ON THI HINH HOC VAO CAP 3 CO LOI GIAINH20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TUYỂN TẬP BÀI TẬP HÌNH HỌC - ÔN TUYỂN SINH VÀO 10</b>

<b>NĂM HỌC 2012 - 2013</b>

<b>Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc </b>
nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC
cắt nhau tại N. Chứng minh rằng

1). AC + BD = CD 2). <i>COD</i> 900

3).

2
.

4
<i>AB</i>
<i>AC BD</i>

4). OC // BM
5). AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD 6). MN _AB

6). CM : MN _AB

- c/m : AC // BD
=>

<i>AN</i> <i>AC</i> <i>CM</i>

<i>ND</i> <i>BD</i> <i>MD</i> _{=> MN // AC (đl đảo đl Talet)}

Mà : AC <i>AB</i>

Suy ra đpcm

Hướng dẫn :

1). Chứng minh : AC + BD = CD
- c/m CA = CM và DB = DM
2). c/m :

- OC là phân giác <i>AOM</i> ;OD là phân giác <i>BOM</i>
- <i>AOM MOB</i> 1800

3).
- c/m :

2
2

. .

4
<i>AB</i>
<i>AC BD CM MD OM</i>  

4).
- c/m :

  1

2

<i>AOC</i><i>ABM</i>  <i>AM</i>

5). CM : AB là tiếp tuyến của đ.trịn đường kính CD
Gọi I là trung điểm của CD, mà <i>OCD</i> vuông tại O

=> I là tâm của đường trịn đường kính CD ngoại tiếp <i>OCD</i>
- c/m : OI là đường trung bình của hình thang ABDC => OI 

AB tại điểm O 

 

<i>I</i> , suy ra đpcm

<b>Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kinh BH cắt AB tại D, vẽ </b>
đường trịn (O’) đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng :

1). AD.AB = AE.AC

2). DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
3). Tứ giác BDEC nội tiếp được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1). Áp dụng hệ thức lượng c/m :
- AD.AB = AE.AC (= AH2₎

2).

- c/m : ADHE là HCN

=>_DOI=_HOI(c.c.c);_{EO’I =}_{HO’I (c.c.c)}

3).

- c/m : <i>ADE ECB</i> (<i>BAH</i>)
4).





'

1 1

' . '.

2 2

1 1 1

. .

2 2 2

<i>DEO O</i>

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>OD O E DE</i> <i>OO DE</i>
<i>BC AH</i> <i>S</i>

   

 

 _ _

 

<b>Bài 3 : Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Kẻ các tiếp tuyến AM. AN đến (O) với M, N là các tiếp </b>
điểm; lấy H thuộc dây MN, đường thẳng vng góc OH tại H cắt AM tại E và AN tại F.

1). Chứng minh : H, O, E, M cùng thuộc một đường tròn.
2). Chứng minh tam giác OEF cân.

3). Hạ OI vng góc với MN. Chứng minh OI.OE = OM.OH

1). Chứng minh : H, O, E, M cùng thuộc một đường tròn. <i>(HS </i>
<i>tự chứng minh)</i>

2). Chứng minh tam giác OEF cân.
- c/m : các tứ giác OHEM; OHNF nội tiếp
=> <i>OEH OMH</i>  ; <i>OFH ONH</i>  (1)
- c/m : _{OMN cân =>}<i>ONH</i> <i>OMH</i> ₍₂₎

- Từ (1) và (2) => đpcm

3).Chứng minh OI.OE = OM.OH
- c/m : _{IOM đồng dạng}_HOE

<b>Bài 4 : Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ các tiếp tuyến AB đến (O) với B, C là các tiếp điểm, từ M là </b>
điểm trên cung nhỏ BC hạ MH, MI, MK lần lượt vng góc với BC, AB, AC tại H, I, K

1). Chứng minh các tứ giác BHMI, CHMK nội tiếp;
2). Chứng minh MH2_{= MK.MI}

3). Gọi giao điểm của BM và HI là P; giao điểm của CM và HK là Q. CM: tứ giác MPHQ nội tiếp;
4). Chứng minh : PQ // BC.

