    C C 

  

       

 

      



Vậy: F(x) =

1 1

sin 2

2x 4 x 2



 

Bài tập:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( ) 1 sin 3

f x   x biết F(6


)= 0.

2 1

( ) 3 4 x

f x x e

x

  

biết rằng F(0) = 1

( ) sin 2 . os3 3tan

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất

Ví dụ:

VD 1. Tính tích phân (Đề TN năm 2010)

Giải:

VD 2: Tính các tích phân sau:

5
2
1
1
x
dx
x





Giải:
Ta có:
5 5
5
5
2 2

2 2
1 2

1 2ln 1 3 4ln 2

1 1

x

dx dx x x

x x
 

       
   



Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau:

3
3
1

(x 1)dx







; Đáp số: 24 2.
4

( 3sin )

cos x x dx







; Đáp số:8

(3 cos 2 ).x dx







; Đáp số:

3
2

4.
1
0

( x 2)
e  dx



; Đáp số:e+1

5
2

3 2dx
x  x



;Đáp số:

3
ln

8 6.

sin 6 sin 2x xdx





; Đáp số:

3 3

32 .

Bài 2: Tính các tích phân sau:



1
2
3

❑

√

xdx .



1
2

x2+2
3x dx
3.



− π
π

(2 sinx −3 cosx). dx
4.



π4

π2
1

sin2x. dx .

4 4

(cos x sin )x dx






0
π6

sinx. sin 4x. dx
7.



π

sin 2x. cos 3x. dx
.

cos3 .cos5x xdx






0
π

sin2x. dx
.
10.
4
6
cotxdx





11.
3
2
0
tan xdx




12.
2
0
1
3x7dx



13.

1
( 4)dx
x x



14.
0
2
1
1

2 5x 3x dx





 
15.
0
2
1
4 3
6 5
x
dx
x x


 



16.
2
1
3 1
1
x
dx
x





17.
2 2
0

2 5 1

3
x x
dx
x
 




18. 0

sin
6
x
dx




19.
3
0
2
x dx



20.
4
2
0
4 3

x  x dx



21.

1 sin 2xdx

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dạng 2: Tích phân đổi biến số dạng 1

Tính tích phân

 

b

a

I 



f x dx

B1: Đặt x = ( )t (với ( )t là các hàm lượng giác) => dx = /( )t dt
B2: Đổi cận: x = a (giải pt ( )t = a => t = )

x = b (giải pt ( )t = b => t = )
B3. Biến đổi f(x)dx = g(t)dt.

B4:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

I f x dx g t dt G t G G



















  

Dấu hiệu nhận biết:

Tích phân chứa a2x2 hoặc 2 2
1

a x thì đặt xa tant với t 2 2;
 


 

  

  để cost 0
Tích phân chứa a2 x2 thì đặt xa sint với t 2 2;

 


 

  

  để cost0
Tích phân chứa x2 a2 thì đặt cos

a
x

t


với

0; ;

2 2

t    

   để tant0
Ví dụ:

VD 1: Tính: I =

2
0

1 x dx



Giải:

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt

Đổi cận: x = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
x = 1 ⇒ sint = 1 ⇒ t = 2



Vậy I =







2
0

1 sin cost tdt
=





2
2
0

os cos

c t tdt
=

 



  



2 2

2 2

0 0

1 1 s 2

cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )

2 2 2

in t
t

= 4


VD 2: Tính

1
2

2
0 1

dx
I

x






Giải:

Đặt

sin , ; cos

2 2

x t t     dx tdt

 

Đổi cận: x = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
x =

2 ⇒ sint = 
1

2 ⇒ t = 


6 6 6

0 0 0

cos cos

cos 6

1 sin

t t

I dt dt dt

t
t

  



    





Bài tập:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



0
√3

3
1
1+x2 dx



√3
3

9+x2dx

2
2
2

2
0

x dx

1 x





−1

√

1− x2dx
5.



1
4

√

16− x2dx
6.

2
1

x
dx

x






1
2

x2

√

4− x2dx
8.



−1
0

2+2x+x2dx
(đặt x+1=tant)

2
0

2 1 x dx



10.

2
0

1
4 x dx



11.

2
2
2

1
1dx

x x 



12.

3 2
2

9 3x dx
x





Dạng 3: Tích phân đổi biến số dạng 2

Tính tích phân I =
( )
b

a

f x dx



B1. Đặt u = u(x) => du = u/(x)dx

B2. Đổi biến x = a => u = u(a) ; x= b => u = u(b)
B3. Biến đổi f(x)dx = g(u)du

B4.

