Các định lý cơ bản về nghiệm của đa thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN
--------

Đề tài:
CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA
ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Giáo viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh
Sinh viên thực hiện

: Nguyễn Thị Thanh Thúy

Lớp

: 10 CTT1

Đà Nẵng, 05/2014



Khóa luận tốt nghiệp đại học

................................................................................................ 3
....................................................................................................... 4
1.

................................................................................... 4

2. P
3.

.............................................................................. 5
............................................................................ 5

Chƣơng I. ĐA THỨC...................................................................................... 6
I. ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC............................ 6
1. Vành đa thức một biến. ...................................................................... 6
2. Hai đa thức bằng nhau. ...................................................................... 6
3. Các phép toán trên đa thức. ................................................................ 7
Định lý 1 (định lý về bậc của đa thức): ..................................................... 8
II. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. .................................................................. 8
III.

CỦA

................... 10

1.

ịnh lý Bezout) .............................................................. 10

2.

.................. 12

3.

ịnh lý Vi-ét):................................................................ 13

4. Định lý 5 ( Định lý Vi-ét đảo): ......................................................... 14
5. Định lý 6 ......................................................................................... 14
6. Định lý 7 ......................................................................................... 15
Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp đại học
............ 15
Chƣơng II.

CƠ BẢN
.......................................................... 18

I. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC. ................................................... 18
II. SỰ CHIA HẾT CỦA CÁC ĐA THỨC................................................. 24
III. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ........ 30
IV.
V.

............................................................... 41
-

............... 47

1.

. ............................................ 47

2.

.............................................................. 49

3. TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.................................................. 51
VI. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC................................................................. 56
KẾT LUẬN.................................................................................................. 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 65

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1.
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của tốn học, khơng
những nhƣ là một đối tƣợng nghiên cứu của đại số mà cịn là một cơng cụ đắc
lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết điều khiển
tối ƣu, ....
Trong chƣơng trình tốn học phổ thơng, đa thức là một chuyên đề quan
trọng và có ứng dụng rất đa dạng, hiệu quả. Trong các kì thi đại học, học sinh
giỏi quốc gia và quốc tế đều có những bài tốn liên quan đến đa thức. Vì vậy,
đa thức và các ứng dụng luôn là chuyên đề hết sức cần thiết trong việc bồi
dƣỡng học sinh giỏi Tốn ở bậc phổ thơng. Đồng thời sự phát hiện các ứng
dụng đa dạng của nó ln đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều học sinh và giáo
viên khi nghiên cứu vấn đề này.

Khi nghiên cứu các đa thức ta thƣờng quan tâm đến nghiệm.

và

các định lý cơ bản về nghiệm
.N
.
Đề tài

cơ bản
nhằm trình bày một số định lý cơ bản về nghiệm của đa thức, từ đó

thơng

và có cái nhìn tổng quát hơn về

đa thức.

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp đại học
2.

.
cơ bản

3.
:
Chương I: Đa thức, c

trình bày khái niệm về đa thức và các

phép tốn trên đa thức. Phát biểu khái niệm về nghiệm của đa thức và các định
lý cơ bản về nghiệm của đa thức.
Chương II:
chƣơng trình

cơ bản
,c

6

của

để giải một số dạng tốn nhƣ: bài toán xác định
đa thức, bài toán về sự chia hết của đa thức, các bài toán liên quan đến nghiệm
của đa thức, giải hệ phƣơng trình, dùng định lý Viete trong các bài toán liên
quan đến hàm số và một số dạng toán khác...

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chƣơng I

ĐA THỨC

I. ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC.

1. Vành đa thức một biến.
Cho vành

là một vành giao hốn có đơn vị. Ta gọi đa thức bậc

biến

là một biểu thức có dạng

trong đó các

đƣợc gọi là hệ số,

là hệ số bậc cao nhất và

là hệ số tự

do của đa thức.
đƣợc gọi là bậc của đa thức, kí hiệu là
đa thức

Ta quy ƣớc bậc của

là bằng 0.

