Một số phép biến hình và các biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học phẳng trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

Đề tài:

MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH VÀ CÁC BIỆN PHÁP ỨNG
DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC
PHẲNG TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Hữu Chiến.
Sinh viên thực hiện : Huỳnh Thị Thu Hiền.
Lớp

: 10CTT1

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm –
Đại học Đà Nẵng, đặc biệt là thầy cơ Khoa Tốn, Khoa Tin đã quan tâm, giúp đỡ và
truyền đạt vốn kiến thức quý báu của mình cho chúng em trong suốt thời gian học tập
tại trường và điều đó đã tạo tiền đề cho em hồn thành bài khóa luận tốt nghiệp này.
Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến Thầy Nguyễn Hữu Chiến, người
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành bài khóa luận tốt nghiệp.
Cuối cùng em xin kính chúc các thầy cơ mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công

trong công việc.
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 05 năm 2014
Sinh viên thực hiện
HUỲNH THỊ THU HIỀN

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .........................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................2
5. Phạm vi nghiên cứu .....................................................................................................2
PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................................3
CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN, KHƠNG GIAN
ƠCLIT ............................................................................................................................3
1.1. Phép biến đổi trong khơng gian afin .....................................................................3
1.1.1. Định nghĩa.....................................................................................................3
1.1.2. Một số tính chất của phép biến đổi trong khơng gian Afin ..........................4
1.1.3. Phương trình của phép biến đổi Afin ...........................................................6
1.2. Phép biến đổi trong không gian Ơclit ...................................................................7
1.2.1. Định nghĩa không gian Ơclit.........................................................................7

1.2.2. Phép dời hình ................................................................................................8
1.2.3. Phép đồng dạng .............................................................................................9
CHƯƠNG II : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG .........................11
2.1. Phép biến hình .....................................................................................................11
2.2. Phép dời hình trong mặt phẳng ..........................................................................11
2.2.1. Phép dời hình và sự xác định phép dời hình ...............................................11

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2.2.2. Hai hình bằng nhau .....................................................................................12
2.2.3. Phép đồng nhất............................................................................................12
2.2.4. Phép tịnh tiến ..............................................................................................12
2.2.5. Phép đối xứng trục ......................................................................................13
2.2.6. Phép đối xứng tâm ......................................................................................14
2.2.7. Phép quay....................................................................................................15
2.2.8. Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay ..........17
2.3. Phép đồng dạng.....................................................................................................23
2.3.1. Phép vị tự ....................................................................................................23
2.3.2. Phép đồng dạng ...........................................................................................24
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI
CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG ....................................................................26
3.1.Sử dụng phép biến hình vào giải bài tốn chứng minh và tính tốn ................26
Bài 1: .....................................................................................................................26
Bài 2 ......................................................................................................................27
Bài 3 ......................................................................................................................27

Bài 4 ......................................................................................................................29
Bài 5 ......................................................................................................................30
Bài 6 ......................................................................................................................30
Bài 7 ......................................................................................................................31
Bài 8 ......................................................................................................................32
Bài 9 ......................................................................................................................33
Bài tập đề nghị .....................................................................................................33

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

3.2. Sử dụng phép biến hình để giải một số bài tốn dựng hình .............................35
Bài 1 ......................................................................................................................35
Bài 2 ......................................................................................................................36
Bài 3 ......................................................................................................................38
Bài 4 ......................................................................................................................39
Bài 5 ......................................................................................................................40
Bài 6: .....................................................................................................................41
Bài 7 .....................................................................................................................42
Bài 8 .....................................................................................................................43
Bài tập đề nghị .....................................................................................................45
3.3. Sử dụng phép biến hình để giải một số bài tốn quỹ tích. ................................46
Bài 1 : ....................................................................................................................46
Bài 2 : ....................................................................................................................47
Bài 3: .....................................................................................................................49
Bài 4 ......................................................................................................................51

Bài 5 ......................................................................................................................52
Bài 6 ......................................................................................................................53
Bài 7 ......................................................................................................................54
Bài tập đề nghị .....................................................................................................54
KẾT LUẬN ..................................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................57

