Chuyen de PT bac 2Gia su Khuyen HocAn Giang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phương trình bậc hai và định lí Viét.</b>

<b>(Gồm 9 dạng tốn và 21 bài tập tổng hợp)</b>

<i><b>D¹ng 1: Giải ph</b><b> ơng trình bậc hai.</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Giải các phơng trình

1) x2_{6x + 14 = 0 ;} _{2) 4x}2_{– 8x + 3 = 0 ;}

3) 3x2_{+ 5x + 2 = 0 ;} _{4) -30x}2_{+ 30x – 7,5 = 0 ;}

5) x2_{– 4x + 2 = 0 ;} _{6) x}2_{– 2x – 2 = 0 ;}

7) x2_{+ 2}

√2 x + 4 = 3(x + _√2 ) ; 8) 2 _√3 x2_{+ x + 1 =}

√3 (x + 1) ;
9) x2_{– 2(}

√3 - 1)x - 2 _√3 = 0.

<i><b>Bài 2:</b></i> Giải các phơng trình sau bằng cách nhÈm nghiÖm:

1) 3x2_{– 11x + 8 = 0 ;} _{2) 5x}2_{– 17x + 12 = 0 ;}

3) x2_{– (1 +}

√3 )x + _√3 = 0 ; 4) (1 - _√2 )x2_{– 2(1 +}

√2 )x
+1+3 _√2 =0

5) 3x2_{– 19x – 22 = 0 ;} _{6) 5x}2_{+ 24x + 19 = 0 ;}

7) ( _√3 + 1)x2_{+ 2}

√3 x + _√3 - 1 = 0 ; 8) x2_{– 11x + 30 = 0 ;}

9) x2_{– 12x + 27 = 0 ;} _{10) x}2_{– 10x + 21 = 0.}
<i><b>D¹ng 2: Chøng minh ph</b><b> ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.

1) x2_{2(m - 1)x – 3 – m = 0 ;} _{2) x}2_{+ (m + 1)x + m = 0}

3) x2_{– (2m – 3)x + m}2_{– 3m = 0 ;} _{4) x}2_{+ 2(m + 2)x – 4m}

– 12 = 0

5) x2_{– (2m + 3)x + m}2_{+ 3m + 2 = 0 ;} _{6) x}2_{– 2x – (m – 1)(m – 3)}

= 0

7) x2_{– 2mx – m}2_{– 1 = 0 ;} _{8) (m + 1)x}2_{– 2(2m – 1)x –}

3 + m = 0

9) ax2_{+ (ab + 1)x + b = 0.}

<i><b>Bµi 2: </b></i>

a) Chøng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có
nghiệm:

(x a)(x b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

b) Chøng minh r»ng víi ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có
hai nghiệm phân biết: 1

<i>x a</i>+

1

<i>x b</i>+

1

<i>x − c</i>=0 (Èn x)

c) Chøng minh rằng phơng trình: c2_x2_{+ (a}2_b2_{– c}2_{)x + b}2_{= 0 v«}

nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:

(a + b)2_x2_{– (a – b)(a}2_{– b}2_{)x – 2ab(a}2_{+ b}2_{) = 0 luôn có hai nghiệm}

phân biệt.

<i><b>Bài 3: </b></i>

a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c phơng trình bậc hai sau đây có
nghiệm:

ax2_{+ 2bx + c = 0 (1)}

bx2_{+ 2cx + a = 0 (2)}

cx2_{+ 2ax + b = 0 (3)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

x2_{+ 2ax + 4b}2_{= 0 (1)}

x2_{- 2bx + 4a}2_{= 0 (2)}

x2_{- 4ax + b}2_{= 0 (3)}

x2_{+ 4bx + a}2_{= 0 (4)}

Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có
nghiệm.

c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):

ax2<i></i>2b<i>b</i>+<i>c</i>
<i>b</i>+<i>c</i> <i>x</i>+

1

<i>c</i>+<i>a</i>=0 (1)

bx2<i>−</i>2c√<i>c</i>+<i>a</i>
<i>c</i>+<i>a</i> <i>x</i>+

1

<i>a</i>+<i>b</i>=0 (2)

cx2<i>₋</i>2a√<i>a</i>+<i>b</i>
<i>a</i>+<i>b</i> <i>x</i>+

1

<i>b</i>+<i>c</i>=0 (3)
với a, b, c là các số dơng cho trớc.

Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có
nghiệm.

<i><b>Bài 4: </b></i>

a) Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0.}

Bit a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai
nghiệm.

b) Chứng minh rằng phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 ( a}≠_{0) cã hai nghiÖm}

nếu một trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;

5a + 3b + 2c = 0.

<i><b>Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph</b><b> ơng trình bậc hai nhờ </b></i>
<i><b>nghiệm của ph</b><b> ơng trình bậc hai cho tr</b><b> ớc.</b><b> </b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 3x 7 = 0.

Tính:

<i>A</i>=<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2; B=|<i>x</i>₁<i>− x</i>₂|<i>;</i>

<i>C</i>= 1

<i>x</i>1<i>−</i>1

+ 1

<i>x</i>2<i>−</i>1

; D=(3x1+<i>x</i>2) (3x2+<i>x</i>1)<i>;</i>
<i>E</i>=<i>x</i>₁3+<i>x</i>₂3; F=<i>x</i>₁4+<i>x</i>₂4
Lập phơng trình bậc hai có các nghiƯm lµ <i>_x</i> 1

1<i>−</i>1

vµ 1

<i>x</i>₂<i>−</i>1 .

<i><b>Bµi 2:</b></i> Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình: 5x2 3x 1 = 0. Không

giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

<i>A</i>=2x₁3<i>−</i>3x₁2<i>x</i>₂+2x₂3<i>−</i>3x₁<i>x</i>₂2<i>;</i>

<i>B</i>=<i>x</i>1

<i>x</i>₂+
<i>x</i>₁
<i>x</i>₂+1+

<i>x</i>₂
<i>x</i>₁+

<i>x</i>₂
<i>x</i>₁+1<i>−</i>

(

1

<i>x</i>₁<i>−</i>

1

<i>x</i>₂

)

2

<i>;</i>

<i>C</i>=3x1

2+5x₁<i>x</i>₂+3x

22

4x1<i>x</i>₂2+4x

12<i>x</i>₂

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Gäi p vµ q lµ nghiƯm của phơng trình bậc hai: 3x2_{+ 7x + 4 = 0. Không}

giải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà
các nghiệm của nã lµ <i>p</i>

<i>q −</i>1 vµ

<i>q</i>
<i>p −</i>1 .

b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 1

10<i>−</i>√72 vµ
1
10+6√2 .
<i><b>Bµi 4:</b></i> Cho phơng trình x2_{2(m -1)x m = 0.}

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi mäi

m.

b) Víi m ≠ 0, lËp phơng trình ẩn y thoả mÃn <i>y</i>1=<i>x</i>1+<i>_x</i>1
2

và y2=<i>x</i>2+<i>_x</i>1
1 .

<i><b>Bài 5:</b></i> Không giải phơng trình 3x2_{+ 5x 6 = 0. HÃy tính giá trị các biÓu}

thøc sau:

<i>A</i>=₍3x₁<i>−</i>2x₂_{) (}3x₂<i>−</i>2x₁₎; B= <i>x</i>1

<i>x2−</i>1+

<i>x</i>₂
<i>x1−</i>1<i>;</i>

<i>C</i>=_|<i>x</i>1<i>− x</i>2|; D=
<i>x</i>1+2

<i>x</i>₁ +
<i>x</i>2+2

<i>x</i>₂

<i><b>Bµi 6:</b></i> Cho phơng trình 2x2_{4x 10 = 0 có hai nghiệm x}

1 ; x2. Không

giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶

m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1

<i><b>Bài 7:</b></i> Cho phơng trình 2x2_{– 3x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x}

