Đệ quy và thuật toán đệ quy

19/08/2011

quy và

Thu t toán đ

quy
GVGD: Tr

ng Ph

cH i

LOGO

N i dung
1.

quy và gi i thu t đ

quy

2. Stack và đ quy
3. Các lo i đ
4.

quy

quy và hình h c fractal

5. K thu t tìm gi i thu t đ quy

2

quy và gi i thu t đ
nh ngh a đ




quy

quy:

K thu t đ nh ngh a m t khái ni m tr c ti p ho c gián ti p
d a vào chính nó.

3

1


19/08/2011

quy và gi i thu t đ

quy

 Gi i thu t đ quy là gi i thu t g i l i chính b n
thân nó nh ng th hi n đ n gi n h n
 Gi i thu t đ quy đ c ng d ng đ chia nh bài
toán thành nh ng bài toán con cùng ki u d gi i

quy t h n


quy c ng có th đ c dùng đ
vòng l p trong m t s tr ng h p

thay th

cho

4

quy và gi i thu t đ
 M t hàm đ




quy

quy g m 2 ph n

Ph n c s : cho giá tr đ n gi n ho c t m th
toán, đây là đi u ki n d ng c a đ quy

ng c a bài

Ph n đ quy: ch a m t ho c nhi u l i g i đ n chính nó
nh ng v i tham s nh h n

5

quy và gi i thu t đ

quy

 Ví d


Tính giai th a N (v i N nguyên d

ng)

int Factorial(int N)
{
if (N <= 1) //đi u ki n d ng
return 1;
return N*Factorial(N-1); //l i g i đ
}

quy

6

2


19/08/2011

N i dung

1.

quy và gi i thu t đ

quy

2. Stack và đ quy
3. Các lo i đ
4.

quy

quy và hình h c fractal

5. K thu t tìm gi i thu t đ quy
7

Stack và đ

quy

 Stack (ch ng) là m t c u trúc d
thao tác c b n



li u đ c bi t có 2

Push: đ a ph n t vào đ u stack
Pop: l y ph n t đ u ra kh i stack

 Nguyên lý ho t đ ng: Last In First Out
 Là linh h n c a đ quy

4
3
2
1

8

Stack và đ
 Ví d

quy

đ quy tính giai th a:

int Fact(int N)
{
if (N <= 1)
return 1;
return N*Fact(N-1);
}
void main()
{
int n = 4;
int m = Fact(n);
cout<getch();

}

Fact(1) = 1

1

Fact(2) = 2*Fact(1)

2

Fact(3) = 3*Fact(2)

6

m = 4*Fact(3)

24

9

3


19/08/2011

N i dung
1.

quy và gi i thu t đ

quy

2. Stack và đ quy
3. Các lo i đ
4.

quy

quy và hình h c fractal

5. K thu t tìm gi i thu t đ quy
10

Các lo i đ

quy

quy tuy n tính




Là hình th c đ n gi n nh t c a đ quy



Ch có t i đa m t l i g i đ n chính nó

vd: tính giai th a, l y th a, …

11

Các lo i đ

quy

quy tuy n tính




Tính l y th a c a 2 s nguyên d

ng a, N

int Power(int a, int N)
{
if (N == 0)
return 1;
return a*Power(a, N-1);
}

12

4


19/08/2011

Các lo i đ

quy

quy tuy n tính




Tính t ng giá tr c a n ph n t
0

1

2

thu c m ng A

3

n-2

n-1

…
Sum(A, n-1)
Sum(A, n)

int Sum(int A[], int n)
{
if (n == 0)

return 0;
return Sum(A, n – 1) + A[n - 1];
}
13

Các lo i đ

quy

quy tuy n tính




Ki m tra x có t n t i trong m ng A g m n ph n t
0

1

2

3

n-2

nguyên
n-1

…
IsExist(A, n-1, x)

IsExitst(A, n, x)

int IsExist(int A[], int n, int x)
{
if (n == 0) return 0;
if (A[n – 1] == x) return 1;
return IsExists(A, n – 1, x);
}
14

Các lo i đ

quy

quy tuy n tính




Tìm UCLN c a 2 s nguyên d

ng a, b

int UCLN(int a, int b)
{
if (a == b) return a;
if (a > b) return UCLN(a – b, b);
return UCLN(a, b - a);
}

15

5


19/08/2011

Các lo i đ


quy

quy nhánh


Có nhi u h n m t l i g i (th
chính nó

ng là 2 ho c 3 l i g i) đ n

vd: tìm ph n t th n c a dãy Fibonacci, tính t
h p, bài toán tháp Hà N i, thu t toán tơ màu hình
kín FloodFill, …

16

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Tìm s Fibonacci th

n (n nguyên d

ng)

int F(int n)
{
if (n <= 1)
return 1;
return F(n - 2) + F(n - 1);
}

17

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Minh h a tìm s Fibonacci th

5

F(5)
8

F(3)

F(4)

3

5

F(1)

F(2)

F(2)

1

2

2

F(3)
3

F(0)

F(1)

F(0)

F(1)

F(1)

1

1

1

1

1

F(2)
2

F(0)

F(1)

1

1

18

6


19/08/2011

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Bài toán tháp Hà N i: chuy n 2 đ a t

1

2

c t 1 sang c t 3

3

19

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Bài toán tháp Hà N i: chuy n 2 đ a t

1

2

c t 1 sang c t 3

3

20

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Bài toán tháp Hà N i: chuy n N đ a t

1
Company Logo

2

c t 1 sang c t 3

3

21

7


19/08/2011

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Bài toán tháp Hà N i: chuy n N đ a t

