CacchuyendeBoiduonghocsinhgioiToanlop7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (653.87 KB, 84 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:

a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
c)

( 1)
2

n n

d) 1+n2

e) n(n+5)

f) (3n-2)(3n+1)
g)

( 3)

n n

( 1)( 2)
2

n n

 

( 1)( 2)
3
n n n

Bài 2: Tính:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2

b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101

A = 333300
Tổng quát:

A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3

Bài 3: Tính:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hướng dẫn:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250

Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2

A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:

A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900

A = 343200
Bài 5: Tính:

A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:

2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
A= 666600

Bài 6: Tính:

A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:

2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2

A= 166650
Bài 7: Tính:

A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:

2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2

A = 169125
Bài 8: Tính:

A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:

2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2

A = 171600
Bài 9: Tính:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101

A = 2449755
Tổng quát:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4

Bài 10: Tính:

A = 12+22+32+...+992+1002

Hướng dẫn:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050

A = 338050
Tổng quát:

A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2

A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6

Bài 11: Tính:

A = 22+42+62+...+982+1002

Hướng dẫn:

A = 22(12+22+32+...+492+502)

Bài 12: Tính:

A = 12+32+52+...+972+992

Hướng dẫn:

A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)

A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)

Bài 13: Tính:

A = 12-22+32-42+...+992-1002

Hướng dẫn:

A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)

Bài 14: Tính:

A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992

Hướng dẫn:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:

A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)

Bài 16: Tính:

A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:

A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)

Bài 17: Tính:

A = 13+23+33+...+993+1003

Hướng dẫn:

A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)

A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)

A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-
98.99+(12+22+32+...+992+1002)

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...

+992+1002)

Bài 18: Tính:

A = 23+43+63+...+983+1003

Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:

A = 13+33+53+...+973+993

Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:

A = 13-23+33-43+...+993-1003

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chuyên đề:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A

.

CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số ab=c

d (hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu ab=c

d thì ad=bc

Tính chất 2: Nếu ad=bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

ab=c

d ,
a
c=

b

d ,
d
b=

c

a ,
d
c=

b
a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức cịn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ ab=c

d suy ra:
a
b=

c
d=

a+c

b+d=

a − c
b− d

-Tính chất trên cịn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
ab=c

d=
e

f suy ra:
a
b=

c
d=

e
f=

a+b+c

b+d+f=

a −b+c

b −d+f =.. .

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số a2=b

c

5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x2=y

3 và x+y=20

Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt x2= y

3=k , suy ra: x=2k , y=3k

Theo giả thiết: x+y=20⇒2k+3k=20⇒5k=20⇒k=4

Do đó: x=2 . 4=8
y=3 . 4=12
KL: x=8, y=12

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x

y

x+y

2+3=

20
5 =4

Do đó: x2=4⇒x=8

3y=4⇒y=12

KL: x=8, y=12

Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết x2=y

3⇒x=
2y

mà x+y=20⇒2y

3 +y=20⇒5y=60⇒ y=12

Do đó: x=2. 12

3 =8

KL: x=8, y=12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x3=y

4 ,

y

z

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải:

Từ giả thiết: x3=y

4⇒

x

y

12 (1)

3y=z

5⇒

y

12=

z

20 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x9= y

12=

z

20 (*)

Ta có: x9= y

12=

z

20=
2x

18 =
3y

36 =

z

20=

2x −3y+z

18−36+20=

6
2=3

Do đó: x9=3⇒x=27

12y =3⇒y=36

20z =3⇒z=60

KL: x=27, y=36, z=60

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x9= y

12=

z

20=k ( sau đó giải như cách 1 của

VD1).

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:

3y=z

5⇒y=
3z

x

y

4⇒x=
3y

4 =
3 .3z

4 =

9z

mà 2x −3y+z=6⇒2 .9z

20 −3.
3z

5 +z=6⇒

z

10=60⇒z=60

Suy ra: y=3 .60

5 =36 , x=
9 .60
20 =27

KL: x=27, y=36, z=60

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: x2=y

5 và x.y=40

Giải:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đặt x2= y

5=k , suy ra x=2k , y=5k

Theo giả thiết: x.y=40⇒2k. 5k=40⇒10k2=40⇒k2=4⇒k=±2

+ Với k=2 ta có: x=2 .2=4

y=5 . 2=10

+ Với k=−2 ta có: x=2 .(−2)=−4

y=5 .(−2)=−10

KL: x=4, y=10 hoặc x=−4, y=−10

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x 0

Nhân cả hai vế của x2=y

5 với x ta được: x

2=
xy

5 =
40

5 =8

⇒⇒xx2=16

=±4

+ Với x=4 ta có 4

y

5⇒ y=
4 . 5

2 =10

+ Với x=−4 ta có −4

2 =

y

5 ⇒y=

−4 .5
2 =−10

KL: x=4, y=10 hoặc x=−4, y=−10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 10x =y

z

21 và 5x+y −2z=28 b)

x

y

4 ,

y

z

7 và

2x+3y − z=124
c) 23x=3y

4 =
4z

5 và x+y+z=49 d)

x

y

3 và xy=54

e) x5=y

3 và x2− y2=4 f)

x
y+z+1=

y
z+x+1=

z

x+y −2=x+y+z

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 10x =y

z

21 và 5x+y −2z=28 b)

x

y

4 ,

y

z

7 và

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) 23x=3y

4 =
4z

5 và x+y+z=49 d)

x

y

3 và xy=54

e) x5=y

3 và x2− y2=4 f)

x
y+z+1=

y

z+x+1=

z

x+y −2=x+y+z

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x=2y ,7y=5z và x − y+z=32 b) x −1

2 =

y −2

3 =

z −3

4 và

2x+3y − z=50

c) 2x=3y=5z và x+y − z=95 d) x

y

z

5 và xyz=810

e) y+xz+1=z+x+2

y =

x+y −3

z =

x+y+z f) 10x=6y và 2x

2− y2
=−28

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x=2y ,7y=5z và x − y+z=32 b) x −1

2 =

y −2

3 =

z −3

4 và
2x+3y − z=50

c) 2x=3y=5z và x+y − z=95 d) x

y

z

5 và xyz=810

e) y+xz+1=z+x+2

y =

x+y −3

z =

x+y+z f) 10x=6y và 2x

2− y2

=−28

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
181+2y=1+4y

24 =

1+6y

6x

Bài 6: Tìm x, y biết rằng:
181+2y=1+4y

24 =

1+6y

6x

Bài 7: Cho a+b+c+d ≠0 và a

b+c+d=

b
a+c+d=

c
a+b+d=

d
a+b+c

Tìm giá trị của: A=a+b

c+d+

b+c

a+d+

c+d

a+b+

d+a

b+c

Giải:

3( ) 3

a b c d a b c d

b c d a c d a b d a b c a b c d
  

    

           ( Vì a+b+c+d ≠0 )

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)

x 7

y 3 và 5x – 2y = 87; b)

x y

19 21 và 2x – y = 34;

3 3 3

x y z

8 64216 và x2 + y2 + z2 = 14. c)

2x 1 3y 2 2x 3y 1

5 7 6x

   

 

Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.

Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :

a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;

b) x + y = x : y = 3.(x – y)

Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.

b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x =
2y.

Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.

Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai

lần tổng của a và b ?

Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:

a b c

, ,

b c c a a b   . Biết a+b+c0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

[

ab(ab−2 cd)+c2d2

]

[

ab(ab−2)+2(ab+1)

]

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Giải: ab ab



 2cd



c d2 2.ab ab



 2



2(ab1) 0

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức: AB=C

D ta thường dùng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C

Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số AB và CD có cùng giá trị.

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:

+) ab=na

nb(n ≠0)

+) ab=c

d⇒

(

a
b

)

n

(

c

d

)

n

Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức ab=c

d .Chứng minh rằng:
a+b

a− b=
c+d

c −d

Giải:

Cách 1: (PP1)

Ta có: (a+b)(c − d)=ac−ad+bc−bd (1)

(a − b)(c+d)=ac+ad−bc−bd (2)

Từ giả thiết: ab=c

d⇒ad=bc (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a+b)(c − d)=(a− b)(c+d)

⇒ a+b

a− b=
c+d

c −d (đpcm)

Cách 2: (PP2)

Đặt ab=c

d=k , suy ra a=bk, c=dk

Ta có: a− ba+b=kb+b

kb−b=

b(k+1)

b(k −1)=

k+1

k −1 (1)

c − dc+d=kd+d

kd− d=

d(k+1)

d(k −1)=

k+1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Từ (1) và (2) suy ra: a− ba+b= c+d

c −d (đpcm)

Cách 3: (PP3)

Từ giả thiết: ab=c

d⇒
a
c=

b
d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

ac=b

d=
a+b

c+d=

a − b
c −d

⇒ a− ba+b=c+d

c −d (đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng khơng ?

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức ab=c

d . Chứng minh rằng:

ab
cd=

a2−b2
c2− d2

Giải:

Cách 1: Từ giả thiết: ab=c

d⇒ad=bc (1)

Ta có: ab(c2− d2)=abc2−abd2=acbc−adbd (2)

cd(a2− b2)=a2cd− b2cd=acad−bc . bd (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ab(c2− d2)

=cd(a2− b2)

⇒ abcd=a

2−b2

c2− d2 (đpcm)

Cách 2: Đặt ab=c

d=k , suy ra a=bk, c=dk

Ta có: abcd=bk .b

dk .d=

kb2

kd2=

b2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

bk¿2−b2
¿

dk¿2− d2
¿
¿
¿

a2− b2

c2− d2=¿

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: abcd=a

−b2

c2− d2 (đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết: ab=c

d⇒
a
c=

b
d⇒

ab
cb=

a2
c2=

b2
d2=

a2− b2
c2−d2

⇒ abcd=a

−b2

c2− d2 (đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: ab=c

d . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả

thiết các tỉ số đều có nghĩa).