1 ; x2. HÃy thiết

lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿

<i>a</i>¿<i>y</i>₁=<i>x</i>₁+2¿<i>y</i>₂=<i>x</i>₂+2¿ b¿ ¿ ¿<i>y</i>₁=<i>x</i>12

<i>x</i>₂ ¿<i>y</i>2=
<i>x</i>₂2

<i>x</i>₁ ¿ ¿{¿

<i><b>Bµi 8:</b></i> Cho phơng trình x2_{+ x 1 = 0 cã hai nghiÖm x}

1 ; x2. H·y thiÕt lËp

phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
<i>a</i>¿<i>y</i>₁+<i>y</i>₂=<i>x</i>1

<i>x</i>₂+
<i>x</i>2
<i>x</i>₁¿

<i>y</i>1
<i>y</i>₂+

<i>y</i>2

<i>y</i>₁=3x1+3x2¿ ; b¿ <i>y</i>1+<i>y</i>2=<i>x</i>12+<i>x</i>₂2<i>y</i>₁2+<i>y</i>₂2+5x₁+5x₂=0 . {

<i><b>Bài 9:</b></i> Cho phơng trình 2x2_{+ 4ax – a = 0 (a tham sè, a}≠_{0) cã hai nghiÖm}

x1 ; x2. H·y lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mÃn:
<i>y</i>₁+<i>y</i>₂=1

<i>x</i>₁+

1

<i>x</i>₂ và

1

<i>y</i>₁+

1

<i>y</i>₂=<i>x</i>1+<i>x</i>2

<i><b>Dng 4: Tỡm điều kiện của tham số để ph</b><b> ơng trình có nghim, cú nghim</b></i>
<i><b>kộp, vụ nghim.</b></i>

<i><b>Bài 1: </b></i>

a) Cho phơng trình (m – 1)x2_{+ 2(m – 1)x – m = 0 (Èn x).}

Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m – 1)x2_{– 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.}

Tìm m để phơng trình có nghim.

a) Cho phơng trình: (m 1)x2_{2mx + m – 4 = 0.}

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép
đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phõn bit.

<i><b>Bài 2:</b></i>

a) Cho phơng trình: 4x

2

<i>x</i>4+2x2+1<i></i>

2(2m<i></i>1)<i>x</i>

<i>x</i>2+1 +<i>m</i>

2

<i> m</i>6=0 _.
Xác định m để phơng trình có ít nhất mt nghim.

b) Cho phơng trình: (m2_{+ m 2)(x}2_{+ 4)}2_{– 4(2m + 1)x(x}2_{+ 4) + 16x}2

= 0. Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

<i><b>Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph</b><b> ơng trình ax</b><b>2</b><b>_{+ bx + c = 0}</b></i>

<i><b>thoả mÃn điều kiện cho tr</b><b> ớc</b><b> .</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i> Cho phơng trình: x2_{2(m + 1)x + 4m = 0}

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghim cũn

lại.

3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái
dấu)

4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
(cùng âm).

5) nh m phng trỡnh có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đơi
nghiệm kia.

6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22

– x1x2 nhËn giá trị nhỏ nhất.

<i><b>Bi 2:</b></i> nh m phng trỡnh có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2_{– 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;} _(4x

1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2_{– (m – 4)x + 2m = 0 ;} _2(x

12 + x22) = 5x1x2

c) (m – 1)x2_{– 2mx + m + 1 = 0 ;} _4(x

12 + x22) =

5x12x22

d) x2_{– (2m + 1)x + m}2_{+ 2 = 0 ;} _3x

1x2 – 5(x1 + x2) + 7 =

0.

<i><b>Bài 3:</b></i> Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) x2_{+ 2mx – 3m – 2 = 0 ;} _2x

1 – 3x2 = 1

b) x2_{– 4mx + 4m}2_{– m = 0 ;} _x

1 = 3x2

c) mx2_{+ 2mx + m – 4 = 0 ;} _2x

1 + x2 + 1 = 0

d) x2_{– (3m – 1)x + 2m}2_{– m = 0 ;} _x

1 = x22

e) x2_{+ (2m – 8)x + 8m}3_{= 0 ;} _x

1 = x22

f) x2_{– 4x + m}2_{+ 3m = 0 ;} _x

12 + x2 = 6.

