Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình tích phân

BỘ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Chun ngành : Phƣơng pháp tốn sơ cấp
Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dƣới sự hƣớng
dẫn của thầy TS Phan Đức Tuấn.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
1. Tính cấp thiết của đề tài .................................................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ........................................................................................ 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Bố cục đề tài ...................................................................................................... 2
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu ....................................................................... 3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................. 4
1.1. ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ............................................. 4
1.2. PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ................................................ 4
1.3. PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOM .................................................. 4
1.4. HÀM BÌNH PHƢƠNG KHẢ TÍCH.................................................................... 5
1.5. NHỮNG DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA HẠCH........................................................ 6
1.6. TỐN TỬ TUYẾN TÍNH ..................................................................................... 7
1.6.1. Tốn tử tuyến tính ..................................................................................... 7
1.6.2. Tốn tử tuyến tính bị chặn và tốn tử tuyến tính liên tục ................ 8
1.7. TỐN TỬ TÍCH PHÂN ....................................................................................... 10
1.8. TỐN TỬ NGHỊCH ĐẢO .................................................................................. 11
1.9. KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN ............................................ 14

1.10. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN .................................................................... 16
1.10.1. Cơng thức hình thang ........................................................................... 16
1.10.2. Cơng thức Simpson .............................................................................. 17
1.10.3. Ví dụ ......................................................................................................... 18
1.11. TRỰC GIAO HÓA .............................................................................................. 18
1.11.1. Cơ sở lý thuyết ....................................................................................... 18
1.11.2. Sơ đồ tính tốn ....................................................................................... 20


1.12. PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI HẠCH THỐI HĨA ................... 20
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN ............................................................................................................ 24
2.1. PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP ............................................................. 24
2.1.1. Nội dung phƣơng pháp........................................................................... 24
2.1.2. Điều kiện hội tụ........................................................................................ 24
2.1.3. Tốc độ hội tụ ............................................................................................. 25
2.1.4. Ví dụ ........................................................................................................... 28
2.2. PHƢƠNG PHÁP XÔCÔLỐP ............................................................................. 30
2.2.1. Nội dung phƣơng pháp........................................................................... 30
2.2.2. Điều kiện hội tụ........................................................................................ 31
2.2.3. Ví dụ ........................................................................................................... 32
2.3. PHƢƠNG PHÁP NEWTON ............................................................................... 33
2.3.1. Nội dung phƣơng pháp........................................................................... 33
2.3.2. Sự hội tụ của phƣơng pháp ................................................................... 35
2.3.3. Ví dụ ........................................................................................................... 37
2.4. PHƢƠNG PHÁP NYSTROM ............................................................................ 40
2.4.1. Nội dung phƣơng pháp........................................................................... 40
2.4.2. Ƣớc lƣợng sai số ...................................................................................... 41
2.4.3. Ví dụ ........................................................................................................... 42
2.5. PHƢƠNG PHÁP BUBNOV – GALERKIN ................................................... 45

2.5.1. Nội dung phƣơng pháp........................................................................... 45
2.5.2. Ví dụ ........................................................................................................... 48
KẾT LUẬN .................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Cơ sở tính tốn của Newton và Leibnitz cho phép mơ tả tốn học của
thế giới vật lý nhờ khả năng đƣa các phép vi phân và tích phân vào các
phƣơng trình liên quan đến các tính chất khác nhau. Lý thuyết về phƣơng
trình tích phân có mối liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn
học và có những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng của toán học, cơ
học, vật lý lý thuyết, các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Chẳng hạn việc dẫn
bài toán nhiễu xạ của sóng về hệ phƣơng trình tích phân kì dị hay trong cơ
học lƣợng tử, xung lƣợng của các hạt cơ bản đƣợc biểu diễn qua phƣơng trình
tích phân Fredholm…
Trong một số điều kiện nhất định các phƣơng trình tích phân thuộc
cùng phạm trù với các phƣơng trình vi phân và các phƣơng trình phiếm hàm.
Nhiều vấn đề của phƣơng trình vi phân thƣờng và phƣơng trình đạo hàm
riêng có thể đƣợc viết lại nhƣ là phƣơng trình tích phân. Điều này cho phép
ta có thể sử dụng nhiều kết quả nghiên cứu của lĩnh vực này vào lĩnh vực kia.
Vấn đề đƣợc đặt ra là đi tìm lời giải của các phƣơng trình tích phân do nhiều
lĩnh vực khoa học và cơng nghệ đƣa đến. Có nhiều phƣơng pháp khác nhau
để giải các phƣơng trình tích phân nhƣng việc tìm ra nghiệm chính xác của
nhiều phƣơng trình tích phân lại gặp nhiều khó khăn, có những phƣơng trình
khơng tìm đƣợc nghiệm đ ng. Nhƣ vậy để giải phƣơng trình tích phân ta