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy trong vành

đƣợc kí hiệu là

. Nếu các hệ số đƣợc lấy trên tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số nguyên,

tập hợp các số thực thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỉ, đa thức với hệ
số nguyên, đa thức với hệ số thực và tƣơng ứng là các tập hợp
2. Hai đa thức bằng nhau.
Hai đa thức :

bằng nhau khi và chỉ khi

và

với mọi
Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp đại học
3. Các phép tốn trên đa thức.
a. Phép cộng, trừ hai đa thức.
Cho hai đa thức:

Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức
từng hệ số của

và

đƣợc thực hiện theo

, tức là:

b. Phép nhân hai đa thức.
Cho hai đa thức:

Khi đó

là một đa thức có bậc

và có các hệ số đƣợc xác

định bởi

Từ các định nghĩa trên, ta có định lý sau đây:

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Định lý 1 (định lý về bậc của đa thức):
Giả sử
i.

là hai đa thức khác .

và

Nếu bậc

khác bậc

, thì ta có

và bậc
Nếu bậc

bậc

, và nếu thêm

bậc
ii.

Nếu

thì ta có

bậc

bậc

.

, thì ta có
bậc

bậc

bậc

II. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.
Giả sử

là hai đa thức cùng thuộc

và

tìm đƣợc một cặp đa thức

duy nhất cũng thuộc

và

, trong đó bậc của
bằng đa thức khơng thì ta nói
, hay

là bội của

Một đa thức
chung của

là ƣớc của

, hay

Nếu
chia hết

.
và

đã cho gọi là ƣớc

.

là ƣớc chung của

khác của 2 đa thức ấy, thì
viết là UCLN và ký hiệu là
và

sao cho

bé hơn bậc của

chia hết cho

chia hết 2 đa thức

và

Nếu

của

,

, bao giờ cũng có thể

và

, chia hết cho mọi ƣớc chung

gọi là ƣớc chung lớn nhất của

và

. Để tìm ƣớc chung lớn nhất

ta dùng thuật tốn Oclide bằng cách thức hiện một số phép

chia liên tiếp nhƣ sau:
Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Đa thức dƣ cuối cùng trong dãy phép chia liên tiếp đó chính là UCLN phải
tìm :

Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN, ta qui ƣớc rằng hệ tử cao nhất của
UCLN của hai đa thức bao giờ cũng lấy bằng 1.
Xuất phát từ thuật tốn Oclide, ta chứng minh đƣợc rằng :
thì có thể tìm đƣợc hai đa thức

nếu
trên

sao cho

Hơn nữa , nếu bậc của

và

bé hơn bậc của

cho bậc của

Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên

lớn hơn
và bậc của

thì ta cịn có thể chọn sao
bé hơn bậc của

đƣợc gọi là bất khả qui trên

nếu nó khơng thể viết đƣợc dƣới dạng tích của 2 đa thức bậc
bậc

cũng

và

của

.
,

và bé hơn

.

Mỗi đa thức bậc

của

của những đa thức bất khả qui trên

đều có thể phân tích đƣợc thành tích
và sự phân tích đó là duy nhất, nếu

không kể đến thứ tự các nhân tử và không kể đến các nhân tử bậc .

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Định nghĩa nghiệm của đa thức:
i.

Giả sử

và

. Ta nói

nhận

đƣợc gọi là nghiệm bội của đa thức

ii.

làm nghiệm nếu

nếu

với

CƠ BẢN

III.

CỦA

.

( Định lý Bezout).

1.

,

ủa phép chia

cho

là
Chứng minh:
Chia

dƣ hoặc bằng 0 hoặc một đa thức bậc 0 vì bậc của

cho

bằng 1. Vì vậy, dƣ là một phần tử

.