<i><b>Bµi 4: </b></i>

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2_{(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều}

kin ca m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho

nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

b) Ch phơng trình bậc hai: x2_{– mx + m – 1 = 0. Tìm m để phơng trình}

cã hai nghiƯm x1 ; x2 sao cho biĨu thøc <i>R</i>=

2x₁<i>x</i>₂+3

<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2+2(1+<i>x</i>₁<i>x</i>₂)

đạt giá
trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx2_{– (m + 3)x + 2m + 1 = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà
nghiệm này gấp đơi nghiệm kia là 9ac = 2b2_.

<i><b>Bµi 6:</b></i> Cho phơng trình bậc hai: ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0). Chøng minh r»ng}

điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần
nghiệm kia (k > 0) là :

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Dạng 6: So sánh nghiệm của ph</b><b> ơng trình bậc hai với một số.</b></i>

<i><b>Bài 1:</b></i>

a) Cho phng trình x2_{– (2m – 3)x + m}2_{– 3m = 0. Xỏc nh m}

ph-ơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6.

b) Cho phơng trình 2x2_{+ (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m phng}

trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - 1 < x1 < x2 < 1.

<i><b>Bài 2:</b></i> Cho f(x) = x2_{– 2(m + 2)x + 6m + 1.}

a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 cã nghiƯm víi mäi m.

b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng
trình f(x) = 0 cú hai nghim ln hn 2.

<i><b>Bài 3:</b></i> Cho phơng trình bËc hai: x2_{+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.}

a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các
nghiệm kép.

b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân bit ln hn 1.

<i><b>Bài 4:</b></i> Cho phơng trình: x2_{+ 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.}

a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một
nghiệm lớn hơn 1.

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

<i><b>Bài 5:</b></i> Tìm m để phơng trình: x2_{– mx + m = 0 có nghiệm thoả món x}

1 - 2

x2.

<i><b>Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph</b><b> ơng trình bậc hai</b></i>
<i><b>không phụ thuộc tham số.</b></i>

<i><b>Bài 1: </b></i>

a) Cho phơng trình: x2_{mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai}

nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m.

b) Cho phơng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2_{– 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0.}

Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các nghiệm
không phơ thc vµo tham sè m.

c) Cho phơng trình: 8x2_{– 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để}

ph-ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập

với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai s 1 v 1.

<i><b>Bài 2:</b></i> Cho phơng trình bËc hai: (m – 1)2_x2_{– (m – 1)(m + 2)x + m = 0.}

Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ
thuộc vào tham số m.

<i><b>Bài 3:</b></i> Cho phơng trình: x2_{– 2mx – m}2_{– 1 = 0.}

a) Chøng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.

c) Tỡm m phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
<i>x</i>₁
<i>x</i>2

+<i>x</i>2

<i>x</i>1

=<i></i>5

2 .

<i><b>Bài 4:</b></i> Cho phơng trình: (m 1)x2_{2(m + 1)x + m = 0.}

a) Giải và biện luận phơng trình theo m.

b) Khi phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x2:

- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.

- T×m m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.

<i><b>Bµi 5:</b></i> Cho phơng trình (m 4)x2_{2(m 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph</b><b> ơng trình bậc hai.</b></i>
<i><b>Kiến thức cần nhớ:</b></i>

<i><b>1/</b></i> nh giỏ trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0)

lần một nghiệm của phng trỡnh kia:

Xét hai phơng trình:

ax2_{+ bx + c = 0 (1)}

a’x2_{+ b’x + c’ = 0 (2)}

trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.

Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một
nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm nh sau:

<i><b>i)</b></i> Gi¶ sư x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của

phơng trình (2), suy ra hệ phơng tr×nh:

¿

ax₀2+bx₀+<i>c</i>=0

a'k2<i>_x</i>

02+b'kx₀+c'=0

(<i>∗</i>)

¿{

¿

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.

<i><b>ii)</b></i> Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để
kiểm tra lại.

<i><b>2/</b></i> Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:

ax2_{+ bx + c = 0 (a}≠_{0) (3)}

a’x2_{+ b’x + c’ = 0 (a’}≠_{0) (4)}

Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình
có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).

Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng
đ-ơng với nhau ta xét hai trờng hp sau:

<i><b>i)</b></i> Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

<i></i>₍₃₎<0

<i></i>₍₄₎<0

{

Gii h trờn ta tm c giỏ trị của tham số.

<i><b>ii)</b></i> Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:

¿
<i>Δ</i>₍₃₎<i>≥</i>0

<i>Δ</i>₍₄₎<i>≥</i>0

<i>S</i>₍₃₎=<i>S</i>₍₄₎

<i>P</i>₍₃₎=<i>P</i>₍₄₎

¿{ { {

¿

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2_{hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

bx+ay=<i>c</i>

b'x+a'y=<i></i>c'

{

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x2_.

- Kiểm tra lại kết quả.

<i><b>-Bi 1:</b></i> Tỡm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2_{– (3m + 2)x + 12 = 0}

4x2_{– (9m – 2)x + 36 = 0}

<i><b>Bài 2:</b></i> Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm
nghiệm chung đó:

a) 2x2_{+ (3m + 1)x – 9 = 0;} _6x2_{+ (7m – 1)x – 19 = 0.}

b) 2x2_{+ mx – 1 = 0;} _mx2_{– x + 2 = 0.}

c) x2_{– mx + 2m + 1 = 0;} _mx2_{– (2m + 1)x 1 = 0.}

<i><b>Bài 3:</b></i> Xét các phơng tr×nh sau:

ax2_{+ bx + c = 0 (1)}

cx2_{+ bx + a = 0 (2)}

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trờn cú
mt nghim chung duy nht.

<i><b>Bài 4:</b></i> Cho hai phơng tr×nh:

x2_{– 2mx + 4m = 0 (1)}

x2_{– mx + 10m = 0 (2)}

Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai
lần một nghiệm của phng trỡnh (1).

<i><b>Bài 5:</b></i> Cho hai phơng trình:

x2_{+ x + a = 0}

x2_{+ ax + 1 = 0}

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm
chung.

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng ng.

<i><b>Bài 6:</b></i> Cho hai phơng trình:

x2_{+ mx + 2 = 0 (1)}

x2_{+ 2x + m = 0 (2)}

a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.

c) Xác định m để phơng trình (x2_{+ mx + 2)(x}2_{+ 2x + m) = 0 cú 4}

nghiệm phân biệt

<i><b>Bài 7:</b></i> Cho các phơng trình:

x2_{5x + k = 0 (1)}

x2_{– 7x + 2k = 0 (2)}

Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần
một trong các nghiệm ca phng trỡnh (1).

<b>II) Ph</b>

<b> ơng trình quy về ph</b>

<b> ơng trình bậc hai.</b>

<i><b>Dạng 1: Ph</b><b> ơng trình có ẩn sè ë mÉu.</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2 2

x x 3 2x 1 x 3 t 2t 5t

a) 6 b) 3 c) t

x 2 x 1 x 2x 1 t 1 t 1

   

     

    

<i><b>D¹ng 2: Ph</b><b> ơng trình chứa căn thức</b><b>.</b></i>

Loại <i>A</i>=<i>B</i>

<i>A </i>0 (hayB<i></i>0)

<i>A</i>=<i>B</i>

Loại <i>A</i>=<i>B</i>

<i>B </i>0

<i>A</i>=<i>B</i>2

{

Giải các phơng trình sau:

<i>a</i>

2x2<i></i>3x<i></i>11=

<i>x</i>2<i></i>1 b¿

√

(<i>x</i>+2)2=

√

3x2<i>−</i>5x+14¿<i>c</i>¿

√

2x2+3x<i>−</i>5=<i>x</i>+1 d¿

_√

(<i>x −</i>1)(2x<i>−</i>3)=<i>− x −</i>9¿<i>e</i>¿ (<i>x −</i>1)

√

<i>x</i>2<i>−</i>3x¿

<i><b>Dạng 3: Ph</b><b> ơng trình chứa dấu giỏ tr tuyt i</b><b>.</b></i>

Giải các phơng trình sau:

<i>a</i>|<i>x </i>1|+<i>x</i>2=<i>x</i>+3 b¿ |<i>x</i>+2|<i>−</i>2x+1=<i>x</i>2+2x+3¿<i>c</i>¿ |<i>x</i>4+2x2+2|+<i>x</i>2+<i>x</i>=<i>x</i>4<i>−</i>4x d¿ |<i>x</i>2+1|<i>−</i>

√

<i>x</i>2<i>−</i>4x+4=3x¿

<i><b>D¹ng 4: Ph</b><b> ơng trình trùng ph</b><b> ơng.</b></i>

Giải các phơng trình sau:

a) 4x4_{+ 7x}2_{– 2 = 0 ;} _{b) x}4_{– 13x}2_{+ 36 = 0;}

c) 2x4_{+ 5x}2_{+ 2 = 0 ;} _{d) (2x + 1)}4_{– 8(2x + 1)}2

9 = 0.

<i><b>Dạng 5: Ph</b><b> ơng trình bậc cao</b><b>.</b></i>

Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về
ph-ơng trình bậc hai:

<i><b>Bµi 1: </b></i>

a) 2x3_{– 7x}2_{+ 5x = 0 ;} _{b) 2x}3_{– x}2_{– 6x + 3 =}

0 ;

c) x4_{+ x}3_{– 2x}2_{– x + 1 = 0 ;} _{d) x}4_{= (2x}2_{– 4x + 1)}2_.

<i><b>Bµi 2:</b></i>

a) (x2_{– 2x)}2_{– 2(x}2_{– 2x) – 3 = 0 c) (x}2_{+ 4x + 2)}2_+4x2₊

16x + 11 = 0

¿
<i>c</i> x¿2<i>− x</i>+2

√

<i>x</i>2<i>− x</i>+3=0 d¿ 4

(

<i>x</i>2+ 1

<i>x</i>2

)

<i>−</i>16

(

<i>x</i>+

1

<i>x</i>

)

+23=0¿<i>e</i>¿
<i>x</i>2

+<i>x −</i>5

<i>x</i> +

3x

<i>x</i>2+<i>x −</i>5+4=0 f¿

21

<i>x</i>2<i>−</i>4x+10<i>− x</i>

2

+4x<i>−</i>6=0¿<i>g</i>¿ 3(2x2+3x<i>−</i>1)2<i>−</i>5(2x2+3x+3)+24=0 h¿ <i>x</i>
2

3 <i>−</i>

48

<i>x</i>2<i>−</i>10

(

<i>x</i>

3<i>−</i>

4

<i>x</i>

)

=0¿<i>i</i>¿

2x

2x2<i>−</i>5x+3+

13x

2x2+<i>x</i>+3=6 k¿

√

<i>x</i>

2<i>₋</i>_3x

+5+<i>x</i>2=3x+7 .¿

<i><b>Bµi 3:</b></i>

a) 6x5_{– 29x}4_{+ 27x}3_{+ 27x}2_{– 29x +6 = 0}

b) 10x4_{– 77x}3_{+ 105x}2_{– 77x + 10 = 0}

c) (x – 4,5)4_{+ (x – 5,5)}4_{= 1}

d) (x2_{– x +1)}4_{– 10x}2_(x2_{– x + 1)}2_{+ 9x}4_{= 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>Bài 1</b></i>: Cho phương trình ẩn số x: x2_{– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)}

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn

điều kiện <i>x</i>1
2 ₊

<i>x</i>2

2 _10.