dùng phƣơng pháp số tìm nghiệm gần đ ng của phƣơng trình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nh m gi p ngƣời đọc hiểu đƣợc về phƣơng trình
tích phân và một số phƣơng pháp hiệu quả để tìm nghiệm gần đ ng của nó.
Một số điểm cố gắng đƣa vào trong luận văn là:
- Một số định nghĩa liên quan đến phƣơng trình tích phân, chứng minh


2
chặc chẽ các định lý liên quan.
- Đƣa ra các phƣơng pháp số cụ thể để giải các loại phƣơng trình tích
phân.
- Đƣa ví dụ và bài tập cụ thể để làm r tính hiệu quả của các phƣơng
pháp số để giải phƣơng trình tích phân.
Nội dung của đề tài đƣợc chia thành 2 chƣơng:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp số giải gần đ ng phƣơng trình tích
phân.
Trong mỗi phần sẽ đƣa vào các ví dụ áp dụng cụ thể.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là phƣơng trình tích phân.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phƣơng pháp số giải phƣơng trình
tích phân.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến phƣơng trình tích phân
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hƣớng dẫn để trao đổi các kết
quả đang nghiên cứu.
5. Bố cục đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài nghiên cứu đƣợc tác giả trình

bày bao gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Giới thiệu về phƣơng trình tích phân và các kiến thức liên quan để giải
phƣơng trình tích phân
Chƣơng 2: Đƣa ra một số phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích phân
Phần kết luận : Tổng kết các kết quả đã đạt đƣợc, nêu một số vấn đề


3
chƣa giải quyết đƣợc và hƣớng phát triển tiếp theo của đề tài.
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Luận văn đã tham khảo một số tài liệu khoa học tiếng Việt và tiếng
Anh về giải gần đ ng phƣơng trình tích phân và nghiên cứu, tổng quan các
kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến các phƣơng pháp số giải
phƣơng trình tích phân và các ứng dụng thực tế qua các ví dụ áp dụng, nh m
xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về phƣơng
trình tích phân .Đồng thời chứng minh chi tiết các định lí và làm r một số
mệnh đề, cũng nhƣ đƣa ra một số ví dụ minh hoạ nh m làm cho ngƣời đọc dễ
dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập.


4
CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
Phƣơng trình tích phân là phƣơng trình có dạng
 ( x)

 ( x)  f ( x)   

 ( x)

K ( x, t ) (t )dt.

(1.1)

Trong đó  ( x) là hàm chƣa biết, f ( x), K  x, t  là những hàm cho trƣớc
và K  x, t  đƣợc gọi là hạch của phƣơng trình tích phân (1.1),  là một h ng
số.
1.2. PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
Phân loại dựa vào giới hạn tích phân:
+ Tất cả giới hạn tích phân cố định: phƣơng trình tích phân Fredhom.
+ Giới hạn trên biến đổi: phƣơng trình tích phân Volterra.
Phân loại dựa vào vị trí xuất hiện của hàm chƣa biết  ( x).
+ Chỉ xuất hiện trong dấu tích phân: loại I.
+ Xuất hiện cả trong lẫn ngồi dấu tích phân: loại II.
Phân loại dựa vào bản chất của hàm đã biết f ( x).
+ f ( x) đồng nhất b ng không: phƣơng trình thuần nhất.
+ f ( x) khơng đồng nhất b ng khơng: phƣơng trình khơng thuần nhất.
1.3. PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOM
Định nghĩa 1.3.1.
- Phƣơng trình tích phân Fredholm loại I là phƣơng trình có dạng:
b

f ( x)    K ( x, t ) (t )dt  0.
a

(1.2)

- Phƣơng trình tích phân Fredholm loại II là phƣơng trình có dạng:
b

 ( x)  f ( x)   K ( x, t ) (t )dt.
a

(1.3)