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Một số phép biến hình đã được dạy trong chương trình trường trung học phổ
thơng (THPT), giúp học sinh trong trường THPT làm quen các phép biến hình cũng
như bước đầu có khả năng vận dụng các phép biến đổi để giải một số bài toán hình học
phẳng (HHP).
Việc đưa nội dung một số phép biến hình vào trường THPT khơng chỉ nhằm
cung cấp cho thầy, cô giáo và học sinh những công cụ mới để dạy và học hình học mà
cịn trang bị cho học sinh phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc
và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng.
Ngồi ra, chính trong q trình giải một bài tốn hình học cụ thể bằng các phép biến
hình cịn giúp cho quá trình dạy học hình học một cách sáng tạo và gây hứng thú trong
học tập hình học. Hơn nữa, dùng các phép biến hình một cách thích hợp để giải mỗi
bài toán thể hiện kỹ năng lựa chọn cơng cụ để giải tốn, một kỹ năng khơng thể thiếu
trong q trình dạy học hình nói riêng giúp nâng cao hiệu quả giải một số bài tốn
hình học và cịn là kỹ năng cần thiết cho q trình dạy học các mơn khoa học khác.

Việc nghiên cứu, tìm hiểu kỹ nội dung các phép biến hình và đề ra các phương
pháp để vận dụng có hiệu quả các phép biến hình đã học trong quá trình dạy học hình
học là một mong muốn và được tôi xin lựa chọn chủ đề: “Một số phép biến hình và
các biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải tốn hình học phẳng trong trường
trung học phổ thông” làm đề tài tốt nghiệp cho bản thân ( một sinh viên thuộc hệ đào
tạo cử nhân Toán – Tin, trường đại học sư phạm).
Hy vọng rằng đề tài này, góp phần vào quá trình tìm tịi các biện pháp nâng
cao chất lượng dạy học hình học, cũng như kỹ năng vận dụng các các kiến thức phép
biến hình đã học để giải các bài tốn, đặc biệt hình thành năng lực vận dụng các phép
biến hình để tìm tịi lời giải các bài tốn có liên quan.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2. Mục đích nghiên cứu:
1- Hệ thống lại các kiến thức bao gồm: định nghĩa, các tính chất, biểu thức tọa
độ của phép biến hình trong khơng gian Ơclit và cụ thể là một số phép biến hình trong
hình học phẳng.
2- Phương pháp sử dụng phép biến hình để giải một số bài tốn hình học phẳng
có liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1- Trình bày khái niệm, điều kiện xác định, các tính chất, biểu thức tọa độ của
phép biến hình trong khơng gian hình học tổng qt - khơng gian Ơclit.
2- Trình bày khái niệm, các tính chất, biểu thức tọa độ của một số phép biến

hình trong HHP.
3- Trình bày phương pháp ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán học
phẳng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có
liên quan để thực hiện đề tài.
5. Phạm vi nghiên cứu:
Do khả năng của bản thân và điều kiện thời gian, đề tài này chỉ tập trung nghiên
cứu các nội dung:
1- Lý thuyết tổng quát phép biến hình trong không gian Afin và không gian
Ơclit, cũng như nghiên cứu phép biến hình trong hình học phẳng.
2- Đề xuất phương pháp sử dụng các phép biến hình để giải một số bài toán cụ
thể trong HHP.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I:
PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN,
KHÔNG GIAN ƠCLIT
1.1. Phép biến đổi trong không gian afin:
1.1.1. Định nghĩa:
Phép đẳng cấu afin :

phép biến đổi afin

→

của không gian afin A lên chính nó được gọi là

của khơng gian afin A và được gọi tắt là phép afin. Khi đó ánh xạ

tuyến tính liên kết : ⃗ → ⃗ của

là một phép tự đẳng cấu tuyến tính và cịn được gọi

là phép biến đổi tuyến tính.
Ví dụ: Cho khơng gian afin A liên kết với không
gian vectơ V. Cho vectơ ⃗ cố định, xét ánh xạ
:

→

⃗′ = ⃗. Phép afin

′ = ( ) thì

sao cho

như thế gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ và được kí hiệu

⃗.

Vectơ ⃗ gọi là vectơ

tịnh tiến.
Phép tịnh tiến

⃗

⃗:

phép đồng nhất

⃗) =

∈
⃗(

= ⃗+
Ngược lại nếu
=

⃗ thì

là

→ .