( )

( )
( )
( )

( )

u b
b

u b
u a

a u a

I





f x dx





g u du G u



Dấu hiệu:

- Tích phân có chứa lũy thừa, đặc biệt là lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức dưới lũy thừa bằng t
- Tích phân có chứa căn thức, đặt cả căn thức bằng t hoặc đặt biểu thức trong căn bằng t

- Tích phân có chứa mẫu số, đặt mẫu số bằng t
- Tích phân chứa ( ). /( ),sin ( ), os ( ),e ( )

x

x x x c x



    đặt t( )x

- Tích phân có chứa cả ;ln

dx

x

x , đặt tlnx
- Tích phân có chứa cả f x( )2 và

dx

x , nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt t x2


- Tích phân của các hàm số hữu tỉ:

- Nếu mẫu số có nghiệm, đưa về tích phân của hàm số logarit
- Nếu mẫu số vô nghiệm, đưa về dạng x2a2, đặt xa tant
- Tích phân của hàm số lượng giác:

- Biến đổi lượng giác: hạ bậc, biến tích thành tổng, đặt tan2
x
t
- Bậc lẻ với sin thì đặt tcosx

- Bậc lẻ với cos thì đặt tsinx

- Cận tích phân đối nhau đặt t = -x; bù nhau đặt t  x, phụ nhau đặt t 2 x

 
Ví dụ:

VD 1: Tính





2011
0

1
I 



x x dx
Giải:

- Đặt









2011 2011 2012 2011

1 1 1 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

0 1

1 0

x
t

4 

1 2

x
u

x = 1  t = 0





0 2013 2012

2012 2011

1 1

1 1 1

2013 2012 2013 2012 2013.2012

t t

I t t dt

 

  

        

 



VD 2: Tính

1
2
0

1
I 



x  xdx
Giải:

- Đặt t 1 x t,  0 t2  1 x x 1 t2 dx2tdt
- Đổi cận:







 







0
3
2

0 0

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

1 1 1 .

2 2 3 6

t

I t tdt t d t 

 



 



   

Hoặc:









0 2 0 0 2 2 6

2 2 4 3 5 4

1 1 1 1

2 1

1 (1 2 ) 2

2 4 6 6

t t

I   t tdt   t t tdt t t t dt  t   

 



VD 3: Tính tích phân sau: I =

2
0

1 tan x
cos x dx






Giải:

Đặt u = 1 + tanx ⇒ du = 1

cos2x dx
Đổi cận:

⇒

I =

2 2

2 |

u

udu





= 32

VD 4: Tính tích phân I =

1+ sin x¿4
¿
¿
co s x



π

2
¿
Giải:

- Đặt u =1+ sin x ⇒ du = cosx dx
- Đổi cận: x = 0 → u = 0, x = π

2 → u = 2

⇒

I =

2 2

2 3

4 3

0 0

1 1

3 3 24

du u

u du

u u



  

   



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VD 5: Tính tích phân I =

ln 2 x
x 2
0
e
dx
(e +1)



Đặt t = ex +1, suy ra dt = exdx

Khi x = 0 thì t = 2, khi x = ln2 thì t = 3

I =
3
2
2
dt
t



=
3
3
-2
2 2
1 1

t dt =
-t 6



VD 6: Tính: I =



e

√

ln2x+1 . lnx

x dx

Đặt u =

√

ln2x+1  u2 = ln2 x + 1

 2u du = 2lnx

x dx
Đổi cận: x = 1  u = 1

x = e  u =

√





2 3

1 1

1 .

2 2 1

3 u

I





u udu





Bài tập:

Bài 1. Tính các tích phân sau:

1− x¿2009dx
x¿



0
1
¿
(t=1-x)
2.



0
1

x

√

2x+3 dx
(t 2x3)
3.





2 1dx

x
x

(t x 1)



0
1

x3

√

1− x2dx 
(t 1 x2)
5.



π6

cosx

√

1+3 sinxdx
(t 1 3sin ) x
6.



e

1+lnx
x dx
(t=lnx)



e

√

2+3 lnx

x dx

(t 2 3ln ) x
8.



e

√

1+3 lnx

x lnxdx
(t 1 3ln ) x
9.



0
1

x

√

5x+1dx
(t 5x1)

10.



0
2

x+1
3

√

3x+1dx

(t 3x1)





2
1 1
dx
e
e
x
x

. (t e x 1)
12.

ln8

ln 3

x
e  dx



(t ex1)
13.



π4
etanx+2

cos2x dx (t=tanx+2)

Bài 2: Tính các tích phân sau:

3
0

(2x1)dx



Đáp số: 10 2.

2
x dx



Đáp số:

16 6 3
3


2
1 (2 1)

dx
x



Đáp số:
1

3 4.

2 3
1

2.
x x  dx



Đáp số:
2

(10 10 3 3)

9 
5.
2
3
1 1
dx
x x







</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

9.
2

1
1dx

x x



10.
2

0 2 cos

dx
x







Bài 3: Tính các tích phân sau: (Tích phân các hàm số lượng giác)

2
0

cos 2xdx





; Đáp số:2



2
0

sin 3xdx





; Đáp số: 2

3.
4
0
sin xdx




; Đáp số:
3
8

4.
2
5

0
cos xdx




; Đáp số:8)15

6 3

cos .sinx xdx





; Đáp số:2)63 6.