5
Nếu f ( x) = 0 thì phƣơng trình đƣợc gọi là thuần nhất.
Ví dụ 1.3.1.
1

Phƣơng trình   x   x   xy  y dy, là phƣơng trình Fredholm loại
2

0

II với hạch K  x, y   xy là một hàm liên tục trong hình vuông 0,1  0,1.
Hàm f ( x)  x 2 cũng liên tục trên đoạn  0,1.
1.4. HÀM BÌNH PHƢƠNG KHẢ TÍCH
Định nghĩa 1.4.1.
Hàm số K  x, t  đƣợc gọi là bình phƣơng khả tích trên hình vng

 a, b  a, b nếu

K 2  x, t  khả tích trên hình vng  a, b   a, b. Tập hợp tất

cả các hàm bình phƣơng khả tích trên hình vng  a, b   a, b đƣợc ký hiệu

là L2 (a, b) hoặc viết gọn là L2 .
Hàm K  x, t  thỏa mãn 3 điều kiện sau:
i. Hàm K  x, t  là hàm theo ( x, t ) với a  x  b; a  t  b sao cho:
b b

 K

2

( x, t ) dtdx  .

a a

ii. Với mỗi giá trị của x , K  x, t  là một hàm xác định theo t sao cho:
b

K

2

( x, t ) dt  .

a

iii. Với mỗi giá trị của t , K  x, t  là hàm xác định theo x sao cho:
b

K

2

( x, t ) dx  .

a

Khi đó hàm K  x, t  đƣợc gọi là hạch L2 .


6
Ví dụ 1.4.1.
1

Phƣơng trình tích phân

  x   f  x    ln x  t   t  dt , với hạch
0

K ( x, y)  ln x  t có gián đoạn vơ hạn tại x  t nhƣng K ( x, t )  L2 vì
1 1

 ln

2

x  t dxdt  .

0 0

1.5. NHỮNG DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA HẠCH
Định nghĩa 1.5.1.

1) Hạch K  x, t  đƣợc gọi là hạch thối hóa nếu có dạng:
m

K  x, t    pi ( x)qi (t ),
i 1

với pi , qi  L2 , i  1, m.
2) Hạch K  x, t  đƣợc gọi là hạch đối xứng nếu K  x, t   K (t , x) hầu
khắp nơi trong  a, b   a, b.
Mệnh đề 1.5.1.
i) Nếu K  x, t  là hạch thối hóa và  là giá trị bất kỳ thì  K  x, t 
cũng là hạch thối hóa.
ii) Hạch liên hợp của một hạch thối hóa cũng là một hạch thối hóa.
iii) Nếu K  x, t  là hạch thối hóa và hàm y( x)  L2 thì
b

Ky ( x)   K ( x, t ) y (t )dt ,
a

cũng là hạch thối hóa.
iv) Nếu K  x, t  là hạch thối hóa và H ( x, t ) là hạch L2 thì HK ( x, t ) và
KH ( x, t ) cũng là hạch thối hóa.


7
Chứng minh:
m

m

i 1

i 1

i)  K ( x, t )    pi ( x)qi (t )   pi ( x) qi (t ).
m

m

i 1

i 1

ii) K ( x, t )  K (t , x)   pi (t )qi ( x)   qi ( x) pi (t ).
*

b

b

m

a

a

i 1

iii) Ky ( x)   K ( x, t ) y (t )dt   y (t ) pi ( x)qi (t )dt
b m

m



b
   y (t )qi (t ) pi ( x) dt     y (t )qi (t )dt  pi ( x ).
 a

i 1
i 1 
a

b

iv) HK ( x, t )   H ( x, u ) K (u, t )du
a

b

m

a

i 1

  H  x, u   pi (u )qi (t )du
m

b

i 1

a

   H  x, u  pi (u )qi (t )du
m

b

i 1

a

  qi (t )  H  x, u  pi (u )du.
b

Tƣơng tự: KH ( x, t )   Pi (u )   qi (t ) H  u, t  du .
i 1
a

m

1.6. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
1.6.1. Tốn tử tuyến tính
Định nghĩa 1.6.1.
Cho hai khơng gian vecto bất kỳ X và Y . Một ánh xạ A : X  Y gọi
là một ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính nếu:
i) A( x1  x2 )  Ax1  Ax2 , x1, x2  X .

ii) A( x)   Ax, x  X ,   R.


