Cac de thi HSG cap huyen va cap TP

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi học sinh giỏi cấp huyện </b>
<b>Lớp</b>: 9 (Năm hc 2008 -2009)

<b>Môn: Toán </b>

<b>Thi gian: 150 phỳt ( khơng kể chép đề )</b>
<b>Câu 1:(2 điểm)</b>

cho biĨu thøc: A = √<i>x −</i>1<i>_{x −}−</i>₇¿√6

¿

a) Rót gän A.

b) BiÕt x = 8 - 4 3 , Tính giá trị của A
<b>Câu2: ( 2 điểm)</b>

a) Giải phơng trình:

x2 _{( x+ 2y) - y}2_{( y+ 2x) = 1991} _{Víi x,y} _N

<b>Câu3: (2 điểm)</b>

Cho ax3_{= by}3_{= cz}3_và 2

<i>x</i>+

2

<i>y</i>+

2

<i>z</i>=2

Chøng minh:

_√

<i>_{a x}</i>2

+¿<i>b y</i>2 +¿<i>c z</i>2=√3<i>a</i>+√3<i>b</i>+√3<i>c</i>

<b>C©u 4: ( 3 ®iĨm)</b>

Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB. Các điểm C, D di chuyển trên nửa đờng
tròn sao cho góc COD = 900_{( cung AC < cung AD ). Gọi E là giao điểm của các}

ng thng AC, BD

a) Tìm quỹ tích của điểm E.

b) Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đờng trịn có đờng kính CD với AE, BE.
Chứng minh rằng IK // AB.

c) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa IK, CMR: M lµ trung ®iĨm của OE
<b>Câu 5: ( 1 điểm ) </b>

Chứng minh r»ng: 1

√1+
1
√2+

1

√3+⋯+

1
√100>10

đáp án

<b>Câu 1: (2đ)</b>

a) Rót gän

A= <i>x −</i> 7

√<i>x −</i> 6 <i>−</i> √6 §K

{

<i>x ≥</i>1

<i>x ≠</i>7

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A= <i>x −</i>1<i>−</i>6

√<i>x −</i> 1 <i>−</i> √6 =

√<i>x −</i> 1

¿
<i>−</i>

√<i>x −</i> 1 +¿√6

(¿_√6¿)

√<i>x −</i> 1 <i>−</i> √6¿

¿

)

= _√<i>x −</i> 1 +¿√6 Vì <i>x </i> 1 <i></i> 6<i></i>0 (0,5đ)
b) x = 8 - 4 _√3

cã x - 1 = 8 - 4 _√3 - 1 = 7 - 4 _√3 = 3- 2.2 _√3 +22

(0,5®)
= ( _√3 -2)2

<i>⇒</i> A =

2

¿
<i>−</i>
¿

(¿_√3¿¿)+_√6=2<i>−</i>
√¿

√3 + _√6 =2 - 3 + 6

(0,5đ)

<b>Câu 2: giải phơng trình</b>

X2_{( x + 2y) - y}2_{( y+ 2x) = 1991} _(x,y _N) ₍₁₎

(1) <i>⇔</i> ( x3_{- y}3_{) + ( 2x}2_{y - 2y}2_{x) = 1991}

( x-y) (x2_{+3xy +y}2_{) =1991} ₍₂₎ _(0,5®)

Tõ (2) <i>⇒</i> x - y nguyên dơng (do x,y N và x - y nguyên dơng

Nếu x2_{+3xy +y}2_{= ( x - y)}2_{+ 5xy} _{( x - y)}2 _{x - y} _(0,5đ)

Ta có các ớc nguyên dơng của 1991 là 1,11,181, 1991 <i>⇒</i> (2) <i>⇔</i>
(3)

{

<i>x</i>2 +¿3 xy +¿<i>y</i>2=1991

<i>x − y</i>=1

Hc (4)

{

<i>x</i>2 +¿3 xy +¿<i>y</i>2=181

<i>x − y</i>=1 1 (0,5®)

HƯ PT (3) V« nghiƯm

HƯ PT (4) cã nghiƯm x = 12, y = 1 (t.m) (0,5đ)
Vậy nghiệm của hệ PT là x = 12, y = 1