1). Chứng minh các tứ giác BHMI, CHMK nội tiếp;(HS tự
chứng minh)

2). Chứng minh MH2_{= MK.MI}

- <i>MIH</i> <i>MBH</i> <i>MCK</i> <i>MHK</i>
- <i>IHM</i> <i>IBM</i> <i>BCM</i> <i>HKM</i>
=> _IMH _{HMK => đpcm}

3). Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp;
- <i>PMQ PHM MHQ</i>   1800
=> <i>PMQ PHQ</i>  1800

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

- <i>MPQ MHQ MCK</i>   <i>MBC</i> => đpcm

Bài 5 : Cho (O;R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp tuyến đó lấy một điểm P sao cho AP>R. Từ
P kẻ tiếp tuyến với (O) tại M.

1). CMR : Tứ giác APMO nội tiếp
2). Chứng minh : BM // OP.

3). Đường thẳng vng góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh OBNP là HBH.

4). Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh ba điểm I;
J; K thẳng hàng.

1). Tứ giác APMO nội tiếp
HS tự chứng minh

2). Chứng minh : BM // OP.
-

  ₍ 1 ₎

2

<i>MBO POA</i>  <i>AOM</i>

=> đpcm
3). Chứng minh OBNP là HBH

- c/m : PO // = BN

4). Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng.

- c/m : <i>JOP JPO</i> (<i>POA</i> )=>JPO cân tại J
=> <i>JK</i> <i>OP</i> (1)

- c/m : I là trực tâm của JPO => <i>JI</i> <i>OP</i> (2)
Từ (1) và (2) => đpcm

<b>Bài 6:Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn ( O; R ), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( C, B ) là hai tiếp </b>
điểm) và các tuyến ADE đến ( O ). Gọi H là trung điểm của DE.

1/ Chứng minh năm điểm A, B, H, O,C cùng thuộc đường tròn;
2/ Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC;

3/ DE cắt BC tại I. Chứng minh AB2_{= AI. AH;}
4/ Cho AB = R 3 ; OH = 2

<i>R</i>

. Tính IH theo R.

a).

- c/m : <i>OHA</i> 900

Khi đó : <i>OHA OBA OCA</i>   900
=> A;B;H;O;C thuộc đường trịn đkính OA
b).

- c/m : <i>AB AC</i>  <i>AB AC</i>  <i>AHB AHC</i>
c). Gọi K là giao điểm của OA và BC

- c/m : Tứ giác OKIH nội tiếp
=> <i>AKI</i> <i>AHO g g</i>( . )

- c/m : AI.AH = AK.AO = AB2

d).

- <i>AB R</i> 3;<i>OB R</i>  <i>OA</i>2.<i>R</i>

2 2 15

2

<i>R</i>
<i>AH</i> <i>OA</i> <i>OH</i>

   

Nên :

2 ₃ 2 _{2 15.}

5
15

2

<i>AB</i> <i>R</i> <i>R</i>

<i>AI</i>

<i>AH</i> <i>R</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ), M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn </b>
thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MB.

1/ Chứng minh: DMB là tam giác đều;
2/ Chứng minh: MB + MC = MA;

3/ Chứng minh tứ giác ADOB nội tiếp được;

4/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì điểm D di động trên đường cố định nào?

a). CM : Tam giác DMB đều
- c/m : _{MBD cân có}<i>BDM</i> 600

b). CM : MB + MC = MA
- c/m : MBC = DBA (c.g.c)
- c/m : MB + MC = MD + DA
c). CM : Tứ giác ADOB nội tiếp

- c/m : <i>ADB AOB</i> 1200 và D;O là 2 đỉnh kề của tứ giác
ADOB.

