BÀI 4 TIỆM cận toán học 12

BÀI 4. TIỆM CẬN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận
+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số
 Kĩ năng
+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng
biến thiên.
+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số.
+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.
+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
f  x   y0 hoặc lim  y0
y  f  x  nếu xlim
x � �
� �

Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f  x   �; lim f  x   �;

x � x0

x � x0

lim f  x   �; lim f  x   �.

x � x0

x � x0

Trang 2


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Tiệm cận đứng

Tiệm cận ngang

Đường thẳng x  x0 được gọi là

Đường thẳng y  y0 được gọi là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y  f  x  nếu ít nhất một trong

y  f  x

các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f  x   �; lim f  x   �

x � x0

x � x0

lim f  x   �; lim f  x   �

x � x0

TIỆM

nếu

lim f  x   y0

x � �

 y0
hoặc xlim
� �

CẬN

x � x0

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị
Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận
Tiệm cận ngang
Đường thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang của
f  x   y0 hoặc
đồ thị hàm số y  f  x  nếu xlim
� �
lim f  x   y0

f  x   1 và
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có xlim
��
lim  1

x � �

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có
phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y  f  x  là y  1 và y  1 .

x � �

f  x   �
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có xlim
� 2
Tiệm cận đứng

lim f  x   �.
Đường thẳng x  x0 là đường tiệm cận đứng của đồ và x �2
thị hàm số y  f  x  nếu một trong các điều kiện

sau được thỏa mãn:
lim f  x   �; lim f  x   �

x � x0

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có
phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số y  f  x  là x  2 và x  2

x � x0

lim f  x   �; lim f  x   �

x � x0

x � x0

Ví dụ mẫu
f  x   3 và lim f  x   3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có xlim
� �
x ��
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  3 và y  3
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x  3 và x  3
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang
Hướng dẫn giải
f  x   3 nên y  3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì xlim
� �

f  x   3 nên y  3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì xlim
��
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là đường cong  C  và các giới hạn:
lim f  x   1; lim f  x   1; lim f  x   2; lim f  x   2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x ��
x � �
x� 2

x �2

Trang 4


A. Đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của  C 
B. Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của  C 
C. Đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của  C 
D. Đường thẳng x  2 là tiệm cận ngang của  C 
Hướng dẫn giải
�lim f  x   2
�x ��
� đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của  C 
Ta có �
lim f  x   2
�
�x ��
Chọn B
f  x   2 , lim f  x   �.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  2;  1 và có xlim

� 2 
x � 1
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y  f  x  có đúng hai tiệm cận đứng là x  2 và x  1
B. Đồ thị hàm số y  f  x  có đúng một tiệm cận ngang là y  2
C. Đồ thị hàm số y  f  x  có đúng một tiệm cận đứng là x  1
D. Đồ thị hàm số y  f  x  có đúng hai tiệm cận ngang là y  2 và y  1
Hướng dẫn giải
f ( x)  � nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là x  1
Do xlim
�1
Chọn C
Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm
số
Phương pháp giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  xác Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên
định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm như sau:
cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm
số y  f  x 
Chú ý:
- Ứng với điểm x  x0 trong bảng biến thiên thì ở
dịng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (khơng phải
các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x  x0 mới là
đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x  x0

- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên là tiệm cận đứng và đường thẳng y  y0 là đường
thì ở dịng y phải ghi các giá trị cụ thể y0 (không
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x 

y

y
phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng
0 mới là
Trang 5


đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên �\  �1 . Hàm số có bảng biến thiên như
hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số y  f  x  có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có
lim f  x   3 � y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x � �

lim f  x   3 � y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x � �

lim f  x   �� x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x �1

lim f  x   �, lim f  x   �� x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x �1

x �1

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x  �1 , hai tiệm cận ngang là y  �3
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên �\  2; 1 và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. x  2 và x  1