1) 33a−a+55bb=3c+5d

3c −5d 2)

(

a+b

c+d

)

=a

+b2

c2+d2

3) a− ba

+b=

c −d

c+d 4)
ab

cd=

(a − b)2
(c − d)2

5) 32a−a+54bb=2c+5d

3c −4d 6)

2005a −2006b

2006c+2007d =

2005c −2006d

2006a+2007b

7) aa

+b=

c

c+d 8)

7a2+5 ac

7a2−5 ac=

7b2+5 bd

7b2−5 bd

Bài 2: Cho tỉ lệ thức: ab=c

d .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) 33a−a+55bb=3c+5d

3c −5d b)

(

a+b

c+d

)

=a

+b2

c2+d2 c)

a− b
a+b=

c −d
c+d

d) abcd=(a − b)
2

(c − d)2 e)

2a+5b

3a−4b=

2c+5d

3c −4d f)

2008 2009 2008 2009
2009 2010 2009 2010

a b c d

c d a b

 



 

g) aa+b= c

c+d h)

7a2

+5 ac

7a2−5 ac=
7b2

+5 bd

7b2−5 bd i)

2 2

2 2 2 2

7a 3ab 7c 3cd

11a 8b 11c 8d

 



 

Bài 3: Cho ab=b

c=
c

d . Chứng minh rằng:

(

a+b+c

b+c+d

)

=a

d

Bài 4: Cho ab=b

c=
c

d . Chứng minh rằng:

(

a+b+c

b+c+d

)

=a

d

Bài 5: Cho 2003a = b

2004=

c

2005

Chứng minh rằng: 4 c −a¿2

(a − b)(b −c)=¿

Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

3 2008
1 2

2 3 4 2009

a a

...
a a a  a

CMR: Ta có đẳng thức:

2008
1 2 3 2008
1

2009 2 3 4 2009

a a a ... a

a a a a ... a

     

 

   

 

Bài 7: Cho aa1
2

=a2

a3

=.. . .. .. .. . .. .. .=a8

a9

=a9

a1 và

a1+a2+. . .+a9≠0

Chứng minh rằng: a1=a2=. ..=a9

Bài 8: Cho 2003a = b

2004=

c

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Chứng minh rằng: 4 c −a¿2

(a − b)(b −c)=¿

Bài 9: Chứng minh rằng nếu : ab=b

d thì
a2

+b2

b2+d2=

a
d

Bài 10: Cho a1

a2
=a2

a3

=.. . .. .. .. . .. .. .=a8

a9
=a9

a1 và

a1+a2+. . .+a9≠0

Chứng minh rằng: a1=a2=. ..=a9

Bài 11: CMR: Nếu a2=bc thì a− ba+b=c −ac+a . Đảo lại có đúng khơng?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu : ab=b

d thì

a2+b2

b2

+d2=

a
d

Bài 13: Cho a− ba+b= c+d

c −d . CMR:
a
b=

c
d

Bài 14. Cho tỉ lệ thức :

2 2
2 2

a b ab

c d cd




 . Chứng minh rằng:

a c

b d .
Giải. Ta có : a

+b2

c2+d2=

ab
cd =

2ab
2 cd=

a2

+2 ab+b2

c2

+2 cd+d2=
(a+b)2
(c+d)2=

ab
cd ⇒

(a+b) (a+b)
(c+d) (c+d)=

a.b
c.d ;

⇒c(a+b)

a(c+d)=

b(c+d)

d(a+b)=

ca+cb

ac+ad=

bc+bd

da+db=

ca−bd

ca−bd=1⇒ca+cb=ac+ad⇒cb=ad⇒

a
b=

c
d

Bài 15: Chứng minh rằng nếu: u −u+22=v+3

v −3 thì

u

v

Bài 16: CMR: Nếu a2=bc thì a− ba+b=c −ac+a . Đảo lại có đúng khơng?

Bài 17: CMR nếu a(y+z)=b(z+x)=c(x+y)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : ay − z

(b − c)=

z − x
b(c − a)=

x − y
c(a − b)

Bài 18: Cho a− ba+b= c+d

c −d . CMR:
a
b=

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 19: Cho ab=c

d . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+yb≠0 và zc+td≠0

Chứng minh rằng: xaza+yb

+tb =

xc+yd

zc+td

Bài 20: Chứng minh rằng nếu: u −u+22=v+3

v −3 thì

u

v

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2=ac;c2=bd
và b3+c3+d3≠0

Chứng minh rằng: a3+b3+c3

b3+c3+d3=

a

d

Bài 22: CMR nếu a(y+z)=b(z+x)=c(x+y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì

: ay − z

(b − c)=

z − x
b(c − a)=

x − y
c(a − b)

Bài 23: Cho P=ax

+bx+c

a1x2+b1x+c1 . Chứng minh rằng nếu

a
a1=

b
b1=

c

c1 thì giá trị của P

khơng phụ thuộc vào x.

Bài 24: Cho biết :

' '
' '

a b b c

1; 1

a b  b c  . CMR: abc + a’b’c’ = 0.

Bài 25: Cho ab=c

d . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+yb≠0 và zc+td≠0

Chứng minh rằng: xaza+yb

+tb =

xc+yd

zc+td

Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2

=ac;c2=bd và b3+c3+d3≠0

Chứng minh rằng: a3+b3+c3

b3+c3+d3=

a
d

Bài 27: Cho P=ax

+bx+c

a1x2

+b1x+c1 . Chứng minh rằng nếu

a
a1=

b
b1=

c

c1 thì giá trị của P

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 28: Cho tỉ lệ thức:

2a 13b 2c 13d

3a 7b 3c 7d

 



  ; Chứng minh rằng:

a c

b d .

Bài 29: Cho dãy tỉ số :

bz cy cx az ay bx

a b c

  

 

; CMR:

x y z

a b c .

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A> MỤC TIÊU

Thơng qua việc giải tốn sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.

B> THỜI LƯỢNG

Tổng số :(6 tiết)

1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)

2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)

1. Lý thuyết

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của
một số a( a là số thực)

* Giá trị tuyệt đối của số khơng âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối
của nó.

TQ: Nếu a ≥0⇒|a|=a

Nếu a<0⇒|a|=− a

Nếu x-a  0=> = x-a

Nếu x-a  0=> = a-x

*Tính chất

Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
TQ: |a|≥0 với mọi a  R

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

=0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai
số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

TQ:

|a|=|b|⇔

a=b
¿

a=−b
¿
¿
¿
¿
¿

* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

TQ: −|a|≤ a≤|a| và −|a|=a⇔a ≤0;a=|a|⇔a ≥0

* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: Nếu a<b<0⇒|a|>|b|

* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
TQ: Nếu 0<a<b⇒|a|<|b|

* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
TQ: |a.b|=|a|.|b|

* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
TQ:

|

ab

|

=|a|

|b|

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ: |a|2=a2

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

TQ: |a|+|b|≥|a+b| và |a|+|b|=|a+b|⇔a.b ≥0

2. Các dạng tốn :

I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1. Dạng 1: |A(x)|=k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho

trước )

* Cách giải:

- Nếu k < 0 thì khơng có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

- Nếu k > 0 thì ta có:

|A(x)|=k⇒

A(x)=k
¿

A(x)=−k
¿
¿
¿
¿
¿

Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) |2x −5|=4 b) 1

3−

|

4−2x

|

4 c)

1
2−

|

x+

1
5

|

3 d)

4−|2x+1|=
7
8

Giải
a) = 4
x=  4

a) |2x −5|=4

2x-5 =  4

* 2x-5 = 4
2x = 9

x = 4,5
* 2x-5 = - 4
2x =5-4
2x =1
x =0,5

Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
b) 13−

|

4−2x

|

=
1
4

= -

Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 2|2x −3|=1

2 b) 7,5−3|5−2x|=−4,5 c)

|

x+
4

|

−|−3,75|=−|−2,15|

Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 2|3x −1|+1=5 b)

|

x

2−1

|

=3 c)

|

− x+
2
5

|

2=3,5 d)

|

x −1

|

=2
1
5

Bài 1.4: Tìm x, biết:
a)

|

x+1

|

−
3

4=5 % b) 2−

|

3
2x −

1
4

|

−5

|

3
2+

4
5

|

x −

3
4

|

4 d)

4,5−3

|

1
2x+

5
3

|

5
6

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a) 6,5−9

|

x+
1

|

=2 b)
11

4 +
3
2:

|

4x −

1
5

|

2 c)
15

4 −2,5 :

|

3
4 x+

|

=3 d)
21

5 +3 :

|

x

4−
2
3

|

2. Dạng 2: |A(x)|=|B(x)| ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách giải:

Vận dụng tính chất:

|a|=|b|⇔

a=b
¿

a=−b
¿
¿
¿
¿
¿
ta có:

|A(x)|=|B(x)|⇒

A(x)=B(x)
¿

A(x)=− B(x)
¿
¿
¿
¿
¿

Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) |5x −4|=|x+2| b) |2x −3|−|3x+2|=0 c) |2+3x|=|4x −3| d)
|7x+1|−|5x+6|=0

a) |5x −4|=|x+2|

* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6

x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2

Vậy x= 1,5; x=

Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)

|

32x+1

|

=|4x −1| b)

|

5
4x −

7
2

|

−

|

5
8 x+

|

=0 c)

|

7
5x+

2
3

|

4
3 x −

1
4

|

78x+
5
6

|

−

|

2 x+5

|

3. Dạng 3: |A(x)|=B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì khơng có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:

|A(x)|=B(x) (1)
Điều kiện: B(x) 0 (*)

(1) Trở thành

|A(x)|=|B(x)|⇒

A(x)=B(x)
¿

A(x)=− B(x)
¿
¿
¿
¿

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥0⇒|a|=a

Nếu a<0⇒|a|=− a

Ta giải như sau: |A(x)|=B(x) (1)

 Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với

điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được

với điều kiện )
VD1:

Giải :

a0) Tìm x  Q biết =2x

* Xét x+  0 ta có x+ =2x

*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x

Bài 3.1: Tìm x, biết:

|

12x

|

=3−2x b) |x −1|=3x+2 c) |5x|=x −12 d) |7− x|=5x+1

Bài 3.2: Tìm x, biết:

a) |9+x|=2x b) |5x|−3x=2 c) |x+6|−9=2x d) |2x −3|+x=21

Bài 3.3: Tìm x, biết:

a) |3x −1|+2=x b) |3x −1|+2=x c) |x+15|+1=3x d) |2x −5|+x=2

Bài 3.4: Tìm x, biết:

a) |2x −5|=x+1 b) |3x −2|−1=x c) |3x −7|=2x+1 d) |2x −1|+1=x

Bài 3.5: Tìm x, biết:

a) |x −5|+5=x b) |x+7|− x=7 c) |3x −4|+4=3x d) |7−2x|+7=2x

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

|A(x)|+|B(x)|+|C(x)|=m

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x  1 x 32x  1 (1)

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở
vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x

Giải

Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

x- 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:

x – 1x 1 3 - 0 + +

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

 -2x + 4 = 2x – 1

 x =

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng 1  x  3 ta có:

(1)  (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

 2 = 2x – 1

 x =

2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1

 - 4 = -1 ( Vơ lí)

Kết luận: Vậy x =

3
2 .

VD2 : Tìm x
+ =0

Nhận xét x+1=0 => x=-1
x-1=0 => x=1
Ta lập bảng xét dấu

x -1 1

x+1 - 0 + +
x-1 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

Nếu x<-1

Nếu -1  x  1

Nếu x >1

Bài 4.1: Tìm x, biết:

a) 4|3x −1|+|x|−2|x −5|+7|x −3|=12 b) 3|x+4|−|2x+1|−5|x+3|+|x −9|=5
c)

|

5− x

|

x −
1
5

|

5=1,2 d) 2

|

x+3

|

+|x|−3
1
2=

|

1
5− x

|

Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) |2x −6|+|x+3|=8

c) |x+5|+|x −3=9| d) |x −2|+|x −3|+|x −4|=2
e) |x+1|+|x −2|+|x+3|=6 f) 2|x+2|+|4− x|=11

Bài 4.3: Tìm x, biết:

a) |x −2|+|x −3|+|2x −8|=9 b) 3x|x+1|−2x|x+2|=12
c) |x −1|+3|x −3|−2|x −2|=4 d) |x+5|−|1−2x|=x
e) |x|−|2x+3|=x −1 f) |x|+|1− x|=x+|x −3|

Bài 4.4: Tìm x, biết:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

|A(x)|+|B(x)|+|C(x)|=D(x) (1)

Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x)≥0;B(x)≥0;C(x)≥0

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

Bài 5.1: Tìm x, biết:

a) |x+1|+|x+2|+|x+3|=4x b) |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=5x −1

c) |x+2|+

|

x+3

|

x+
1

|

=4x d) |x+1,1|+|x+1,2|+|x+1,3|+|x+1,4|=5x

Bài 5.2: Tìm x, biết:
a)

|

x+ 1

101

|

x+
2

101

|

x+
3

101

|

+. . .+

|

x+
100

101

|

=101x

|

x+ 1

1 . 2

|

x+
1

2. 3

|

x+
1

3. 4

|

+.. .+

|

x+
1

99 .100

|

=100x

|

x+ 1

1 .3

|

x+
1

3 .5

|

x+
1

5 .7

|

+. . .+

|

x+
1

97 . 99

|

=50x

|

x+ 1

1 .5

|

x+
1

5 . 9

|

x+
1

9 . 13

|

+.. .+

|

x+

397 . 401

|

=101x

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:

|

|2x −1|+1

|

=
4

5 b)

|

x

|

x −1

|

=x

+2 c)

|

x2

|

x+3

|

=x

Bài 6.2: Tìm x, biết:
a)

|

|2x −1|−1

|

=
1

5 b)

|

2x+1

|

−
3
4

|

5 c)

|

x

|

x2

|

=x

Bài 6.3: Tìm x, biết:
a)

|

x

|

x2−3

|

=x b)

|

(

x+

1
2

)

|

2x −

|

=2x −
3

4 c)

|

x −1

||

2x −
3

|

=2x −
3
4

Bài 6.4: Tìm x, biết:

a) ||2x −3|− x+1|=4x −1 b) ||x −1|−1|=2 c) ||3x+1|−5|=2

7. Dạng 7: |A|+|B|=0

Vận dụng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng
thức.