<b>C©u3: </b>
Ta cã

_√

3<i>_{a x}</i>2

+¿<i>b y</i>2 +¿<i>c z</i>2=

√

3 <i>a x</i>

3

<i>x</i> +¿

by3

<i>y</i> +¿

cz3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=

¿1
<i>x</i>
¿

+¿1
<i>y</i>
¿
<i>a x</i>3(¿+¿1

<i>z</i>¿ ¿)

3

√

<i>a x</i>3

<i>x</i> +¿

bx3

<i>y</i> +¿

cz3

<i>z</i> =

❑_√

¿

=

_√

<i>a x</i>3=<i>x</i>_√3<i>a⇒</i>_√3 <i>a</i>=

<i>a x</i>
2

+by2 +cz2

<i>x</i> (0,5đ)

Tơng Tự:
3

<i>b</i>=

<i>a x</i>

2

+by2 +cz2

<i>y</i> <i>;</i>

3

<i>c</i>=

<i>a x</i>

2

+by2 +cz2

<i>z</i> (0,5đ)

3

<i>a</i>+3 <i>b</i>+3<i>c</i>=

3<i>a x</i>2 +by2 +cz2.(1

<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z</i>)

= 3

<i>a x</i>2+by2+cz2.
(0,5đ)
Vì ( 1

<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z</i>¿=

2
2=1

<i>⇒</i>

√

3<i>a x</i>2 +¿by2 +¿cz2<i>−</i>_√3<i>a</i>+_√3<i>b</i>+_√3<i>c</i>=0 ( ĐPCM) (0,5đ)

<b>Câu 4:(3 điểm) </b>

tìm quỹ tích điểm E , <i></i> BCE vuông tại C

<i></i> góc CBE = 1

2 gãc COD = 450

<i>⇒</i> gãc CEB = 450 <i>_⇒</i> _E _{thuéc cung chøa gãc 45}0

giới hạn cung PQ từ P và Q (AP AB ; BQ AB)

b) gãc OKD = gãc OCD = 450_{= gãc AED ( cïng ch¾n cung OD)}

<i>⇒</i> OK // AE <i>⇒</i> gãc K1 = I1 (1)

l¹i cã: gãc K1 = gãc C1 ( tg OKIC néi tiÕp ) (2)

gãc c1 = gãc A ( <i>Δ</i> COA c©n ) (3)

Tõ : (1),(2),(3) <i>⇒</i> IK//AB

c) Theo chøng minh trªn : OK // AE

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i></i> trung điểm của IK cũng là trung điểm của OE ( ĐPCM)
<b>Câu 5: Ta có </b>

1
1>

1
100
1

2>
1
100

1
100=

1

100 (0,5đ)

<i></i> 1

1+
1
2++

1
100>

100

100=10 (ĐPCM)

(0,5đ)

<b> thi hc sinh gii cp tnh</b>

Môn : Toán 8
Thời gian: 150 phút

<b>Câu 1: (2điểm)</b>

phân tích phân thức thành nhân tử
a) x3_{- x}2_{- 4}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>C©u 2: ( 2®iĨm)</b>

Cho biĨu thøc: P = ( <i>a</i>+2

<i>a</i>+1<i>−</i>

<i>a −</i>2

<i>a −</i>1 ).

<i>a</i>+1

<i>a</i>

a) Rót gän P

b) Tìm a để P nguyên
<b>Câu 3: (2 điểm) </b>

a) Cho ®a thøc : A(x) = a2_x3_3ax2_{- 6x -2a ( a} _Q)

Xác định a sao cho A(x) ⋮ (x+1)
b) tìm x,y sao cho

2x2_{+ y}2_{+ 2xy - 6x - 2y + 5 = 0}

Câu 4: ( 3điểm)

Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD , một đờng thằng đi qua đỉnh A của hình bình hành
cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E,K,G. Chứng minh rằng

a) AE2_{= EK . EG}

b) 1

AE=
1
AK+

1
AG

c) Khi đờng thẳng thay đổi vị trí nhng vẫn đi qua A thì tích BK . DG có
<b> giá trị khơng đổi </b>