Thật vậy, ∀ ,
(

là một phép biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết

ta có
⃗) =

⃗=

′ ⃗′ + (− ⃗) =

⃗′ +

′ ⃗′ + ′ ⃗

′ ⃗′

là một phép biến đổi afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết

là một phép tịnh tiến.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Thật vậy, lấy một điểm I cố định của A và đặt ′ = ( ). Khi đó:
( )⃗ =
=

⃗′ =

⃗ + ⃗′ + ′ ⃗′

⃗ + ⃗′ + ( ⃗ ) =

′⃗ vì ′ ⃗′ =

⃗.

1.1.2. Một số tính chất của phép biến đổi trong khơng gian Afin:
1.1.2.1. Định lí 1:
Trong khơng gian Afin

,

cho hai hệ điểm độc lập là

′ , ′ , … , ′ . Khi đó có một phép biến đổi Afin duy nhất

:

,…,

→

và

sao cho

( ) = ′ , ∀ = 0, .
Chứng minh:
+ 1 điểm

Vì
⃗,

⃗, … ,

,

,…,

độc lập trong

⃗ là một cơ sở của không gian vectơ

một ánh xạ tuyến tính duy nhất : ⃗ →

⃗ sao cho (

nên hệ

⃗ liên kết với
⃗) = ′

Theo tính chất của ánh xạ Afin: “Với mỗi ánh xạ tuyến tính
cặp điểm ∈

và ′ ∈ ′ xác định duy nhất một ánh xạ Afin :

) = ′ và

có ánh xạ tuyến tính

. Khi đó có

′⃗, ∀ = 0, .
:

→ ′ và với

→ ′ nhận

xạ tuyến tính liên kết và có ( ) = ′.” ta có một ánh xạ afin duy nhất :
cho (

vectơ

là ánh

→

sao

liên kết của . Như vậy ( ) = ′ và

duy nhất.
Vậy có duy nhất một phép biến đổi Afin

:

→

sao cho

( )= ′,

∀ = 0, .
1.1.2.2. Định lí 2:
Tích của hai phép Afin là một phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết là
tích các phép biến đổi tuyến tính liên kết của hai phép Afin đã cho. Đảo ngược của
một phép Afin là một phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết là đảo ngược của
phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Afin đã cho.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Chứng minh:
Cho hai phép Afin :
kết lần lượt là : ⃗ → ⃗ và
′′ = ( ′) =

:

→

→

có các phép biến đổi tuyến tính liên

: ⃗ → ⃗. Khi đó với

,

∈

( ) thì ta có:

và

′ = ( ),

′ = ( ),

′′ ′′⃗ = ( ′ ⃗′) = . (

là một ánh xạ Afin có ánh xạ tuyến tính liên kết là

là những phép biến đổi tuyến tính nên

tính. Do đó

.

⃗).

. . Vì

cũng là một phép biến đổi tuyến

là phép biến đổi Afin.

Đảo ngược của phép Afin
kết là

và :

( ), ′′ = ( ′) =

Như vậy tích
và

→

là phép afin

có phép biến đổi tuyến tính liên

.
1.1.2.3. Định lí 3 :
Phép biến đổi Afin biến m-phẳng thành một m-phẳng.
Chứng minh :
Giả sử :

→

là một phép Afin của khơng gian Afin A và gọi

phẳng nào đó của A. Theo tính chất của ánh xạ Afin: “Ánh xạ Afin :
m-phẳng của A thành một l-phẳng của A′ với ≤
của A mà ≤

. Nhưng vì

≤ . Suy ra =

. Vậy (

:

→

” ta có (

là một m→ ′ biến một

) là cái phẳng l chiều

là một phép Afin biến (

) thành

nên

) là m-phẳng.

* Hệ quả : Phép biến đổi Afin

:

→

biến một đường thẳng thành một

đường thẳng.
1.1.2.4. Định lí 4 :
Phép Afin :

→

bảo toàn tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng nghĩa là

nếu ′ = ( ), ′ = ( ), ′ = ( ) và
và (

, ,

thẳng hàng thì ′, ′, ′ thẳng hàng

) = ( ′ ′ ′)

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Chứng minh :
Goi

là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Afin f và giả sử

thì ′ ⃗′ = ( ⃗) = (

⃗) =

′ ⃗′. Từ đó ta suy ra nếu

( ⃗) =

hàng thì ′, ′, ′ thẳng hàng và (

⃗=
, ,

⃗

thẳng

) = ( ′ ′ ′) = .