2
2
0
sin 2
1 cos
xdx
x






; Đáp số:ln2
Dạng 4: Tích phân từng phần

Sử dụng cơng thức:





b b

b
a

a a

udv u v  vdu



Phương pháp:
 Đặt
?
?
u
dv






 sao cho thích hợp, tính

?
?
du
v











b
b
a
a
I u v vdu

  



Dấu hiệu:

- Tích phân chứa:

( )

sin ( )

( ). os ( )

x
x dx
P x c x dx

e dx






 Đặt ( )

( )
sin ( )

os ( )
x
u P x

x dx
dv c x dx

e dx








 

 
 


- Tích phân chứa P x( ) ln ( ) x dx Đặt

ln ( )
( )

u x

dv P x dx






- Tích phân chứa

P(x)

( )

os( x )

e c  dx hoặc



eP(x)sin(( )x )dx ( ,a b0)

Đặt:

( )
P(x)

os x
u c
dv e dx








 hoặc

( )
P(x)

sin( x )
u

dv e dx







(Với P x( ), ( ) x là các đa thức)

Ví dụ:

VD 1: Tính

cos
I x xdx



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Đặt cos sin

u x du dx

dv xdx v x

  





  





















3 3

6 6

.sin sin 2 3 1 cos 2 3 1 1 3

12 12 2

I x x xdx x



 



 

  



      

 Kết luận:









2 3 1 1 3

12 2

I    

VD 2: Tính tích phân

x
I 



xe dx
Giải:

 Đặt

x x

u x du dx
dv e dx v e

  




  









 





1 1

0 0

. x x x 1 1

I x e e dx e  e  e e

        

 

 



 Kết luận: I 1

VD 3: Tính 0

cos 2
e

x

I 



e xdx
Giải:

 Đặt

os2 2sin 2

x x

u c x du xdx

dv e dx v e

  




  









0

0 0

. os2 2 sin 2 os2 1 2 sin 2

e e

e

x x e x

I e c x e xdx e c e e xdx

  



  



 Tính 0

sin 2

e

x

J 



e xdx

 Đặt

sin 2 2 os2

x x

u x du c xdx

dv e dx v e

  




  







.sin 2



0 2 sin 2 2

e

x e

J e x I e e I

    









os2 2sin 2



1
os2 1 2 sin 2 2

5
e

e e e c e e

I e c e e e I I  

      

 Kết luận:



os2 2sin 2



1
5

e

e c e e

I   

VD 4: Tính tích phân





</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 Đặt





1
ln

2 1

u x du dx

x

dv x dx v x x


  




     

















2 2

2
2

1 1

ln . 1 2 ln 2 ln 4

2 2

x

I x x x x dx  x

           

 



 Kết luận:

1
ln 4

2
I  

VD 5: Tính tích phân sau:



cos



sin

x

e

x

xdx







.

Giải

Ta có:



cos



cos

0 0 0

sin

.sin







 



e

x

xdx



e

x

xdx



x

xdx I J

  









cos cos cos cos cos0

0 0

1 sin

cos

.

0 



x





x



x





 

I

e

xdx

e

d

x

e

 



.sin

J x xdx






Đặt

sin

cos

u x

du dx

dv

xdx

v

x























0 0

.sin

cos

0.cos 0

sin

0 J

x

xdx

x

xdx

x















 













Vậy:



cos



1 sin

x

e

x

xdx I J

e





 

 





VD 6: Tính tích phân: I = 
1

2
ln(1 x )dx
0





Đặt



























2xdx

du

u ln(1 x )

1 x

dv dx

v x



























1 2

1 x

2 I x ln(1 x )

2 dx

2

0 0

1 x

1 1

1 ln2 2 (1

)dx ln 2 [2x]

0

dx = ln2 2 2M

2 1 x

0

Với

1 1

M dx

2
1 x
0






. Đặt

x tant



;

t

0;

4 





 







</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Do đó:

I ln2 2

2 







VD 7: Tính tích phân: I =



1
2

(2x+1)ln xdx

Đặt

¿
u=lnx
dv=(2x+1)dx

⇒

¿du=dx
x
v=x2+x

¿{
¿

 I ¿(x2+x)lnx¿
1
2

−



1
2

(x+1)dx ¿5 ln 2−(x
2
2+x)¿1

2 ¿5 ln 2−5
2
Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau:

(2x 1) cos 2xdx







; Đáp số:-1 2.

2 .sin .cosx x xdx





; Đáp số: 4


2
0

sin
x xdx





; Đáp số: 2 4 4.

ln(x1)dx



; Đáp số:2ln2-1

2
1

( 1) ln

e

x  x xdx



; Đáp số:

3 2

2 31

9 4 36

e e

 

2
2
1

lnx
dx
x



; Đáp số:
1 1

ln 2
2 2

2
2
0

.cos
x xdx





; Đáp số:

2 1

16 4




8. 0

sin 3 .cosx xdx





; Đáp số:0

2
0

(x sin x) cosxdx







; Đáp số:
2
2 3





10.