<b>C©u 5: Rót gän biĨu thøc </b>
A = 2

2 <i>₋</i> ₁

22 <i>×</i>

32 <i>₋</i> ₁

32 <i>×</i>

42 <i>₋</i> ₁

42 <i>×</i>⋯<i>×</i>

<i>n</i>2 <i>₋</i> ₁

<i>n</i>2

đáp án + thang im

Câu 1: (2đ)

a) x3_{- x}2_{- 4 = x}3_{- 8 + 4 - x}2_{= ( x}3_{- 2}3_{) - (x}2_{- 2}2₎

= ( x - 2) ( x2_{+2x + 2}2_{) - ( x - 2) ( x + 2)}

= ( x - 2) ( x2_{+x + 2)}

b) A = x14_{- ( x+1)x}13_{+( x+1)x}12_{- ( x+1)x}11_{+...+( x+1)x}2_{- ( x+1)x +( x+1)x}

= x14_{- x}14_{- x}13_{+ x}13_{+ x}12_{- x}12_{- x}11_{+... - x}2_{- x + x + 1 = 1}

<b>Câu 2: (2đ)</b>

Lm ỳng mỗi phần cho một điểm
a) Rút gọn : P = ( <i>a</i>+2

<i>a</i>+1<i>−</i>

<i>a −</i>2

<i>a −</i>1 ).

<i>a</i>+1

<i>a</i> §K: a <i>±</i> 1; a 0

P = ( a+2)(a-1) -( a<i>−</i>2)(<i>a</i>+1)

( a+1)(a-1) <i>ì</i>

<i>a</i>+1

<i>a</i>

= 2<i>a</i>

<i>a</i>1<i>ì</i>
1

<i>a</i>=

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b) P Nguyên <i>⇔</i> 2

<i>a−</i>1 nguyªn <i>⇔</i> a - 1 ¦(2)

<i>⇔</i> a-1 {<i>±</i>1<i>;±</i>2 )

+ NÕu a - 1= -1 <i>⇒</i> a = 0 ( lo¹i)
+ NÕu a - 1= 1 <i>⇒</i> a = 2 (t/m)
+ NÕu a - 1= -2 <i>⇒</i> a = -1 ( lo¹i)
+ NÕu a - 1= 2 <i>⇒</i> a = 3 ( t/m)
<b>Câu 3: (2đ)</b>

a) Chia a thc A(x) cho (x+1) đợc:

A(x) = (x+1) [ a2_x2_{+ (3a - a}2_{)x -( 6 + 3a - a}2_{)] + (- a}2_{+ a + 6)}

§Ĩ A(x) ⋮ (x-1) <i>⇒</i> sè d - a2_{+ a + 6 = 0} <i>_⇔</i> _{a =-2 ; a = 3}

b) x2_{+ 2xy + y}2_{- 2( x+ y) +1 + x}2_{- 4x + 4 = 0}

<i>⇔</i> [( x+ y)2_{- 2( x+ y) +1] + (x - 2)}2

<i>⇔</i> ( x + y- 1)2_{+ ( x - 2)}2_{= 0}

<i>⇔</i>

{

<i>x</i>+<i>y −</i>1=0

<i>x −</i>2=0 V×

x + y- 12

0

<i>x , y</i>

<i>x </i>22

0

<i></i>

{

<i>x</i>=2

<i>y</i>=<i></i>1
<b>Câu 4: (3 điểm)</b>

a) Chứng minh: AE2_{= EK . EG}

Ta cã CD // AB (gt ABCD là hình bình hành)

<i></i> <i></i> AEB ng dạng với <i>Δ</i> GED <i>⇒</i> AE

EG=
EB
ED(1)

(0.5®)

Tơng tự từ AD // BC <i>⇒</i> <i>Δ</i> DAE đồng dạng với <i>Δ</i> BEK ( do BK //AD)
A

B

C
G

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>⇒</i> AE

EK=
ED
BK(2)

Tõ (1) vµ (2) <i>⇒</i> AE

EG=
EK

AE <i>⇒</i> AE2 = EK . EG (ĐPCM)

(0.5đ)

b) Ta cú <i></i> AED ng dng vi <i>Δ</i> KEB <i>⇒</i> AE

KE=
ED
EB

hay AE

AE+KE=

ED

ED+EB hay

AE
AK =

ED

BD (2)

Tơng tự : <i>Δ</i> AEB đồng dạng với <i>Δ</i> GED <i>⇒</i> AE

GE=
EB

ED hay
AE

AE+EG=

EB

AE+ED Hay

AE
EG=

EB

BD (3)

(0.5®)