B. khơng có tiệm cận đứng

C. x  2

D. x  1

Hướng dẫn giải

Trang 6


y  � nên x  2 là đường tiệm cận đứng;

Từ bảng biến thiên, ta có x �lim
 2  
lim y  lim y  2 nên x  1 không là đường tiệm cận đứng.
x �1

x �1

Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x  là
A. x  1 và y  2

B. x  1 và y  2

C. x  1 và y  2

D. x  1 và y  2

Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng
x  1, y  2 .
Chọn D
Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số
Phương pháp giải
Tiệm cận của đồ thị hàm số
y

ax  b
, c �0, ad  bc �0

cx  d

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm
số y 

2x  3
x 1

Thực hiện theo các bước sau:
�d�
 �.
Bước 1. Tập xác định D  �\ �
�c

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  1 .

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm
y  lim y  2 nên đồ thị có đường
Khi đó xlim
� �
x ��
cận ngang của đồ thị.
Trang 7


a
tiệm cận ngang là y  2
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận
x ���

c
lim y  �; lim y  � nên đồ thị có đường tiệm
x �1
x �1
a
ngang là y 
cận đứng là x  1
c
- lim y 

-

lim � y  ��

x �

d
c

nên đồ thị hàm số có đường tiệm

cận đứng là x  

d
c

Bước 3. Kết luận
ax  b
Đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận:

cx  d
a
d
Tiệm cận đứng x  và tiệm cận ngang y   .
c
c

Vậy đồ thị hàm số y 

2x  3
x 1

nhận đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang
và nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng.

Chú ý:
- Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm
ax  b
�d a�
 ; �là tâm đối xứng
là điểm I �
cx  d
�c c�
của đồ thị.
số y 

ax  b
cx  d
cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có
- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

�a d �
ad
chu vi là 2 �  �và diện tích là 2
c �
c
�c
Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ y 

f  x

g  x

Điều kiện xác định g  x  �0 .
Tính các giới hạn

lim y; lim� y nếu thỏa mãn định
x � x0

x ���

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm
số y 

x 1
x  2x  3
2

Hướng dẫn giải
nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Tập xác định là D  �\  1;  3
thì kết luận.
Chú ý:
Ta có lim y  0; lim� y  ��; lim�  ��
X—>±0O

X->Xg

- Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y 

f  x

g  x

x ���

với

x �1

x �3

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là
x  1; x  3 và một tiệm cận ngang y  0

f  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  an �0  và
g  x   bm x m  bm1 x m 1  ...  b1 x  b0  bm �0 
Khi đó:
Trang 8

+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
ngang.
+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
y

an
bm

+ Nếu n  m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
y0
- Nếu đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số thì x  x0 là nghiệm của phương trình
g  x   0 (ngược lại nghiệm của g  x   0 chưa
chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách
khác x  x0 là các điểm gián đoạn của hàm số.
Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.

Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác
2
định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận đồ thị hàm số y  1  x
x2
ngang là tìm tập xác định của hàm số.
Hướng dẫn giải
Bước
Tập xác định D   1; 1

y; lim nên đồ thị

Không tồn tại các giới hạn xlim
� �
x ��
hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng  1; 1 và
lim y  f  1 ; lim y  f  1 nên hàm số liên tục
x �1

x �1

trên đoạn  1; 1 � Đồ thị hàm số khơng có tiệm
cận đứng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

x 1
là
x2

A. x  2 y  1

B. x  1; y  2

C. x  2; y  1

D. x  2; y  1

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  2
Ta có lim

x �2

x 1
x 1
 �; lim
 � nên x  2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x �2 x  2
x2

x 1
x 1
 lim
 1 nên y  1 là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
x � � x  2
x � � x  2
lim