2 2
0

sin 2
(1 cos )

xdx
x







; Đáp số:1)2
Bài 2: Tính các tích phân sau:



π

(x+2)sin xdx 2.



π

(1− x)cosxdx 3.



π

xsin3 xdx 4.



− π
π

(x+1)cosx

2dx
5.



0

x e2xdx 6.



0
1

(x2−3x+1)e2dx 7.



π

❑excosxdx 8.



π

sinx e2xdx

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>



e

ln xdx 10.



0
1

ln(x+3)dx 11.



e

ln xdx 12.



−1
0

ln(1−3x)dx 13.

lnx¿2dx
¿



e

14.



e

x(2−lnx)dx 15.



π

x+1

cos2x dx 16.



π

❑esin2xsin 2 xdx

17.

lnx¿2dx

x3¿



e

¿ 18.



0
4

❑cos

√

xdx

19.

x+1¿2
¿
¿
lnx



e
e

¿ 20.



0
4

exdx
.

21.





1 sin

x xdx







22.
4

2
0

cos
x xdx





23.





ln x1 dx



24 0

cos
x

e xdx





25.
ln 2

x
x

dx
e



2 1 3

0 0 1

26. xsin xdx 27. (2x 1)e dxx 28. 2 .lnx xdx




1 1 1

0 0 0 0

29. (4 1) x 30. (1 cos ) 31. (1 x) 32. ( x)

x e dx x x dx e xdx x x e dx



   



Dạng 5: Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

( )
b

a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Phương pháp

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 b
f(x) + 0 - 0 +

Bước 2. Áp dụng tính chất cộng tích phân để tách thành các tích phân rồi tính

Ở BXD trên ta có:

1 2

b x x b

a a x x

I =

ị

f(x) dx=

ị

f(x)dx-

ị

f(x)dx+

ị

f(x)dx

.
Ví dụ:

VD 1. Tính tích phân

2
2
3

I x 3x 2 dx

ị

- +

.
Giải
Bảng xét dấu

x - 3 1 2

x - 3x+2 + 0 - 0

( ) ( )

1 2

2 2

3 1

I x 3x 2 dx x 3x 2 dx

ò

- + -

ị

- + =

.
Vậy

59
I

2
=

VD 2. Tính tích phân

2
0

I 5 4cos x 4sin xdx

ò

-.
Giải

2 2

0 0

I 4sin x 4sin x 1dx 2sin x 1 dx

p p

ò

- + =

ò

-.
Bảng xét dấu

0 6
p

p
2sin x- 1 - 0 +

( ) ( )

6 2

I 2sin x 1 dx 2sin x 1 dx 2 3 2

p p

= -

ò

- +

ò

- = -

Vậy I 2 3 2 6

= -

-.
Bài tập: Tính các tích phân sau:

2 2 3

2 3 2

0 1 0



x1dx 2.



x  x dx 3.



x  x  x 2dx

3
2
4

x

4 dx









2 2

1 0

5. x x 1 dx 6. x 3x 4dx



   



3 2

x 2x x 2 dx



  

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Dạng 6: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

1. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: yf x( ), trục hoành



Ox



và hai đường
thẳng x a x b ,  . là:

 

(1)
b

a

S 



f x dx
.

2. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: yf x y g x( ),  ( ) và hai đường thẳng

, .

x a x b  là:

 

( ) (2)

b

a

S 



f x  g x dx
Ví dụ:

VD 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y x 2 x, trục hồnh và hai đường
thẳng x2, x4.

Giải:

 Áp dụng cơng thức ta có:

4
2
2

S x x dx









 Tính S:













0 1 4

2 2 2

2 0 1

S x x dx x x dx x x dx







 



  





0 1 4

3 2 3 2 3 2

2 0 1

109

3 2 3 2 3 2 6

x x x x x x



     

      

     

     

Kết luận: Diện tích bằng
109

VD 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y e x1, trục hoành, trục tung và
đường thẳng x1.

Giải:

 Áp dụng cơng thức ta có:









1 1 1

0 0

1 1

x x x

S 



e  dx



e  dx e x e

 Kết luận: Diện tích bằng e

VD 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x2y2, trục tung và 2 đường thẳng

1, 2

y y .
Giải:

 Áp dụng công thức ta có:

1 1

2 2 3

1 1

2 4

2 2

3 3

S y dx y dx y



 









 

(đvdt)

 Kết luận: Diện tích bằng

4
3

VD 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x.

Giải:

 Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x  x2 + x – 2 = 0  x = 1

và x = -2

 Áp dụng công thức: S =

( ) ( )

b

a

f x  g x dx



thì S =

1
2
2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 Vậy S =

1
2
2

2
x x dx



 



1
2
2

(x x 2)dx



 



3 2

x x
x



 

2 (đvdt)

Bài tập:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1). y= x2- 3x+ 2, y = x -1, x = 0 , x = 2; Đáp số: S= 2

2).y= x.ex, x=1, y = 0 ; Đáp số: S= 1

2) y = sinx, y = 0, x = 0, x = 3



; Đáp số:

1
2
4). y= sin2x +x, y = x,x = 0, x =  ; Đáp số: S= 2



5). y2 =2x và y= 2x -2 ; Đáp số: S=

9
4

6).y2 = 2x +1 và y= x-1; Đáp số: 16) 3

7). y = lnx, y = 1, x = 1 ; Đáp số:1

8). y e y x, 2,x=1 Đáp số: e+2ln2-4

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:





2
1
y

x





, trục hoành và hai
đường thẳng x2, x3.