Ta có
Thay

vào đẳng thức, ta đƣợc

Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả:
là nghiệm của đa thức
Chứng minh:
và
là

, ta có dƣ của phép chia đa thức

nên tồn tại duy nhất

cho

sao cho

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Do đó

là nghiệm của

Lƣợc

:

X

cho

:

-

.
Nhƣ
.

.
lƣợc

.

:
.
.
nhƣ sau
...

...

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp đại học
2.

).
,....
,....
K

.

sao cho:

.

Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo
Trƣờng hợp
Cho

trong đó

.

đƣợc suy ra từ khái niệm nghiệm bội của đa thức.
theo giả thiết quy nạp, tồn tại

và

Vì

là nghiệm của

Do

với mọi

Giả sử
là một số nguyên. Vì

sao cho:

với mọi
nên ta có

nên
trong đó
nên

và
với mọi

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Do

là nghiệm bội

của

. Hơn nữa

nên

trong đó

tích

và

có sự phân
.

Vì thế ta có

Giản ƣớc cả 2 vế cho

ta đƣợc

Nếu

vào đẳng thức trên ta có vế trái bằng 0,

thì khi thay

cịn vế phải khác 0, điều này vơ lý. Vậy

nên

có sự phân tích nhƣ

sau

trong đó

3.

với mọi

4 (Định lý Vi-ét).
Giả sử đã cho đa thức

Kí hiệu

bậc

trên

là nghiệm của

:

trong

mỗi nghiệm kể một số

lần bằng bội số của nó. Ta có:

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

..............................................................

4. Định lý 5 ( Định lý Vi-ét đảo).
Cho

số thực bất kỳ

:

......
.

.
5. Định lý 6.
Mỗi đa thức thực bậc

đều có khơng q

nghiệm thực.

Ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1: Đa thức có vơ số nghiệm là đa thức không.
Hệ quả 2: Nếu đa thức có bậc

mà nhận cùng một giá trị tại

điểm khác nhau của đối số thì đa thức đó là đa thức hằng.
Hệ quả 3: Hai đa thức bâc
tại

mà nhận

giá trị thỏa mãn bằng nhau

giá trị khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau.

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp đại học
6. Định lý 7 .
Mọi đa thức

có bậc

và có hệ số chính (hệ số cao nhất)

đều có thể phân tích (duy nhất) thành nhân tử :

với
7.

(

).

a.

trong đó

.

Khi đó, nếu
trong đó

có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm của

là ƣớc của

b. Nếu

, cịn là ƣớc của

và

có dạng ,

.

là nghiệm hữu tỉ tùy ý của đa thức với hệ số nguyên

thì với mọi số nguyên

số

chia hết cho (

Trƣờng hợp đặc biệt

là ƣớc số của

c. Đa thức

là đa thức đối xứng bậc

).
, còn

là ƣớc số của

khi và chỉ khi với

.

khác 0

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chứng minh:

a.

Giả sử

là nghiệm hữu tỉ tùy ý của đa thức. Viết

khi đó

Do

dƣới dạng tối giản,

nên

Đẳng thức trên chứng tỏ rằng
Vì

suy ra

nên

chia hết cho

(1)

Tƣơng tự, ta có

Đẳng thức trên chứng tỏ rằng
Vì

suy ra

.
nên

chia hết cho

(2)

Kết hợp (1) và (2) đƣợc điều phải chứng minh.
b. Phân tích

theo các lũy thừa của

Nhận xét rằng các hệ số
nguyên và

. Thay

ta đƣợc

là những số nguyên vì
bởi

là một số

ta thu đƣợc đẳng thức

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Do đó

là nghiệm của
hay

chia hết cho

Đặc biệt, thay
đƣợc

là ƣớc của

. Theo a) thì

ta đƣợc

là ƣớc số của

là ƣớc số của

và

ta

.

c. Cho
Với

ta có

là đa thức đối xứng thì:

Nếu

.
Nghĩa là
Ngƣợc lại, nếu
ứng của

thì cho những hệ số của những bậc tƣơng

bằng nhau trong những đẳng thức trên, ta nhận đƣợc kết quả cần

chứng minh.
Từ đó ta có các kết

sau:

-

.