=> A;O;D;B cùng thuộc 1 cung chứa góc 1200_{dựng trên AB=>}

Tứ giác ADOB nội tiếp
d).

- Ta có : <i>ADB</i>1200 Mà AB cố định
=> D thuộc cung chứa góc 1200_{dựng trên AB}

- Do : <i>M</i>  <i>B</i> <i>D B</i> và <i>M</i>  <i>C</i> <i>D</i><i>A</i>

Vậy khi M di động thì D di chuyển trên cung <i>AOB</i> chứa góc
1200_{dựng trên dây AB}

<b>Bài 8: Cho đường tròn ( O ; R ) và dây BC, sao cho </b><i>BOC</i> 1200_{. Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) cắt}
nhau tại A.

1/ Chứng minh <i>ABC</i>_{đều. Tính diện tích tam giác ABC theo R;}

2/ Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Tính chu vi

<i>AEF</i>

 _{theo R;}

3/ Tính số đo của EOF ;

4/ OE, OF cắt BC lần lượt tại H, K. Chứng minh FH _{OE và ba đường thẳng FH, EK, OM đồng quy.}

a). CM : <i>ABC</i> đều, tính <i>SABC</i> ?

- c/m : <i>ABC</i> cân tại A có <i>BAC</i> 600
- Khi đó : <i>AB OB tgAOB R</i> .  . 3

Nên :

2 0 2

1 1

. . .sin

2 2

1 3 3

.3 .sin 60

2 4

<i>ABC</i>

<i>S</i> <i>BC AI</i> <i>BC AB</i> <i>IBA</i>

<i>R</i> <i>R</i>

 

 

b). Tính <i>EOF</i> ?

   



_

 

_

0

1 1

/ : ;

2 2

1

60
2

<i>c m EOM</i> <i>BOM MOF</i> <i>MOC</i>

<i>EOF</i> <i>BOM MOC</i>

  

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

- <i>HOF</i> <i>HCF</i> 600, nên HOCF nội tiếp
=> <i>HOF</i> <i>HCF</i> 900, nên <i>FH</i> <i>OE</i>
- c/m : BOKE nội tiếp => <i>EK</i> <i>OF</i>

Khi đó : OM; FH; EK là 3 đường cao của <i>OEF</i>
=>OM; FH;EK đồng quy tại trực tâm của <i>OEF</i>

<b>Bài 9: Cho đường trịn (O;R) có hai đường kính cố định vng góc AB và CD.</b>
1/ Chứng minh ACBD là hình vng;

2/ Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ <i>BC</i>( E khác B và C ). Trên tia đối của tia EA lấy điểm M sao
cho EM = EB. Chứng minh ED là phân giác của góc AEB và ED // MB

3/ Chứng minh CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm
và bán kính theo R.

a). CM : ACBD là hình vng

- c/m : ACBD là HBH (vì OA = OB = OC = OD)
Mà : <i>AB CD</i> tại O

=> đpcm

b). CM : ED là p.giác của <i>AEB</i> và ED // MB

- c/m :

<i>_{AED DEB}</i>

_

₄₅0

_

 

- c/m : <i>EBM</i> vuông cân tại E
=>

 

_

₄₅0

_

<i>EBM</i> <i>DEB</i> 

, suy ra đpcm

c). CM : CE là trung trực BM và M di chuyển trên đường tròn
mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R.