Tõ (2),(3) <i>⇒</i> AE

AK =
AE
AG =
ED
BD+
EB
BD =

ED+EB

BD =
BD
BD=1

Hay AE( 1

AK +
1

AG ) = 1 <i></i>
1
AK +

1
AG =

1

AE (ĐPCM)

(0.5đ)
c) Ta có DG

AB=
ED
EB và

BK
AD=
EB
ED <i></i>
DG
AB <i>ì</i>
BK
AD=

ED
EB <i>ì</i>

EB

ED=1 (0.5®)

<i>⇒</i> DG. BK = AB . AD = const ( do AB,AD Không đổi) (PCM)
(0.5)

<b>Câu5: (1điểm)</b>
Ta có A = 1 . 3

22 <i>×</i>
2 . 4

32 <i>×</i>
3 .5

42 <i>ì</i>

(<i>n </i>1)(<i>n</i>+1)

<i>n</i>2 (0.5đ)

= 1 . 2. 3 . 4⋯(<i>n −</i>1)

2. 3 . 4⋯<i>n</i> <i>×</i>

3 . 4 .5_⋯<i>n</i>(<i>n</i>+1)

2. 3 . 4⋯<i>n</i>

= 1

<i>n×</i>
<i>n</i>+1

2 =

<i>n</i>+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh</b>
<b>Lớp</b>: 9 (Năm học 2004 -2005)
<b>Mơn: Tốn </b>

<b>Thời gian: 150 phút ( khơng kể chép đề )</b>
<b>Câu 1: (2 điểm)</b>

cho biĨu thøc

B = y - 5x _√<i>y</i> + 6x2

a) Rút gọn rồi tính giá trị của B cho x = - 2

3 ; y =
18

4+√7

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

x - _√<i>y</i> +1 = 0 vµ B = 0
<b>Câu 2:(2 điểm)</b>

Giải phơng trình

(6x + 5y)2_{(3x + 2) (x + 1) = 35}

<b>Câu3:(2điểm)</b>
Chứng minh r»ng

√

<i>a</i>

<i>b</i>+<i>c</i> +

√

<i>b</i>

<i>a</i>+<i>c</i> +

√

<i>c</i>

<i>a</i>+<i>b</i> > 2 ( Víi a,b,c > 0)

<b>Câu 4: Trên đờng kính AB của đờng trịn tâm 0, lấy hai điểm T và S đối sứng </b>
nhau qua 0, lấy điểm M trên đờng tròn sao cho MA < MB , các đờng thẳng
MT,MO,MS cắt đờng tròn lần lợt tại C,E,D. đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB
tại F. Qua D kẻ đờng thẳng // với AB nó cắt ME và MC tại L,N

a) Chøng minh LN = LD

b) Hạ OH CD chứng minh HNDE là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O
Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
P = 2x2_{- 6xy + 9y}2_{- 6x - 12y + 2033}

đáp án

<b>C©u 1: (2đ)</b> (ĐK: y 0)
a) B = y - 5x _√<i>y</i> + 6x2₌

√<i>y</i> ( _√<i>y</i> - 2x) - 3x _√<i>y −</i>2<i>x</i>

= ( _√<i>y</i> - 2x) ( _√<i>y</i> - 3x )

(0.5)

Ta cã : y = 18

4+√7 =

18(4<i>−</i>√7)

16<i>−</i>7 =

18(4<i>−</i>√7)

9

= 8 - 2 _√7 = ( _√7 -1)2

<i>⇒</i> _√<i>y</i> = √7 - 1

VËy B = [( _√7 - 1) + 2 . 2

3 ] [ √7 -1 + 3
2
3 ] =

22+4_√7

3

(0.5)

b) Theo bµi ra ta cã

{

<i>x −</i> √<i>y</i> +1=0

√<i>y −</i>2<i>x</i>=0 (1) Hc

{

<i>x −</i> √<i>y</i> +1=0

√<i>y −</i>3<i>x</i>=0 (2)
(0.5)

Gi¶i hƯ (1) cã

{

<i>x</i>=1

<i>y</i>=4 (t/m)
Gi¶i hƯ (1) cã

{

<i>x</i>=1/2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Vậy 2 cặp số thoả mãn đề bài ra là: x =1; y = 4 và x = 1

2 ; y =
9
4

(0.5)