1.1.3. Phương trình của phép biến đổi Afin :
cho mục tiêu {

Bài toán : Trong không gian Afin
đổi Afin trong

}

,

,

,

là phép biến

. Hãy lập phương trình của phép biến đổi Afin .

Giải :
và {

là phép biến đổi Afin trong

}

,

,

đã cho

⇒ Mục tiêu ảnh của (1) : ( ) = ′ ; = 1,
của

là mục tiêu

,

.
( ,

{

hay { ′ , ′ }

,

}

,

,…,

)∈

′ = ( ) = ( ′ , ′ , … , ′ ) đối với mục tiêu

và

.
đối với mục tiêu {

⇒ Lập phương trình của
thức liên hệ giữa các ( ,
Ta có trong
⇒ ⃗(

:

,…,

⃗+

⃗ + ⋯+

′⃗ +

′

⇒ ′ có tọa độ đối với { ′ , ′ }

′

′ = ( ′ , ′ , … , ′ ) đối với {
,

và ′ đối với {

,

chính là xác lập hệ

}

,
}

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

,

⃗

′⃗ + ⋯ +

chính là ( ,

,

( ,

Suy ra : Thay vì đi tìm liên hệ

{ ′ , ′}

,

) và ( ′ , ′ , … , ′ ).

⃗=

⃗) = ′ ⃗′ =

}

,

,

,…,

)

′

′⃗

,…,

)

đối với {

,

ta đi tìm liên hệ tọa độ của

}

,

và

′ đối với

.

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

[ ′]

[ ]
{

′
= ( )
[ ]

}

{ ′

′}

Sử dụng công thức đổi mục tiêu ta có :
[ ′] =

∗[

]+[ ]

trong đó
[ ′] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu {

,

}

,

[ ] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu { ′ , ′ }
[ ] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu {
∗

,

}

,
,

là ma trận chuyển vị của ma trận chuyển mục tiêu {

mục tiêu { ′ , ′ }

,

đối với {

và gọi là ma trận của phép biến đổi

Ví dụ : Một phép tịnh tiến

⃗:

(là khơng gian vectơ liên kết của

→

,
,

}
}

sang

,
,

.

được xác định bởi phép đồng nhất trong

) nên ma trận của nó là ma trận đơn vị.

Vậy phương trình của phép tịnh tiến có dạng :
[ ′] = [ ] + [ ]
Trong đó [b] là ma trận cột tọa độ của điểm ′ =

⃗(

) với

′ ⃗ = ⃗.

1.2. Phép biến đổi trong không gian Ơclit:
1.2.1. Định nghĩa không gian Ơclit:
Không gian Ơclit là một loại không gian Afin liên kết với không gian vectơ
Ơclit hữu hạn chiều được kí hiệu là .
=

Nếu
Ta có:

thì số chiều của khơng gian Ơclit liên kết nó bằng n.

= .

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Chú ý: Trong khơng gian Ơclit vẫn có các khái niệm và tính chất của không
gian Afin. Mặt khác trong không gian Ơclit cịn có thêm các khái niệm và tính chất
mới như sự vng góc của các phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc…là
những khái niệm và tính chất khơng có trong khơng gian Afin.
1.2.2. Phép dời hình:
1.2.2.1. Định nghĩa:
Ánh xạ :

→

từ khơng gian Ơclit

vào chính nó là một phép biến đổi
. Khi đó ánh xạ

đẳng cự hay là một phép dời hình của khơng gian Ơclit
với

liên kết

là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của khơng gian vectơ ⃗ .
Nói cách khác phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai

điểm bất kì tức là với hai điểm

,

bất kì thuộc

và ảnh của chúng

′ = ( ), ′ = ( ) ta có ( , ) = ( ′, ′).
Nhận xét: Tập hợp các phép biến đổi đẳng cự (hay tập hợp các phép dời hình)
của khơng gian Ơclit
của

làm thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin

.
Các phép tịnh tiến là các phép đẳng cự, chúng làm thành một nhóm con của

nhóm các phép biến đổi đẳng cự.
1.2.2.2. Phương trình của phép dời hình trong
:

Với mục tiêu trực chuẩn { ; ⃗, ⃗, … , ⃗} trong
→
có phương trình là :

:
, cho phép biến đổi afin

[ ′] = [ ] + [ ]
Khi đó A cũng là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính
với cơ sở trực chuẩn { ⃗, ⃗, … , ⃗}.
Bởi vậy phép biến đổi afin

tức là A*.A = I (ma trận đơn vị).

