Phuong trinh Elip

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
Lý thuyết:
1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 .
Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a.
• Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của Elíp.
• Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của Elíp.
2. Phương trình chính tắc của Elip
(E):

x2
a2

+

y2
b2

=1

(1)

• Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) với c = a2 − b2 hay a2 = b2 + c2
• M(x; y)(E): MF1 + MF2 = 2a
3. Hình dạng Elip

• Elip (1) nhận trục hoành, trục tung làm trục đối xứng, gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• (E) cắt trục hồnh tại A1 (-a; 0), A2 (a; 0)
•

đoạn thẳng A1 A2 gọi là trục lớn của (E), độ dài trục lớn A1 A2 = 2a .

• (E) cắt trục tung tại B1 (0; -b); B2 (0; b)
•

đoạn thẳng B1 B2 gọi là trục nhỏ của (E), độ dài trục nhỏ B1 B2 = 2b

• Bốn điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E).
4. Liên hệ giữa đường trịn và đường elip:
a) Từ hệ thức b2 = a 2 − c 2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là
trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.


b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình
x2 + y 2 = a2

Với mỗi điểm M(x ; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’ ; y’) sao cho
x ' = x

b

 y ' = a y

(0  b  a)

x '2 y '2
thì tập hợp các điểm M' có toạ độ thoả mãn phương trình 2 + 2 = 1 là một elip (E).
a
b

Khi đó ta nói đường trịn (C) được co thành elip (E).


BÀI TẬP
CHO PHƯƠNG TRÌNH ELIP, HỎI CÁC THƠNG SỐ
2
x
y2
Câu 1. Elip ( E ) : +
= 1 có độ dài trục lớn bằng:
25 9
A. 5.
B. 10.
C. 25.
D. 50.
Câu 2. Elip ( E ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 1 có độ dài trục lớn bằng:
C. 1.

B. 4.

A. 2.

D.

1
.
2

Câu 3. Elip ( E ) : x 2 + 5 y 2 = 25 có độ dài trục lớn bằng:
A. 1.

Câu 4. Elip
A. 8.
Câu 5. Elip
A. 5.
Câu 6. Elip
A.3.
Câu 7. Elip
A.

B. 2.
C. 5.
D. 10.
2
2
x
y
( E ) : + = 1 có độ dài trục bé bằng:
100 64
B. 10.
C. 16.
D. 20.
2
x
( E ) : + y 2 = 4 có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng:
16
B. 10.
C. 20.
D. 40.
x2 y 2
( E ) : + = 1 có tiêu cự bằng:

25 16
B. 6.
C. 9.
D. 18.
2
2
x
y
( E ) : + = 1 có tiêu cự bằng:
9
4

Câu 8. Elip ( E ) :

A. (100;0 ) .

C. p 2 − q 2 .

B. p − q .

D. 2 p 2 − q 2 .

x2 y 2
+
= 1 có một đỉnh nằm trên trục lớn là:
100 36
B. ( −100;0 ) .
C. ( 0;10 ) .
D. ( −10;0 ) .

Câu 10. Elip ( E ) :
A. ( 4;0 ) .
Câu 11. Elip ( E ) :
A. ( 0;3) .

D. 2 5.

x2 y 2
+
= 1 , với p  q  0 có tiêu cự bằng:
p2 q2

A. p + q .
Câu 9. Elip ( E ) :

C. 10.

B. 5.

5.

x2 y 2
+
= 1 có một đỉnh nằm trên trục bé là:
16 12
B. ( 0;12 ) .

(

)

C. 0;2 3 .

D. ( 4;0 ) .

x2 y 2
+
= 1 có một tiêu điểm là:
9
6

(

)

B. 0 ; 6 .

(

)

C. − 3;0 .

D. ( 3;0 ) .

x2 y 2
= 1?
Câu 12. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip ( E ) : +
5
4

A. F1 ( −1;0 ) và F2 (1;0 ) .
B. F1 ( −3;0 ) và F2 ( 3;0 ) .
C. F1 ( 0; −1) và F2 ( 0;1) .

D. F1 ( −2;0 ) và F2 ( 2;0 ) .


LẬP PHƯƠNG TRÌNH ELIP
Câu 1. Phương trình của elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
A. 9 x 2 + 16 y 2 = 144.

B. 9 x2 + 16 y 2 = 1.

x2 y 2
x2 y 2
D.
+
+
= 1.
= 1.
64 36
9 16
Câu 2. Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
A.
+
−

+
+
= 1. D.
= 1. B.
= 1.
= 1. C.
100 81
25 9
25 16
25 16
Câu 3. Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm F ( −3;0 ) . Phương trình chính tắc của elip
C.

là:

x2 y 2
A.
+
= 1.
25 9

x2 y 2
B.
+
= 1.
100 16

x2 y 2
x2 y 2
C.

+
+
= 1.
= 1. D.
100 81
25 16

Câu 4. Elip có độ dài trục nhỏ là 4 6 và có một tiêu điểm F ( 5;0 ) . Phương trình chính tắc của
elip là:

x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
+
+
+
+
= 1. D.
= 1.
= 1.
= 1. C.
B.
121 96
101 96
49 24
29 24
Câu 5. Elip có một đỉnh là A ( 5;0 ) và có một tiêu điểm F1 ( −4;0 ) . Phương trình chính tắc của elip là:
A.

x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x y
+
+
+
= 1.
= 1. B.
= 1. D. + = 1.
A.
C.
5 4
25 16
25 9
5
4
Câu 6. Elip có hai đỉnh là ( −3;0 ) ; ( 3;0 ) và có hai tiêu điểm là ( −1;0 ) ; (1;0 ) . Phương trình chính
tắc của elip là:

x2 y 2
x2 y 2
+
+
= 1. B.
= 1.
A.
8
9
1

9

x2 y 2
+
= 1.
C.
9
8

x2 y 2
+
= 1.
D.
1
9

Câu 7. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3
.

x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
+ = 1. B.
+ = 1.
+
+
= 1. C.
= 1. D.
A.