<b>Câu 2: (2đ) Giải PT</b>

(6x + 5)2_{(3x + 2y) (x + 1) = 35} ₍₁₎

<i>⇔</i> (36x2_{+ 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35}

[12(3x2_{+ 5x + 2) + 1] (3x}2_{+ 5x + 2) = 35 (2)} _(0.5)

Đặt: 3x2_{+ 5x + 2 = t} ₍₃₎

(2) <i>⇔</i> víi (12t + 1) t = 35

<i>⇔</i> 12t2_{+ t - 35 = 0}

PT nµy cã t1 = 5

3 ; t2 = -
7

4 (0.5)

Thế t = 35 vào (3) ta đợc: 9x2_{+ 15x + 1 = 0}

PT nµy cã 2 nghiƯm: x1 = <i>−</i>15+√189

18 =

<i>−</i>5+_√21

6 ;

x2 = <i>−</i>15<i>−</i>√189

18 =

<i>−</i>5<i>−</i>√21

6 (0.5)

ThÕ t = - 7

4 vµo PT (3) cã 12x2 + 20x +15 = 0

( PT này vô nghịêm v× <i>Δ</i> = 102_{- 12 .15 = - 80 <0)}

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x = <i>−</i>5+√21

6 ; x =

<i>−</i>5<i>−</i>√21

6 (0.5)

<b>Câu3:(2đ)</b> do a,b,c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có
2

√

<i>b</i>+<i>c</i>

<i>a</i> <i>×</i>1

<i>b</i>+<i>c</i>

<i>a</i> +1=

<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>

<i>a</i>

<i>⇔</i>

√

<i>a</i>

<i>b</i>+<i>c</i>

2<i>a</i>

<i>b</i>+<i>c</i>+<i>a</i> (1)

(0.25®)

DÊu "=" xÈy ra <i>⇔</i> <i>b</i>+<i>_ac</i>=1 hay a = b+ c
T¬ng tù cã:

√

<i>b</i>

<i>a</i>+<i>c</i>

2<i>b</i>

<i>b</i>+<i>c</i>+<i>a</i> (2)

√

<i>c</i>
<i>a</i>+<i>b</i>

2<i>c</i>

<i>b</i>+<i>c</i>+<i>a</i> (3)

(0.25®)

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

√

<i>a</i>

<i>b</i>+<i>c</i> +

√

<i>b</i>

<i>a</i>+<i>c</i> +

√

<i>c</i>

<i>b</i>+<i>a</i> 2 ( do a + b + c>0 )
(0.25®)

dÊu "=" xÈy ra <i>⇔</i>

{

<i>b</i>+<i>c</i>=<i>a</i>

<i>a</i>+<i>b</i>=<i>c</i>

<i>a</i>+<i>c</i>=<i>b</i>

<i>⇔</i> a + b + c = 0 ( vô lý, vì a + b + c > 0)
do đó khơng xẩy ra dấu"="

VËy

√

<i>a</i>

<i>b</i>+<i>c</i> +

√

<i>b</i>

<i>a</i>+<i>c</i> +

√

<i>c</i>

<i>b</i>+<i>a</i> > 2 ( ĐPCM)
(0.25đ)

<b>Câu4: (3điểm)</b>

Chứng minh LN = LD
Ta có: ND // TS

<i>⇒</i> NL // TO và LD//OS
theo định lý talét ta có TO

NL=
OS

LD ( v× cïng =
MO
ML )

(0.5)

mµ TO = OS <i>⇒</i> NL = LD (§PCM)

(0.5)

b) ta cã OH CD (gt)
<i>⇒</i> HC = HD (1)
LN = LD (2)

Từ (1) và (2) <i>⇒</i> LH là đờng trung bình của <i>Δ</i> CDN <i>⇒</i> LH // CN

hay LH // MC (0.5)

<i>⇒</i> CME = HLE (đồngvị)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i>⇒</i> HLE = HDE <i>⇒</i> tø giác HLDE nôi tiếp.
(0.5)

c) do HLDE nụi tip <i>⇒</i> HEL = HDL (cùng chắn cung LH ) (0.5)
mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900

<i>⇒</i> EF là tiếp tuyến của đờng trịn (O) (0.5)