<i><b>Bài 2:</b></i> Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:

¿
<i>c</i>>0

(<i>c</i>+<i>a</i>)2<ab+bc<i>−</i>2 ac

¿{

¿

Chứng minh rằng phương trình ax2_{+ bx + c = 0 ln ln có nghiệm.}

<i><b>Bài 3:</b></i> Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2_{+ ab + ac < 0.}

Chứng minh rằng phương trình ax2_{+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân}

biệt.

<i><b>Bài 4:</b></i> Cho phương trình x2_{+ px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có}

hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

¿

<i>x</i>1<i>− x</i>2=5

<i>x</i>1
3

<i>− x</i>2
3

=35

¿{

¿

<i><b>Bài 5:</b></i> CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình

(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 ln có nghiệm.

<i><b>Bài 6:</b></i> CMR phương trình ax2_{+ bx + c = 0 ( a} _{0) có nghiệm biết rằng 5a}

+ 2c = b

<i><b>Bài 7:</b></i> Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình
sau có nghiệm:

(a2_{+ b}2_{– c}2_)x2_{- 4abx + (a}2_{+ b}2_{– c}2_{) = 0}

<i><b>Bài 8:</b></i> CMR phương trình ax2_{+ bx + c = 0 ( a} _{0) có nghiệm nếu}

2<i>b</i>
<i>a</i> <i>≥</i>

<i>c</i>
<i>a</i>+4

<i><b>Bài 9:</b></i> Cho phương trình : 3x2_{- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có}

hai nghiệm thỏa mãn: <i>x</i>1

2 
<i>-x</i>2

2 ₌ 5

9

<i><b>Bài 10:</b></i> Cho phương trình: x2_{– 2(m + 4)x +m}2_{– 8 = 0. Xác định m để}

phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN

b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m.

<i><b>Bài 11:</b></i> Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

S = <i>_x1</i>13+

1

<i>x2</i>3

<i><b>Bài 12: </b></i>Cho phương trình : x2_{- 2}

√3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1,x2.

Khơng giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A = 3<i>x</i>12+5<i>x</i>1<i>x</i>2+3<i>x</i>22

4<i>x</i>₁<i>x</i>₂3

+4<i>x</i>₁3<i>x</i>₂

<i><b>Bài 13:</b></i> Cho phương trình: x2_{– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)}

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 6.

3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều

kiện:

x1 < 1 < x2.

<i><b>Bài 14: </b></i>Cho phương trình: x2_{– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)}

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .

Tìm GTNN của M = x12 + x22

<i><b>Bài 15:</b></i> Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
1

<i>a</i>+

1

<i>b</i>=

1
2

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2_{+ ax + b = 0 và x}2_{+ bx + a = 0.}

<i><b>Bài 16:</b></i> Cho phương trình: x2_{– 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)}

a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

<i><b>Bài 17:</b></i> Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các
phương trình

sau phải có nghiệm:

ax2_{+ 2bx + c = 0 (1)}

bx2_{+ 2cx + a = 0 (2)}

cx2_{+ 2ax + b = 0 (2)}

<i><b>Bài 18:</b></i> Cho phương trình: x2_{– (m - 1)x + m}2_{+ m – 2 = 0 (1)}

a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với mọi giá trị
của m.

b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.

<i><b>Bài 19: </b></i>Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa

mãn điều kiện:

E = x12 + x22 đạt GTNN.

<i><b>Bài 20</b></i>: Giả sử phương trình bậc 2: x2_{+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm}

nguyên dương.