- c/m :

 

_

₁₃₅0

_

<i>CEM</i> <i>CEB</i> 

=> <i>CEM</i> <i>CEB c g c</i>( . . )

=> CM = CB , mà EM = EB (cmt),Suy ra đpcm
- c/m : CM = CB = CA

Mà CB và CA cố định

=> M thuộc đường tròn (C; CA)

<b>Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R ) và (O</b>/_{; r ) cắt nhau tại A và B ( với R>r và tâm của đường trịn nầy nằm}
ngồi đường trịn kia ). Đường thẳng OA cắt (O) tại C và cắt ( O/ _{) tại E. Đường thẳng AO}/_{cắt (O}/_{) tại F và}
cắt ( O ) tại D. Chứng minh rằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a). CM : CDEF; ODEO’ nội tiếp

- c/m : <i>CDF CEF</i>  900=> CDEF nội tiếp
- c/m : OO’ // CF =>

 _'  _'

_



_

<i>EOO</i> <i>EDO</i> <i>ECF</i>
=> ODEO’ nội tiếp

b). CM : A là tâm của ngoại tiếp <i>BDE</i>

- c/m : C; B; F thẳng hàng, nên BACD; ABFE là các tứ giác nội
tiếp. khi đó :

+

 

_



_

<i>EDA EDB</i> <i>ECF</i>

=> DA là phân giác <i>EDB</i>
+

 

_



_

<i>DEA AEB</i> <i>CFD</i>

=> EA là phân giác <i>DEB</i>
=> đpcm

c). CM : CD; EF; AB đồng quy
Gọi K là giao điểm của CD và EF

- c/m : A là trực tâm của <i>KCF</i> => <i>KA CF</i>
Mà : <i>AB CF</i>

Nên B; A; K thẳng hàng => đpcm

<b>Bài 11: Cho đương trịn ( O; R ) và đường kính AB ; CD vng góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung </b>
nhỏ BC.

a). Chứng minh tứ giác ACBD là hình vng;

b). AM cắt CD lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. Chứng minh IB.IC=IA . IM ;
c). Chứng minh JI là tia phân giác của góc CJM;

d) Tính diện tích tam giác AID theo R.

a). CM : ACBD là hình vng

- c/m : <i>OA OC OB OD AC</i>   ; <i>BD</i>tại O
b). CM : IB.IC = IA.IM

- c/m : <i>ACI</i> <i>BMI</i>_(g.g)

c). CM : JI là phân giác góc CJM

- c/m : <i>IMJ</i> <i>IBJ</i> 450, nên BMIJ nội tiếp
=> <i>IMB IJB</i>  900, suy ra IJ // CD
- Khi đó : <i>MJI</i> <i>JDC</i><i>JCD IJC</i>
=> JI là phân giác góc CJM

d). Tính <i>SAID</i>

2

1 1 1

.

2 2 2

<i>IAD</i> <i>CAD</i> <i>ACBD</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>  <i>AB CD</i> <i>R</i>

    _ _

 

<b>Bài 12: Cho đường tròn tâm O, từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn ( O ), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với </b>
đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm ). Kẻ dây CD song song với AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại
E.

a). Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp;

b). Chứng tỏ AB2_{= AE . AD}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a). CM : Tứ giác ABOC nội tiếp (HS tự c/m)
b). CM : AB2_{= AE.AD}

- c/m : <i>ABE</i> <i>ADB</i>_(g.g)

c). CM : <i>AOC</i> <i>ACB</i> và <i>BDC</i> cân
- c/m : <i>AOC</i><i>ACB</i>



1

2<i>BOC</i>

 



 

 

- c/m :

 

_



_

<i>BCD BDC</i> <i>CBA</i>

=> <i>BDC</i> cân
d). CM : IA = IB

- c/m :IB2_{= IE.IC (1)}

-

 

_



_

<i>IAE ICA</i> <i>EDC</i>

=> <i>IAE</i> <i>ICA</i>_(g.g)

=> IA2_{= IE.IC (2); từ (1) và (2) => đpcm}

<b>Bài 13: Cho nửa đường trịn ( O ) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường trịn.</b>
Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vng góc với MN
tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.

a) Chứng minh <i>AMN</i><i>BMC</i>
b) Chứng minh : <i>ANM</i> <i>BMC</i>_;

c) DN cắt AM tại E và CN cắt MB tại F. Chứng minh rằng EF_Ax,
d) Chứng tỏ M cũng là trung điểm của DC.