<b>C©u5: (1®)</b>

P = 2x2_{- 6xy + 9y}2_{- 6x - 12y +2033}

= x2_{- 6xy + 9y}2 _{-12y + 4x +4 + x}2 _{- 10x +25 +2004}

= ( x -3y + 2)2_{+ ( x -5)}2_{+ 2004} ₂₀₀₄ _(0.5đ)

( vì ( x -3y + 2)2 ₀ <i>_∀</i> _{x,y ; vµ ( x -5)}2 ₀ <i>_∀</i> _x

dÊu "=" xÈy ra <i>⇔</i>

{

<i>x −_{x −}</i>3<i>y</i>₅+2=0

=0 <i>⇔</i>

{

<i>x</i>=5

<i>y</i>=7

3

VËy P min = 2004 t¹i

{

<i>x</i>=5

<i>y</i>=7

3

<b>đề thi học sinh gii cp tnh</b>

Môn : Toán 6

Thời gian: 150 phút
<b>Câu1: (2điểm) </b>

Tính bằng cách hợp lý nhất
a) p = 1

20 +
1
30 +

1
42 +

1
56 +

1
72 +

1
90 +

1
110 +

1
132 +

1
156

b) Q = 18 .123+9. 4567 . 2+3 .5310 . 6

1+4+7+10+⋯+52+55+58<i>−</i>490 . 10
<b>Câu2: (2 điểm)</b>

a) cho phân số 537

463 hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số trừ đi số đó

và lấy mẫu số cộng với số đó thì đợc một phân số bằng 1

9

b) t×m x biÕt :

360 : [41 - (2x-5)] =22_.5

<b>Câu 3: (2đ)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

b) chøng minh 88₊₂20 ⋮ ₁₇

<b>Câu4: Trên đờng thẳng xy ta lấy một điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ </b>
tia Om và On

a) kĨ tªn các góc trong hình

b) giả sử góc xOm = 500_{, yOn = 70}0_{h·y chøng tá r»ng tia Om nằm giữa hai tia}

Ox và On. Tia On nằm giữa hai tia Oy và Om.
c) Tính số ®o gãc mOn.

<b>C©u 5: </b>
Cho M = 2<i>!</i>

3<i>!</i>+

2<i>!</i>

4<i>!</i>+

2<i>!</i>

5<i>!</i>+⋯+

2<i>!</i>

<i>n !</i> ( Víi n > 3)

Chøng tá r»ng M < 1

ỏp ỏn

<b>Câu1: (2 điểm)</b>
P = 1

4 . 5+
1
6 . 5+¿

1

6 . 7+¿ ⋯+
1
11. 12+

1
12 .13

= 1

4<i>−</i>
1
5+

1

5<i>−</i>

1
6+

1
6<i>−</i>

1
7+⋯+

1
12 <i>−</i>

1
13

b) Tö sè cña Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310
= 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000
MÉu sè Q = 1 + 4 + 7 + 10....+ 52 + 55 + 58- 49.10
= (1+58)20

2 = 590 - 490 = 100 (v× tõ dÉy 1,4,7...,58 cã 20 sè )

VËy Q = 180 000

100 =1800

<b>C©u 2: (2 điểm) </b>

a) gọi số tự nhiên phải tìm lµ a theo bµi ra
ta cã 537<i>−a</i>

463+<i>a</i> =

1
9

<i>⇒</i> 9( 537 - a ) = (463 + a)
<i>⇒</i> 10a = 4370

a = 437
b) t×m x

360 : [41 - ( 2x -5)] = 22_.5

41 - (2x -5) = 360 : 20
41 - (2x -5) = 18

2x -5 = 41 - 18

2x -5 = 23

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

x = 14
<b>Câu 3: (2 điểm)</b>

a) Ta cã: 3a + 3b ⋮ 17
<i>⇒</i> 10(3a + 2b) ⋮ 17
<i>⇒</i> 10a + 20b ⋮ 17 (1)
mµ 17b ⋮ 17 (2)