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: xy2  4y3, trục tung, trục hoành
và đường thẳng y2.

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ylnx, trục tung và 2 đường thẳng

1, 1

y y .

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( ) :P y x 22, ( ) :d y x và hai đường
thẳng x0, x1.

Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

sin
sin cos

x
y

x x



 , trục hoành và hai 
đường thẳng x 0, x 2



 

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y



2 cos x



sinx, trục hoành và
hai đường thẳng

3
0,

2
x x 

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:

1. y x 1,y0,x0,x3

2.y x 23x 4,y0,x1,x3 3.

3 5 2 4 , 0, 1, 3

y x  x  x y x x

3
sin , 0, 0,

2
y x y x x 

os , 0, ,

2 2

y c y x  x

6. y e 2x1,y0,x0,x1
7.y x 2 x 5,yx23x7

8. 2

ln , 0, ,

y x y x x e

e

   

2 3

sin cos , 0, 0,

2
y x x y x x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

12. ysin ,x ycos ,x x0,x

13. (C):y x 33x2 6x2 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
14. (C): y x 2 2x2 và các tiếp tuyến của (C) đi qua

3
( , 1)

2
A 

Dạng 7: Ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể khi quay quanh trục hoành, trục tung
1. Cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

yf x

, trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  quay quanh trục hoành là:

 

2 (1)

b

a

V 



f x dx

2. Cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

xf y

, trục tung và hai đường thẳng y a y b ,  quay quanh trục tung là:

 

2 (2)

b

a

V 



f y dy
 Nhận xét:

 Điểm lưu ý đầu tiên hãy xác định xem quay quanh trục hoành hay trục tung.

 Đối với bài tốn hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường phức tạp (không áp dụng trực tiếp được
công thức (1) hoặc (2)), thì nhất thiết phải vẽ hình và xét phương trình tương giao, dựa vào hình vẽ và
tính chất chia thể tích để đưa ra cơng thức phù hợp.

 Việc vẽ đồ thị rất quan trọng khi phải tính diện tích, thể tích của những hình gồm nhiều đường,
phức tạp.

Ví dụ:

VD 1. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x

y x e  , trục hoành và 2 đường thẳng x0, x1 khi quay quanh trục hồnh.
Giải:

Áp dụng cơng thức:









1 1

2 2 2

0 0

x x x

V 



x e dx



x e  xe dx 2 11

e
  

 

VD 2. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2
x

y

, trục tung và hai đường thẳng y1, y4 khi quay quanh trục tung.

Giải:

Áp dụng công thức:

2 4

4 4

1 1 1

2 1 1

4 4 4 1 3

V dy y dy

y y

        

        

 



Bài tập:

Bài 1: Tính thể tích của vật thể trịn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x

Đáp số: V=

18
5

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 2: Tính thể tích của vật thể trịn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox:



1 

;



0;



0;



3 y

x

x y

x

Đáp số: V=

81
35



Bài 3. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

ln , 0, 2

y x y x khi quay quanh trục hồnh.

Bài 4. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x my , trục tung và hai đường thẳng y1, y1 khi quay quanh trục tung. (m là tham số khác 0)
Bài 5. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:,

2, 2 2 3

xy x y  khi quay quanh trục tung.

Bài 6. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

, 6, 0

y x y x  y khi quay quanh trục tung.

Bài 7. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

ln , 1, 2, 0

y x x x y khi nó quay quanh trục Ox.

Bài 8. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

ln , 1, 2, 0

y x x x y khi nó quay quanh trục Oy

Bài 9. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1

y x , trục hoành và đường thẳng x4 khi quay quanh trục hồnh.

Bài tập tích phân tốt nghiệp THPT một số năm gần đây:

2
0

(x sin x) cosxdx







(TN 2005); Đáp số:

2
2 3




2.

2
0

sin 2
4 cos

x
dx
x







(TN 2006); Đáp số:

4
ln

3.

ln
e x

dx
x



(TN 2007 lần 1) ; Đáp số:

1
3

4.

1 2

3
0

3
1
x

dx
x 



( TN 2007 lần 2); Đáp số:ln2

5.

(1 x)
e xdx




; (TN 2008 PB lần 1); Đáp số:

1
3

6.

(4x 1)e dxx




; (TN 2008 PB lần2 ); Đáp số:e+3

2 3 4

(1 )
x x dx





;(TN 2008 không PB lần1 ); Đáp số:

32
5

8.