Chọn C

Trang 9


Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng?
A. y 

2x
x2

B. y  2

C. y 

2x
x2

D. y  x  2 

2
x

Hướng dẫn giải
2x
2x
2x
 �; lim
 � nên đồ thị
có tập xác định D  �\  2 và lim
x
�
2
x
�
2
x2
x2
x2
hàm số có tiệm cận đứng là x  2
Ta thấy hàm số y 

Chọn A

3x  1
là
x 1

Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 
A.  1; 3

B.  1; 1

C.  3; 1

D.  1; 3

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  1
Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x  1 và tiệm cận ngang của đồ thị là y  3 , tọa độ tâm đối xứng
của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận I  1; 3 .
Chọn D

Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

2x  1
tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có
x 1

diện tích bằng
A. 2 (đvdt)

B. 3 (đvdt)

C. 1 (đvdt)

D. 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang là y  2 . Khi đó hình chữ nhật tạo bởi
hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S  1.2  2 (đvdt)
Chọn A

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 4

B. 3

C. 2

x 2
x2

là

D. 1

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  2 .
lim y  lim

x �2

x �2

lim y  lim

x � �

x ��

x 2
x2

 �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2

x 2
 1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1
x2
Trang 10


lim y  lim

x � �

x ��

2x
 1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1
x2

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3.

Chọn B

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số y 
A. 3

x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x  2x  3
2

B. 2

C. 1

D. 0

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  1;  3
x 1
 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0 .
x ��� x  2 x  3

Ta có lim

2

y  �; lim y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 ;
+ lim
x �1
x �1

y  �; lim y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  3 .
+ xlim
�3
x � 3
Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
Chọn A

Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y 
A. 1

x 1
x 1

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 2

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  �1
y  lim y  1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  1
Ta có xlim
� �
x � �
lim y  �; lim y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
x �1

x �1

lim y  �; lim y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
x � 1

x �1

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
Chọn D

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số
A. 1

x
y
B. 2

2

 3x  2  sin x
x3  4 x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  0; �2

Trang 11


�
� 0 2  3.0  2
�x 2  3 x  2 �
1
�sin x �
y  lim �

.1   nên x  0 không phải là đường tiệm cận
Ta có lim
�
�
�
�
�
2
2
x �0
x �0
2
0 4
�x �
� x 4 �
�
�
đứng.

x

lim y  lim
x �2

2

 3x  2  sin x

 x  1 sin x sin 2

x �2
x  x  2
8

 lim

x  4x
3

x�2

nên đường thẳng x  2 không là đường tiệm cận

đứng.
lim y  lim

x � 2

x

x � 2

2

 3 x  2  sin x

 � nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

x3  4 x

Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x  2 .
Chọn A

Ví dụ 9: Số

đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A. 3

B. 4

x9 3
là
x2  x
C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Tập xác định D   9;  � \  0;  1 .
Khi đó, ta có

lim

x 9 3
 �, lim
x � 1
x2  x

lim

x9 3
 lim
x �0
x2  x
 x  1

x �1

x � 0

x 9 3
 �� x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x2  x



1
x9 3





1
6 và xlim
�0

x9 3 1

6
x2  x

� x  0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim

x � �

x9 3
 0 � y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x2  x

Chọn C.
y vì trong tập xác định khơng có x tiến tới -∞
Chú ý: Khơng tồn tại xlim
��

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y 
A. 4

16  x 2
có bao nhiêu đường tiệm cận?

x  x  16 

B. 2

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải
Tập xác định D   4; 4 \  0
y  �; lim y  � nên đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do xlim
�0
x �0
Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
Chọn D.