(liên kết với ) đối

trở thành phép dời hình khi A là ma trận trực giao

* Vì A là ma trận trực giao nên det A = ±1

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

- Nếu det A = 1 thì

gọi là phép dời hình loại 1 hay phép dời hình

thuận.
- Nếu det A = −1 thì

gọi là phép dời hình loại 2 hay phép dời hình

nghịch.
Định lí : Phương trình của phép dời hình trong
chuẩn cho trước, có dạng :

đối với một mục tiêu trực

[ ′] = [ ] + [ ]
trong đó

là ma trận trực giao cấp n (

∗

.

= )

* Ngược lại : Mỗi phương trình có dạng [ ′] = [ ] + [ ] trong đó
trận trực giao cấp n đều là phương trình của phép dời hình trong

là ma

đối với mục tiêu

trực chuẩn đã chọn.
1.2.3. Phép đồng dạng:
1.2.3.1. Định nghĩa :
Một phép biến đổi :
bất kì của

và ảnh của chúng

→

gọi là một phép đồng dạng nếu với hai điểm

,

′ = ( ) và ′ = ( ) ta ln có
( ′, ′) = . ( , )

trong đó

là số thực dương cố định. Số

được gọi là tỉ số đồng dạng của phép đồng

dạng .
Nhận xét :
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

1.2.3.2. Định lí: Phép đồng dạng là một phép afin.
Chứng minh:
Giả sử :

→
là phép đồng dạng tỉ số k. Lấy một điểm O thuộc
′ = ( ). Ta định nghĩa ánh xạ : ⃗ → ⃗ như sau:

, gọi

⃗ = ⃗. Lấy
Nếu ⃗ là một vectơ thuộc ⃗, gọi M là điểm sao cho
′ = ( ) và đặt ( ⃗) = ′ ⃗′. Ta cần chứng minh là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy ∀ ,

∈
⃗−

( , ) =
=
Nếu

ta có :
⃗

( , )+

=

⃗+

⃗ − 2.

( ,

) − 2.

⃗

⃗

(1)

′ = ( ) ′ = ( ) thì ta có :
′ ⃗′ − ′ ⃗′

( ′, ′) =

Mặt khác vì

⃗+ ′

= ′

( ′, ′) +

=

Hay (

⃗ − 2. ′ ⃗′. ′ ⃗ ′

′) − 2. ′ ⃗′. ′ ⃗ ′

( ′,

(2)

đồng dạng nên ta có :
( ′, ′) =

( , )

( ′, ′) =

( , )

( ′,

( ,

′) =

Do đó từ (1) và (2) ta suy ra ′ ⃗′. ′ ⃗′ =

Suy ra

⃗.

⃗.

⃗ ). (

⃗) =

⃗.

)
⃗.

⃗

⃗

là ánh xạ tuyến tính ( cịn là một phép biến đổi tuyến tính của ⃗ ).

Từ định nghĩa của ta thấy rằng là phép biến tuyến tính liên kết với phép
đồng dạng , nên phép đồng dạng là một phép afin.
Hệ quả : Phép biến đổi afin :
→
là một phép đồng dạng tỉ số k khi và
chỉ khi phép biến đổi tuyến liên kết với có tính chất :
| ( ⃗)| = | ⃗| với mọi ⃗ ∈

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

⃗.