8
1.6.2. Tốn tử tuyến tính bị chặn và tốn tử tuyến tính liên tục
Định nghĩa 1.6.2.
Một tốn tử A từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một h ng
số K  0 để cho x  X , Ax  K x .
(chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong Y , còn chuẩn bên phải là
chuẩn trong X ).
Số K  0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên gọi là chuẩn của toán tử A
và đƣợc ký hiệu A .
Nhƣ vậy:
i) Ax  A x (x  X ).

ii) Nếu Ax  K x thì A  K (x  X ).
Định nghĩa 1.6.3.
Một toán tử A từ X vào Y là tốn tử tuyến tính liên tục tại x nếu:
lim xm  x  0

m

 lim A( xm )  A( x )  0.
m

Định lý 1.6.1.
Cho hai không gian vecto bất kỳ X và Y , A : X  Y là tốn tử tuyến
tính. Các mệnh đề sau tương đương:
i) A liên tục
ii) A liên tục tại 0

iii) K  0, x  X : Ax  K x .
Chứng minh
(i)  (ii)
A liên tục  A liên tục tại x  x0


9
xn  0  xn  x0  x0
 Axn  Ax0  A( xn  x0 )  Ax0

 Axn  0.
(ii)  (iii)
A liên tục tại 0

Chọn   1    0, x  X , x   thì Ax  1
x  X , x  0 

x
2 x

 A(

x
2 x




2



) 1

 A( x) 

2



x

Nếu x  0 thì
A( x) 

2



x

2

x , x  X .

Vậy
A( x) 



(iii)  (i)

x0  X , xn   X , xn  x0 ta cần phải chứng minh Axn  Ax0

Ta có
Axn  Ax0  A( xn  x0 )  M xn  x0
 lim Axn  Ax0  0  Axn  Ax0
n

Vậy A liên tục.


10
1.7. TỐN TỬ TÍCH PHÂN
Định lý 1.7.1. ( Định lý Fubini)
Cho  là một độ đo  - hữu hạn trên một  - đại số M trong không
gian X ,  là một độ đo  - hữu hạn trên một  - đại số N trong không gian
Y , f ( x, y) là một hàm đo được theo độ đo     .

Nếu f ( x, y) khơng âm hoặc khả tích trên tập A  B  M  N thì ta có



AB

f ( x, y )d    (  f ( x, y )d  )d   (  f ( x, y )d )d  ,
B A

A B

và khi f ( x, y) khả tích trên A  B thì với hầu hết mọi y  B , hàm số f ( x, y)
xem như hàm số theo một biến x là khả tích trên A , đồng thời với hầu hết mọi
x  A , hàm số f ( x, y) xem như hàm số theo một biến y là khả tích trên B.

Ý nghĩa của định lý này là nó cho phép, trong những điều kiện đã nêu,
thay một tích phân bội b ng một tích phân lặp hoặc thay đổi thứ tự lấy tích
phân trong một tích phân lặp.
Định nghĩa 1.7.1.
Cho hàm hai biến K  x, t  có bình phƣơng khả tích nghĩa là
b

b

a

a



K 2 ( x, t )dxdt  N 2  .

(1.4)

Xác định trong L2 một tốn tử A bởi cơng thức:
b

A ( x)   K ( x, t ) (t )dt ,
a

(1.5)

Tốn tử (1.5) gọi là tốn tử tích phân Fredholm sinh bởi hạch K  x, t .
Trƣớc hết, có thể thấy r ng đó là một tốn tử tuyến tính liên tục trong
m

  f   i pi . Thật vậy cho  ( x)  L2 , do (1.4) nên theo định lý Fubini
i 1

hàm K 2 ( x, t ) khả tích theo t với hầu hết mọi x, nghĩa là K  x, t  xét nhƣ một
hàm của t thuộc L2 . Do đó tích phân (1.5) tồn tại với hầu hết mọi x.


11
Cũng theo định lý Fubini, hàm K 2 ( x) =  K  x, t dt khả tích theo x và
b

a

tích phân của K 2 ( x) (từ a đến b ) luôn nhỏ hơn , cho nên K ( x)  L2 . Theo
bất đẳng thức Schwarz-Bunhiakowski áp dụng cho tích vơ hƣớng (1.5) ta có
A ( x) 

  K  x,t  dt     (t)dt 
b

1
2

2

b

a

2

1
2

a

  K ( x)  .