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số khơng âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

B1: đánh giá:

|A|≥0

|B|≥0
}

⇒|A|+|B|≥0

B2: Khẳng định: |A|+|B|=0

⇔

A=0

B=0
¿{

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) |3x −4|+|3y+5|=0 b) |x − y|+

|

y+ 9

|

=0 c) |3−2x|+|4 y+5|=0

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a)

|

5−3

4x

|

7y −3

|

=0 b)

|

3−

1
2+

4x

|

1,5−
11
17+

13 y

|

=0 c)

|x −2007|+|y −2008|=0

* Chú ý1: Bài tốn có thể cho dưới dạng |A|+|B|≤0 nhưng kết quả không thay đổi

* Cách giải: |A|+|B|≤0 (1)

|A|≥0
|B|≥0

}
⇒|A|+|B|≥0

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ |A|+|B|=0

⇔

A=0

B=0
¿{

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) |5x+1|+|6y −8|≤0 b) |x+2y|+|4y −3|≤0 c) |x − y+2|+|2y+1|≤0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) |12x+8|+|11y −5|≤0 b) |3x+2y|+|4y −1|≤0 c) |x+y −7|+|xy−10|≤0

* Chú ý 2: Do tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất khơng
âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương
tự.

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) |x − y −2|+|y+3|=0 b) |x −3y|2007+|y+4|2008=0

c) (x+y)2006+2007|y −1|=0 d) |x − y −5|+2007(y −3)2008=0

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

a) (x −1)2+(y+3)2=0 b) 2(x −5)4+5|2y −7|5=0
c) 3(x −2y)2004+4

|

y+1

|

=0 d) |x+3y −1|+

(

2y −
1
2

)

2000

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a) |x −2007|+|y −2008|≤0 b) 3|x − y|5+10

|

y+2

|

≤0

c) 12

(

34x −1

)

2006

+2007

2008

|

4
5 y+

|

≤0 d) 2007|2x − y|

2008

+2008|y −4|2007≤0

8. Dạng 8: |A|+|B|=|A+B|

* Cách giải: Sử dụng tính chất: |a|+|b|≥|a+b|

Từ đó ta có: |a|+|b|=|a+b|⇔a.b ≥0

Bài 8.1: Tìm x, biết:

a) |x+5|+|3− x|=8 b) |x −2|+|x −5|=3 c) |3x −5|+|3x+1|=6

d) 2|x −3|+|2x+5|=11 e) |x+1|+|2x −3|=|3x −2| f) |x −3|+|5− x|+2|x −4|=2

Bài 8.2: Tìm x, biết:

a) |x −4|+|x −6|=2 b) |x+1|+|x+5|=4 c)
|3x+7|+3|2− x|=13

d) |5x+1|+|3−2x|=|4+3x| e) |x+2|+|3x −1|+|x −1|=3 f) |x −2|+|x −7|=4

1 -

Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối

Bài 1: Tìm x, biết:
a) |2x −6|+|x+3|=8

Ta lập bảng xét dấu

x -3 3

x+3 - 0 + +
2x-6 - - 0 +
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

* Nếu x<-3

Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8

-3x = 8 - 3
-3x = 5

x = - ( không thỏa mãn x<-3)
* Nếu - 3  x  3

6 - 2x + x + 3 = 8
- x = -1

x = 1 ( thỏa mãn - 3  x  3)

* Nếu x >3

2x-6 + x + 3 = 8

3 x = 11

x = ( thỏa mãn x >3)

2-

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong

Bài 1: Tìm x, biết:
a)

|

|2x −1|+1

|

=
4
5

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

= -
=

2x-1= 2x = + 1 x=
<=> <=>
2x-1= - 2x = - + 1 x=

* + =-

=- - (không thỏa mãn)

3 -

Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:

Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) |x − y −2|+|y+3|=0

x-y-2 =0 x=-1
<=>

y+3 =0 y= -3

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a) (x −1)2+(y+3)2=0

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) |x −2007|+|y −2008|≤0

Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) |x+5|+|3− x|=8

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối:

1. Dạng 1: |A|+|B|=m với m≥0

* Cách giải:

* Nếu m = 0 thì ta có |A|+|B|=0

⇔

A=0

B=0
¿{

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

|A|+|B|=m (1)

Do |A|≥0 nên từ (1) ta có: 0≤|B|≤ m từ đó tìm giá trị của |B| và |A| tương
ứng .

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) |x −2007|+|x −2008|=0 b) |x − y −2|+|y+3|=0 c) (x+y)2+2|y −1|=0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) |x −3y|5+|y+4|=0 b) |x − y −5|+(y −3)4=0 c) |x+3y −1|+3|y+2|=0

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a) |x+4|+|y −2|=3 b) |2x+1|+|y −1|=4 c) |3x|+|y+5|=5 d)

|5x|+|2y+3|=7

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 3|x −5|+|y+4|=5 b) |x+6|+4|2y −1|=12 c) 2|3x|+|y+3|=10 d)

3|4x|+|y+3|=21

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) y2=3−|2x −3| b) y2=5−|x −1| c) 2y2=3−|x+4| d)

3y2=12−|x −2|

2. Dạng 2: |A|+|B|<m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá

|A|+|B|<m (1)

|A|≥0
|B|≥0

}
⇒|A|+|B|≥0

(2)

Từ (1) và (2) ⇒0≤|A|+|B|<m từ đó giải bài tốn |A|+|B|=k như dạng 1 với

0≤ k<m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) |x|+|y|≤3 b) |x+5|+|y −2|≤4 c) |2x+1|+|y −4|≤3 d)

|3x|+|y+5|≤4

Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 5|x+1|+|y −2|≤7 b) 4|2x+5|+|y+3|≤5 c) 3|x+5|+2|y −1|≤3 d)

3|2x+1|+4|2y −1|≤7

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: |a|+|b|≥|a+b| xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) |x −1|+|4− x|=3 b) |x+2|+|x −3|=5 c) |x+1|+|x −6|=7 d)

|2x+5|+|2x −3|=8

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và |x+2|+|y|=6 b) x +y = 4 và |2x+1|+|y − x|=5
c) x –y = 3 và |x|+|y|=3 d) x – 2y = 5 và |x|+|2y −1|=6

Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

a) x + y = 5 và |x+1|+|y −2|=4 b) x – y = 3 và |x −6|+|y −1|=4
c) x – y = 2 và |2x+1|+|2y+1|=4 d) 2x + y = 3 và |2x+3|+|y+2|=8

4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A(x).B(x)=|A(y)|

Đánh giá: |A(y)|≥0⇒A(x).B(x)≥0⇒n≤ x ≤ m tìm được giá trị của x.

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) (2− x)(x+1)=|y+1| b) (x+3)(1− x)=|y| c) (x −2)(5− x)=|2y+1|+2

Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) (x+1)(3− x)=2|y|+1 b) (x −2)(5− x)−|y+1|=1 c) (x −3)(x −5)+|y −2|=0

5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B

Đánh giá: A ≥ m (1)
Đánh giá: B ≤ m (2)
Từ (1) và (2) ta có:

A=B⇔

A=m

B=m
¿{

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) |x+2|+|x −1|=3−(y+2)2 b) |x −5|+|1− x|=12
|y+1|+3

c) |y+3|+5=10

(2x −6)2+2 d) |x −1|+|3− x|=

|y+3|+3

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) |2x+3|+|2x −1|= 8

2(y −5)2+2 b) |x+3|+|x −1|=

|y −2|+|y+2|

c) |3x+1|+|3x −5|=12

(y+3)2+2 d) |x −2y −1|+5=

|y −4|+2

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) (x+y −2)2+7=14

|y −1|+|y −3| b) (x+2)

+4=20

3|y+2|+5

c) 2|x −2007|+3= 6

|y −2008|+2 d) |x+y+2|+5=
30

3|y+5|+6

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5≤ x ≤4,1

a) A=|x −3,5|+|4,1− x| b) B=|− x+3,5|+|x −4,1|

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:

a) A=|x+1,3|−|x −2,5| b) B=|− x −1,3|+|x −2,5|

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) A=|x −2,5|+|x −1,7| b) B=

|

x+1

|

−

|

x −
2

|

c) C=|x+1|+|x −3|

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi −53<x<1

a) A=

|

x −1

|

−

|

x+
3
5

|

5 b) B=

|

− x+
1

|

− x −
3
5

|

−

2
6

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

a) A=|x+0,8|−|x −2,5|+1,9 với x < - 0,8 b) B=|x −4,1|+

|

x −2

|

−9 với

3≤ x ≤4,1

c) C=

|

5− x

|

x −
1
5

|

5 với
1
5≤ x ≤2

5 d) D=

|

x+3
1

|

+|x|−3
1

2 với x > 0

==============&=&=&==============

IV – Tính giá trị biểu thức:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với |a|=1,5;b=−0,75 b) N = a

2−

b với |a|=1,5;b=−0,75

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A=2x+2 xy− y với |x|=2,5; y=−3

4 b) B=3a −3 ab− b với

|a|=1

3;|b|=0,25

c) C=5a

3 −
3

b với |a|=

3;|b|=0,25 d) D=3x2−2x+1 với |x|=
1
2

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=6x3−3x2+2|x|+4 với x=−32 b) B=2|x|−3|y| với x=1

2; y=−3

c) C=2|x −2|−3|1− x| với x = 4 d) D=5x

−7x+1

3x −1 với |x|=
1
2

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1:Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất
của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A=0,5−|x −3,5| b) B=−|1,4− x|−2 c) C=3|x|+2

4|x|−5 d)

D=2|x|+3

3|x|−1

e) E=5,5−|2x −1,5| f) F=−|10,2−3x|−14 g)

G=4−|5x −2|−|3y+12|
h) H= 5,8

|2,5− x|+5,8 i) I=−|2,5− x|−5,8 k)