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

CHƯƠNG II :
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1. Phép biến hình :


Định nghĩa : Phép biến hình trong mặt phẳng (P) là một song ánh để với

mỗi điểm

phẳng (P) ấy. Điểm


′ được gọi là ảnh của điểm

′ = ( ) hay ( ) =
Lưu ý: Với
- Nếu

nếu ( ) =
-

,

′ hay :

qua phép biến hình đó.
′ là ảnh của
↦

′ hay

qua phép .
→

′.

là phép biến hình trong mặt phẳng (P):

′ = ( ) thì điểm

- Điểm



là một phép biến hình và

Kí hiệu :

Ta viết


′ thuộc mặt

thuộc mặt phẳng (P) xác định được một điểm duy nhất

gọi là tạo ảnh của

′ là ảnh của

,

.

gọi là một điểm bất động (hay điểm kép) của phép biến hình
.
là các phép biến hình thì

°

là phép biến hình.

Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm

′ = ( ), ∀

∈ H,

tạo thành hình H’ được gọi là ảnh của H qua phép biến hình , và ta viết: H’ = (H).
2.2. Phép dời hình trong mặt phẳng:
2.2.1. Phép dời hình và sự xác định phép dời hình:
2.2.1.1. Định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình trong mặt phẳng (P) bảo
tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tức là với hai điểm bất kì
tương ứng

′, ′ ∈ (P) của chúng, ta ln có:

′ ′=

,

∈ (P) và ảnh

. (Bảo tồn khoảng cách).

2.2.1.2. Định lí (Xác định phép dời hình): Trong mặt phẳng (P) cho hai tam
giác bằng nhau ABC và A’B’C’ (AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’). Khi đó tồn tại
duy nhất phép dời hình

trong (P) sao cho (A) = A’, (B) = B’, (C) = C’.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2.2.2. Hai hình bằng nhau :
2.2.2.1. Định nghĩa :
Hình H gọi là bằng hình H’ nếu có một phép dời hình : ( ) → ( ) biến hình
H thành hình H’. Ta kí hiệu (H) =H’.
2.2.2.2. Tính chất :
- Mọi hình H đều bằng chính nó.
- Nếu hình H bằng hình H’ thì hình H’ bằng hình H.
- Nếu hình H bằng hình H’ và hình H’ bằng hình H’’ thì hình H bằng hình H’’.
2.2.3. Phép đồng nhất :
Cho mặt phẳng (P), phép biến hình : ( ) → ( ) biến mỗi điểm

∈ (P) thành

chính nó được gọi là phép đồng nhất.
2.2.4. Phép tịnh tiến:
2.2.4.1. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng (P), cho vectơ ⃗, phép biến
hình biến mỗi điểm

thành điểm

′ sao cho

⃗′ = ⃗

gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗
Kí hiệu:



Khi vectơ tịnh tiến là vectơ – khơng thì ta có

phép tịnh tiến

⃗

⃗,

vectơ ⃗ gọi là vectơ tịnh tiến.



⃗ (M)

= M với mọi M. Vậy

là phép đồng nhất.

2.2.4.2. Tính chất:


Định lí: Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm.

Nghĩa là: Nếu:

⃗(

)= ′
thì AB = A’B’.
⃗( ) = ′

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét: Nếu:



GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến
⃗(

)= ′
thì
⃗( ) = ′

⃗ = ′ ⃗′

Hệ quả: Phép tịnh tiến theo vectơ ⃗
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính R, trong đó tâm
đường trịn biến thành tâm đường trịn.
2.2.3.3. Biểu thức tọa độ:
( ; ) và ⃗ = ( ; ), gọi

Trong mặt phẳng Oxy, cho

′( ′; ′) là ảnh của

phép tịnh tiến.
′ = ( ′; ′) =

⃗(

)⟺

′=
′=

+
+

2.2.5. Phép đối xứng trục:
2.2.5.1. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm
đoạn thẳng

thành điểm

′ sao cho

′ nhận d làm đường trung trực gọi là phép

đối xứng trục d.
Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Nhận xét: Cho phép đối xứng trục Đd.
- Nếu Đd(M) = M’ thì Đd(M’) = M
- Nếu M ∈ d thì Đd(M) = M
2.2.5.2. Tính chất:


Định lí: Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm.



Hệ quả: Phép đối xứng trục Đd
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính R, trong đó tâm
đường tròn biến thành tâm đường tròn.
2.2.5.3. Biểu thức tọa độ:
Trong mặt phẳng Oxy, khi đó :
( ;

)=Đ ( )⟺

=

= − và

( ;

)=Đ ( )⟺

=−
=

2.2.6. Phép đối xứng tâm:
2.2.6.1. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểm
thành một điểm

′ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng

′ gọi là phép đối xứng

tâm O.
Kí hiệu: Đ , điểm O gọi là tâm đối xứng.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2.2.6.2. Tính chất:


Định lý: Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.