Vậy A ( x)  L2 nghĩa là A là một toán tử trong L2 .
Tốn tử này tuyến tính do



b

a

2

A ( x ) dx  

2



b

a

2

K 2 ( x)dx  N 2  ,

tức là A  N  .
Nhƣ vậy A là toán tử bị chặn (hay A liên tục) và
1
2



A  N    K 2 ( x, t )dxdt  .
a a

b b

b

b

Vì Ax = max  K  x, t  x  t  dt  x max  K  x, t  dt cho nên đối với
a t b

a t b

a

a

tốn tử tích phân A, ta có
b

A  max  K  x, t  dt.
a  t b

a

Định lý 1.7.2. (Không chứng minh)
1) Tốn tử Fredholm là một tốn tử hồn tồn liên tục trong L2 .
2) Toán tử Fredholm sinh bởi hạch đối xứng là một tốn tử đối xứng.
1.8. TỐN TỬ NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa 1.8.1.
1) Xét phƣơng trình Ax  y, trong đó A là tốn tử tuyến tính từ X vào
Y . Nếu A  0 thì với mỗi y  Im A ứng với một x hoàn toàn xác định sao


12
cho Ax  y. Khi ấy toán tử biến y thành x theo cách đó gọi là tốn tử nghịch
đảo của A và đƣợc ký hiệu A1.
Nhƣ vậy:
Toán tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi A  0 tức là phuơng trình
Ax  0 chỉ có một nghiệm duy nhất x  0.

2) Giả sử A là một tốn tử tuyến tính bị chặn trong khơng gian định
chuẩn,  là giá trị chính quy của A nếu tồn tại toán tử ngƣợc bị chặn
( A   I )1.

Tập hợp tất cả các giá trị chính quy của A đƣợc gọi là tập giải của A
kí hiệu là  ( A).
Định lý 1.8.1.
X :Không gian Banach, A  L( X ) và số  thỏa mãn:

  lim

n

n

An .

Khi đó    ( A) và tốn tử R(; A)  ( A   I ) được xác định bởi:


( A   I )  
1

n 0

An

 n1

.

Ở đây sự hội tụ của chuỗi được xét trong không gian L( X ) , tức là hội
tụ theo chuẩn toán tử.

Chứng minh:
Ta sẽ chỉ sự tồn tại của lim n An .
n

Thật vậy, cố định số nguyên dƣơng tùy ý k , giả sử
n  kp  r (0  r  k ) 

p 1 r
 
.
n k k .n


13
Suy ra
A

1
n n

1
k . p r n

 A

1 r
k k  k .n

 A

(cho n   )  lim

n

n

n

n



An


n 0

n

r
n

A

lim

An  lim

k

Ak

An  lim

n

An .

n



n 1

 lim

 A

n

1
k k

 k Ak ,

An .
An .

n

n

An

A

n

n

hội tụ tuyệt đối khi  > lim

n 1

Vì lim

. A

n

n

Suy ra tồn tại lim

r
n

k

n

(cho k   )  lim

 A

p
k n

An
n

n



n



 1 nên suy ra 
n 0

An

 n1

là tốn tử tuyến tính

liên tục, và


( A   I )(
n 0

An

 n1



)  ( 
n 0



 
n 0

An

 n1

An1

 n1

)( A   I )


+

An


n 0

n

 I.

Vậy ( A   I )1 là toán tử ngƣợc bị chặn xác định bởi


( A   I )  
1

n 0

An

 n1

.

Hệ quả 1.8.1.
1) X : Không gian Banach A  L( X ) và  là số thỏa mãn   A .


14
Khi đó    ( A) và tốn tử R(; A)  ( A   I ) đƣợc xác định bởi



( A   I )  
1

n 0

An

 n1

.

Chứng minh:
Ta có:
An  n A  A  
n

n

 lim n An  A   .
n

Áp dụng Định lý 1.8.1, suy ra điều phải chứng minh.
2) X : Không gian Banach A  L( X ),

A  1. Khi đó tồn tại tốn tử



ngƣợc bị chặn ( I  A)1, và ( I  A)1     An .
n 0

Chứng minh:
Lấy   1, ta có   A .
Áp dụng Hệ quả 1.8.1 phần 1


Suy ra ( I  A)  
1

n 0

An

 1

n 1



    An .
n 0

1.9. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN
Định nghĩa 1.9.1.
1) Khơng gian tuyến tính thực (hay phức) cùng với một chuẩn xác
định trong X gọi là không gian định chuẩn thực (hay phức).
2) Dãy  xn  trong không gian định chuẩn X gọi là liên tục đến x0  X
nếu lim xn  x0  0. Ký hiệu: xn  x0 hoặc lim xn  x0 .

n

n

3) Cho X , Y : các không gian tuyến tính định chuẩn F : U  Y ;

U  X , U mở. F khả vi mạnh tại x0 U nếu:


15

 F ( x0  h)  F ( x0 )  Ah   ( x0 , h)


 h  1, h  X , x0  h U .