K=10−4|x −2|

l) L=5−|2x −1| m) M= 1

|x −2|+3 n) N=2+
12

3|x+5|+4

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=1,7+|3,4− x| b) B=|x+2,8|−3,5 c)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

d) D=|3x+8,4|−14,2 e) E=|4x −3|+|5y+7,5|+17,5 f) F=|2,5− x|+5,8
g) G=|4,9+x|−2,8 h) H=

|

x −2

|

+
3

7 i) I=1,5+|1,9− x|

k) K=2|3x −1|−4 l) L=2|3x −2|+1 m) M=5|1−4x|−1

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A=5+15

4|3x+7|+3 b) B=

−1
3 +

8|15x −21|+7 c) C=
4
5+

|3x+5|+|4 y+5|+8

d) D=−6+24

2|x −2y|+3|2x+1|+6 e) E=
2
3+

(x+3y)2+5|x+5|+14

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A=2|7x+5|+11

|7x+5|+4 b) B=

|2y+7|+13

2|2y+7|+6 c) C=

15|x+1|+32

6|x+1|+8

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A=5+ −8

4|5x+7|+24 b) B=

6
5−

5|6y −8|+35 c) C=

15
12 −

3|x −3y|+|2x+1|+35

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=21|4x+6|+33

3|4x+6|+5 b) B=

6|y+5|+14

2|y+5|+14 c) C=

−15|x+7|−68

3|x+7|+12

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu
thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=|x+5|+2− x b) B=|2x −1|+2x+6 c) C3x58 3x

d) D=|4x+3|+4x −5 e) E=|5x −6|+3+5x f) F=|2x+7|+5−2x

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=2|x −3|+2x+5 b) B=3|x −1|+4−3x c) C=4|x+5|+4x −1

Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A=−|x −5|+x+4 b) B=−|2x+3|+2x+4 c) C=−|3x −1|+7−3x

Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A=−2|x −5|+2x+6 b) B=−3|x −4|+8−3x c) C=−5|5− x|+5x+7
Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=|x+1|+|x −5| b) B=|x −2|+|x −6|+5 c) C=|2x −4|+|2x+1|

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức |a|+|b|≥|a+b|

Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=|x+2|+|x −3| b) B=|2x −4|+|2x+5| c) C=3|x −2|+|3x+1|

Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=|x+3|+|2x −5|+|x −7| b) B=|x+1|+|3x −4|+|x −1|+5
c) C=|x+2|+4|2x −5|+|x −3| d) D=|x+3|+5|6x+1|+|x −1|+3

Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=|x+1|+|y −2|

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:

B=|x −6|+|y+1|

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C=|2x+1|+|2y+1|

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

D=|2x+3|+|y+2|+2

DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT,

DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)

Bài 1 : Tính tổng:

2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008
Hướng dẫn:

Bài 2: Cho A1 23 4...99100.

a) Tính A.

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khơng ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?
Hướng dẫn:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
Hướng dẫn:

Bài 4: Cho A1 7131925 31....

a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.

Hướng dẫn:

Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:

655
)
47
(
)
42
(
...
)
12
(
)
7
(
)
2

(x  x  x   x  x 

Hướng dẫn:

Bài 6: a)Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010

b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010

Hướng dẫn:

Bài 7: Tính tổng: S 9.1199.101999.10019999.1000199999.100001

Hướng dẫn:

Bài 8: Cho A332 33...3100

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n

Hướng dẫn:

Bài 9: Cho A332 33....32004

a) Tính tổng A.

b) Chứng minh rằng A130.

c) A có phải là số chính phương khơng ? Vì sao ?
Hướng dẫn:

Bài 10:

a) Cho A1 332  33 ... 32003 32004

Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.
b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với
A423 24 25 ...2200322004

Hướng dẫn:

Bài 11:

a) Cho A222 23 ...260

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bài 12:

Cho A = 2 + 22 + 23 + ...+299 + 2100

Chứng tỏ A chia hết cho 31
Hướng dẫn:

Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596

a, Chứng minh: S  126

b, Tìm chữ số tận cùng của S
Hướng dẫn:

Bài 14: Cho A1.2.3...29.30

B31.32.33...59.60

a) Chứng minh: B chia hết cho 230

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.

Hướng dẫn:

Bài 15: Cho A322 23 24 ...2200122002 và B22003

So sánh A và B.
Hướng dẫn:

Bài 16: Cho M = 3 3 2 33... 3 993100.

a. M có chia hết cho 4, cho 12 khơng ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n

.
Hướng dẫn:

Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3upload.123doc.net+ 3119

a) Thu gọn biểu thức M.

b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao?
Hướng dẫn:

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 2004

2003
)
1
(
2
...

10
1
6
1
3
1






n
n
Hướng dẫn:
Bài 19:
a) Tính:

2 2 2 2

...

1.3 3.5 5.7   99.101

b) Cho
*
)
3
(
3

10
.
7
3
7
.
4
3
4
.
1
3
N
n
n
n
S 





 

Chứng minh: S  1

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 20: So sánh:

2 2 2 2

...

60.63 63.66 117.120 2003

A     

và

5 5 5 5

...

40.44 44.48 76.80 2003

B     

Hướng dẫn:

Bài 21:

a) Tính 340

1
238
1
154
1
88
1
40

1
10
1






A

b) Tính: 2004.2005

2
....
15
1
10
1
6
1
3
1






M

c) Tính tổng: 98.99.100

1
...
4
.
3
.
2
1
3
.
2
.
1
1




S
Hướng dẫn:

Bài 22: So sánh: 2 3 2100
1
...
2
1
2

1
2
1

1    


A

và B = 2.
Hướng dẫn:

Bài 23: So sánh:

2 2 2 2

...

60.63 63.66 117.120 2006

A    

và

5 5 5 5

...

40.44 44.48 76.80 2006

B    

Hướng dẫn:

Bài 24. Tính
a. A =

2 2 2 2 2
.
15 35 63 99 143   

b. B = 3+

3 3 3 3

...

1 2 1 2 3 1 2 3 4         1 2 ... 100   .

Hướng dẫn:

Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:
a) A =

1+1

3+
1
5+. . .+

1
97+

1
99
1

1 .99+
1
3. 97+

5 .95+. ..+
1
97 .3+

1
99. 1

b) B =

1
2+

1
3+

1
4+. ..+

1
100
99
1 +
98
2 +
97

3 +. ..+
1
99

Hướng dẫn:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

100 -

(

1+1

2+
1
3+. . .+

1
100

)

1
2+

2
3+

3
4+.. .+

99
100

Hướng dẫn:

Bài 27: Tính AB biết:
A = 12+1

3+
1
4+.. .+

200 và B =
1
199+

2
198+

197 +.. .+
198

2 +

199

Hướng dẫn:

Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy:

11
3;1

1
8;1

1
15 ;1

1
24 ;1

1
35;. .. .

Hướng dẫn:

Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

1
6;
1

66 ;
1
176;
1
336 ;. ..

Hướng dẫn:

Bài 30: Tính AB biết:
A = 1 . 21 + 1

3 . 4+
1

5 . 6+.. .+
1
17 .18+

1
19. 20

B = 111 + 1

12+
1
13+.. .+

1
19+

1
20

Hướng dẫn:

Bài 31: Tìm x, biết:

(

1. 1011 +

2. 102+. . .+
1

10. 110

)

x=
1
1. 11+

2 . 12+. .. .+
1
100 .110

Hướng dẫn:

Bài 32: Tính :

a) S 1 a a2 a3 ... an

      , với (a2, n N )

b) S1 1 a2a4a6...a2n, với (a2, n N )

c) 2 3 5 ... 2 1

n

S a a a a 

     , với (a2, n N *)

Hướng dẫn:

Bài 33: Cho A  1 4 4243... 4 ,  99 B4100. Chứng minh rằng: 3

B
A

.
Hướng dẫn:

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

200

) 9 99 999 ... 999...9
) 9 99 999 ... 999...9

a A
b B

    

  
  

ch÷ sè

ch ÷ sè

Hướng dẫn:

Chuyên đề 1:

giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1-Kiến thức cơ bản:

x⇔x ≥0

− x⇔x≺0

¿|x|={
¿

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

|x+y|≤|x|+|y|

|x − y|≥|x|−|y|

2- Các dạng tốn cơ bản:

* Dạng tốn 1: Tính |x| biết

1) x=−151 2) 13

3
:
5
3
2


x

3) x+2512=0

4) 1 . 31 + 1

3 .5+. .. .+
1
47 . 49=

x 5)

1 . 4+

4 . 7+.. . ..+
1
97 . 100=

x

6) 1 . 54 + 4

5 . 9+. .. .+
4
97 . 101=

2x+5

101 7)

(

1−1

)(

1−
1
3

)(

1−

)

.. ..

(

1−
1

100

)

+x=2
1
5

8) 1. 2+2 .3+3 . 4+.. . .+99 .100=21

5x −1 9) (1

+22+. . .+492)(2− x)=−11

* Dạng 2: Tìm x biết
1) |x|=33

5 2) |x|−
25

8 =0 3) 5|x|−
5

23=0 4)

|2x|.

|

−1

|

−1
1
3

|

5) 1,75−|2,5− x|=1,25 6) |2x −5|=13 7) 31

3−

|

2x −
3
7

|

=−

2
3

8) 21

5|3x −7|=
11

10 9) 2x −5¿

¿ 10) x
2

=4 11)

3−7x¿2=1

* Dạng 3: Tìm x, y, z biết

1) |x|+|y|+|z|=0 2) |3x −5|+|2y −7|=0

|

x −11

|

2y −
5
2

|

3− z

|

=0 4)

z−1

3¿

y −1

2¿

+¿

x −1¿2+¿
¿

5) |1−2x|+|2−3y|+|3−4y|=0 6) |x −1|+|(x −1)(x+1)|=0
*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau.

1) A=|x2−2x+5| với x=−13

2) B=|xy−2|+5(x −3)|x2−2 xy+y2| với x=y=2

3) C=

|

x2− x+1

|

−2|2x+1| với |x|=
1
2

4) D=|3x2−6x+3| với |x|=1
5) E=2x −5y+7 xy với |x|+|y −2|=0

6) G=2x2−3y2+6 xy với |x −1|+|y −2|=0

* Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

2) N= |x+1|+|x+2|+|x −3| với −2≤ x≺−1
3) P= |2x −5|+|3x −7|−|5x −15| với x ≥3

*)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất.

1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C=4,5|2x −0,5|−0,25
2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D=−|3x+4,5|+0,75
3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E=|x −2005|+|x −2004|

3- Các bài tốn tự học :

Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4
Bài 2: Tìm x , y biết:

a) 2.| 2x-3|= 1/ 2
b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5
c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất:

a) | 3x- 8,4| -14,2

b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5
Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:

F= 4- |5x-2|- | 3y+12|

CHUYÊN ĐỀ:

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ

THỰC- CĂN BẬC HAI.

Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản

0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)

Bài tốn 2: Tính

a) 10,(3)+0,(4)-8,(6)
b) [12,(1)−2,3(6)]: 4,(21)

c) 0,(3)+31

3−0,4(2)

Bài tốn 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số 11699 dưới dạng số
thập phân vơ hạn tuần hồn.

Bài tốn 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,
(12)

Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm trịn kết quả đến hàng đơn vị
a) A=(11,81+8,19).2,25

6,75 b) B=

(4,6+5 :6,25). 4

4 . 0,125+2,31

Bài toán 6: Rút gọn biểu thức

M=0,5+0,(3)−0,1(6)

2,5+1,(6)−0,8(3)

Bài toán 7: Chứng minh rằng:
0,(27)+0,(72)=1

Bài tốn 8: Tìm x biết
a) 0,10, (6)+0,(3)

(3)+1,1(6).x=0,(2) b)

0,(3)+0,(384615)+ 3

13 x

0,0(3) =

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

c) [0,(37)+0,(62)]x=10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

e) x:0,(3)=0,(12)

Bài toán 9:

Cho phân số A= m

+3m2+2m+5

m(m+1)(m+2)+6;(m∈N)

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản.