Trang 12


Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y 
A. 0

x 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x 1

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải
Tập xác định D   1;  � \  1
Ta có :
x 1
 0 � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  0
x 1

lim y  lim y

x � �

x ��

x 1
 �; lim y  �
x �1
x 1

lim y  lim

x �1

x�1

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
lim y  lim

x � 1

x � 1

x 1
  lim
x � 1
x 1

1
x 1

 �

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1
Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
Chọn D

Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1

B. y  3 và y  1

C. y  2

D. y  3

2x  1  x2  1
là
x3

Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �\  3
2x  1  x  1
 lim
x ��
x ��
x3
2

Ta có lim y  lim
x � �

2

1
1
 1 2
x
x 3
3
1
x

� y  3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim  lim

x � �

x ��

2x  1  x  1
 lim
x ��
x3
2

2

1
1
 1 2
x
x 1
3
1
x

� y  1 là đường tiệm cận ngang.
Chọn B

Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong  C  : y 

6 x  1  x2  2
và trục tung cắt nhau tạo
x5

thành một đa giác  H  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Trang 13

A.  H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
B.  H  là một hình vng có diện tích bằng 4
C.  H  là một hình vng có diện tích bằng 25
D.  H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10
Hướng dẫn giải





�
Tập xác định �;  2 �
��� 2;  � \  5
6 x  1  x2  2
 5 � y  5 là tiệm cận ngang của  C 
x ��
x5

Ta có lim y  lim
x � �

6x  1  x2  2
 7 � y  7 là tiệm cận ngang của  C 
x � �
x5

lim y  lim

x ��

lim y  �; lim  �� x  5 là tiệm cận đứng của  C 
x �5

x �5

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y  5; y  7; x  5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có
kích thước 2 �5 nên có diện tích bằng 10.
Chọn D
Ví dụ 14 : Cho hàm số y  x  x 2  2 x  3 . Khi đó, đồ thị hàm số
A. có tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang
B. có tiệm cận ngang và khơng có tiệm cận đứng
C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
D. khơng có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �
Do hàm số liên tục trên � nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng





y  lim x  x 2  2 x  3  lim
Ta có xlim
� �
x ��
x � �

2x  3

x  2x  3  x
2

 1

� y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





lim y  lim x  x 2  2 x  3  �

x � �

x � �

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y  1
Chọn B

Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

x
x 1
2

A. y  1 và y  1

B. y  1

C. y  1

D. Khơng có tiệm cận ngang

là

Trang 14


Hướng dẫn giải
Tập xác định  �;  1 � 1;  �
y  lim
Ta có xlim
� �
x ��

x
x2  1

 1 và lim y  lim
x � �
x ��

x
x2  1

1

� y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1
f  x   2 và lim f  x   2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có xlim
��
x � �
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2 và y  2
B. Đồ thị hàm số đã cho khơng có đường tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x  2 và x  2
f  x   �, lim   �, lim f  x   �,
Câu 2: Hàm số y  f  x  xác định với mọi x ��1 , có xlim
x � �
�1
x � 1
lim f  x   �. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x � �

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng
C. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
f  x   � và lim f  x   2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có xlim
�3
x �3
A. Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x 
B. Đồ thị hàm số y  f  x  khơng có tiệm cận đứng
C. Đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x 
D. Đường thẳng x  3 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số y  f  x 

Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên �\  1 có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
B. Hàm số khơng có đạo hàm tại x  1
Trang 15


C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1
D. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng
Câu 5: Cho hàm số y  f  x  xác định trên �\  1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình dưới

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  xác định trên R \  0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu
đường tiệm cận?

Trang 16


A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  có bảng biến thiên

như sau

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1

B. x  1

Câu 11: Đồ thị của hàm số y 
A. 2

C. x  1

D. y  1

x2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
3 x

B. 3

C. 1

Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. y  2

x2
là
1 x

D. 4

2x  1
là
x 1

C. y  2

B. x  1

D. x  1

Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng x  2 là đường tiệm cận?
A. y 

5x
2x

B. y  x  2 

1
x 1

C. y 

2
x2

Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
� 3 5�
 ; �
A. �
� 5 2�

3�
�5
 ; �
B. �
2�
�2

5�
�3
 ; �
C. �
2�
�2

D. y 

1
x 1

2  5x
là
2x  3
5�
�3
D. � ;  �
2�
�2

Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm M  1;  2  đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 4