Hệ quả: Phép đối xứng tâm
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính R, trong đó tâm
đường trịn biến thành tâm đường tròn.
2.2.6.3. Biểu thức tọa độ:
Trong mặt phẳng Oxy, cho I(a;b), Đ :

Khi đó:

( ; )⟼

′( ′; ′).

′=2 −
′=2 −

Đặc biệt: Đ :

( ; )⟼

′( ′; ′). Khi đó:

′=−
′=−

2.2.7. Phép quay:
2.2.7.1. Góc định hướng :
a. Mặt phẳng định hướng :
Trong mặt phẳng (P) cho điểm cố định O. Tia Ox ⊂ (P) có thể quay quanh O
theo hai chiều : Chiều ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều cùng với
chiều kim đồng hồ là chiều âm.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

b. Góc định hướng :
Trong mặt phẳng đã định hướng, cho góc tạo bởi hai tia Ox và Oy.

- Nếu ta chọn Ox làm tia gốc và Oy làm tia ngọn thì ta được góc định hướng.
Kí hiệu : (Ox,Oy).
- Gọi

là một số đo của (Ox,Oy) với − ≤

≤

thì

+ . 2 ( ∈ ℤ)

(Ox,Oy) =

là số đo của tất cả các góc có Ox là tia gốc và Oy là tia ngọn.
2.2.7.2. Định nghĩa :
Trong mặt phẳng (P), cho một điểm O cố định và góc định hướng . Phép quay
tâm O, góc quay
thành điểm

là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm

′ sao cho

=

′ và (

,

′) =

Chiều quay dương
Kí hiệu:

( ; ),

O là tâm quay,

Chiều quay âm
là góc quay.

Nhận xét:
- Phép quay tâm O, góc quay 0° là phép đồng nhất.
- Phép quay tâm O, góc quay ; − là phép đối xứng tâm O.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2.2.7.3. Tính chất :


Định lí: Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.



Hệ quả: Phép quay
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính R, trong đó tâm
đường trịn biến thành tâm đường tròn.
2.2.7.4. Biểu thức tọa độ :
Trong mặt phẳng Oxy,
Cho I(a,b) và một góc lượng giác

Khi đó:

′=
′=

+( − )
+( − )

không đổi,

( , ):

( ; )⟼

′( ′; ′).

−( − )
+( − )

2.2.8. Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay:
2.2.8.1. Tích của hai phép đối xứng có trục song song :
a. Định lí 1 :
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục ∆ và ∆ song song với
nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ có phương vng góc với hai trục, có hướng từ
∆ đến ∆ và có mơđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.
Chứng minh :
Gọi Đ∆ và Đ∆ là hai phép đối xứng trục có hai trục ∆ và ∆ song song.
Với mỗi điểm M bất kì ta có :

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

′ = Đ∆ ( ),

′′ = Đ∆ ( ′).

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

Đường thẳng ∆ là đường trung trực của đoạn MM’.
⃗′ = 2 ⃗′ và
Gọi H là trung điểm của đoạn MM’ thì
⃗′ ⊥ ∆ .
Tương tự : Gọi H’ là trung điểm của đoạn M’M’’ thì
′ ′′⃗ = 2 ′ ⃗′ và ′ ⃗′ ⊥ ∆
Như

′ ⃗′) = 2

′′⃗ =

vậy :

⃗′ +

′ ′′⃗ = 2(

⃗′ +

⃗′

Mặt khác : Ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng vng góc với ∆
⃗′ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M và vectơ này có hướng từ ∆
và ∆ , đồng thời
đến ∆ , có phương vng góc với ∆ và ∆ , có độ dài bằng khoảng cách giữa hai trục
đó.
Do đó : Phương của đường thẳng MM’ khơng đổi vì nó ln ln vng góc
với ∆ và ∆ .
Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đ∆ và Đ∆ biến điểm M thành điểm
M′′ với
′′⃗ = 2 ⃗′ chình là phép tịnh tiến theo vectơ 2 ⃗′.
Do đó : Đ∆ ° Đ∆ =

⃗

Chú ý : Tích hai phép đối xứng trục này khơng có tính chất giao hốn, nghĩa là
Đ∆ ° Đ ∆ ≠ Đ∆ ° Đ ∆ .

b. Định lí 2 :
Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ ⃗ đều có thể phân tích thành nhiều cách khác
nhau thành tích của hai phép đối xứng trục với hai trục song song.
Chứng minh :
Cho phép tịnh tiến

⃗

với vectơ tịnh tiến ⃗.