Với A  L( X ,Y ), L( X ,Y ) tập tất cả các ánh xạ tuyến tính cũng là
khơng gian tuyến tính định chuẩn và

 ( x0 , h)
h

 0 khi h  0,

dF ( x0 , h)  Ah : vi phân của F tại x0 ,

F ( x0 )  A : đạo hàm Frechet của F tại x0 .

4) Dãy  xn  trong không gian định chuẩn X gọi là dãy Cauchy nếu
lim xx  xm  0.

n1m

5) Nếu không gian định chuẩn X là không gian Metric đầy đủ tức là
d ( x, y)  x  y thì X gọi là khơng gian Banach.

Tính chất
i) F ( x)  y0 ( Y )  F ( x)  0, 0 x   , x  X .
ii) F  x   A( x), A  L( X ,Y )  F ( x)  A.
iii) F , G : X  Y khả vi tại x0
 ( F   G)( x0 )   F ( x0 )   G( x0 ).

Tức là  F   G khả vi tại x0 .
iv) H  GO F với F khả vi tại x0 , G khả vi tại y0 .
H ( x0 )  G( y0) .F ( x0 ).

Với y0  F ( x0 ). Tức là H khả vi tại x0 .


v) X là không gian Banach,

u
n 1

n

hội tụ khi và chỉ khi


16

  0, N , n  N , p  N 

p

u
i 1

n 1

 .

1.10. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
1.10.1. Cơng thức hình thang
Ta chia đoạn  a, b thành n phần b ng nhau với các điểm chia xi sao
cho:
a  x0  x1  x2  ...  xn  b.

xi  a  ih (i  0, n) , h 

ba
.
n

Khi đó ta có:



b

a

x1

x2

xn

x0

x1

xx 1

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ....  

f ( x)dx.

Thay f ( x) trên  xi 1 , xi  , i  1, n b ng đa thức nội suy bậc nhất của nó



x1

x0

Đặt t 

x1
x1 

x  x1
x  x0 
f ( x)dx   P( x)dx    y0
 y1
 dx.
x0
x0
x

x
x

x
0
1
1
0


x  x0
 dx  hdt.
h

Khi x  x0 thì t  0.
Khi x  x1 thì t  1.
Suy ra



x1

x0

P( x)dx    y0 1  t   y1t hdt 
0
1

  t2  1
t 2 1  h2
 h  y0  t   0  y1 0   ( y0  y1 ).
2
2  2
 

Tƣơng tự ta có



xi 1

xi

f  x dx 

h2
( yi  yi 1 ).
2


17

Vậy



b

a

f ( x)dx 

h
 y0  yn  2( y1  .... yn1 ).
2

Đánh giá sai số:
M 2
h (b  a),
12

r

với
M  max f ( x) , x   a, b.

1.10.2. Công thức Simpson
Chia đoạn  a, b thành 2n phần b ng nhau với bƣớc h 

ba
. Trên
2n

mỗi đoạn  x2i 2 , x2i , (i  1, n) ta thay f ( x) b ng đa thức nội suy Lagrange
P( x) bậc hai với các mốc nội suy x2i2 , x2i 1, x2i .

( x  x2i 1 )( x  x2i )

( x2i 2  x2i 1 )( x2i 2  x2i )

f ( x )  P ( x )  y2 i  2
 y21

( x  x2i 2 )( x  x2i )
( x  x2i 2 )( x  x2i 1 )
 y2i
.
( x2i 1  x2i 2 )( x2i 1  x2i )
( x2i  x2i 2 )( x2i  x2i 1 )

Từ đó



x2 i

x2 i  2

f ( x)dx  

x2 i

x2 i  2

h
P( x)dx  ( y2i 2  4 y2i 1  y2i ) .
x2 i  2
3

f ( x)dx  

x2 i

Vậy



b

a

n

n
h
f ( x)dx   ( y2i 2  4 y2 x1  y2i )
2i 2
i 1 3

f ( x)dx   
i 1

2i



ba
( y0  4 y1  2 y2  ....  4 y2 n1  y2 n )
6n



ba
 y0  y2n  2( y2  ...  y2n2 )  4( y1  ...  y2n1).
6n


18
Đánh giá sai số:
rM

h4
(b  a)
180

với
M  max f (4) ( x) , x   a, b.