16 4
36 9
36 24
24 16
Câu 8. Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ
dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
+
= 1. D.
+
+
+
= 1.
= 1.
= 1. C.
A.
B.
100 64
64 60
25 9
9
1
Câu 9. Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng
tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 .
A.

x2 y 2

x2 y 2
+
+
= 1. B.
= 1.
12 8
8 12

C.

x2 y 2
+
= 1.
12 4

D.

2,

x2 y 2
+
= 1.
8
4

Câu 10. Elip có một tiêu điểm F ( −2;0 ) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 . Phương
trình chính tắc của elip là:
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2

x2 y 2
+
= 1. B.
+
= 1. C.
+
= 1. D.
+
= 1.
A.
9
5
36 20
144 5
45 16
Câu 11. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự với


12
.
13
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
A.
+
+
+
+

= 1. B.
= 1. D.
= 1. C.
= 1.
169 25
169 5
52 25
26 25
Câu 12. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với
1
độ dài trục lớn bằng .
3
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
A.
+ = 1. B.
+ = 1.
+
+
= 1. C.
= 1. D.
9
6
9 8
9 3
5
5
CÂU HỎI VẬN DỤNG

độ dài trục lớn bằng

Câu 1. Cho elip

E :

x2
a2

y2
b2

1

với

mệnh đề nào đúng?
A. c 2 a 2 b 2 . B. b 2 a 2 c 2 .
Câu 2. Cho elip có hai tiêu điểm
mệnh đề nào đúng?
A. 2a F1 F2 .
B. 2a F1 F2 .
Câu 3. Cho elip

E :

x2
25

y2
9

1.

a

b

0.

Gọi

2c

là tiêu cự của

E

. Trong các mệnh đề sau,

C. a 2 b 2 c 2 .
D. c a b.
F1 , F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a . Trong các mệnh đề sau,
C.

2a

Hai điểm

F1 F2 .

A, B

D.

4a

F1 F2 .

là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục

Ox

, Oy . Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 34. B. 34.
Câu 4. Một elip
bằng:
A.

e

C. 5.
D. 136.
E có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số

1
.
3

B.

Câu 5. Một elip
e

e

2
.
3

C.

e

3
.
3

D.

e

e

của tiêu cự với độ dài trục lớn
2 2
.
3

có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp

E

3
2

lần tiêu cự của nó. Tỉ số

của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A.

e

5
.
5

B.

Câu 6. Cho điểm

e

2
.
5

C.

e

3
.
5

D.

e

2
.
5

nằm trên đường elip

E

có phương trình chính tắc:

các điểm sau đây điểm nào không nằm trên

E

:

A.

M1

2;3 .

Câu 7. Cho elip

M 2;3

B.
E :

M 2 2; 3 .

x2
a2

y2
b2

1.

C.

M3

2; 3 .

D.

E

không có trục đối xứng.

B.

E

có một trục đối xứng là trục hồnh.

C.

E

có hai trục đối xứng là trục hồnh và trục tung.

D.

E

có vơ số trục đối xứng.
E :

x2
a2

y2
b2

1.

Trong

Khẳng định nào sau đây là đúng?

E

khơng có tâm đối xứng.

B.

E

có đúng một tâm đối xứng.

C.

E

có hai tâm đối xứng.

D.

E

có vơ số tâm đối xứng.

E

1.

M 4 3;2 .

A.

Câu 9. Elip

y2
b2

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Câu 8. Cho elip

x2
a2

có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số

e

của tiêu cự với độ dài trục lớn của

E


bằng:
A.

e

1.

2

e

B.

.

C.

e

1
2

.

D.

e

1
.
3

Câu 10. Elip E có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vng. Tỉ
số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của E bằng:

A.

e

1.

2

e

B.

.

C.

e

1
2

.

D.

e

1
.
3

Câu 11. Elip E có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip
cùng nằm trên một đường tròn. Độ dài trục nhỏ của E bằng:
A.

2.

Câu 12. Cho elip
A. 3 OM 4.
Câu 13. Cho elip

B.
2

E :

2

x
16

y
9

1

E :

C.

2

x
y
+
169 144

C.

1

Câu 14. Cho elip

E :

2

x
y
+
16 12

1

D.
E

16.

. Khi đó:

D. OM 3.

5.

OM

và điểm M nằm trên

khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:
A. 10 và 6.
B. 8 và 18.
C. 13
2

8.

và M là một điểm tùy ý trên

B. 4 OM 5.
2

4.

5.

và điểm M nằm trên

E

. Nếu M có hồnh độ bằng

thì

10 .

D. 13
E

13

. Nếu M có hồnh độ bằng 1 thì khoảng

cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:
A. 3,5 và 4,5 . B.

3

và 5 .

C.

4

2

Câu 15. Cho elip có phương trình 16 x 2 25 y 2
elip có hồnh độ bằng 2 đến hai tiêu điểm.
A. 3.
B. 2 2.

C. 5 .

.

D.
100 .

4

2
2

.

Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc
D.

4 3.