Ta chỉ cần chọn một đường thẳng ∆ nào đó vng
góc với phương của ⃗ và đường thẳng ∆′ là ảnh của
⃗

đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Gọi Đ∆ và Đ∆ là các phép đối xứng trục có hai
trục là ∆ và ∆′ thì tích Đ∆ ° Đ∆ là phép tịnh tiến ⃗ . Do ta
có nhiều cách chọn ∆ khác nhau miễn là nó vng góc
với phương của ⃗ nên sự phân tích trên có thể thực hiện bằng vô số cách.

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

2.2.8.2. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau :

a. Định lí 3 :
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục ∆ , ∆ cắt nhau ở một
điểm O là một phép quay tâm O và góc quay = 2(∆ , ∆ ).
Chứng minh :
Gọi Đ∆ và Đ∆ là hai phép đối xứng
trục có hai trục ∆ và ∆ cắt nhau tại O.
Với một điểm M bất kì khác điểm O,
ta gọi : ′ = Đ∆ ( ) và ′′ = Đ∆ ( ′)
Như vậy tích Đ∆ ° Đ∆ biến điểm M
thành M′′.
Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của MM′ và M′M′′ thì H thuộc ∆ và H′ thuộc
∆ .
Ta có :
(
(
Do đó : (

⃗,

′′⃗) = (
= 2[(
= 2(

⃗,

⃗′) = 2(

⃗′,

′′⃗) = 2(

⃗,

⃗′) + (
⃗,

⃗′) + (

⃗,
⃗′,
⃗′,

⃗′)
⃗′)
′′⃗)

⃗′,

⃗′)]

⃗′)

⃗,

= 2(∆ , ∆ )
trong đó (∆ , ∆ ) là góc định hướng tạo bởi ∆ và ∆ . Góc này xác định sai khác một
bội số của . Do đó nếu (∆ , ∆ ) = +
thì ( ⃗ ,
′′⃗) = 2 + 2 .
Ngồi ra ta cịn có

=

′=

′′

Nếu điểm M trùng với O thì tích Đ∆ ° Đ∆ biến điểm O thành O.
Vậy tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau tại O tạo thành một góc
một phép quay tâm O và góc quay 2 .

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

là

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Chiến

b. Định lí 4 :
Mọi phép quay tâm O góc quay với ≠ 0 đều có thể phân tích bằng nhiều
cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng có hai trục cắt nhau tại O.
Chứng minh :
Ta lấy ∆ là một đường thẳng tùy ý đi qua O và ∆ là ảnh của ∆ qua phép quay
tâm O với góc quay + .
Theo định lí 3 thì tích các phép đối xứng trục Đ∆ ° Đ∆ chính là phép quay

đã

cho.
Rõ ràng có vơ số cách chọn ∆ , nên ta suy ra có nhiều cách phân tích khác
nhau.
2.2.8.3. Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay :
Định lí 5 : Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc
quay góc .

là một phép

Chứng minh :
Cho một phép tịnh tiến T theo vectơ ⃗ ≠ 0⃗ và một
phép quay Q tâm O góc quay ≠ 2 , ta xét tích của hai
phép này.
Phân tích phép tịnh tiến T thành tích của hai phép
đối xứng Đ∆ và Đ∆ theo thứ tự có trục song song ∆ và
∆ .
Ta chọn trục ∆ đi qua O, vng góc với phương
của ⃗ và chọn ∆ là ảnh của ∆ trong phép tịnh tiến theo
⃗

vectơ − .
Ta tiếp tục phân tích phép quay Q đã cho thành tích của hai phép đối xứng Đ∆
và Đ∆ có hai trục cắt nhau theo thứ tự là ∆ và ∆ . Ta chọn ∆ là ảnh của ∆ trong
phép quay tâm O với góc quay .

SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1

Trang 20