<i>⇒</i> (30a + 20b) -17b ⋮ 17
hay (30a + 20b) ⋮ 17

3(10a + b)⋮ 17

17b_⋮17

}

<i>⇒</i>10<i>a</i>+<i>b</i>⋮17 ( §PCM)

b) chøng minh: 88_{+ 2}20 ⋮ ₁₇

ta cã 88_{+ 2}20₌ 23_¿8

¿ + 2

20_{= 2}24_{+ 2}20

= 220₍₂4_{+ 1)}

= 220_.17 ₁₇

câu 4: ( 3 điểm)

a) có 6 góc trong hình vẽ là

góc xOm, góc xOn, gãc xOy, gãc mOn, gãc mOy, gãc nOy
b) ta có xOn + nOy = 1800_{mà nOy =70}0

nên xOn = 1100

Trên nửa mặt phẳng bờ cha tia Ox có hai tia Om vµ On

Mµ xOm < xOn (500_{< 110}0_{) nên tia Om nằm giữa hai tia Ox vµ On}

Ta cã yOm + mox =1800_{mà mOx =50}0

Nên yOm = 1300

Trên nửa mặt phẳng bờ chøa tia Oy cã hai tia On, Om.

Mµ yOn < yOn (700_<1300_{) nên tia On nằm giữa hai tia Oy, Om}

c) tia On n»m gi÷a hai tia Oy, Om.Nªn ta cã yOn + nOm = yOm
hay 700_{+ nOm = 130}0

<i></i> nOm = 600

Câu 5:(1đ)

Ta có M = 2! ( 1

3<i>!</i>+

1
4<i>!</i>+

1
5<i>!</i>+⋯+

1

<i>n !</i>) (n>3)

M < 2 ( 1

3 . 2+
1
4 .3+

1
5. 4+⋯+

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

M < 2 (1

2<i>−</i>
1
3+

1
3<i>−</i>

1
4+⋯+

1

<i>n−</i>1<i>−</i>
1

<i>n</i>)

M < 2 (1

2<i>−</i>
1

<i>n</i>)=1<i>−</i>

2

<i>n</i>

M < 1 (do n > 3) <§PCM>

<b>Họ và tên : Lê xuân hiền </b> <b> thi hc sinh gii cp tnh</b>

<b>Đơn vị : Trêng THCS </b>
NghÜa Trung - ViƯt yªn

<b>Líp</b>: 7 (Năm học 2004 -2005)
<b>Môn: Toán </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Tính giá trị của biểu thức
a) (2 1

6+3
1

4:(<i></i>4
1

6+3

1
7)+7

1
2

b) 2
11

. 13+211. 65

29. 52

<b>Câu 2: (2điểm) </b>

a) Cho x,y <i>Z</i> . Chøng minh r»ng (6x + 11y) ⋮31

Khi vµ chØ khi (x + 7y) ⋮31

b) Chøng minh r»ng ( 89_{- 2}24₎ ⋮ ₇

<b>Câu 3: (2đ)</b>

tìm x,y,z biết <i>x</i>

<i>y</i>+<i>z</i>+1=

<i>y</i>

<i>x</i>+<i>z</i>+2=

<i>z</i>

<i>x</i>+<i>y </i>3=<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>
<b>Câu 4: (3®iĨm)</b>

Cho <i>Δ</i> ABC có 3 góc nhọn, kẻ đờng cao AH ở miền ngoài của <i>Δ</i> ABC, ta vẽ

<i>Δ</i> vuông cân ABE và ACF đề nhận A làm đỉnh góc vng. Kẻ EM và FN cùng
vng góc với đờng thẳng AH ( M,N thuộc AH)

a) chøng minh EM + HC = NH
b) chøng minh r»ng EN // FM
<b>Câu5: (1đ) </b>

cho P = 12

1 . 4 . 7+
12

7 . 4 . 10+
12

7 . 10 .13+⋯+
12

54 .57 . 60

Chøng minh r»ng P < 1

2

Đáp án

<b>Câu 1(2đ).</b>
a) Ta có 21

6+3
1
4=5+

1
6+

1
4=5+

5
12=

65
12

<i></i>41
6+3

1
7=<i></i>

25
6 +

22
7 =<i></i>

43
42
65

12:<i></i>
43
42=

65
12<i>ì</i>

42

<i></i>43=<i></i>
455
86
<i></i>445
86 +
15
2 =
<i>−</i>445
86 +
645
86 =

190
86 =
95
43

b) 2
11_{. 13}

+211. 65

29_{. 52} =

211

(13+65)