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hồn? vì sao?

CHUN ĐỀ:

CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ

THỰC- CĂN BẬC HAI.

Bài toán 10: So sánh các số sau
a) 0,5√100−

√

25 và

(

√

1
1
9−

√

)

:5 b) √25+9 và √25+√9

c) CMR: với a, b dương thì √a+b≺√a+√b

Bài tốn 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;

(2−√3)2

b) (2x −3)2=|3−2x| c) (x −1)2+(2x −1)2=0

Bài tốn 12: Tìm x biết

a) x −2√x=0 b) x=√x c) (x −1)2= 9

Bài toán 13: Cho A=√x+1

√x −1 . CMR với x=
16

9 và x=
25

9 thì A có giá trị là một

số ngun

Bài tốn 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
a) A= 7

√x b) B=

√x −1 c) C=
2

√x −3

Bài toán 15: Cho A=√x+1

√x −3 Tìm số ngun x để A có giá trị là số ngun

Bài tốn 16: thực hiện phép tính

{

[

(2√2)2:2,4

][

5,25 :(√7)2

]

}

{

[

(√5)2

]

[

2:(2√2)
2

√81

]

}

Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.

A=

1− 1

√49+
1
49 −

(7√7)2

√64

2 −

4
7+

(

2
7

)

− 4

343

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

M=1− 5

√196−
5

(2√21)2−

√25
204 −

(√5)2

374

Bài tốn 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức

√

(x −√2)2+

√

(y+√2)2+|x+y+z|=0

Bài toán 20: thực hiện phép tính

M=

(

181

3:√225+8
2
3.

√

49
4

)

[

(

1
3+8

6
7

)

−

(√7)2
(3√2)2

]

1704
445

CHUYÊN ĐỀ:

NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG.

**********

Bài tốn 1: Tính
a)

3 11 12
.31 0,75.8
4 23 23

 

1 1 1 1 1
2 3 : 4 3 7

3 2 6 7 2

   

   

   

    c)

5 5 4 5
4 : 5 :

9 7 9 7

   

  

   

   

1 5 5 1 3

13 2 10 .230 46
4 27 6 25 4

3 10 1 2
1 : 12 14

7 3 3 7

 
  
 
 
   
 
   

    e)

25 9 125 27
4 25 : :

16 16 64 8


 

  

  g)

2 1 3
4
3 2 4

 

   

 

Bài tốn 2: Tính
a)

1 1 1

....

1.2 2.3 99.100

A   

1 1 1

1 1 ... 1

2 3 1

B

n

     

        


      với n N

1 1 1

66. 124.( 37) 63.( 124)
2 3 11

C       

  d)

7 33 3333 333333 33333333
4 12 2020 303030 42424242

D     

 

Bài tốn 3: Tính

1 1 1

1 (1 2) (1 2 3) .... (1 2 3 .... 16)

2 3 16

A           

Bài tốn 4: Tìm x biết
a)

(2 3) 1 0
4

x  x 

  b)

2 5 3

3x7 10 c)

21 1 2
13x 3 3

  

3 3 2
2 1

7x 8 5 e)

1
(5 1) 2 0

x  x 

  g)

3 1 3
:

7 7 x14

Bài toán 5: Cho

1 1 1

1 1 ... 1
2 3 10

A         

     . So sánh A với 
1
9


Bài toán 6: Cho

1 1 1

1 1 ... 1
4 9 100

B         

     . So sánh B với

11
21


Bài tốn 7: Tính

2 3 193 33 7 11 1931 9

. : .

193 386 17 34 1931 3862 25 2

     
   
   
   
   
   

Bài toán 8: Cho

1,11 0,19 13.2 1 1
: 2
2, 06 0,54 2 4

A      

  

7 1 23
5 2 0,5 : 2

8 4 26

B   

 

a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

1 1 1 3 3 3 3
5
3 7 13 4 16 64 256.
2 2 2 1 1 1 8

3 7 13 4 16 64

A

    

 

    

1 1 1 1
0,125 0, 2

5 7 2 3
3 3 3 3
0,375 0,5

5 7 4 10

   



   

Bài tốn 10: Tìm x biết

20 4141 636363
128 4 5 : 1 : 1

21 4242 646464

x           

     

Chuyên đề:

I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ

A.KIẾN THỨC:

Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải tốn :

1/ GTTĐ của một số thì khơng âm / x / x

2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x

3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / +¿y/❑

❑/x/¿
Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/
4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x = ± a

/ x / > a <=>

x>a
¿

x<a
¿
¿
¿
¿
/ x/ < a <=> -a< x< a
B. LUYỆN TẬP:

1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :

Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x ❑2−2x+1 với /x / = 0,5
Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 hoặc x = - 0,5

- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75

2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối

Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /

Giải : với x - 5 0 <=> x 0 thì / x -5 / = x - 5
với x –5 < 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

a/ Nếu x 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8

3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:

Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5

Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
Xét cả hai trường hợp :

a/ 3x – 1 = 2 => x = 1
b/ 3x - 1 = 2 => x = - 13

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?

Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
/ A / = A <=> A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :
a/ a = 0 thì b tùy ý

b/ b = 2 thì a tùy ý

c/ a > 0 thì b < 2
d/ a < 0 thì b > 2

Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)

HD: Xét 4 trường hợp :

a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra )
b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn
đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán .

c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b . Vây a < 0 và
b = -a thỏa mãn bài toán .

d/ a < 0 , b 0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra )
Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a < 0 , b > 0

4 . Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :

Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4

Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0
Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4

Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3

b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2

c/ Tìm GTNN của C = /x-3/

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /

Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10
Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10

Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2

b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /

HD: C= - /x+2/ 0 => GTLN=0 khix=−2
c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/

HD: D = 1-/2x-3/ 1=> GTLNlla 0 khix=3/2

Bài 8: Tìm GTNN của C = x 6

/−3 với x là số nguyên

- Xét / x / > 3 => C > 0

- Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
Vậy GTNN của C = -6 <=> x = 2 ; -2 .

Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /

- Xét x 0 => C = x - x = 0 (1)
- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy C 0

Vậy GTLN của C = 0 <=> x 0

Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức :

a/ A = 6 x ❑3−3x2+2/x/+4 với x = -2/3 (đs 20/9)

b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 )

Bài 11 : Rút gọn biểu thức :

a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x −3 ;5x+ 3 với x < 3)
b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với
¼ x < 3và bằng -2x -5 với x 3.

Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức :

a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 <=> x = 2/3
b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 <=> x = 1/4
c/ C = x ❑2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức :

e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 <=> x = 1/2

f/ F = x −21

/ +3 => GTLN của F =1/3 <=> x =2

g/ G =
¿

x+2

x/❑
¿

với x là số nguyên

HD : Xét 3 TH : * x −2 <=>C ≤1
* x = 1 <=> C = 1
* x 1<=>G=x+2

x =1+

x

Ta thấy G lớn nhất khi 2x nhỏ nhất . Mà 2x lớn nhất <=> x nhỏ nhất
tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 <=> x= 3

BÀI 14: Tìm x sao cho :
a/ / x - 2 / < 4

HD: Ta đã biết /x/ < a <=> -a < x < a
Nên /x-2/<4 < 4 <=> -4 < x - 2 <4
<=> -4+2 < x < 4 + 2
<=> -2 < x < 6

Bài 15: Cho A =

/x-¿

1
2/− x −

3
2/❑

Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu 
 thức A không phụ thuộc vào biến x ?

HD: Ta l p b ng xét d u :ậ ả ấ

x 1/2 3/2

x - 1/2 - / + 0 +
x -3/2 - 0 - / +

Xét các trường hợp:

 x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1
 1/2 x ≤3/2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2
 X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1

Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A khơng
phụ thuộc vào biến x

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

II. GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC

HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1/Phương pháp chung :

Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .

Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : 
 a/ |x −1|+|x −3|=6 (1)
GIẢI:

Xét x-1 = 0 <=>x = 1 và xét x-3 = 0 <=> x = 3
x-1< 0 <=> x < 1 x-3 < 0 <=> x < 3
x-1> 0 <=> x > 1 x-3 > 0 <=> x > 3

Ta có b ng xét d u các a th c x-1 ; x-3 nh sau :ả ấ đ ứ ư

x 1 3

x - 1 - 0 + / +
x - 3 - / - 0 +

Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6
-2x=2 0x = 4 2x = 10
x=-1 (khơng có giá trị x = 5

(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc
khoảng đang xét) khoảng đang xét)
Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)

b/ |x+2|+|x −5|=7

x -2 5

x+2 - 0 + / +
x-5 - / - 0 +

* Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại)

 Xét khoảng-2 x ≤5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét .

Vậy -2 x ≤5

 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại)

Kết luận: -2 x ≤5

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

x -3 4

x+3 - 0 + / +
x- 4 - / - 0 +

*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)
*Xét khoảng -3 x ≤4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.
* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .
Kết luận : vậy x = -3,55

Ví dụ 17: Tìm x , Biết: |x −1|+|x −3|<x+1 (2)
Tương tự:

 Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy

không thuộc khooảng đang xét)

 Xét khoảng 1 x ≤3 thì (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 => Ta có các

giá trị 1<x 3 (3)

 Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5.

Ta có các giá trị : 3<x<5 (4)

Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5

2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy;
để tìm x ngồi phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải
bằng cách khác đơngiản hơn.

Dạng 1 |f(x)| = a ( a là hằng số dương) <=>f(x)= ± a

Dạng 2 |f(x)| = g(x) <=>1/g(x) 0 & 2/f(x)=

± g(x)

Dạng 3 |f(x)|=¿ |g(x)| hay |f(x)| - |g(x)| = 0
<=>f(x)= ± g(x)

Dạng 4 |f(x)| + |g(x)| = 0 <=> f(x)=0 và g(x)
= 0

Dạng 5 |f(x)| < a ( a là hằng số dương ) <=>-a< f(x)<a

Dạng 6 |f(x)| > a ( a là hừng số dương) <=>a<f(x)<-a

Cách giải từng dạng như sau :

Dạng 1 |f(x)| = a ( a là hằng số dương)

Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

BÀI 18: Tìm x . Biết :
a/ |5x+4|+7=26

HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19
5x = 15 5x = -23

x = 3 x = -23/5 = -4,6
Vậy x = 3 ; -4,6

b/ 3|9−2x|−17=16

HD: ....<=> x=-1 và x = 10.

c/ 3 - 4 |5−6x|=7

HD: |5−6x|=−1=> Khơng có giá trị nào của x thoả mãn

d/ ||x+5|−4|=3

Hướng dẫn: - Ta có: |x+5|−4=±3 .

- Xét |x+|5x|+−54|−=4−=3 <=>3<=>|x|x++5|=5|=1 <=>7 <=>2x=;−−412;−6

Dạng 2 |f(x)| = g(x)

Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện:
1/ g(x) 0

2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)

Bài 19: Tìm x .

a/ Biết: |x −1|=2x −5

- Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 0 <=>x>2,5

- Xét điều kiện thứ hai

x −1=2x −5

x −1=−2x+5

<=>

t/mdk(1)
¿
¿

khongtmdk(1)
¿
¿{
¿x=4¿
Vậy x = 4

b/ Biết: |9−7x|=5x −3 .

- Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 0 <=>x ≥3

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

- Xét điều kiện thứ hai

9−7x=5x −3
¿

9−7x=3−5x

<=>

tmdk(1)
¿

tmdk(1)
¿
¿

x=3¿

x=1¿
¿
¿
¿
¿
Vậy x = 1 ; 3
c/ Biết: 8x −|4x+1|=x+2

...<=> |4x+1|7x −2<=>x=1

Dạng 3 |f(x)|=¿ |g(x)| hay |f(x)| - |g(x)| = 0

Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x)
hoặc f(x) =-g(x)

BÀI 20 : Tìm x .

a/ Biết: |17x −5|−|17x+5|=0

HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5
17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5

0 x = 10 34x = 0
Vô nghiệm x = 0
Vậy x = 0

b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 /

HD: |3x+4|=2|2x −9| ....<=> x =22 và 2

Dạng 4. |f(x)|+|g(x)|=0

Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0

BÀI 21 : Tìm x .Biết :
a/

|

x+13

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

HD: a/

|

x+13

|

x −
3

|

=0 <=> cả hai số hạng đồng thời bằng 0.

x + 13/14 = 0 <=> x = -13/14 và x- 3/7 = 0 <=>x=3/7.

Vậy x = 14−13∧3

b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn :

|x −1,38|+|2y+4,2|=0

HD: b/ ....<=>

x −1,38/❑0
¿

12y+4,2/❑0

<=>

¿x −1,38=0

2y+4,2=0

<=>

¿x=1,38

y=−2,1
¿
¿{

¿ ¿

¿
c/ |x2−3x|

+|(x+1)(x −3)|=0

HD: c/

x(x −3)=0
(x+1)(x −3)=0

<=>

¿x=0 hoac 3

x=−1 hoac 3

<=>x=3
¿{
¿

d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn:

/ 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0

HD: <=> / 2x-

5¿/❑0

99/+3y+
1
10 . 0,1¿

<=>

+¿3y+ 1

10 .1
5
9/❑0
2x −24

99/¿

<=> / 2x

-+¿3y+ 7

45 /❑0
8

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Vì: /2x- 338 /❑0∧3y+ 7

45 ≥0

Nên: /2x- 338 /+/3y+ 457 /❑0 <=>

2x − 8

33=0
3y+ 7

45=0
4
33

y=−7

x=❑
❑

<=>{
¿{

Dạng 5. |f(x)|<a<=>− a<f(x)<a ( a là hằng số dưong)

BÀI 22: Tìm x.

a/ Biết |3x −1|<5

HD : a/ |3x −1|<5 <=> -5 < 3x - 1 < 5

-4 < 3x < 6
-4/3 < x < 2

b/ Biết |10x+7|<37

HD:b/ ...<=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < 3

c/ Biết |3−8x|≤19

...<=>-19 3-8x 19 <=>−2≤ x ≤11

Dạng 6. |f(x)|>a<=> f(x) > a

f(x) < -a

BÀI 23: Tìm x .

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

HD: ... <=>

x<−2

15x −1>31
¿

15x −1<−31
¿
¿

x>❑
❑

<=>¿
¿
¿

b/ Tìm x . Biết |2x −5|+4≥25

...<=>

2x −5≥21

2x −5≤ −21

<=>

x ≥13

x ≤−8

¿
¿
¿
¿
¿
¿

Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :

a/ |x|+|y|=4

HD: Nếu x =0 thì y = ±4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4)
Nếu x= ± 1 thì y = ± 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3);
(1;-3);(-1;3)
Nếu x= ± 2 thì y = ± 2 ta được 4 cặp số là :...
Nếu x= ± 3 thì y = ± 1 ta được 4 cặp số là :...

Nếu x= ± 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là ...

Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho.

b/ |x|+|y|<4

HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho

BÀI 25:

a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=>

x+2/3>0

1/4− x>0

<=>

¿x>−2/3

x<1/4
¿
¿x+2/3<0

1/4− x<0
¿
¿

<=>

¿
¿x<−2/3

x>1/4
¿
¿

<=> -2/3 < x < 1/4

Cách 2: Lập bảng xét dấu:

Giá trị x -2/3 1/4

dấu x+3/2 - 0 + / +
dấu 1/4-x + / + 0
-dấu của B.thức 2/3 + 1/4

Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4

b/ Tìm x thoả mãn: 23x −1

+x <0

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

2x −1

3+x <0 <=>

2x −1>0

3+x<0

<=>

¿x>1/2

x<1/4
(khongthexayra)

¿
¿2x −1

3+x <0 <=>

2x −1<0

3+x>0

<=>

¿x<1/2

x>−3

<=>{−3<x<1/2
¿

{
¿

Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2
&&&&&&&&&

Chuyên đề 2:

CHỨNG MINH TAM GiÁC

$1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC
Kiến thức cần nhớ :

1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .
2- Trong tam gíác vng 2 góc nhọ phụ nhau .

3- Mỗi góc ngồi của tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.
4- Góc ngồi của tam giác lớn hơn 1 góc trong khơng kề với nó .

B 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác
SGK)

b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?

c/ Chứng minh góc ngồi của tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề ?
BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

HD. Sử dụng định lý góc ngồi của tam giác .
BÀI 3 Cho Δ ABC có góc A = α

Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .
a/ Tính góc BOC theo α ?

b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo α ?

Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 ❑0 + α2 và góc I = 90 ❑0 - α2

BÀI 4 : Tính các góc trong và ngồi của tam giác ABC . Biết ^A −^B= ^B −C^ = 20
❑0

HD : ..=> Â = B^ + 20 ❑0 , C^

=^B −200=> \{^A+ ^B+ ^C = 3 B^ = 180
❑0 ,

=> Bˆ = 60 ❑0 , Â = 80 ❑0 ; C^ = 40 ❑0 & B^1 = 120 ❑0 ,

A1 =100 ❑0 ; C^1 = 140 ❑0

BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngồi . Chứng minh : B = ^A+ ^B

a A

b B

$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC

Tam giác Tam giác vuông

TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vng
TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vng

TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn

$ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :

Tam giác Δ . Cân . ĐỀU Δ VUÔNG Δ vuông

cân

Định

nghĩ
a

A,B,C không
thẳng hàng

 ABC:

AB = AC

Δ ABC :
AB=BC=AC

ΔABC:

^A = 90
❑0

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

n hệ
các
góc

❑01

=A+B
^

C1> ^A

C^

1> ^B

B =

2
ˆ
180 A

Â=180

❑0−2^B

A= ^B=^C=¿
60 ❑0

B^+ ^C = 90
❑0

B+ ^C = 45
❑0

Qua
n hệ
các
cạnh

1 cạnh< Tổng
và > Hiệu
2cạnh còn lại

AB=AC AB=BC=AC

❑2=AB2+AC2

BC > AB
BC > AC

AB=AC=

√c

BC= c √2

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , B^ = 60 độ . Hai tia phân giác của

góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng

minh góc BDC = góc C ?

HD: Tính góc C = 40 độ .
Tính góc BDC = 180 ❑0 –(90 +30)

= 40độ =>gócC =góc

BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 B^ và B^ = 3 C^ .

a/ Tính góc A ;B ; C ?

b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngồi tại
đỉnh C . Tính góc AEC ?

B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 C^ => góc C = 18
❑0

=> B^ = 54 độ; Â = 108 độ.

b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ
A => AC E = 81 độ và

Â ❑2 = B+C =54+18 =72 độ=>gócE =180–

(81+72)= 27 độ .

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là
tam giác gì ?

HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ
=> Tamgiác ABC vuông tại A .

BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp
và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết ΔABC=ΔPQR .

HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và
CA = 2n +5 .

Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2
=>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm

B C

BÀI 10: Cho góc xƠy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ;
AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ΔABC=ΔCDA∧b/ΔABD=ΔCDB ?

D
C

HD : ΔABC=ΔCDA(cgc)∧ΔCDB=ΔABD(cgc)

A B

BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường
thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường
thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường
thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?

A HD : Chứng minh

ΔABC=ΔCNA(gcg); ΔABC=ΔBAP=ΔMCB.

=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh
tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;
NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .

B C

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH AM và CK

AM .

Chứng minh : a/ BH // CK

A b/ M trung điểm của HK
c/ HC // BK ?

H D : a/ BH // CK vì cùng vng góc với AM .
B M C b/ ΔBHM=ΔCKM => MH=MK

c/ ΔHCM=ΔKBM =>gocHCB=gocKBC=> HC // BK

BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngồi tam giác
ấy

ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?
HD : ΔΔAMNALN=ΔLMB(cgc)=> NA=BL

=ΔMLC(cgc)=> NA=CM => LB = MC = NA

L
A

M N

BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; B^ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt

nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ?
b/ Tính góc BIC ?

A HD:a/ Góc I ❑1 > góc A ❑1 Góc ngồi tam giác

BIM

Góc I ❑2 > góc A ❑2 góc ngồi tam giác

CIM

 góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .

C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .
M

BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt
BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?

A HD : => Ta có ^D

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Mà ^D

1+ ^D2 = 180 độ => ^D1 =100 ❑0 ,

D2 = 80 ❑0

B D C

BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vng góc và bằng
AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E
khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?

b/ DC BE ?

E HD : a/ ΔADC=ΔABE(gcg) => DE = BE

D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao
A điểm DC với BE. ADH&KBHgocDAH BKH 900

B C

BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 C^ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D .

Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao
cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ?

HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK
A => ΔABE=ΔKCA(cgc) => AE = AK .

B C K

BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia
đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho

EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ?

HD: ΔAKM=ΔBKC(cgc)=> gocKAM=gocKBC=> AM // BC

ΔAEN=ΔCEB => AN=BC∧AN // BC

M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)
AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

B C

BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngồi tam giác ABC các tam giác vng tại
A là Δ ADB ; ΔACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vng góc BC ; DM
vng góc AH và EN vng góc AH . Chứng minh rằng

a/ DM = AH

N E b/ MN đi qua trung điểm DE .

D M

A HD : a/ ...=> ΔADM=ΔBAH => DM=AH

b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN
Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và

B H C DE => ΔDMO=ΔENO(gcg)=> OD=OE .

BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F
sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng :

A a/ DB = CF

b/ ΔBDC=ΔFC \{D^

D E F c/ DE // BC & DE = 12BC

HD: a/ ...=> ΔAED=ΔCEF (cgc)=> AD=CF=> BD=CF

B C b/ ...=> ΔDBC=ΔFCD(cgc)

c/ ...=> ΔBDC=ΔFCD => BC=DF=> DE=1

2DF=> DE=
1
2BC .

BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua
D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng
minh DM + EN = BC ?

A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK
EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK

 AD= NK ( vì cùng bằng EB ).

 Chứng minh ΔADM=ΔNKC(cgc)=> DM=KC

...=>....

E N

B F C

BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 ❑0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

A HD : ...=> B^

1+ ^C1=

B+ ^C

2 =

120
2 =60

ΔBIC :=>B^I C=1200

=> \{I^

1=^I4=60

0
E I D IK phân giác BI C^ => \{I^

1=^I2=60
0

ΔCDIΔBIE=ΔBIK(gcg)=> IE=IK

=ΔCIK(gcg)=> ID=IK =>ID=IE

B K C

BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác

AC E^ ∧DB E^

cắt nhau ở K . Chứng minh : BK C^ =B^A C+B^D C

2 ?

K
D

HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE
A H Xét ΔKGB∧ΔAGC=> \{^K+ ^B

1=^A+ ^C1 (1)
G Xét ΔKHC∧ΔDHB=> \{^K+ ^C

2=^D+ ^B2 (2)

E Từ (1) &(2) => 2 ^K= ^A+ ^D => ^K=^A+ ^D

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không
chứa C bờ AB vẽ A x vng góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt
phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vng góc AC và lấy AE = AC .