a). CM: <i>AMN</i> <i>BMC</i>

- c/m : <i>AMN</i> <i>BMC</i> (cùng phụ với <i>NMB</i> )
b). CM : <i>ANM</i> <i>BMC</i>

- c/m : AM = MB ; <i>MAN</i> <i>MBC</i> ;<i>AMN</i> <i>BMC</i>
c). CM : <i>EF</i> <i>Ax</i>

- c/m : Các tứ giác ADMN; BCMN nội tiếp

=><i>AMN</i> <i>ADN</i> ; <i>BMC BNC</i> , mà <i>AMN</i> <i>BMC</i>
=> <i>ADN</i> <i>BNC</i> => <i>AND BNC</i> 900

Khi đó : <i>EMF ENF</i>  1800
=> Tứ giác MENF nội tiếp
=> <i>EMN</i> <i>EFN CNB</i> 
=> EF // NB hay EF //AB
Mà AB _Ax

=> đpcm

d). CM : M là trung điểm DC
- c/m : <i>NDC</i> vng cân tại N

<b>Bài 14: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB tại O cắt nửa đường </b>
tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.

a/ Chứng minh tam giác ABI vuông cân;

b/ Lấy D là một điểm trên cung nhỏ BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. CMR : AC.AI = AD. AJ;
c/ Chứng minh tứ giác JDCI nội tiếp được;

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

a). CM : _{ABI vng cân}

- c/m : _{vng ABI có}

 1 ₄₅0

2

<i>IAB</i> <i>COB</i>

b). CMR : AC.AI = AD. AJ
- c/m :

 

_

₄₅0

_

<i>CDA AIJ</i> 

=> <i>ACD</i> <i>AJI</i> (g.g)
c). CM : JDCI nội tiếp (HS tự cm)
d). CM : AK qua trung điểm M của DH

- c/m : <i>KDB</i>_{cân tại K, nên :}<i>KDB KBD</i>

Mà : <i>KDB KDJ</i> 90 ;0 <i>KBD DJB</i>  900
=> <i>KDJ</i> <i>KJD</i> , nên <i>KDJ</i> cân tại K
Khi đó : KJ = KD = KB (1)

- Mặt khác : Do DH // BJ (cùng vng góc với AB)
=>

<i>DM</i> <i>AM</i> <i>MH</i>
<i>JK</i> <i>AK</i> <i>KB</i> ₍₂₎

Từ (1) và (2) => đpcm

<b>Bài 15: Cho đường trịn ( O ) và hai đường kính AB; CD vng góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường </b>
thẳng AN cắt đường tròn ( O ) tại M.

a/ Chứng minh tứ giác NMBO nội tiếp được;

b/ CD và đường thẳng MB cắt nhau tại E. Chứng minh MC và MD là phân giác góc trong và góc ngồi
của góc AMB;

c/ Chứng minh hệ thức AM .DN = AC.DM;

d/ Nếu ON = MN. Chứng minh <i>MOB</i>_{là tam giác đều.}

a). CM : NMBO nội tiếp (HS tự cm)

b). CM : MC; MD là phân giác góc trong và góc ngồi <i>AMB</i>
- c/m : <i>BMD DMA AMC CMI</i>    450

c). CM : AM.DN = AC.DM

-c/m : <i>ACM</i> <i>DNM</i> (g.g)

d). Nếu ON = MN. CMR : <i>MOB</i> là tam giác đều.
- c/m : _{vuông OBN =}_{vuông MBN (CH-CGV)}

=> MB = OB = OM ( = bán kính)
Suy ra đpcm

<b>Bài 16:Cho đường trịn ( O ) đường kính AB và d là tiếp tuyến của ( O ) tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình </b>
chiếu của A và B lên đường thẳng d.