B. 2

Câu 16: Đồ thị hàm số y 

C. 1

2x  1
là
x 1

D. 3

2x
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
x 1
2

Trang 17

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Câu 17: Đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y 

1 x
1 x

B. y 

2 x2  3x  2
x2

C. y 

2x  2
x2

Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  2

D. y 

x2  2 x  3
là
2x  4

C. y  1

B. x  1

D. x  1

Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2

B. x 

Câu 20: Đồ thị hàm số y 
A. 1
Câu 21: Cho hàm số y 

1
2

C. y 

1  x2
1 x

2x
3x


là
x  1 2x 1

1
2

D. y  

3
2

x2  5x  6
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x 2  3x  2

B. 3

C. 0

D. 2

2 x 2  3x  2
. Mệnh đề nào sau đây sai?
x2  2 x  3

A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  3
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 

1

2

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2
Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 1

B. 2

2 x  2017
là
x 1
C. 3

D. 4

Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số y 
A. 2

B. 1

C. 3

Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 0

B. 2

Câu 25: Đồ thị hàm số y 
A. 3

C. 3

D. 1

x2  2x  3
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2

B. 1

B. x  1

Câu 27: Đồ thị hàm số y 

D. 0

1  4  x2
là
x2  2 x  3

C. 2

Câu 26: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. x  1; y  2

x3  x
là
x2  x  2

x 1

4  x2

D. 4
4  x 1
x 1

C. x  0; y  1

là
D. x  1; y  1

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Trang 18


A. 2

B. 0

C. 1

D. 4

Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang?
x2  x
x 2

A. y 

B. y 

x2
x 2

C. y 

x 2

D. y 

x 1

4  x2
x 1

Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y

1 x

 x  1

x

. Giá trị của n, d là

A. n  1; d  2

B. n  0; d  1

Câu 30: Đồ thị hàm số y 
A. 1

3x 2  2
2x  1  x

C. n  0; d  2

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1

D. n  d  1

B. y  1 và y  1

C. y  2

2x 1
4x2  3

là

D. y  2 và y  2

Câu 32: Đồ thị hàm số y  2 x  1  4 x 2  4 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 1

B. 0

Câu 33: Đồ thị hàm số y 
A. 2

C. 3
2x

x2  1  x

D. 2

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 1

C. 3

D. 4

Câu 34: Đồ thị hàm số y  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 2

B. 0

Câu 35: Đồ thị hàm số y 
A. 2

C. 1

D. 3

x2  4
có bao nhiêu đường tiệm cận?
2 x2  5x  2

B. 1

C. 3

D. 4

ĐÁP ÁN
1-A
11-A
21-C
31-B

2-A
12-D
22-B
32-A

3-C

13-A
23-B
33-B

4-D
14-C
24-D
34-A

5-A
15-A
25-C
35-A

6-B
16-B
26-B

7-A
17-A
27-A

8-C
18-A
28-C

9-C
19-C
29-C

10-A
20-A
30-D

Trang 19


Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y 

ax  b
cx  d

Phương pháp giải
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ
y

ax  b
thì c �0 và ad  bc �0
cx  d

Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

2x  4
có tiệm cận đứng là
xm

A. m  2

d

c

B. m �2

a
c

D. m  2

+ Tiệm cận đứng x  
+ Tiệm cận ngang y 

thị hàm số y 

C. m  2
Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

2m
�۹4

0

m

2

Chọn B
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y 

 2m  1 x  1
xm

có đường tiệm cận ngang y  3

là
A. m  1

B. m  0

C. m  2

D. m  3

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
m  2m  1  1 �0 � 2m 2  m  1 �0 � m ��
Phương trình đường tiệm cận ngang là y  2m  1 nên có 2m  1  3 � m  2 .
Chọn C

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. �

B. �\  0

C. �\  1

x 1
có tiệm cận đứng là

mx  1
D. �\  0; 1

Hướng dẫn giải
�m �0
�m �0
��
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là �
�1  m �0
�m �1
Chọn D

Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

x3
khơng có tiệm cận đứng là
mx  1
Trang 20


A. �

� 1�
0; �
B. �
� 3

�1 �
C. � �
�3

D.  0

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là
m0
�
m0
�
�
�
1
�
�
1  3m  0
m
�
� 3
Chọn B
ax  b
. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm A  0;  1 và có đường tiệm cận
x 1
ngang là y  1 . Giá trị a  b bằng
Ví dụ 4: Cho hàm số y 

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a  b �0
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A  0;  1 nên b  1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y  a � a  1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy a  b  0
Chọn B

Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số y 

 a  3 x  a  2019
x   b  3

nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và

trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a  b bằng
A. 3

B. -3

C. 6

D. 0

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là   a  3  b  3   a  2019  �0
Phương trình các đường tiệm cận là
b3 0

�x  b  3
�
��
�
�
a3 0
�y  a  3 �

b  3
�
(thỏa mãn điều kiện)
�
a3
�

Vậy a  b  0
Chọn D

Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x 1
đi qua điểm
2x  m

A  1; 2  là
A. m  4

B. m  2

C. m  4

D. m  2

Hướng dẫn giải
2 0
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m �۹

m

2

Trang 21


Đường tiệm cận đứng là x  

m
m
�   1 � m  2 (thỏa mãn)
2
2

Chọn B
mx  1
với tham số m �0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm
x  2m
số thuộc đường thẳng nào dưới đây?
Ví dụ 7: Cho hàm số y 
A. x  2 y  0

B. 2 x  y  0

C. x  2 y  0

D. y  2 x

Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 2m 2  1 �0 � m ��.
Phương trình các đường tiệm cận là x  2m; y  m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là
I  2m; m  thuộc đường thẳng x  2 y
Chọn C

Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

4x  5
có tiệm cận đứng nằm bên
xm

phải trục tung là
5
A. m  0 và m �
4

B. m  0

3
C. m  0 và m �
4

D. m  0

Hướng dẫn giải
4m 5
Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là �۹

0

m

5
4

Phương trình đường tiệm cận đứng là x  m
Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m  0
�m  0
�
Vậy điều kiện cần tìm là � 5
m�
�
� 4
Chọn A.
Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
Phương pháp giải
- Tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A
2
. Giá trị
với A là số Ví dụ: Cho hàm số y  2
f  x

x  2mx  3m  1

thực khác 0 và f  x  là đa thức bậc n  0 .

của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận

đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng là
A
- Đồ thị hàm số y 
ln có tiệm cận ngang A. m  3
f  x
B. m  2
Trang 22


y  0.

C. m �3

- Đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị D. m �2
Hướng dẫn giải
A
2
hàm số y 
khi và chỉ khi x0 là nghiệm của Điều kiện: x  2mx  3m  1 �0
f  x
2
Đặt g  x   x  2mx  3m  1
f  x  hay f  x0   0

Để đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số đã cho thì
g  2   0 � 4  4m  3m  1  0 � m  3
Chọn A

- Tiệm cận của đồ thị hàm số y 

f  x

g  x

Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
với

f  x  , g  x  là các đa thức bậc khác 0.
f  x

- Điều kiện để đồ thị hàm số y 

g  x

y

2 x 2  3x  m
khơng có tiệm cận đứng là
xm

A. m  0
có tiệm

cận ngang là bậc f  x  �bậc g  x  .