- Khi

.

- Đa thức

là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi điều kiện sau

đây thỏa mãn: Một số

là nghiệm của đa thức

khi và chỉ khi số

cũng là nghiệm.
Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chƣơng II

CƠ BẢ

I. BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC.

Bài toán 1.
(1)
:
Thay

vào (1), ta suy ra

Suy ra

chia hết cho , tức

. Thay vào (1) ta đƣợc

là

Suy ra

(2)
vào (2), ta đƣợc

Thay

. Suy ra

chia hết cho

,

. Thay lại vào (2) ta đƣợc

tức là

Suy ra
Tiếp tục lý luận nhƣ thế, ta đƣợc

Thay lại vào (1) ta đƣợc
Đặt
với mọi

thì ta có
. Vậy :

.
với

Suy ra
.
Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Bài tốn 2.

Xác định đa thức bậc n dạng

biết rằng khi chia

cho
đều có chung số dư là m

nếu

:
Từ giả thiết suy ra
Đặt
1 và

thì
có

, hệ số cao nhất của

nghiệm phân biệt là

bằng

.

Xét đa thức

Khi đó

trong đó

Đa thức

đƣợc xác định theo định lý Vi-ét nhƣ sau

cũng có

Mà

nên

Từ đó suy ra các hệ số

trong đó các

nghiệm phân biệt là

.

.
đƣợc xác định nhƣ sau :

đƣợc xác định từ (*) và hiển nhiên

.
Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Bài tốn 3.

bậc n thỏa mãn điều kiện

tất cả các

(1)
:
Đặt

thì (1) có dạng
.

Đặt

(2)

. Thay vào (2) ta đƣợc
hoặc

với

Nếu

thì từ (2) với

Nếu

thì
là một đa thức bậc

ta thu đƣợc

là một nghiệm của

nên

.

Thế vào (2) ta thu đƣợc
.
Suy ra
(3)
Giải tƣơng tự ta đƣợc
đa thức bậc

hoặc

với

là một

.

Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bƣớc ta thu đƣợc nghiệm của bài toán
là

và
Thử lại ta thấy các nghiệm

và

thỏa mãn yêu cầu

bài toán đƣa ra.
Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Bài tốn 4.

tất cả các

bậc n với hệ số nguyên không âm

không lớn hơn 8 và
:

Giả sử

Theo giả thiết ta có

Do

và

chia

là số dƣ của phép

nên

cho , tức
Nhƣ vậy

Lập luận tƣơng tự ta nhận đƣợc
tức

cho ,

và

Lập luận tƣơng tự ta nhận đƣợc
tức

là số dƣ của phép chia

là số dƣ của phép chia

cho ,

và

Lập luận tƣơng tự ta nhận đƣợc

và

.

Vậy đa thức cần tìm có dạng

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Bài tốn 5. Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là m, n, p
thỏa mãn các điều kiện sau:

iải:
Ta gọi đa thức bậc ba cần tìm là

.

Theo cơng thức Vi-ét ta có:
(*)
Biến đổi giả thiết, kết hợp với (*) ta đƣợc:

Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc :

Vậy đa thức bậc 3 cần tìm là

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp đại học
:
1)

:
.

2)

Tìm giá trị

để đa thức:

sao cho:

có nghiệm

.

3)

,
cho

4)

Tìm

4.
sao cho đa thức

có dạng

chia hết cho đa thức
5)

P
.

6)
.
7)

Xác định đa thức

biết rằng với mọi

thì

8)

ức

bậc n thỏa mãn điều kiện sau

9)

ức

bậc n thỏa mãn điều kiện sau

10) Cho

. Tìm tất cả các đa thức

thỏa mãn
.

Trang 23