CMR: a2 _{+ b}2_{l mt hp s.}

<i><b>Bi 21</b></i>: Giải các phơng tr×nh sau:

¿

1. a 1 ¿
2(<i>x −</i>1)+

3

<i>x</i>2<i>−</i>1=
1

4 b¿
4x

<i>x</i>+1+

<i>x</i>+3

<i>x</i> =6¿ c¿

2x+2

4 <i>− x</i>=

<i>x −</i>2

<i>x −</i>4 d¿

<i>x</i>2

+2x<i>−</i>3

<i>x</i>2<i>−</i>9 +

2x2<i>₋</i>₂

<i>x</i>2<i>−</i>3x+2=8¿

2.

a) x4_{– 34x}2_{+ 225 = 0} _{b) x}4_{– 7x}2_{– 144 = 0}

c) 9x4_{+ 8x}2_{– 1 = 0} _{d) 9x}4_{– 4(9m}2_{+ 4)x}2_{+ 64m}2_{= 0}

e) a2_x4_{– (m}2_a2_{+ b}2_)x2_{+ m}2_b2_{= 0 (a}≠₀₎

3.

a) (2x2_{– 5x + 1)}2_{– (x}2_{– 5x + 6)}2_{= 0}

b) (4x – 7)(x2_{– 5x + 4)(2x}2_{– 7x + 3) = 0}

c) (x3_{– 4x}2_{+ 5)}2_{= (x}3_{– 6x}2_{+ 12x – 5)}2

d) (x2_{+ x – 2)}2_{+ (x – 1)}4_{= 0}

e) (2x2_{– x – 1)}2_{+ (x}2_{– 3x + 2)}2_{= 0}

4.

a) x4_{– 4x}3_{– 9(x}2_{– 4x) = 0} _{b) x}4_{– 6x}3_{+ 9x}2_–

100 = 0

c) x4_{– 10x}3_{+ 25x}2_{– 36 = 0} _{d) x}4_{– 25x}2_{+ 60x}

– 36 = 0
5.

a) x3_{– x}2_{– 4x + 4 = 0} _{b) 2x}3_{– 5x}2_{+ 5x}

– 2 = 0

c) x3_{– x}2_{+ 2x – 8 = 0} _{d) x}3_{+ 2x}2_{+ 3x –}

6 = 0

e) x3_{– 2x}2_{– 4x – 3 = 0}

6.

a) (x2_{– x)}2_{– 8(x}2_{– x) + 12 = 0 b) (x}4_{+ 4x}2_{+ 4) – 4(x}2_{+ 2) – 77 =}

0

c) x2_{– 4x – 10 - 3}

√

(<i>x</i>+2) (<i>x −</i>6) = 0 d)

(

2x<i>x</i>+<i>−</i>21

)

2

<i>−</i>4

(

2x<i>−</i>1

<i>x</i>+2

)

+3=0
e) _√<i>x</i>+_√5<i>− x</i>+

√

<i>x</i>(5<i>− x</i>)=5
7.

a) (x + 1)(x + 4)(x2_{+ 5x + 6) = 24} _{b) (x + 2)}2_(x2_{+ 4x) = 5}

c) 3

(

<i>x</i>2+ 1

<i>x</i>2

)

<i>−</i>16

(

<i>x</i>+

1

<i>x</i>

)

+26=0 d)

2

(

<i>x</i>2
+ 1

<i>x</i>2

)

<i>−</i>7

(

<i>x −</i>

1

<i>x</i>

)

+2=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

¿
<i>a</i>

_√

<i>x</i>2<i>₋</i>_4x

=√<i>x</i>+14 b¿

√

2x2+<i>x −</i>9=|<i>x −</i>1|¿<i>c</i>¿

√

2x2+6x+1=<i>x</i>+2 d¿

√

<i>x</i>3+3x+4=<i>x −</i>2¿<i>e</i>¿

√

4x2<i>−</i>4x+1+<i>x −</i>2=<i>x</i>2<i>−</i>3 f¿ |<i>x</i>3+<i>x</i>2<i>−</i>1|=<i>x</i>3+<i>x</i>+1¿

9. Định a để các phơng trình sau có 4 nghiệm

a) x4_{– 4x}2_{+ a = 0} _{b) 4y}4_{– 2y}2_{+ 1 – 2a =}

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14></div>

<!--links-->