3x1dx



; (TN 2008 không PB lần2 ); Đáp số:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

9.0

(1 cos )
x x dx







(TN 2009) Đáp số:

2 4

2
 

10.

2 2

( 1)
x x dx



(TN 2010) Đáp số:

1
30
11. 1

4 5ln
e

x
dx
x




(TN 2011) Đáp số

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chuyên đề: SỐ PHỨC
A. LÍ THUYẾT:

- Số phức z=a+bi có phần thực là a và phần ảo là b ( a , b∈R , i2=−1 )

- Giả sử số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hoặc ⃗u=(a , b) thì độ dài của
vectơ ⃗OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. Vậy |z| ¿

√

a2

+b2 .
- Số phức liên hợp:

Số phức a −bi được gọi là số phức liên hợp của số phức a+bi . Kí hiệu z= a – bi

Các phép toán trên tập số phức: Cho hai số phức z=a+bi và z '=c+di .
- Phép cộng số phức: z z ' ( a c ) ( b d i ) .

- Phép trừ số phức: z z ' ( a c ) ( b d i ) .

- Phép nhân số phức: z.z '=(ac−bd)+(ad+bc)i .

- Phép chia số phức: 2 2 2 2 2 2

. ' ( )( )

' '. '

z z z a bi c di ac bd ad bc

i

z z z c d c d c d

   

   

   .

Chú ý:



 



z z  a bi  a bi  a



 



2 2 2

zz a bi a bi  a b z

1. 2 1. 2

z z z z

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Nhận xét: Tính tốn trên số phức thật ra khơng khác gì với phép tính trên tập số thực. Chỉ có
điều, bạn hãy xem số phức i là một kí hiệu mà i21.

Ví dụ:

VD 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) (5 2 ) (4 7 ) i   i

b) (1 4 ) (4 3 ) i   i
c) (2 i)(1 3 ) i
d)

1
2 3

i
i


e) 2+3i¿2

¿
f) 1+i¿3+3i

Giải:

a) (3 2 ) (4 7 ) (3 4) (2 7) i   i     i 7 9i
b) (1 4 ) (4 3 ) (1 4) (4 3) i   i     i 3 7i

c) (2 i)(1 3 ) (2.1 ( 1).3) (3.2 ( 1).1) i       i 5 5i
Dạng1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

d) 2 2

1 (1 )(2 3 ) 1.2 1( 3) 1.( 3) 1.2 1 5

2 3 2 3 13 13 13 13

i i i

i i

i

      

    

 

e) 2+3i¿2=4+12i+9i2=−5+12i
¿

f) 1+i¿3+3i=1+3i+3i2+i3+3i=2+5i
¿

VD 2: Tính 1 1 1 1

, , . , z
z z z z z z

z

 

với:
a) z 5 2i và z1 4 3i

b) z 4 7i và z1 2 5i

Giải:

a) z z 1 (5 2 ) (4 3 ) 9 5 i   i   i
1 (5 2 ) (4 3 ) 1

z z   i   i   i

1 (5 2 )(4 3 ) (5.4 2.3) (2.4 3.5) 14 23

zz   i  i     i  i

2 2
1

5 2 (5 2 )(4 3 ) 26 7 7

4 3 4 3 13 13 13

z i i i

i i

z i

  

     

 

b) z z 1   ( 4 7 ) (2 5 )i   i  2 12i
1 ( 4 7 ) (2 5 ) 6 2

z z    i   i   i

1 ( 4 7 )(2 5 ) 43 6

zz    i  i   i

2 2

4 7 ( 4 7 )(2 5 ) 43 34 43 34

2 5 2 ( 5) 29 29 29 29

z i i i

i i

z i

      

     

  

VD 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết :
a) z(2 3 ) ( 4 i   i)

b) z4i (2 2 ) i

c) z (1 )( 2 3 )i   i
d)

2
1

i
z

i




Lời giải :

a) z(2 3 ) ( 4 i   i) 2 4i

Vậy số phức z có phần thực là -2 và phần ảo là -4.
b) z4i (2 2 ) i  2 2i

Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2.
c) z(2 3 )(5 7 ) 31 i  i  i

Vậy số phức z có phần thực là 31 và phần ảo là 1.

d) 2 2

2 2 (1 ) 2 2

1 1 ( 1) 2 2

i i i i

z i

i

 

     

  

Vậy số phức z có phần thực là -1 và phần ảo là 1
VD 4: Tìm mơđun của các số phức sau :

a) z 5 2i

b) z4i  ( 7 3 )i

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Lời giải :

2 2

5 2 29

z   

b) Ta có : z4i  ( 7 3 ) 7i  i
Do đó :

2 2

7 1 50

z   

c) Ta có : z (1 2 )i 2  12 2 2i( 2 )i 2  1 2 2i
Do đó : z  ( 1) 2(2 2)2  9 3

d) Ta có : z 4 3i(1 ) i 3  4 3i(1 3 i 3i) 2 5  i

Do đó :