29_{.2 . 26} =

211_{. 78}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

= 2
11

. 26 .3

210. 26 =3. 2=6

(0.5)
<b>Câu 2: (2đ)</b>

a) ta có: (6x + 11y)⋮31

31y_⋮31

}

<i>⇒</i> (6x + 42y) ⋮31

<i>⇒</i>6(<i>x</i>+7<i>y</i>)⋮31

<i>⇒(x</i>+7<i>y</i>)⋮31 < v× (6,31) =1> (0.5)

cã (<i>x</i>+7<i>y</i>)⋮31 <i>⇒</i>6(<i>x</i>+7<i>y</i>)⋮31
<i>⇒</i> (6x + 11y) +31y ⋮ 31

<i>⇒</i> (6x + 11y) ⋮ 31 (do 31y ⋮ 31)
VËy (6x + 11y) ⋮ 31 <i>⇔</i> (<i>x</i>+7<i>y</i>)⋮31

(0.5)

b) ) ta cã 89_{- 2}24₌₍₂3₎9_{- 2}24_{= 2}27_{- 2}24 _(0.5)

= 224₍₂3_{-1) = 2}24_.7 ⋮ _{7 (ĐPCM)} _(0.5)

<b>Câu3: ( 2điểm)</b>
Từ đầu bài ta có

<i>x</i>
<i>y</i>+<i>z</i>+1=

<i>y</i>
<i>x</i>+<i>z</i>+2=

<i>z</i>

<i>x</i>+<i>y </i>3=

<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>

2(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>)=<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i> (1)

+) NÕu (x + + y + z) = 0 <i>⇒</i> x = y = z = 0 [do(1)]
(0.5)

+) NÕu (x + + y + z) 0 <i>⇒</i> Tõ(1) <i>x</i>

<i>y</i>+<i>z</i>+1=

<i>y</i>
<i>x</i>+<i>z</i>+2=

<i>z</i>
<i>x</i>+<i>y −</i>3=

1

2=<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>

{

<i>x</i>+<i>y</i>=1

2<i>− z</i>

<i>y</i>+<i>z</i>=1

2<i>− x</i>

<i>x</i>+<i>z</i>=1

2<i>− y</i>

<i>⇒</i>

<i>x</i>

1
2<i>− x</i>+1

=1

2 <i>⇒</i> 3x = 3

2 <i>⇒</i> x=

1
2

(0.5)

<i>⇒</i>

<i>y</i>

1

2<i>− y</i>+2

=1

2 <i>⇒</i> y= 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i>z</i>

1

2<i>− z −</i>3

=1

2 <i>⇒</i> z = - 5

6

VËy +) NÕu (x + y + z) = 0 <i>⇒</i> x = y = z = 0
+) NÕu (x + y + z) 0 <i>⇒</i> x = 1

2 ,y =
5

6 , z =
-5
6

(0.5)
<b>C©u4: (3điểm)</b>

a) ta có F1 = A1 ( góc có cạnh tơng ứng vuông góc) (0.25)

<i></i> <i></i> AFN = <i></i> CAH ( do F1 = A1 ; AF = AC (gt) vµ N = H = 900 )

<i>⇒</i> AN = HC (1)

T¬ng tù: <i>Δ</i> BAH = <i>Δ</i> EAM <i>⇒</i> AH = EM (2) (0.5)

Tõ (1),(2) <i>⇒</i> AN + AH = HC + EM

Hay NH = HC + EM (§PCM) (0.5)

b) Ta cã EM = AH , AH = NF ( do <i>Δ</i> ANC = <i>Δ</i> ANF)
<i>⇒</i> EM = NF <i>⇒</i> <i>Δ</i> EMN = <i>Δ</i> FMN (c.g.c)

(0.5)

<i>⇒</i> M1 = N1 mà M1 , N1 ở vị trí so le trong <i></i> EN // FM (ĐPCM)

(0.5)
<b>Câu5: (1điểm)</b>
Ta có: P = 2( 6

1. 4 . 7+
6

4 . 7 .10+⋯+
6
54 .57 . 60)

= 2( 1

1. 4<i>−</i>
1
4 .7+

1
4 . 7<i>−</i>

1

7 . 10+⋯+
1
54 .57<i>−</i>

1
57. 60)

(0.5)
P = 2( 1

1. 4<i>−</i>
1
57 . 60)=2

854
3420=

427
855<

427
854=

1
2

VËy P < 1

2 (§PCM)

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>

<!--links-->