B. m  1
C. m  0; m  1
D. m  0; m  1

- Điều kiện để đường thẳng x  x0 là tiệm cận Hướng dẫn giải
Điều kiện x �m
đứng của đồ thị hàm số y 

f  x

g  x

là x0 là nghiệm

2
Đặt f  x   2 x  3 x  m

Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng thì

của g  x  nhưng khơng là nghiệm của f  x  hoặc

m0
�
f  m   0 � 2m 2  3m  m  0 � �
m 1
�

x0 là nghiệm bội n của g  x  , đồng thời là nghiệm

Chọn C.

bội m của f  x  và m  n
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
A. m  8

B. m  0

mx 2  2 x  1
có tiệm cận đứng là
2x  1

C. m �4

D. m �8

Hướng dẫn giải
� 1�
 �. Đặt g  x   mx 2  2 x  1
Tập xác định D  �\ �
�2
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x  

1
khơng là nghiệm của g  x 
2
Trang 23

�1�
�g��
�۹0
� �
� 2�

m
4

2

0

m

8

Chọn D

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y 
đứng, giá trị của m  n bằng
A. 6

x 1
(m, n là tham số) nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận
x  2mx  n  6
2

B. 10

C. -4

D. -7

Hướng dẫn giải
2
Điều kiện: x 2  2mx  n  6 �0 . Đặt g  x   x  2mx  n  6

Do x  1 là nghiệm của f  x   x  1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng
thì x  1 phải là nghiệm kép của phương trình
�
n  2m  7
m 1
�
�
�g  1  2m  n  7  0
g  x  0 � �
�
�
�
�
n  5
m 2  2m  1  0
�
 m2  n  6  0
�
�
�

Vậy m  n  4 .
Chọn C

Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số y 
trị m  n bằng
A. 8

 2m  n  x 2  mx  1
x 2  mx  n  6

B. 9

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá

C. 6

D. -6

Hướng dẫn giải
Điều kiện x 2  mx  n  6 �0
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2m  n
� 2m  n  0

(1)

2
2
Đặt f  x   (2m  n) x  mx  1 và g  x   x  mx  n  6

Nhận thấy

f  0  �0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x  0 là tiệm cận đứng thì

g  0   0 � n  6  0 � n  6 . Kết hợp với (1) suy ra m  3 .
Vậy m  n  9
Chọn B
ax 2  x  1
có đồ thị  C  (a, b là các số thực dương và ab  4 ). Biết rằng
4 x 2  bx  9
 C  có tiệm cận ngang y  c và có đúng một tiệm cận đứng.

Ví dụ 4: Cho hàm số y 

Giá trị của tổng T  3a  b  24c bằng
A. 8

B. 9

C. 6

D. 11

Hướng dẫn giải
Trang 24


Điều kiện 4 x 2  bx  9 �0
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 

a

a
� c
4
4

Đồ thị  C  có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình 4 x 2  bx  9  0 có nghiệm kép x  x0 và khơng là nghiệm của
ax 2  bx  1  0
� b 2  144  0 � b  �12 . Vì b  0 nên b  12 � a 

1
1
�c 
3
12

1 2
x  x 1
Thử lại ta có hàm số
(thỏa mãn)
3
y 2
4 x  12 x  9
1
1
Vậy T  3.  12  24.  11
3
12
Trường hợp 2: 4 x 2  bx  9  0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn
ax 2  x  1  0 . Điều này khơng xảy ra vì ab  4 .

Chọn D
Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.
Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ
Cho hàm số vô tỷ y  f  x 
- Tìm tập xác định D của hàm số.
- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ
thị hàm số y 

 2m  1 x 2  3
x4  1

có đường tiệm cận

y  f  x  thì trong tập xác định D của hàm số phải ngang đi qua điểm A  1;  3 là
chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và A. m  0
y hoặc B. m  �1
tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn xlim
��
lim y hữu hạn.

x � �

C. m  2
D. m  2
Hướng dẫn giải
Tập xác định D  �
y  2m  1 nên đồ thị chỉ có một đường
Ta có xlim

���
tiệm cận ngang là y  2m  1
Để tiệm cận ngang đi qua điểm A  1;  3 thì
2m  1  3 � m  2

Chọn C
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y  2 x  ax 2  bx  4 có tiệm cận ngang y  1
Trang 25