2 2

2 5 29

z   

VD 5 : Tìm số phức liên hợp zcủa z biết :
a) z 2 3 2i

(2 3 )( 3 )

2
z  i  i

2 15
3 2

i
z

i





Lời giải :

a) z 2 3 2i
b)

1 1 3 3

(2 3 )( 3 ) 1 2 3 3 3 4

2 2 2

z  i  i   i i   i

Vậy :

3 3
4

2
z  i

c) 2 2

2 15 (2 15 )(3 2 ) 24 49

3 2 3 2 13 13

i i i

z i

i

  

   

 

Vậy :

24 49
13 13
z  i

Bài 3 : Cho số phức z 4 3i. Tìm số phức nghịch đảo 
1

z của z

Lời giải :

Ta có 2 2

1 1 4 3 4 3 4 3 4 3

4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25 25

i i i

i

z i i i

  

     

   

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a)



2i

 

 1 i

 

1 2 i





5 2 i



 3 7 6



  i



b)

2 3 3

(  i )(  i )

c) (1 2i )2

d)

2 15
3 2

i
i




e)





</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

f)

1 3
3

i
i



g)

2
1

i
i



h)

1 1

1i1 i

i)

1
1

i
i




j)

1 3

i
i

  

 

  

 

k) i3 

 

i 252i23
l)









2 1

bi

b

b b i





  

Bài 2: Cho

1 3

2 2

z i

. Tính z,z , z2 3 và zn



n 



. Suy ra 1 z z2

ĐS: zk zk10,

2 1 3

2 2

z   i z

, z31, z3k 1, z3k1z

, z3k2 z

 , 1 z z2 0

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo:

a) z(0 i) (2 3 ) (7 8 )  i   i ĐS: thực 5, ảo 10.
b) z(0 i)(2 3 )(5 2 ) i  i ĐS: thực 19, ảo -4.
c)

6
3 2

i
z

i



 ĐS: thực 
16
13, ảo

15
13


d) z(7 3 ) i 2 (2 i)2 ĐS: thực 37, ảo -38.
e) z(2 3 ) i 2 Đs : thực -5, ảo 12
f) z (1 )i 33i Đs : thực 2, ảo 5

g) 2

2 3
(1 )
i
z

i



 Đs: thực 
3
2, ảo -1
h) z4 3i



i



 (2 3 ) i ĐS: thực -6 ảo 9

i) z

1 2
4

1
i
i

i

 

 ĐS: thực

5
2 ảo

3
2
k)

4
(1 )(4 3 )
z

i i



  ĐS: thực 
7
50 ảo

1
50


Bài 4: Cho hai số phức z1  1 2i; z2  3 i.Tính mơđun của số phức z biết:

a. z z 1 z2 ĐS: 17

b. z z 1 2z2 ĐS: 41

1
2

z
z

z


ĐS:
2
2

d. z z z 1. 2 ĐS:5 2

e. z z z 1. 2 ĐS: 5 2

2
1

z
z z

z
 

ĐS: 13
Bài 5: Tìm

1
, ,
z z

z , biết :

a) z(3 2 )(2 3 ) i  i ĐS:

1 9

2 18 ; 2 82;

164 164

i  i

  

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

b) z 4 8i(2 3 ) i 2 ĐS:

1 4

1 4 ; 17;

17 17

i   i

  

Một số tập hợp điểm trong mặt phẳng phức:

1) Đường thẳng: * x x 0 song song hoặc trùng với trục ảo Oy

* yy0 song song hoặc trùng với trục thực Ox





2 2

0 0

ax by c   a b 

2) Đường tròn:









2 2 2 2 2

2 2 0

x a  y b R hay x y  ax by c 

có tâm I a;b





bán kính R
3) Hình trịn:









2 2 2

x a  y b R

có tâm I a;b





bán kính R
4) Đường elip:

2 2

2 2 1

x y
a b 

5) Đường hyperbol:

2 2

2 2 1

x y
a  b 
Ví dụ:

VD 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện

a) z i 1 b) 1

z i
z i




 c) z  z 3 4 i

Giải:

Giả sử z x yi x, y 



 



a) z i x  



y 1



i











2 2

2 1 1 2 1 1

z i  x  y   x  y 

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ;



0 1



, bán kính R1 trong mặt phẳng

phức.









2
2

1 1 1

z i x y

z i

z i z i x y

  



    

   













2 2

2
2

1 1

1 0

x y x y

x y

     


 

  


 2





2 2

1 0

y y

x y

 


 

  


  y0

Tập hợp các điểm biểu diễn là trục thực Ox trong mặt phẳng phức.

Dạng 2

ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC

Phương pháp: - Gọi z x yi x, y 



 



là số phức cần tìm.

- Từ giả thiết, tìm hệ thức giữa x, y. Hệ thức này xác định một đường cong

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

c) z 3 4 i x yi   3 4 i x  3



4 y i











2 2

2 2 2 2

3 4 3 4

6 9 16 8

z z i x y x y

x y x x y y

        

       

 6x8y 25 0 .

Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình 6x8y 25 0

VD 3: Cho các số phức z1 1 i,z2 1 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức z12, z z1 2,
1 2

2z  z , z z1 2,

2
1

z

z lần lượt bởi các điểm A, B, C, D, E.

Giải: z122i A ;



0 2





 







1 2 1 1 2 1 2 1 2 3

z z  i  i     i  i  B ;



3 1





 



1 2

2z  z 2 1i  1 2 i  2 2 1 2i  i 1 4i C ;



1 4





 







1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3

z z  i  i     i  i  D



1 3;





 



2
1

1 2 1

1 2 1 2 3 3 1

1 2 2 2 2 2

i i

z i i i

i
i

z

 

   

     



3 1

2 2

E ; 

   

 

Bài tập:

Bài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện

sau:
a) z2

là số thực âm
b) z2 là số ảo

 

2
2

z  z

z i là số ảo

e) Phần thực của z bằng 5
f) Phần ảo của z bằng -4
ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng yx.

c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm



0 1;



e) Là đường thẳng song song với Oy, cắt Ox tại điểm (5;0)

f) Là đường thẳng song song với Ox, cắt Oy tại điểm (0;-4)

Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng

điều kiện sau:

a) 2i 2z 2z 1 b) 2iz1 2 z3

c) z 1và phần ảo của z bằng 1
ĐS: a) là đường thẳng 4x8y 3 0

b) là đường thẳng 24x 4y35 0

c) là giao điểm của đường trịn tâm O bán kính bằng 1 và đường y = 1

Bài 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đồng

thời z1 2 và z   z 1 i .
ĐS:



1 2;

 

, 1 0;



2

Dạng 3

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC 

Az2Bz C 0



A,B,C,A0



Tính biệt thức  B2 4AC

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ:

VD 1: Giải các phương trình trên C:
a) z2 3z 4 0 

b) z2+7=0
c) −1

2z
2

−4
5=0

Lời giải:
a) Ta có:

( 3) 4.1.4 7 0

     

Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

3 i 7
z

2




b) z2  7 0 z2 7i2  z 7i
c) −1

2z
2

−4

5=0⇔−
1
2z

2
=4

5⇔z
2

=8
5i

2⇔

z=± i2

√

10
5
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 
a) 2z2

+7z+7=0
b) z2 3z 4 0 
c) − z2

+z −5=0
d) z2  6z 7 0 

Lời giải:

z  3z 4 0 
Ta có: −3¿

−4 .1 . 4=−7=7i2
Δ=¿

Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

3 7

2
i
z  
b) − z2

+z−5=0
Ta có: 1¿

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

1 19

2
i
z  


c) z2−6z+12=0

Ta có: −3¿

2−1 .12=−4=4i2
Δ'=¿

Phương trình có hai nghiệm phức: z1,2  3 2i

d) Ta có:  72 4.2.77 0
Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

7 i 7
z

 

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức (ẩn x)

a) x2   x 1 0 ĐS:

1 i 3
3
 

b) x2 5 0 ĐS: i 5

c)x2 4x 13 0  ĐS: 2 3i;2 3i 

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2 6x29 0 b) x2  x 1 0

c) x2 2x 5 0

ĐS: a) x 3 2 5i b)

1 3

2 2

x  i



1 2 i



Bài 3: Giải các phương trình trên tập số phức:

a) x2 6x29 0
b) x2   x 1 0

c) x2 2x 5 0
d) 2x2 2x 1 0

e) x2 3x 4 0
f) 3x2  x 1 0
ĐS

a)  ' 20. x1,2  3 2i

b)  ' 3. 1,2

1 3

2 2

x   i

c)  ' 4. x1,2  1 2i.

d)  6. 1,2

2 6

i
x  

e)  ' 7. 1,2

3 7

2
i
x  

f)  ' 11. 1,2

1 11

6
i
x  

Bài 4: Giải các phương trình trên tập số phức:

a) x23x 1 0  ĐS: 1,2

3 5

2
x  

b) x2  x 5 0 ĐS: 1,2

1 19

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

c) x23x 1 0  ĐS: 1,2

3 5

2
x  

d) 3x2 5x 4 0 ĐS: 1,2

5 23

6
i
x  

e) 2x23x 2 0 ĐS: 1,2

3 7

4
i
x  

f) x2  3.x10 ĐS: 2i
1
2

3


g) 3 2.x2  2 3.x 2 0 ĐS: 6 (1 )

6
i


h) 3x2 x 2 0 ĐS:

1 23

</div>

de cuong on tap dai ki 2 du chi tiet

 

 

 

 

 

 



 

 

 



 

 





 

 

 

 







 

 

 



( )

( )

<i>f x dx</i>



<i>f x dx</i>





( )

( )

<i>kf x dx k f x dx</i>













( )

( )

( ) , (

)

<i>f x dx</i>



<i>f x dx</i>



<i>f x dx a c b</i>

 















 

 

 



















<sub></sub>







<sub></sub>



<sub></sub>