a/ Chứng minh CD = CE; b/ AD + BE = AB

c/ Vẽ đường cao CH của tam giác ABC. Chứng minh AH = AD và BH = BE;
d/ Chứng tỏ rằng CH 2_{= AD. BE;}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

a). Chứng minh CD = CE;

- c/m : AD // OC // BE ( cùng  DE)
Nên ABED là hình thang, mà OA = OB
=> CD = CE

<i>(đt qua trung điểm 1 cạnh bên và // với 2 đáy)</i>

b). CM : AD + BE = AB

- c/m : CO là đường trung bình của h.thangABED
=> AD + BE = 2.OC = AB

c). Chứng minh AH = AD và BH = BE;
- c/m :

 

_



_

<i>DCA ACH</i> <i>ABC</i>

=> _{vuông DAC =}_{vuông HAC (CH-GN)}

Suy ra : AH = AH

- c/m : tương tự _{vuông HBC và}_{vuông EBC}

d). CM : CH 2_{= AD. BE}

- c/m : CH2_{= AH.HB = AD.BE}

e). CM : DH // CB
- c/m : ADCH nội tiếp
=>

<i>_{AHD ABC}</i>_

_

_<i>_DCA</i>

_

, mà <i>AHD ABC</i>; đồng vị
Suy ra đpcm

<b>Bài 17: Cho nửa đường tròn ( O ) đường kinh AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, trên AB lấy điểm C sao </b>
cho AC < CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn, đường thẳng qua M và vng góc với MC
cắt Ax tại P; đường thẳng qua C và vng góc CP cắt Py tại Q. Gọi D là giao điểm của CP và AM; E là giao
điểm của CQ và BM; chứng minh rằng:

a) Tứ giác ACMP nội tiếp được;
b) AB song song với DE;

c) Ba điểm M, P, Q thẳng hàng.

a). CM : Tứ giác ACMP nội tiếp (HS tự cm)
b). CM : AB // DE

- cm : CEMD nội tiếp

=> <i>MED MCD MAP MBA</i>   
Mà <i>MED MBA</i> ; là 2 góc đồng vị => đpcm
c). CM : M, P, Q thẳng hàng

- c/m : <i>MCQ MDE MAB MBQ</i>  
=> BQMC nội tiếp

=> <i>CMQ BCQ</i>  900

=> <i>MQ</i><i>MC</i> tại M, mà <i>MP</i><i>MC</i>tại M
=> đpcm

<b>Bài 18 : Cho nửa đường trong ( O ) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa </b>
mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax, tia BM cắt Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa
đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K.

a) Chứng minh IA2_{= IM.IB}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

a). CM : IA2_{= IM.IB}

- c/m : <i>AIM</i> <i>BIM</i>_(g.g)

b). Chứng minh : tam giác BAF cân;
- c/m : <i>MBE MAE EAI</i>  <i>EBA</i>
=> BE là phân giác góc ABF

Mà : <i>BE</i><i>AF</i>

Nên BE là phân giác và cũng là đ/cao của <i>BAF</i>

Suy ra đpcm

c). Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi
- c/m : Do _{BAF cân tại B ; BE là p.giác …}

Nmà H; K <i>BE</i> là trung trực của AF
=> HA = HF ; KA = KF (1)

- _{AKH có AE là p.giác cũng là đường cao}

=> _{AKH cân tại A , suy ra : AH = AK (2)}

Từ (1) và (2) => đpcm

d). Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp.
- c/m : K là trực tâm của _BAF

=> KF  AB , nên KF // AI ( cùng  AB)
Suy ra : <i>MFK MIA</i> 

- Khi đó : Để tứ giác AKFI nội tiếp

  

<i>MFK</i> <i>IAK</i> <i>AIF</i>

  