1.10.3. Ví dụ
Ví dụ 1.10.1.
dx
.

0 x 1

Tính gần đ ng I  

1

2

Giá trị đ ng của tích phân này là I 


4

 0,78539816.

Áp dụng cơng thức hình thang, chia đoạn  0,1 thành n  10 phần b ng
nhau, h  0,1. ta đƣợc I  0,7849815 với sai số tƣơng đối đến 0,054%.
Áp dụng công thức Simpson với n  2 , ta đƣợc:
I

1 0
(1  3,76  1  1,6  2,56  0,5)  0,785399.
6.2

1.11. TRỰC GIAO HÓA
1.11.1. Cơ sở lý thuyết
Xét hệ phƣơng trình tuyến tính Ax  b với giả thuyết là ma trận A
không suy biến. Ta viết lại hệ trên dƣới dạng tọa độ nhƣ sau:
 n
 aij x j  bi  0

 j 1
i  1, n


Kí hiệu ai  (ai1, ai 2 ,..., ain , bi ), i  1, n. Ta có hệ n vector {ai }in1. Nếu
thêm vector ai1  (0,0...,1) thì hệ có n  1 vector {ai }in11 trong đó
ai  R n1 , i  1, n  1.


19
Xét q trình trực giao hóa Hibert-Schmidt cho hệ {ai }in11 , ta đƣợc:
u1

u1  a1 , v1  u
1


k 1
u  a  (a , v )v , v  uk , k  2,3,..., n  1.

k
k
i
i
k
 k
uk
i 1

Xét un1  (t1, t2 ,..., tn1 ). Giả sử tn1  0, theo tính chất dãy {u i }in11 rút ra

un1 trực giao với mọi vector ai , (i  1, n).

Vậy:
 k 1
 aij t j  0
 i 1
i  1, n.


Do A là ma trận không suy biến, nên từ hệ trên ta có t1  t2  ...  tn .
Nhƣ vậy un1  (0,0,...,0) là vô lý. Suy ra điều giả sử sai, tức là tn1  0.
Vì un1 trực giao với mọi a1 , (i  1, n) nên ta có
(un1, ai )  0; i  1, n
 n
 aij  bitn1
  j 1
i  1, n

tj
 n
 aij t  bi  0
  j 1
n 1

i  1, n.

Điều đó chứng tỏ
x   xj 

n

j 1

; xj 

tj
tn1

, j  1, n là nghiệm của hệ.


20
1.11.2. Sơ đồ tính tốn
Cho hệ Ax  b.
 n
 aij x j  bi  0
Bƣớc1: Viết hệ trên dƣới dạng  j 1
i  1, n.


Bƣớc 2: Đặt

ai  (ai1, ai 2 ,..., ain , bi ), i  1, n ;

an1  (0,0...,1)

với

ai 1  R n1.

Bƣớc 3: Trực giao hóa Hibert – Schmidt

u1

u1  a1 , v1  u
1


k 1
u  a  (a , v )v , v  uk , k  2,3,..., n  1.

k
k
i
i
k
 k
uk
i 1

Tìm đƣợc hệ vector {u i }in11. Đặt un1  (t1, t2 ,..., tn1 ). Suy ra tn1  0.
Bƣớc 4 : Kết luận nghiệm x   x j 

n
j 1

; xj 

tj
tn1

, j  1, n.

1.12. PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI HẠCH THỐI HĨA
Bất kỳ hạch nào (miễn là có bình phƣơng khả tích) cũng có thể đƣợc
xấp xỉ, với độ chính xác tùy ý bởi 1 hạch thối hóa có dạng:
m

K ( x, t )   pi ( x)qi (t ), pi , qi  L2 .
i 1

Một phƣơng trình tích phân với hạch bất kỳ có thể thay thế gần đ ng
bởi một phƣơng trình tích phân với hạch thối hóa.
Vì vậy bƣớc đầu tiên ta xét các phƣơng trình có hạch thối hóa.
Định lý 1.12.1.
m

Giả sử K ( x, t )   pi ( x)qi (t ) là hạch thoái hóa.
i 1