Chứng minh : a/ AM = 12 ED
b/ AM DE

H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi
AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi
chứng minh DE = AK

- Xét ΔABK∧ΔDAE: AD=AB(gt);AE=BK(¿AC)

Và vi \{

A

D^A E+ ^A=1800

(¿¿1+ ^A2=1800)
¿

(1)
B^+ ^B

1=^B+ ^C=>AB K^ + ^A= ^B+ ^C+ ^A=180
0

(vibu \{^A) (2)

Vậy :

AB K^ =D^A E=>ΔABK=ΔDAE => AK=DE=> AM=DE

B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có
B^A K+D^A H=900

=> \{^D+D^A H=900

=>AD H^ =900

BÀi 25 Miền trong góc nhọn xƠy vẽ Oz sao cho xƠz = 12 yÔz .Qua điểm A
thuộc

Oy vẽ AH vng góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng
minh tam gíc AOD cân ?

HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB
A Ta thấy :

A^E B=900− α∧AB E^

=OB H^ =900− α=>A^E B=AB E^

=> ΔAOB=ΔADE(cgc) => AO=AD => Δ AOD

cân

E D
B

O H h

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

BÀI 26 : Cho góc xƠz = 120 ❑0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác

của góc xƠy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vng góc O x,Vẽ MB vng
góc

Oy,Vẽ MC vng góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ?

HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.
y => Δ EOI đều => OC = EK .

z M Vẽ EH MA;EK⊥OI dễ dàng chứng minh
được

B MH = MB ; EK = OC

 MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC

H E

t
C

O I x
A K

BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
Chứng minh BC = BD + AD .

A HD : Ta có ^D

1=^B2+ ^C=200+400

 trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho

BD K^ =600∧

B^D E=800

=>ΔBDA=ΔBDK(gcg)=>DA=DK(1)

Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2)
Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)
Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD

B K E C

BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm
I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB .
Chứng minh Δ AIK vuông cân ?

HD : Ch/minh ΔABI=ΔKCA(cgc). AI=AK

A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)
Suy ra : tam giác AIK vuông cân

B C

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

BÀI 29:Cho góc xƠy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm
E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .

a/ Chứng minh AB = E F và AB E F

b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam
giác OMN vuông cân ?

HD : a/ ΔOAB=ΔOß E(2 cgv)=> AB= E F & AB⊥E F

b/ ΔOMB=ΔONE(cgc)=> OM=ON∧gocM OM=90do =>

y OMN vuông cân
B

N M

E O A x

BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao
cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :

A a/ CM = B N

b/ Số đo góc BOC khơng đổi khi M và N di động trên
AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.

M HD: a/ ΔACM=ΔCBN(cgc)=>CM=BN∧C^1= ^B1

ΔBOCcoB \{OC^ =1800

−( ^B1+ ^C2)=1800−600=1200
N

B C



</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Chuyên đề:

TAM GIÁC VUÔNG

TAM GIÁC CÂN ...

A. TAM GIÁC VUÔNG :

1/ Định nghĩa tam giác vng ? tam giác vng cân ?
2/ Tính chất :

- Tam giác ABC : Â=90 độ <=> B^+ ^C=900
- Định lý PyTago: ΔABC:^A=900⇔

BC2=AB2+AC2

- Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29)....
- Các hệ thức trong tam giác vuông:

ΔABC:^A=900;AH⊥BC => AH .BC=AB . AC

AB2=BH . BC;AC2=CH . BC. ;

- ΔABC:^A=90;AB=MC <=> AM=1

2BC

S ❑AMB = SAMC

- Tam giác vng có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ)
là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ).

- Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền
Toán nâng cao:

BÀI 1: Cho tam giác ABC vng tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia
đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB .

Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF .

Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B C F^ =1350
A Ch/minh : ΔBAE=ΔFCB(cgc)⇒BE=CF

D b/ ΔABF :^A=900

=>A^B F+ ^F=900
A C F Mà:

F=^B(cmt)=>AB F^ + ^B=900

hayE \{^B F=90

=> BE⊥BF

BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm
BM . Chứng minh : AC = 2 AD

A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA

=> ΔADB=ΔEMD(cgc)=> AB=ME; AB D^ =E^M D

=> AB=ME= 12BC=> ME=MC(1)

(1)

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

E^M A=^M

1+ ^M2;C^M A=^B+B^A M(gocngoai)
Mà: ^M

1=B(cmt);^M2=AB M^

Vậy : A^M E=A^M C (2) và AM chung (3)

E Từ (1),(2) và(3) suy ra

ΔMCME=ΔAMC=> AE=AC => AC=2AD

BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x BC và lấy
CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA .
Chứng minh : a/ ΔACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ?

Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => ΔCEAcan

Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ
Suy ra : ΔCAE đều

E b/ Ta có : BA = BF (gt) => ΔBFAcan

Suy ra : góc BA F = 30 độ;
A

Vậy: F^B A+B^A C+C^A E=300

+900+600=1800
Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF

F B C

BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O .
Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E .

Chứng minh : a/ Góc BOC khơng đổi .
b/ DE = DB + EC
A HD : a/ BO C^ =1800

−( ^B2+ ^C2)=1800−450=1350
b/ ΔDBOcan => DB=DO

O ΔEOC can=> EC=EO

D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE

B C

BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vng góc BC

(H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F.
Chứn minh : FH = FA = FC .

A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => Δ BEH cân => ^E= ^H

1
Mà ^H

1=^H2=>∧B^=2H^1=^B=2H^2=> \{^H2+ ^C
F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1)
Mặt khác : Â = 90 ❑0−C^∧A^H F=900−^H2
B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)

H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác
vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF).

a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ?

b/ Từ A và F kẻ các đường D D ❑',FF' vng góc xuống BC .

Chứng minh : DD'+FF'=BC

HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng
A b/ Kẻ AH BC =>

ΔDBD'

=ΔBAH => DD'=BH

ΔCFF'=ΔAHC=> FF'=HC

=>DD'

+FF'=BH+HC=BC

B C

Bài 7 : Cho ΔABC:B^A C=1200 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE AB ;
DF AC .

a/ Tam giác DE F tam giác gì ?

b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác
ACM là tam giác gì ?

A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => Δ đều
F b/Tam giác ACM đều .

E

B D C

BÀI 8 : Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng
vng góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E
và F . Chứng minh rằng:

a/ BE = CF b/ AE = AB+2AC ;BE=AB−AC

c/ góc BME = AC B −^2 B^

HD: a/ Chứng minh góc F = góc E
Kẻ CD // AB =>BE=CD (1)

A Mà Δ CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF
b/ Ta có AE = AB - BE

Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC

 AE= AB+2AC

E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = AB−2AC
M C c/ Ta có :

C^E F=AC^B- \{F^&B \{^M E=^E-B 2B \{^M E=AC^B- \{^B=>B^M E=AC^B- \{B^

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

B. TAM GIÁC CÂN

BỔ SUNG KIẾN THỨC:

1. Trong một tam giác vng có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với
góc ấy bằng nửa cạnh huyền.

2. Một tam giác vng có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác
vng đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vng là cạnh tam giác
đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.

3. Trong một tam giác vng có một cạnh góc vng bằng nửa cạnh huyền thì
góc đối diện cạnh với cạnh góc vng ấy bằng 30 độ.

4. Trong tam giác cân:

- Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau.
- Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.

- Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.
TOÁN CHO HS GIỎI:

BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm AB ; AC.

a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ?

b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vng góc AB ?
HD: A

D
M

E N

B C

Xét tam giác vng ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB
nên:

MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân.
Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều.

b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam
giác AEN

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông
tại E =>

CE vng góc AB

BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho
BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ?

HD:

B
N

= 1 = M
1

A C

Tam giác BAM cân tại B=> ^M

180−^B

Tam giác CAN cân tại C=> ^N1=180−C^

Vậy : M^A N=180−( ^M

1+ ^N)=180−135=45

BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3
góc bằng

nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ?
b/ Tam giấcBM là tam giác đều ?
HD:

B H M C
a/ Vẽ MI vng góc AC . Chưng minh

ΔMAI=ΔMAH(C.h+g.n)=> BH=MH=1

2BM=
1

2MC=> \{C^=30

0∧

H^A C=600

Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A.

b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM

cân có

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một
đoạn CD

sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ?
HD:

1 2
2 1 1

B C D

- Kẻ BH vng góc AC. Xét tam gica vng BHC vng tại H và góc C=60 độ =>
góc

B1=30
0

=>CH=1

2BC=> CH=CD =>ΔCDH can= ^D1=

2 AC B^ =30

=>ΔHDBcan => HB=HD(1)

- Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vng
cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.

Ta suy ra ^D

2^H1=15

0=>AD B^

=30+15=450

ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO

KIẾN THỨC BỔ SUNG:

1. Trong tam giác vng cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a √2

2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:

y2− y1¿2

x2− x1¿2+¿
¿

y2− y1¿2=> AB=√¿

x2− x1¿2+¿

A(x1; y1); B(x2; y2)=> AB2=¿

BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32.
Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :
a/ Tam giác ABC vuông ?

b/ góc AMB = 2góc C.

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

7
M
24 32

B 40 C
a/ Tam giác ABC có: BC ❑2=40 . 40=1600

AB ❑2+AC2=24 .24+32. 32=1600

Vậy AB2+AC2=BC2=1600 =>ΔABCvuongtaiA

b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=

√

242−72=25

AC−AM=32−7=25

Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngồi)
Vậy góc AMB = 2. góc C

BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính
BC ?

A A

25 24

24 26 25 26
 B H C H B C
 (H1) (H.2)
 - Tính được HB= 7 ; HC= 10

- Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1)
 - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2)

BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền
51 cm.

Tính độ dài 2 cạnh góc vng ?

HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k
Ta có 15¿

=512=>289k2=2601=>k=3

8k¿2+¿

AB2

+AC2=¿

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên
tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng
minh EB vng góc E F ?

HD: A

D F

B H C

E
Vì AD=HE=>AH=DE

Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F
ta được:

BF

=AB2+A F2=(BH2+AH2)+(AD2+DF2)

BF2=HB2+DE2+HE2+DF2=(BH2+HE2)+(DE2+DF2)=BE2+EF2

Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vng tại E=> EB vng
góc E F

BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc
3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ?

HD : B
=
C
x? =

A D

Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là
điểm C

thì CB=CD .

Tam giác vng ACD có :

AC2+AD2=CD2
¿

9− x¿2=>x=4 met

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1).
Tính các góc tam giác ABC ?

HD x

4 A(5;4)
3 B(2;3)

1 C(6;1)

x
O 2 5 6

Ta có : AB2
=¿

4−3¿2=10(1)

5−2¿2+¿
¿

AC



(

5 

6 )



(

4 

1 )

❑2=10(2)
1−3¿

2== 20

6−2¿2+¿

BC2

=¿

Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB

❑2+AC2=BC2=20 =>ΔABCvuong

Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ

CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
 CỦTAM GIÁC VUÔNG

BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .

a/ Chứng minh tam giác ABC cân.
b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ?

HD: (H.1) A A

F D
H K

(H.1) B M C (H.2) B E C
a/ Vẽ thêm MH vng góc AB & MK vng góc AC.

Chứng minh ΔHMBΔHAM=ΔKAM(ch+gn)=> MH=MKA

=ΔKMC(ch+cgv)=> \{^B= ^C=>ΔABC cantaiA

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau.
a/ Chứng minh tam giác đó đều ?

b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài a√3

2 . Tính độ dài mỗi cạnh tam

giác đó?

HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F.
a/ Ta chứng minh

ΔFBC=ΔECB(ch+cgv)=> \{B^=^C ;. .. .. . .. => \{C^= ^A=>ΔABCdeu .

b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vng tại D có 
 AC2=AD2+CD2=>x=a

BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại Â và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam
gốc sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.?
M

M
A A

O O

B C B C
(H.1) ( H.2)

HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ
Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)

 góc MCA=60-50=10 độ

 ΔAMB=ΔAMC(CCC)=>AM B^ =AM C^ =600:2=300
 ΔOBC=ΔAMC(gcg)=> CO=CA =>ΔCOA can .

BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia
phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ?

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vng góc AB tại B và vng
góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D.

a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ?
b/ So sánh AD & CD ?

HD: (H1) A A ( Hình 2)

1 2 D E

B C B M N C
D

(xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> ^A

1= ^A2
Suy ra AD phân giác góc Â

b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng)

BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt
điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vng góc với BC. Chứng
minh BM=CN ?

HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C

Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN

BÀI 25: Cho góc xƠy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm
AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vng góc với tia OM . Chứng minh
AE=BF ?

HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác
MBF

x (Ch+gn)=>AE=BF

E M F

O y

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

a/ Chứng minh OE = O F=O

b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG

HD: A

1 2
 E

F

O

2 2
 1 1

B G D C

a/ Chưng minh:

ΔBOß=ΔBOG(ch+gn)=>OF=OG (1)

ΔCOG=ΔCOE(ch+gn)=> OE=OG(2)

T u (1)∧(2)=> OE=OF=OG

b/ ΔAOE=ΔAO F=> \{^A1=^A2=1

2^A ;B^=^B2=

2^B∧C^1= ^C2=

1
2C^

Suy ra ^A

1+ ^B+C2=180 :2=900 (1)

Mặt khác tam giác vng BOG(góc G=90 độ)=> B^

1+BOG^ =900(2)
Từ (1) và(2) => ^A

1+ ^C2=BO G^ (3)

Từ (3) và (4)=> BO G^ =CO D^ <=>B OG=GO D^ =CO D^ +GO D ,^ <=>BO D^ =CO G^

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1:Tính giá trị của biểu thức :

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = 43x −x 9

+y−

4y+9

3y+x ( x - 3y ; y

- 3x)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A = x

(x2+2y)(x2−2y)(x4+2y4)(x8+2y8)

x16+2y16 với x = 4 và y = 8

b) B = 2m2 – 3m + 5 với |m| = 1

c) C = 2a2 – 3ab + b2 với |a|=1 và |b| = 2

Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :
a) x+1

x2−4 b)

x −1

x2+1 c)

ax+by+c

xy−3y

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N= 6x2+x −3

2x −1 với |x| =
1

Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để :

a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7

Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau :
A = 5x2+3y2

10x2−3y2 với
x

y

Bài 8: Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức
B =

(

1−z

x

)(

1−
x
y

)(

y
z

)

Bài 9:

a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - 1

5¿ 2 – 10

b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D = 4

(2x −3)2+5

Bài 10: Cho biểu thức E = 5x −− x2 .Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất

Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau :

a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + |y −3| - 2

Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = |x −2|+|x −10|

Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
A = 105xx+15

Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b Z

Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35

Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng khơng có những số ngun a, b, c

nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000

Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương

với mọi giá trị của x.

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = |x −1|−|x+3| với x 7

Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau :

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2

d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc
e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b)

f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x)

Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau :

a) A = ( 15x + 2y) - [(2x+3)−(5x+y)] b) B = (12x + 3y) + (5x – 2y)

-[13x+(2y −5)]

Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích :

a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2

d) x2+ 5x + 6

Bài 22: Chứng tỏ rằng :

a) Biểu thức x2 + x + 3 ln ln có giá trị dương với mọi giá trị của x .

b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.

Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:
a) x+1

x=1 b) x+

x=5 c) x√3+3=y√3− x d) (x-2)

√

25n2+5 + y-

2= 0 (n N)

Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:

a)

y=x+2

x −1

b*)

y=
2x −3

x+1

ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :

a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2)

c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :
a) x3+x

6+
3x

2 b) 3ab.
2

5 ac – 2a.abc -
1

3 a2bc

(

3ac

)

.c2 - 2

5 a2.(c.c)2 +
2

3 ac2.ac -
1
4 a2c2

Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y

chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13
Bài 4: Cho biểu thức :

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Với giá trị nào của a thì P > 0

Bài 5 : Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k N)

Với giá trị nào của x và k thì Q < 0

Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n N; n 0)

Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1

Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz

Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:

1
7x

y3;−3x3y ;4x2;5;ax5y3;1

9 x

y

Bài9 : Tính tổng :
a) 12 y2z5−3

4 y

2z5

3 y

2z5

b) axy3−bxy3

3xy

Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :

a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1

d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1

Nâng cao

Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a 0; b 0)

Tìm GTNN của M

Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0

Bài 3: Chứngminh rằng với n N*

a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số không

b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25

c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300

Bài 4 : Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0

Bài 5: Rút gọn:

a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4

b) 2y – x -

{

2x − y −[y+3x −(5y − x)]

}

với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Bài 6: Tìm x,biết :

a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6
b) ( 34x+3 ) –

(

3x −4

)

(

6x+1

)

(

3x+4

)

(

1
3x −3

)

Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : abc+bca+cab = 666

Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc+bca+cab là một số chính phương
khơng ?

Bài9 : Tính tổng :

a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5)
b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)
c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2)
d) (4x2+x2y -5y3)+( 53 x3−6 xy2− x2y )+( x

3 +10y

3 )+ (

6y3−15 xy2−4x2y −10x3 )
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau

a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)

b/(x3+6x2+5y3)−(2x3−5x+7y3)

c/(5,7x2y −3,1 xy+8y3)−(6,9 xy−2,3x2y+8y3)

d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e)

M=−2x

3 +3x

(

x

6−

−2
9 −

7
5

)

−

5x
2

(

x
5−

4
5

)

Bài 11: Tìm x biết:

a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213
b) 12 x −1

3=
1
4 x −

6 c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)

x+1

3 =

x −2
4

e) x −76+x −7

8 +

x −8

9 =

x −9

10 +

x −10

11 +

x −11

12 f)

x+32

11 +

x+23

12 =

x+38

13 +

x+27

g) |x −2|=13 h) 3|x −2|+|4x −8|=|−2|−

|

i) |3x −2|+5

−1

=3+

|

x −2

|

|x+2| + |x −2| =3

m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = 1

2−
1

3 p) ( x-1)3 =

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự

nhiên

Chủ đề:

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ

CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:

1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có
liên quan cũng như một số phương pháp giải tốn dựa vào số chính phương.

2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính
phương và giảimột số dạng tốn có liên quan.

3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

II/ LÝ THUYẾT:

1.Định nghĩa:

Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: 32=9;152=225

Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính
phương

2. Một số tính chất:

a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi
2; 3; 7; 8.

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Thật vậy ,giả sử M=a52 = 10a+5¿

=100a2+100a+25 .
¿

Vì chữ số hàng chục của 100a2 và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M

là 2

c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó
là số lẻ.

Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6

thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6.

Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),
Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.

Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .

Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố

khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì ,
A = m2 =(ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…

Từ tính chất này suy ra

-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

3/ Nhận biết một số chính phương:

4/ Hằng đẳng thức vận dụng:

(a  b)2 = a2  2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)

5. Các ví dụ:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng :

a) Một số chính phương khơng thể viết được dưới dạng 4n+2
họăc 4n +3 (nN);

b) Một số chính phương khơng thể viết dưới dạng 3n+2(nN).

Giải

a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia

hết cho 4 cịn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) ,

Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.

Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4

hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó khơng thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc
4n+3(nN)

b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k ± 1 (k N) khi

đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có

dạng (3k ± 1)2= 9k2 ± 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy

một số chính phương khơng thể viết dưới dạng 3n+2(nN).

Ví dụ 2:

Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau
còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.

Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một
số chính phương.

Giải

Cách 1 .

Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục
của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9
khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương.

Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là
16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có :

1+3+5+7+9=25=52là số chính phương

Ví dụ3:

Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính

phương

Trả lời

n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100,

do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ
nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :

37; 73; 121; 181; 253.

Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.

Ví dụ 4:

Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 khơng thể
là các số chính phương

Giải

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2
và p không chia hết cho 4 (1)

a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (mN)

Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .

Đặt m=2k+1 (kN)

Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1

do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 khơng là số chính phương

b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3.

Do đó p-1 = 3k+2 khơng là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số ngun tố
đầu tiên thì p-1 và p+1 khơng là số chính phương

III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP BÀI GIẢI

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết
rằng trong 3 mệnh đề sau có 2
mệnh đề đúng và một mệnh đề
sai:

1/ n có chữ số tận cùng là 2
2/ n + 20 là một số chính
phương

3/ n – 69 là một số chính
phương

Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20
có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n –

69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính
phương khơng có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3.
Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái
giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và
(3) đúng.

Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b  N và a > b)

=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1

Do đó:

a b 89
a b 1

 




 

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

20 = 2005

Bài 2: Cho N là tổng của 2 số
chính phương. Chứng minh
rằng:

a/ 2N cũng là tổng của 2 số
chính phương.

b/ N2 cũng là tổng của 2 số

chính phương.

Gọi N = a2 + b2 (a, b  N)

a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab

= (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính

phương.

b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 +

b2+ 4a2b2

= (a2 – b2)2 + (2ab)2

Bài 3: Cho A, B, C, D là các số
chính phương. Chứng minh
rằng:(A + B)(C + D) là tổng của
2 số chính phương.

Theo bài tốn thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2;

Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) =

= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd

– 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là

tổng của 2 số chính phương.

Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z
sao cho: x = y + z. Chứng minh
rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng
của 3 số chính phương.

Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0

=> x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0

=> 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số
nguyên thoả mãn: a – b = c + d.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 +

d2 ln là tổng của 3 số chính

phương.

Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0
=> 2a(a – b – c – d) = 0

Nên ta suy ra:

a2 + b2+ c2 + d2 = a2 + b2+ c2 + d2 + 2a(a – b – c

– d)

= (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2

Bài 6: Cho 2 số chính phương
liên tiếp. Chứng minh rằng tổng
của 2 số đó cộng với tích của
chúng là một số chính phương
lẻ.

Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2

+ 2n + 1 =
= (n2 + n + 1)2

n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ.

Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.

Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... +

a/ Tính an+1

b/ Chứng minh rằng an + an+1 là

một số chính phương

a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... +

(n + 1)

b/ an + an+1 =

(1 n)n
2


(1 n 1)(n 1)
2

  

(n 1)(n n 2)
2

  

=
= (n + 1)2

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1.

Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1,
số B chỉ gồm m chữ số 4.

Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và
số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.

Bài3.

Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.

Bài 4.

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các
chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 khơng ? Có số
nào là số chính phương không?

Bài 5

Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự
tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương khơng?

</div>

CacchuyendeBoiduonghocsinhgioiToanlop7

Chuyên đề:

<b>TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU</b>

<b>A</b>

.

<b>CƠ SỞ LÍ THUYẾT</b>

B.

<b>CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b>

<b>BÀI TẬP VẬN DỤNG:</b>

[

]

[

]









<b>DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC</b>

(

)

(

)

<b>BÀI TẬP VẬN DỤNG:</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI</b>

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|