1
Company Logo

Các lo i đ

2

c t 1 sang c t 3

3

22

quy

quy nhánh




Bài toán tháp Hà N i (chuy n N đ a t

c t x sang c t y)

void Chuyen(int N, int x, int y)
{
if (N == 1)
cout<<"chuyen tu "<else
{
Chuyen(N – 1, x, 6 – x - y);
Chuyen(1, x, y);
Chuyen(N – 1, 6 – x – y, y);

}
}

23

Các lo i đ

quy

quy nhánh




Thu t tốn tơ màu hình kín (FloodFill)

24

8


19/08/2011

Các lo i đ

quy

quy phi tuy n





L i g i đ quy đ

c th c hi n trong vòng l p

vd: cho dãy đ c đ nh ngh a
X0 = 1
Xn = n2X0 + (n-1)2X1+…+Xn-1
Yêu c u: tính giá tr c a Xn

25

Các lo i đ

quy

quy phi tuy n




Tính Xn = n2X0 + (n-1)2X1+…+Xn-1, bi t X0 = 1

double X(int N)
{
if (N == 0)
return 1;
double s = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)

s = s + (N – i)*(N – i)*X(i);
return s;
}

26

Các lo i đ
quy h






t

L i g i có s
g i A, …

quy

ng
xoay vịng l n nhau, nh

A g i B, B g i C, C

quy h t ng là đ quy r t ph c t p nh ng có nh ng
ng d ng r t lý thú, ch ng h n trong hình h c fractal

27

9


19/08/2011

Các lo i đ
quy h




t

quy

ng

Hãy tính Xn và Yn bi t dãy s đ

c đ nh ngh a nh

sau

28

Các lo i đ
quy h



t

quy

ng

double X(int N);
double Y(int N);
double X(int N)
{
if (N == 0) return 1;
return X(N – 1) + Y(N – 1);
}
double Y(int N)
{
if (N == 0) return 1;
return X(N – 1) * Y(N - 1);
}

29

Các lo i đ
quy h




t

quy

ng

ng Hilbert:

30

10


19/08/2011

N i dung
1.

quy và gi i thu t đ

quy

2. Stack và đ quy
3. Các lo i đ
4.

quy

quy và hình h c fractal

5. K thu t tìm gi i thu t đ quy
31

quy và hình h c fractal


ng Sierpinski tam giác



ng Sierpinski hình vng

32

quy và hình h c fractal


ng Sierpinski các d ng khác

33

11


19/08/2011

quy và hình h c fractal

34

N i dung
1.

quy và gi i thu t đ

quy

2. Stack và đ quy
3. Các lo i đ
4.

quy

quy và hình h c fractal

5. K thu t tìm gi i thu t đ quy
35

K thu t tìm gi i thu t đ
 Thơng s

hóa bài tốn



Xác đ nh tham s truy n cho hàm đ quy



Xác đ nh c p (kích th

c) c a bài tốn

 Tìm mơ hình t ng qt đ


quy

thu nh

Thu nh bài tốn theo kích th

bài tốn

c

 Tìm đi u ki n d ng c a đ quy


Tìm đi u ki n c a tr

ng h p cho l i gi i t m th

ng

36

12


19/08/2011

K thu t tìm gi i thu t đ
 Ví d

1: cho n nguyên d

ng, tính giá tr bi u th c



Thơng s hóa bài tốn: kích th



Mơ hình t ng qt
t

quy

c bài tốn n

và

ta có


i u ki n d ng: n = 1 thì S1 = 1

Company Logo

37

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Gi i thu t minh h a
double S(int N)
{
if (N == 1)
return 1;
return S(N – 1) + 1/(n*n);
}

Company Logo

38

K thu t tìm gi i thu t đ
 Ví d 2: tính t ng giá tr N ph n t
m ng A

quy
nguyên c a



Thông s hóa bài tốn: m ng A, N ph n t



Mơ hình t ng qt: T ng(A, N) = T ng(A, N – 1) + A[N-1]



i u ki n d ng: N = 0 thì T ng = 0

39

13


19/08/2011

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Gi i thu t minh h a
int Sum(int A[], int N)
{
if (N == 0)
return 0;
return Sum(A, N – 1) + A[N – 1];
}

40

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Ví d 3: áp d ng t t ng tìm ki m nh phân đ
tìm v trí xu t hi n c a s nguyên x trong m ng A
g m N ph n t ngun


Thơng s hóa: m ng A, đ u m ng, cu i m ng, giá tr x



Mơ hình t ng qt:
A[gi a] = x: tìm thành cơng
A[gi a] < x: tìm t đ u = gi a + 1 đ n cu i
x < A[gi a]: tìm t đ u đ n cu i = gi a - 1



i u ki n d ng: đ u > cu i

41

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Gi i thu t minh h a
int BinSearch(int A[], int l, int r, int x)
{
if (l > r)
return -1;

int m = (l + r)/2;
if (A[m] == x)
return m;
if (A[m] < x)
return BinSearch(A, m + 1, r, x);
return BinSearch(A, l, m - 1, x);
}

42

14


19/08/2011

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Ví d 4: cho s nguyên d ng N ≤ 1000. Vi t hàm
đ quy bi u di n nh phân c a N


Thơng s hóa: s ngun N



Mơ hình t ng quát:
a giá tr N % 2 vào stack
G i đ quy v i c p N/2



i u ki n d ng: N = 0

43

K thu t tìm gi i thu t đ

quy

 Gi i thu t minh h a
void BinConvert(int N)
{
if (N != 0)
{
BinConvert(N/2);
cout<}
}
BinConvert(1)
Minh h a g i
BinConvert(11)

BinConvert(2)
BinConvert(5)
BinConvert(11)

1%2=1
2%2=0

5%2=1
11 % 2 = 1

1110= 1 0 1 1 2
44

15