<i>_AIF</i> <i>_IAK</i> ₄₅0

   _(do<i>IMA AMB</i> 900₎

<=> <i>Sd AM</i> 900hay M là điểm chính giữa <i>AB</i>

<b>B 19: Cho tam giác ABC có </b><i>A</i> = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm
A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH và nửa đường trịn đường kính HC. Hai nửa đường trịn này cắt AB
và AC tại E và F. Giao điểm của FH và AH là O. Chứng minh:

a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;
b) Tứ giác BEFC nội tiếp được

c) FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường trịn.

a). Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;

- c/m : <i>BEH</i> 90 ;0 <i>HEC</i>900(gnt chắn ½ đ.trịn)
=> <i>EAF</i> <i>AEH</i> <i>AFH</i> 900, suy ra đpcm
b). Tứ giác BEFC nội tiếp được

- c/m :

 

_



_

<i>AEF</i> <i>FCB</i> <i>AHF</i>

c). FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Gọi I, Q lần lượt là tâm của hai nửa đường tròn

- c/m : <i>OEI</i> <i>OHI c c c</i>



. . ;



<i>OFQ</i><i>OHQ c c c</i>



. .



=> <i>OEI OHI</i>  90 ;0 <i>OFQ OHQ</i>  900

=> <i>FE</i><i>EI</i>_{tại E;}<i>EF</i><i>FQ</i>_{tại F}

Mà : <i>E</i>

 

<i>I F</i>; 

 

<i>Q</i>
Suy ra : EF là tiếp tuyến chung

<b>Bài 20: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung </b>
AB; AC. Gọi giao điểm của DE với AB và AC theo thứ tự là H và K.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

b) Gọi I là giao điểm của BE với CD. Chứng minh AI _DE.
c) Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp đường tròn;

d) Chứng minh IK song song với AB.

a). Chứng minh tam giác AHK cân;
- c/m :

 

_

  _; 

_

<i>AHK</i> <i>AKH Do AD DB AE EC</i> 

b). Chứng minh AI _DE.

- c/m : BI là phân giác <i>ABC</i>; CI là phân giác <i>ACB</i>
=> I là giao điểm các đường phân giác của <i>ABC</i>
=> AI là phân giác <i>CAB</i> hay AI là phân giác <i>HAK</i>
Mà : <i>AHK</i>_{cân tại A, suy ra đpcm}

c). Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp đường tròn;
- c/m :

 

_

  _; 

_

<i>EKC EIC Do AD DB AE EC</i>  

Suy ra đpcm

d). Chứng minh IK song song với AB.
- c/m :

 

_



_

<i>IKC BAC</i> <i>BEC</i>
Suy ra đpcm

<b>Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). Tiếp tuyến tại B và tại C của đường tròn cắt nhau </b>
tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn tại E và F, cắt AC tại I ( E
nằm trên cung nhỏ BC )

a) Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp được;
b) Chứng minh DC2_{= DE.DF}

c) Chứng minh tứ giác DOIC nội tiếp được trong đường tròn.
d) Chứng tỏ I là trung điểm của EF.

a). Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp được;
(HS tự cm)

b). Chứng minh DC2_{= DE.DF}

- c/m : <i>DCE</i> <i>DFC</i> (g.g) => đpcm
c). Chứng minh tứ giác DOIC nội tiếp
- c/m :

   1

2

<i>DIC</i><i>DOC BAC</i> _ <i>BOC</i>_

 

Mà : O; I là hai đỉnh kề của tứ giác DOIC
=> O; I cùng một cung chứa góc dựng trên DC
=> đpcm .

d). Chứng tỏ I là trung điểm của EF.
- c/m : <i>OIC ODC</i>  900

=> <i>OI</i> <i>EF</i> tại I => IE = IF (đpcm)

<b>Bài 22: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường trịn ( O ) đường kính BC, đường tròn này cắt AB và </b>
AC lần lượt ở D và E; BE và CD cắt nhau tại H

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

c) AH kéo dài cắt BC tại F. Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp _DEF
d) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng : IE là tiếp tuyến của (O).

a). Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được;
(HS tự cm)

b). Chứng minh AE.AC = AB.AD
- c/m : cos

<i>AE</i> <i>AD</i>
<i>A</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

 

=> đpcm

c). Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp _DEF

- c/m : các tứ giác BDHF; CEHF nội tiếp
=>

 

_



_

<i>EDC CDF</i> <i>EBC</i>
;

 

_



_

<i>DEB BEF</i> <i>BCD</i>
=> DC là phân giác <i>EDF</i> ; EB là phân giác <i>DEF</i>
=> H là giao điểm các đường phân giác của <i>DEF</i>

Suy ra đpcm

d). Chứng minh rằng : IE là tiếp tuyến của (O).
- c/m : <i>IAE</i>_{cân tại I;}<i>OBE</i>_{cân tại O}

=> <i>EAI</i> <i>IEA</i> ; <i>EBO OBE</i> 
Mà : <i>EAI</i> <i>EBO</i> ( cùng phụ với <i>C</i> )
Suy ra <i>AEI</i><i>BEO</i>

Lại có : <i>AEI IEB</i> 900

=> <i>OBE IEB</i>  900 hay <i>IEO</i> 900
=> <i>IE</i><i>OE</i> tại E

 

<i>O</i>

Suy ra đpcm

<b>Bài 23 : Cho đường tròn (O,15cm), dây BC = 24cm. Các tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại B và C cắt </b>
nhau tại A.

a). Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b). OA cắt dây BC tại H. Tính độ dài AH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a). Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
HS tự chứng minh

b). Tính AH

- c/m : BC _{OA và tính BH; OH}

- Tính AH theo hệ thức <i>BH</i>2 <i>OH HA</i>.
c). Chứng minh OMN là tam giác cân
- c/m : <i>OBN</i> <i>OCM c g c</i>



. .



<b>Bài 24 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên HC lấy M sao cho MH = HB, vẽ </b>
đường trịn đường kính MC cắt AC ở E, kẽ AM cắt đường tròn tại D.

a). Chứng minh tứ giác AHDC nội tiếp được một đường tròn.
b). Chứng minh : CB là tia phân giác của góc ACD.

c). AH cắt CD tại I. Chứng minh : AD, CH, IE đồng qui tại M.

a). Chứng minh tứ giác AHDC nội tiếp
HS tự chứng minh

b). Chứng minh : CB là tia phân giác của góc ACD.
- c/m : <i>ABM</i> _{cân tại A =>}<i>BAH</i> <i>HAM</i>

- c/m : <i>ACB BAH</i> <i>HAM</i> <i>BCD</i>
=> đpcm

c). Chứng minh : AD, CH, IE đồng qui tại M.
- c/m : AD; CH là 2 đường cao cắt nhau tại M (1)
=> M là trực tâm của <i>IAC</i>=> <i>IM</i> <i>AC</i>
Mà : <i>MEC</i>900 <i>IM</i> <i>AC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Bài 25 : Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm D trên cạnh AB sao cho BD > DA. Vẽ đường trịn (O) </b>
đường kính BD cắt BC tại E và CD tại F.Chứng minh

1). Các tứ giác ADEC; ACBF nội tiếp một đường tròn.
2). BD.BA = BE. BC

3). Gọi G là giao điểm của AE với đường tròn (O). Chứng minh : AB _FG.

4). CA; ED; BE đồng quy tại một điểm

a). CM : Các tứ giác ADEC; ACBF nội tiếp

<i>HS tự chứng minh</i>

b). CM : BD.BA = BE. BC

- cm : <i>ABC</i> <i>EBD</i> => đpcm
c). CM : AB _FG

- cm :

 

_



_

<i>ACD CFG</i> <i>AED</i>

=> AC // FG
Mà : AC  AB, suy ra đpcm

d). CA; ED; BE đồng quy tại một điểm
Gọi K là giao điểm của CA và BF

</div>

<!--links-->